Matematika Kurikulum 2013
171
Proyek
Kegiatan
Buatlah tulisan tentang barisan mononton yang meliputi: deinisi barisan monoton naik, barisan monoton turun, barisan monoton, contoh-contoh
tentang barisan yang monoton dan yang tidak monoton.
3. Masalah eksistensi atau keujudan limit barisan
a. Amati barisan bilangan x
n
yang dideinisikan oleh:
1 2
1 1
2, 2
, 2
n n
x x
x x x
+
= =
+ =+
untuk semua bilangan asli n. i. Tentukan suku ke-2, ke-3, dan ke-4 barisan tersebut.
ii. Apakah barisan tersebut mempunyai suku terkecil? Sebutkan. iii. Apakah barisan tersebut mempunyai suku terbesar? Jelaskan.
iv. Buatlah pendugaan conjecture tentang keterbatasan barisan tersebut. Apakah barisan tersebut terbatas.
v. Apakah barisan tersebut naik? Barisan bilangan x
n
di atas yang dinyatakan dalam: 2
2 2
2 ... +
+ +
+ Untuk menentukan nilai bilangan tersebut, kita lakukan langkah
beri nama x, lakukan operasi aljabar pada x, yakni: 2
2 2
2 ... x
= +
+ +
+ Kemudian kuadratkan, didapat persamaan kuadrat
2
2 x
x = +
, selesaikan, diperoleh x = 2.
Permasalahan: apakah langkah yang telah kita lakukan tersebut benar atau valid?, jelaskan.
Kelas XII SMAMA
172
b. Perhatikan barisan y
n
yang dideinisikan oleh: 2
n k
n k
y
=
=
∑
untuk semua bilangan cacah n. Untuk menentukan nilai bilangan tersebut, kita lakukan langkah
beri nama y, lakukan operasi aljabar pada y, yakni: y = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...
Kalikan ke dua ruas dengan 2, didapat: 2y = 2 + 4 + 8 + 16 + ...
Kurangi ke dua ruas dengan 1, didapat: y
− 1 = 2 + 4 + 8 + 16 + ... Ternyata diperoleh 2y = y – 1. Jadi y =
−1. Didapat hasil yang tidak valid. Dimana letak kesalahan bernalarnya?, jelaskan.
4. Teorema Keujudan limit barisan.
Setiap barisan yang naik atau turun salah satu dan terbatas, mempunyai limit. Bukti teorema ini diberikan pada Tahun ke-2 Perkuliahaan di
Jurusan Matematika.
Buktikan bahwa: a. Barisan
x
n
pada proyek 3 di atas naik dan terbatas, sehingga keujudan bilangan tersebut dijamin oleh Teorema keujudan limit
barisan. b. Barisan
y
n
pada proyek 3 di atas adalah naik dan tidak terbatas.
