Simulasi Numerik Model Arus Lalu Lintas Satu Arah Berbasis Fungsi Velositas Underwood
SIMULASI NUMERIK MODEL ARUS LALU LINTAS SATU
ARAH BERBASIS FUNGSI VELOSITAS UNDERWOOD
MUH ISBAR PRATAMA
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul “Simulasi numerik model
arus lalu lintas satu arah berbasis fungsi velositas Underwood” adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis
ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Maret 2016
Muh. Isbar Pratama
G551130161
RINGKASAN
MUH ISBAR PRATAMA. Simulasi Numerik Model Arus Lalu Lintas Satu Arah
Berbasis Fungsi Velositas Underwood. Dibimbing oleh FAHREN BUKHARI dan
BIB PARUHUM SILALAHI.
Mobilitas masyarakat yang meningkat beberapa tahun terakhir memberikan
dampak yang linier terhadap jumlah kendaraan pribadi dan angkutan umum. Jumlah
kendaraan yang meningkat seringkali tidak seiring dengan penambahan kapasitas
jalan raya. Jumlah kendaraan yang melebihi kapasitas jalan raya pada waktu-waktu
tertentu adalah salah satu penyebab kemacetan.
Beberapa matematikawan menggambarkan fenomena kepadatan lalu lintas
dalam bentuk model matematika untuk membantu mengurangi masalah kemacetan
yang disebabkan oleh jumlah kendaraan yang melebihi kapasitas jalan. Model
matematika arus lalu lintas pertama kali dikembangkan pada tahun 1955 oleh James
Lighthill, Gerald B. Whitham dan Richard P. yang dikenal sebagai model LWR.
Model ini menggambarkan fenomena lalu lintas yang dihasilkan dari interaksi
banyak kendaraan dengan variabel dasar lalu lintas seperti kepadatan, kecepatan
dan aliran kendaraan dan dapat digunakan untuk memprediksi fenomena kepadatan
arus lalu lintas kedepannya.
Dalam model LWR, fungsi velositas ( rata-rata kecepatan yg diukur dalam
satuan jarak persatuan waktu) merupakan elemen yang paling penting dalam
menentukan kecocokan model. Penelitian ini menggunakan fungsi velositas
Underwood yang berbentuk fungsi ekponensial.
Model LWR berbasis fungsi velositas Underwood diselesaikan secara
numerik karena nilai awal dari kepadatan kendaraan tidak berbentuk fungsi
sederhana, sehingga solusi analitik dari model LWR berbasis fungsi velositas
Underwood sulit ditemukan. Penyelesaian secara numerik menggunakan metode
beda hingga skema implisit yang telah terbukti konvergen.
Simulasi numerik dilakukan untuk menggambarkan fenomena kepadatan
arus lalu lintas. Simulasi numerik pada penelitian ini dilakukan dengan 2 parameter
yang berbeda. Hasil simulasi numerik menunjukkan kecenderungan perubahan arus
lalu lintas jika data diubah-ubah.
Kata kunci: Model LWR, Fungsi Velositas Underwood, Metode beda hingga
Implisit, Simulasi Numerik.
SUMMARY
MUH ISBAR PRATAMA. Numerical Simulation of One Way Traffic Flow Based
on Underwood Velocity Function. Supervised by FAHREN BUKHARI and BIB
PARUHUM SILALAHI.
Increasing mobility of people in recent years causes a linear impact on the
number of private vehicles and public transport. Increasing vehicles amount that
often due with the additional highway capacity. The vehicle amount that exceed
capacity of the road at certain times is one causes of congestion.
Some mathematicians describe the phenomenon of the traffic density in the
form of mathematical models to calculate the supply and demand of traffic flow.
The mathematical Traffic flow model was first developed in 1955 by James
Lighthill, Whitham and Richard B. Gerald P. known as LWR model. This model
describes the phenomenon of traffic generated from the interaction of many
vehicles with basic traffic variables such as density, velocity and flow of vehicles
and can used to predict the phenomenon of traffic density in the future.
In LWR models, a function of velocity (average velocity measured in units of
distance per time unit) is the most important element to determining the suitability
of the model. This study uses Underwood velocity function in the form exponential
function.
LWR models based on Underwood velocity function solved numerically because
the initial value of vehicle density is not a simple function, so the analytic solution
of the model-based LWR velocity function Underwood difficult to find. LWR
models based on Underwood velocity function solved numerically using an implicit
finite difference schemes which have proven converged.
Numerical simulations performed to illustrate the phenomenon of traffic
density. Numerical simulation in this study conducted with two different parameters.
Numerical simulation results showed a trend change in the flow of traffic if data is
changed.
Keywords: LWR model, Underwood velocity model, Implicit finite difference
method, Numerical simulation.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau
menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
SIMULASI NUMERIK MODEL ARUS LALU LINTAS SATU
ARAH BERBASIS FUNGSI VELOSITAS UNDERWOOD
MUH ISBAR PRATAMA
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Penguji Luar Komisi Pada Ujian Tesis: Dr Jaharuddin, MS
**!- ( (- - "*!( - *"' - %!- '*(- !*- $)(- )*- ' - '( ( *$( - !%( )(-$',%%"-
- * -
('-')"-
()* * -%!
%" ( -" " $-
'- '- '$-
-
)*-
) * -%! -
)*-'%'#-)* )") -'&-
'- '* $- -
$!- $-
'+' -
$!-*!*(-
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan November 2014 ini ialah
analisis numerik, dengan judul Simulasi Numerik Model Arus Lalu Lintas Satu
Arah Berbasis Fungsi Velositas Underwood.
Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada Program Studi Magister Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana
Institut Pertanian Bogor. Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada:
1. Bapak Muh Basri P dan Ibu Islamiah B selaku orang tua penulis.
2. Dr Ir Fahren Bukhari, MSc selaku ketua komisi pembimbing.
3. Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom anggota komisi pembimbing.
4. Dr Jaharuddin, MS selaku penguji luar komisi pembimbing dan Ketua Program
Studi Matematika Terapan.
5. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa
Pendidikan Pascasarjana dalam Negeri (BPP-DN).
6. Seluruh keluarga yang selalu memberi dorongan dan doa untuk keberhasilan
studi penulis.
7. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman
angkatan tahun 2013 di program studi S2 Matematika Terapan.
8. Sahabat-sahabat yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak
membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga semua bantuan, bimbingan dan motivasi yang telah diberikan kepada
penulis senantiasa mendapatkan balasan dari Allah subhanahu wa ta’ala.
Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar
dan wawasan kita semua.
