Ordinary and Canonical Biplots for Province Mapping Based on IPB Students’ Achievement.
BIPLOT BIASA DAN KANONIK UNTUK PEMETAAN
PROVINSI BERDASARKAN PRESTASI MAHASISWA IPB
KUSNANDAR
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Biplot Biasa dan
Kanonik untuk Pemetaan Provinsi Berdasarkan Prestasi Mahasiswa IPB adalah
karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan oleh
pihak lain telah penulis sebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar
Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Agustus 2011
Kusnandar
NRP G551090081
ABSTRACT
KUSNANDAR. Ordinary and Canonical Biplots for Province Mapping Based on
IPB Students’ Achievement. Supervised by SISWADI and N. K. KUTHA
ARDANA.
Biplot is a graphical display of the rows and columns of a data matrix. Ordinary
biplot is the biplot that was introduced by Gabriel (1971). The most general
method for discrimination among groups using multiple observed variables is
canonical variate analysis (CVA). CVA allows us to derive linear combinations
that successively maximize the ratio of ‘between-groups’ to ‘pooled within-group’
sample variance. Biplot representation for CVA is called canonical biplot.
Ordinary and canonical biplots are multivariate analyses that can be used for
mapping of objects. Procrustes analysis is an analysis tool based on the principle
of least squares that can be used to measure the maximum similarity of point of
configurations through a series of linear transformations of translation, rotation
and dilation. Unfortunately, implementation of canonical biplot and goodness of
fit of two matrix configurations with Procrustes analysis has not yet been
integrated in statistical package program. The objectives of this study are to
examine ordinary biplot, canonical biplot and Procrustes analysis; implement the
canonical biplot and Procrustes analysis using functional programming
techniques; and compare provincial mapping using ordinary biplot analysis with
the analysis of canonical biplot based on IPB students’ achievement. As the first
result this study, a program has been written using software Mathematica 8.0 to
integrate the ordinary and canonical biplot with Procrustes analysis. For
implementation purposes, the data used in this study are IPB students’
achievement in 2009/2010 academic year. Province mapping is an important
effort to get an overview of relative position of the province compared to other
provinces based on students’ academic achievement. The results from Procrustes
analysis of the data matrix with its matrix approximation show that in this case the
canonical biplot relatively more suitable to be used. The goodness of fit of
configuration of ordinary and canonical biplot with Procrustes analysis is
relatively high for data, as well as variables and objects, i.e. more than 91%. This
means that the results of ordinary and canonical biplot analysis for mapping the
province based on TPB IPB students’ achievement showed relatively more
similarities than differences. Extreme difference of the object's position (province)
of variables is the province of Sulawesi Utara, Jawa Barat, Banten and Sumatera
Selatan in ordinary biplot has superior in Bahasa Indonesia and Pengantar Ilmu
Pertanian course, whereas the canonical biplot has superior in Bahasa Inggris and
Pendidikan Kewarganegaraan course.
Keywords: ordinary biplot, canonical variate analysis, canonical biplot,
Procrustes analysis, province mapping.
RINGKASAN
KUSNANDAR. Biplot Biasa dan Kanonik untuk Pemetaan Provinsi Berdasarkan
Prestasi Mahasiswa IPB. Dibimbing oleh SISWADI and N. K. KUTHA
ARDANA.
Analisis biplot merupakan salah satu bentuk Analisis Peubah Ganda (APG)
yang dapat memberikan gambaran secara grafik dari suatu matriks data tentang
kedekatan antar objek, keragaman peubah, korelasi antarpeubah serta keterkaitan
objek dengan peubah. Biplot biasa yang dipelajari dalam penelitian ini adalah
biplot yang diperkenalkan oleh Gabriel (1971), sedangkan biplot kanonik
merupakan representasi grafis dari analisis peubah kanonik (APK, Canonical
Variate Analysis). APK merupakan analisis data dengan peubah ganda yang
berbasis analisis pengelompokan data, digunakan untuk memperoleh kombinasi
linear dari peubah-peubah asal yang akan memberikan nilai sedekat mungkin bagi
objek-objek dalam kelompok yang sama dan sebesar mungkin bagi objek-objek
antarkelompok.
Analisis biplot menghasilkan tiga matriks pendekatan yang terkait dengan
data, peubah, dan objek. Ketepatan matriks pendekatan tersebut pada biplot biasa
ditelusuri menggunakan ukuran kesesuaian dari Gabriel (2002) dan analisis
Procrustes sedangkan pada biplot kanonik menggunakan analisis Procrustes.
Analisis Procrustes merupakan alat analisis berdasarkan asas kuadrat terkecil yang
dapat digunakan untuk mengukur kemiripan maksimal antarkonfigurasi titik
melalui serangkaian transformasi linear yaitu translasi, rotasi dan dilasi.
Biplot biasa dengan sistem perintah telah terintegrasi ke dalam beberapa
program paket statistika seperti SAS, R dan Stata serta telah diimplementasikan
ke dalam paket sistem aljabar komputer Mathematica dengan teknik
pemrograman fungsional berbasis GUI (Graphical User Interface). Tetapi,
implementasi biplot kanonik dan ukuran kesesuaian dua konfigurasi
menggunakan analisis Procrustes dengan sistem perintah belum terintegrasi dalam
program paket statistika.
Biplot biasa maupun kanonik dapat memberikan gambaran yang lebih
terinci dalam pemetaan provinsi dalam bidang pendidikan sehingga informasi
yang diperoleh merupakan gambaran perbandingan mutu pendidikan suatu
provinsi dengan provinsi lainnya. Mahasiswa IPB hampir mewakili seluruh
provinsi di Indonesia, diharapkan mampu memberikan gambaran prestasi dan
pemetaan mutu pendidikan setiap daerahnya. Berdasarkan uraian diatas, tujuan
penelitian ini ialah untuk mengkaji analisis biplot biasa, biplot kanonik dan
analisis Procrustes; mengimplementasikan analisis biplot kanonik dan ukuran
kesesuaian dua konfigurasi matriks dengan analisis Procrustes menggunakan
teknik pemrograman fungsional; dan membandingkan pemetaan provinsi
menggunakan analisis biplot biasa dengan analisis biplot kanonik berdasarkan
prestasi mahasiswa IPB.
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder terdiri dari
3047 mahasiswa yang berasal dari 32 provinsi (1 provinsi tidak ada mahasiswa
TPB IPB yang mewakilinya, yaitu Sulawesi Tengah) asal sekolah menengahnya
serta data nilai mutu mata kuliah dan IPK mahasiswa TPB IPB tahun akademik
2009/2010 yang diperoleh dari Direktorat Pendidikan Tingkat Persiapan Bersama
Institut Pertanian Bogor. Sebagai penyederhanaan dan meningkatkan ketepatan
model pada analisis maka dilakukan proses seleksi peubah pada data asal yaitu
proses pengidentifikasian dan pengurangan peubah-peubah yang memberikan
kontribusi informasi yang relatif kecil pada keragaman data.
Penelitian ini menghasilkan paket BiplotKanonik dan GFProcrustes sebagai
implementasi dari biplot kanonik dan ukuran kesesuaian dua konfigurasi
menggunakan analisis Procrustes dengan teknik pemrograman fungsional
Mathematica.
Analisis Procrustes antara matriks data dengan matriks pendekatannya
menghasilkan ukuran kesesuaian pada biplot kanonik relatif lebih besar dari pada
biplot biasa untuk data dan peubah, tetapi untuk objek relatif sama. Hal ini
mengindikasikan bahwa dalam kasus ini biplot kanonik relatif lebih layak
digunakan. Sedangkan analisis Procrustes antara matriks koordinat biplot biasa
dengan koordinat biplot kanonik menghasilkan ukuran kesesuaian yang cukup
tinggi untuk data, peubah maupun objek, yaitu di atas 91%. Hal ini berarti bahwa
hasil dari analisis biplot biasa dan kanonik untuk pemetaan provinsi berdasarkan
prestasi mahasiswa TPB IPB memperlihatkan relatif lebih banyak persamaan dari
pada perbedaannya.
Perbedaan yang ekstrem dari posisi objek (provinsi) terhadap peubah ialah
provinsi Sulawesi Utara, Jawa Barat, Banten dan Sumatera Selatan pada biplot
biasa memiliki keunggulan pada mata kuliah Bahasa Indonesia dan Pengantar
Ilmu Pertanian, sedangkan pada biplot kanonik memiliki keunggulan pada mata
kuliah Bahasa Inggris dan Pendidikan Kewarganegaraan.
Interpretasi biplot kanonik untuk pemetaan provinsi berdasarkan prestasi
mahasiswa TPB IPB memberikan gambaran bahwa provinsi Kalimantan Timur
dan Kepulauan Bangka Belitung memiliki keunggulan pada semua mata kuliah.
Provinsi Kalimantan Selatan, Bengkulu dan Daerah Istimewa Yogyakarta
memiliki keunggulan pada mata kuliah Pendidikan Kewarganegaraan, Bahasa
Indonesia, Bahasa Inggris dan Ekonomi Umum. Provinsi Jawa Tengah, Jawa
Timur dan Kepulauan Riau memiliki keunggulan pada mata kuliah Pengantar
Matematika, Fisika, Biologi dan Pengantar Ilmu Pertanian. Provinsi Gorontalo,
Lampung, Jambi, Nusa Tenggara Timur, Papua Barat, Kalimantan Barat,
Sulawesi Barat memiliki keunggulan pada mata kuliah Pengantar Matematika dan
Pengantar Ilmu Pertanian. Provinsi Sulawesi Utara, Nusa Tenggara Barat, Jawa
Barat, Banten dan Sumatera Selatan memiliki keunggulan pada mata kuliah mata
kuliah Bahasa Inggris dan Pendidikan Kewarganegaraan. Provinsi Sumatera
Barat, DKI Jakarta, Bali dan Riau merupakan provinsi-provinsi yang memiliki
prestasi rata-rata pada semua mata kuliah. Sedangkan provinsi Sumatera Utara,
Sulawesi Tenggara, Sulawesi Selatan, Kalimantan Tengah, Aceh, Papua, Maluku
Utara dan Maluku memiliki prestasi di bawah rata-rata untuk semua mata kuliah.
Kata Kunci: biplot biasa, analisis peubah kanonik, biplot kanonik, analisis
Procrustes, pemetaan
©Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2011
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan
karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik dan tinjauan suatu
masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian
Bogor.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis
ini dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
BIPLOT BIASA DAN KANONIK UNTUK PEMETAAN
PROVINSI BERDASARKAN PRESTASI MAHASISWA IPB
KUSNANDAR
Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M. S.
Judul Tesis
Nama
NRP
: Biplot Biasa dan Kanonik untuk Pemetaan Provinsi
Berdasarkan Prestasi Mahasiswa IPB
: Kusnandar
: G551090081
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Siswadi, M. Sc.
Ketua
Ir. N. K. Kutha Ardana, M. Sc.
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M. S.
Tanggal Ujian: 5 Agustus 2011
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Dahrul Syah, M. Sc. Agr.
Tanggal Lulus:
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil
diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan
Pebruari 2011 ini ialah biplot, dengan judul Biplot Biasa dan Kanonik untuk
Pemetaan Provinsi Berdasarkan Prestasi Mahasiswa IPB.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Siswadi, M. Sc. dan
Ir. N.K. Kutha Ardana, M. Sc. yang telah membimbing dengan penuh ketekunan
dan kesabaran hingga selesainya penulisan karya ilmiah ini serta Ibu Dr. Ir. Endar
H. Nugrahani, M. S. selaku penguji luar komisi yang telah banyak memberikan
saran. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Ir. Ibnul
Qayim selaku Direktur TPB IPB yang telah memberikan bantuan data nilai mata
kuliah dan IPK mahasiswa TPB IPB tahun akademik 2009/2010, Bapak Donny
Citra Lesmana, S.Si., M. Fin. Math. yang telah membantu dalam hal pengadaan
referensi serta seluruh dosen dan staf pegawai Departemen Matematika FMIPA
IPB atas segala bantuannya. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan pada
Kemenag RI yang telah membiayai penelitian ini. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada kedua orang tua, istri, anak-anak dan seluruh keluarga yang
telah memberikan dukungan, pengertian, doa dan kasih sayangnya serta rekanrekan dan semua pihak yang telah membantu penulis, yang tidak dapat penulis
sebutkan satu persatu.
Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih jauh dari sempurna,
untuk itu saran yang membangun sangat penulis harapkan. Semoga karya ilmiah
ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2011
Kusnandar
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kabupaten Cirebon pada tanggal 29 September 1978
dari ayah Tjarba dan ibu Rumsiti. Penulis merupakan putra kedua dari empat
bersaudara.
