Sensitivitas Ukuran Amatan Model Autoregresi Fuzzy
SENSITIVITAS UKURAN AMATAN
MODEL AUTOREGRESI FUZZY
SUCI ANGGRAYANI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Sensitivitas Ukuran
Amatan Model Autoregresi Fuzzy adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2014
Suci Anggrayani
NIM G14090019
ABSTRAK
SUCI ANGGRAYANI. Sensitivitas Ukuran Amatan Model Autoregresi Fuzzy.
Dibimbing oleh ITASIA DINA SULVIANTI dan YENNI ANGRAINI.
Metode pemodelan yang umum digunakan dalam analisis deret waktu
adalah Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). Metode ARIMA
lebih efektif diterapkan pada data dengan ukuran amatan besar, sekurangkurangnya 50. Tseng pada tahun 2001 memperkenalkan metode ARIMA Fuzzy
untuk melakukan pemodelan data deret waktu dengan ukuran amatan terbatas.
ARIMA fuzzy menggabungkan keunggulan penelitian sebelumnya, yakni logika
fuzzy, ARIMA dan regresi fuzzy. Merujuk pada penelitian Tseng, penelitian ini
akan menelusuri selang ukuran deret waktu yang optimal apabila dilakukan
pemodelan autoregresi fuzzy pada kondisi tertentu. Hasil penelitian menunjukkan
bahwa model ARIMA fuzzy pada kondisi data deret waktu AR(2)
dengan µ=50 dan dugaan parameter 1=0.600 dan 2=0.300 lebih sensitif ketika
ukuran amatan kurang dari 20.
Kata kunci: ARIMA Fuzzy, Logika Fuzzy, Regresi Fuzzy
ABSTRACT
SUCI ANGGRAYANI. The Sensitivity of Observation Size for Fuzzy
Autoregression Model. Advised by ITASIA DINA SULVIANTI and YENNI
ANGRAINI.
The conventional time series modelling method is Autoregressive Integrated
Moving Average (ARIMA). ARIMA method is more effective if it is applied in
long time periode of observations that at least 50 observations. Tseng on 2001,
introduced Fuzzy ARIMA method to deal time series modelling on short time
periode of observations. Fuzzy ARIMA combines the advantages of fuzzy logic,
ARIMA and fuzzy regression. Considering Tseng’s study the aim of this study is
tracing the optimal observation range size when fuzzy ARIMA method is applied
at the curent condition. The result of this study indicated that fuzzy ARIMA when
the condition of time series data AR(2)
with µ=50 and parameter
estimation 1=0.600 and 2=0.300 was more sensitive when the observation size
less than 20.
Key words: fuzzy ARIMA, fuzzy logic, fuzzy regression
SENSITIVITAS UKURAN AMATAN
MODEL AUTOREGRESI FUZZY
SUCI ANGGRAYANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika
pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Sensitivitas Ukuran Amatan Model Autoregresi Fuzzy
Nama
: Suci Anggrayani
NIM
: G14090019
Disetujui oleh
Dra Itasia Dina Sulvianti, MSi
Pembimbing I
Yenni Angraini, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Ir Hari Wijayanto, MSi
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Tiada kata yang pantas diucapkan selain puja dan puji syukur kehadirat
Allah SWT yang telah memberikan karunia yang luar biasa kepada penulis.
Shalawat beserta salam semoga selalu tercurahlimpahkan kepada baginda
Rasulullah SAW beserta keluarga, sahabat dan pengikutnya.
Merupakan kebahagiaan yang tidak terkira akhirnya penulis dapat
menyelesaikan tugas akhir ini sebagai salah satu syarat kelulusan studi di
Departemen Statistika FMIPA IPB. Walaupun tidak dapat dituliskan satu persatu,
namun penulis menghaturkan banyak terima kasih kepada:
1. Ibu Dra Itasia Dina Sulvianti, MSi beserta Ibu Yenni Angraini, MSi selaku
komisi pembimbing yang dengan penuh kesabaran membimbing serta
memberikan saran dan dorongan kepada penulis untuk menyelesaikan
tugas akhir ini.
2. Ibu Dian Kusumaningrum, MSi selaku dosen penguji yang telah
memberikan masukan dan arahan.
3. Abah, Mama, Yuga Nugraha dan Moch. Irsyad Gunawan yang tak bosanbosannya memberikan doa dan dukungan agar dapat secepatnya
menyelesaikan tugas akhir ini.
4. Rekan-rekan Statistika 2009 atas kebersamaan dalam suka maupun duka.
Akhir kata, semoga tugas akhir ini bermanfaat sehingga menjadi suatu
amalan yang tidak terputus bagi penulis dan semua pihak yang telah turut
membantu. Aamiin.