Bogor, Maret 2016
Muh Isbar Pratama
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
1
1
1
2 TINJAUAN PUSTAKA
Model LWR
Fungsi Velositas
Fungsi Velositas Greenshield
Fungsi Velositas Greenberg
Fungsi Velositas Drake
Fungsi Velositas Polynomial
Fungsi Velositas Kuadratik
Fungsi Velositas Underwood
Model LWR dengan Fungsi Velositas Linear
Koefisien Determinasi
Perbandingan Fungsi Velositas
Solusi Analitik Model LWR dengan Velositas Underwood
Skema Metode Beda Hingga Implisit
Sistem Persamaan taklinear
Metode Iterasi Newton-Raphson
Kestabilan
Teorema Ekuivalensi Lax
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
7
7
7
8
8
3 METODE PENELITIAN
Data
Metode
8
8
8
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Solusi Numerik dengan Metode Beda Hingga Skema Implisit
Kekonvergenan dari Skema Numerik
Simulasi Numerik
9
9
10
11
5 KESIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran
17
17
18
DAFTAR PUSTAKA
18
LAMPIRAN
23
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR TABEL
1 Tabel Perbandingan nilai R Ardekani et al
5
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1 Grafik kepadatan awal kendaraan pada t = 0
Gambar 2 Profil Kepadatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
Gambar 3 Profil Kecepatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
Gambar 4 Grafik kepadatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan
60 menit
5 Gambar 5 Grafik kecepatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan
60 menit.
6 Gambar 6 Profil fluks kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
7 Gambar 7 Profil Kepadatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
8 Gambar 8 Profil Kecepatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
9 Gambar 9 (a) Grafik kepadatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit
dan 60 menit, (b) Grafik kecepatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40
menit dan 60 menit.
10 Gambar 10 Profil fluks kendaraan selama 60 menit (∆t=1 menit).
1
2
3
4
12
12
13
13
14
14
15
15
16
17
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks algoritma metode beda hingga skema implisit
23
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Mobilitas masyarakat yang meningkat beberapa tahun terakhir memberikan
dampak terhadap jumlah kendaraan pribadi dan angkutan umum. Jumlah kendaraan
yang meningkat seringkali tidak seimbang dengan penambahan kapasitas jalan
raya. Jumlah kendaraan yang melebihi kapasitas jalan raya pada waktu-waktu
tertentu adalah salah satu penyebab kemacetan.
Beberapa matematikawan menggambarkan fenomena kepadatan lalu lintas
dalam bentuk model matematika untuk membantu mengurangi masalah kemacetan
yang disebabkan oleh jumlah kendaraan yang melebihi kapasitas jalan. Model
matematika arus lalu lintas pertama kali dikembangkan pada tahun 1955 oleh James
Lighthill, Gerald B Whitham dan Richard P yang dikenal sebagai model LWR.
Model ini menggambarkan fenomena lalu lintas yang dihasilkan dari interaksi
banyak kendaraan dengan variabel dasar lalu lintas seperti kepadatan, kecepatan,
dan aliran kendaraan dan dapat digunakan untuk memprediksi fenomena kepadatan
arus lalu lintas kedepannya.
Dalam model LWR, fungsi velositas (rata-rata kecepatan yg diukur dalam
satuan jarak persatuan waktu) merupakan elemen yang paling penting dalam
menentukan kecocokan model. Pada model LWR konvesional fungsi velositas yang
digunakan adalah fungsi velositas Greenshield yang merupakan fungsi linear.
model ini kemudian mendapat banyak bantahan dari beberapa peneliti karena
velositas yang linear dalam prakteknya tidak relevan karena memungkinkan
terjadinya kepadatan maksimum jalan (Sultana et al. 2011).
Beberapa model yang diusulkan oleh beberapa peneliti untuk memodelkan
velositas antara lain fungsi velositas Greenberg, fungsi velositas Underwood, fungsi
velositas Drake, fungsi velositas polinomial, dan fungsi velositas kuadratik. Di
antara beberapa fungsi tersebut, fungsi velositas Underwood adalah fungsi yang
paling mendekati keadaan sebenarnya (Ardekani et al. 2011).
Tujuan penelitian ini adalah menggambarkan pola pergerakan lalu lintas
menggunakan model LWR dengan fungsi velositas Underwood yang merupakan
fungsi eksponensial. Karena nilai awal dari kepadatan lalu lintas tidak berbentuk
fungsi yang sederhana sehingga diperlukan suatu metode numerik untuk
menentukan solusinya. Salah satu pendekatan secara numerik dapat dilakukan
untuk menentukan solusi model LWR yaitu dengan metode beda hingga skema
implisit (Implicit finite difference method). Metode beda hingga skema implisit
menjamin solusi dari persamaan diferensial bernilai positif.
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah melakukan simulasi numerik untuk
menggambarkan fenomena arus lalu lintas dengan metode beda hingga implisit
(implicit finite difference method) terhadap model LWR dengan fungsi velositas
Underwood.
2
2 TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dipaparkan materi-materi terkait yang digunakan dalam
penelitian ini yang terdiri dari pengenalan model LWR dan solusi analitiknya,
fungsi-fungsi velositas, ringkasan penelitian sebelumnya, dan metode yang
digunakan untuk penyelesaian model dalam penelitian ini.
Model LWR
Model LWR yang dikembangkan oleh Lighthill dan William (1955), Richard
(1956) bertujuan untuk memodelkan kepadatan lalu lintas secara makroskopik.
Pada model ini, kondisi lalu lintas dianalogikan sebagai aliran fluida dengan
mengasumsikan kendaraan sebagai partikel yang berada pada aliran tersebut. Lebih
jauh lagi, pola arus lalu lintas dimodelkan melalui metode dinamika fluida. Melalui
hukum konservasi massa, diperoleh bahwa model LWR dirumuskan secara
matematis oleh persamaan diferensial parsial hiperbolik sebagai berikut:
�� �,
�
+
�� �
��
=
(2.1)
dengan � , merepresentasikan kepadatan kendaraan (jumlah kendaraan per
satuan jarak) lalu lintas pada suatu titik x dan waktu t, sedangkan q( � )
merepresentasikan fluks (jumlah kendaraan per satuan waktu) lalu lintas pada suatu
titik x dan waktu t tertentu.
Fluks lalu lintas merupakan fungsi yang diberikan oleh
� =�
�
(2.2)
dengan V(ρ) adalah fungsi velositas (rata-rata kecepatan yang diukur dalam satuan
jarak persatuan waktu).
Dalam model LWR dengan velositas Underwood terdapat dua asumsi yang
harus dipenuhi yaitu,
1. tidak ada jalur masuk atau keluar di pertengahan ruas jalan yang diamati.
2. tidak ada kendaraan roda dua atau pejalan kaki.
Fungsi Velositas
Fungsi velositas adalah model yang menggambarkan rata-rata kecepatan yang
diukur dalam satuan jarak persatuan waktu. Fungsi velositas menggambarkan
hubungan antara kecepatan dan kepadatan kendaraan. Fungsi velositas arus lalu
lintas pertama kali diperkenalkan oleh Greenshield pada tahun 1939 yang
menggambarkan fungsi velositas arus lalu lintas sebagai fungsi linear. Seiring
dengan berkembangnya ilmu pengetahuan, banyak peneliti yang mengajukan
fungsi velositas arus lalu lintas.
