ANALISIS KESTABILAN DAN KONTROL OPTIMAL PENYEBARAN POLIO DENGAN VAKSINASI
ADLN – PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
ANALISIS KESTABILAN DAN KONTROL OPTIMAL PENYEBARAN
POLIO DENGAN VAKSINASI
SKRIPSI
LISTA AMIRHOTUL BITAHAMISYAH
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS AIRLANGGA
SURABAYA
2016 ADLN – PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA i
ANALISIS KESTABILAN DAN KONTROL OPTIMAL PENYEBARAN
POLIO DENGAN VAKSINASI
SKRIPSI
LISTA AMIRHOTUL BITAHAMISYAH
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS AIRLANGGA
SURABAYA
2016
ADLN – PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga. iv
KATA PENGATAR
Puji syukur kepada Allah S.W.T yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Analisis Kestabilan dan Optimal Kontrol Penyebaran Polio dengan Vaksinasi“ dengan baik, lancar dan tepat pada waktunya.
Skripsi ini untuk memenuhi salah satu syarat kelulusan dalam jenjang perkuliahan studi S1 Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga, Surabaya.
Penulisan skripsi ini tidak lepas dari semua pihak yang telah membantu, mendukung, dan memberikan bimbingan kepada penulis. Oleh karena itu, penulis sampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Universitas Airlangga Surabaya serta Fakultas Sains dan Teknologi yang telah memberikan penulis banyak pengalaman dan pembelajaran, dan membantu urusan perkuliahan penulis.
2. Departemen Matematika yang telah membantu segala urusan penulis dalam perkuliahan.
3. Dr. Eridani, M.Si selaku dosen wali yang selalu memberikan motivasi kepada penulis.
4. Dr. Fatmawati, M.Si dan Dr. Miswanto, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan dukungan terhadap penulisan skripsi ini.
5. H. Abdur Rosyid dan Hj. Khoiriyah selaku orang tua dan keluarga besar penulis yang telah memberikan dukungan dan do’a kepada penulis. vi vii
6. Para sahabat, Bayu, Yanti, Windha, Marcellia, Rezza, Nita, Difa, Arista, Isa, Indra, Steven, Prabu, Boim, Nabila, Faidatun, Winda, Uki, Pewe, Grenda, Bima, Esty, Risa, Toni dan Patria yang selalu memberikan semangat dan dukungan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
7. Teman-teman Matematika angkatan 2011 yang telah memberikan pengalaman kepada penulis.
8. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan seluruhnya yang telah membantu dalam menyelesaikan skripsi.
Semoga skripsi ini dapat berguna untuk pembaca.
Surabaya, Januari 2016 Penulis Lista Amirhotul Bitahamisyah, 2016, Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal Penyebaran Polio dengan Vaksinasi,
Skripsi ini dibawah bimbingan Dr. Fatmawati, M.Si dan Dr. Miswanto, M.Si, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga.
ABSTRAK
Polio adalah penyakit infeksi paralisis yang disebabkan oleh virus. Virus polio menyerang sel kornu anterior medulla spinalis, inti motorik batang otak dan area motorik korteks otak, dan atrofi otot. Virus ini memasuki aliran darah dan mengalir ke sistem saraf pusat menyebabkan melemahnya otot dan dapat mengakibatkan kelumpuhan hingga kematian. Oleh karena itu, perlu adanya kontrol untuk menanggulangi penyebaran polio yaitu dengan pemberian vaksin. Ada dua jenis vaksin yang digunakan yaitu Oral Polio Vaccine (OPV) dan
Inactivated Polio Vaccine (IPV).
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk menganalisis kestabilan dari model matematika penyebaran polio baik secara analitik maupun numerik, serta melakukan kontrol optimal pada model matematika penyebaran polio tersebut. Dari analisis model tanpa kontrol diperoleh dua titik setimbang, yaitu titik setimbang bebas penyakit dan titik setimbang endemik. Selain itu didapatkan besaran bilangan reproduksi dasar penyebab polio ( ) dengan menggunakan metode Next-
Generation Matrix
ini menentukan eksistensi dan kestabilan (NGM). Besaran titik setimbang model. Sedangkan syarat cukup untuk kontrol optimal dari pengontrol dapat dicari dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin.
Simulasi numerik dilakukan dengan menginputkan nilai parameter dari model matematika polio dengan menggunakan program kompuer Matlab. Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa dengan kontrol vaksinasi ( ) dapat lebih efektif untuk meminimalkan penyebaran polio dengan biaya minimal. viii
Lista Amirhotul Bitahamisyah, 2016, Stability Analysis and Optimal Control of Polio Spread using Vaccination,
This undergraduate thesis is supervised by Dr. Fatmawati, M.Si and Dr. Miswanto, M.Si, Mathematics Department, Faculty of Science and Technology, Airlangga University.
ABSTRACT
Polio is an infectious disease caused by a virus. The polio virus strikes kornu anterior medulla spinal cord cells, the motor nucleus of brain stem, motor area of the cortex of the brain, and muscle atrophy. This virus enters the blood stream and flows to the central nervous system, causing weakening muscle and could result in the paralysis to death. Therefore, there should be a control to address the spread of polio by giving vaccines. There are two types of vaccine that can be used, which are oral polio vaccine (opv) and inactivated polio vaccine (ipv).
