Analisis kestabilan model penyebaran gonorrheae

ANALISIS KESTABILAN
MODEL PENYEBARAN,GONORRHEAE

Oleh:
AT1 ROHAYATI

JURUSAN MATEMATIKA
HAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2001

*
..

.

,. .

RINGKASAN

..

AT1 ROHAYATI. Analisis Kestabilan Model Penyebaran Gonorrheae. (Analysis of Stabil* on
Spread of Gonorrheae Modelf. Dibimbing oleh MUHAMMAD NUR AID1 dan PAlAN SIANTUN.
Gonorrheae merupakan sejenis penyakit kelamin yang disebabkan oleh bakteri gonococcus yang
menyebar melalui hubungan seksual. Penderita 'penyakit ini umumnya para pekerja seks atau mereka
yang melakukan seks tak wajar. Penyakit ini memiliki karakteristik unik yang mendasar yakni tidak ada
kekebalan, artinya bahwa bila penderita yang dinyatakan sembuh kemungkinan untuk terjangkit sangat
besar dan setiap individu yang rentan akan terinfeksi jika berhubungan seksual dengan penderita penyakit
ini. Martin Braun (1975) membuat suatu model epide~nikLentang penyebaran penyakit gonorrheae.
Pernodelan ini hanya menibahas penyebaran gonorrheae yang disebabkan oleh hubungan seksual lawan
jenis (heteroseksual).
Pada tulisan ini akan dibahas suatu analisis yang berguna untuk mengetahui kondisi kestabilan dan
pendekatan solusi kualitatif .model penyebaran gonorrheae, yaitu kecenderungan naik turunnya kurva
solusi, ha1 ini disebabkan oleh kondisi kestabilan model tersebut. Analisis kestabilan dilakukan dengan
dua cara, yaitu secara analitik dan numerik. Solusi analitik dilakukan dengan metode isoklin dan solusi
numerik diperoleh berdasarkan diagram fase melalui bantuan sofhvare Locbif. Berdasarkan kedua cara
tersebut diperoleh hasil yang sama. Pendekatan solusi kualitatif model untuk mengetahui perkembangan
penderita laki-laki atau perempuan berdasarkan kondisi-kondisi tertentu. Hal ini dilakukzn dengan
menggunakan sofiwore Maple.

ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN GONORRHEAE

AT1 ROHAYATI

Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk ~ne~nperoleli
gelar
Sarjana Sains
Pada
Program Studi Mate~natika

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2001

Judul : Analisis Kestabilan Model Penyebaran Gonorrheae
Nana : Ati Rohayati
NRP

: GO5311727

Menyetujui,

Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi. MS.
Pembimbing I

Tanggal lulus: 12 April 2001

Dr. Paian Sianturi
Petnbimbing I1

Penulis dilalurkan dl Punvakarta pada tanggal 13 Mei 1976 sebagai anak penalla dari linua
bersaudan, anak dari pasangan Castluita dan Yoyoh Mal~n~udal~.
Tallun 1988 penulis nlenyelesaikan
pendidikan dasar di SD Negeri Cilandak I, kenuudian pada taluun 1991 menyelesaikru~ pendidikan
~nenengal~
pertanla di S M P Negeri Calnpaka Punvakarta.
Tahun 1994 Penulis lulus dari SMA Negeri 2 Punvakarta dan pada taluun yang sama lulus seleksi
masuk IPB nlelalui jalur Undangau Seleksi Masuk IPB. Penulis ~nenlilihProgranl Studi Matematika,

Julusan Maten~atika,Fakultas Matenlalika dan Ilmu Pengetdluan Alan.

PRAKATA
Alhan~dulillah,puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala ralunat &I
karunia-Nya, sellingga penulisan karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Penulisan ini dilakukan sejak bulan
Septenlber 1999, dengan judul skripsi "Analisis KestabilanModel Penyebaran Gonorrheae".
Terima kasih penulis ucapkan kepada senlva pihak yang telah men~banlupeuyelesaian @a ilnliall
ini, antara lain kepada Bapak Dr. Ir. Mul~amnladNur Aidi, MS. dan Bapak Dr. Paian Sianturi selaku
dosen pembinlbing, selta Ibu Dra. Farida tianurn yang telal~memberikan saran. Ucapan terin~akasih
penulis sanlpaikan kepada Mainah, Bapak, Engkih dan Ema, Dede, Yeye, Utie, Oppie, Bapak dan Ibu
Drs. Endi Suhendi (keluarga Kalijati), dan keluarga Wantilan alas segala do'a, dukuugan dan kasill
sayangnya. Selain itu terinla kasilt penulis ucapkan pada teman-leman, antara lain: Oni dan Sri (atas
pinjaman ko~nputenlya),Ade, Yuni, Cansilatie, Ifah, Inne, Enno, warga Barcela, anak-anak IMA ATTAQWA, Invan, anak-anak Matenlatika 32 dan 33, alas doa, persahabatan dan dukungamya.
Scn~ogam a ilnlial~ini bennanfaal.

Bogor, April 2001
Ati Rohavati

DAFTAR IS1
Halaman

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................................................. viii
I

PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ...................
......... I
1.2 Tujuan Penulisan ...............................................................................................................
1
1.3 Penjelasan Singkat tentang Gonorrheae...........................................................................
1

I1

LANDASAN TEORI
..
2.1 Sistem Persamaan Linear Mandm ......................
....................................................... 2
2.2 Pelinearan ........................................................................................................................
2
. . .

2.3 Vektor Eigen dan Nlla~Elgen .............................................................................................. 2
2.4 Bentuk Kanonik Jordan ........................................................................................................ 2
2.5 Kestabilan Titik Tetap
.. s
2.5.1 A n a l ~ s ~Kestabilan
Tetap..............................
................................................. 3
. . TetapTitik
2.5.2 Perilaku Tlt~k
.................................................................................................4
2.5.3 Bentuk Umum Kestabilan ........................................................................................ 4
2.6 Bidang Fase dan Orbit Solusi ............................................................................................ 6
2.7 Garis Isoklin dan Arah Gerak Solusi.................................................................................... 6

.
.
.

111 PEMODELAN DINAMIKA PENYEBARAN GONORRHEAE ..................................................
IV

V

ANALISIS MODEL PENYEBARAN GONORRHEAE
4.1 Penentuan Titik Tetap .......................................
4.2 Matriks Jacobi ...............
4.3 Analisis Kestabilan di Sekitar Titik Tetap
4.4 Plot Bidang Fase ......................................
4.5 Orbit dan Kestabilan Sist
4
Solusi Model ...................

........................ 9

KESIMPULAN .............................................................................................................................

DAFTAR PUSTAKA ......................
.
.
............................................................................................

LAMPIRAN ....................

7

14
14

.
.
................................................................................................................
15

DAFTAR GAMBAR

1.

Bentuk umum kestabilan di sekitar titik tetap
untuk tipe nilai eigen real (a. Stabil, b. Takstabil, c. Sadel) .......................................................

5

2.

Bentuk umum kestabilan di sekitar titik tetap
untuk tipe nilai eigen kompleks (a. Spiral stabil, b. Spiral takstabil, c. Stabil netral) .................. 5

3.

Isoklin dan kemiringan orbit yang melaluinya

4.

Isoklin F = 0 beserta arah gerak orbit ............................................................................................

5.

Isoklin G = 0 beserta arah gerak orbit...................... .
.
.
.

........................................................... 6

6.

Isoklin x dan dan arah gerak orbit horizontal
pada kondisi a, a, < blb2cIc2........................................................................................................I0

7.