3
Fungsi Velositas Greenshield
Fungsi velositas arus lalu lintas pertama kali diperkenalkan oleh Greenshield
pada tahun 1939 yang menggambarkan fungsi velositas arus lalu lintas sebagai
fungsi linear sebagai berikut:
� =
�
−
� �,
(2.3)
�max
dengan � � dan
� berturut-turut adalah kepadatan maksimum dan kecepatan
maksimum lalu lintas pada waktu .
Fungsi Velositas Greenberg
Diperkenalkan oleh Greenberg pada tahun 1959, model menggunakan
analogi aliran fluida dan data dari Terowongan Lincoln di New York untuk
membangun logaritmik hubungan antara kecepatan dan kepadatan, yaitu
� =
� �,
�
(2.4)
�max
dengan � � dan
� berturut-turut adalah kepadatan maksimum dan kecepatan
maksimum lalu lintas pada waktu .
Fungsi Velositas Drake
Fungsi ini dikembangkan oleh Drake pada tahun 1961. Dalam
mengembangkan fungsi velositas, Drake memperkirakan kecepatan berdasarkan
kepadatan dan aliran kendaraan. Drake mengusulkan fungsi velositas berbentuk
fungsi eksponensial sebagai berikut:
� =
�
(−
� �,
� ��
).
(2.5)
dengan � � dan
� berturut-turut adalah kepadatan maksimum dan kecepatan
maksimum lalu lintas pada waktu .
Fungsi Velositas Polynomial
Beberapa peneliti mengusulkan rata-rata kecepatan kendaraan berbentuk
fungsi polynomial berderajat dua sebagai berikut:
dengan
� =
�
+ � ,
+ � ,
dan adalah parameter tambahan tertentu.
(2.6)
4
Fungsi Velositas Kuadratik
Rata-rata kecepatan kendaraan dapat pula dituliskan dalam fungsi kuadrat
sebagai berikut:
� =
−
�
� �,
� ��
.
(2.7)
dengan � � dan
� berturut-turut adalah kepadatan maksimum dan kecepatan
maksimum lalu lintas pada waktu .
Fungsi Velositas Underwood
Fungsi velositas Underwood dikembangkan oleh Underwood pada tahun
1961 merupakan fungsi hipotesis hubungan eksponensial antara kepadatan dan
kecepatan. Fungsi ini umumnya lebih realistis daripada fungsi Greenshields dan
Greenberg karena memiliki nilai koefisien determinasi terbesar diantara fungsi
velositas lainnya(Ardekani et al, 2011). Fungsi Underwood diberikan sebagai
berikut:
� =
�
exp −
� �,
� ��
.
(2.8)
Model LWR dengan Fungsi Velositas Linear
Kabir et al. (2010) telah mengajukan dan menganalisis model LWR dengan
fungsi velositas Greenshield untuk menggambarkan kepadatan arus lalu lintas.
Model LWR dengan fungsi velositas Greenshield dituliskan dalam persamaan
berikut:
�� �,
�
+
�
��
� ,
( −
=�
� ,
�max
.
) =
}
(2.9)
Model LWR (2.9) yang telah dianalisis oleh Kabir et al. (2010) dapat
menghitung kepadatan kendaraan pada kondisi jalan yang tidak padat. Sedangkan
untuk kondisi padat di mana rata-rata kecepatan kendaraan mendekati nol, model
(2.9) sulit digunakan untuk menghitung kepadatan kendaraan.
Koefisien Determinasi
Koefisien determinasi ( � adalah satu ukuran yang digunakan untuk
mengukur pengaruh variabel independen terhadap variansi variabel tak bebas,
dengan 0 < � < 1. Koefisien determinasi sering digunakan sebagai alat untuk
menguji kelayakan suatu model. Semakin besar nilai dari � , maka model semakin
mendekati kodisi yang sebenarnya.
5
Perbandingan Fungsi Velositas
Ardekani et al (2011) membandingkan fungsi velositas untuk mengetahui
fungsi velositas yang paling mendekati keadaan yang sebenarnya. Berdasarkan nilai
koefisien � , fungsi velositas Underwood adalah model terbaik dengan nilai �
sebesar 0.96 yang artinya kemampuan variabel bebas model Underwood dalam
menjelaskan varians dari variabel terikatnya sebesar 0.96.
Tabel 1. Perbandingan nilai � Ardekani et al.
��
0.86
0.43
0.96
0.94
0.91
0.90
Fungsi velositas
GreenShield
Greenberg
Underwood
Drake
Polynomial
Kuadrat
Berdasarkan Tabel 1 diperoleh fungsi velositas Underwood yang paling
mendekati dengan keadaan sebenarnya karena memiliki koefisien determinasi
terbesar.
Model LWR dengan Velositas Underwood
Persamaan (2.1) direkonstruksi dengan mensubstitusikan fungsi velositas
Underwood pada persamaan (2.8):
�
� �,
�� �,
+
� ,
= ,
(2.10)
� exp −
��
�
� ��
dengan asumsi bahwa kepadatan lalu lintas pada saat awal pengamatan yaitu pada
saat = adalah
� , =�
.
Model LWR dengan masalah nilai awal yang diberikan dapat dituliskan
sebagai:
�� �,
�
+
�
��
� ,
�
� ,
exp −
.
=�
� �,
� ��
=
(2.11)
Solusi Analitik Model LWR dengan Velositas Underwood
Pada bagian ini, masalah nilai awal persamaan (2.11) akan diselesaikan. dengan
metode karakteristik. Karena
�(�.
=
=
��
� )
�
=
�
�
�
+�
� +�
�
+�
�
��
� ��
��
� ��
,
�(
� )
��
(2.12)
6
dan
� =
maka
� +�
�
=
� . exp
=
−
exp −
�
−
�.
�
+
�
� ��
��
exp −
� ��
��
−
�
��
��
+� −�
Dengan demikian persamaan (2.1) menjadi
�� �,
�
� ��
�
��
� ��
�
��
,
(2.13)
exp −
�
� ��
.
� ��
exp −
�
(2.14)
= .
� ��
(2.15)
Selanjutnya persamaan (2.15) akan diselesaikan dengan metode karakteristik.
Asumsikan dan adalah fungsi dari sembarang. Sehingga turunan total dari
�(
,
) terhadap adalah
dengan
diperoleh
Jika
=
�(
dan
dan
�
) = (�,
,
),
(2.16)
adalah garis karakteritik. Berdasarkan aturan rantai
=
�(
�
−
�
,
)=
��
� ��
,
)=
�� ,
�
+
��
��
+
� ��
(
−
��
�
��
�
�
exp −
sama dengan persamaan (2.15). Sehingga,
�(
,
.
maka persamaan (2.17) akan
�
maka
� ��
�
−
�
��
atau
=
exp −
�
−
�
��
sehingga
=
exp −
� ��
� ��
) exp (−
�
Nilai awal pada persamaan (2.11) dapat dituliskan �
= ,
= ,
maka
= .
Selanjutnya, karena
� ��
�
�
=
exp −
,
�− �
��
(2.17)
,
�
�
=�
) =
,
(2.18)
. Karena
(2.19)
=
�
+
,
�
+
,
� ��
� ��
(2.20)
7
=
−
Berdasarkan persamaan (2.18) maka
adalah
� ,
=
=
−
untuk sembarang fungsi .
