Model multivehicle routing dengan persaingan pasar

MODEL MULTIVEHICLE ROUTING DENGAN
PERSAINGAN PASAR

TESIS

Oleh
DAVIDSON TARIGAN
097021005/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

MODEL MULTIVEHICLE ROUTING DENGAN
PERSAINGAN PASAR
TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Sumatera Utara

Oleh
DAVIDSON TARIGAN
097021005/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: MODEL MULTIVEHICLE ROUTING DENGAN
PERSAINGAN PASAR

Nama Mahasiswa : Davidson Tarigan
Nomor Pokok
: 097021005
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Opim Salim S , M.Sc)
Ketua

Ketua Program Studi

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Anggota

Dekan

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus : 16 Juni 2011

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 16 Juni 2011

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Dr. Marwan Ramli, M.Si
3. Dra. Mardiningsih, M.Si

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

Persoalan Rute Vehicle Ganda dengan Kompetisi pasar (Multiple vehicle routing
problem with profits and competition (MVRPPC)) memiliki aplikasi dunia nyata yang potensial karena memungkinkan kajian studi tentang kompetisi strategis
di antara perusahaan truk swasta pada bidang-bidang transportasi barang ke
tempat-tempat konstruksi. Persoalan vehicle routing ganda dengan kompetisi
pasar merupakan perluasan dari masalah vehicle routing dalam tiga hal yaitu:
Memasukkan kompetisi ke dalam proses rute, memaksimumkan keuntungan lebih
baik daripada meminimumkan biaya, dan mengasumsikan bahwa truk meninggalkan dan kembali ke pangkalan dalam keadaan kosong. Persoalan multivehicle
routing dengan kendala kompetisi pasar dapat dimodelkan dalam bentuk formula
Mixed Integer Programming.
Kata kunci: Multivehicle routing, Persaingan pasar.

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Multiple vehicle routing problem has potential real-word applications as it enables
the study of strategic competition among private trucking companies in such areas as the transportation of aggregates to construction sites. The multiple vehicle
routing problem with profits and competition (MVRPPC) represents an extension
of the vehicle routing problem in that it: incorporates competition into the routing

process, maximizes profits rather than minimizes costs, and assumes that trucks
leave and return to their home bases empty, thus any freight picked up in a tour
must be delivered in that same tour. Multiple vehicle routing problem with profits
and competition can be modeled in form the formula Mixed of Programming Integer.

Keyword: Multivehicle routing, Market competition

ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR

Dengan ucapan puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan
karunia-Nya yang telah diberikkan kesempatan sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan judul Model Multivehicle Routing dengan Kompetisi Pasar.
Tesis ini merupakan salah satu persyaratan penyelesaian studi pada program
studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih dan penghargaan
yang sebesar-besarnya kepada:
Prof.Dr.dr.Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara

Prof. Dr. Ir. A. Rahim Matondang, MSIE selaku Direktur Sekolah Pascasarjana yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti
Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara Medan.
Prof.Dr.Herman Mawengkang selaku ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan juga sebagai pembimbing pada
penulisan tesis ini yang berkat dorongan dan bantuan beliau sehingga penulisan
tesis ini dapat diselesaikan.
Prof. Dr. Opim Salim, S, M.Sc juga sebagai pembimbing dalam penulisan
tesis ini.
Dr. Marwan Ramli, M.Sc selaku pembanding atas saran dan bantuannya untuk kesempurnaan penulisan tesis ini serta bimbingan selama perkuliahan berlangsung.
Dra. Mardiningsih, M.Si selaku pembanding atas saran dan bantuannya untuk
kesempurnaan penulisan tesis ini.

iii
Universitas Sumatera Utara

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama
masa perkuliahan.
Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika
FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik
kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh sahabat sejati serta rekan-rekan seperjuangan mahasiswa angkatan

2011 atas kebersamaan dan bantuan dalam mengatasi masalah selama perkuliahan berlangsung.
Secara khusus penulis menyampaikan rasa terima kasih kepada orang tua
penulis Ayahanda (Alm) St. T. Tarigan, Ibunda R. Saragih, Anturang L. Damanik
serta kepada istri tercinta Intan Sari Saragih, S.Si, dan Putri tersayang Davine
Priskila Tarigan, serta seluruh keluarga, terimakasih atas dorongan dan perhatiannya yang disertai dengan doa-doanya yang tulus, sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan ini.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca, dan pihak-pihak lain yang
memerlukannya. Tentunya sebagai manusia tidak pernah luput dari kekurangan
sehingga tulisan ini jauh dari sempurna.

Medan, Juni 2011
Penulis,

Davidson Tarigan

iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP

Davidson Tarigan lahir di P. Jahen Kabupaten Simalungun pada tanggal

10 Mei 1976, putra bungsu dari 6 bersaudara dari Ayah (Alm) St. T. Tarigan
dan Ibu R. Br Saragih. Telah menikah pada tanggal 12 April 2007 dengan Intan
Sari Saragih, S.Si. Pada tanggal 23 Oktober 2009 telah dikaruniai seorang putri,
Davine Priskila Tarigan.
Menamatkan Pendidikan Sekolah Dasar Negeri 097796 P. Jahen pada 1989,
Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri Dolok Silau pada tahun 1992, Sekolah
Menengah Tingkat Atas (SMA) Negeri 3 Pematang Siantar jurusan Fisika (A-1)
tahun 1995 dan menyelesaikan S-1 pada Jurusan Matematika Universitas Sumatera Utara tahun 1999, serta Kuliah Akta 4 di Universitas Muslimin Nusantara
tahun 2006.
Bekerja sebagai Staff Pengajar di STMIK MIKROSKIL Medan sejak tahun
2000 sampai sekarang dan sejak April 2006 sampai sekarang juga bekerja sebagai
Guru Sekolah Dasar Negeri 064034 Medan.
Pada tahun 2009 mengikuti pendidikan program studi Magister Matematika
di Sekolah Pascasarjana USU Medan.