Isoklin y dan dan arah gerak orbit horizontal
..............
................................................................................
pada kondisi a,a, < blb2c1c2
.
.
.

10

Resultan anak panah yang menyatakan arah gerak orbit

pada kondisi a , a, < blb2c,c2
..........................................................................................................

10

Isoklin x dan dan arah gerak orbit horizontal
pada kondisi a1 a2 > blb2clc2
.........................................................................................................

1I

8.
9.

............................................................................. 6
6

10. Isoklin y dan dan arah gerak orbit horizontal
11
..............................................................................................................
pada saat ala2 > blb2cIc2
11. Resultan anak panah yang menyatakan arah gerak orbit
pada kondisi a, a2 2 blb2clc2
.........................................................................................................

11

12. Orbit penderita laki-laki ( x ) dan penderita perempuan
pada kondisi a, a2 < blb2clc2
.........................................................................................................

12

I

Orbit penderita laki-laki (x) dan penderita perempuan
...................
.........................................................................
pada kondisi a,a2 > blb2cIc2

.
.
.
.

12

14. Perkembangan penderita laki-laki (x)
......................................................................................................... 13
kondisi ala2 < blb2cIc2

15. Perkembangan penderita perempuan (Y)
pada kondisi a, a, < blb2clc2
.........................................................................................................13
16. Perkembangan penderita laki-laki (x)
padakondisi a,a2 2 b,b2c,c.......................................................................................................

13

17. Perkembangan penderita perempuan (v)
pada kondisi ala2 > b l b 2 ~.......................................................................................................
I~Z

13

I. PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
Meningkatnya jumlah penderita penyakit yang
disebabkan oleh hubungan seksual seperti
gonorrheae, cl~lamydia, syphilis dan AIDS
merupakan masalah utama di bidang kesehatan
pada negara maju maupun negara berkembang.
Sebagai contoh, di Amerika Serikat setiap
tahunnya lebih dari dua juta orang menderita
penyakit gonorrheae. Jumlah tersebut jauti lebih
besar dari total penderita penyakit lainnya [Fahmi,
S. 19971.
Penderita penyakit gonorrheae ini umumnya
para pekerja seks dan mereka yang melakukan seks
tak wajar. Untuk mengetahui apakah seseorang
tersebut terjangkit atau tidaknya, dibutuhkan waktu
yang cukup lama. Hal ini disebabkan masa
terinfeksinya yang cukup lama.
Seseorang yang telah dinyatakan sembuh dari
penyakit
gonorrheae
ini
kemungkinan
terjangkitnya kembali sangat besar, karena belum
ditemukannya vaksin pencegah penyakit tersebut.
Pennasalahan tersebut merupakan masalah
yang menarik untuk dimodelkan. Oleh karena itu
diperkenalkan model epidemik sederhana yang
menggambarkan penyebarannya.
Sehubungan dengan masalah penyebaran dari
penyakit gonorrheae ini, maka pada tulisan ini
akan dibuat suatu analisis yang membahas
kestabilan dan solusi model dinamik penyebaran
gonorrheae berdasarkan diagram fase. Analisis
kualitatif model penyebaran gonorrheae dilakukan
karena model tersebut merupakan sistem
persamaan diferensial taklinear yang terlalu rumit
untuk diaualisis secara kuantitatif.
Analisis
kualitatif
model
penyebaran
gonorrheae ini dilakukan melalui pendekatan
sistem dinamik dengan menggunakan bantuan
sofhvarc Locbif dan Maple.

1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah
untuk ~nenganalisis kestabilan dan menganalisis
solusi kualitatif dari model dinamik penyebaran
gonorrl?eae.
1.3 Penjelasan Singkat tentang Gonorrlreae
Gonorrheae adalah sejenis penyakit kelamin
yang disebabkan oleh bakteri gonococcus yang

menyebar melalui hubungan seksual. Bakteri
gonococcus ini ditemukan oleh Neisser pada tahun
1879. Gonococcus termasuk golongan diplokok
(Genus bakteri dari famili Actabacillaceae yang
terdiri dari dua sel kokkus yang kembar),
berbentuk biji kopi dengan lebar 0.8 dan panjang
1.6 p. Bakteri ini bersifat negatif-Gram (dinding
sel bakteri mempunyai kandungan lipida yang
tinggi), bersifat tahan asam, tampak di luar dan di
dalam leukosit, tidak tahan lama di udara bebas,
cepat mati pada keadaan kering, tidak tahan suhu
di atas 39°C dan tidak tahan zat disinfektan (anti
kuman / pembersih).
Daerah yang paling mudah terinfeksi adalah
daerah dengan mukosa epitel kuhoid atau lapis
gepeng yang belum berkembang (imatur), yakni
pada vagina wanita sebelum pubertas. Masa tunas
gonorrheae sangat singkat, pada pria umumnya
berkisar antara 2 - 5 hari, kadang-kadang lebih
lama.
Sedangkan pada wanita masa tunas
gonorrheae sulit untuk ditentukan karena pada
umumnya bersifat asimtomatik (berubah-ubah).
Pada pria, kuman masuk ke uretra. Hal ini
akan menimbulkan radang pada uretra (uretritis),
yang paling sering adalah uretritis anterior akuta
dan dapat menjalar ke proksimal (depan atau ujung
pangkal) yang mengakibatkan komplikasi lokal,
asenden (menuju ke depan) dan diseminata
(pangkal uretra). Keluhan subyektif berupa rasa
gatal, panas di bagian distal (pangkal) uretra di
sekitar lubang luar uretra, kemudian disusul
disuria, polakisuria, keluar cairan dari ujung uretra
yang kadang-kadang disertai darah, dapat pula
disertai nyeri pada waktu ereksi. Pada beberapa
kasus dapat terjadi pembesaran kelenjar getah
bening.
lnfeksi pada wanita, pada mulanya
hanya mengenai leher rahim, kadang-kadang
menimbulkan rasa nyeri pada panggul bawah.
Diagnosa pada penyakit ini dilakukan atas
dasar perbandingan, pemeriksaan klinis dan
pemeriksaan pembantu. Secara epidemiologis
pengobatan yang dianjurkan adalah obat dengan
dosis tunggal. Jika tidak diobati dengan segera
akan mengakibatkan kemandulan, cacat, gangguan
pertumbuhan, radang sendi, kanker bahkan juga
kematian.
[Fahmi, S. 19971

11.

LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear
Mandiri
Perhatikan sistem persamaan diferensial (SPD)
berikut ini:

... >X.(f))

XI

= h (xi (tb

i 2

= f2 (11
(11, ... ,.,,(I))

(1)

dengan
fi, fi, ... , sebagai fungsi dari
XI (I), x2 (t);.., x,, (I), yang kontinu, bernilai real,
dan mempunyai turunan parsial kontinu disebut
sistem persamaan diferensial mandiri, karena
perubahan x dan y dinyatakan sebagai fungsi dari x
dan y sendiri yang tidak mengandung t secara
eksplisit.
Sistem persamaan diferensial mandiri dapat
dinyatakan dalam bentuk matriks berikut:
x=Ax
(2)
.,

11,

dengan x = .

x,,

.=!I,

danAadalab

x,,

matriks berukuran nxn.
[Hasibuan, 19891
Definisi: (Titik Tetap)
Sisteln persamaan diferensial (1) dapat ditulis
dalam bentuk :
i =f(x)
(3)
dengan f fungsi yang terturunkan. ~ i t i k x 'dengan
x = 0 disebut titik hitis atau titik tetap.
f(')
[Tu, 19941
2.2 Pelinearan
Dengan menggunakan perluasan Taylor pada
suatu titik tetap x', maka diperoleh persamaan
berikut :
k = Mx + cp(x),
(4)
dengan M inatriks Jacobi, yaitu
M E Df (x') E Df (x)IF.".

n111 ...