Bogor, Januari 2014
Suci Anggrayani
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Konsep Himpunan Fuzzy
2
Regresi Fuzzy
3
ARIMA Fuzzy
4
METODOLOGI
5
Bahan
5
Metode
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemeriksaan Program
6
6
Autoregresi Fuzzy
10
Simulasi Sensitivitas Ukuran Amatan Optimum
13
SIMPULAN DAN SARAN
16
Simpulan
16
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
16
RIWAYAT HIDUP
29
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
Ilustrasi data deret waktu hasil bangkitan
Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(1) untuk data ilustrasi
Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(2) untuk data ilustrasi
Deskripsi nilai dugaan parameter model AR untuk berbagai ukuran
amatan
Hasil keluaran fungsi peminimuman model autoregresi fuzzy
Ukuran kebaikan model RMSE untuk data ilustrasi
7
9
9
10
11
13
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Fungsi keanggotaan segitiga
Plot data bangkitan terhadap deret waktu (a) t=10; (b) t=45
Plot ACF data bangkitan (a) t=10; (b) t=45
Plot PACF data bangkitan (a) t=10; (b) t=45
Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=10
Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=45
Plot Rataan RMSE prediksi model AR dan ARF
Plot peluang nilai RMSE model ARF2/√ . (Cryer,2008)
Gambar 3 Plot ACF data bangkitan (a) t=10; (b) t=45
Gambar 4 Plot PACF data bangkitan (a) t=10; (b) t=45
9
Setelah diperoleh model dugaan awal, tahap berikutnya adalah menduga
parameter AR(1). Berdasarkan Tabel 2, diperoleh ϕ̂
.
untuk model dengan
ukuran amatan 10 sedangkan untuk ukuran amatan 45 diperoleh nilai ϕ̂
.
.
Untuk mengetahui keberadaan model lain yang lebih baik dari model dugaan awal
maka tahapan berikutnya adalah melakukan overfitting, yakni menduga model
terdekat yang lebih baik dari model dugaan awal. Model terdekat dari model
AR(1) adalah AR(2). Hasil dugaan model AR(2) untuk kedua ukuran amatan
terangkum dalam Tabel 3. Berdasarkan Tabel 3 diperoleh nilai ϕ̂
.
dan
̂ϕ .
untuk ukuran amatan 10 sedangkan untuk ukuran amatan 45 diperoleh
̂
nilai ϕ .
dan ϕ̂
.305. Keragaman model AR(2) lebih kecil dari model
AR(1). Hal ini mengindikasikan bahwa model AR(2) lebih baik dari AR(1).
Selain itu nilai dugaan parameter AR(2) lebih mendekati nilai parameter data
bangkitan.
Tabel 2 Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(1) untuk data ilustrasi
t
10
45
Nilai
dugaan
AR1
Konstanta
AR1
Konstanta
Log
likelihood
Galat baku
s2
0.792
50.940
0.211
0.703
0.377
-9.810
25.620
0.821
51.175
0.097
0.768
0.908
-62.230
130.460
Koefisien
AIC
Tabel 3 Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(2) untuk data ilustrasi
t
10
45
Nilai
dugaan
AR1
AR2
Konstanta
AR1
AR2
Konstanta
Koefisien
Galat baku
s2
Log
likelihood
AIC
0.583
0.307
50.948
0.282
0.308
0.927
0.332
-9.388
26.760
0.597
0.305
50.734
0.144
0.152
1.242
0.829
-60.380
128.760
Berdasarkan hasil pemeriksaan pada kedua set data tersebut, maka model
yang sesuai adalah model AR(2) dengan dugaan parameter mendekati parameter
bangkitan yakni 1=0.600 dan 2=0.300. Deskripsi nilai dugaan parameter model
AR untuk setiap ukuran amatan dapat dilihat pada Tabel 4. Berdasarkan hasil
yang diperoleh, rataan dugaan parameter 1 berada di sekitar nilai 0.600 dengan
simpangan baku maksimum sebesar 0.012, sedangkan untuk nilai rataan dugaan
parameter 2 berada di sekitar nilai 0.300 dengan simpangan baku maksimum
10
0.024. Hal tersebut mengindikasikan bahwa program pembangkitan yang telah
dibuat sudah berjalan dengan baik dan memenuhi kriteria yang diinginkan.
