Rendezvous Search Pada Garis Dengan Tiga Pemain

RENDEZVOUS SEARCH PADA G M S
DENGAN TIGA PEMATN

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAElUAN AWM
INSTlTUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2001

ABDUL LATIP. Rendezvous Search pada Garis dengan Tiga Petnain (Rendezvous Search on the
Line with Three Players). Dibimbiug oleli FARDA HANUM dan TEDUH WULANDARI.
Pada suatu lapangan luas de~iganlintasan kereta api melintasi seluruh daerah tersebut, tiga orang
penerjun ditejunkan. Mereka telah menyepakati sebelu~nnyauntuk berte~nudi ILntasan kereta api
tersebut, tetapi belum taliu letak yang sebenarnya untuk bettemu. P e n k a n dilakukan di sepanjang
lintasan kereta api dan untuk memecalhn masalah ini diynakan re~zdezvoussearchpada garis.
Tiap pe~naintidak mengetahui arah perjalanan pemain lainnya, hanya jarak di &tara dua pemain
terdekat diketahui, yaitu 1. Mereka bergerak dengan kecepatan paling besar 1 untuk saling bertemu.
Pertemuan yang tejadi lebih dahulu antara dua pemain akan mengakhiri permainan.
Rangkaian permainan digambarkan &lam bidang Cartesius, dengan sumbu horisontal menyatakan
waktu clan sumbu vertikal menyatakan posisi pemain pa& garis lurus. Penelitian ini dilakukan untuk
membantu ketiga pemain menentukan strategi yang liarus diynakan agar mereka dapat bertemu dalam

waMu yang minimum.
Nilai randevu dapat diperoleh &lam dua bentuk yaitu bentuk simetrik dan asimettik. Bentuk
simetrik membatasi pemain untuk mengynakan strategi pencarian p i g sama sedangkan bentuk
asimetrik niemungkinkan pemain untuk membicarakan terlebih dahulu strategi yang akan mereka
gunakan sehingga mereka boleh memilih strategi yang berbeda. Dalam tulisan ini yang dibicatakan
adalah bentuk asimetrik.
Terdapat strategi-drategi optimum sedemikian sehingga setiap lintasan strategi memiliki
kemiringan +latau -1 pada semua waktu t dengan perubahan kemiringan dari a ke -a (a E {+I, -11)
hanya tejadi pa& \Mktu t dengan 2t adalah suatu bilangan bulat. Apabila masing-masing pemain
menggunakan strategi-strategi optimum, maka akan diperoleh nilai randevu asimetrik adalah 47/48.

RENDEZVOUS SEARCH PADA GARIS
DENGAN TIGA PEMAIN

Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains

PA
Program Studi Matematika

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2001

Judul : Re~?dezvous
Search pada Garis dengan Tiga Pemain
Nama : Abdul Latip
NRP : G31.0883

Menyetujui,

'I

-

Dra. ~ a h d Hanum,
a

M.Si.
Pembimbing I

Tanggal Lulus: 14 Febmari 2001

Teduh Wulandari, S.Si.
Pembimbing I1

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 16 September 1975 sebagai anak ketiga dari empat
bersaudara, anak dari pasangan H. U. Zakaria dan Khopipah.
Tahun 1994 penulis lulus dari SMA Negeri I Ciawi danpada tahun yang sama lulus Seleksi masuk IPB
melalui jalur undangan seleksi masuk IPB. Penulis memilih Program Studi Matematika, Jurusan
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan penulis aktif pada salah satu lembaga pendidikan. Selain itu, penulis
juga aktif pada kegiatan-kegiatan kemahasiswaan yang diadakan di lingknngan fakultas maupun jumsan.

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah
ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih dalam tulisan ini adalah Rendezvous Search pada Garis

dengan Tiga Pemain.
Terima kasih penulis ucapkan kepada berbagai pihak yang telah membantu penyelesaian karya ilmiah
ini, antara lain Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si. dan Ibu Teduh Wulandari, S.Si. selaku pembimbing, serta
Bapak Dr. Ir. D.S. Priyarsono sebagai penguji luar. Di samping itu terima kasih penulis sampaikan pada
teman-teman angkatan 31 atas kebersamaannya selama ini, warga Cidangiang 30, khususnya Ahnled
Hendra, yang tefah banyak membantu menyelesaikan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada bapak, umi, serta kakak-kakak dan adik tercinta, atas segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.

Bogor, Februari 2001

Abdul Latip

DAFTAR TABEL

................... .......................................................................

Halaman

.......

ix

. ....................................................

ix

DAFTAR LAMPIRAN..........................................................................................

ix

DAFTAR GAMBAR

1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1.2 Tujuan .......................