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman

ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

KATA PENGANTAR

iii

RIWAYAT HIDUP

v

DAFTAR ISI

vi

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

3

1.3 Tujuan Penelitian

3

1.4 Manfaat Penelitian

3

1.5 Metode Penelitian

3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

6

2.1 Graph

6

2.1.1 Definisi

6

2.2 Vehicle Routing Problem (VRP)

6

2.3 Program Integer

8

BAB 3 MODEL MULTIVEHICLE ROUTING DENGAN PERSAINGAN
PASAR

10

3.1 Memasukkan Persaingan ke dalam Penentuan Rute

10

3.2 Sapuan Radial/Pengelompokan General Asigment Prooblem
(GAP)

11

3.3 Formulasi Tabu Search untuk Penentuan Rute

14

vi
Universitas Sumatera Utara

3.4 Tahapan Tabu Search

15

3.5 Tabu List

16

3.6 Pertukaran Node Intra-pemain

17

3.7 Formulasi Mixed Integer Programming

17

BAB 4 KESIMPULAN

22

DAFTAR PUSTAKA

24

vii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Persoalan Rute Vehicle Ganda dengan Kompetisi pasar (Multiple vehicle routing
problem with profits and competition (MVRPPC)) memiliki aplikasi dunia nyata yang potensial karena memungkinkan kajian studi tentang kompetisi strategis
di antara perusahaan truk swasta pada bidang-bidang transportasi barang ke
tempat-tempat konstruksi. Persoalan vehicle routing ganda dengan kompetisi
pasar merupakan perluasan dari masalah vehicle routing dalam tiga hal yaitu:
Memasukkan kompetisi ke dalam proses rute, memaksimumkan keuntungan lebih
baik daripada meminimumkan biaya, dan mengasumsikan bahwa truk meninggalkan dan kembali ke pangkalan dalam keadaan kosong. Persoalan multivehicle
routing dengan kendala kompetisi pasar dapat dimodelkan dalam bentuk formula
Mixed Integer Programming.
Kata kunci: Multivehicle routing, Persaingan pasar.

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Multiple vehicle routing problem has potential real-word applications as it enables
the study of strategic competition among private trucking companies in such areas as the transportation of aggregates to construction sites. The multiple vehicle
routing problem with profits and competition (MVRPPC) represents an extension
of the vehicle routing problem in that it: incorporates competition into the routing
process, maximizes profits rather than minimizes costs, and assumes that trucks
leave and return to their home bases empty, thus any freight picked up in a tour
must be delivered in that same tour. Multiple vehicle routing problem with profits
and competition can be modeled in form the formula Mixed of Programming Integer.

Keyword: Multivehicle routing, Market competition

ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Vehicle Routing Problem (VRP) merupakan salah satu variasi dari Travel
Salesman Problem (TSP) yaitu m-TSP, dimana terdapat m salesman yang mengunjungi sejumlah kota dan tiap kota hanya dapat dikunjungi tepat satu salesman saja. Tiap Salesman berawal dan kembali ke depot yang sama. (Kallehauge
et al, 2001). Pada umumnya masalah vehicle routing termasuk dalam salah satu
dari tiga kategori berikut: (Assad, 1988)
a. Masalah antar jemput,
b. Antar jemput yang hanya mengikuti pilihan backhaul,
c. Kombinasi dari antar jemput ,
Pada penelitian ini dibahas Persoalan Multivehicle Routing dengan Kompetisi Pasar yang merupakan perluasan dari masalah vehicle routing dalam tiga
hal yaitu:
a. Memasukkan kompetisi ke dalam proses rute,
b. Memaksimumkan keuntungan lebih baik daripada meminimumkan biaya,
dan
c. Mengasumsikan bahwa truk meninggalkan dan kembali ke pangkalan dalam
keadaan kosong, sehingga setiap pengiriman dan penjemputan barang dilakukan dalam perjalanan yang sama.
Masalah ini disebut sebagai Persoalan Rute Vehicle Ganda dengan Kompetisi pasar (Multiple vehicle routing problem with profits and market competition (MVRPPC)). MVRPPC memiliki aplikasi dunia nyata yang potensial karena
1
Universitas Sumatera Utara

2
memungkinkan kajian studi tentang kompetisi strategis di antara perusahaan truk
swasta pada bidang-bidang transportasi barang (misalnya pengangkutan pasir,
kerikil, dll) ke tempat-tempat konstruksi.Kasus ini melibatkan kumpulan tempat
produksi dan satu kumpulan node permintaan yang harus dilayani permintaannya.
Penelitian yang telah dilakukan sebelumnya dengan melibatkan rute untuk
memaksimumkan keuntungan antara lain, masalah sub perjalanan bisnis dengan
melibatkan seorang pedagang yang membeli komoditi di tempat yang murah dan
mengangkut ke kota-kota tertentu dan menjualnya untuk mendapatkan keuntungan (Verweij dan Aardal, 2003). Masalahnya adalah menentukan kota-kota
permintaan yang tepat untuk dikunjungi sehingga diperoleh keuntungan maksimum. Masalah ini berbeda dari MVRPPC karena hanya melibatkan satu perusahaan, sehingga tidak ditemukan kompetisi di dalamnya.
Jenis kedua yaitu masalah traveling salesman untuk memaksimumkan keuntungan (Feillet et al, 2005). Persoalan ini merupakan generalisasi dari masalah
salesman keliling di mana keuntungan diperoleh ketika suatu simpul dikunjungi
dan tidak ada persyaratan bahwa semua titik harus dikunjungi.
Sebuah versi masalah vehicle ganda, yang dikembangkan dan diterapkan
untuk transportasi barang berhubungan dengan gerakan pengiriman barang diantara pabrik dalam industri mobil (Feillet, 2001), sehingga tidak memasukkan
syarat bahwa setiap perjalanan dimulai dan berakhir pada suatu pangkalan.
Pada kasus penggabungan antar jemput yang berpasangan (Nanry et al,
2000) atau pengiriman yang dilakukan sebelum penjemputan, (line haul-back
haul) (Jacobs et al, 1993), persoalan yang dipertimbangkan adalah semua barang
disampaikan dalam satu perjalanan, dimana salah satunya cenderung mengikuti
pola yang didiskusikan pada penelitian ini.