�
−
�
�
��
� ��
=
exp −
�
.
� ��
(2.21)
sehingga solusi dari persamaan (2.15)
�
−
�. ��
� ��
−�
�
��
(2.22)
Karena kepadatan lalu lintas pada umumnya tidak berbentuk fungsi yang
sederhana, maka untuk memudahkan pencarian solusi dari model LWR dilakukan
bantuan metode numerik.
Skema Metode Beda Hingga Implisit
Pada skema implisit variabel pada waktu + dihitung berdasarkan variabel
pada waktu n yang sudah diketahui serta variavel pada waktu + yang belum
diketahui. Sehingga, operator beda hingga yang di gunakan adalah sebagai berikut
��
��
,��
�
,��
��
�( � + )−�( � )
∆
�( �++ )+� �−+
=
=
∆�
.
(2.23)
Sistem Persamaan taklinear
Sistem persamaan nonlinear adalah kumpulan dari beberapa persamaan
nonlinear yang saling berhubungan untuk mencapai tujuan tertentu. Untuk
menyelesaikan permasalahan persamaan nonlinier terdapat banyak metode dan
algoritma yang bisa digunakan, tetapi setiap metode dan algoritma yang ada
mempunyai kelebihan dan kekurangan masing-masing. Salah satunya metode
numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan secara
analitik tidak dapat digunakan. Ada banyak macam metode numerik untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear maupun sistem persamaan nonlinear
diantaranya metode Newton-Raphson dan metode Jacobian.
Metode Iterasi Newton-Raphson
Metode Newton-Raphson (umumnya disebut dengan metode Newton)
merupakan metode pencarian solusi persamaan taklinear yang sering digunakan
diantara metode lainnnya, karena metode ini memberikan konvergensi yang lebih
cepat dibandingkan dengan metode lainnya. Metode Newton sering konvergen
dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai "cukup dekat" dengan solusi yang
diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari solusi yang dicari, metode ini dapat
8
meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan
mengatasi kegagalan konvergensi.
Metode Newton Raphson merupakan metode yang paling dikenal untuk
mencari hampiran terhadap akar fungsi riil dan dapat memecahkan persamaan
= , dengan diasumsikan mempunyai turunan kontinu ’ . Metode ini
menggunakan suatu garis lurus sebagai hampiran fungsi. Garis tersebut adalah garis
singgung pada kurva. Dengan menggunakan suatu nilai awal
dan ditetapkan
adalah titik potong sumbu dengan garis singgung pada kurva di titik . Dalam
setiap iterasi akan terbentuk secara berulang-ulang hingga manghasilkan nilai
yang membuat
= .
Kestabilan
Kestabilan adalah syarat solusi dari suatu persamaan diferensial stabil.
Persamaan diferensial akan stabil jika solusinya terbatas. Misal � adalah solusi
suatu persamaan diferensial, � dikatakan terbatas jika terdapat konstanta >
sedemikian sehingga ‖ � ‖ < untuk setiap � ∈ ℝ.
Teorema Ekuivalensi Lax
Untuk sebuah persamaan diferensial dan masalah nilai awal yang well-possed,
jika suatu persamaan beda konsisten dan stabil, maka persamaan beda tersebut
konvergen.
3 METODE PENELITIAN
Data
Penelitian ini menggunakan data kepadatan kendaraan pada gerbang tol
Cikarang utara sampai 10 km ke arah Jakarta yang terdiri dari 4 lajur dan dapat
menampung 12500 kendaraan. Kepadatan kendaraan dihitung dengan melihat
rekaman video kepadatan arus lalu lintas dari sebuah stasiun televisi swasta di
Indonesia. Data kepadatan kendaraan digunakan sebagai nilai awal untuk
melakukan simulasi numerik kepadatan arus lalu lintas.
Metode
Pada penelitian ini, difokuskan pada solusi numerik dari model arus lalu lintas
LWR untuk menggambarkan fenomena kepadatan arus lalu lintas pada sebuah ruas
jalan. Solusi numerik diperoleh dengan menggunakan metode beda hingga skema
implisit.
Model LWR diselesaikan secara numerik dengan melalui tiga tahapan.
Pertama, model LWR dengan velositas underwood di diskretisasi menggunakan
9
metode beda hingga skema implisit. Kedua, memeriksa kekonvergenan skema
numerik metode beda hingga implisit menggunakan teorema ekuivalensi Lax.
Ketiga, dilakukan simulasi numerik dari model LWR untuk menggambarkan
fenomena dari kepadatan lalu lintas yang sebenarnya menggunakan data awal
kepadatan kendaraan dan parameter yang berbeda-beda.
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini, akan dilakukan penyelesaian model LWR dengan velositas
Underwood diselesaikan secara numerik dengan mendiskritisasi model LWR
menggunakan skema diskretisasi metode beda hingga implisit. Selanjutnya,
diperiksa kekonvergenan skema diskretisasi beda hingga implisit dengan
membuktikan kestabilan dan kekonsistenannya. Terakhir dilakukan simulasi
numerik untuk menggambarkan fenomena dari kepadatan lalu lintas yang
sebenarnya menggunakan parameter yang berbeda-beda.
Solusi Numerik dengan Metode Beda Hingga Skema Implisit
Pada bagian ini, model LWR diselesaikan secara numerik dengan melalui tiga
tahapan. Pertama, model LWR dengan velositas underwood di diskretisasi
menggunakan metode beda hingga skema implisit. Kedua, memeriksa
kekonvergenan skema numerik metode beda hingga implisit menggunakan teorema
ekuivalensi Lax. Ketiga, dilakukan simulasi numerik dari model LWR untuk
menggambarkan fenomena dari kepadatan lalu lintas yang sebenarnya
menggunakan parameter yang berbeda-beda.
Diskretisasi
Dengan menggunakan diskretisasi skema Implisit terhadap ruang dan
waktu model LWR (2.15) diaproksimasi menggunakan operator (2.23) beda hingga
implisit menjadi seperti berikut:
dengan
�� + −��
∆
=
��++ +��−+
+
�
−
∆�
�� .
��
� ��
=
(4.1)
��
. exp − �
��
.
(4.2)
Dari persamaan (4.1) diperoleh:
� + + � + +
� + = � .
(4.3)
∆
∆� −
∆
∆� +
Untuk penyederhanaan, persamaan (4.3) dapat dituliskan menjadi bentuk
berikut
untuk � = , … . ,
+
� ++ +
−
dan
+
�
+
+
= ,….,
+
� −+ =
− , di mana
∆t
� ,
(4.4)
10
+
+
=
+
=
(4.5)
∆
.