Tabel 4 Deskripsi nilai dugaan parameter model AR untuk berbagai ukuran
amatan
Ukuran
amatan
10
15
20
25
30
35
40
45
Parameter
Simpangan
baku
Rataan
ϕ1
ϕ2
ϕ1
ϕ2
ϕ1
ϕ2
ϕ1
ϕ2
ϕ1
ϕ2
ϕ1
ϕ2
ϕ1
ϕ2
ϕ1
ϕ2
0.595
0.294
0.601
0.298
0.600
0.302
0.510
0.299
0.603
0.295
0.597
0.297
0.602
0.298
0.599
0.301
0.012
0.010
0.007
0.006
0.006
0.006
0.006
0.005
0.009
0.024
0.012
0.011
0.007
0.008
0.006
0.006
Nilai
minimum
0.582
0.281
0.592
0.291
0.592
0.291
0.590
0.290
0.586
0.180
0.581
0.283
0.592
0.282
0.590
0.292
Nilai
maksimum
0.619
0.315
0.610
0.309
0.610
0.310
0.609
0.309
0.619
0.319
0.619
0.319
0.618
0.310
0.610
0.310
Autoregresi Fuzzy
Model autoregresi fuzzy (ARF) merupakan analisis lanjutan dari model
Autoregresi Box-Jenkins (AR). Setelah diperoleh nilai dugaan parameter AR,
maka selanjutnya dilakukan proses optimasi berupa peminimuman fungsi
kekaburan (S). Ilutrasi dilakukan dengan menduga model autoregresi fuzzy pada
set data series yang berukuran 10 dan 45 yang diperoleh dari tahapan sebelumnya.
Berdasarkan proses pendugaan model Box-Jenkins, maka untuk kedua set data
tersebut diperoleh persamaan AR(2) secara berturut-turut sebagai berikut:
.
.
.
.
.
.
Nilai PACF yang nyata pada kedua lag untuk data ilustrasi dengan ukuran
amatan 10 yakni
.
dan
.
, sedangkan untuk ukuran amatan 45
diperoleh nilai
.
dan
. . Model AR(p) yang diperoleh merupakan
dasar dari penentuan jumlah parameter fuzzy yang akan diduga. Jika diperoleh
model AR(2) yang memiliki konstanta, maka jumlah parameter fuzzy yang diduga
sebanyak tiga yang masing-masing parameter terdiri dari ci dan i.
11
Tahapan berikutnya adalah menentukan nilai dugaan parameter fuzzy, yaitu
yang berupa mean atau nilai tengah dari Wt serta
yang
berupa spread atau sebaran dari Wt. Ilustrasi pendugaan parameter model ARF
diterapkan pada data dengan ukuran amatan 10. Adapun nilai-nilai yang telah
diperoleh pada pendugaan parameter model AR disubstitusikan ke dalam
persamaan berikut:
Minimunkan : S
Kendala:
.
.
.
.
.
.
.
∑-
∑-
.
-
.
.
∑-
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sebelum memperoleh nilai dan , maka terlebih dahulu menentukan nilai
h (nilai keanggotaan) yang nilainya terletak antara 0 hingga 1 dengan cara trial
and error ke dalam fungsi peminimuman. Pemilihan nilai h berpengaruh terhadap
lebar selang dugaan. Semakin besar h mengakibatkan semakin lebar selang
kepercayaan dugaan (Razak 2012). Proses peminimuman fungsi dilakukan
melalui sistem pemrograman linier menggunakan metode simpleks. Hal yang
sama juga dilakukan untuk ukuran amatan 45. Hasil keluaran proses tersebut
dapat dilihat pada Tabel 5, sedangkan untuk keluaran proses optimasi data secara
keseluruhan terlampir pada Lampiran 1.
Tabel 5 Hasil keluaran fungsi peminimuman model autoregresi fuzzy
10
Nilai
optimasi
0.610
9.875
0.000
0.817
0.000
0.000
0.011
45
27.041
0.000
0.818
0.172
0.000
0.000
0.051
t
0
1
2
c0
c1
c2
Persamaan model autoregresi fuzzy untuk ukuran data 10 dan 45 berturutturut adalah sebagai berikut:
12
.
.
.
.
.
.
.
.
Data
Berdasarkan persamaan tersebut maka diperoleh model ARF batas bawah
yang dihasilkan melalui pengurangan nilai tengah ( i) oleh nilai sebaran (ci) serta
model ARF batas atas yang diperoleh dengan penjumlahan i dengan ci. Plot data
dugaan yang berupa selang juga dapat dilihat pada Gambar 5 dan Gambar 6.
53.0000
52.5000
52.0000
51.5000
51.0000
50.5000
50.0000
49.5000
49.0000
48.5000
48.0000
Dugaan
1
2
3
4
5
Ramalan
6
7
8
9
Periode
10
11
12
13
14
15
Aktual
AR
FAR
Batas Bawah AR
Batas Atas AR
Batas Bawah ARF
Batas Atas ARF
Gambar 5 Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=10
57.0000
Dugaan
Ramalan
Data
52.0000
47.0000
42.0000
37.0000
32.0000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
Periode
Aktual
Batas Bawah AR
Batas Atas ARF
AR
Batas Atas AR
ARF
Batas Bawah ARF
Gambar 6 Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=45
13
Hasil ukuran kebaikan nilai dugaan dan ramalan terangkum dalam Tabel 6.