Tahun 1996 penulis lulus SMA Negeri Sindanglaut dan pada tahun yang
sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis
memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Kesempatan untuk melanjutkan ke Program Pascasarjana IPB pada Program Studi
Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam diperoleh
pada tahun 2009 melalui beasiswa utusan daerah Kemenag RI. Penulis sekarang
mengajar di MTs PUI Bogor.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ............................................................................................. xii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................xiii
DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................... xiv
PENDAHULUAN
Latar Belakang ........................................................................................... 1
Tujuan Penelitian ....................................................................................... 3
TINJAUAN PUSTAKA
Analisis Biplot Biasa .................................................................................. 5
Ukuran Kesesuaian Biplot Biasa............................................................... 10
Analisis Peubah Kanonik ......................................................................... 11
Analisis Biplot Kanonik ........................................................................... 15
Analisis Procrustes ................................................................................... 19
METODE PENELITIAN
Sumber Data ............................................................................................. 25
Peubah Penelitian ..................................................................................... 25
Objek Penelitian ....................................................................................... 26
Metode Penelitian ..................................................................................... 27
HASIL DAN PEMBAHASAN
Implementasi Biplot Kanonik dan Analisis Procrustes
dengan Mathematica ................................................................................. 29
Eksplorasi Data ........................................................................................ 31
Gambaran Umum Provinsi ....................................................................... 35
Seleksi Peubah ......................................................................................... 36
Analisis Biplot Kanonik dan Kanonik Data Asal .................................... 37
Analisis Biplot Kanonik dan Kanonik dengan Seleksi Peubah ............... 45
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan .............................................................................................. 53
Saran ......................................................................................................... 54
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 55
LAMPIRAN ...................................................................................................... 57
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Analisis ragam antarkelompok dan dalam kelompok ................................. 12
2 Peubah penelitian ........................................................................................ 25
3 Konversi huruf mutu ................................................................................... 26
4 Provinsi asal mahasiswa dan banyak mahasiswa yang mewakilinya ......... 26
5 Sebaran nilai akhir mata kuliah TPB IPB tahun akademik 2009/2010 ........ 31
6 Ukuran pemusatan dan penyebaran nilai mata kuliah dan IPK mahasiswa
TPB IPB tahun akademik 2009/2010 .......................................................... 32
7 Matriks korelasi Pearson data asal .............................................................. 34
8 Ukuran kesesuaian biplot biasa dan kanonik data asal ............................... 39
9 Ukuran kesesuaian koordinat biplot biasa dan kanonik data asal ............... 39
10 Ukuran kesesuaian biplot biasa dan kanonik dengan seleksi peubah ......... 47
11 Ukuran kesesuaian koordinat biplot biasa dan kanonik dengan seleksi
peubah .......................................................................................................... 48
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Diagram kotak garis nilai mata kuliah dan IPK .......................................... 33
2 Peringkat provinsi berdasarkan rata-rata IPK .............................................. 36
3 Biplot biasa pada data asal ........................................................................... 38
4 Biplot kanonik pada data asal ...................................................................... 38
5 Biplot biasa pada data dengan seleksi peubah ............................................. 46
6 Biplot kanonik pada data dengan seleksi peubah ........................................ 47
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Program paket BiplotKanonik ..................................................................... 59
2 Program paket GFProcrustes ....................................................................... 60
3 Statistik deskriptif data asal ........................................................................ 61
4 Tabel nilai rata-rata mata kuliah dan IPK mahasiswa TPB IPB tahun
akademik 2009/2010 ................................................................................... 62
5 Korelasi Pearson data asal ........................................................................... 63
6 Eigenanalisis dari analisis komponen utama berbasis matriks koragam .... 64
7 Peringkat provinsi berdasarkan rata-rata IPK ............................................. 65
8 Biplot biasa pada data asal .......................................................................... 66
9 Biplot kanonik pada data asal ..................................................................... 67
10 Biplot biasa pada data dengan seleksi peubah ............................................ 68
11 Biplot kanonik pada data dengan seleksi peubah ........................................ 69
12 Matriks koordinat biplot biasa pada data asal ............................................. 70
13 Matriks koordinat biplot kanonik pada data asal ........................................ 71
14 Matriks koordinat biplot biasa pada data dengan seleksi peubah ............... 72
15 Matriks koordinat biplot kanonik pada data dengan seleksi peubah ........... 73
16 Matriks jumlah kuadrat dan hasil kali data dengan seleksi peubah ............ 74
17 Matriks jumlah kuadrat dan hasil kali data antarkelompok pada data asal .. 75
18 Matriks jumlah kuadrat dan hasil kali data dalam kelompok pada data asal 76
19 Matriks jumlah kuadrat dan hasil kali total data kelompok pada data asal .. 77
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari seringkali dijumpai pengamatan yang
melibatkan lebih dari satu peubah (peubah ganda) sehingga sulit untuk
diinterpretasikan secara langsung. Oleh karena itu perlu dilakukan pereduksian
dimensi data peubah yang cukup banyak tersebut menjadi peubah yang lebih
sederhana dengan tetap mempertahankan informasi peubah asalnya. Analisis
Peubah Ganda (APG) merupakan analisis statistika yang melakukan analisis
secara serempak terhadap peubah ganda tersebut. Dengan menyertakan lebih dari
satu peubah dengan keterkaitannya, diharapkan akan dapat memberikan tambahan
informasi daripada bila hanya dilakukan pada masing-masing peubah secara
terpisah (Siswadi dan Suharjo, 1999). Selain itu melalui analisis peubah ganda
juga dapat dilihat pengelompokan objek berdasarkan kemiripan peubah-peubah
penyusunnya.
Analisis biplot merupakan salah satu teknik yang populer dalam analisis
data peubah ganda. Biplot pertama kali diperkenalkan oleh Gabriel (1971).
Analisis ini merupakan salah satu bentuk APG yang dapat memberikan gambaran
secara grafik tentang keragaman peubah, kedekatan antarobjek serta keterkaitan
peubah dengan objek yang dapat digunakan untuk menggambarkan sebuah tabel
ringkasan dengan banyak peubah agar lebih menarik, informatif, komunikatif dan
artistik. Dari biplot diperoleh tiga matriks pendekatan yang terkait dengan data,
peubah, dan objek. Ukuran kesesuaian dari ketiga matriks tersebut dikemukakan
oleh Gabriel (2002).
Analisis
paling umum
untuk
diskriminasi
antarkelompok, dengan
menggunakan beberapa peubah yang diamati, adalah analisis peubah kanonik
(APK, Canonical Variate Analysis). APK digunakan untuk memperoleh
kombinasi linear dari peubah-peubah asal yang akan memberikan nilai sedekat
mungkin bagi objek-objek dalam kelompok yang sama dan sebesar mungkin bagi
objek-objek antarkelompok. Representasi grafis dari APK disebut biplot kanonik
(Varas et al. 2005).
Analisis Procrustes adalah alat analisis berdasarkan asas kuadrat terkecil
yang dapat digunakan untuk mengukur kemiripan maksimal antarkonfigurasi titik
melalui serangkaian transformasi linear (Bakhtiar dan Siswadi, 2011). Bentuk
transformasi tersebut adalah translasi, rotasi dan dilasi. Analisis ini bertujuan
untuk membandingkan dua konfigurasi yang mewakili
unit pengamatan yang
sama sebagai nilai numerik. Nilai numerik yang dihasilkan dapat digunakan
sebagai ukuran kesesuaian (goodness of fit) antarkonfigurasi. Untuk melihat
kesamaan bentuk dan ukuran dari dua konfigurasi maka setelah kedua konfigurasi
dilakukan translasi salah satu konfigurasi dibuat tetap sementara konfigurasi yang
lainnya ditransformasikan sehingga paling sesuai dengan konfigurasi pertama.
Biplot biasa dengan sistem perintah telah terintegrasi ke dalam beberapa
program paket statistika seperti SAS, R dan Stata. Sejalan dengan makin
berkembangnya teknik komputasi dengan sistem aljabar komputer (SAK), biplot
biasa telah diimplementasikan ke dalam paket SAK Mathematica dengan teknik
pemrograman fungsional berbasis GUI (Graphical User Interface) (Ardana dan
Siswadi, 2009). Tetapi, implementasi biplot kanonik dan ukuran kesesuaian dua
konfigurasi menggunakan analisis Procrustes dengan sistem perintah belum
terintegrasi dalam suatu program paket statistika.
Pembangunan pendidikan di Indonesia dirasakan belum merata, hal ini
berakibat kepada mutu pendidikan yang tidak merata, padahal taraf kemajuan
bidang pendidikan menjadi modal dasar dalam mencapai sumber daya manusia
berkualitas. Untuk menentukan arah kebijakan yang baik dalam bidang
pendidikan maka diperlukan suatu upaya pemetaan. Institut Pertanian Bogor (IPB)
merupakan salah satu perguruan tinggi negeri yang dipercaya untuk mendidik
mahasiswa dari seluruh provinsi di Indonesia. Mahasiswa IPB hampir mewakili
seluruh provinsi di Indonesia, diharapkan mampu memberikan gambaran prestasi
dan pemetaan mutu pendidikan setiap daerahnya. Hasil pemetaan provinsi
berdasarkan prestasi mahasiswa IPB diharapkan dapat digunakan untuk
mengevaluasi kinerja pemerintah masing-masing provinsi serta perencanaan dan
target peningkatan mutu lulusan sekolah menengah. Indikator prestasi mahasiswa
biasanya dikaitkan dengan pencapaian prestasi nilai mutu tiap mata kuliah yang
diambil dan Indeks Prestasi Kumulatif (IPK)nya. Pencapaian prestasi tersebut
salah satunya dipengaruhi oleh mutu masukan, di mana seleksi penerimaan
mahasiswa baru program sarjana IPB dilakukan dengan prinsip education for
everyone yang pada tahun akademik 2009/2010 dilaksanakan melalui 5 (lima)
jalur, yaitu: (1) Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI); (2) Seleksi Nasional
Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN); (3) Undangan khusus bagi lulusan
SMA yang mempunyai prestasi nasional maupun internasional; (4) Seleksi
Penerimaan Mahasiswa Beasiswa Utusan Daerah (BUD); dan (5) Ujian Talenta
Mandiri (UTM). Hasil seleksi tersebut menunjukkan mahasiswa yang menuntut
ilmu di IPB sangat beragam latar belakang kualitas pendidikan antarsekolah dan
antarprovinsinya.
Suatu analisis diperlukan untuk memperoleh gambaran yang lebih terinci
dalam pemetaan provinsi sehingga informasi yang diperoleh merupakan gambaran
mutu pendidikan di sekolah menengah masing-masing provinsi berdasarkan
prestasi mahasiswa TPB IPB. Pengamatan lebih dari satu peubah (peubah ganda)
dianalisis secara serempak menggunakan APG, salah satunya adalah dengan
analisis biplot. Dalam analisis biplot biasa, data yang merepresentasikan provinsi
sebagai gambaran objek dan mata kuliah sebagai gambaran peubah dari sejumlah
mahasiswa berupa data asal tanpa melakukan proses manipulasi (data disagregat).
Sedangkan dalam analisis biplot kanonik data diperoleh dengan mencari rataratanya
untuk
setiap
provinsi
kemudian
ditransformasikan
dengan
memperhitungkan banyak objek dan keragaman dalam setiap provinsi.
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini ialah:
1. Mengkaji analisis biplot biasa, biplot kanonik dan analisis Procrustes.
2. Mengimplementasikan analisis biplot kanonik dan ukuran kesesuaian dua
konfigurasi matriks dengan analisis Procrustes menggunakan teknik
pemrograman fungsional.
3. Membandingkan pemetaan provinsi menggunakan analisis biplot biasa dengan
analisis biplot kanonik berdasarkan prestasi mahasiswa IPB (studi kasus
mahasiswa TPB IPB tahun akademik 2009/2010).
TINJAUAN PUSTAKA
Analisis Biplot Biasa
Analisis biplot merupakan suatu upaya untuk memberikan peragaan grafik
dari matriks data
dalam suatu plot dengan menumpangtindihkan vektor-vektor
dalam ruang berdimensi rendah, biasanya dua (atau tiga) yang mewakili vektorvektor baris matriks
kolom matriks
(gambaran objek) dengan vektor-vektor yang mewakili
(gambaran peubah). Dari peragaan ini diharapkan diperoleh
gambaran tentang objek, misalnya kedekatan antarobjek, gambaran tentang
peubah, baik tentang keragamannya maupun korelasinya, serta keterkaitan antara
objek-objek dengan peubah-peubahnya. Tampilan objek dalam analisis komponen
utama (AKU, Principal Components Analysis) merupakan kasus khusus dari
analisis biplot dan penghitungan dalam analisis biplot didasarkan pada penguraian
nilai singular (PNS, Singular Value Decomposition) suatu matriks (Siswadi dan
Suharjo, 1999).
Informasi yang dapat diperoleh dari analisis biplot antara lain tentang:
1. Kedekatan antarobjek. Informasi ini dapat dijadikan panduan untuk
mengetahui objek yang memiliki kemiripan karakteristik dengan objek lain.
Dua objek yang memiliki karakteristik sama akan digambarkan sebagai dua
titik dengan posisi yang berdekatan.
2. Keragaman peubah. Informasi ini digunakan untuk melihat apakah ada
peubah yang memiliki nilai keragaman yang hampir sama. Peubah dengan
keragaman kecil digambarkan dengan vektor yang pendek, sebaliknya jika
keragamannya besar digambarkan dengan vektor yang panjang.
3. Korelasi antarpeubah. Informasi ini dapat digunakan untuk mengetahui
bagaimana hubungan satu peubah dengan peubah lainnya. Peubah
digambarkan sebagai vektor. Dua peubah berkorelasi positif digambarkan
sebagai dua vektor dengan arah yang sama atau membentuk sudut lancip, dua
peubah berkorelasi negatif digambarkan sebagai dua vektor dengan arah
berlawanan atau membentuk sudut tumpul, dan apabila sudut yang dibentuk
siku-siku maka dua peubah tersebut tidak saling berkorelasi.