.
.

. ...................................................... .

1
1

11. MODEL FORMAL

2.1 Notasi dan Asumsi ............................. .
.................................................................
2.2 Hubuugan Antara Kasus dan Tipe ...................................................................
2.3 Ruang Strategi .........:.........................................................................................

111. KELAS STRATEGI YANG BERHINGGA

1
3
3

...........................................................

7

.........................................................

9

IV. ALGORITMA UNTUK MENENTUKAN R&
V. KESIMPULAN DAN SARAN

11

DAFTAR PUSTAKA

11

LAMPIRAN .....................................................................................................................

12

DAFTAR TABEL

Halaman
2
1. Anggota-anggota
2. Anggota-anggota B ...
.................................. 3
3. Himpunan image 4 ............................................................................... 4
4. Garis-garis untuk menentukan 7 n ~ ~ ~...............................................................................
h.h~
5
. .
- - 5. Nilai-nlla~ T ( f , g , h ) untuk b E B ....................
.
........................................ 6

*

. .

.

-

6. Nilai-nllal T C ( f, g ,h ) untuk c e C ....................
.
.
.......
.
....................................

6

DAFTAR GAMBAR
Halaman
I. Posisi dan arah pemain untuk (0, I ,2,-,+,+)
2. Posisi dan arah pemain untuk (2,1,0,+,-,-)
3. Permainan yang dimulai dengan kasus cl .
4. Garis LI,, dan L , _ , untuk bl
5. Garis LJ,,dan Lz, untuk c, dengan a = I ..........
6. Garis LI,, dan L2,)untuk cl dan a = 1 dengan shategi f yang baru
7. Proses kemungkinan 1 dalam bentuk gambar

...........................
.
......

6
7
8
22

DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
13
I. Bidang Cartesius untuk b , b,, b,, ..., b,, .......................................................................
2. Diagram alir algoritma untuk menentukan Ry,, ........................................................... 15
3. Tahap-tahap algoritma untuk menentukan R;,>
. ..........................
4. Pembuktian Lema 2 dan Lema 5 .........................
.
.

..................................................

17
21

I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang

Rendezvous search adalah suatu kwrdinasi
tanpa komunikasi dau mernpakan proses paralef.
Masalah rendezvous search (Alpern, 1995)
menjelaskan bagaimana para
pemain yang
ditempatkan secara acak dalam suatn daerah
pencarian diketahui
dapat bergerak dengan
kecepatan maksimal 1 untuk saling bertemu dalam
waktn harapan terkecil. Pada awal peuempatan
dalam permainan, tiap pemain tahu posisinya
masing-masing tapi tidak tahu posisi pemain
lainnya.
Masalah rendezvous search pertama kali secara
formal didefinisikan oleh Alpern (1995). Untuk
menyederhanakan masalah, apilih kasus pada
garis lurns sebagai daerah pencarian.
Cerita yang melatarbelakangi pennasalahan ini
adalah sebagai berikut: Misalkan ada dua orang
penejnn ingin. bertemu yang ditejunkan pada
snatu lapangan luas dan terdapat lintasan kereta api
yang melintasi daerah tersebut. Mereka telah
menyepakati sebelumnya unhk bertemu, tetapi

belum tahu di mana letak yang sebenarnya pada
lintasau kereta api tersebut. Masalahnya adalah
bagaimana mereka hams bertindak agar
memperoleh waktu harapan ya* minimum Cerita
di atas tersebut kemudian dikembangkan untnk
pemaiu yang terdiri atas tiga orang.
Nilai randew dapat diperoleh dalam dua
bentuk, yaitn benhlk simetrik dan b e n a asimetrik.
Bentuk simetrik membatasi pemain untuk
mengguuakan strategi pencarian yang Sam%
sedangkan bentuk asimetrik memungkinkan
pemain untuk memilih strategi yang berbeda. Pada
tnlisan ini yang akan dipelajari adalah rendezvous
search tiga pemain dengan bentuk asimetrik.
1.2 Tujnan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah:
1. mempelajari jaminan pertemuan antara tiga
orang pemain,
2. mempelajari koudisi yang dibutuhkan untnk
strategi optimal, dan
3. menentukan nilai randew asimetrik untuk tiga
orang pemain.