∆
Didefinisikan syarat awal dan syarat batas untuk persamaan (4.4) sebagai
berikut:
� = ρ
=
∆
� = �
� = ρ
(4.6)
dengan �
adalah kepadatan jalan pada saat = , �
adalah kepadatan
adalah banyaknya kendaraan yang akan keluar dari
jalan pada saat = dan ρ
ruas jalan yang diteliti. untuk � = , , … . , − dan = , … . , , sehingga
persamaan (4.4) dapat dituliskan menjadi bentuk matriks berikut
+
untuk
̂
+
= ,….,
+
+
=
∆�
− , di mana
̂ +
+
+
+
̂ = (
+
= −
,
+
+
+
,…,
+
,
+
+
=
[
+
+
−
′
(4.7)
…
…
…
⋱
…
…
) untuk
, ,…, ,−
+
−
+
−
+
−
= , +
+
′
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
]
.
Kekonvergenan dari Skema Numerik
Pada bagian ini akan ditunjukkan skema diskretisasi (4.1) memenuhi syarat
kekonvergenan yang sesuai dengan teorema ekuivalensi Lax.
Kestabilan
Kestabilan skema diskritisasi (4.1) dianalisis menggunakan analisis
kestabilan Von Neumann.
Skema diskritisasi (4.4) stabil, jika � = �
, ∀ ∈ ℝ , memenuhi
|�|
untuk ruang i dan waktu n.
Persamaan (4.4) dapat dituliskan sebagai berikut:
� ++ + �
+
+ � −+ = �
(4.8)
11
untuk � = , … . ,
Jika � = �
�
−
= ,….,
dan
=
,∀
∆
∆�
.
− , dengan
∈ ℝ, disubstitusikan ke dalam persamaan (4.8) diperoleh
+
+
+�
+
+
+ �
Jika kedua ruas pada persamaan (4.10) dibagi �
Selanjutnya akan dibuktikan
�
−
−
+ +
dengan
exp − �
��
��
�� .
=
> ,
��
� ��
Kekonsistenan
(4.9)
�=
+
�
∆
∆�
� .
�
−
> ,
> , sehingga
�=
+�
+
+
+
� + −�
+
�
�
−
+
−
−
+
.
(4.10)
, diperoleh
= �−
.
(4.11)
(4.12)
. Karena
. exp −
> ,∀
+
=�
−
−
�
�
�
∆
∆
∈ ℝ, dan � < �
. Jadi
�,
maka
. ∎
Teorema ekuivalensi Lax menyatakan bahwa metode beda hingga konsisten
untuk masalah nilai awal yang diberikan (Strikwerda, 1989).
Sesuai dengan teorema ekuvalensi Lax, untuk sebuah persamaan diferensial
dan masalah nilai awal yang well-possed, jika suatu persamaan beda konsisten dan
stabil, maka persamaan beda tersebut konvergen.
Simulasi Numerik
Pada bagian ini akan diberikan beberapa contoh kasus untuk disimulasikan.
Simulasi ini dilakukan untuk menggambarkan fenomena arus lalu lintas yang
sebenarnya. Simulasi dilakukan dengan bantuan software MATLAB R2010a.
Simulasi dilakukan pada gerbang tol Cikarang utara sampai 10 Km kearah
Jakarta. Berikut grafik kepadatan kendaraan awal pada gerbang tol Cikarang utara
sampai 10 Km kearah Jakarta.
12
Gambar 1 Grafik kepadatan awal kendaraan pada t = 0
Berdasarkan Gambar 1 dapat dilihat bahwa kepadatan kendaraan dari jarak 0
km - 5 km pada ruas jalan yang telah dipartisi berfluktuasi pada angka 180 – 210
kendaraan, sedangkan pada jarak 5 km – 10 km kepadatan kendaraan berfluktuasi
antara 210 – 240 kendaraan. Selanjutnya, dilakukan simulasi numerik berdasarkan
nilai awal di atas dan diasumsikan banyaknya kendaraan pada jarak 0 km � ,
sepanjang waktu sebanyak 210 kendaraan. Simulasi dilakukan dengan parameter
yang berbeda selama 60 menit dengan ∆ =
� .
a) Simulasi 1
Pada simulasi ini, kepadatan kendaraan dihitung berdasarkan nilai awal dan
nilai batas yang diberikan di atas dan menggunakan parameter � � = 5
�
kendaraan,
,∆ =
,∆ =
� . Berikut solusi dari model
� =
LWR yang divisualisasikan pada Gambar 2.
Gambar 2 Profil Kepadatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
13
Berdasarkan Gambar 2 diperoleh data perubahan kepadatan kendaraan
setiap menit tidak mengalami perubahan yang signifikan dari waktu ke waktu, dapat
dilihat pada grafik yang berwarna kemerah-merahan yang berkurang secara lambat
setiap menit. Dengan menggunakan fungsi velositas Underwood pada persamaan
(2.4) diperoleh rata-rata kecepatan kendaraan setiap ruas seperti yang ditunjukkan
pada Gambar 3.
Gambar 3 Profil Kecepatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
Berdasarkan Gambar 3 dapat dilihat bahwa rata-rata kecepatan kendaraan
, hal ini yang menyebabkan terurai
disetiap ruas hanya berada pada angka 15-20
secara lambat. Dari Gambar 3 juga terlihat hubungan timbal balik antara kepadatan
dan kecepatan kendaraan. Semakin tinggi kepadatan kendaraan maka rata-rata
kecepatan kendaraan akan berkurang. Perubahan kepadatan kendaraan dapat dilihat
pada Gambar 4.
Gambar 4 Grafik kepadatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan 60 menit,
14
Gambar 5 Grafik kecepatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan 60 menit.
Dari Gambar 4 dan Gambar 5 dapat dilihat perubahan kepadatan dan
kecepatan kendaraan setiap 20 menit yang tidak berubah secara signifikan. Dari
Gambar 4 dan Gambar 5 juga terlihat hubungan timbal balik antara kecepatan dan
kepadatan, semakin padat suatu ruas jalan maka rata-rata kecepatan kendaraan
semakin lambat.
Selain kepadatan dan kecepatan kendaraan, dari model LWR juga diperoleh
data fluks kendaraan yaitu laju banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas
jalan berdasarkan kondisi kepadatan dan kecepatan pada ruas jalan tersebut. Fluks
kendaraan dapat dilihat pada Gambar 5.
Gambar 6 Profil fluks kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
Gambar 5 menujukkan laju banyaknya kendaraan yang melewati setiap 200
meter ruas jalan tol jagorawi pada Km 5- Km 15 bervariasi antara 3500-3680
Kendaraan/jam.
15
b) Simulasi 2
Pada simulasi ini diasumsikan ruas jalan tol Cikarang mengalami
penambahan satu lajur yang menyebabkan perubahan parameter kepadatan
maksimum kendaraan menjadi � � = 5
kendaraan. Simulasi dilakukan
berdasarkan nilai awal dan nilai batas yang sama dengan simulasi 1, ∆ =
,∆ =
� . Berikut solusi dari model LWR yang divisualisasikan pada
Gambar 6.