Universitas Sumatera Utara

3
1.2 Perumusan Masalah
Adapun masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana persoalan multivehicle routing dengan kendala kompetisi pasar dimodelkan dengan Mixed Integer
Programming.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk memaparkan model multivehicle routing dengan tujuan memaksimumkan keuntungan dan kendala kompetisi pasar.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi bagi persoalan yang
berhubungan dengan rute perjalanan bisnis dengan tujuan memaksimumkan keuntungan dan kendala kompetisi pasar.
1.5 Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan dengan mengumpulkan
bahan-bahan dari textbooks dan jurnal-jurnal. Pada bagian awal penelitian ini
akan diperkenalkan landasan teori untuk mencapai hasil penelitian yaitu mengenai teori graph, vehicle routing problem (VRP), dan program integer. Selanjutnya
akan dibahas mengenai memasukkan persaingan ke dalam penentuan rute dan ditunjukkan pemodelan dari multivehicle routing dengan kendala kompetisi pasar.
Sebelum membahas rincian rumus-rumus yang dikembangkan dalam tulisan ini,
perlu kiranya diuraikan secara konseptual masalah yang ditangani. Sehingga
memungkinkan memperoleh ide yang jelas tentang apa yang akan dicapai tulisan
ini dan signifikansinya dalam pemodelan permintaan pengangkutan.
Perusahaan pengangkutan beroperasi dari pangkalan dimana kendaraankendaraan keluar dalam keadaan kosong dan kembali di akhir perjalanan keliling
dalam keadaan kosong. Dalam perjalanan keliling, kendaraan-kendaraan menjemput muatan dari node-node produksi dan mengantarkannya ke node-node
konsumen. Karena sebagian node produksi dan node konsumen tersedia un-

Universitas Sumatera Utara

4
tuk lebih dari satu perusahaan, maka node-node tersebut pada awalnya tercakup
dalam perjalanan keliling lebih dari satu perusahaan. Node-node yang bersaing
ini diserahkan kepada perusahaan yang bisa melayaninya dengan biaya terendah
melalui proses iteratif sehingga dalam penyelesaian akhir semua node dilayani oleh
satu perusahaan. Tanpa kehilangan keumuman, biaya produksi di node-node produksi diasumsikan konstan. Asumsi implisit adalah bahwa muatan (cargo) yang
akan diangkut bersesuaian dengan komoditas umum. Asumsi ini diajukan supaya
fokus pada fungsi biaya pengangkutan.
Metode penyelesaian yang dipresentasikan dalam tulisan ini mengkombinasikan sejumlah teknik programming matematika dan teknik meta-heuristik untuk menyelesaikan masalah penetapan rute mula-mula dalam kelompok dan dalam
kerangka rute. Tahap selanjutnya mengkombinasikan pengelompokan gemoetrik
dengan masalah penugasan secara umum dan tahap penetapan-rute dilaksanakan
dengan tabu search. Pendekatan penyelesaian dimulai dengan pengelompokan
geometrik yang didasarkan pada taksiran waktu perjalanan-keliling. Pengelompokan geometrik akan memberikan taksiran biaya dengan memasukkan node i
dalam kelompok j. Kemudian koefisien-koefisien biaya digunakan dalam masalah
penugasan secara umum memadukan batasan-batasan yang menjamin kelayakan
perjalanan keliling dapat menghasilkan kelompok-kelompok biaya minimum yang
dapat diubah menjadi perjalanan-perjalanan keliling layak. Pendekatan ini sangat
mirip dengan pendekatan yang dikembangkan dalam Nygard et al. (1988).
Setelah kelompok node layak diperoleh, penentuan-rute dilaksanakan dengan tabu search untuk memperoleh penyelesaian tabu search awal, selanjutnya
perjalanan keliling untuk masing-masing pemain dikaji node demi node untuk
mengetahui apakah ada pertukaran dua node dalam perjalanan-perjalanan keliling
yang berbeda dari pemain yang sama yang akan meningkatkan keuntungan setidaknya untuk satu perjalanan keliling dan tidak mengurangi keuntungan untuk setiap perjalanan keliling. Setelah semua pertukaran node dikaji, selanjutnya diidentifikasilah semua node yang menerima penawaran yang lebih dari satu perusahaan.
Kemudian biaya pengiriman untuk masing-masing perusahaan yang mengajukan
penawaran dihitung dan node-node ini dicoret dari himpunan node pemain yang

Universitas Sumatera Utara

5
penawarannya bukan terendah dan prosedur pengelompokan/penetapan-rute diulangi kembali dengan himpunan node yang dimodifikasi. Proses ini terus berlanjut sampai setiap node dimasukkan tepat dalam satu perjalanan keliling yang
menghasilkan aproksimasi kesetimbangan harga ruang.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

Untuk memahami permasalahan yang multivehicle routing dengan kendala
persaingan pasar, berikut diuraikan beberapa konsep teori.
2.1 Graph
2.1.1 Definisi
Suatu graph G adalah pasangan terurut (V, E) dimana V = himpunan tak
kosong dan berhingga yang anggotanya disebut node (simpul/vertex) dan E =
himpunan berhingga garis yang menghubungkan simpul-simpul yang disebut sisi
(arc atau edge). Sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j dinyatakan
dengan {i, j}. Dalam suatu graph, jika sisi yang menghubungkan node-nodenya
mempunyai arah maka dinamakan grpah berarah (directed graph/digraph). Jika
semua sisi semua sisi yang menghubungkan simpul-simpulnya tidak berarah maka
dinamakan graph tak berarah (undirected graph) (Foulds 1992).
2.2 Vehicle Routing Problem (VRP)
Vehicle Routing Problem (VRP) merupakan salah satu variasi dari Travel
Salesman Problem (TSP) yaitu m-TSP, dimana terdapat m salesman yang mengunjungi sejumlah kota dan tiap kota hanya dapat dikunjungi tepat satu salesman
saja. Tiap Salesman berawal dan kembali ke depot yang sama. (Kallehauge et
al, 2001).
Uraian Persoalan VRP adalah sebagai berikut: Diberikan sejumlah kota sebagai lokasi konsumen, sejumlah kendaraan (vehicle), jumlah permintaan masingmasing kota, kapasitas angkut masing-masing kendaraan, dan jarak antar kota.
Persoalannya adalah menentukan rute masing-masing kendaraan dalam melayani
permintaan masing-masing kota dengan ketentuan sebagai berikut: (Toth and
Vigo, 2002)

6
Universitas Sumatera Utara

7
1. Rute masing-masing kendaraan berawal dan berakhir pada suatu kota (depot).
2. Setiap kota disinggahi tepat satu kali oleh tepat satu kendaraan (vehicle)
3. Masing-masing kendaraan memiliki kapasitas angkut dan nilai batasan jarak
yang sama.
4. Total permintaan masing-masing kota pada rute setiap kendaraan tidak
melebihi kapasitas angkut kendaraan tersebut
5. Total jarak tempuh pada rute setiap kendaraan tidak melebihi nilai batasan
jarak yang diberikan.
6. Tidak terdapat subrute untuk setiap kendaraan.
Formulasi VRP dalam bentuk program linier integer dengan tujuan meminimumkan total biaya atau total jarak tempuh dari rute perjalanan pendistribusian
barang adalah sebagai berikut:
min

XX

cij xijk

j∈J k∈K

Dengan variabel keputusan :
n
jika konsumen i dilayani kendaraan ke- k
yik = 1,
0, jika selainnya
n
1,
yijk = 0,
Dengan :

jika kendaraan ke-k dari konsumen i langsung ke konsumen j
jika selainnya

V

= himpunan node/vertex

A

= himpunan sisi berarah (arc), {(i, j)|i, j ∈ V, i 6= j}

cij

= jarak atau biaya perjalanan dari konsumen i ke konsumen j

di

= jumlah permintaan konsumen i

Ck = kapasitas kendaraan ke k
K

= banyaknya kendaraan yang tersedia.

