Perbandingan Uji-uji Kebaik-suaian Bagi Sebaran Poisson Menggunakan x² dan Metode Rice secara Simulasi

/

O!I
PEMBANDINGAN UJI-UJl KEBAIK-SUAlAN
BAGI SEBARAN POISSON
MENGGUNAKAN X2 DAN METODE RICE SECARA SIMULASI
(Comparison of Goodness of Fit Tests for Simulated Data from Poisson Distribution
using X' and Rice Methods)

FAHMI DARMAWAN

•.
-,-

:00.
.:

-

'-

'

,

ｾ＠

JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITlJT PERT ANIAN BOGOR
BOGOR
1997

RINGKASAN

FAHMI DARMAWAN. Pembandingan Uji-uji Kebaik-suaian bagi Sebaran Poisson Menggunakan X'
dan Metode Rice seeara Simulasi (Comparison of Goodness of Fit Tests for Simulated Data from
Poisson Distribution using X' and Rice Methods). Dibimbing oleh MUHAMMAD SY AMSUN dan
AGUSBUONO.

Penelitian ini bertujuan membandingkan metode pengujian sebaran Poisson yaitu uji Kebaik-suaian

X' dengan metode Rice, terutama menentukan ukuran eontoh terkecil agar uji Kebaik-suaian X' dan
metode Rice memberikan hasil yang berbeda.
Data yang digunakan berasal dari pembangkitan sebaran Poisson dengan menggunakan paket
program Minitab dan algoritme pembangkitan bilangan acak Poisson.
Pengujian dengan menggunakan uji Kebaik-suaian X' menunjukkan adanya suatu ukuran data
mll11mUm pengqjian. Ukuran data minimum ini diperoleh apabila dari kelima ulangan pengujian
menghasilkan penolakan hipotesis sebaran Poisson.

Ukuran data minimum pengujian akan semakin

meningkat dengan meningkatnya nilai parameter sebaran Poisson.
Total kegagalan pengluian yang terjadi pada pengujian menggunakan uji Kebaik-suaian X' juga akan
semakin meningkat dengan meningkatnya nilai parameter sebaran. sehingga dari hasil penelitian
menunjukkan bahwa besamya nilai parameter sebaran Poisson berpengaruh dalam pengujian dengan
menggunakan uji Kebaik-suaian "1.. 2 .
Pengujian sebaran Poisson dengan menggunakan metode Rice menunjukkan bahwa total kegagalan
yang terjadi tidak tergantung pada besamya nilai parameter sebaran dan ukuran eontoh yang digunakan.
Uji Kebaik-suaian X' akan baik digunakan dalam pengujian sebaran Poisson untuk ukuran data yang
besar dan nilai parameter sebaran Poisson yang keci!. Untuk ukuran data yang kecil atau nilai parameter
sebaran Poisson yang eukllp besar uji Kebaik-sllaian X' akan lebih sering menghasilkan penolakan

hipotesis sebaran Poisson, untuk keadaan yang demikian metode Rice akan lebih benl1anfaat dari pada
uji Kebaik-suaian X2 .

PEMBANDINGAN UJI-UJJ KEBAIK-SUAIAN
BAG I SEBARAN POISSON
MENGGUNAKAN X2 DAN METODE RICE SECARA SIMULASI

FAHMI DARMA W AN

Skripsi
sebagai salah satu syarat W1tuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Program Studi Statistika

JURUSAN STATISTIKA
FAKliLTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITlJT PERT AN IAN BOGOR
BOGOR
1997

Judul

Pembandingan Uji-uji Kebaik-suaian bagi Sebaran Poisson Menggunakan X2
dan Metode Rice secara Simulasi (Comparison of Goodness of Fit Tests for

Nama
NIM

Fahmi Darmawan
G290387

Simulated Data from Poisson Distribution using X' and Rice Methods)

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

Dr. If. Muhammad Syamsun, MSc.
Ketua

Ketua JUnisan

Tanggal Lulus :

"4 JAN 1991

Anggota

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Suruh, Kab. Semarang pada tanggal 4 Februari 1974 sebagai anak kedua dari
empat bersaudara putra dari Bapak Hisyam Asyhari dan Ibu Wartafiq.
Tahun 1992 penulis lulus dari SMA Negeri I Salatiga dan pada lahun yang sama penulis diterima di
Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Tahun 1993 lulus TPB - IPB dan dilerima di Jurusan
Statistika. Pada lahun 1993 sampai dengan 1995 penulis menjadi asislen praktikum Kimia Dasar pada
Jurusan Kimia FMIPA - IPB.

KATAPENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadiral Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan
hidayah-Nya, sehingga karya ilmiah ini dapal diselesaikan.
Pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan penghargaan dan ucapan terimakasih yang

sebesar-besamya kepada :
I. Bapak Dr. Ir. Muhammad Syamsun, M.Sc. dan Bapak Ir. Agus Buono selaku pembimbing yang telah
banyak memberikan ide dan bimbingan kepada penulis sehingga karya iImiah ini dapat diseIesaikan.
2. Dosen, staf dan pegawai pada Jurusan Statistika.
3. Dessy Hildayanli yang lelah memberikan dukungan fasilitas perangkal keras kompuler sehingga
dapat ·memudahkan penulis daJam menyelesaikan karya iImiall ini.
4. Anang Kurnia atas diskusi-diskusi yang membantu penulis daJanl tahap perumusan masalah.
5. Dewi Rosmala, Yani Nur, Dian H, Imam, Om Gun, 2ul, Asigun, Mbak Dai, lin, Hermawan Yayat
dan semua rekan-rekan di Jurusan Stalistika alas banluan yang lelall diberikan.
AkJlirnya penulis menyampaikan rasa lerimakasih yang lidak lerhingga kepada Bapak, Ibu, Simbah,
Mbak, Mas-masku serta adik-adik tersayang alas do'a, kasih sayang, perhalian dan semuanya.
PenuI;s sangal menyadari kekurangan-kekurangan daJam karya ihniah ini, namun demikian penulis
sangat berharap semoga karya lulis ini dapal bennanfaal bagi yang membutuhkan.

Bogor, Januari 1997

Fahmi Darmawan

,

;0,

DAFTARISI
Halaman
DAFTAR TABEL

........................................ : .......................... , .................................................. .

VI

DAFT AR LAMPIRAN ................................................................................................................

VII

PENDAHULUAN .......................................................................................................................
Latar Belakang ............................................................................................................ ...........
Tujuan Penelitian ... .... ........ ... ... .... ... ..... ... ... ... ..... ... ... ....... ........ ................. .............. .... ............

I.
I.

I.

TINJAUAN PUST AKA ...............................................................................................................
Simulasi Sebaran Poisson ... .... .... ... .... ... ....... ..... ... ...... ... .... .... .......... ...... ..... ...... ..... ... .... ..... ... ...
Uji Kebaik·suaian X' ..... ... ... ... .... ... .... ........ ..... ........... ........ .... ................ ..... ...... ..... ........... ... ...
Metode Rice .... ... ... ... ... ..... ... .... ... .... ... .... .... ..... ... ... ... .......... .... ................... ..... ........... .... ..........

I.
I.
2.
2.

BAHAN DAN METODE ............................................................................................................
Bahan Penelitian ....................................................................................................................
Metode Penelitian ..................................................................................................................

3.
3.
3.

HASIL DAN PEMBAHASAN .....................................................................................................
Hasil Uji Kebaik·suaian X' .....................................................................................................
Hasil Pengluian dengan Metode Rice ......................................................................................
Pembandingan Uji Sebaran ....................................................................................................

3.
3.
4.
5.

KESIMPULAN

5.

DAFTARPUSTAKA ..................................................................................................................

5.

LAMPIRAN

6.

DAFfAR TABEL
Halaman
I. Ukuran Data Minimum Pengujian pada Uji Kebaik-suaian X' dari beberapa Parameter Sebaran
Poisson ...................................................................................................................................

3.

2. Ukuran Data Minimum Pengujian pada Uji Kebaik-suaian X' dari Metode-metode Pembangkitan
Bilangan Acak Poisson .......................................................................................................
3. Total Kegagalan Uji Kebaik-suaian X' dari Parameter Sebaran Poisson ................................

3.
4.

4. Total Kegagalan Uji Kebaik-suaian x'dari Metode-metode Pembangkitan Bilangan
Acak Poisson ........................................................................................................................ .

4.

5. Total Kegagalan Pengujian Sebaran Poisson dengan Metode Rice untuk Beberapa
Parameter Sebaran Poisson. ....................................................................................................

4.