Gambar 7 Profil Kepadatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
Dari Gambar 6 terlihat bahwa kepadatan kendaraan terurai lebih cepat
daripada simulasi 1. penambahan 1 lajur memberikan perubahan yang signifikan
pada kondisi kepadatan yang sama dengan simulasi 1. Perubahan dapat dilihat pada
grafik yang merah dan kuning yang hanya ada sampai menit 45 atau dengan kata
lain kepadatan kendaraan diatas angka 210 hanya terjadi sampai menit 45.
Gambar 8 Profil Kecepatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
16
Dari Gambar 7 terlihat juga perubahan yang signifikan pada rata-rata
kecepatan kendaraan. Hal ini disebabkan karena perubahan kecepatan kendaraan
bergantung pada kepadatan suatu ruas jalan. Perubahan kepadatan dan kecepatan
setiap 20 menit dapat di lihat lebih detail pada Gambar 7.
(a)
(b)
Gambar 9 (a) Grafik kepadatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan 60 menit,
(b) Grafik kecepatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan 60 menit.
Berbeda dengan kasus 1 dimana perubahan kepadatan dan kecepatan
kendaraan setiap 20 menit tidak berubah secara drastis, pada kasus 2 kendaraan
terurai lebih cepat. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 9(a) dimana pada menit ke 60
17
kondisi kepadatan kendaraan menunjukkan kepadatan yang konstan. Hal ini
disebabkan karena � , di asumsikan konstan sebanyak 210 kendaraan.
Perubahan kepadatan dan kecepatan kendaraan mengakibatkan fluks
kendaraan juga mengalami perubahan yang signifikan, seperti yang ditunjukkan
pada Gambar 10
Gambar 10 Profil fluks kendaraan selama 60 menit (∆t=1 menit).
Dari Gambar 10 dapat dilihat bahwa penambahan 1 lajur mengakibatkan
peningkatan laju kendaraan yang melewati setiap meningkat secara drastis. Pada
kasus 1 fluks kendaraan hanya bervariasi pada angka 3500-3680 kendaraan/jam
sedangkan pada kasus 2 fluks kendaraan berada pada angka 6000-6800
kendaraan/jam.
Kepadatan awal � ,
memberikan pengaruh yang besar terhadap
perubahan kepadatan dan kecepatan lalu lintas di setiap titik.
5 KESIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Pada penelitian ini kepadatan lalu lintas dimodelkan oleh model LWR
berbasis fungsi velositas Underwood dengan syarat awal dan syarat batas diketahui.
Solusi dari masalah nilai awal dan batas tersebut dapat memberikan gambaran
mengenai kepadatan dan kecepatan lalu lintas pada sebuah ruas jalan dengan
kondisi tertentu.
Solusi dari model LWR diperoleh secara secara numerik menggunakan
metode beda hingga skema implisit dan telah terbukti stabil dan konsisten.
Berdasarkan Simulasi numerik diperoleh kecenderungan perubahan arus lalu lintas
jika data diubah-ubah.
18
Saran
Penelitian model LWR berbasis fungsi velositas underwood ini dapat
dilanjutkan dengan mempertimbangkan asumsi adanya arus masuk atau keluar
dipertengahan ruas jalan, yang menyebabkan model LWR dengan fungsi velositas
underwood pada persamaan (2.10) menjadi
dengan
,
�� ,
�
+
�
�
� ,
�
exp −
� ,
� �
=
,
menggambarkan arus masuk dan keluar pada pertengahan ruas jalan.
DAFTAR PUSTAKA
Ahsan A, Andallah LS, Hossain Z. 2015. Numerical solution of a fluid dynamic
traffic flow model associated with a constant rate inflow. American Journal
of Computational and Applied Mathematics. 5:18-26.
Ardekani SA, Mostafa G, Shiva M. 2011. Macroscopic speed-flow models for
characterization of freeway and managed lanes. Publicat de Universitatea
Tehnică. 1: 149-159.
Hasan M, Sultana S, Andallah LS, Azam T. 2015. Lax-Friedrich scheme for the
numerical simulation of a traffic flow based on a nonlinear velocity density
model. 5:186-194.
Kabir MH, Gani MO, Andallah LS. 2010. Numerical simulation of a mathematical
traffic flow model based on a nonlinear velocity-density function. Journal
of Bangladesh Academy of Sciences. 34: 15-22.
Kamau KM, Sigey JK, Okelo JA, Okwoyo J. 2014. Inhomogenous LWR traffic
flow model and its application to Kisii-Kisumu highway in Kenya. SIJ
Transactions on Computer Science Engineering And Its Applications
(CSEA). 2: 213-218.
Kiselev AB, Kokoreva AV, Nikitin VE, Smirnov NN. 2004. Mathematical
modelling of traffic flows on controlled roads. Journal of Applied
Mathematics and Mechanics. 68: 933-939.
Lighthil MJ, Witham GB. 1955. On Kinematic Waves: I: Flow Movement in Long
Rivers, II: A Theory of Traffic Flow on Long Crowded Roads. In:
Proceedings of the Royal Society: A229, London.
Mazare PE, Claudel CG, Bayen AM. 2005. Analytical and grid-free solutions to the
Lighthill-Whitham-Richards traffic flow model. Journal of Applied
Mathematics and Mechanics. 23: 645-653.
Morlock and Edward K. 1978. Introduction to Transportation Engineering and
Planing, Tokyo: Kogakusta, LTD.
Qiu S, Abdelaziz M, Abdellatif F, Christian G, Claudel. 2013. Exact and grid-free
solutions to the Lighthill–Whitham–Richards traffic flow model with
bounded acceleration for a class of fundamental diagrams. Transportation
Research Part B. 55: 282–306.
19
Spiliopoulou A, Kontorinaki M, Papageorgiou P. 2014. Macroscopic traffic flow
model validation at congested freeway off-ramp areas. Transportation
Research Part C. 41: 18–29.
Stoilova V, Nikolov E, Nikolova N. 2013. Analytical Deriving of Second Order
Model of Payne from First Order Lighthil Whitham-Richards Model.
Cybernetics And Information Technologies. 13: 4-12.
Strikwerda JC. 1989. Finite difference scheme and partial differential Equation
(first edition). London (GB): Chapman & Hall
Sultana N, Parvin M, Sarker R, Andallah LS. 2013. Simulaion of traffic flow model
with traffic controller boundary. International Journal of Science and
Engeenering, 5:1-9.
Verberg D, Purcell JE, Rigdon SE. 2007. Calculus Ninth Edition. New Jersey
(USA): Prentice Hall, Inc.
Thomas, T. 2013. An empirical model for trip distribution of commuters in the
netherlands: transferability in time and space reconsidered. Journal of
transport geography. 26: 158-165.