4. Keterkaitan peubah dengan objek. Informasi ini digunakan untuk melihat
keunggulan dari setiap objek. Objek yang letaknya searah vektor peubah,
menunjukkan objek tersebut nilainya di atas rata-rata, jika berlawanan arah
berarti nilainya di bawah rata-rata, jika hampir di tengah-tengah berarti
nilainya mendekati rata-rata.
Analisis Biplot adalah peragaan secara grafik dari baris dan kolom sebuah
matriks data
, dengan baris mewakili objek dan kolom mewakili peubah.
Dalam setiap aplikasi, analisis biplot dimulai dengan mentransformasikan matriks
sebagai matriks data asal yang terkoreksi terhadap nilai rata-rata kolomnya
menjadi matriks
yang akan digambarkan (Aitchison dan Greenacre, 2001),
11'
(1)
,
dengan 1 adalah vektor berukuran n×1 yang semua elemennya bernilai 1.
Matriks koragam
yang diperoleh dari matriks
ialah:
(2)
,
sedangkan matriks korelasi
=
yang diperoleh dari
matriks
,
dengan
1
1
1
,
,....,
= diag
s11 s 22
s pp
(3)
adalah matriks diagonal dengan
elemen diagonal utama 1 s ii ; i = 1,2, . . ., p. Elemen
sudut
ialah:
juga merupakan kosinus
antara vektor peubah ke-i dan ke-j :
.
(4)
, maka jarak Euclid antara objek ke-i
Misalnya matriks
dan ke-j didefinisikan oleh:
(5)
,
dan jarak Mahalanobis antara objek ke-i dan ke-j adalah:
.
Apabila matriks
(6)
berpangkat r dengan r ≤ min {n, p} maka dengan
menggunakan PNS matriks
dapat diuraikan menjadi:
(7)
dengan
adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya merupakan
akar dari eigennilai-eigennilai positif matriks
, ...,
), dengan
singular dari
atau
atau
, yaitu
> 0. Nilai
dan
= diag ( ,
disebut nilai
merupakan eigennilai-eigennilai positif matriks
. Matriks
dan
adalah matriks ortonormal kolom, sehingga
(matriks identitas berdimensi r). Matriks
adalah matriks yang
kolom-kolomnya merupakan eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai
positif dari matriks
dan
, yaitu
adalah matriks yang
kolom-kolomnya merupakan eigenvektor-eigenvektor yang bersesuaian dengan
eigennilai-eigennilai positif dari matriks
, yaitu
.
Teorema Eckart-Young (Aitchison dan Greenacre, 2001) menyatakan
bahwa jika matriks
dihitung dengan s pertama nilai dan vektor singular yang
bersesuaian, sebagai contoh untuk s = 2 :
,
=
kemudian karena matriks
(8)
sebagai pendekatan terbaik bagi
maka :
(9)
menjadi minimum, dengan
merupakan notasi dari norma Frobenius.
Dalam Jolliffe (2002), dengan mendefinisikan
maka untuk α
dan
[0,1]:
,
dan elemen ke-(
) dari matriks
(10)
dapat ditulis:
(11)
,
dengan
,
merupakan vektor baris ke-i dari matriks
merupakan vektor baris ke-j dari matriks
mempunyai r elemen.
, i = 1, 2, …, n dan
, j = 1, 2, …, p; di mana vektor
dan
pada ruang dimensi s < r, dapat didekati dengan
Untuk menggambarkan
menggunakan matriks berpangkat s,
=
=
.
Biasanya digunakan s = 2, sehingga koordinat-koordinat
(12)
dan
dapat
digambarkan dalam ruang berdimensi dua (Lipkovich dan Smith, 2002).
Pengambilan nilai α tertentu berimplikasi penting dalam interpretasi biplot.
Secara umum untuk setiap nilai α yang digunakan, penumpangtindihan vektor
dan
yang diplot pada ruang yang sama diperoleh nilai amatan peubah ke-j pada
objek ke-i yang telah dikoreksi terhadap nilai tengahnya yaitu
. Nilai
amatan tersebut bertanda positif bila kedua vektor tersebut searah, yaitu sudut
kedua vektor tersebut ada dalam [0, ), bertanda negatif bila kedua vektor tersebut
berlawanan arah, yaitu sudut kedua vektor tersebut ada dalam ( , ] dan bernilai
nol bila kedua vektor tersebut saling tegak lurus, yaitu sudut kedua vektor tersebut
. Posisi relatif titik-titik
dan
akan memberikan informasi tentang objek-
objek yang mempunyai nilai relatif besar, rataan, atau kecil dari peubah-peubah
yang diamati.
1. Jika α = 0, maka
dan
, akibatnya :
,
(13)
sehingga diperoleh:
a.
, dengan
adalah koragam peubah ke-i dan ke-j.
Artinya, penggandaan titik antara vektor
dan
akan memberikan
gambaran koragam antara peubah ke-i dan ke-j.
b.
=
,
=
, artinya panjang vektor tersebut akan
memberikan gambaran tentang keragaman peubah ke-i. Makin panjang
vektor
dibandingkan dengan vektor
peubah
dibanding peubah
.
maka makin besar keragaman
c. Korelasi antara peubah ke-i dan ke-j dijelaskan oleh kosinus sudut antara
dan
(misalnya : θ), yaitu :
cos
=
=
=
Berdasarkan sudut yang dibentuk antara vektor
(14)
.
dan
, korelasi peubah
ke-i dan ke-j dapat dijelaskan sebagai berikut:
1) semakin besar korelasi positifnya jika θ mendekati 0, dan korelasi
sama dengan 1 jika θ = 0,
2) semakin besar korelasi negatifnya jika θ mendekati π, dan korelasi
sama dengan -1 jika θ = π, dan
3) semakin kecil korelasi positif dan negatifnya jika θ mendekati
dan
tidak berkorelasi apabila θ = .
d. Jika X berpangkat p maka
, dengan
adalah
matriks koragam yang diperoleh dari . Berarti kuadrat jarak Euclid antara
vektor
dan
antara vektor
2. Jika α =1, maka
pada biplot sebanding dengan kuadrat jarak Mahalanobis
dan
(Siswadi dan Suharjo, 1999).
dan
atau
;
akibatnya:
,
(15)
sehingga diperoleh
a.
, artinya kuadrat jarak Euclid
antara
b. Posisi
dan
akan sama dengan kuadrat jarak Euclid antara
dan
.
dalam plot akan sama dengan posisi objek ke-i dengan
menggunakan r komponen utama pertama.
c. Vektor kolom
sama dengan vektor
komponen utama ke-j.
yang merupakan koefisien untuk
Dari interpretasi biplot di atas, penguraian
tidak bersifat khas. Jika
α = 1 maka g-plot diperoleh dengan memisalkan
matriks
dan
, baris ke-i
akan digunakan untuk merepresentasikan baris ke-i matriks
, yang
berarti merepresentasikan objek ke-i, sedangkan baris ke-j matriks
akan
digunakan untuk merepresentasikan kolom ke-j matriks
, yang berarti
merepresentasikan peubah ke-j. Sedangkan jika α = 0 maka h-plot diperoleh
dengan memisalkan
dan
yang merupakan gambaran ragam dan
korelasi di dalam grafik.
Ukuran Kesesuaian Biplot Biasa
Menurut Gabriel (2002), biplot tidak hanya sebagai pendekatan matriks data
dengan menggunakan matriks
, tetapi juga koragam dan korelasi
antarpeubah, serta kemiripan antarobjek.
matriks
matriks
sebagai pendekatan dari
terkait pada matriks koragam dan korelasi antarpeubah, sedangkan
sebagai pendekatan bagi
terkait pada ukuran kemiripan objek.
Rumus umum yang dikemukakan oleh Gabriel untuk ukuran kesesuaian
biplot (Goodness of Fit of Biplot) adalah sebagai berikut
(16)
,
dengan
dan
adalah suatu matriks, di mana
merupakan pendekatan
.
Ukuran kesesuaian biplot sebagai ukuran kedekatan dari tiga bentuk matriks,
yaitu:
1. Kesesuaian data :
GF
2. Kesesuaian peubah :
GF
3. Kesesuaian objek :
GF
(17)
.
.
.
(18)
(19)
Makin besar (mendekati 100%) nilai ukuran kesesuaian untuk memperoleh
gambaran layak tidaknya analisis biplot dalam ruang dimensi s dengan matriks
sebagai matriks pendekatan terbaik berpangkat s, makin sesuai matriks
pendekatannya merepresentasikan matriks awalnya dan karenanya makin layak
analisis biplot digunakan untuk penarikan kesimpulan (Siswadi dan Suharjo,
1999).
Analisis Peubah Kanonik
Pendekatan standar untuk perlakuan data peubah ganda dengan beberapa
objek diidentifikasi a priori, kelompok memiliki sejarah panjang dalam literatur
statistika, adalah analisis peubah kanonik (APK, Canonical Variate Analysis)
yang diperkenalkan oleh Fisher (1936). APK merupakan salah satu teknik
statistika untuk analisis data dengan peubah ganda yang berbasis analisis
pengelompokan data sehingga ragam antarkelompok maksimum dan ragam di
dalam kelompok minimum (Varas et al. 2005).
Salah satu pendekatan dalam APK ialah mencari peubah kanonik yang
merupakan kombinasi linear dari peubah asal yang akan menghasilkan cara
terbaik dalam pemisahan kelompok-kelompok tersebut. Peubah ini akan
memberikan nilai sedekat mungkin bagi objek-objek dalam kelompok yang sama
dan sebesar mungkin bagi objek-objek antarkelompok.
Andaikan ada n objek dari m kelompok contoh acak dengan masing-masing
berukuran n1, n2, ..., nm (n1 + n2 + ... + nm = n) dengan p peubah yang diamati,
X1, X2, ..., Xp. Misalnya
= ( X1, X2, ..., Xp) adalah vektor yang mewakili peubah,
adalah matriks data asal yang telah terkoreksi terhadap nilai rata-rata
kolomnya, dan
adalah matriks indikator m kelompok (peubah dummy) yang
diberikan oleh:
.
(20)
Definisikan:
= diag (n1, n2, ..., nm),
(21)
yaitu matriks diagonal berukuran m×m dengan elemen diagonal utamanya
merupakan banyak objek dari setiap kelompok dan
m
p
merupakan matriks yang
setiap barisnya merupakan vektor rata-rata dari peubah dalam setiap kelompok,
yaitu:
.
(22)
Analisis ragam antarkelompok dan dalam kelompok dapat dikonstruksi
seperti pada Tabel 1.
Tabel 1 Analisis ragam antarkelompok dan dalam kelompok
Sumber Keragaman
Antarkelompok
(between group)
Dalam kelompok
(within group)
Total
Derajat Bebas Jumlah Kuadrat dan Hasil Kali
db
JKK
m–1
n–m
n–1
Untuk matriks jumlah kuadrat dan hasil kali (JKK, sums of squares and
products) data dalam kelompok dapat ditulis juga sebagai:
,
(23)
adalah matriks JKK data dalam kelompok k, untuk k = 1, 2, ..., m,
dengan
untuk j, j' = 1, 2, ..., p, dan
yaitu
didefinisikan oleh:
,
(24)
dengan I1 = {1, 2, …, n1}, I2 = {n1 + 1, n1 + 2, …, n1 + n2}, …, Im =
,
adalah rata-rata dari peubah j dalam kelompok k, yaitu
dan nk adalah banyaknya objek dari kelompok k dengan
. Sedangkan matriks JKK data antarkelompok dapat ditulis sebagai:
,
(25)
merupakan rata-rata keseluruhan dari peubah j, yaitu
dengan
dan
.
Tujuannya, berdasarkan pengukuran peubah X1, X2, ..., Xp secara serempak,
akan memaksimumkan rasio antara ragam antarkelompok dengan ragam dalam
kelompok. Untuk mencapai tujuan ini, transformasikan peubah vektor x, ke dalam
peubah baru, yang membuat ragam yang tinggi antarkelompok terhadap ragam
dalam kelompok. Jika transformasi dilambangkan oleh
dicari adalah vektor
,
sehingga
, maka yang akan
maksimum dengan kendala
yaitu solusi dibatasi untuk vektor dengan panjang satu satuan
terhadap matriks
. Fungsi
yang akan dimaksimumkan merupakan rasio
antara ragam antarkelompok dengan ragam dalam kelompok. Ini adalah fungsi
homogen berderajat nol di
dan invarian terhadap perubahan skala.
Sekarang akan dicari vektor
yang dapat memaksimumkan fungsi
,
. Menggunakan pengali Lagrange, berarti yang akan
dengan kendala
dimaksimumkan adalah fungsi
,
(26)
sehingga,
,
(27)
(28)
,
atau
.
(29)
Ini berarti maksimum yang dicari adalah
Matriks
merupakan matriks nonsingular, sehingga dengan mengalikan
persamaan (27) dengan
, diperoleh
.
Artinya, vektor
(30)
atau bobot kanonik yang dapat memaksimumkan
eigenvektor dari matriks
adalah
yang bersesuaian dengan eigennilai terbesar
.