Ukuran kebaikan yang digunakan adalah Root Mean Square Error (RMSE). Nilai
RMSE yang kecil mengindikasikan perbedaan nilai dugaan dengan nilai aktual
kecil yang artinya semakin kecil nilai RMSE maka model akan semakin baik.
Adapun nilai RMSE prediksi untuk model AR dan ARF untuk ukuran amatan 10
berturut-turut adalah 1.046 dan 0.386. Nilai RMSE model ARF lebih kecil dari
ARF yang berarti bahwa untuk pendugaan pada ukuran amatan 10 model ARF
lebih baik daripada AR. Nilai RMSE prediksi untuk model AR dan ARF untuk
ukuran amatan 45 berturut-turut adalah 1.214 dan 1.292. Nilai RMSE model AR
lebih kecil daripada ARF yang berarti bahwa untuk kondisi ukuran amatan 45
pada set data tersebut model AR masih lebih baik daripada ARF. Nilai RMSE
ramalan model AR dan ARF berturut-turut adalah 0.550 dan 0.574, sedangkan
untuk nilai RMSE ramalan model AR dan ARF berturut-turut adalah 1.293 dan
2.311. Nilai RMSE ramalan ARF untuk kedua ukuran amatan di atas lebih kecil
daripada nilai RMSE ramalan model AR yang berarti bhwa untuk peramalan lima
periode ke depan lebih baik menggunakan model AR.
Tabel 6 Ukuran kebaikan model RMSE untuk data ilustrasi
RMSE
t=10
dugaan
ramalan
AR
1.046
0.550
t=45
dugaan
ramalan
1.214
1.293
ARF
0.386
0.574
1.292
2.311
Simulasi Sensitivitas Ukuran Amatan Optimum
Simulasi dilakukan dengan membangkitkan data dari setiap kategori ukuran
amatan. Selanjutnya dilakukan penyeleksian dari data bangkitan tersebut yang
memiliki nilai dugaan parameter mendekati nilai parameter bangkitan dengan
jumlah ulangan untuk setiap kategori sejumlah 30. Setiap ulangan tersebut
dilakukan pendugaan AR dan ARF sehingga diperoleh ukuran kebaikan model
RMSE prediksi dan ramalan lima periode ke depan pada Gambar 7 dan Gambar 8.
Nilai RMSE data secara keseluruhan untuk dugaan terlampir pada Lampiran 2
sedangkan untuk peramalan terlampir pada Lampiran 3.
Berdasarkan ukuran kebaikan pendugaan RMSE, semakin kecil nilai RMSE
maka semakin baik model tersebut. Plot RMSE pada Gambar 7 menunjukkan
bahwa nilai RMSE AR lebih kecil ketika ukuran amatan 20, 25, 30, 35, dan 45.
Nilai RMSE model AR lebih kecil dari RMSE model AR ketika ukuran amatan
15 dan 10. Titik potong garis rataan RMSE berada pada ukuran amatan 15 sampai
20. Hal ini menunjukan bahwa metode ARF lebih sensitif yang berarti
memberikan hasil dugaan yang lebih baik apabila diterapkan pada data yang
memiliki ukuran amatan antara kurang dari 20.
14
0.0120
0.0110
Rataan RMSE
0.0100
0.0090
AR
0.0080
ARF
0.0070
0.0060
10
15
20
25
30
35
40
45
Ukuran amatan
Gambar 7 Plot Rataan RMSE prediksi model AR dan ARF
Selain menggunakan rataan RMSE, untuk mengetahui sensitivitas model
ARF digunakan juga ukuran perbandingan menggunakan nilai peluang. Peluang
yang digunakan adalah peluang nilai RMSE model ARF yang lebih kecil dari
model AR. Hasil yang diperoleh terangkum dalam Gambar 8. Berdasarkan
Gambar 8 peluang model ARF lebih baik dari AR. Nilai peluang tersebut semakin
kecil seiring dengan peningkatan ukuran amatan. Adapun nilai peluang mencapai
50% ketika ukuran amatan kurang dari 20 sehingga pada selang ukuran amatan
tersebut dapat dikataan bahwa hasil pendugaan model ARF lebih baik daripada
model AR.