20
21
LAMPIRAN
22
23
LAMPIRAN
1. Sintaks algoritma metode hingga skema implisit
function V=BHimplisit(PX0,PTa,PTb,X_end,T,pmax,vmax)
tic;
[~,nX1] = size(PX0);
nX = nX1-1;
hX = X_end/nX1;
%% panjang sub-interval X
[~,nt1] = size(PTa);
nt = nt1-1;
%% panjang sub-interval t
ht = T/nt1;
%%%% Grid untuk variabel X dan t
Xvec = hX*(0:nX);
%% size = 1x(nX+1)
%% size = 1x(nt+1)
tvec = ht*(0:nt);
P = zeros(nt1,nX1);
%% size = (nt+1)x(nX+1)
%mendefinisikan nilai awal
P(1,:) = PX0;
P(:,1) = PTa;
P(:,nX) = PTb;
for m = 2:nt1
%% iterasi waktu
Vtemp = P(m-1,:);
Vtemphit = P(m-1,2:nX1-1)';
Un = P(m-1,2:nX1-1);
tol = 1;
iter = 1;
while tol > 1.0e-5 && iter
ARAH BERBASIS FUNGSI VELOSITAS UNDERWOOD
MUH ISBAR PRATAMA
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul “Simulasi numerik model
arus lalu lintas satu arah berbasis fungsi velositas Underwood” adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis
ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Maret 2016
Muh. Isbar Pratama
G551130161
RINGKASAN
MUH ISBAR PRATAMA. Simulasi Numerik Model Arus Lalu Lintas Satu Arah
Berbasis Fungsi Velositas Underwood. Dibimbing oleh FAHREN BUKHARI dan
BIB PARUHUM SILALAHI.
Mobilitas masyarakat yang meningkat beberapa tahun terakhir memberikan
dampak yang linier terhadap jumlah kendaraan pribadi dan angkutan umum. Jumlah
kendaraan yang meningkat seringkali tidak seiring dengan penambahan kapasitas
jalan raya. Jumlah kendaraan yang melebihi kapasitas jalan raya pada waktu-waktu
tertentu adalah salah satu penyebab kemacetan.
Beberapa matematikawan menggambarkan fenomena kepadatan lalu lintas
dalam bentuk model matematika untuk membantu mengurangi masalah kemacetan
yang disebabkan oleh jumlah kendaraan yang melebihi kapasitas jalan. Model
matematika arus lalu lintas pertama kali dikembangkan pada tahun 1955 oleh James
Lighthill, Gerald B. Whitham dan Richard P. yang dikenal sebagai model LWR.
Model ini menggambarkan fenomena lalu lintas yang dihasilkan dari interaksi
banyak kendaraan dengan variabel dasar lalu lintas seperti kepadatan, kecepatan
dan aliran kendaraan dan dapat digunakan untuk memprediksi fenomena kepadatan
arus lalu lintas kedepannya.
Dalam model LWR, fungsi velositas ( rata-rata kecepatan yg diukur dalam
satuan jarak persatuan waktu) merupakan elemen yang paling penting dalam
menentukan kecocokan model. Penelitian ini menggunakan fungsi velositas
Underwood yang berbentuk fungsi ekponensial.
Model LWR berbasis fungsi velositas Underwood diselesaikan secara
numerik karena nilai awal dari kepadatan kendaraan tidak berbentuk fungsi
sederhana, sehingga solusi analitik dari model LWR berbasis fungsi velositas
Underwood sulit ditemukan. Penyelesaian secara numerik menggunakan metode
beda hingga skema implisit yang telah terbukti konvergen.
Simulasi numerik dilakukan untuk menggambarkan fenomena kepadatan
arus lalu lintas. Simulasi numerik pada penelitian ini dilakukan dengan 2 parameter
yang berbeda. Hasil simulasi numerik menunjukkan kecenderungan perubahan arus
lalu lintas jika data diubah-ubah.
Kata kunci: Model LWR, Fungsi Velositas Underwood, Metode beda hingga
Implisit, Simulasi Numerik.
SUMMARY
MUH ISBAR PRATAMA. Numerical Simulation of One Way Traffic Flow Based
on Underwood Velocity Function. Supervised by FAHREN BUKHARI and BIB
PARUHUM SILALAHI.
Increasing mobility of people in recent years causes a linear impact on the
number of private vehicles and public transport. Increasing vehicles amount that
often due with the additional highway capacity. The vehicle amount that exceed
capacity of the road at certain times is one causes of congestion.
Some mathematicians describe the phenomenon of the traffic density in the
form of mathematical models to calculate the supply and demand of traffic flow.
The mathematical Traffic flow model was first developed in 1955 by James
Lighthill, Whitham and Richard B. Gerald P. known as LWR model. This model
describes the phenomenon of traffic generated from the interaction of many
vehicles with basic traffic variables such as density, velocity and flow of vehicles
and can used to predict the phenomenon of traffic density in the future.
In LWR models, a function of velocity (average velocity measured in units of
distance per time unit) is the most important element to determining the suitability
of the model. This study uses Underwood velocity function in the form exponential
function.
LWR models based on Underwood velocity function solved numerically because
the initial value of vehicle density is not a simple function, so the analytic solution
of the model-based LWR velocity function Underwood difficult to find. LWR
models based on Underwood velocity function solved numerically using an implicit
finite difference schemes which have proven converged.
Numerical simulations performed to illustrate the phenomenon of traffic
density. Numerical simulation in this study conducted with two different parameters.
Numerical simulation results showed a trend change in the flow of traffic if data is
changed.
Keywords: LWR model, Underwood velocity model, Implicit finite difference
method, Numerical simulation.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau
menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
SIMULASI NUMERIK MODEL ARUS LALU LINTAS SATU
ARAH BERBASIS FUNGSI VELOSITAS UNDERWOOD
MUH ISBAR PRATAMA
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Penguji Luar Komisi Pada Ujian Tesis: Dr Jaharuddin, MS
**!- ( (- - "*!( - *"' - %!- '*(- !*- $)(- )*- ' - '( ( *$( - !%( )(-$',%%"-
- * -
('-')"-
()* * -%!
%" ( -" " $-
'- '- '$-
-
)*-
) * -%! -
)*-'%'#-)* )") -'&-
'- '* $- -
$!- $-
'+' -
$!-*!*(-
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan November 2014 ini ialah
analisis numerik, dengan judul Simulasi Numerik Model Arus Lalu Lintas Satu
Arah Berbasis Fungsi Velositas Underwood.
Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada Program Studi Magister Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana
Institut Pertanian Bogor. Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada:
1. Bapak Muh Basri P dan Ibu Islamiah B selaku orang tua penulis.
2. Dr Ir Fahren Bukhari, MSc selaku ketua komisi pembimbing.
3. Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom anggota komisi pembimbing.
4. Dr Jaharuddin, MS selaku penguji luar komisi pembimbing dan Ketua Program
Studi Matematika Terapan.
5. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa
Pendidikan Pascasarjana dalam Negeri (BPP-DN).
6. Seluruh keluarga yang selalu memberi dorongan dan doa untuk keberhasilan
studi penulis.
7. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman
angkatan tahun 2013 di program studi S2 Matematika Terapan.
8. Sahabat-sahabat yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak
membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga semua bantuan, bimbingan dan motivasi yang telah diberikan kepada
penulis senantiasa mendapatkan balasan dari Allah subhanahu wa ta’ala.
Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar
dan wawasan kita semua.