6. Total Kegagalan Pengqjian Sebaran Poisson dengan Metode Rice untuk Beberapa
Metode-metode Pembangkitan Bilangan Acak Poisson. .... ......... ....... ..... ... ......... ... ... ... ........

4.

7. Total Kegagalan Uji Kebaik-suaian x'dari Beberapa Parameter Sebaran Poisson.
(n;' 30).

5.

8. Total Kegagalan Pengujian Sebaran Poisson dengan Metode Rice untuk Beberapa Parameter
Sebaran Poisson. (n ;, 30). ......................................................................................................

VI

5.

DAFfAR LAMPIRAN
Halaman
I. Ukuran Data Minimum Pengujian pada Uji Kebaik-suaian X' ................................................

7.

2. Total Kegagalan Uji X' untuk n :?: 30 ......................................................................................

7.

3. Total Kegagalan Uji Sebaran Poisson dengan Metode Rice untuk n:?: 30 ................................

7.

4. Total Kegagalan Uji Kebaik-suaian X' ............. .......................................................................

8.

5. Total Kegagalan Uji Sebaran Poisson dengan Metode Rice .....................................................

8.

6. Hasil Uji X' dengan data berasal dari MINITAB .....................................................................

9.

7. Hasil Uji X' dengan data berasal dari MINITAB (Base = 50) ..................................................

10.

8. Hasil Uji X' dengan data berasal dari MINIT AB (Base = 503) ................................................

I I.

9. Hasil Uji X' dengan data berasal dari Pseudo Number (Seed = 50) ..............................

12.

10. Hasil Uji X' dengan data berasal dari Pseudo Number (Seed = 503) ...........................

13.

II. Hasil Uji Sebaran Poisson dengan Metode Rice, data berasal dari Minitab .............................. 14.
12. HasiJ Uji Sebaran Poisson dengan Metode Rice, data berasaJ dari Minitab (Base 50) ..............

IS.

13. Hasil Uji Sebaran Poisson dengan Metode Rice, data berasal dari Minitab (Base 503) ............

16.

14. HasiJ Uji Sebaran Poisson dengan Metode Rice, data berasal dari Pseudo Number (Seed = 50).

17.

15. Hasil Uji Sebaran Poisson dengan Metode Rice, data berasal dari Pseudo Number (Seed = 503) 18.

vii

PENDAHULUAN

x

F(X

Lata .. Beiakang
Pola sebaran teoritis data (antara lain sebaran
Binom, Poisson, Normal dan Eksponensial)
memegang peran penting dalam analisis data,
terutama yang menyangkut tallap pendugaan
parameter, pengujian hipotesis dan penetapan
taraf kepercayaan atau taraf nyata atas
kesimpulan yang akan diambil (Aunuddin, 1988).
Analisis data sering dilandasi oleh anggapan
sebaran tertentu, sehingga hasil analisis data
yang dilakukan menjadi tidak sah apabila asumsi
yang melandasi tersebut tidak dipenuhi.
Pengujian bentuk sebaran data biasanya
menjadi langkah awal dalam tahap analisis data.
Pengujian ini dilakukan untuk melihat apakah
data yang akan dianalisis memenuhi anggapananggapan yang mendasari metode yang akan
digunakan dalam analisis data. Metode-metode
Kebaik-suaian (Goodnes of Fit) yang salah satunya adalah uji Kebaik-suaian X' sering digunakan
untuk menguji apakah data contoh yang ditarik
menyebar menurut sebaran teoritik tertentu.
Sedangkan untuk pengujian sebaran Poisson di
samping uji Kebaik-suaian X', Rice (1995)
dengan berdasarkan kenyataan bahwa E(X) =
Var(X) menyarankan suatu metode utuk menguji
sebaran Poisson. Metode Rice ini akan lebih
peka apabila dibandingkan dengan uji Kebaiksuaian X' terutama untuk data yang berukuran
kecil.

= x) = fJ.e-Axdx = 1_e- Ax
o

Sebaran peubab acak Eksponensial dibangkitkan dengan Inverse Transformation Method,
dimana fungsi sebaran kumulatif Eksponensial
memiliki kebaIikan yang bisa diucapkan secara
eksplisit.
Karena
untuk
peubah
acak
Eksponensial, 0,;; F(X) ,;; 1 sehingga F(X)
dapat direpresentasikan dalam sebaran seragam,
U - Uta, 1), 0,;; u ,;; 1
u=1-e
X=

-Ax

,e

-Ax

=1-u

-1n(I-u)
. O e

).