"'I,,

dengan
fungsi
~ ( x ) mempunyai
sifat
lim,,,
cp(x) = 0. Bentuk Mx disebut pelinearan
dari (4).
[Tu, 19941
2.3 Vektor Eigen dan Nilai Eigen
Misalkan A matriks berukuran nxn, maka
suatu vektor taknol X di R" disebut vekror eigen
dari A, jika untuk suatu skalar h, yang disebut nilai
eigen dari A, berlaku:

Ax=M.
Vektor X disebut vektor eigen yang bersesuaian
dengan nilai eigen h. Untuk mencari nilai eigen
dari matriks
A yang berukuran nxn maka
persamaan AX = LY dapat dituliskan kembali
sebagai berikut:
AX=AX~(A-XI)=O
Persamaan terakhir akan mempunyai solusi tak-no1
jika dan banya jika :
det (A-hl) = /A-A4 = 0
(5)
Persamaan (5) disebut persamaan karakreristik
dari A.
[Anton, H., 199.51
2.4

Bentuk Kanonik Jordan
Misalkan diberikan sistem

diferensial dua dimensi untuk

A=

- persamaan-

I::: 1:: J

mempunyai persamaan karakteristik sebagai
berikut :
C(h) = d e t ( A - X I ) = h 2 - y h + 6 = 0
dengan y = a l l+ a2, dan S = det (A)
- all a22-a12 021.
Nilai eigen yang diperoleh dari persamaan
karakteristik di atas adalah:

(6)
Misalkan matriks real
Pzx2mempunyai
P.'AP = J, dengan J adalah
balikan sehingga
salah satu dari matriks dalam bentuk kanonik
Jordan :

dengan h, hl, h2, a, dan

p ;c 0

bilangan real

Dalam penjelasan selanjutnya, bentuk kanonik
Jordan (i), (ii) dan (iii) akan disebut Jordanl,
Jordan2, dan Jordan3. Bentuk Jordan1 adalah kasus
untuk dua nilai eigen real yang berbeda (XI # h2).
Bentuk Jordan2 adalah kasus untuk dua nilai eigen
yang sama yaitu: h l = h2= h

=

1, dengan y'= 46.

2
Bentuk Jordan3 adalah kasus untuk nilai eigen

kompleks yaitu

hl,,= a

Y dan
+ ip, dengan a = -,
2

3 46-y
2 7 , a dan (3 keduanya bernilai real
2
dengan P > 0. J adalah matriks simetrik dengan
elemen diagonalnya adalah bagian real dari nilai
eigen dan elemen yang bukan diagonal adalah
bagian imajiner dari nilai eigen.
[Tu, 19941
,

2.5 Kestabilan Titik Tetap
2.5.1 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Analisis kestabilan titik tetap berdasarkan
nilai eigen dilakukan dengan cara menganalisis
nilai eigen tersebut. Perhatikan nilai eigen pada
persamaan (6). Ada beberapa kasus untuk
menganalisis kestabilan titik tetap, tergantung
pada nilai y2 - 46.

KASUS 1 (y2 -46)> 0
Nilai eigen yang diperoleh adalah real dan
berbeda (hl =L hz), dengan bentuk kanonik Jordan

i

=[hl

O
0 h2
adalah :

x(t)=

1.

Solusi umum yang diperoleh

v, cA1' +C2 v2

"A?

r

(7)
dengan Al dan A, adalah nilai eigen dari matriks
Jacobi, v , dan v2 berturut-turut adalah vektor eigen
yang bersesuaian dengan nilai eigen.
Pada kasus ini kestabilan titik tetap
mempunyai 3 sifat yaitu:
I. Bila kedua nilai eigennya negatif (hl < 0 dan
h2 < 0), maka diperoleh nilai y < 0 dan 6 > 0.
Dari solusi (7) diperoleh bahwa jika t
mendekati takhingga maka x mendekati no1
sehingga titik tetap bersifat stabil.
2. Bila semua nilai eigennya bernilai positif
(h,> 0 dan h2 > 0), maka diperoleh nilai y > 0
dan 6 > 0. Dari solusi (7) diperoleh bahwa
jika 1 mendekati takhingga maka x mendekati
takhingga. Hal ini menunjukkan bahwa x(t)
merupakan titik tetap bersifat takstabil.
C,

3. Bila nilai eigennya berlainan tanda (misalkan
A, < 0 < h2 ), maka diperoleh nilai 7 < 0 dan
6 < 0. Dari solusi (7) diperoleli bahwa jika 1
mendekati takhingga maka x(t) mendekati
takhingga, sehingga lintasan kurva membentuk
suatu asimtot pada bidang v , dan 12. Titik
tetap ini bersifat titik sadel dan bersifat titik
takstabil.
KASUS2 (y2-46)=0
Nilai eigen yang diperoleh nilai eigen real
ganda ( & I =h2= h), dengan bentuk kanonik Jordan

J

=[h

I]. Bentuk solusi umumnya adalah:
0 A

x(t) = (c,+ c 2 1) 2'
(8)
Pada kasus ini kestabilan titik tetap
mempunyai 2 sifat, antara lain:
1. Bila kedua nilai eigen negatif (i.
0 dan
12. > 0). Dari solusi (8) diperoleh bahwa jika I
mendekati takhingga maka x(r) menuju
takhingga sehingga titik tetap tersebut bersifat
takstabil.

KASUS 3 (y2 -46)<
Pada kasus ini
adalah nilai eigen
kanonik Jordan J

0
nilai eigen yang diperoleh
kompleks
dengan bentuk
-

=

.I!

Misalhn nilai

+

= a iP ( a # 0,
eigen yang diperoleh adalah
p # O), dengan a dan P adalah bilangan real dan
p > 0. Sistem yang mempunyai nilai eigen a + iP
dapat dilambangkan dengan

$=[-;

P-I

:[

x , dengan .? =

1

atau dalarn bentuk skalar adalah:

Dalam bentuk koordinat polar, x l dan x? dapat
dinyatakan dalam bentuk x, = r cos (8) dan
x, = r sin (8), dengan r dan 8 hngsi dari f, dan

menghasilkan

menuju titik tetap. Dalam ha1 ini titik tetap
merupakan titik tetap bersifat spiral srabil.
b.