II. MODEL FORMAL
2.1 Notasi dan Asnmsi

Permainan dimulai dengan menempatkan tiga
orang pemain secara acak pada suatu daerah.
Untnk menyederhanakan masalah, dipilih garis
lurns sebagai daerah pencarian, setiap pemain tidak
mengetahui posisi dari pemain lainnya, tetapijarak
di antara 2 pemain terdekat diketahui, yaitn 1
satnan jarak. Mereka bergerak dengan kecepatan
paling besar 1 satuan jaraklsatnan waktu untuk
saling bertemu. Pertemuan yang tejadi lebih
dahulu antara dua orang pemain akan mengakhiri
permainan.
Diasumsikan bahwa permainan ini asimetrik,
artinya masing-masing pemain mengetahui
sebelumnya strategi yang akan digunakan oleh
pemain laiunya.
Rangkaian permainan digambarkan dalam
bidang Cartesius, dengan sumbn horizontal
menyatakan waktn dan sumbu vertikal menyatakan
posisi pemain pada garis lurns.
Definisi 1
Orientasi awal w pada pemain adalah rangkap-3
(01,02.03) dengan

={

+

jika pemain i bergerak naik pa&
awal permainan
- jika pemain i bergerak t n m pada
awal permainan

Definisi 2
Posisi awal p pada pemain adalah rangkap3
@I, p2, p3)
dengan P adalah permumi
himpunan {0, 1,2) danpl menyatakan posisi awal
pemain i, i=l, 2,3.
Definisi 3
Suatu permainan dengan tiga pemain dikatakan
berakhirjika:
a) pemain yang ditempatkan pada 0 bertemu
dengan pemain yang ditempatkan pada 1,
atau
b) pemain yang ditempatkan pada 2 bertemu
dengan pemain yang ditempatkan pada 1,
atau
c) ketiga pemain bertemu pada waMu yang
Sam%

sedangkan pemain yang ditempatkan pada 0
bertemu dengan pemain yang ditempatkan pada 2
tidak dibahas karena sebelum kedua pemain
tersebut bertemu, maka terlebih dahnlu saiah satu
di antara mereka akan beitemu dengan pemain
yang ditempatkan pada 1 sehingga menjadi bentuk
a) atau b) pada pemyataan di atas.
Misalkan himpunan C mempakan kumpulan
semua anggota c = @, w ) yang menyatakan posisi
dan arah saat permainan dimnlai. Perhatilotnbahwa
suatu permainan yang dimnlai dengan @,,pz,p3,
-,oz,w~)"berakl~irsama" dengan permainan yang
dimulai dengan ( 2 - p ~ ,2-pz, 2-p3, +, -w2,-w3 ).
Untuk menjelaskanhal ini, misalkandiambil contoh
pl=O, ~ = lp3=2,
, dengan arahpemain II danpemain
111 keduanya +.
Contoh ini menghasilkan :
( P I .PZ,~ 3 . - . ma, a s ) = (0,1,2,-,+,+).
Ddam
bidang Cartesius dapat dilihat pada Gambar 1 .
( Z-PI, 2-pz, 2-p3, + ,*z, -m3 )= (2,1,0,+,-,-I.
Dalam bidang Cartesius dapat dilihat pada
Gambar 2.

Gatnbar 1. Posisi dan arah pemain untuk
(0,1,2,-,+,+).

,l

0

III
Gambar 2. Posisi dan arah pemain untuk
(2,1,0,+,-,-).

Tanpa memperlliitikan a r d ~masing-masing
pemain itu naik atau turun, dari kedua gambar
tersebut terlihat bahwa pemain I1 dan pemain I11
sama-sama bergerak menjauhi pemain I, sehingga
dapat dikatakan bahwa kedua permainan berakhir
sama. Hal yang sama juga berlaku jika masingp3, atau 02 dan 03 diubah. Ini
masing nilai pl, n,
berarti bal~waw, selalu dapat dibuat +. Jadi nntuk
kasus ini diasumsikan bahwa wl = + sehingga
himpunan C hanya mempunyai 24 anggota
(=3!x2'). Semua anggota himpnnan C disebut
kasus clan diperlihatkan pada Tabel 1.

pemain III), maka permainan akan berakhir jika
pemain I dan I1 bertemu, ataujika pemain I1 dan 111
bertemu. Misalkan posisi awal pemain diberikan
sebagai c, yang diperlihatkanpada bidang Cartesius
dalam Gambar 3.

Misalkan (a,, a*) menyatakan pasangan tak
teNNt dari pemain-pemain yang ditempatkan
setelah pemain lain ditempatkan pada am1
permaiuan. Misalkan b, =-(al,a2,dl, d2), dengan di
menyatakan arah relatif pemain a, terhadap pemain
a,. (i#j), yaitu,
to jika pemain a, bergerak kearah

pem$n a, pada awal permainan
mujika @main a, bergerak menjauhi

pemain a) pada awal permainan
dengan i, j = 1, 2 dan i # j. Misalkan B={b,l
i=1, ...,12). Semua anggota B disebut tipe clan B
mempunyai 12 anggota yang diperlihatkan pada
Tabel 2.