Universitas Sumatera Utara

8
Dengan :
1.

K
P

yik = 1, ∀i ∈ V \{0}

k=1

Kendala ini memastikan bahwa setiap konsumen dikunjungi tepat satu kali
oleh satu kendaraan.

2.

K
P

yck = K

k=1

Kendala ini menjamin bahwa terdapat K kendaraan yang beroperasi yang

melalui rute dari depot.
3.

P

di yik −

i∈V

P

(xijk − yik ), ∀i ∈ V, k = 1, 2, ..., K

Kendala ini memastikan bahwa setiap konsumen akan dikunjungi oleh kendaraan yang sudah dijadwalkan untuk konsumen tersebut.
4.

P

di yik ≤ Ck , ∀k = 1, 2, ..., K

i∈V

Kendala tersebut menjamin bahwa total permintaan konsumen dalam setiap
rute tidak melebihi kapasitas kendaraan.
5.

PP

xijk 6 |S| − 1, ∀S ⊆ V \{0}, |S| >2, k = 1, 2, ..., K

i∈S j∈S

Kendala tersebut menjamin bahwa tidak terdapat sub rute pada formulasi
yang ada.
6. yik ∈ {0, 1}, ∀i ∈ V, k = 1, 2, ..., K
Kendala ini memastikan bahwa variabel keputusan yi k merupakan integer
biner.
7. xik ∈ {0, 1}, ∀j ∈ V, k = 1, 2, ..., K
Kendala ini memastikan bahwa variabel keputusan xi k merupakan integer
biner.
2.3 Program Integer
Sebuah model optimisasi disebut Program Linier Integer (Integer Linier Programming) atau disebut juga Program integer jika variabel-variabel keputusan
yang digunakan berupa bilangan bulat(integer). Jika semua variabel keputusan

Universitas Sumatera Utara

9
berupa integer maka model tersebut dinamakan pure integer programming, tetapi
jika hanya sebagian yang harus integer maka disebut mixed integer programming.
Sedangkan integer programming yang semua variabelnya bernilai 0 dan 1 disebut
0 1 integer programming. (Rardin 1998).
Secara sederhana model Program Linier dengan kendala tambahan berupa
variabel bernilai integer disebut sebagai Program integer yang memiliki bentuk
standar sebagai berikut: (Taha 2003).
Optimumkan : z =

n
P

cj x j

j=1

Kendala :
n
P
aij xj ≤ bi , ∀i = 1, 2, ..., m
j=1

xj ≥ 0, ∀i = 1, 2, ..., m

Xj bernilai integer, ∀j = 1, 2, ..., p(≤ n)
dengan cj , aij , dan bi merupakan konstanta yang nilainya diketahui.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
MODEL MULTIVEHICLE ROUTING DENGAN PERSAINGAN
PASAR

3.1 Memasukkan Persaingan ke dalam Penentuan Rute
Tranparansi pasar mengacu pada tingkat kesadaran persaingan perusahaan
pengangkutan untuk mengangkut barang yang akan diangkut. Persaingan pasar
sempurna tidak terdapat dalam kehidupan nyata. Semua pengangkut mengetahui
tentang semua barang yang akan diangkut dan menerjemahkannya ke dalam situasi persaingan sempurna dan harga biaya marjinal. Dalam konteks ini diharapkan
tingkat geografis tertentu pada segmentasi pasar. Pada sisi lain, hanya satu operator yang tahu tentang muatan yang memerlukan transportasi, mengarah ke
situasi di mana operator dapat menentukan perbedaan harga pada pelanggan
mereka (Holguin-Veras dan Jara-Diaz, 1999).
Lingkungan kompetisi dibatasi oleh panjang dan efisiensi suatu perjalanan.
Dalam semua kasus, kompetisi diperkenalkan secara spesifik sebagai subset dari
node-node yang terpilih secara acak dimana tersedia untuk lebih dari satu perusahaan. Pada konteks ini, node yang tersedia mewakili satu perusahaan produksi
atau atraksi node produksi yang keberadaannya hanya diketahui perusahaan tersebut. Karena tidak ada informasi tentang tingkat dari transparansi pasar dalam
kehidupan nyata, maka proses pemodelan disimulasikan dengan mengasumsikan
tingkat transparansi pasar sebagai tingkatan yang berbeda-beda (dilambangkan
dengan ρ), dimana ρ adalah hal-hal yang tidak begitu penting dari proses produksi dan node-node permintaan yang tersedia lebih dari satu pengangkutan sesuai
dengan jumlah node-nodenya. Perusahaan yang dapat melakukan pelayanan pada
node-node ini adalah perusahaan yang memenangkan penawaran untuk melayani
mereka dengan biaya yang paling murah.
Biaya transportasi dihitung sebagai berikut :
Ci = Corig · |subtouri| + Ctravel · t(subtouri) + Cwaittime · f reight(subtouri) (3.1)
10
Universitas Sumatera Utara