Dengan menurunkan (10) terhadap waktu t akan
diperoleh :

Kemudian jika persamaan (9) disubstitusikan ke
dalam persamaan (12) maka diperoleh:

Dengan menurunkan (1 1) terhadap t, maka
akan diperoleh:

Bentuk x12sec2(8) dapat diperoleh dari
persamaan (10) dan (11) yang menghasilkan
x12sec2(@)=r 2 .
lnensubstitusikan

Kemudian
persamaan

dengan
(9)
dan

r 2 ke dalam persamaan (14) maka
xI2sec2(€I)=
diperoleh:

Solusi di atas mempunyai beberapa kasus yang
hergantung pada nilai a dan 0 seperti pada
persamaan (13) dan (15) yaitu:
a. a < O
Jika a < 0 maka r(f) pada persamaan (13)
berkurang pada saat t bertambah. Jika 0 > 0
Inaka
@(1) pada persamaan (15) akan
berkurang, pada saat t semakin hesar, sehingga
arali gerak orbit akan hergerak searah jamm
jam lnenuju titik tetap. Jika p < 0 maka arah
gerak orbit berlawanan dengan arab jarum jam

azO

Jika a > 0 maka r(t) pada persamaan (13) akan
bertamhah pada saat t semakin besar. Jika
p > 0 maka B(t) pada persamaan (15) akan
berkurang, pada saat t semakin besar. sehingga
arah gerak orbit akan bergerak searah jamm
jam menjauhi titik tetap. Jika P < 0 maka arah
gerak orbit akan bergerak berlawanan dengan
arah jarum jam menjauhi titik tetap. Titik
tetap tersehut hersifat spiral fakrfabil.
c. a=O
Jika a = 0 maka r(f) pada persamaan (13) tidak
berubah sepanjang waktu. Jika P < 0 maka €I(!)
pada persamaan (15) akan naik, dan jika p > 0
maka e(t) akan turun. Karena r(t) tetap maka
gerak orbit membentuk suatu lingkaran dengan
titik tetap sebagai pusat. Titik tetzp tersehut
bersifat slabil nefral.

2.5.2 Perilaltu Titik Tetap
Berdasarkan uraian di atas maka dapat
disimpulkan hahwa kestabilan titik tetap
mempunyai 3 perilaku, yaitu:
I. Stahil jika:
a. Setiap nilai eigen real adalah negatif
(A;< 0 untuk semua I].
h. Setiap komponen real nilai eigen
kompleks adalah takpositif, (Re (A, ) < 0
untuk semua I].
2. Takstabil jika:
a. Setiap nilai eigen real adalah positif
(Ai> 0 untuk semua I].
b. Setiap komponen real nilai eigen
kompleks adalah positif, (Re (A, ) > 0
untuk
semua I ] .
3. Sadel jika:
Perkalian dua buah nilai eigen real sembarang
adalah negatif (A; A, < 0, untuk i dan j
sembarang). Titik tetap sadel ini bersifat
takstabil.
2.5.3 Bentuk Umum Kestabilan
Bentuk ulnum kestabilan di sekitar titik tetap
herdasarkan perilaku orbit di sekitarnya, dibedakan
berdasarkan dua tipe nilai eigen, nilai eigen real
dan nilai eigen kompleks.
Bentuk umum kestabilan untuk tipe nilai
eigen real adalah:
1. Jika setiap orbit mendekati titik tetap, maka
titik tetap itu disebut titik tetap stabil. Tipe
ini ditunjukkan oleh Gambar 1.a.

2.

3.

Jika setiap orbit bergerak menjauhi titik tetap,
maka titik tetap itu disebut titik tetap
takstabil. Tipe ini ditunjukkan oleh Gambar
1.b.
Jika ada orbit yang bergerak mendekati dan
ada orbit yang menjauhi titik tetap, maka titik
tetap itu disebut titik pelana (sadel). Tipe ini
ditunjukkan oleh Gambar 1.c.

Bentuk umum kestabilan untuk tipe nilai eigen
kompleks adalah:
1. Jika setiap orbit mendekati titik tetap secara
spiral, maka titik tetap tersebut merupakan
titik tetap spiral stabil. Tipe ini ditunjukkan
ole11 Gambar 2.a.
2. Jika setiap orbit ~nenjauhititik tetap secara
spiral, lnaka titik tetap tersebut merupakan
titik tetap spiral takstabil. Tipe ini
ditunjukkan oleh Gambar 2.b.
3. jika orbit-orbit bergerak mengelilingi titik
tetap sehingga membentuk kurva tertutup,
maka titik tetap tersebut merupakan titik tetap
stabil netral.
Tipe ini ditunjukkan oleh
Gambar 2.c.
[Hasibuan, K. M. 19891
Gambar 2. Bentuk umum kestabilan titik tetap
untuk tipe nilai eigen kompleks
(a. Spiral stabil, b. Spiral takstabil,
c. Stabil netral).
Teorema Kestabilan
Misalkan
x = Ax adalab suatu sistem
persamaan diferensial dengan A matriks real
berukuran
2x2.
Misalkan juga persamaan
karakteristik dari matriks A diberikan oleh
h 2 + B h + C = 0 , d e n g a n B = t r ( ~ )dan C = d e t A .
Kestabilan sistem persamaan diferensial di atas
diperoleh dari:
1. Jika B > 0 dan C > 0, maka titik tetap bersifat
stabil.
2. Jika B < 0 dan C > 0, maka titik tetap bersifat
tak-stabil.
3. Jika C < 0, maka titik tetap bersifat sadel
takstabil.
4. Jika B = 0 dan C > 0, maka titik tetap bersifat
stabil netral.
Bukti : [Indaryani, L. 19991
Gambar 1. Bentuk ulnuln kestabilan titik
tetap untuk tipe nilai eigen real
(a. Stabil, b. Takstabil, c. Sadel).

2.6 Bidang Fase dan Orbit Solusi
Perhatikan sistem persamaan diferensial
berikut ini:

Solusi sistem persamaan diferensial (16)
lnelnbentuk suatu kurva berdimensi 3 dengan
koordinat (t,x,y). Karena secara eksplisit t tidak ada
dalam sistem tersebut, maka setiap solusi sistem
(16) untuk to < t < t, membentuk kurva di bidang
(x, y), atau jika t bergerak dari to ke t,, gugus titiktitik (x(t), y(t)) membentuk suatu kurva di bidang
(x, y). Kurva ini disebut orbit (trayektori) yang
merupakan solusi persamaan (16). Sedangkan
bidang (x, y) disebut bidang fuse solusi tersebut.
Dengan kata lain orbit solusi suatu sistem
persamaan diferensial adalah lintasan yang
dilakukan oleh solusi di bidang (x, y).
[Hasibuan, K. M. 19891
2.7 Garis Isnklin dan Arah Gerak Solusi
Kurva dengan F (xa) = k, k konstanta, disebut
suatu isoklin dari persamaan diferensial(l6).
Salah satu cara untuk memperoleh gambaran
orbit sistem persamaan diferensial (SPD) (16),
terutama untuk persamaan diferensial yang solusi
persamaan diferensialnya tidak dapat dicari secara
eksplisit, adalah dengan menggunakan metode
isoklin dan arah gerak solusi. Hal ini dapat
dilakukan karena SPD (16) membentuk suatu
medan arah di bidang (x, y), sehingga orbit yang
baik dapat diperoleh dengan cara memplot
sejumlah kemiringan orbit pada titik-titik di bidang
fase.
Isoklin-isoklin dari persamaan (16) adalah
kurva yang seluruh unsur-unsur garisnya
melnpunyai kemiringan tertentu. Jadi setiap orbit
solusi suatu persamaan diferensial yang melalui
suatu isoklinnya memiliki kemiringan yang sama.
Misalkan 0 adalah sudut antara arah gerak
orbit yang terletak pada garis isoklin terhadap
sumbu x. Ada dua isoklin yang paling penting,
yaitu isoklin &/dt = 0 yang berpadanan dengan
B = ~ 1 2 dan
,
isoklin &/dt = 0 yang berpadanan
dengan 0 = 0. Perhatikan Gambar 3 berikut ini:

I

I

Gambar 3. Isoklin dan kemiringan orbit
yang melaluinya
Pada isoklin F = 0 dengan 0 = xni, orbit
lnemiliki arah gerak vertikal karena x tetap.
Sedangkan pada isoklin G = 0 dengan 0 = 0, orbit
memiliki arah gerak horizontal karena y tetap.
Dari penjelasan tadi diperoleh bahwa
-ok - F = 0 atau

& = G = 0 pada garis isoklin.
-

Akibatnya, nilai

dv
- atau menjadi negatif

dt

dl

dr

dt
dt
~..
...
pada salah satu daerah yang dipilah oleh garis
isoklin. Perhatikan arah panah pada Gambar 4 dan
Gambar 5.