100
Peluang (%)
80
60
40
20
0
10
15
20
25
30
Ukuran amatan
35
40
45
Gambar 8 Plot peluang nilai RMSE model ARF
MODEL AUTOREGRESI FUZZY
SUCI ANGGRAYANI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Sensitivitas Ukuran
Amatan Model Autoregresi Fuzzy adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2014
Suci Anggrayani
NIM G14090019
ABSTRAK
SUCI ANGGRAYANI. Sensitivitas Ukuran Amatan Model Autoregresi Fuzzy.
Dibimbing oleh ITASIA DINA SULVIANTI dan YENNI ANGRAINI.
Metode pemodelan yang umum digunakan dalam analisis deret waktu
adalah Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). Metode ARIMA
lebih efektif diterapkan pada data dengan ukuran amatan besar, sekurangkurangnya 50. Tseng pada tahun 2001 memperkenalkan metode ARIMA Fuzzy
untuk melakukan pemodelan data deret waktu dengan ukuran amatan terbatas.
ARIMA fuzzy menggabungkan keunggulan penelitian sebelumnya, yakni logika
fuzzy, ARIMA dan regresi fuzzy. Merujuk pada penelitian Tseng, penelitian ini
akan menelusuri selang ukuran deret waktu yang optimal apabila dilakukan
pemodelan autoregresi fuzzy pada kondisi tertentu. Hasil penelitian menunjukkan
bahwa model ARIMA fuzzy pada kondisi data deret waktu AR(2)
dengan µ=50 dan dugaan parameter 1=0.600 dan 2=0.300 lebih sensitif ketika
ukuran amatan kurang dari 20.
Kata kunci: ARIMA Fuzzy, Logika Fuzzy, Regresi Fuzzy
ABSTRACT
SUCI ANGGRAYANI. The Sensitivity of Observation Size for Fuzzy
Autoregression Model. Advised by ITASIA DINA SULVIANTI and YENNI
ANGRAINI.
The conventional time series modelling method is Autoregressive Integrated
Moving Average (ARIMA). ARIMA method is more effective if it is applied in
long time periode of observations that at least 50 observations. Tseng on 2001,
introduced Fuzzy ARIMA method to deal time series modelling on short time
periode of observations. Fuzzy ARIMA combines the advantages of fuzzy logic,
ARIMA and fuzzy regression. Considering Tseng’s study the aim of this study is
tracing the optimal observation range size when fuzzy ARIMA method is applied
at the curent condition. The result of this study indicated that fuzzy ARIMA when
the condition of time series data AR(2)
with µ=50 and parameter
estimation 1=0.600 and 2=0.300 was more sensitive when the observation size
less than 20.
Key words: fuzzy ARIMA, fuzzy logic, fuzzy regression
SENSITIVITAS UKURAN AMATAN
MODEL AUTOREGRESI FUZZY
SUCI ANGGRAYANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika
pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Sensitivitas Ukuran Amatan Model Autoregresi Fuzzy
Nama
: Suci Anggrayani
NIM
: G14090019
Disetujui oleh
Dra Itasia Dina Sulvianti, MSi
Pembimbing I
Yenni Angraini, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Ir Hari Wijayanto, MSi
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Tiada kata yang pantas diucapkan selain puja dan puji syukur kehadirat
Allah SWT yang telah memberikan karunia yang luar biasa kepada penulis.
Shalawat beserta salam semoga selalu tercurahlimpahkan kepada baginda
Rasulullah SAW beserta keluarga, sahabat dan pengikutnya.
Merupakan kebahagiaan yang tidak terkira akhirnya penulis dapat
menyelesaikan tugas akhir ini sebagai salah satu syarat kelulusan studi di
Departemen Statistika FMIPA IPB. Walaupun tidak dapat dituliskan satu persatu,
namun penulis menghaturkan banyak terima kasih kepada:
1. Ibu Dra Itasia Dina Sulvianti, MSi beserta Ibu Yenni Angraini, MSi selaku
komisi pembimbing yang dengan penuh kesabaran membimbing serta
memberikan saran dan dorongan kepada penulis untuk menyelesaikan
tugas akhir ini.
2. Ibu Dian Kusumaningrum, MSi selaku dosen penguji yang telah
memberikan masukan dan arahan.
3. Abah, Mama, Yuga Nugraha dan Moch. Irsyad Gunawan yang tak bosanbosannya memberikan doa dan dukungan agar dapat secepatnya
menyelesaikan tugas akhir ini.
4. Rekan-rekan Statistika 2009 atas kebersamaan dalam suka maupun duka.
Akhir kata, semoga tugas akhir ini bermanfaat sehingga menjadi suatu
amalan yang tidak terputus bagi penulis dan semua pihak yang telah turut
membantu. Aamiin.