11
dengan :
i

= node yang diperebutkan

Corig

= biaya yang sama untuk setiap pemberhentian

Ctravel

= biaya perjalanan

Cwaittime

= biaya bongkar muat dari bahan-bahan yang diangkut

subtouri

= jumlah node-node dalam bagian perjalanan

Freight(subtouri) = penjemputan dan pengantaran barang dagangan dalam subtouri .
Untuk setiap node i yang diperebutkan, perusahaan dengan biaya Ci termurah menjadi pemenang dalam kompetisi dan berhak melayani node tersebut.
Perusahaan yang kalah kehilangan kesempatan untuk melayani node tersebut.
3.2 Sapuan Radial/Pengelompokan General Asigment Prooblem
(GAP)
Dalam metode sapuan radial (Gillett dan Miller, 1974), koordinat kutub
dari masing-masing node dihitung dengan radius yang didefinisikan sebagai jarak
antara pangkalan dan perhentian dan sudut yang didefinisikan dengan dua garis
yaitu satu garis dari node produksi ke suatu titik sebarang dan garis yang lain
dari node produksi ke node konsumen yang terpilih. Node-node dipilih menurut ukuran sudut koordinat-kutubnya yaitu berdasarakan besar-kecilnya jarak ke
node produksi. Kemudian sapuan dilaksanakan dengan mempartisi perhentianperhentian dalam rute-rute, dimulai dari perhentian yang mempunyai sudut terkecil dan menambahkan node-node ke dalam rute sampai taksiran waktu perjalanan
total melebihi limit durasi waktu perjalanan keliling. Kemudian node yang melanggar menjadi node pertama dalam rute berikutnya. Proses ini terus berlanjut
sampai semua node dialokasikan ke sebuah kelompok.
Hasil akhir dari sapuan radial adalah partisi node-node kedalam kelompokkelompok dimana node-node relatip dekat satu sama lainnya. Akan tetapi, himpunan-himpunan node ini tidak bisa dikembalikan ke dalam rute layak karena
total produksi dan penarikan node dalam masing-masing kelompok tidak selalu
seimbang. Dengan demikian, pengelompokan akhir dilaksanakan dengan menggunakan GAP yang dipresentasikan dalam Nygard et al. (1988) dengan beberapa

Universitas Sumatera Utara

12
batasan tambahan sebagai berikut:
min

XX

(3.2)

ckj xkj

j∈J k∈K

dengan batasan :
X

xkj = 1

untuk semua j ∈ J

(3.3)

k∈K

X

pj xj −

j∈J

X

X

aj xkj = 0

pj xj ≥ α

(3.4)

X

pj

untuk semua k ∈ K

(3.5)

pj

untuk semua k ∈ K

(3.6)

untuk semua k ∈ K, j ∈ J

(3.7)

j∈J

j∈J

X

untuk semua k ∈ K

j∈J

pj xj ≤ β

j∈J

xkj ∈ {0, 1}

X
j∈J

dengan :

K

= himpunan kendaraan,

J

= himpunan perhentian,

ckj

= biaya pengalokasian perhentian j kepada kendaraan k,

xkj = variabel biner yang sama dengan satu jika perhentian j dialokasikan kepada kendaraan k,
pj dan aj masing-masing adalah produksi dan penarikan nodeP
j,
α dan β adalah parameter-parameter yang sama dengan α <

pj

j

|K|

dan β >

P

pj

j

|K|

.

Kendala (3.3) menjamin bahwa setiap node dialokasikan tepat kepada satu
kelompok. Kendala (3.4) menjamin bahwa total produksi dan penarikan masingmasing kelompok sama. Kendala (3.5) dan (3.6) menetapkan kapasitas kelompok
minimum dan maksimum sehingga jumlah muatan dalam masing-masing kelompok relatip merata.
Supaya GAP menghasilkan kelompok-kelompok yang bisa diubah menjadi
perjalanan-keliling berkualitas tinggi, koefisien-koefisien biaya dalam fungsi tujuan haruslah mencerminkan keakuratan biaya dengan memasukkan perhentian

Universitas Sumatera Utara

13
j dalam rute k. Karena perjalanan keliling aktual belum diketahui, biaya ini
tidak diketahui dan harus ditaksir. Dalam Nygard et al. (1988), biaya penambahan perhentian j pada perjalanan-keliling kendaraan k ditaksir sebagai selisih
antara biaya mengunjungi node j, kemudian mengunjungi kelompok k (sebagaimana digambarkan oleh centroidnya), dan kembali ke pangkalan, dengan biaya
perjalanan keliling dari pangkalan ke node j dan kembali ke pangkalan.
Maka biaya yang ditanggung adalah:
ckj = dhb,j + dj,k − dk,hb

(3.8)

dengan :
dhb,j

= jarak dari pangkalan ke node j,

dj,k

= jarak dari node j ke centroid kelompok ke- k,

dk,hb

= jarak dari pangkalan ke centroid k.

Metode ini cenderung menghasilkan taksiran koefisien biaya yang layak untuk
node yang lebih jauh dari pangkalan daripada centroid kelompok, tetapi tidak
menghasilkan nilai yang sangat bagus untuk node yang lebih dekat ke centroid.
Metode alternatip lain adalah sebagai berikut:
ckj = dnearestnode(k),j + dj,nearestnode(k)

(3.9)

dengan :
dnearestnode(k),j = jarak antara node j dan node dalam kelompok k yang terdekat
ke-j.
Metode alternatip tersebut ternyata menghasilkan taksiran koefisien biaya
yang lebih layak, karena node terdekat dalam kelompok k adalah node j sendiri
jika itu sudah berada di dalam kelompok k, terdapat biaya nol untuk mempertahankan node-node dalam kelompoknya saat sekarang. Begitu kelompok-kelompok
node yang bisa diubah menjadi perjalanan keliling layak diperoleh, penentuan rute
dilaksanakan dengan tabu search yang akan diuraikan berikutnya.

Universitas Sumatera Utara

14
3.3 Formulasi Tabu Search untuk Penentuan Rute
Tabu search merupakan metode pencarian lokal untuk masalah optimisasi
kombinatorial. Seperti yang dijelaskan dalam Glover dan Laguna (1993), metode
ini mengeksplorasi ruang penyelesaian dengan bergerak dari satu penyelesaian xi
pada iterasi i ke penyelesaian terbaik xi+1 dalam himpunan bagian neighborhood
N(xi ) dari xi . xi+1 tidak selalu lebih baik dari xi dan tabu list disusun untuk
mencegah pencarian berputar-putar pada suatu rangkaian penyelesaian. Tabu list
tetap mengikuti beberapa sifat penyelesaian yang ditemukan sebelumnya dan setiap penyelesaian baru yang memiliki sifat-sifat ini dianggap tabu untuk t iterasi.
Neighborhood N(xi ) dari xi adalah himpunan penyelesaian yang bisa dicapai dari
xi dengan gerakan yang telah ditetapkan. Gerakan yang sangat umum digunakan
dalam masalah penentuan rute disebut pertukaran-λ di mana hingga sebanyak λ
pelanggan saling bertukar antara dua rute. Sifat-sifat gerakan demikian sering
berupa edge-edge yang dihapus dan ditambahkan pada rute. Status tabu dari
suatu gerakan bisa dicabut jika memenuhi kriteria aspirasi, misalnya, gerakan
menghasilkan penyelesaian yang lebih baik dari penyelesaian yang ditemukan sebelumnya.
Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, masalah penentuan rute yang
dibahas dalam tulisan ini berbeda dari masalah penentuan rute tradisional dimana tujuannya adalah untuk memaksimumkan keuntungan, dan bukan meminimumkan biaya. Fungsi keuntungan yang akan dimaksimalkan dalam tabu search
adalah yang berikut ini:
prof it = Cw

N
X

(pi + ai ) − CT

i=1

X

ti,j

(3.10)

(i,j)∈T our

dimana :
N

= jumlah node dalam perjalanan keliling,

CW

= keuntungan dengan menjemput dan mengantar muatan,

CT

= biaya waktu perjalanan, pi dan ai adalah produksi dan penarikan pada node i,

ti,j

= waktu perjalanan dari node i ke node j.