I

I

Gambar 4. Isoklin F = 0 beserta arah gerak orbit

Gantbar 5. lsoklin G = 0 beserta arah gerak orbit

Arah gerak orbit pada suatu anak gugus
bidang fase (x, y), ditentukan berdasarkan nilai

resultan anak panah pada kedua isoklin tersebut.
[Hasibuan, K. M. 19891

111 PEMODELAN DINAMIK PENYEBARAN GONORRHEAE
Model penyebaran gonorrheae dikembangkan
oleh Martin Braun (1975). Asurnsi dari pemodelan
ini adalah sebagai berikut:
I. Penyebaratlnya melalui hubungan seksual
lawan jenis (heteroseksual).
2. Setiap individu yang rentan akan tertular jika
berhubungan seksual dengan orang yang
terinfeksi gonor-rheae.
3. Conorrheae tidak memberikan kekebalan
terhadap penderita yang telah melakukan
pengobatan, artinya bahwa kemungkinan
terinfeksinya kembali masih ada.
4. Setelah
pengobatan,
penderita
tidak
berinteraksi (berhubungan seksual) lagi
dengan orang yang terinfeksi.
Perhatikan
berikut:

sistem

persamaan

diferensial

dengan,
nlr

cN

: laju pe~?umbuhanpenderita laki-laki per

satuan waktu
dl

: laju pe~tumbuhanpenderita perempuan

per satuan waktu.

x
y
a,
o2

: banyaknya penderita laki-laki.

: banyaknya penderita perempuan.
: tingkat keberhasilan pengobatan penderita
laki-laki.
: tingkat keberhasilan pengobatan penderita
perempuan.

: tingkat resiko penularan terhadap lakilaki.
: tingkat resiko penularan terhadap
b~
perempuan
CI
: banyaknya populasi laki-laki.
cz
: banyaknya populasi perempuan.
cl -x : banyaknya populasi laki-laki yang
mudah tertular (rentan).
c? - y : banyaknya populasi perempuan yang
mudah tertular (rentan).

b~

Menurut Martin Braun (1975), kondisi yang
biasanya dipenuhi adalah al > q, yakni tingkat
keberhasilan pengobatan penderita laki-laki lebih
besar daripada tingkat keberhasilan pengobatan
penderita perernpuan, karena jika laki-laki
terinfeksi maka gejalanya akan cepat timbul,
dengan demikian
akan cepat melakukan
pengobatan.
Nilai-nilai a l , a2, bl, b,, c l , c,, x dan y selalu
positif, dengan 0 < x < c, dan 0 < y < c,. Nilainilai al,a2 masing-masing sebanding dengan
banyaknya populasi laki-laki dan perempuan.
Nilai-nilai bl, b, masing-masing sebanding dengan
banyaknya populasi laki-laki atau perempuan yang
mudah tertular (rentan) dan banyaknya penderita
laki-laki atau penderita perempuan.
Nilai-nilai parameter a,, a>, b13 b~ yang
digunakan pada ~liodelini harus memenuhi syarat,
antara lain O < a l < l , O < a , < I , O < b l < l ,
0 < b, < 1, karena a,, a, masing-masing adalah
tingkat keberhasilan pengobatan penderita laki-laki
dan perempuan, sedangkan b,, b2 masing-masing
adalah tingkat resiko penularan terlladap laki-laki
dan perempuan.

IV. ANALISIS MODEL DINAMIK PENYEBARAN GONORRHEAE
4.1 Penentuan Titik Tetap
Pemodelan ini hanya didefinisikan pada
kuadran pertama, dengan demikian titik tetap pada
model ini didefioisikan pada kuadran pertama,
dengan kata lain terjadi keseimbangai~ positif,
karena x(t) dan At) tidak pernah negatif. Nilainilai x(t) dan At) masing-masing tidak pernah
melebihi cldan c2.
Perhatikan sistem persamaan diferensial (17).
dY = 0 , atau
Titik tetap diperoleh apabila cl: = dt dl

-

1.

2.

Kasus a,@ < b,b2c,c2
Pada kondisi ini, titik tetap yang diperoleh
ada dua, yaitu TIdan T2,karena T2 bernilai
positif dan berada pada kuadran pertama.
Kasus ala2> blb2cIc2
Pada kondisi ini, titik tetap yang diperoleh
hanya ada satu, yaitu titik tetap TI. Titik tetap
T2 bemilai negatif (1' < 0 dan y' < 0) dan
tidak berada pada kuadran pertama. Oleh
karena itu, T2tidak akan dibahas.

4.2 Matriks Jacobi

Perhatikan persamaan (IS) dan (19) yang
dapat dituliskan kembali berikut ini:

dari persamaan (18) dan (19) diperoleh:
'IX

= b,(c,- x)

'7,

dan x =

Y

(20)

b2(~2-Y)

Dengan mensubstitusikan nilai y
persamaan x =

b2 (

-Y )

ke

dalain

Dengan melakukan pelinearan pada sistem
persamaan diferensial (23) maka akan diperoleh
matriks Jacobi berikut ini :

,maka diperoleh:

~ 2

Kemudian nilai x disubstitusikan ke dalam
alx
persamaan y = bl (cl
maka diperoleh:
Untuk titik tetap TI : (0,0), diperoleh matriks
Jacobi berikut ini :

Dari sistem persamaan diferensial (17) diperoleh
dua titik tetap, yaitu:
TI(x, y) = (0, 0) dan T2(x, 11) = T2 (x',
Dengan x' dan y' sesuai dengan persamaan (21)
dan (22) di atas.
Selanjutnya dari kedua titik tetap yang
diperoleh, akan ditinjau dua kasus yang
membedakan nilai komponen petnbilang pada
persamaan (21) dan (22) yakni:

Untuk titik tetap Tz (xa) = (x', ye), diperolell
matriks Jacobi sebagai berikut:
J. =[ - q - 4 ~

k-b]

k-4v - 4 - b

Jika a102< blb2cIcZ,maka B = - Gll+ja2) > 0 dan
C = GII j12) - GI, j2,) > 0. Berdasarkan Teorema
Kestabilan pada 2.5.3, titik tetap T2 bersifat stabil.

dengan

Kasus ala22 blb2cIca
Pada kasus ini, sistem persamaan diferensial
(17) hanya memiliki satu titik tetao vaitu titik tetao
TI (0,0), karena T2 berada di 'liar kuadran i.
Perhatikan nilai eigen pada persamaan (24), karena
ala22 blb2clc2 maka diperoleh kedua nilai eigen
negatif (hl < 0 dan ha < 0). Berdasarkan definisi
kestabilan (lihat 2.5.1 pada landasan teori), titik
tetap TI (0,O) bersifat stabil.
b.

j12 =

J21 =

~ I ~ Z (b1c2
C I +a~)-bl( h b 2 ~ 1-ala2)
~2

b2 (b1~2
+ 01)
blbzc2(b?c1+a2)-bz(bib2~1~2
-0102) , dan
bi(b2 + a d
CI

4.4 Plot Bidang Fase

Perhatikan kembali sisteln persamaan
diferensial (23). Definisikan isoklin 41(x) adalah
kurva f (xa) = 0, yaitu yang tnemenuhi
4.3 Analisis Kestabilan di Sekitar Titik Tetap
Analisis kestabilan pada titik tetap untuk
sisteln persamaan diferensial (17) dibagi menjadi
dua kasus yaitu kasus yang telah dijelaskan pada
sub bab 4.1, yakni:

a.