Transformasi yang diperoleh dari eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai
terbesar disebut peubah kanonik pertama. Peubah kanonik kedua diperoleh dari
eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai terbesar kedua, dan begitu pula
untuk mencari peubah kanonik yang lainya. Banyaknya peubah kanonik yang
= min (p, m – 1).
mungkin diperoleh adalah r = pangkat (
Semua penyelesaian dari (28) dapat dikumpulkan bersama dalam bentuk
,
dengan
≥
dan
dan
> 0, sehingga
= diag ( ,
(31)
, ...,
), di mana
≥ ...
. Jika r = p, maka dapat ditulis sebagai
. Dengan mengalikan persamaan (31) dengan
.
Jika matriks
≥
diperoleh
(32)
tidak simetris, dalam perhitungan eigenvektor dan
peubah kanonik secara komputasi lebih menguntungkan menggunakan matriks
berukuran p×p daripada matriks
simetris
Dekomposisi spektral dari matriks simetris
(Gittins, 1985).
diberikan oleh:
,
dengan
(33)
adalah suatu matriks berukuran p×p yang elemen-elemennya
eigenvektor dan
adalah matriks diagonal yang memiliki eigennilai pada
diagonal utamanya.
Berdasarkan asumsi tersebut persamaan (27) dapat ditulis menjadi
.
Jadi, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai
,
dengan
dan
(34)
= 1.
Persamaan (34) menyatakan bahwa
adalah eigenvektor dari matriks
yang bersesuaian dengan eigennilai
sehingga,
dan
=
,
.
Semua kombinasi linear untuk sebuah objek dengan nilai-nilai
diberikan
oleh:
.
(35)
Hal ini memberikan sebuah transformasi dari peubah asal menjadi himpunan
peubah baru yang dikenal sebagai peubah kanonik. Ruang yang dihasilkan oleh
peubah-peubah ini disebut ruang kanonik. Rata-rata kelompok pada ruang
kanonik disebut juga rata-rata kanonik diberikan oleh:
,
(36)
dan transformasi seluruh himpunan objek pada ruang kanonik diberikan oleh
.
Sehingga:
.
(37)
Artinya, jarak Euclid antara rata-rata dalam ruang peubah kanonik bersesuaian
dengan jarak Mahalanobis dalam ruang peubah asal. Jadi, ruang peubah kanonik
dapat dianggap sebagai ruang Euclid.
Peubah kanonik yang diperoleh, y1, y2, …, yr merupakan kombinasi linear
yang dipilih sehingga y1 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok, peubah
y2 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok yang tidak dapat dicakup oleh
y1, peubah y3 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok yang tidak dapat
dicakup oleh y1 dan y2, dan seterusnya. Diharapkan beberapa peubah kanonik
pertama, misalnya dua peubah kanonik pertama, cukup layak digunakan sehingga
masing-masing objek dan rataannya dapat digambarkan dalam ruang berdimensi
dua. Bila hal ini dimungkinkan maka bagaimana baiknya upaya pemisahan
antarkelompok dan penentuan objek ke suatu kelompok akan lebih mudah
dilakukan.
Analisis Biplot Kanonik
Analisis biplot kanonik merupakan representasi grafik dari APK,
dikembangkan oleh Gabriel (1995) untuk memperoleh representasi secara
serempak antara rata-rata kelompok dan peubah di mana dimungkinkan tidak
hanya
untuk
menggambarkan
menetapkan
peubah
perbedaan
yang
antarkelompok
dianggap
dominan
tetapi
dalam
juga
untuk
membedakan
antarkelompok (Vallejo-Arboleda et al. 2007).
Misalnya
adalah matriks data asal yang terkoreksi terhadap rata-rata
kolomnya dan
adalah matriks indikator m kelompok (peubah dummy).
Analisis biplot kanonik merupakan peragaan secara grafik dari baris dan kolom
sebuah matriks
, dengan baris mewakili rata-rata kelompok dan kolom
mewakili peubah. Matriks
merupakan rata-rata objek masing-masing kelompok
untuk setiap peubah yang diamati dan terkoreksi terhadap nilai rata-rata
keseluruhan.
Untuk memperhitungkan pengaruh penyebaran objek dan skala pengukuran
peubah, diperkenalkan pembobotan sehubungan dengan matriks JKK data dalam
kelompok dan yang lainnya berkaitan dengan banyaknya objek, hal ini karena
akurasi rata-rata tergantung pada ukuran yang telah dihitung, sehingga dapat
didefinisikan:
.
(38)
Artinya, baris dari
terboboti oleh banyaknya objek dan peubah pada kolom
terboboti oleh invers dari matriks JKK dalam kelompok (Gabriel, 1972), dengan
,
(39)
memiliki eigenvektor
sehingga
dan eigennilai
, dengan
.
Mengkonstruksi biplot dari matriks
dengan mengkonstruksi biplot untuk matriks
dengan ukuran tersebut akan setara
. Biplot representasi dari matriks
diperoleh dari PNS, yaitu
,
dengan
akar
(40)
adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya merupakan
dari
eigennilai-eigennilai
positif
matriks
, dengan
disebut nilai singular dari
positif matriks
atau
,
atau
. Nilai
dan
merupakan eigennilai-eigennilai
. Matriks
dan
adalah matriks ortonormal kolom,
(matriks identitas berdimensi r). Matriks
sehingga
yaitu
adalah
matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor yang bersesuaian dengan
eigennilai positif dari matriks
, yaitu
matriks
merupakan
yang
kolom-kolomnya
dan
adalah
eigenvektor-eigenvektor
bersesuaian dengan eigennilai-eigennilai positif dari matriks
yang
, yaitu
.
Dari persamaan (39) diperoleh:
.
Penyelesaian untuk
persamaan (40), diperoleh:
(41)
diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (38) ke
atau
,
(42)
yang ekuivalen dengan penguraian nilai singular umum (PNSU, Generalized
Singular Value Decomposition) dari matriks
dalam metrik
dan
, yaitu:
,
dengan
dan
dan
(43)
. Dengan memilih matriks definit positif
, sehingga
, dan
. PNSU menyediakan pendekatan terbaik
pangkat rendah dari matriks menggunakan nilai dan vektor singular pertama.
Penguraian pada (42) memungkinkan untuk mengkonstruksi representasi
biplot untuk matriks rata-rata kelompok, yaitu:
,
(44)
dengan
, dan
,
di mana
. Elemen ke-(
) dari matriks
dapat
ditulis sebagai:
,
dengan
(45)
merupakan vektor baris ke-i dari matriks
merupakan vektor baris ke-j dari matriks
, i = 1, 2, …, n dan
, j = 1, 2, …, p; di mana vektor
dan
mempunyai r elemen.
Untuk menggambarkan
pada ruang dimensi s < r, dapat didekati
menggunakan matriks berpangkat s,
=
dengan mengambil s kolom pertama matriks
kelompok m) dan s kolom pertama matriks
,
(46)
sebagai penanda baris (rata-rata
sebagai penanda kolom (peubah p).
Biasanya digunakan s = 2, sehingga koordinat-koordinat
dan
dapat
digambarkan dalam ruang berdimensi dua. Pada diagram pencar, penanda baris
diwakili sebagai titik dan penanda kolom sebagai vektor.
Matriks
dan
pada biplot kanonik memenuhi sifat sebagai berikut:
1. Berdasarkan PNS matriks
yang diberikan dalam persamaan (40), diperoleh
, dan
.
Oleh karena itu, matriks
dapat dinyatakan dengan mengganti ekspresi P dan
pada (38) sebagai:
,
dan mengganti
(47)
dalam persamaan (41) kemudian mensubstitusikannya ke
(47) diperoleh:
.
Persamaan (48) dapat menafsirkan matriks
(48)
sebagai proyeksi
pada daerah
pemisahan maksimum dari kelompok, yang dihasilkan oleh kolom dari
matriks , dan
(49)
dengan
adalah matriks JKK data dalam kelompok,
adalah vektor rata-
rata dari kelompok i. Artinya, kuadrat jarak Euclid antara vektor
pada biplot sama dengan kuadrat jarak Mahalanobis antara vektor
2. Perkalian
dari penanda baris
pendekatan rata-rata
dengan penanda kolom
dan
dan
.
merupakan
dari kelompok ke-k pada peubah ke-j yang telah
terkoreksi terhadap rata-rata terboboti seluruh objek. Sehingga memungkinkan
untuk karakterisasi perbedaan antarkelompok,
.
(50)
3. Kualitas representasi (atau ukuran kesesuaian dari matriks data) dapat didekati
oleh:
.
4. Matriks
(51)
sebagai pendekatan matriks JKK data dalam kelompok, yaitu:
.
(52)
5. Panjang penanda kolom sebanding dengan variabilitas dalam kelompokkelompok,
=
, dengan
=
.
6. Kosinus sudut antarpeubah dapat diinterpretasikan sebagai pendekatan dari
korelasinya.
Analisis Procrustes
Dalam Bakhtiar dan Siswadi (2011) analisis Procrustes adalah alat analisis
berdasarkan asas kuadrat terkecil yang dapat digunakan untuk mengukur
kemiripan maksimal antarkonfigurasi titik melalui serangkaian transformasi
linear. Analisis ini bertujuan untuk membandingkan dua konfigurasi yang
mewakili
unit pengamatan yang sama. Untuk melihat kesamaan bentuk dan
ukuran dari dua konfigurasi maka setelah kedua konfigurasi dilakukan translasi
salah satu konfigurasi dibuat tetap sementara konfigurasi yang lainnya
ditransformasikan sehingga paling sesuai dengan konfigurasi pertama.
Misalnya
berdimensi
adalah konfigurasi
titik dalam ruang Euclid
dengan koordinat diberikan oleh matriks
berikut
,
dengan
(53)
, untuk
yang merupakan konfigurasi
titik dalam ruang Euclid berdimensi . Konfigurasi
ini akan dipasangkan dengan konfigurasi
masing baris dari konfigurasi
dan konfigurasi
dalam bentuk baris, dengan masing-
dipasangkan dengan baris konfigurasi
bersesuaian. Diasumsikan bahwa dimensi kedua konfigurasi
dengan demikian tiap matriks memiliki jumlah
maka
dan
yang
adalah sama,
kolom yang sama. Jika
kolom nol dapat ditambahkan pada matriks
sehingga kedua
konfigurasi berada pada ruang dimensi yang sama. Dengan demikian tanpa
mengurangi perumuman dapat diasumsikan bahwa
bahwa salah satu konfigurasi,
. Diasumsikan pula
, dibuat tetap dan konfigurasi yang lain, , akan
ditransformasi agar sesuai dengan konfigurasi .
Dalam menentukan tingkat kesesuaian dua konfigurasi, analisis Procrustes
mendasarkan penghitungannya pada jumlah kuadrat jarak antartitik yang
bersesuaian, disebut juga jarak Procrustes, yaitu
.
(54)
Dengan mempertimbangkan perubahan posisi, orientasi, dan skala dua
konfigurasi yang dibandingkan, analisis Procrustes mensyaratkan tiga bentuk
transformasi geometris harus dilakukan untuk mendapatkan E yang optimal.
Ketiga bentuk transformasi ini adalah translasi, rotasi dan dilasi.
Translasi
Translasi dalam analisis Procrustes merupakan proses penggeseran semua
titik pada konfigurasi
dan konfigurasi
dengan jarak yang tetap dan arah yang
sama sehingga kedua konfigurasi memiliki sentroid (titik berat) yang sama.
Penguraian jumlah kuadrat persamaan (54) menghasilkan
.
(55)
Karena bentuk kedua dari ruas kanan persamaan (55) bernilai nol, maka
diperoleh
,
(56)
di mana
1
,
1 ,
,
dengan 1 adalah vektor berukuran
dan
yang semua elemennya bernilai 1,
menyatakan sentroid dari masing-masing konfigurasi
dinyatakan sebagai
dan
.
dan
yang
Penyesuaian optimal dengan translasi diperoleh dengan menghimpitkan
sentroid X dan Y (
. Jadi, norma kuadrat perbedaan minimum dua
konfigurasi setelah penyesuaian dengan translasi adalah:
(57)
Rotasi
Rotasi adalah proses pemindahan seluruh titik dengan sudut yang tetap
tanpa mengubah jarak setiap titik terhadap sentroidnya. Dalam analisis Procrustes
rotasi dilakukan dengan cara menggandakan konfigurasi
ortogonal
dengan matriks
yang meminimumkan jarak antarkonfigurasi.
Norma kuadrat perbedaan kedua konfigurasi setelah penyesuaian dengan
rotasi adalah
.
Inf
(58)
Q
Secara aljabar, berdasarkan (54) diperoleh:
.
Untuk memperoleh nilai
yang minimum harus dipilih matriks
ortogonal Q yang memaksimumkan nilai
Misalnya
(59)
.
merupakan hasil penguraian nilai singular bentuk lengkap
dari matriks
, sehingga
, dengan
diagonal dan
merupakan matriks ortogonal, maka
adalah matriks
,
dengan
merupakan perkalian matriks ortogonal, sehingga
juga matriks ortogonal dan berlaku –1 ≤ hij ≤ 1. Sehingga diperoleh
(60)
(61)
.
Jadi, E minimum ketika
, mengakibatkan
,
(62)
atau
.