The purpose of this thesis is to analyze the stability of the mathematical model of the spread of polio disease using vaccination both analytically and numerically, and apply optimal control on the model using vaccination. From the analysis of the model without control, we obtained two equilibriums. These are disease free equilibrium and endemic equilibrium. A value of Basic Reproduction Ratio ( ) using by Next-Generation Matrix (NGM) is also obtained. The value of
) determines the existence and stability of the Basic Reproduction Ratio ( equilibrium point. Using Pontryagin Maximum Principle, we obtain sufficient conditions of the existence of optimal control . Numerical simulation results showed that the implementation of control which is vaccination ( ) is effective to minimize the spread of polio disease with minimal cost. ix
ADLN – PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL.............................................................................................. i LEMBAR PERNYATAAN .................................................................................. ii LEMBAR PENGESAHAN .................................................................................. iii PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI .............................................................. iv SURAT PENYATAAN TENTANG ORISINALITAS ........................................ v KATA PENGANTAR .......................................................................................... vi ABSTRAK ........................................................................................................... viii ABSTRACT .......................................................................................................... ix DAFTAR ISI ......................................................................................................... x DAFTAR TABEL ................................................................................................ xii DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiii DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................ xiv
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ....................................................................................... 1
1.2 Rumusan Masalah .................................................................................. 3
1.3 Tujuan .................................................................................................... 3
1.4 Manfaat .................................................................................................. 4
1.5 Batasan Masalah .................................................................................... 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Polio ...................................................................................................... 5
2.1.1 Etiologi .......................................................................................... 5
2.1.2 Morfologi Poliovirus (PV) ............................................................ 5 x
ADLN – PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA xi
2.1.3 Ekologi atau Penyebaran Penyakit ................................................ 6
2.1.4 Gejala Klinis ................................................................................. 6
2.1.5 Jenis-jenis Polio ............................................................................ 8
2.2 Kontrol Penyebaran Penyakit................................................................. 9
2.2.1 Jenis Vaksin ................................................................................. 10
2.3 Sistem Persamaan Diferensial ............................................................... 10
2.4 Kestabilan Sistem Linier ....................................................................... 12
2.5 Kriteria Routh-Hurwitz ......................................................................... 15
2.6 Masalah Kontrol Optimal...................................................................... 16
2.7 Prinsip Minimum Pontyagin ................................................................. 17
2.8 Basic Reproduction Number ................................................................. 19
2.9 Matlab (Matrix Laboratory)................................................................. 21
BAB III METODE PENELITIAN ...................................................................... 22 BAB IV PEMBAHASAN .................................................................................... 24
4.1 Analisis Model ..................................................................................... 24
4.1.1 Titik Setimbang Model ................................................................ 28
4.1.2 Analisis Kestabilan Asimtotis Lokal............................................ 31
4.2 Model Matematika Penyebaran Polio dengan Kontrol Optimal ........... 39
4.2.1 Simulasi Numerik ........................................................................ 44
BAB V PENUTUP............................................................................................... 54
5.1 Kesimpulan ........................................................................................... 54
5.2 Saran...................................................................................................... 55 DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 56
ADLN – PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA xii
Perbandingan Jumlah Populasi Individu Laten Tahun Ke-10 .............. 47
Tabel 4.9
Perbandingan Jumlah Populasi Individu yang Diberikan Upaya Vaksinasi Tahun Ke-10 ........................................................................ 51
Tabel 4.8
Perbandingan Jumlah Populasi Individu Rentan Tahun Ke-10 ........... 50
Tabel 4.7
Perbandingan Jumlah Populasi Individu Terinfeksi Tahun Ke-10 ...... 48
Tabel 4.6
Tabel 4.5
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel 4.1Nilai Parameter Model Penyebaran Polio ............................................ 37
Tabel 4.4
Nilai Awal ............................................................................................ 37
Tabel 4.3
Parameter dalam Model Penyebaran Polio .......................................... 25
Tabel 4.2
Variabel dalam Model Penyebaran Polio ............................................. 25
Fungsi Ongkos atas Kontrol yang Diberikan ....................................... 52
ADLN – PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 4.1Diagram Transmisi Penyebaran Polio Tanpa Kontrol ..................... 26
Gambar 4.2
Grafik Bidang Fase Populasi terhadap Populasi ....................... 38
Gambar 4.3
Diagram Transmisi Penyebaran Polio dengan Kontrol ................... 40
Gambar 4.4
Dinamika Populasi Laten................................................................. 46
Gambar 4.5
Dinamika Populasi Terinfeksi ......................................................... 47
Gambar 4.6
Dinamika Populasi Rentan .............................................................. 49
Gambar 4.7
Dinamika Populasi Vaksinasi .......................................................... 50
Gambar 4.8
Grafik Kontrol .............................................................................. 52 xiii
ADLN – PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1Perhitungan Basic Reproduction Ratio ( )
Lampiran 2
Perhitungan Titik Setimbang Endemik
1 Lampiran 3
Perhitungan Persamaan Karakteristik pada Titik Setimbang Bebas )
Penyakit (
Lampiran 4
Perhitungan Persamaan Karakteristik pada Titik Setimbang Endemik )
(
1 Lampiran 5
Kode Program Matlab Grafik Bidang Fase Pada Titik Setimbang Endemik ( )
1
xiv SKRIPSI ANALISIS KESTABILAN DAN… LISTA A.B