Kasus ala2;
blb2cIc2
Pada kasus ini terdapat aua titik tetap, TI (0,O)
dan T, (x'a').
Dari rnatriks Jl di atas diperoleh persamaan
karakteristik di bawah ini:
C(h) = det (J,-hl) = 0
(-al - A) (-a2-h) - blclb2c2= 0
A'+ (al+a2) A+ ala2- blb2c1c2=0
Dari persatnaan karakteristik ini diperoleh:
-(a,

+9)+d(al +a2)2 -4(oIa2 -6,b2CIC2)) (24,)

Jika ala2 < blb2clc2, maka diperoleh nilai
eigen bernilai A, < 0 dan h2 > 0. Berdasarkan
definisi kestabilan (liliat 2.5.1 pada landasan
teori), titik tetap TI bersifat sadel takstabil.
Dari ~natriksJ2 untuk titik tetap T,, maka
akan diperoleh persamaan karakteristik berikut ini:
C(A) = det (J2-hl) = 0 .
A'-01 1+.122) 1+ O'II J Z Z ) - G I ~J Z I ) = 0
Persa~naan karakteristik di atas analog dengan
bentuk persamaan h% B h + C = 0,
di~nana: B = - GI jZ2)dan
C = 0'11~ z ~ ) - G jd.
Iz

dr
= 0,
dl

sehinggamenghasi'kan:
Y= -- a'x

(CI- X)

- 4!(x).

(25)

Persamaan ini disebut isoklinx.
Definisikan

g (xa)

= 0,

isoklin

4?(x)

adalah

kurva

yaitu kurva yang memenuhi d~ = 0,
(11

sehingga menghasilkan:

=

bzc2x
+b2X) = dz(x).

(02

(26)

Persamaan ini disebut isoklin y
Selanjutnya akan ditinjau kemungkinan bentuk
isoklin dan arah gerak orbit. Pembentukan isoklin
ini dilakukan secara manual, yaitu dengan cara
~nengambil nilai-nilai sembarang berdasarkan
kondisi tertentu yang harus dipenuhi. Dalam ha1
ini, berapapun pengambilan nilai-nilai tersebut
akan menghasilkan pola kurva yang sama.
I. Kondisi ala2< blO2c1c2
Dengan memilih nilai parameter yang sesuai
dengan kondisi di atas (al = 0.99, aa = 0.85,
b l = 0.325, b, = 0.425, cl = 5, c2 = 4) diperoleh
kurva isoklin x (Garnbar 6).

mengakibatkan A t ) turun sehingga orbit akan
bergerak ke arah bawah. Prosedur yang sama
dilakukan terhadap titik pada daerah sebelah bawah
dy > 0 (-dy termlis pada
isoklin y, diperoleh
dl
dl
(23)). Hal ini mengakibatkan y(f) naik sehingga
orbit akan bergerak ke arah atas.

-

I

I

Gambar 6. isoklin x dan arah gerak
orbit horizontal pada kondisi
ala2< blbrc,cz.

Penggabungan Ga~nbar 6 dan Gambar 7
men%asilkan Gatnbar 8. Berdasarkan Gambar 8,
ada empat daerah yang dipilah oleh kedua isoklin
tersebut, yaitu daerah I , daerah 2, daerah 3 dan
daerah 4, dengan keterangan sebagai berikut:
Daerah 1 : dr/dt> 0, dy/d/> 0
Daerah 2 :&/dl < 0, dy/dl > 0
Daerah 3 : dr/dt< 0, dy/dr < 0
Daerah 4 : Wd1> 0, dy/dr < 0

Setiap titik pada daerah sebelah kiri isoklin x
diperoleh

dx

dx

> 0 (- tertulis pada (23)).
dt
dt

Y

41(r)

Hal ini

mengakibatkan x(t) naik sehingga orbit akan
bergerak ke arah kanan. Prosedur yang sama
dilakukan terhadap titik pada daerah sebelah kanan
isoklin x, diperoleh

dr
dx
< 0 (- tertulis

pada (23)).
dl
dl
Hal ini mengakibatkan x(!) turun sehingga orbit
akan bergerak ke arah kiri.
Dengan menggunakan nilai parameter di atas,
kurva isoklin y yakni +&) pada persamaan (2.6)
diperoleh kurva (Gambar 7).

I

J

Gambar 8. Resultan anak panab yang
menyatakan arah gerak orbit
pada kondisi a l q < b1bIclc2
Perhatikan anak panah pada Gambar 8,
Resultan anak panah tnenyatakan arah gerak orbit.
Berdasarkan resultan anak panab pada Gambar 8,
arah gerak orbit niendekati titik keseimbangan,

2.

Gambar 7. lsoklin y dan arah gerak
orbit vertikal pada kondisi
alaz< blb2Clcz.
Setiap titik pada daerah sebelah atas isoklin JJ
dv < 0 (-d~ tertulis pada (23)). Hal ini
diperoleh dt
dt

Kondisi alaz2 blb2c1cz
Nilai parameter yang dipilih secara
sembarang tapi memenuhi kondisi di atas ialah
a l = 0 . 9 9 , a 2 = 0 . 8 5 , bl=0.155, bz=0.025, c 1 = 6 ,
cz = 12. Pada kondisi ini, akan dibahas dua isoklin,
yaitu isoklin x dan isoklin y, untuk isoklin x
diperoleh bentnk kurva berikut ini:

bergerak ke arah bawah. Prosedur yang sama
dilakukan terhadap titik pada daerah sebelah bawah

Gambar 9. Isoklin x dan arah yerak
orbit horizontal oada kondisi

du > 0
-

(-dy tenulis pads
dt
dl
(23)). Hal ini ~nengakibatkany(t) naik sehingga
orbit akan bergerak ke arah atas.
Penggabungan Gambar 9 dan Gambar 10
menghasilkan Gambar 11. Berdasarkan Gambar
11, ada tiga daerah yang dipilah oleh kedua isoklin
tersebut, yaitu daerah 1, daerah 2 dan daerah 3.
dengan keterangan sebagai berikut:
Daerah 1 : dx/dt > 0, dy/dt < 0
Daerah 2 :
< 0, a$/df < 0
Daerah 3 :
< 0, dy/dl> 0

isoklin y, diperoleh

Setiap titik pada daerah sebelah kiri isoklin x
diperoleh

dr

ak

-> 0 (-

tertulis pada (23)). Hal ini
d!
dt
mengakibatkan x(t) naik sehingga orbit akan
bergerak ke arah kanan. Prosedur yang sama
dilakukan terhadap titik pada daerah sebelah kanan
isoklin x, diperoleh

ak
ak
< 0 (- tertulis pada (23))

dl
dt
Hal ini mengakibatkan x(t) turun sehingga orbit
akan bergerak
ke arah kiri.
Dengan menggunakan nilai parameter di atas,
kurva isoklin y yakni $&) pada persamaan (2.6)
diperoleh kurva (Gambar 10).