(63)
Jadi, jarak Procrustes oleh rota
PROVINSI BERDASARKAN PRESTASI MAHASISWA IPB
KUSNANDAR
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Biplot Biasa dan
Kanonik untuk Pemetaan Provinsi Berdasarkan Prestasi Mahasiswa IPB adalah
karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan oleh
pihak lain telah penulis sebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar
Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Agustus 2011
Kusnandar
NRP G551090081
ABSTRACT
KUSNANDAR. Ordinary and Canonical Biplots for Province Mapping Based on
IPB Students’ Achievement. Supervised by SISWADI and N. K. KUTHA
ARDANA.
Biplot is a graphical display of the rows and columns of a data matrix. Ordinary
biplot is the biplot that was introduced by Gabriel (1971). The most general
method for discrimination among groups using multiple observed variables is
canonical variate analysis (CVA). CVA allows us to derive linear combinations
that successively maximize the ratio of ‘between-groups’ to ‘pooled within-group’
sample variance. Biplot representation for CVA is called canonical biplot.
Ordinary and canonical biplots are multivariate analyses that can be used for
mapping of objects. Procrustes analysis is an analysis tool based on the principle
of least squares that can be used to measure the maximum similarity of point of
configurations through a series of linear transformations of translation, rotation
and dilation. Unfortunately, implementation of canonical biplot and goodness of
fit of two matrix configurations with Procrustes analysis has not yet been
integrated in statistical package program. The objectives of this study are to
examine ordinary biplot, canonical biplot and Procrustes analysis; implement the
canonical biplot and Procrustes analysis using functional programming
techniques; and compare provincial mapping using ordinary biplot analysis with
the analysis of canonical biplot based on IPB students’ achievement. As the first
result this study, a program has been written using software Mathematica 8.0 to
integrate the ordinary and canonical biplot with Procrustes analysis. For
implementation purposes, the data used in this study are IPB students’
achievement in 2009/2010 academic year. Province mapping is an important
effort to get an overview of relative position of the province compared to other
provinces based on students’ academic achievement. The results from Procrustes
analysis of the data matrix with its matrix approximation show that in this case the
canonical biplot relatively more suitable to be used. The goodness of fit of
configuration of ordinary and canonical biplot with Procrustes analysis is
relatively high for data, as well as variables and objects, i.e. more than 91%. This
means that the results of ordinary and canonical biplot analysis for mapping the
province based on TPB IPB students’ achievement showed relatively more
similarities than differences. Extreme difference of the object's position (province)
of variables is the province of Sulawesi Utara, Jawa Barat, Banten and Sumatera
Selatan in ordinary biplot has superior in Bahasa Indonesia and Pengantar Ilmu
Pertanian course, whereas the canonical biplot has superior in Bahasa Inggris and
Pendidikan Kewarganegaraan course.
Keywords: ordinary biplot, canonical variate analysis, canonical biplot,
Procrustes analysis, province mapping.
RINGKASAN
KUSNANDAR. Biplot Biasa dan Kanonik untuk Pemetaan Provinsi Berdasarkan
Prestasi Mahasiswa IPB. Dibimbing oleh SISWADI and N. K. KUTHA
ARDANA.
Analisis biplot merupakan salah satu bentuk Analisis Peubah Ganda (APG)
yang dapat memberikan gambaran secara grafik dari suatu matriks data tentang
kedekatan antar objek, keragaman peubah, korelasi antarpeubah serta keterkaitan
objek dengan peubah. Biplot biasa yang dipelajari dalam penelitian ini adalah
biplot yang diperkenalkan oleh Gabriel (1971), sedangkan biplot kanonik
merupakan representasi grafis dari analisis peubah kanonik (APK, Canonical
Variate Analysis). APK merupakan analisis data dengan peubah ganda yang
berbasis analisis pengelompokan data, digunakan untuk memperoleh kombinasi
linear dari peubah-peubah asal yang akan memberikan nilai sedekat mungkin bagi
objek-objek dalam kelompok yang sama dan sebesar mungkin bagi objek-objek
antarkelompok.
Analisis biplot menghasilkan tiga matriks pendekatan yang terkait dengan
data, peubah, dan objek. Ketepatan matriks pendekatan tersebut pada biplot biasa
ditelusuri menggunakan ukuran kesesuaian dari Gabriel (2002) dan analisis
Procrustes sedangkan pada biplot kanonik menggunakan analisis Procrustes.
Analisis Procrustes merupakan alat analisis berdasarkan asas kuadrat terkecil yang
dapat digunakan untuk mengukur kemiripan maksimal antarkonfigurasi titik
melalui serangkaian transformasi linear yaitu translasi, rotasi dan dilasi.
Biplot biasa dengan sistem perintah telah terintegrasi ke dalam beberapa
program paket statistika seperti SAS, R dan Stata serta telah diimplementasikan
ke dalam paket sistem aljabar komputer Mathematica dengan teknik
pemrograman fungsional berbasis GUI (Graphical User Interface). Tetapi,
implementasi biplot kanonik dan ukuran kesesuaian dua konfigurasi
menggunakan analisis Procrustes dengan sistem perintah belum terintegrasi dalam
program paket statistika.
Biplot biasa maupun kanonik dapat memberikan gambaran yang lebih
terinci dalam pemetaan provinsi dalam bidang pendidikan sehingga informasi
yang diperoleh merupakan gambaran perbandingan mutu pendidikan suatu
provinsi dengan provinsi lainnya. Mahasiswa IPB hampir mewakili seluruh
provinsi di Indonesia, diharapkan mampu memberikan gambaran prestasi dan
pemetaan mutu pendidikan setiap daerahnya. Berdasarkan uraian diatas, tujuan
penelitian ini ialah untuk mengkaji analisis biplot biasa, biplot kanonik dan
analisis Procrustes; mengimplementasikan analisis biplot kanonik dan ukuran
kesesuaian dua konfigurasi matriks dengan analisis Procrustes menggunakan
teknik pemrograman fungsional; dan membandingkan pemetaan provinsi
menggunakan analisis biplot biasa dengan analisis biplot kanonik berdasarkan
prestasi mahasiswa IPB.
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder terdiri dari
3047 mahasiswa yang berasal dari 32 provinsi (1 provinsi tidak ada mahasiswa
TPB IPB yang mewakilinya, yaitu Sulawesi Tengah) asal sekolah menengahnya
serta data nilai mutu mata kuliah dan IPK mahasiswa TPB IPB tahun akademik
2009/2010 yang diperoleh dari Direktorat Pendidikan Tingkat Persiapan Bersama
Institut Pertanian Bogor. Sebagai penyederhanaan dan meningkatkan ketepatan
model pada analisis maka dilakukan proses seleksi peubah pada data asal yaitu
proses pengidentifikasian dan pengurangan peubah-peubah yang memberikan
kontribusi informasi yang relatif kecil pada keragaman data.
Penelitian ini menghasilkan paket BiplotKanonik dan GFProcrustes sebagai
implementasi dari biplot kanonik dan ukuran kesesuaian dua konfigurasi
menggunakan analisis Procrustes dengan teknik pemrograman fungsional
Mathematica.
Analisis Procrustes antara matriks data dengan matriks pendekatannya
menghasilkan ukuran kesesuaian pada biplot kanonik relatif lebih besar dari pada
biplot biasa untuk data dan peubah, tetapi untuk objek relatif sama. Hal ini
mengindikasikan bahwa dalam kasus ini biplot kanonik relatif lebih layak
digunakan. Sedangkan analisis Procrustes antara matriks koordinat biplot biasa
dengan koordinat biplot kanonik menghasilkan ukuran kesesuaian yang cukup
tinggi untuk data, peubah maupun objek, yaitu di atas 91%. Hal ini berarti bahwa
hasil dari analisis biplot biasa dan kanonik untuk pemetaan provinsi berdasarkan
prestasi mahasiswa TPB IPB memperlihatkan relatif lebih banyak persamaan dari
pada perbedaannya.
Perbedaan yang ekstrem dari posisi objek (provinsi) terhadap peubah ialah
provinsi Sulawesi Utara, Jawa Barat, Banten dan Sumatera Selatan pada biplot
biasa memiliki keunggulan pada mata kuliah Bahasa Indonesia dan Pengantar
Ilmu Pertanian, sedangkan pada biplot kanonik memiliki keunggulan pada mata
kuliah Bahasa Inggris dan Pendidikan Kewarganegaraan.
Interpretasi biplot kanonik untuk pemetaan provinsi berdasarkan prestasi
mahasiswa TPB IPB memberikan gambaran bahwa provinsi Kalimantan Timur
dan Kepulauan Bangka Belitung memiliki keunggulan pada semua mata kuliah.
Provinsi Kalimantan Selatan, Bengkulu dan Daerah Istimewa Yogyakarta
memiliki keunggulan pada mata kuliah Pendidikan Kewarganegaraan, Bahasa
Indonesia, Bahasa Inggris dan Ekonomi Umum. Provinsi Jawa Tengah, Jawa
Timur dan Kepulauan Riau memiliki keunggulan pada mata kuliah Pengantar
Matematika, Fisika, Biologi dan Pengantar Ilmu Pertanian. Provinsi Gorontalo,
Lampung, Jambi, Nusa Tenggara Timur, Papua Barat, Kalimantan Barat,
Sulawesi Barat memiliki keunggulan pada mata kuliah Pengantar Matematika dan
Pengantar Ilmu Pertanian. Provinsi Sulawesi Utara, Nusa Tenggara Barat, Jawa
Barat, Banten dan Sumatera Selatan memiliki keunggulan pada mata kuliah mata
kuliah Bahasa Inggris dan Pendidikan Kewarganegaraan. Provinsi Sumatera
Barat, DKI Jakarta, Bali dan Riau merupakan provinsi-provinsi yang memiliki
prestasi rata-rata pada semua mata kuliah. Sedangkan provinsi Sumatera Utara,
Sulawesi Tenggara, Sulawesi Selatan, Kalimantan Tengah, Aceh, Papua, Maluku
Utara dan Maluku memiliki prestasi di bawah rata-rata untuk semua mata kuliah.
Kata Kunci: biplot biasa, analisis peubah kanonik, biplot kanonik, analisis
Procrustes, pemetaan
©Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2011
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan
karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik dan tinjauan suatu
masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian
Bogor.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis
ini dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.
BIPLOT BIASA DAN KANONIK UNTUK PEMETAAN
PROVINSI BERDASARKAN PRESTASI MAHASISWA IPB
KUSNANDAR
Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M. S.
Judul Tesis
Nama
NRP
: Biplot Biasa dan Kanonik untuk Pemetaan Provinsi
Berdasarkan Prestasi Mahasiswa IPB
: Kusnandar
: G551090081
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Siswadi, M. Sc.
Ketua
Ir. N. K. Kutha Ardana, M. Sc.
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M. S.
Tanggal Ujian: 5 Agustus 2011
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Dahrul Syah, M. Sc. Agr.
Tanggal Lulus:
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil
diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan
Pebruari 2011 ini ialah biplot, dengan judul Biplot Biasa dan Kanonik untuk
Pemetaan Provinsi Berdasarkan Prestasi Mahasiswa IPB.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Siswadi, M. Sc. dan
Ir. N.K. Kutha Ardana, M. Sc. yang telah membimbing dengan penuh ketekunan
dan kesabaran hingga selesainya penulisan karya ilmiah ini serta Ibu Dr. Ir. Endar
H. Nugrahani, M. S. selaku penguji luar komisi yang telah banyak memberikan
saran. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Ir. Ibnul
Qayim selaku Direktur TPB IPB yang telah memberikan bantuan data nilai mata
kuliah dan IPK mahasiswa TPB IPB tahun akademik 2009/2010, Bapak Donny
Citra Lesmana, S.Si., M. Fin. Math. yang telah membantu dalam hal pengadaan
referensi serta seluruh dosen dan staf pegawai Departemen Matematika FMIPA
IPB atas segala bantuannya. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan pada
Kemenag RI yang telah membiayai penelitian ini. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada kedua orang tua, istri, anak-anak dan seluruh keluarga yang
telah memberikan dukungan, pengertian, doa dan kasih sayangnya serta rekanrekan dan semua pihak yang telah membantu penulis, yang tidak dapat penulis
sebutkan satu persatu.
Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih jauh dari sempurna,
untuk itu saran yang membangun sangat penulis harapkan. Semoga karya ilmiah
ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2011
Kusnandar
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kabupaten Cirebon pada tanggal 29 September 1978
dari ayah Tjarba dan ibu Rumsiti. Penulis merupakan putra kedua dari empat
bersaudara.