Gambar 3. Permainan yang dimulai dengan
kasus c,.
Dalam Gamba~3 terlihat b a h m pemain I bergerak
menuju pemain I1 sedangkan pemain II bergerak
menjauhi pemain I dan pemain 11 bergerak menuju
pemain 111 sedangkan pemain 111 bergerak
menjauhi pemain 11, sehingga kasus cl &pat
dihubungkan menjadi dua tipe,
yaitu
b2= (I, II, to, mu) dan blo = (II, III, to, mu). Suatu
pertemuan antara dua pemain Cyang terjadi lebih
dahulu) akan mengakhiri permainan.

Misalkan pemetaan 4 menyaantara kasus dan tipe, yaitu:

hubungan

4 : C-tBxB, Kc) = (b,, bJ),V c e C , i 512. Jika saategi
pemain I, yaitu I; diubah &ngan keceptm 1,
sehinga diperoleh strategi baru ,yaitu :

Lema 5
ldisalkan &g,l~)adalah strategi-strategi optimal
maka T,&, h) < 4 untnk semua c G C.

Bukti
(Lihat Lampiran 4)

IV.ALGORITMA UNTIK MENENTUKAN R:2
Akibat 4 dalam bahasan sebelumnya
memungkinkan untuk mengkonstruksi sebuah
atgoritma untuk menemukan selumh strategistrategi optimum dan nilai randevu R& .Misalkan
s(k)
menyatakan
strategi-strategi
yang
didefinisikan sampai waktu (k+1)/2. Jika s(k)
memennhi syarat yang diberikan dalam Lema 2,
maka s(k) dapat dituliskan dalam bentuk mat*
3xk dengan elemen-elemennya:
+ 1, jika pemaini m e l a n j u h
arahsebelumnppada t = j / 2
sv ( k ) =
- 1, jikapemain i mengubah
arahpada t = j / 2
untuk i=1,2,3 dan j = 1 2 ,...jc. Banyaknya matriks
s(k) adalah 2)*.Berdasarkan Lema 5, maka strategi
dapat dibatasi sampai waktu yang didefinisikan
kurang dari 4. Tanpa menghilangkan keumuman
dapat diasumsikan bahwa untuk interval waktu
[0,1/2],semua pemain bergerak dengan amh asal
yang diberikan oleh a. Pada saat j/Z fjkl), s&)
akan menentukan apakah pemain i mengubah arah
pa& setengah unit waktu berikutnya. Jika pemain
menggunakan strategi s(@, ia dapat menentukan
apakah pertemuan telah tejadi pada waktu
(k+1)/2. Misalkan untuk semua c EC didefinisikan:
t,jikapermainanberakhir
pada t I;lk + l ) / 2
T ( c , s ( ~ )=)
m, selaimya
Artinya, T(c,s(k)) ada nilainya jika saat k diberikan
maka pemain telah bertemu, tetapi jika tidak
bertemu maka akan bemilai m. Misalkan:
T'(c,s(k))=min (T(c,s(k)), (k+1)/2+1/2).
T(c,s(k)) dapat diinterpretasikan sebagai waktu
pertemuan aktual jika s(k) digunakan dengan
asumsi bahwa posisi semna pemain pada waktu
(k+1)/2 dan T (c,s(k)) sebagai waktu pertemuan
paling mungkin yang menggunakan strategi s(W,
karena jika pemain belum bertemu pada fk+1)/2,
maka perkiraan waktu pertemuan paling optimis
adalah (k+l)/2+1/2. Misalkan M(s(W adalah
indikator apakah permainan telah berhenti pada
W u (k+1)/2 dalam ke-24 kasus saat strategi s(kJ
diguuakan,
yaitu :

i

{

{

1, jika maksc,cT(c, s(k)J < m
0, selainnya
Artinya, M(s(!$) bemilai 1 jika saat k diberikan,
maka pemain telah bertemu nntuk tiap kasus tetapi
bila a& satu atau lebih kasus yang menyebabkan
pemain tidak bertemu saat k diberikan, maka
M(s(k)) akan bemilai 0.
Algoritma didefinisikan dalam tahaptahap
sedemikian sehingga setiap tahap k (k=1,2,..., 7),
hanya strategi-strategis(1) yang digunakan.
Misalkan Ak menyatakan batas atas terkecil
M(s(k,) =

untuk R& yang diperoleh pada tahap k, clan Ak
mempakan barisan tak naik Lema 1 berakibat
bahwa A. &ah 47/48 dan tiap strategi s(kJ
berpotensi menjadi strategi optimal jika
ET*(sO) SAk-1;
241