Universitas Sumatera Utara

15
Dalam fungsi ini, keuntungan merupakan selisih antara keuntungan dari menjemput dan mengantar muatan dengan biaya yang ditanggung dalam perjalanan dari
node ke node untuk mengantar-jemput muatan.
Bagian-bagian berikut menguraikan ciri-ciri penting dari rumus tabu search
yang dikembangkan untuk menyelesaikan masalah penentuan rute yang dikaji
dalam tulisan ini, yang meliputi gerakan tabu search, tabu list, dan garis-garis
besar algoritma tabu search.
3.4 Tahapan Tabu Search
Formulasi tabu search menggunakan empat tipe tahapan yaitu:
1. menambahkan 2 node (satu produksi dan satu penarikan) pada perjalanan
keliling saat ini (add 2),
2. menukarkan dua node (masing-masing satu) yang ada dalam perjalanan
keliling dengan dua yang tidak ada dalam perjalanan keliling (swap 2),
3. menambahkan satu node (add node), dan
4. menukarkan satu node (swap node).
Untuk menentukan tahapan yang akan dipilih dan tahapan yang melibatkan
satu node atau node mana yang diproses, diputuskan berdasarkan potensi produksi dan penarikan perjalanan-keliling saat ini. Kuantitas ini merupakan total selisih
antara permintaan node-node dalam perjalanan keliling dan jumlah muatan yang
benar-benar diantar/jemput pada node-node tersebut:
∆prod =

X

(pi − ui )

X

(ai − di )

i

∆AT T =

(3.11)

ibi ∆AT T , maka perjalanankeliling mempunyai lebih banyak produksi yang tidak digunakan, karenanya node
penarikan harus ditukar/tambah. Dalam hal lainnya, perjalanan keliling mempunyai lebih banyak node penarikan yang tidak digunakan dan node produksi
ditukar/tambah.
3.5 Tabu List
Tabu list menyimpan arc-arc yang ditambahkan dan dihapus dari perjalanankeliling sebagai hasil dari gerakan pada tabu search. Tabu list adalah susunan tiga
dimensi, TABU(i, j, k) di mana i dan j menyatakan arc (i, j) dan k mempunyai
nilai 1 yang berarti bahwa arc ditambahkan pada perjalanan-keliling atau bernilai
2 yang berarti bahwa arc dihapus dari perjalanan-keliling. Arc-arc tersebut tetap
berada di dalam tabu list untuk p iterasi.
Untuk masing-masing gerakan, diidentifikasi himpunan gerakan yang mungkin dan dipilih gerakan yang menghasilkan nilai fungsi tujuan paling tinggi. Jika
gerakan ini tidak melibatkan arc yang ada dalam tabu list, gerakan tersebut diterima dan perjalanan-keliling dalam tabu list dimutakhirkan. Jika gerakan melibatkan arc-arc tabu tetapi menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih besar dari
nilai yang dicapai sebelumnya, gerakan tersebut diterima, perjalanan-keliling dan
tabu list dimutakhirkan, dan nilai fungsi tujuan yang dihasilkan menjadi tingkat
aspirasi baru. Proses ini diulangi sampai diperoleh tidak ada peningkatan dalam
penyelesaian yang lebih baik dari penyelesaian sebelumnya ditemukan. Dengan

Universitas Sumatera Utara

17
demikian, kriteria berhenti adalah bahwa y iterasi telah dilaksanakan tanpa menemukan penyelesaian yang lebih baik.
Setelah garis-garis besar prosedur tabu search diuraikan, selanjutnya diaplikasikan fase penentuan rute dari proses penyelesaian dan diperiksa perjalanankeliling yang dihasilkan untuk mengetahui apakah terjadi pertukaran node yang
mungkin dilakukan untuk meningkatkan keuntungan dari setidaknya satu perjalanan-keliling tanpa mengurangi keuntungan perjalanan-keliling lainnya. Proses
pertukaran node ini diuraikan dalam bagian berikut.
3.6 Pertukaran Node Intra-pemain
Setiap node dalam perjalanan-keliling yang masuk dalam tabu search, diperiksa apakah terdapat pasangan node yang mempunyai produksi atau penarikan
yang sama. Setelah pasangan node dalam dua perjalanan-keliling yang berbeda
dengan permintaan muatan yang sama diidentifikasi, node-node tersebut dipertukarkan dan masing-masing dimasukkan dalam perjalanan-keliling baru di lokasi
yang paling menguntungkan. Keuntungan baru untuk masing-masing perjalanankeliling dihitung, jika keuntungan baru lebih besar atau sama dengan keuntungan
saat ini, maka pertukaran diterima. Dasar pemikiran untuk tahap ini adalah bahwa prosedur penyelesaian pengelompokan/GAP/ dalam penentuan rute membagibagi masalah sehingga masing-masing perjalanan keliling dibentuk secara bebas
dan proses pertukaran ini memungkinkan prosedur penyelesaian untuk memeriksa perjalanan keliling dari masing-masing pemain secara bersama-sama dapat
mengetahui apakah himpunan perjalanan-keliling dapat dijadikan lebih menguntungkan.
3.7 Formulasi Mixed Integer Programming
Setiap tahap dalam prosedur pengelompokan/GAP/penentuan rute telah
diuraikan. Untuk memperoleh ide tentang kualitas penyelesaian yang dihasilkan,
dilaksanakan prosedur yang sama dengan penentuan rute yang diselesaikan dengan program bilangan-bulat campuran yang didasarkan pada model alur masalah
salesman keliling. Model ini diuraikan dalam bagian berikut.