Tahun 1996 penulis lulus SMA Negeri Sindanglaut dan pada tahun yang
sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis
memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Kesempatan untuk melanjutkan ke Program Pascasarjana IPB pada Program Studi
Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam diperoleh
pada tahun 2009 melalui beasiswa utusan daerah Kemenag RI. Penulis sekarang
mengajar di MTs PUI Bogor.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ............................................................................................. xii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................xiii
DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................... xiv
PENDAHULUAN
Latar Belakang ........................................................................................... 1
Tujuan Penelitian ....................................................................................... 3
TINJAUAN PUSTAKA
Analisis Biplot Biasa .................................................................................. 5
Ukuran Kesesuaian Biplot Biasa............................................................... 10
Analisis Peubah Kanonik ......................................................................... 11
Analisis Biplot Kanonik ........................................................................... 15
Analisis Procrustes ................................................................................... 19
METODE PENELITIAN
Sumber Data ............................................................................................. 25
Peubah Penelitian ..................................................................................... 25
Objek Penelitian ....................................................................................... 26
Metode Penelitian ..................................................................................... 27
HASIL DAN PEMBAHASAN
Implementasi Biplot Kanonik dan Analisis Procrustes
dengan Mathematica ................................................................................. 29
Eksplorasi Data ........................................................................................ 31
Gambaran Umum Provinsi ....................................................................... 35
Seleksi Peubah ......................................................................................... 36
Analisis Biplot Kanonik dan Kanonik Data Asal .................................... 37
Analisis Biplot Kanonik dan Kanonik dengan Seleksi Peubah ............... 45
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan .............................................................................................. 53
Saran ......................................................................................................... 54
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 55
LAMPIRAN ...................................................................................................... 57
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Analisis ragam antarkelompok dan dalam kelompok ................................. 12
2 Peubah penelitian ........................................................................................ 25
3 Konversi huruf mutu ................................................................................... 26
4 Provinsi asal mahasiswa dan banyak mahasiswa yang mewakilinya ......... 26
5 Sebaran nilai akhir mata kuliah TPB IPB tahun akademik 2009/2010 ........ 31
6 Ukuran pemusatan dan penyebaran nilai mata kuliah dan IPK mahasiswa
TPB IPB tahun akademik 2009/2010 .......................................................... 32
7 Matriks korelasi Pearson data asal .............................................................. 34
8 Ukuran kesesuaian biplot biasa dan kanonik data asal ............................... 39
9 Ukuran kesesuaian koordinat biplot biasa dan kanonik data asal ............... 39
10 Ukuran kesesuaian biplot biasa dan kanonik dengan seleksi peubah ......... 47
11 Ukuran kesesuaian koordinat biplot biasa dan kanonik dengan seleksi
peubah .......................................................................................................... 48
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Diagram kotak garis nilai mata kuliah dan IPK .......................................... 33
2 Peringkat provinsi berdasarkan rata-rata IPK .............................................. 36
3 Biplot biasa pada data asal ........................................................................... 38
4 Biplot kanonik pada data asal ...................................................................... 38
5 Biplot biasa pada data dengan seleksi peubah ............................................. 46
6 Biplot kanonik pada data dengan seleksi peubah ........................................ 47
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Program paket BiplotKanonik ..................................................................... 59
2 Program paket GFProcrustes ....................................................................... 60
3 Statistik deskriptif data asal ........................................................................ 61
4 Tabel nilai rata-rata mata kuliah dan IPK mahasiswa TPB IPB tahun
akademik 2009/2010 ................................................................................... 62
5 Korelasi Pearson data asal ........................................................................... 63
6 Eigenanalisis dari analisis komponen utama berbasis matriks koragam .... 64
7 Peringkat provinsi berdasarkan rata-rata IPK ............................................. 65
8 Biplot biasa pada data asal .......................................................................... 66
9 Biplot kanonik pada data asal ..................................................................... 67
10 Biplot biasa pada data dengan seleksi peubah ............................................ 68
11 Biplot kanonik pada data dengan seleksi peubah ........................................ 69
12 Matriks koordinat biplot biasa pada data asal ............................................. 70
13 Matriks koordinat biplot kanonik pada data asal ........................................ 71
14 Matriks koordinat biplot biasa pada data dengan seleksi peubah ............... 72
15 Matriks koordinat biplot kanonik pada data dengan seleksi peubah ........... 73
16 Matriks jumlah kuadrat dan hasil kali data dengan seleksi peubah ............ 74
17 Matriks jumlah kuadrat dan hasil kali data antarkelompok pada data asal .. 75
18 Matriks jumlah kuadrat dan hasil kali data dalam kelompok pada data asal 76
19 Matriks jumlah kuadrat dan hasil kali total data kelompok pada data asal .. 77
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari seringkali dijumpai pengamatan yang
melibatkan lebih dari satu peubah (peubah ganda) sehingga sulit untuk
diinterpretasikan secara langsung. Oleh karena itu perlu dilakukan pereduksian
dimensi data peubah yang cukup banyak tersebut menjadi peubah yang lebih
sederhana dengan tetap mempertahankan informasi peubah asalnya. Analisis
Peubah Ganda (APG) merupakan analisis statistika yang melakukan analisis
secara serempak terhadap peubah ganda tersebut. Dengan menyertakan lebih dari
satu peubah dengan keterkaitannya, diharapkan akan dapat memberikan tambahan
informasi daripada bila hanya dilakukan pada masing-masing peubah secara
terpisah (Siswadi dan Suharjo, 1999). Selain itu melalui analisis peubah ganda
juga dapat dilihat pengelompokan objek berdasarkan kemiripan peubah-peubah
penyusunnya.
Analisis biplot merupakan salah satu teknik yang populer dalam analisis
data peubah ganda. Biplot pertama kali diperkenalkan oleh Gabriel (1971).
Analisis ini merupakan salah satu bentuk APG yang dapat memberikan gambaran
secara grafik tentang keragaman peubah, kedekatan antarobjek serta keterkaitan
peubah dengan objek yang dapat digunakan untuk menggambarkan sebuah tabel
ringkasan dengan banyak peubah agar lebih menarik, informatif, komunikatif dan
artistik. Dari biplot diperoleh tiga matriks pendekatan yang terkait dengan data,
peubah, dan objek. Ukuran kesesuaian dari ketiga matriks tersebut dikemukakan
oleh Gabriel (2002).
Analisis
paling umum
untuk
diskriminasi
antarkelompok, dengan
menggunakan beberapa peubah yang diamati, adalah analisis peubah kanonik
(APK, Canonical Variate Analysis). APK digunakan untuk memperoleh
kombinasi linear dari peubah-peubah asal yang akan memberikan nilai sedekat
mungkin bagi objek-objek dalam kelompok yang sama dan sebesar mungkin bagi
objek-objek antarkelompok. Representasi grafis dari APK disebut biplot kanonik
(Varas et al. 2005).
Analisis Procrustes adalah alat analisis berdasarkan asas kuadrat terkecil
yang dapat digunakan untuk mengukur kemiripan maksimal antarkonfigurasi titik
melalui serangkaian transformasi linear (Bakhtiar dan Siswadi, 2011). Bentuk
transformasi tersebut adalah translasi, rotasi dan dilasi. Analisis ini bertujuan
untuk membandingkan dua konfigurasi yang mewakili
unit pengamatan yang
sama sebagai nilai numerik. Nilai numerik yang dihasilkan dapat digunakan
sebagai ukuran kesesuaian (goodness of fit) antarkonfigurasi. Untuk melihat
kesamaan bentuk dan ukuran dari dua konfigurasi maka setelah kedua konfigurasi
dilakukan translasi salah satu konfigurasi dibuat tetap sementara konfigurasi yang
lainnya ditransformasikan sehingga paling sesuai dengan konfigurasi pertama.
Biplot biasa dengan sistem perintah telah terintegrasi ke dalam beberapa
program paket statistika seperti SAS, R dan Stata. Sejalan dengan makin
berkembangnya teknik komputasi dengan sistem aljabar komputer (SAK), biplot
biasa telah diimplementasikan ke dalam paket SAK Mathematica dengan teknik
pemrograman fungsional berbasis GUI (Graphical User Interface) (Ardana dan
Siswadi, 2009). Tetapi, implementasi biplot kanonik dan ukuran kesesuaian dua
konfigurasi menggunakan analisis Procrustes dengan sistem perintah belum
terintegrasi dalam suatu program paket statistika.
Pembangunan pendidikan di Indonesia dirasakan belum merata, hal ini
berakibat kepada mutu pendidikan yang tidak merata, padahal taraf kemajuan
bidang pendidikan menjadi modal dasar dalam mencapai sumber daya manusia
berkualitas. Untuk menentukan arah kebijakan yang baik dalam bidang
pendidikan maka diperlukan suatu upaya pemetaan. Institut Pertanian Bogor (IPB)
merupakan salah satu perguruan tinggi negeri yang dipercaya untuk mendidik
mahasiswa dari seluruh provinsi di Indonesia. Mahasiswa IPB hampir mewakili
seluruh provinsi di Indonesia, diharapkan mampu memberikan gambaran prestasi
dan pemetaan mutu pendidikan setiap daerahnya. Hasil pemetaan provinsi
berdasarkan prestasi mahasiswa IPB diharapkan dapat digunakan untuk
mengevaluasi kinerja pemerintah masing-masing provinsi serta perencanaan dan
target peningkatan mutu lulusan sekolah menengah. Indikator prestasi mahasiswa
biasanya dikaitkan dengan pencapaian prestasi nilai mutu tiap mata kuliah yang
diambil dan Indeks Prestasi Kumulatif (IPK)nya. Pencapaian prestasi tersebut
salah satunya dipengaruhi oleh mutu masukan, di mana seleksi penerimaan
mahasiswa baru program sarjana IPB dilakukan dengan prinsip education for
everyone yang pada tahun akademik 2009/2010 dilaksanakan melalui 5 (lima)
jalur, yaitu: (1) Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI); (2) Seleksi Nasional
Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN); (3) Undangan khusus bagi lulusan
SMA yang mempunyai prestasi nasional maupun internasional; (4) Seleksi
Penerimaan Mahasiswa Beasiswa Utusan Daerah (BUD); dan (5) Ujian Talenta
Mandiri (UTM). Hasil seleksi tersebut menunjukkan mahasiswa yang menuntut
ilmu di IPB sangat beragam latar belakang kualitas pendidikan antarsekolah dan
antarprovinsinya.
Suatu analisis diperlukan untuk memperoleh gambaran yang lebih terinci
dalam pemetaan provinsi sehingga informasi yang diperoleh merupakan gambaran
mutu pendidikan di sekolah menengah masing-masing provinsi berdasarkan
prestasi mahasiswa TPB IPB. Pengamatan lebih dari satu peubah (peubah ganda)
dianalisis secara serempak menggunakan APG, salah satunya adalah dengan
analisis biplot. Dalam analisis biplot biasa, data yang merepresentasikan provinsi
sebagai gambaran objek dan mata kuliah sebagai gambaran peubah dari sejumlah
mahasiswa berupa data asal tanpa melakukan proses manipulasi (data disagregat).
Sedangkan dalam analisis biplot kanonik data diperoleh dengan mencari rataratanya
untuk
setiap
provinsi
kemudian
ditransformasikan
dengan
memperhitungkan banyak objek dan keragaman dalam setiap provinsi.
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini ialah:
1. Mengkaji analisis biplot biasa, biplot kanonik dan analisis Procrustes.
2. Mengimplementasikan analisis biplot kanonik dan ukuran kesesuaian dua
konfigurasi matriks dengan analisis Procrustes menggunakan teknik
pemrograman fungsional.
3. Membandingkan pemetaan provinsi menggunakan analisis biplot biasa dengan
analisis biplot kanonik berdasarkan prestasi mahasiswa IPB (studi kasus
mahasiswa TPB IPB tahun akademik 2009/2010).
TINJAUAN PUSTAKA
Analisis Biplot Biasa
Analisis biplot merupakan suatu upaya untuk memberikan peragaan grafik
dari matriks data
dalam suatu plot dengan menumpangtindihkan vektor-vektor
dalam ruang berdimensi rendah, biasanya dua (atau tiga) yang mewakili vektorvektor baris matriks
kolom matriks
(gambaran objek) dengan vektor-vektor yang mewakili
(gambaran peubah). Dari peragaan ini diharapkan diperoleh
gambaran tentang objek, misalnya kedekatan antarobjek, gambaran tentang
peubah, baik tentang keragamannya maupun korelasinya, serta keterkaitan antara
objek-objek dengan peubah-peubahnya. Tampilan objek dalam analisis komponen
utama (AKU, Principal Components Analysis) merupakan kasus khusus dari
analisis biplot dan penghitungan dalam analisis biplot didasarkan pada penguraian
nilai singular (PNS, Singular Value Decomposition) suatu matriks (Siswadi dan
Suharjo, 1999).
Informasi yang dapat diperoleh dari analisis biplot antara lain tentang:
1. Kedekatan antarobjek. Informasi ini dapat dijadikan panduan untuk
mengetahui objek yang memiliki kemiripan karakteristik dengan objek lain.
Dua objek yang memiliki karakteristik sama akan digambarkan sebagai dua
titik dengan posisi yang berdekatan.
2. Keragaman peubah. Informasi ini digunakan untuk melihat apakah ada
peubah yang memiliki nilai keragaman yang hampir sama. Peubah dengan
keragaman kecil digambarkan dengan vektor yang pendek, sebaliknya jika
keragamannya besar digambarkan dengan vektor yang panjang.
3. Korelasi antarpeubah. Informasi ini dapat digunakan untuk mengetahui
bagaimana hubungan satu peubah dengan peubah lainnya. Peubah
digambarkan sebagai vektor. Dua peubah berkorelasi positif digambarkan
sebagai dua vektor dengan arah yang sama atau membentuk sudut lancip, dua
peubah berkorelasi negatif digambarkan sebagai dua vektor dengan arah
berlawanan atau membentuk sudut tumpul, dan apabila sudut yang dibentuk
siku-siku maka dua peubah tersebut tidak saling berkorelasi.