Gambar I I. Resultan anak panah yang
menyatakan arah gerak orbit
pada kondisi a,a2t blb2cIc2.
Perhatikan anak panah pada Gambar 8.
Resultan anak panah menyatakan arah gerak orbit.
Berdasarkan resultan anak oanah oada Gambar 8.
arah gerak orbit mendekati titik keseimbangan
(0,0).

Gambar 10. Isoklin y dan arah gerak
orbit vertikal pada kondisi
ala22 blb2cIc2.
Setiap titik pada daerah sebelah atas isoklin y
d.
dy
-a;.
Pada kondisi a l a 2 < blb2cIc2,dengan nilai
parameter sama dengan nilai pada orbit dan
kestabilan sistem (lihat 4 3 , sehingga diperoleh
grafik sebagai berikut:

semakin berkurang hingga mencapai jumlah yang
minimum dan selanjutnya akan berada pada jumlah
yang tetap.
Pada kondisi a,a2 2 blb2cIc2,dengan nilai
parameter sama dengan nilai pada orbit dan
kestabilan sistem (lihat 4.9, sehingga diperoleh
grafik sebagai berikut:

Gambar 14. Perkembangan penderita
laki-laki (x) pada kondisi
ala2< blb2clc2.
Gambar 14 menunjukkan bahwa pada selang
waktu 1 tertentu lintasan kuwa semakin menurun
hingga mencapai titik minimum. Selanjutnya
lintasan kurva akan konstan sampai t mendekati
tak hingga. Hal ini menunjukkan bahwa selama
selang waktu tertentu banyaknya penderita
gonorrheae untuk laki-laki (x(r)) akan semakin
berkurang hingga mencapai jumlah yang minimum
dan selanjutnya akan berada pada jumlah yang
tetap.

Gambar 16. Perkembangan penderita
laki-laki (x) pada kondisi
a l q 2 blb2cIc2.
Gambar 16 menunjukkan bahwa lintasan
kurva semakin menurun selama selang waktu t.
Pada saat waktu t mendekati takhingga maka x(r)
akan mendekati 0. Hal ini menunjukkan bahwa
banyaknya penderita gonorrheae untuk laki-laki
( ~ ( 1 ) ) akan semakin berkurang sehingga pada
akhirnya banyaknya penderita go~torrheae untuk
laki-laki tersebut nol.

penderita
Ga~nbar 15. Perkembangan
perelnpuan (v) pada kondisi
a1a2< b l b l c ~ c ~ .
Gambar 15 lnenunjukkan bahwa pada selang
waktu r tertentu lintasan kurva semakin menurun
liingga mencapai titik minimum, selanjutnya
lintasan kurva akan konstan. Hal ini menunjukkan
bahwa selama selang waktu tertentu banyaknya
penderita gonowl7eae untuk pereliipuan @(I)) akan

Gambar 17. Perkembangan
penderita
perempuan
pada kondisi
a , $ > blb2cIc2.

Gambar 17 menunjukkan bahwa lintasan
kurva semakin menurun selama selang waktu t.
Pada saat waktu t mendekati takhingga makay(t)
akan mendekati 0. Hal ini menunjukkan bahwa

banyaknya penderita gonorrheae untuk perempuan
W t ) ) akan semakin berkurang sehingga pada
akhirnya banyaknya penderita gonorrl7eae untuk
perempuan tersebut nol.

V. KESIMPULAN
Model
dina~nika tentang
penyebaran
gonorrhcae dikembangkan . oleh Martin Braun
(1975). Pemodelan ini membahas penyebaran
penyakit gonorrheoe yang disebabkan oleh
hubungan seksual lawan jenis individu rentan
mudah tertular jika berhubungan seksual dengan
orang yang terinfeksi.
Analisis kestabilan yang dilakukan pada
model ini diinterpretasikan ke dalam suatu contoh
di~nanapermasalahan yang ada dibagi dua kasus.
Kasus pertama yaitu pada saat ala2< b1b2cIc2,
dan
kasus kedua yaitu n,a2 2 blb2cIc2.
Kasus pertama, sistem memiliki dua titik
tetap, titik tetap TI = (0, 0) yang bersifat sadel
takstabil dan titik tetap T2 = (x8,y'). dengan

yang bersifat stabil. Hal ini menunjukkan bahwa
untuk kasus ini banyaknya penderita gonorrheae
baik laki-laki maupun perempuan pada akhirnya
akan mengalami jumlah yang tetap (konstan).
Kemudian untuk kasus kedua, sisteln hanya
memiliki satu titik tetap TI = (0,0) yang bersifat
stabil. Hal ini menunjukkan bahwa banyaknya
penderita gonorrheae untuk laki-laki dan
perempuan semakin lama akan semakin berkurang
sampai akhirnya penyakit tersebut sembuh (tidak
ada lagi yang terinfeksi).

DAFTAR PUSTAKA
Anton, H.
1987. Aljabar Linear Eletnenler.
Terjemahan Pantur Silaban. Erlangga, Jakarta

1980.
Mathematical
Frauenthal, J. C.
Modeling in Epidenziology. Springer-Verlag,
New York.

Braun, M. 1975. Differential equations and
their applications,
Applied Marhea~atical Hasibuan, K. M. 1989. Dinamika Populasi,
Penzodela~z Matenzatika didalanl Biologi
Sciences Series. 15: 208 - 2 16.
Populasi. PAU IPB, Bogor.
Braun, M., S. C.Courtney, dan A. D. Donald.
Equation Models. Indaryani, L. 1999. Bifurkasi lokal pada titik
1983. D~fferential
tetap
non-hiperbolik.
Skripsi.
Jurusan
Springer-Verlag, New York.
Matematika FMlPA IPB, Bogor.
Falimi, S. ' 1997. Gonore, hal. 44-51. Di dalam
1994. Dynamical Sysrenz. .In
Bahaya Penyakit K~rlitdon Kelanzh. Lukrnan Tu, N. V.
Introduction with Application in Ecotlo~~lic
Hakim (penyunting). FKUI-RSUPN Dr. Cipto
and Biologv. Springer - Verlag, Heidelberg
Mangunkusumo, Jakarta.

LISTlNG PROGRAM MAPLE
# Bidang Fase Perkembangan Penderita Laki-laki pada Kondisi ala2< blb2clc2(Gambar 14)

> Restart;
> a,:=0.99:a2:=0.95:b1:=0.049:b2:=0.575:cl:=20:c2:=20:
> with (DEtools):
G Phaseportrait
([D(x)(t)=-a1 *x(t)+b I *(c l-x(t))*y(t),D(y)(t)=-a2*y(t)+b2*(~2-y(t))*x(t)].\[x(t),y(t)J,
t=O.. 10,[[x(0)=1O,y(0)=1OJ],stepsize=0.05,\scene=[t,x(t)],linecolo~[blue],
tnetl~od=classical[foreuler]);
# Bidang Fase Perkembangan Penderita Perempuan pada Kondisi a l a 2< blb2cIc: (Gambar 15)

> Restatt;
> a1:=0.99:a~:=0.95:~:=0.049:b~:=0.575:c~:=20:~~:=20:
> with (DEtools):
G Phaseportt.ait
([D(x)(t)=-ai*x(t)+bi*(cl-x(t))*y(t),D(y)(t)=-a2*y(t)+b2*(c2-y(t))*x(t)J,\[x(t),y(t)],
t=O.. lO,[[x(O)=lO,y(O)=lO]],stepsize=O.O5,\scene=[t,y(t)],linecolor=[blue],
metliod=classical[foreuler]);
# Bidang Fase Perkembangan Penderita Laki-laki pada Kondisi ala22 blbZcIc2(Gambar 16)