Universitas Sumatera Utara

18
Titik awal untuk pendekatan adalah aliran formulasi dari Traveling Salesman Problem (TSP) (Ahuja et al., 1993). Parameter-parameter dari persoalan
diberikan sebagai berikut :
N

= Jumlah Node

A

= Himpunan Arc

CT

= biaya dari waktu perjalanan

Cw

= biaya bongkar muat

CP

= biaya yang dikeluarkan akibat tidak mengunjungi suatu node

T

= waktu perjalanan maksimum yang diperkenankan

tij

= waktu perjalanan dari node i ke node j pada kota besar dengan
kecepatan tetap

tw

= waktu yang diperlukan untuk bongkar muat satu unit muatan

bi

= permintaan muatan pada suatu node i (bi > 0) berarti terdapat muatan
untuk diambil di node i dan diantar ke tempat lain, bi < 0 artinya node
i membutuhkan muatan untuk di antarkan)

Q

= kapasitas dari kendaraan (vehicle).

Variabel-variabelnya adalah :
xij

= variabel biner yang menandakan arc ij ada pada tour.

zij

= Alur pada arc ij yang menggambarkan jumlah dari muatan pada
kendaraan (vehicle) dari node i ke node j.

ui

= jumlah muatan yang diambil pada node i.

di

= jumlah muatan yang diantarkan ke node i ( kendala menjadi nonpositif,
untuk aliran koservasi, atraksinya negatif)

fi

= sebuah hukuman jika node i tidak dikunjungi.
Fungsi tujuannya untuk memaksimumkan total antar/jemput sambil mem-

inimumkan waktu perjalanan. Kendala-kendala yang harus dipenuhi antara lain:
1. Keterbatasan waktu perjalanan yang meliputi waktu perjalanan dan waktu
bongkar muat.

Universitas Sumatera Utara

19
2. Setiap perjalanan harus berawal dan berakhir pada satu titik yaitu pangkalan
truk/kendaraan, tetapi diperbolehkan untuk tidak mengunjungi suatu node
jika tidak cukup waktu untuk mengunjunginya.
3. Tidak terdapat subrute untuk setiap kendaraan.
4. Keterbatasan kapasitas kendaraan.
5. Keterbatasana jumlah muatan yang diantar/jemput.
6. Kendala yang menjamin bahwa jumlah total muatan yang dijemput dalam
satu perjalanan keliling diantarkan.
7. Kendala yang menjadi batasan eliminasi sub-perjalanan keliling yang ditambahkan pada MIP sesuai kebutuhan.
Selanjutnya persoalan multivehicle routing dengan kendala kompetisi pasar
dapat dimodelkan sebagai berikut:
Fungsi tujuan:
max −

N
X

CT tij xij +

i,j=1

Kendala :

N
X

Cw u i −

i=1

N
X

tij xij +

i,j=1

N
X

N
X
i=1

t w ui −

N
X

Cw di −

i=1

N
X

N
X
i=1

tw di ≤ T

Cpfi

!

(3.12)

(3.13)

i=1

xji + fi untuk i = 1, ..., N

(3.14)

xij + fi untuk i = 1, ..., N

(3.15)

j={1,...,n}\{i}
N
X

j={1,...,n}\{i}
N
X

x1i = 1

(3.16)

xi1 = 1

(3.17)

i=1

N
X
i=1

Universitas Sumatera Utara

20
X

zij −

X

zij −

{j:(i,j)∈A}

X

zji = ui untuk i : bi > 0

(3.18)

X

zji = di untuk i : bi < 0

(3.19)

{j:(j,i)∈A}

{j:(j,i)∈A}

{j:(i,j)∈A}

zij − Qxij ≤ 0 untuk (i, j) ∈ A

(3.20)

ui ≤ bi untuk bi > 0

(3.21)

di ≥ bi untuk bi < 0

(3.22)

di ≤ bi untuk bi > 0

(3.23)

N
X
i=1

X

ui +

N
X

di = 0

(3.24)

i=1

xij ≤ |C| − 1 untuk 2 ≤ |C| ≤ N − 1

(3.25)

(i,j)=1

xij ∈ {0, 1} untuk i = 1, ..., N, untuk j = 1, ..., N
fi ∈ {0, 1} untuk i = 1, ..., N
Dimana C adalah sebuah Cycle yang bukan merupakan subtour maksimal awal
dan akhir pada pangkalan induk.
Fungsi tujuan dalam (3.12) memaksimalkan total antar/jemput sambil meminimalkan waktu perjalanan. Suku pertama adalah biaya waktu perjalanan
untuk perjalanan keliling dan dua suku terakhir menyatakan keuntungan dalam
mengantar/jemput muatan. Kendala waktu perjalanan keliling dalam (3.13) menjamin bahwa durasi perjalanan keliling tidak melebihi limit waktu T . Suku pertama menyatakan waktu perjalanan dan dua suku terakhir menyatakan waktu
bongkar/muat. Kendala (3.14)-(3.17) menjamin bahwa perjalanan keliling berawal dan berakhir di pangkalan truk yang dinyatakan sebagai node 1 dan bahwa
masing-masing node yang dikunjungi tepat satu kali. Suku fi dalam (3.14) dan
(3.15) memungkinkan perjalanan-keliling melompati suatu node jika tidak cukup
waktu untuk mengunjunginya.
Karena rumus ini tidak mengharuskan bahwa permintaan muatan setiap
node dipenuhi dengan tepat, kendala kesamaan konservasi aliran dalam (3.18)
dan (3.19) melibatkan jumlah muatan yang diantar/jemput secara aktual dan

Universitas Sumatera Utara

21
bukan jumlah yang tersedia di masing-masing node. Kendala (3.20) menjamin
bahwa hanya arc-arc pada perjalanan keliling mempunyai alur, yaitu, jika xij sama
dengan nol karenanya juga zij . Kendala (3.20) juga menjamin bahwa kapasitas
kendaraan tidak dilampaui.
Kendala (3.21)-(3.24) berkenaan dengan jumlah muatan yang diantar/ jemput. Kendala (3.21) dan (3.22) menjamin bahwa jumlah muatan yang dijemput
di node produksi tidak melebihi jumlah muatan yang tersedia di node tersebut
dan jumlah muatan yang diantar ke node penarikan tidak melebihi jumlah muatan yang dibutuhkan node tersebut. Kendala (3.23) menjamin bahwa di , jumlah
muatan yang diantar ke node i, nonpositip. Kendala (3.24) dibutuhkan untuk
menjamin bahwa jumlah total muatan yang dijemput dalam satu perjalanan keliling diantarkan. Kendala (3.25) adalah batasan eliminasi sub-perjalanan keliling yang ditambahkan pada MIP sesuai kebutuhan. Kendala ini mengeliminasi
subperjalanan-keliling yang tidak maksimal.
Untuk tabu search dan MIP, prosedur kelompok/penentuan rute diaplikasikan pada himpunan node masing-masing perusahaan, kemudian biaya pengantaran untuk node-node yang bersaing dihitung, dan kepada perusahaan dengan
biaya terendah diserahkan node untuk dilayani dan node dihapus dari himpunan
node perusahaan yang kalah. Kemudian prosesnya diulangi dengan himpunan
node yang disesuaikan sampai semua node dilayani oleh perusahaan dengan biaya
paling rendah.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
KESIMPULAN