4. Keterkaitan peubah dengan objek. Informasi ini digunakan untuk melihat
keunggulan dari setiap objek. Objek yang letaknya searah vektor peubah,
menunjukkan objek tersebut nilainya di atas rata-rata, jika berlawanan arah
berarti nilainya di bawah rata-rata, jika hampir di tengah-tengah berarti
nilainya mendekati rata-rata.
Analisis Biplot adalah peragaan secara grafik dari baris dan kolom sebuah
matriks data
, dengan baris mewakili objek dan kolom mewakili peubah.
Dalam setiap aplikasi, analisis biplot dimulai dengan mentransformasikan matriks
sebagai matriks data asal yang terkoreksi terhadap nilai rata-rata kolomnya
menjadi matriks
yang akan digambarkan (Aitchison dan Greenacre, 2001),
11'
(1)
,
dengan 1 adalah vektor berukuran n×1 yang semua elemennya bernilai 1.
Matriks koragam
yang diperoleh dari matriks
ialah:
(2)
,
sedangkan matriks korelasi
=
yang diperoleh dari
matriks
,
dengan
1
1
1
,
,....,
= diag
s11 s 22
s pp
(3)
adalah matriks diagonal dengan
elemen diagonal utama 1 s ii ; i = 1,2, . . ., p. Elemen
sudut
ialah:
juga merupakan kosinus
antara vektor peubah ke-i dan ke-j :
.
(4)
, maka jarak Euclid antara objek ke-i
Misalnya matriks
dan ke-j didefinisikan oleh:
(5)
,
dan jarak Mahalanobis antara objek ke-i dan ke-j adalah:
.
Apabila matriks
(6)
berpangkat r dengan r ≤ min {n, p} maka dengan
menggunakan PNS matriks
dapat diuraikan menjadi:
(7)
dengan
adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya merupakan
akar dari eigennilai-eigennilai positif matriks
, ...,
), dengan
singular dari
atau
atau
, yaitu
> 0. Nilai
dan
= diag ( ,
disebut nilai
merupakan eigennilai-eigennilai positif matriks
. Matriks
dan
adalah matriks ortonormal kolom, sehingga
(matriks identitas berdimensi r). Matriks
adalah matriks yang
kolom-kolomnya merupakan eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai
positif dari matriks
dan
, yaitu
adalah matriks yang
kolom-kolomnya merupakan eigenvektor-eigenvektor yang bersesuaian dengan
eigennilai-eigennilai positif dari matriks
, yaitu
.
Teorema Eckart-Young (Aitchison dan Greenacre, 2001) menyatakan
bahwa jika matriks
dihitung dengan s pertama nilai dan vektor singular yang
bersesuaian, sebagai contoh untuk s = 2 :
,
=
kemudian karena matriks
(8)
sebagai pendekatan terbaik bagi
maka :
(9)
menjadi minimum, dengan
merupakan notasi dari norma Frobenius.
Dalam Jolliffe (2002), dengan mendefinisikan
maka untuk α
dan
[0,1]:
,
dan elemen ke-(
) dari matriks
(10)
dapat ditulis:
(11)
,
dengan
,
merupakan vektor baris ke-i dari matriks
merupakan vektor baris ke-j dari matriks
mempunyai r elemen.
, i = 1, 2, …, n dan
, j = 1, 2, …, p; di mana vektor
dan
pada ruang dimensi s < r, dapat didekati dengan
Untuk menggambarkan
menggunakan matriks berpangkat s,
=
=
.
Biasanya digunakan s = 2, sehingga koordinat-koordinat
(12)
dan
dapat
digambarkan dalam ruang berdimensi dua (Lipkovich dan Smith, 2002).
Pengambilan nilai α tertentu berimplikasi penting dalam interpretasi biplot.
Secara umum untuk setiap nilai α yang digunakan, penumpangtindihan vektor
dan
yang diplot pada ruang yang sama diperoleh nilai amatan peubah ke-j pada
objek ke-i yang telah dikoreksi terhadap nilai tengahnya yaitu
. Nilai
amatan tersebut bertanda positif bila kedua vektor tersebut searah, yaitu sudut
kedua vektor tersebut ada dalam [0, ), bertanda negatif bila kedua vektor tersebut
berlawanan arah, yaitu sudut kedua vektor tersebut ada dalam ( , ] dan bernilai
nol bila kedua vektor tersebut saling tegak lurus, yaitu sudut kedua vektor tersebut
. Posisi relatif titik-titik
dan
akan memberikan informasi tentang objek-
objek yang mempunyai nilai relatif besar, rataan, atau kecil dari peubah-peubah
yang diamati.
1. Jika α = 0, maka
dan
, akibatnya :
,
(13)
sehingga diperoleh:
a.
, dengan
adalah koragam peubah ke-i dan ke-j.
Artinya, penggandaan titik antara vektor
dan
akan memberikan
gambaran koragam antara peubah ke-i dan ke-j.
b.
=
,
=
, artinya panjang vektor tersebut akan
memberikan gambaran tentang keragaman peubah ke-i. Makin panjang
vektor
dibandingkan dengan vektor
peubah
dibanding peubah
.
maka makin besar keragaman
c. Korelasi antara peubah ke-i dan ke-j dijelaskan oleh kosinus sudut antara
dan
(misalnya : θ), yaitu :
cos
=
=
=
Berdasarkan sudut yang dibentuk antara vektor
(14)
.
dan
, korelasi peubah
ke-i dan ke-j dapat dijelaskan sebagai berikut:
1) semakin besar korelasi positifnya jika θ mendekati 0, dan korelasi
sama dengan 1 jika θ = 0,
2) semakin besar korelasi negatifnya jika θ mendekati π, dan korelasi
sama dengan -1 jika θ = π, dan
3) semakin kecil korelasi positif dan negatifnya jika θ mendekati
dan
tidak berkorelasi apabila θ = .
d. Jika X berpangkat p maka
, dengan
adalah
matriks koragam yang diperoleh dari . Berarti kuadrat jarak Euclid antara
vektor
dan
antara vektor
2. Jika α =1, maka
pada biplot sebanding dengan kuadrat jarak Mahalanobis
dan
(Siswadi dan Suharjo, 1999).
dan
atau
;
akibatnya:
,
(15)
sehingga diperoleh
a.
, artinya kuadrat jarak Euclid
antara
b. Posisi
dan
akan sama dengan kuadrat jarak Euclid antara
dan
.
dalam plot akan sama dengan posisi objek ke-i dengan
menggunakan r komponen utama pertama.
c. Vektor kolom
sama dengan vektor
komponen utama ke-j.
yang merupakan koefisien untuk
Dari interpretasi biplot di atas, penguraian
tidak bersifat khas. Jika
α = 1 maka g-plot diperoleh dengan memisalkan
matriks
dan
, baris ke-i
akan digunakan untuk merepresentasikan baris ke-i matriks
, yang
berarti merepresentasikan objek ke-i, sedangkan baris ke-j matriks
akan
digunakan untuk merepresentasikan kolom ke-j matriks
, yang berarti
merepresentasikan peubah ke-j. Sedangkan jika α = 0 maka h-plot diperoleh
dengan memisalkan
dan
yang merupakan gambaran ragam dan
korelasi di dalam grafik.
Ukuran Kesesuaian Biplot Biasa
Menurut Gabriel (2002), biplot tidak hanya sebagai pendekatan matriks data
dengan menggunakan matriks
, tetapi juga koragam dan korelasi
antarpeubah, serta kemiripan antarobjek.
matriks
matriks
sebagai pendekatan dari
terkait pada matriks koragam dan korelasi antarpeubah, sedangkan
sebagai pendekatan bagi
terkait pada ukuran kemiripan objek.
Rumus umum yang dikemukakan oleh Gabriel untuk ukuran kesesuaian
biplot (Goodness of Fit of Biplot) adalah sebagai berikut
(16)
,
dengan
dan
adalah suatu matriks, di mana
merupakan pendekatan
.
Ukuran kesesuaian biplot sebagai ukuran kedekatan dari tiga bentuk matriks,
yaitu:
1. Kesesuaian data :
GF
2. Kesesuaian peubah :
GF
3. Kesesuaian objek :
GF
(17)
.
.
.
(18)
(19)
Makin besar (mendekati 100%) nilai ukuran kesesuaian untuk memperoleh
gambaran layak tidaknya analisis biplot dalam ruang dimensi s dengan matriks
sebagai matriks pendekatan terbaik berpangkat s, makin sesuai matriks
pendekatannya merepresentasikan matriks awalnya dan karenanya makin layak
analisis biplot digunakan untuk penarikan kesimpulan (Siswadi dan Suharjo,
1999).
Analisis Peubah Kanonik
Pendekatan standar untuk perlakuan data peubah ganda dengan beberapa
objek diidentifikasi a priori, kelompok memiliki sejarah panjang dalam literatur
statistika, adalah analisis peubah kanonik (APK, Canonical Variate Analysis)
yang diperkenalkan oleh Fisher (1936). APK merupakan salah satu teknik
statistika untuk analisis data dengan peubah ganda yang berbasis analisis
pengelompokan data sehingga ragam antarkelompok maksimum dan ragam di
dalam kelompok minimum (Varas et al. 2005).
Salah satu pendekatan dalam APK ialah mencari peubah kanonik yang
merupakan kombinasi linear dari peubah asal yang akan menghasilkan cara
terbaik dalam pemisahan kelompok-kelompok tersebut. Peubah ini akan
memberikan nilai sedekat mungkin bagi objek-objek dalam kelompok yang sama
dan sebesar mungkin bagi objek-objek antarkelompok.
Andaikan ada n objek dari m kelompok contoh acak dengan masing-masing
berukuran n1, n2, ..., nm (n1 + n2 + ... + nm = n) dengan p peubah yang diamati,
X1, X2, ..., Xp. Misalnya
= ( X1, X2, ..., Xp) adalah vektor yang mewakili peubah,
adalah matriks data asal yang telah terkoreksi terhadap nilai rata-rata
kolomnya, dan
adalah matriks indikator m kelompok (peubah dummy) yang
diberikan oleh:
.
(20)
Definisikan:
= diag (n1, n2, ..., nm),
(21)
yaitu matriks diagonal berukuran m×m dengan elemen diagonal utamanya
merupakan banyak objek dari setiap kelompok dan
m
p
merupakan matriks yang
setiap barisnya merupakan vektor rata-rata dari peubah dalam setiap kelompok,
yaitu:
.
(22)
Analisis ragam antarkelompok dan dalam kelompok dapat dikonstruksi
seperti pada Tabel 1.
Tabel 1 Analisis ragam antarkelompok dan dalam kelompok
Sumber Keragaman
Antarkelompok
(between group)
Dalam kelompok
(within group)
Total
Derajat Bebas Jumlah Kuadrat dan Hasil Kali
db
JKK
m–1
n–m
n–1
Untuk matriks jumlah kuadrat dan hasil kali (JKK, sums of squares and
products) data dalam kelompok dapat ditulis juga sebagai:
,
(23)
adalah matriks JKK data dalam kelompok k, untuk k = 1, 2, ..., m,
dengan
untuk j, j' = 1, 2, ..., p, dan
yaitu
didefinisikan oleh:
,
(24)
dengan I1 = {1, 2, …, n1}, I2 = {n1 + 1, n1 + 2, …, n1 + n2}, …, Im =
,
adalah rata-rata dari peubah j dalam kelompok k, yaitu
dan nk adalah banyaknya objek dari kelompok k dengan
. Sedangkan matriks JKK data antarkelompok dapat ditulis sebagai:
,
(25)
merupakan rata-rata keseluruhan dari peubah j, yaitu
dengan
dan
.
Tujuannya, berdasarkan pengukuran peubah X1, X2, ..., Xp secara serempak,
akan memaksimumkan rasio antara ragam antarkelompok dengan ragam dalam
kelompok. Untuk mencapai tujuan ini, transformasikan peubah vektor x, ke dalam
peubah baru, yang membuat ragam yang tinggi antarkelompok terhadap ragam
dalam kelompok. Jika transformasi dilambangkan oleh
dicari adalah vektor
,
sehingga
, maka yang akan
maksimum dengan kendala
yaitu solusi dibatasi untuk vektor dengan panjang satu satuan
terhadap matriks
. Fungsi
yang akan dimaksimumkan merupakan rasio
antara ragam antarkelompok dengan ragam dalam kelompok. Ini adalah fungsi
homogen berderajat nol di
dan invarian terhadap perubahan skala.
Sekarang akan dicari vektor
yang dapat memaksimumkan fungsi
,
. Menggunakan pengali Lagrange, berarti yang akan
dengan kendala
dimaksimumkan adalah fungsi
,
(26)
sehingga,
,
(27)
(28)
,
atau
.
(29)
Ini berarti maksimum yang dicari adalah
Matriks
merupakan matriks nonsingular, sehingga dengan mengalikan
persamaan (27) dengan
, diperoleh
.
Artinya, vektor
(30)
atau bobot kanonik yang dapat memaksimumkan
eigenvektor dari matriks
adalah
yang bersesuaian dengan eigennilai terbesar
.