ｾ＠

,

(,.)
n

I

,. 0

II

Ii

I

II,

'00

Artinya agar X menjadi peubah Poisson (A) maka
han,s dipenuhi :

nx
j

u.:;; e-

=0

A

I

Langkah-Iangkah pembangkitan peubah acak
Poisson (A) adalah :
I.
Mulai dari i = 0
2.
Bangkitkan
bilangan acak Seragam
u;-u(O,I)
x
-A kalau ya
Periksa apakah
u. :;; e
3.
i =0 /
proses ､ｩｬＸｾｵｴｫ｡ｮ＠
ke langkah 4, kalau tidak
proses dilanjutkan ke langkah 2 dengan
i =i + I
4.
Cetak X = i; X - Poisson (A)

n

Uji Kebaik-suaian

1:

Uji Kebaik-suaian X' digunakan untuk
menguji apakah sekumpulan data berasal dari
sebaran tertentu.
Pengujian ini menggunakan prinsip bahwa
apa bila sebuah contoh ditarik dari suatu populasi
yang dihipotesiskan, diharapkan adanya suatu
kecocokan yang erat antara frekuensi yang
teramati dengan frekuensi harapan untllk hap
kategori yang ada. Hipotesis yang digunakan
adalah:
H" : Gugus data ditarik dari Populasi dengan
sebaran yang telah ditentllkan
H, Gugus data bukan berasal dari Populasi
dengan sebaran yang telah ditetapkan.
Sehingga bila H" benar diharapkan adanya
kesesuaian yang erat antara frekuensi-frekuensi
yang teramati dengan frekuensi harapan untuk
tiap kategori.
Pearson dalam Lindgren (1976) memberikan
statistik uji :
r

.\"2 =

L
i =-1

dengan
fi
Frekuensi yang teramati pada kategori ke
i.
7t; : PeJuang kejadian dalam kategori ke i
n : Jumla11 data,
r : Banyaknya kategori,
Untuk ukuran contoh besar, X' kurang lebih
mengikuti sebaran X' dengan derajat bebas
banyaknya kategori (r) - I. H. akan ditolak apa
bila nilai X' lebih atau sarna dengan nilai X' tabel
pada derajat bebas r - I, dengan taraf nyata a.
Untuk penggunaan praktis ukuran contoh
yang cukup sekurang-kurangnya adalah 30,
asalkan tidak ada satu pun frekuensi harapan
yang terlalu kecil (Daniel, 1978). Sedangkan
Cochran dalam Daniel memberikan ukuran
minimum bagi frekuensi harapan yang tidak
boleh kurang dari satu. Bila dijumpai frekuensi
harapan yang kurang dari satu, biasanya kategori
yang berfrekuensi harapan kurang dari satu
digabungkan dengan kategori terdekat sampai
frekuensi harapan minimum terpenuhi, Banyaknya kategori akan berkurang sesuai dengan
banyaknya kategori yang digabungkan dengan
kategori terdekat.
Apa bila par8l1leter populasi yang dihipotesiskan tidak diberikan maka harus diduga, Derajat
bebas X' harus dikurangi lagi dengan banyaknya
parameter yang harus diduga. Sehingga bila
parameter yang harus diduga sebanyak g maka
derajat bebas pengujian menjadi r - g - 1.
Metode Rice
Rice (1995) menganjurkan suatu uji untuk
sebaran Poisson dengan mendasarkan pada
kenyataan bahwa E(X) = Var(X) dan uji
perbandingan Likelihood.
Jika X; adalall frekuensi kategori-kategori yang
saling bebas maka :
H. : A; = A, Vi = 1,2,3,4, ... ,n
H, : AI, A2, A" 1." .. " A.,
Apa bila H. benar maka : i =

H, benar maka : i;
Dengan menggunakan perbandingan Likelihood

(/'_11".)2
I

I

111t.
I

x

6.

=

i

ｾ＠

.x
1A

n

ｾ｜Ｎ［＠

II

(.,¥)X;

. =n -

.x. -A.
1... 1 f!
I

11

i = 1

i

ＭＱＮｾ＠

Xi!

(x. _ .,¥)
f!

i = 1 x.
I

I