Persoalan multivehicle routing dengan kendala kompetisi pasar dapat mempunyai model dalam bentuk formula Mixed Integer Programming. Dengan fungsi
tujuan:
max −

N
X

CT tij xij +

i,j=1

N
X
i=1

Cw u i −

N
X
i=1

Cw di −

N
X

Cpfi

i=1

!

Dengan Fungsi tujuan memaksimalkan total antar/jemput sambil meminimalkan
waktu perjalanan. Suku pertama adalah biaya waktu perjalanan untuk perjalanan
keliling dan dua suku terakhir menyatakan keuntungan dalam mengantar/jemput
muatan.
Dan fungsi kendala terdiri dari:
1. Kendala waktu perjalanan keliling yang terdiri dari waktu perjalanan dan
waktu waktu bongkar/muat.
2. Kendala bahwa perjalanan keliling berawal dan berakhir di pangkalan truk
yang dinyatakan sebagai node 1 dan bahwa masing-masing node yang dikunjungi tepat satu kali dan memungkinkan perjalanan-keliling melompati suatu node jika tidak cukup waktu untuk mengunjunginya.
3. Karena formula ini tidak mengharuskan bahwa permintaan muatan setiap
node dipenuhi dengan tepat maka terdapat kendala kesamaan konservasi
aliran dalam yang melibatkan jumlah muatan yang diantar/jemput secara
aktual dan bukan jumlah yang tersedia di masing-masing node.
4. Kendala keterbatasan kapasitas kendaraan.
5. Kendala yang berkenaan dengan jumlah muatan yang diantar/jemput.
6. Kendala yang menjamin bahwa jumlah muatan yang dijemput di node produksi tidak melebihi jumlah muatan yang tersedia di node tersebut dan
22
Universitas Sumatera Utara

23
jumlah muatan yang diantar ke node penarikan tidak melebihi jumlah muatan yang dibutuhkan node tersebut.
7. Kendala yang menjamin bahwa jumlah total muatan yang dijemput dalam
satu perjalanan keliling diantarkan.
8. Kendala yang menjadi batasan eliminasi sub-perjalanan keliling yang ditambahkan pada MIP sesuai kebutuhan.
Penentuan rute diaplikasikan pada himpunan node masing-masing perusahaan, kemudian biaya pengantaran untuk node-node yang bersaing dihitung, dan
kepada perusahaan dengan biaya terendah diserahkan node untuk dilayani dan
node dihapus dari himpunan node perusahaan yang kalah. Kemudian prosesnya
diulangi dengan himpunan node yang disesuaikan sampai semua node dilayani
oleh perusahaan dengan biaya paling rendah.

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR PUSTAKA
Ahuja.R, Magnanti.T, and Orlin.J, 1993. Network Flows. Prentice Hall, Upper
Saddle River, New Jersey.
Assad.A, 1988. Modeling and Implementation Issues in Routing in Vehicle routing:
Methods and Studies, B.L. Golden and A.A. Assad(eds), 7-45, North-Holland,
Amsterdam.
Feillet. D., Dejax. P, and Gendreau, 2005. Traveling salesman problems with profits,
Transportations Science 39(2), 188-205
Feillet. D, 2001. Problems de tournes avec gains: Etude et application au transport
inter-usines, Ph. D. thesis, Laboratoire Productique Logistique, Ecole Centrale Paris Rardin RL. 1998. Optimization in Operation Research. Prentice
Hall International. New Jersey.
Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York: Springer Verlag.
Friesz. T, Gottfried. J, and Morlok. E, 1986. A Sequential Shipper-Carrier Network
Model for Predicting Freight Flows. Transportation Science 20(2), 80-91.
Gillett. B and Miller. L, 1974. A heuristic algorithm for the vehicle-dispatch problem, Operations Research 22, 340-349.
Glover. F and Laguna. M, 1993. Tabu Search, in Modern Heuristic Techniques for
Combinatorial Problems, C. Reeves (ed), 70-150, Blackwell Scientific Publications, Oxford,
Holgun J.V, and Jara. S.D, 1999. Optimal Space Allocation and Pricing for Priority
Service at Container Ports. Transportation Research Part B 33(2), 81-106.
Holgun. J, V, 2000. A Framework for an Integrative Freight Market Simulation,
IEEE 3rd Annual Intelligent Transportation Systems Conference ITSC-2000,
476-481, Dearborn Michigan.
Jacobs. C , Blecha and Goetschalckx. M, 1993. The vehicle routing problem with
backhauls: Properties and solution algorithms, Technical Report MHRC-TR88-13, Georgia Institute of Technology.
Kallehauge B, Larsen J, Marsen OBG. 2001. Lagrangean duality Applied on Vehicle Routing Problem with time Windows. Technical Report. IMM. Technical
University of Denmark.
Nanry. W and Barnes. J, 2000. Solving the pickup and delivery problem with
time windows using reactive tabu search, Transportation Research Part B
34, 107121.
K. Nygard, P. Greenberg, W. Bolkan, and E. Swenson,1988. Generalized assignment methods for the deadline vehicle routing problem in Vehicle routing:
Methods and Studies, B. L. Golden and A. A. Assad(eds), 107-125, NorthHolland, Amsterdam.
24
Universitas Sumatera Utara

25
Taha HA. 2003. Operations Research: An Introduction. Ed. Ke-7. Pearson Education International. New Jersey.
Toth P, Vigo D. 2002. The Vehicle Routing Problem. Philadelphia: Siam.
USDOT, 2002. Commodity Flow Survey U.S. Department of Transportation, Bureau of Transportation Statistics, U.S. Department of Commerce Economics
and Statistics Administration, U.S. Census Bureau, Washington, D.C.
Verweij. B and Aardal. K, 2003. The merchant subtour proble, Mathematical Programming 94, 295-322

Universitas Sumatera Utara