Transformasi yang diperoleh dari eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai
terbesar disebut peubah kanonik pertama. Peubah kanonik kedua diperoleh dari
eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai terbesar kedua, dan begitu pula
untuk mencari peubah kanonik yang lainya. Banyaknya peubah kanonik yang
= min (p, m – 1).
mungkin diperoleh adalah r = pangkat (
Semua penyelesaian dari (28) dapat dikumpulkan bersama dalam bentuk
,
dengan
≥
dan
dan
> 0, sehingga
= diag ( ,
(31)
, ...,
), di mana
≥ ...
. Jika r = p, maka dapat ditulis sebagai
. Dengan mengalikan persamaan (31) dengan
.
Jika matriks
≥
diperoleh
(32)
tidak simetris, dalam perhitungan eigenvektor dan
peubah kanonik secara komputasi lebih menguntungkan menggunakan matriks
berukuran p×p daripada matriks
simetris
Dekomposisi spektral dari matriks simetris
(Gittins, 1985).
diberikan oleh:
,
dengan
(33)
adalah suatu matriks berukuran p×p yang elemen-elemennya
eigenvektor dan
adalah matriks diagonal yang memiliki eigennilai pada
diagonal utamanya.
Berdasarkan asumsi tersebut persamaan (27) dapat ditulis menjadi
.
Jadi, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai
,
dengan
dan
(34)
= 1.
Persamaan (34) menyatakan bahwa
adalah eigenvektor dari matriks
yang bersesuaian dengan eigennilai
sehingga,
dan
=
,
.
Semua kombinasi linear untuk sebuah objek dengan nilai-nilai
diberikan
oleh:
.
(35)
Hal ini memberikan sebuah transformasi dari peubah asal menjadi himpunan
peubah baru yang dikenal sebagai peubah kanonik. Ruang yang dihasilkan oleh
peubah-peubah ini disebut ruang kanonik. Rata-rata kelompok pada ruang
kanonik disebut juga rata-rata kanonik diberikan oleh:
,
(36)
dan transformasi seluruh himpunan objek pada ruang kanonik diberikan oleh
.
Sehingga:
.
(37)
Artinya, jarak Euclid antara rata-rata dalam ruang peubah kanonik bersesuaian
dengan jarak Mahalanobis dalam ruang peubah asal. Jadi, ruang peubah kanonik
dapat dianggap sebagai ruang Euclid.
Peubah kanonik yang diperoleh, y1, y2, …, yr merupakan kombinasi linear
yang dipilih sehingga y1 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok, peubah
y2 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok yang tidak dapat dicakup oleh
y1, peubah y3 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok yang tidak dapat
dicakup oleh y1 dan y2, dan seterusnya. Diharapkan beberapa peubah kanonik
pertama, misalnya dua peubah kanonik pertama, cukup layak digunakan sehingga
masing-masing objek dan rataannya dapat digambarkan dalam ruang berdimensi
dua. Bila hal ini dimungkinkan maka bagaimana baiknya upaya pemisahan
antarkelompok dan penentuan objek ke suatu kelompok akan lebih mudah
dilakukan.
Analisis Biplot Kanonik
Analisis biplot kanonik merupakan representasi grafik dari APK,
dikembangkan oleh Gabriel (1995) untuk memperoleh representasi secara
serempak antara rata-rata kelompok dan peubah di mana dimungkinkan tidak
hanya
untuk
menggambarkan
menetapkan
peubah
perbedaan
yang
antarkelompok
dianggap
dominan
tetapi
dalam
juga
untuk
membedakan
antarkelompok (Vallejo-Arboleda et al. 2007).
Misalnya
adalah matriks data asal yang terkoreksi terhadap rata-rata
kolomnya dan
adalah matriks indikator m kelompok (peubah dummy).
Analisis biplot kanonik merupakan peragaan secara grafik dari baris dan kolom
sebuah matriks
, dengan baris mewakili rata-rata kelompok dan kolom
mewakili peubah. Matriks
merupakan rata-rata objek masing-masing kelompok
untuk setiap peubah yang diamati dan terkoreksi terhadap nilai rata-rata
keseluruhan.
Untuk memperhitungkan pengaruh penyebaran objek dan skala pengukuran
peubah, diperkenalkan pembobotan sehubungan dengan matriks JKK data dalam
kelompok dan yang lainnya berkaitan dengan banyaknya objek, hal ini karena
akurasi rata-rata tergantung pada ukuran yang telah dihitung, sehingga dapat
didefinisikan:
.
(38)
Artinya, baris dari
terboboti oleh banyaknya objek dan peubah pada kolom
terboboti oleh invers dari matriks JKK dalam kelompok (Gabriel, 1972), dengan
,
(39)
memiliki eigenvektor
sehingga
dan eigennilai
, dengan
.
Mengkonstruksi biplot dari matriks
dengan mengkonstruksi biplot untuk matriks
dengan ukuran tersebut akan setara
. Biplot representasi dari matriks
diperoleh dari PNS, yaitu
,
dengan
akar
(40)
adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya merupakan
dari
eigennilai-eigennilai
positif
matriks
, dengan
disebut nilai singular dari
positif matriks
atau
,
atau
. Nilai
dan
merupakan eigennilai-eigennilai
. Matriks
dan
adalah matriks ortonormal kolom,
(matriks identitas berdimensi r). Matriks
sehingga
yaitu
adalah
matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor yang bersesuaian dengan
eigennilai positif dari matriks
, yaitu
matriks
merupakan
yang
kolom-kolomnya
dan
adalah
eigenvektor-eigenvektor
bersesuaian dengan eigennilai-eigennilai positif dari matriks
yang
, yaitu
.
Dari persamaan (39) diperoleh:
.
Penyelesaian untuk
persamaan (40), diperoleh:
(41)
diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (38) ke
atau
,
(42)
yang ekuivalen dengan penguraian nilai singular umum (PNSU, Generalized
Singular Value Decomposition) dari matriks
dalam metrik
dan
, yaitu:
,
dengan
dan
dan
(43)
. Dengan memilih matriks definit positif
, sehingga
, dan
. PNSU menyediakan pendekatan terbaik
pangkat rendah dari matriks menggunakan nilai dan vektor singular pertama.
Penguraian pada (42) memungkinkan untuk mengkonstruksi representasi
biplot untuk matriks rata-rata kelompok, yaitu:
,
(44)
dengan
, dan
,
di mana
. Elemen ke-(
) dari matriks
dapat
ditulis sebagai:
,
dengan
(45)
merupakan vektor baris ke-i dari matriks
merupakan vektor baris ke-j dari matriks
, i = 1, 2, …, n dan
, j = 1, 2, …, p; di mana vektor
dan
mempunyai r elemen.
Untuk menggambarkan
pada ruang dimensi s < r, dapat didekati
menggunakan matriks berpangkat s,
=
dengan mengambil s kolom pertama matriks
kelompok m) dan s kolom pertama matriks
,
(46)
sebagai penanda baris (rata-rata
sebagai penanda kolom (peubah p).
Biasanya digunakan s = 2, sehingga koordinat-koordinat
dan
dapat
digambarkan dalam ruang berdimensi dua. Pada diagram pencar, penanda baris
diwakili sebagai titik dan penanda kolom sebagai vektor.
Matriks
dan
pada biplot kanonik memenuhi sifat sebagai berikut:
1. Berdasarkan PNS matriks
yang diberikan dalam persamaan (40), diperoleh
, dan
.
Oleh karena itu, matriks
dapat dinyatakan dengan mengganti ekspresi P dan
pada (38) sebagai:
,
dan mengganti
(47)
dalam persamaan (41) kemudian mensubstitusikannya ke
(47) diperoleh:
.
Persamaan (48) dapat menafsirkan matriks
(48)
sebagai proyeksi
pada daerah
pemisahan maksimum dari kelompok, yang dihasilkan oleh kolom dari
matriks , dan
(49)
dengan
adalah matriks JKK data dalam kelompok,
adalah vektor rata-
rata dari kelompok i. Artinya, kuadrat jarak Euclid antara vektor
pada biplot sama dengan kuadrat jarak Mahalanobis antara vektor
2. Perkalian
dari penanda baris
pendekatan rata-rata
dengan penanda kolom
dan
dan
.
merupakan
dari kelompok ke-k pada peubah ke-j yang telah
terkoreksi terhadap rata-rata terboboti seluruh objek. Sehingga memungkinkan
untuk karakterisasi perbedaan antarkelompok,
.
(50)
3. Kualitas representasi (atau ukuran kesesuaian dari matriks data) dapat didekati
oleh:
.
4. Matriks
(51)
sebagai pendekatan matriks JKK data dalam kelompok, yaitu:
.
(52)
5. Panjang penanda kolom sebanding dengan variabilitas dalam kelompokkelompok,
=
, dengan
=
.
6. Kosinus sudut antarpeubah dapat diinterpretasikan sebagai pendekatan dari
korelasinya.
Analisis Procrustes
Dalam Bakhtiar dan Siswadi (2011) analisis Procrustes adalah alat analisis
berdasarkan asas kuadrat terkecil yang dapat digunakan untuk mengukur
kemiripan maksimal antarkonfigurasi titik melalui serangkaian transformasi
linear. Analisis ini bertujuan untuk membandingkan dua konfigurasi yang
mewakili
unit pengamatan yang sama. Untuk melihat kesamaan bentuk dan
ukuran dari dua konfigurasi maka setelah kedua konfigurasi dilakukan translasi
salah satu konfigurasi dibuat tetap sementara konfigurasi yang lainnya
ditransformasikan sehingga paling sesuai dengan konfigurasi pertama.
Misalnya
berdimensi
adalah konfigurasi
titik dalam ruang Euclid
dengan koordinat diberikan oleh matriks
berikut
,
dengan
(53)
, untuk
yang merupakan konfigurasi
titik dalam ruang Euclid berdimensi . Konfigurasi
ini akan dipasangkan dengan konfigurasi
masing baris dari konfigurasi
dan konfigurasi
dalam bentuk baris, dengan masing-
dipasangkan dengan baris konfigurasi
bersesuaian. Diasumsikan bahwa dimensi kedua konfigurasi
dengan demikian tiap matriks memiliki jumlah
maka
dan
yang
adalah sama,
kolom yang sama. Jika
kolom nol dapat ditambahkan pada matriks
sehingga kedua
konfigurasi berada pada ruang dimensi yang sama. Dengan demikian tanpa
mengurangi perumuman dapat diasumsikan bahwa
bahwa salah satu konfigurasi,
. Diasumsikan pula
, dibuat tetap dan konfigurasi yang lain, , akan
ditransformasi agar sesuai dengan konfigurasi .
Dalam menentukan tingkat kesesuaian dua konfigurasi, analisis Procrustes
mendasarkan penghitungannya pada jumlah kuadrat jarak antartitik yang
bersesuaian, disebut juga jarak Procrustes, yaitu
.
(54)
Dengan mempertimbangkan perubahan posisi, orientasi, dan skala dua
konfigurasi yang dibandingkan, analisis Procrustes mensyaratkan tiga bentuk
transformasi geometris harus dilakukan untuk mendapatkan E yang optimal.
Ketiga bentuk transformasi ini adalah translasi, rotasi dan dilasi.
Translasi
Translasi dalam analisis Procrustes merupakan proses penggeseran semua
titik pada konfigurasi
dan konfigurasi
dengan jarak yang tetap dan arah yang
sama sehingga kedua konfigurasi memiliki sentroid (titik berat) yang sama.
Penguraian jumlah kuadrat persamaan (54) menghasilkan
.
(55)
Karena bentuk kedua dari ruas kanan persamaan (55) bernilai nol, maka
diperoleh
,
(56)
di mana
1
,
1 ,
,
dengan 1 adalah vektor berukuran
dan
yang semua elemennya bernilai 1,
menyatakan sentroid dari masing-masing konfigurasi
dinyatakan sebagai
dan
.
dan
yang
Penyesuaian optimal dengan translasi diperoleh dengan menghimpitkan
sentroid X dan Y (
. Jadi, norma kuadrat perbedaan minimum dua
konfigurasi setelah penyesuaian dengan translasi adalah:
(57)
Rotasi
Rotasi adalah proses pemindahan seluruh titik dengan sudut yang tetap
tanpa mengubah jarak setiap titik terhadap sentroidnya. Dalam analisis Procrustes
rotasi dilakukan dengan cara menggandakan konfigurasi
ortogonal
dengan matriks
yang meminimumkan jarak antarkonfigurasi.
Norma kuadrat perbedaan kedua konfigurasi setelah penyesuaian dengan
rotasi adalah
.
Inf
(58)
Q
Secara aljabar, berdasarkan (54) diperoleh:
.
Untuk memperoleh nilai
yang minimum harus dipilih matriks
ortogonal Q yang memaksimumkan nilai
Misalnya
(59)
.
merupakan hasil penguraian nilai singular bentuk lengkap
dari matriks
, sehingga
, dengan
diagonal dan
merupakan matriks ortogonal, maka
adalah matriks
,
dengan
merupakan perkalian matriks ortogonal, sehingga
juga matriks ortogonal dan berlaku –1 ≤ hij ≤ 1. Sehingga diperoleh
(60)
(61)
.
Jadi, E minimum ketika
, mengakibatkan
,
(62)
atau
.
(63)
Jadi, jarak Procrustes oleh rota