*

dengan EP(sfk)j= x - T
(ci ,s(k)) . Misalkan
i-I 24
Dl menyatakan himpunan selnruh matriks s(1)
(bernilai sama terhadap permutasi baris) , Dk
menyatakan himpunan matriks HOG-1) dengan
tambahan satu kolom matriks s(l), dan
didefinisikan:
Hk=@(k) &. Ey(s(k)) ax-I
clan M(s(kJJ=Ol,
Rk=ls(k) E Dk: ~ET'lso>A*-11,
E ~ = ( s (E~D
) ~ EETS(~JJ
:
I;A ~ - ,dan M ( s ( ~ J J = ~ ) .

Jadi Hk menyatakan himpunan strategi s(k) dengan
dugaan paling mungkin ~T'(s(k)) Ak-1 yang
berpotensi menghasilkan strategi optimal; Rk
menyatakan himpunan strategi s(k) yang ditolak
pada tahap k karena memilii waktu harapan lebih
dari
sehingga tidak optimal, Ek menyatakan
himpunan strategi s(k) yang memiliki waktu
pertemuan harapan ET6(k)J (paling besx &ah
Arti dari bemilai sama terhadap permutasi
1 1 )
baris misalnya suatu matriks - 1 dianggap sama
11

J

artinya dengan ma&

karena apabila pada

salah satu matriks tersebut dilakukan permutasi
baris, maka akan menghasilkan matriks yang sama
dengan matriks yang lainnya. Begitu pula matriks

I::I
-1

- 1 akan dianggap sama artinya dengan

matriks

[

Ma&

s(1) didefinisikan,

-1 -1

Perhatikan bahwa strategi-strategi dalam
himpunan Ek optimal kecuali bila waktu pertemuan
harapan yang lebih kecil diperoleh pada tahap
tahap berikutnya pada algoritma, yaitu terdapat
sebuah kf(k' > k) dan A , < ET(s(k)) ,dengan
24 1
ET(s(kJJ=x - - ~ ( c , ,s(k)) . Dengan kata lain,
24
1-1

hams diperoleh Ak = minaCk,,, ET(s(k)) untuk
k=1,2, ...,7. Perhatikan bahwaAk=Ak-~kecuali bila
terdapat s(k) dengan M(s(k.)=l dan ET(s(k))+lk-~.
Ide utama algoritma ini adalah bahwa pada
setiap tahap k, matriks s(k) dipartis1 menjadi
stmtegi-strategi optimal potensial @aimhimpunan
Ek uHk) dan selainnya (yaitu Rt). Partisi
banyaknya matriks yang harus diperhatikan pada
tahaptahap berikutnya dalam algoritma Untuk
setiap s(kJ dalam H(kJ @emilai sama terhadap
permutasi baris), s k ) diperluas sampai matriks
3x(k+I) dengan menambeMan kolom tambahan
(k+1) sedemikian sehingga kesimpulan tentang
waktu pertemuan harapan dapat diperoleh dari
matriks pada tahap k' (k' > k). Tiap s(kJ dalam Hk
meningkat paling tin@ 8 kemungkinan s(k+l)
&lam tahap (k+l). Algoritma berhenti pada
langkah k saat Hk merupakan himpunan kosong.
Secara singkat, algoritma tersebut adalah sebagai
berikut:
Tahap inisialisasi :

Dimuiai dengan k=l
I). Tentukan s(k) yang banyaknya z3*matriks
2). Apakah k=l? jika ya maka Dl=s(l) dan
dilanjutkan ke 3) , tetapi jika k#l maka
langsung ke 3)
3). Tentukan matriks anggota Dk
4). Apakah s(k)~Dk?
jika ya maka dilanjutkan
ke 5), tetapi jika tidak maka proses tidak
dilanjutkan
6). ~entukans(k) yang menjadi anggota Hb
Rk. dan Ek
7). Apakah Ek merupakan himpunan kosong?
Jika ya maka dilanjutkan ke 8) sedangkan
bila tidak maka langsung ke 9)
8). Ak-Ak-1 dan dilanjutkan ke 10)
9). Hitung
ETfs(kU
dan
Ak =
m(s(k))
kemudian
dilanjutkan ke 10)
lo). Apakah Hk merupakan himpunan kosong?
Jika ya maka proses selesai dan tentukan
nilai Ak, jika tidak maka proses dilanjutkan
untuk k=k+l
11). Apakah k+1