Bogor, Januari 2014
Suci Anggrayani
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Konsep Himpunan Fuzzy
2
Regresi Fuzzy
3
ARIMA Fuzzy
4
METODOLOGI
5
Bahan
5
Metode
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemeriksaan Program
6
6
Autoregresi Fuzzy
10
Simulasi Sensitivitas Ukuran Amatan Optimum
13
SIMPULAN DAN SARAN
16
Simpulan
16
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
16
RIWAYAT HIDUP
29
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
Ilustrasi data deret waktu hasil bangkitan
Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(1) untuk data ilustrasi
Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(2) untuk data ilustrasi
Deskripsi nilai dugaan parameter model AR untuk berbagai ukuran
amatan
Hasil keluaran fungsi peminimuman model autoregresi fuzzy
Ukuran kebaikan model RMSE untuk data ilustrasi
7
9
9
10
11
13
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Fungsi keanggotaan segitiga
Plot data bangkitan terhadap deret waktu (a) t=10; (b) t=45
Plot ACF data bangkitan (a) t=10; (b) t=45
Plot PACF data bangkitan (a) t=10; (b) t=45
Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=10
Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=45
Plot Rataan RMSE prediksi model AR dan ARF
Plot peluang nilai RMSE model ARF2/√ . (Cryer,2008)
Gambar 3 Plot ACF data bangkitan (a) t=10; (b) t=45
Gambar 4 Plot PACF data bangkitan (a) t=10; (b) t=45
9
Setelah diperoleh model dugaan awal, tahap berikutnya adalah menduga
parameter AR(1). Berdasarkan Tabel 2, diperoleh ϕ̂
.
untuk model dengan
ukuran amatan 10 sedangkan untuk ukuran amatan 45 diperoleh nilai ϕ̂
.
.
Untuk mengetahui keberadaan model lain yang lebih baik dari model dugaan awal
maka tahapan berikutnya adalah melakukan overfitting, yakni menduga model
terdekat yang lebih baik dari model dugaan awal. Model terdekat dari model
AR(1) adalah AR(2). Hasil dugaan model AR(2) untuk kedua ukuran amatan
terangkum dalam Tabel 3. Berdasarkan Tabel 3 diperoleh nilai ϕ̂
.
dan
̂ϕ .
untuk ukuran amatan 10 sedangkan untuk ukuran amatan 45 diperoleh
̂
nilai ϕ .
dan ϕ̂
.305. Keragaman model AR(2) lebih kecil dari model
AR(1). Hal ini mengindikasikan bahwa model AR(2) lebih baik dari AR(1).
Selain itu nilai dugaan parameter AR(2) lebih mendekati nilai parameter data
bangkitan.
Tabel 2 Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(1) untuk data ilustrasi
t
10
45
Nilai
dugaan
AR1
Konstanta
AR1
Konstanta
Log
likelihood
Galat baku
s2
0.792
50.940
0.211
0.703
0.377
-9.810
25.620
0.821
51.175
0.097
0.768
0.908
-62.230
130.460
Koefisien
AIC
Tabel 3 Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(2) untuk data ilustrasi
t
10
45
Nilai
dugaan
AR1
AR2
Konstanta
AR1
AR2
Konstanta
Koefisien
Galat baku
s2
Log
likelihood
AIC
0.583
0.307
50.948
0.282
0.308
0.927
0.332
-9.388
26.760
0.597
0.305
50.734
0.144
0.152
1.242
0.829
-60.380
128.760
Berdasarkan hasil pemeriksaan pada kedua set data tersebut, maka model
yang sesuai adalah model AR(2) dengan dugaan parameter mendekati parameter
bangkitan yakni 1=0.600 dan 2=0.300. Deskripsi nilai dugaan parameter model
AR untuk setiap ukuran amatan dapat dilihat pada Tabel 4. Berdasarkan hasil
yang diperoleh, rataan dugaan parameter 1 berada di sekitar nilai 0.600 dengan
simpangan baku maksimum sebesar 0.012, sedangkan untuk nilai rataan dugaan
parameter 2 berada di sekitar nilai 0.300 dengan simpangan baku maksimum
10
0.024. Hal tersebut mengindikasikan bahwa program pembangkitan yang telah
dibuat sudah berjalan dengan baik dan memenuhi kriteria yang diinginkan.