> Restatt;
> al:=0.99:a2:=0.9:bl:=0.0435:b2:=0.037:cl:=20:c2:=20:
9 with (DEtools):
G phaseportrait ([D(x)(t)=-al*x(t)+bl*(cl-x(t))*y(t),
D(y)(t)=-a2*y(t)+b2*(c2-(t))*x(t)],\[x(t),y(t)],
t=O.. 1 O,[[x(O)=lO,y(O)=lO]J,stepsize=O.O5,kcene=[t,x(t)],linecolo~[blue~,
metl~od=classical[foreuler]);
# Bidang Fase Perkembangan Penderita Perempuan pada Kondisi a l a 22 blb2cIc2(Gambar 17)
> Restart;
> al:=0.99:a2:=0.9:bl:=0.0435:b2:=0.037:cl:=20:c2:=20:
9 with (DEtools):
G phasepo~.trait ([D(x)(t)=-al*x(t)+bI*(cl-x(t))*y(t),
D(y)(t)=-aZ*y(t)+b2*(~2-(t))*x(t)],\[x(t),y(t)],
t=O.. lO,[[x(O)=lO,y(0)=1O]],stepsize=0.05,\scene=[t,y(t)J,linecolor=[blueJ,
method=classical[foreule~~]);

ANALISIS KESTABILAN
MODEL PENYEBARAN,GONORRHEAE

Oleh:
AT1 ROHAYATI

JURUSAN MATEMATIKA
HAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2001

I. PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
Meningkatnya jumlah penderita penyakit yang
disebabkan oleh hubungan seksual seperti
gonorrheae, cl~lamydia, syphilis dan AIDS
merupakan masalah utama di bidang kesehatan
pada negara maju maupun negara berkembang.
Sebagai contoh, di Amerika Serikat setiap
tahunnya lebih dari dua juta orang menderita
penyakit gonorrheae. Jumlah tersebut jauti lebih
besar dari total penderita penyakit lainnya [Fahmi,
S. 19971.
Penderita penyakit gonorrheae ini umumnya
para pekerja seks dan mereka yang melakukan seks
tak wajar. Untuk mengetahui apakah seseorang
tersebut terjangkit atau tidaknya, dibutuhkan waktu
yang cukup lama. Hal ini disebabkan masa
terinfeksinya yang cukup lama.
Seseorang yang telah dinyatakan sembuh dari
penyakit
gonorrheae
ini
kemungkinan
terjangkitnya kembali sangat besar, karena belum
ditemukannya vaksin pencegah penyakit tersebut.
Pennasalahan tersebut merupakan masalah
yang menarik untuk dimodelkan. Oleh karena itu
diperkenalkan model epidemik sederhana yang
menggambarkan penyebarannya.
Sehubungan dengan masalah penyebaran dari
penyakit gonorrheae ini, maka pada tulisan ini
akan dibuat suatu analisis yang membahas
kestabilan dan solusi model dinamik penyebaran
gonorrheae berdasarkan diagram fase. Analisis
kualitatif model penyebaran gonorrheae dilakukan
karena model tersebut merupakan sistem
persamaan diferensial taklinear yang terlalu rumit
untuk diaualisis secara kuantitatif.
Analisis
kualitatif
model
penyebaran
gonorrheae ini dilakukan melalui pendekatan
sistem dinamik dengan menggunakan bantuan
sofhvarc Locbif dan Maple.

1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah
untuk ~nenganalisis kestabilan dan menganalisis
solusi kualitatif dari model dinamik penyebaran
gonorrl?eae.
1.3 Penjelasan Singkat tentang Gonorrlreae
Gonorrheae adalah sejenis penyakit kelamin
yang disebabkan oleh bakteri gonococcus yang

menyebar melalui hubungan seksual. Bakteri
gonococcus ini ditemukan oleh Neisser pada tahun
1879. Gonococcus termasuk golongan diplokok
(Genus bakteri dari famili Actabacillaceae yang
terdiri dari dua sel kokkus yang kembar),
berbentuk biji kopi dengan lebar 0.8 dan panjang
1.6 p. Bakteri ini bersifat negatif-Gram (dinding
sel bakteri mempunyai kandungan lipida yang
tinggi), bersifat tahan asam, tampak di luar dan di
dalam leukosit, tidak tahan lama di udara bebas,
cepat mati pada keadaan kering, tidak tahan suhu
di atas 39°C dan tidak tahan zat disinfektan (anti
kuman / pembersih).
Daerah yang paling mudah terinfeksi adalah
daerah dengan mukosa epitel kuhoid atau lapis
gepeng yang belum berkembang (imatur), yakni
pada vagina wanita sebelum pubertas. Masa tunas
gonorrheae sangat singkat, pada pria umumnya
berkisar antara 2 - 5 hari, kadang-kadang lebih
lama.
Sedangkan pada wanita masa tunas
gonorrheae sulit untuk ditentukan karena pada
umumnya bersifat asimtomatik (berubah-ubah).
Pada pria, kuman masuk ke uretra. Hal ini
akan menimbulkan radang pada uretra (uretritis),
yang paling sering adalah uretritis anterior akuta
dan dapat menjalar ke proksimal (depan atau ujung
pangkal) yang mengakibatkan komplikasi lokal,
asenden (menuju ke depan) dan diseminata
(pangkal uretra). Keluhan subyektif berupa rasa
gatal, panas di bagian distal (pangkal) uretra di
sekitar lubang luar uretra, kemudian disusul
disuria, polakisuria, keluar cairan dari ujung uretra
yang kadang-kadang disertai darah, dapat pula
disertai nyeri pada waktu ereksi. Pada beberapa
kasus dapat terjadi pembesaran kelenjar getah
bening.
lnfeksi pada wanita, pada mulanya
hanya mengenai leher rahim, kadang-kadang
menimbulkan rasa nyeri pada panggul bawah.
Diagnosa pada penyakit ini dilakukan atas
dasar perbandingan, pemeriksaan klinis dan
pemeriksaan pembantu. Secara epidemiologis
pengobatan yang dianjurkan adalah obat dengan
dosis tunggal. Jika tidak diobati dengan segera
akan mengakibatkan kemandulan, cacat, gangguan
pertumbuhan, radang sendi, kanker bahkan juga
kematian.
[Fahmi, S. 19971

11.

LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear
Mandiri
Perhatikan sistem persamaan diferensial (SPD)
berikut ini:

... >X.(f))

XI

= h (xi (tb

i 2

= f2 (11
(11, ... ,.,,(I))

(1)

dengan
fi, fi, ... , sebagai fungsi dari
XI (I), x2 (t);.., x,, (I), yang kontinu, bernilai real,
dan mempunyai turunan parsial kontinu disebut
sistem persamaan diferensial mandiri, karena
perubahan x dan y dinyatakan sebagai fungsi dari x
dan y sendiri yang tidak mengandung t secara
eksplisit.
Sistem persamaan diferensial mandiri dapat
dinyatakan dalam bentuk matriks berikut:
x=Ax
(2)
.,

11,

dengan x = .

x,,

.=!I,

danAadalab

x,,

matriks berukuran nxn.
[Hasibuan, 19891
Definisi: (Titik Tetap)
Sisteln persamaan diferensial (1) dapat ditulis
dalam bentuk :
i =f(x)
(3)
dengan f fungsi yang terturunkan. ~ i t i k x 'dengan
x = 0 disebut titik hitis