Tabel 4 Deskripsi nilai dugaan parameter model AR untuk berbagai ukuran
amatan
Ukuran
amatan
10
15
20
25
30
35
40
45
Parameter
Simpangan
baku
Rataan
ϕ1
ϕ2
ϕ1
ϕ2
ϕ1
ϕ2
ϕ1
ϕ2
ϕ1
ϕ2
ϕ1
ϕ2
ϕ1
ϕ2
ϕ1
ϕ2
0.595
0.294
0.601
0.298
0.600
0.302
0.510
0.299
0.603
0.295
0.597
0.297
0.602
0.298
0.599
0.301
0.012
0.010
0.007
0.006
0.006
0.006
0.006
0.005
0.009
0.024
0.012
0.011
0.007
0.008
0.006
0.006
Nilai
minimum
0.582
0.281
0.592
0.291
0.592
0.291
0.590
0.290
0.586
0.180
0.581
0.283
0.592
0.282
0.590
0.292
Nilai
maksimum
0.619
0.315
0.610
0.309
0.610
0.310
0.609
0.309
0.619
0.319
0.619
0.319
0.618
0.310
0.610
0.310
Autoregresi Fuzzy
Model autoregresi fuzzy (ARF) merupakan analisis lanjutan dari model
Autoregresi Box-Jenkins (AR). Setelah diperoleh nilai dugaan parameter AR,
maka selanjutnya dilakukan proses optimasi berupa peminimuman fungsi
kekaburan (S). Ilutrasi dilakukan dengan menduga model autoregresi fuzzy pada
set data series yang berukuran 10 dan 45 yang diperoleh dari tahapan sebelumnya.
Berdasarkan proses pendugaan model Box-Jenkins, maka untuk kedua set data
tersebut diperoleh persamaan AR(2) secara berturut-turut sebagai berikut:
.
.
.
.
.
.
Nilai PACF yang nyata pada kedua lag untuk data ilustrasi dengan ukuran
amatan 10 yakni
.
dan
.
, sedangkan untuk ukuran amatan 45
diperoleh nilai
.
dan
. . Model AR(p) yang diperoleh merupakan
dasar dari penentuan jumlah parameter fuzzy yang akan diduga. Jika diperoleh
model AR(2) yang memiliki konstanta, maka jumlah parameter fuzzy yang diduga
sebanyak tiga yang masing-masing parameter terdiri dari ci dan i.
11
Tahapan berikutnya adalah menentukan nilai dugaan parameter fuzzy, yaitu
yang berupa mean atau nilai tengah dari Wt serta
yang
berupa spread atau sebaran dari Wt. Ilustrasi pendugaan parameter model ARF
diterapkan pada data dengan ukuran amatan 10. Adapun nilai-nilai yang telah
diperoleh pada pendugaan parameter model AR disubstitusikan ke dalam
persamaan berikut:
Minimunkan : S
Kendala:
.
.
.
.
.
.
.
∑-
∑-
.
-
.
.
∑-
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sebelum memperoleh nilai dan , maka terlebih dahulu menentukan nilai
h (nilai keanggotaan) yang nilainya terletak antara 0 hingga 1 dengan cara trial
and error ke dalam fungsi peminimuman. Pemilihan nilai h berpengaruh terhadap
lebar selang dugaan. Semakin besar h mengakibatkan semakin lebar selang
kepercayaan dugaan (Razak 2012). Proses peminimuman fungsi dilakukan
melalui sistem pemrograman linier menggunakan metode simpleks. Hal yang
sama juga dilakukan untuk ukuran amatan 45. Hasil keluaran proses tersebut
dapat dilihat pada Tabel 5, sedangkan untuk keluaran proses optimasi data secara
keseluruhan terlampir pada Lampiran 1.
Tabel 5 Hasil keluaran fungsi peminimuman model autoregresi fuzzy
10
Nilai
optimasi
0.610
9.875
0.000
0.817
0.000
0.000
0.011
45
27.041
0.000
0.818
0.172
0.000
0.000
0.051
t
0
1
2
c0
c1
c2
Persamaan model autoregresi fuzzy untuk ukuran data 10 dan 45 berturutturut adalah sebagai berikut:
12
.
.
.
.
.
.
.
.
Data
Berdasarkan persamaan tersebut maka diperoleh model ARF batas bawah
yang dihasilkan melalui pengurangan nilai tengah ( i) oleh nilai sebaran (ci) serta
model ARF batas atas yang diperoleh dengan penjumlahan i dengan ci. Plot data
dugaan yang berupa selang juga dapat dilihat pada Gambar 5 dan Gambar 6.
53.0000
52.5000
52.0000
51.5000
51.0000
50.5000
50.0000
49.5000
49.0000
48.5000
48.0000
Dugaan
1
2
3
4
5
Ramalan
6
7
8
9
Periode
10
11
12
13
14
15
Aktual
AR
FAR
Batas Bawah AR
Batas Atas AR
Batas Bawah ARF
Batas Atas ARF
Gambar 5 Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=10
57.0000
Dugaan
Ramalan
Data
52.0000
47.0000
42.0000
37.0000
32.0000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
Periode
Aktual
Batas Bawah AR
Batas Atas ARF
AR
Batas Atas AR
ARF
Batas Bawah ARF
Gambar 6 Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=45
13
Hasil ukuran kebaikan nilai dugaan dan ramalan terangkum dalam Tabel 6.
Ukuran kebaikan yang digunakan adalah Root Mean Square Error (RMSE). Nilai
RMSE yang kecil mengindikasikan perbedaan nilai dugaan dengan nilai aktual
kecil yang artinya semakin kecil nilai RMSE maka model akan semakin baik.
Adapun nilai RMSE prediksi untuk model AR dan ARF untuk ukuran amatan 10
berturut-turut adalah 1.046 dan 0.386. Nilai RMSE model ARF lebih kecil dari
ARF yang berarti bahwa untuk pendugaan pada ukuran amatan 10 model ARF
lebih baik daripada AR. Nilai RMSE prediksi untuk model AR dan ARF untuk
ukuran amatan 45 berturut-turut adalah 1.214 dan 1.292. Nilai RMSE model AR
lebih kecil daripada ARF yang berarti bahwa untuk kondisi ukuran amatan 45
pada set data tersebut model AR masih lebih baik daripada ARF. Nilai RMSE
ramalan model AR dan ARF berturut-turut adalah 0.550 dan 0.574, sedangkan
untuk nilai RMSE ramalan model AR dan ARF berturut-turut adalah 1.293 dan
2.311. Nilai RMSE ramalan ARF untuk kedua ukuran amatan di atas lebih kecil
daripada nilai RMSE ramalan model AR yang berarti bhwa untuk peramalan lima
periode ke depan lebih baik menggunakan model AR.
Tabel 6 Ukuran kebaikan model RMSE untuk data ilustrasi
RMSE
t=10
dugaan
ramalan
AR
1.046
0.550
t=45
dugaan
ramalan
1.214
1.293
ARF
0.386
0.574
1.292
2.311
Simulasi Sensitivitas Ukuran Amatan Optimum
Simulasi dilakukan dengan membangkitkan data dari setiap kategori ukuran
amatan. Selanjutnya dilakukan penyeleksian dari data bangkitan tersebut yang
memiliki nilai dugaan parameter mendekati nilai parameter bangkitan dengan
jumlah ulangan untuk setiap kategori sejumlah 30. Setiap ulangan tersebut
dilakukan pendugaan AR dan ARF sehingga diperoleh ukuran kebaikan model
RMSE prediksi dan ramalan lima periode ke depan pada Gambar 7 dan Gambar 8.
Nilai RMSE data secara keseluruhan untuk dugaan terlampir pada Lampiran 2
sedangkan untuk peramalan terlampir pada Lampiran 3.
Berdasarkan ukuran kebaikan pendugaan RMSE, semakin kecil nilai RMSE
maka semakin baik model tersebut. Plot RMSE pada Gambar 7 menunjukkan
bahwa nilai RMSE AR lebih kecil ketika ukuran amatan 20, 25, 30, 35, dan 45.
Nilai RMSE model AR lebih kecil dari RMSE model AR ketika ukuran amatan
15 dan 10. Titik potong garis rataan RMSE berada pada ukuran amatan 15 sampai
20. Hal ini menunjukan bahwa metode ARF lebih sensitif yang berarti
memberikan hasil dugaan yang lebih baik apabila diterapkan pada data yang
memiliki ukuran amatan antara kurang dari 20.
14
0.0120
0.0110
Rataan RMSE
0.0100
0.0090
AR
0.0080
ARF
0.0070
0.0060
10
15
20
25
30
35
40
45
Ukuran amatan
Gambar 7 Plot Rataan RMSE prediksi model AR dan ARF
Selain menggunakan rataan RMSE, untuk mengetahui sensitivitas model
ARF digunakan juga ukuran perbandingan menggunakan nilai peluang. Peluang
yang digunakan adalah peluang nilai RMSE model ARF yang lebih kecil dari
model AR. Hasil yang diperoleh terangkum dalam Gambar 8. Berdasarkan
Gambar 8 peluang model ARF lebih baik dari AR. Nilai peluang tersebut semakin
kecil seiring dengan peningkatan ukuran amatan. Adapun nilai peluang mencapai
50% ketika ukuran amatan kurang dari 20 sehingga pada selang ukuran amatan
tersebut dapat dikataan bahwa hasil pendugaan model ARF lebih baik daripada
model AR.
100
Peluang (%)
80
60
40
20
0
10
15
20
25
30
Ukuran amatan
35
40
45
Gambar 8 Plot peluang nilai RMSE model ARF