Bogor, Maret 2016
Muh Isbar Pratama
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian
1
1
1
2 TINJAUAN PUSTAKA
Model LWR
Fungsi Velositas
Fungsi Velositas Greenshield
Fungsi Velositas Greenberg
Fungsi Velositas Drake
Fungsi Velositas Polynomial
Fungsi Velositas Kuadratik
Fungsi Velositas Underwood
Model LWR dengan Fungsi Velositas Linear
Koefisien Determinasi
Perbandingan Fungsi Velositas
Solusi Analitik Model LWR dengan Velositas Underwood
Skema Metode Beda Hingga Implisit
Sistem Persamaan taklinear
Metode Iterasi Newton-Raphson
Kestabilan
Teorema Ekuivalensi Lax
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
7
7
7
8
8
3 METODE PENELITIAN
Data
Metode
8
8
8
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Solusi Numerik dengan Metode Beda Hingga Skema Implisit
Kekonvergenan dari Skema Numerik
Simulasi Numerik
9
9
10
11
5 KESIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran
17
17
18
DAFTAR PUSTAKA
18
LAMPIRAN
23
RIWAYAT HIDUP
25
DAFTAR TABEL
1 Tabel Perbandingan nilai R Ardekani et al
5
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1 Grafik kepadatan awal kendaraan pada t = 0
Gambar 2 Profil Kepadatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
Gambar 3 Profil Kecepatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
Gambar 4 Grafik kepadatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan
60 menit
5 Gambar 5 Grafik kecepatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan
60 menit.
6 Gambar 6 Profil fluks kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
7 Gambar 7 Profil Kepadatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
8 Gambar 8 Profil Kecepatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
9 Gambar 9 (a) Grafik kepadatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit
dan 60 menit, (b) Grafik kecepatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40
menit dan 60 menit.
10 Gambar 10 Profil fluks kendaraan selama 60 menit (∆t=1 menit).
1
2
3
4
12
12
13
13
14
14
15
15
16
17
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks algoritma metode beda hingga skema implisit
23
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Mobilitas masyarakat yang meningkat beberapa tahun terakhir memberikan
dampak terhadap jumlah kendaraan pribadi dan angkutan umum. Jumlah kendaraan
yang meningkat seringkali tidak seimbang dengan penambahan kapasitas jalan
raya. Jumlah kendaraan yang melebihi kapasitas jalan raya pada waktu-waktu
tertentu adalah salah satu penyebab kemacetan.
Beberapa matematikawan menggambarkan fenomena kepadatan lalu lintas
dalam bentuk model matematika untuk membantu mengurangi masalah kemacetan
yang disebabkan oleh jumlah kendaraan yang melebihi kapasitas jalan. Model
matematika arus lalu lintas pertama kali dikembangkan pada tahun 1955 oleh James
Lighthill, Gerald B Whitham dan Richard P yang dikenal sebagai model LWR.
Model ini menggambarkan fenomena lalu lintas yang dihasilkan dari interaksi
banyak kendaraan dengan variabel dasar lalu lintas seperti kepadatan, kecepatan,
dan aliran kendaraan dan dapat digunakan untuk memprediksi fenomena kepadatan
arus lalu lintas kedepannya.
Dalam model LWR, fungsi velositas (rata-rata kecepatan yg diukur dalam
satuan jarak persatuan waktu) merupakan elemen yang paling penting dalam
menentukan kecocokan model. Pada model LWR konvesional fungsi velositas yang
digunakan adalah fungsi velositas Greenshield yang merupakan fungsi linear.
model ini kemudian mendapat banyak bantahan dari beberapa peneliti karena
velositas yang linear dalam prakteknya tidak relevan karena memungkinkan
terjadinya kepadatan maksimum jalan (Sultana et al. 2011).
Beberapa model yang diusulkan oleh beberapa peneliti untuk memodelkan
velositas antara lain fungsi velositas Greenberg, fungsi velositas Underwood, fungsi
velositas Drake, fungsi velositas polinomial, dan fungsi velositas kuadratik. Di
antara beberapa fungsi tersebut, fungsi velositas Underwood adalah fungsi yang
paling mendekati keadaan sebenarnya (Ardekani et al. 2011).
Tujuan penelitian ini adalah menggambarkan pola pergerakan lalu lintas
menggunakan model LWR dengan fungsi velositas Underwood yang merupakan
fungsi eksponensial. Karena nilai awal dari kepadatan lalu lintas tidak berbentuk
fungsi yang sederhana sehingga diperlukan suatu metode numerik untuk
menentukan solusinya. Salah satu pendekatan secara numerik dapat dilakukan
untuk menentukan solusi model LWR yaitu dengan metode beda hingga skema
implisit (Implicit finite difference method). Metode beda hingga skema implisit
menjamin solusi dari persamaan diferensial bernilai positif.
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah melakukan simulasi numerik untuk
menggambarkan fenomena arus lalu lintas dengan metode beda hingga implisit
(implicit finite difference method) terhadap model LWR dengan fungsi velositas
Underwood.
2
2 TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dipaparkan materi-materi terkait yang digunakan dalam
penelitian ini yang terdiri dari pengenalan model LWR dan solusi analitiknya,
fungsi-fungsi velositas, ringkasan penelitian sebelumnya, dan metode yang
digunakan untuk penyelesaian model dalam penelitian ini.
Model LWR
Model LWR yang dikembangkan oleh Lighthill dan William (1955), Richard
(1956) bertujuan untuk memodelkan kepadatan lalu lintas secara makroskopik.
Pada model ini, kondisi lalu lintas dianalogikan sebagai aliran fluida dengan
mengasumsikan kendaraan sebagai partikel yang berada pada aliran tersebut. Lebih
jauh lagi, pola arus lalu lintas dimodelkan melalui metode dinamika fluida. Melalui
hukum konservasi massa, diperoleh bahwa model LWR dirumuskan secara
matematis oleh persamaan diferensial parsial hiperbolik sebagai berikut:
�� �,
�
+
�� �
��
=
(2.1)
dengan � , merepresentasikan kepadatan kendaraan (jumlah kendaraan per
satuan jarak) lalu lintas pada suatu titik x dan waktu t, sedangkan q( � )
merepresentasikan fluks (jumlah kendaraan per satuan waktu) lalu lintas pada suatu
titik x dan waktu t tertentu.
Fluks lalu lintas merupakan fungsi yang diberikan oleh
� =�
�
(2.2)
dengan V(ρ) adalah fungsi velositas (rata-rata kecepatan yang diukur dalam satuan
jarak persatuan waktu).
Dalam model LWR dengan velositas Underwood terdapat dua asumsi yang
harus dipenuhi yaitu,
1. tidak ada jalur masuk atau keluar di pertengahan ruas jalan yang diamati.
2. tidak ada kendaraan roda dua atau pejalan kaki.
Fungsi Velositas
Fungsi velositas adalah model yang menggambarkan rata-rata kecepatan yang
diukur dalam satuan jarak persatuan waktu. Fungsi velositas menggambarkan
hubungan antara kecepatan dan kepadatan kendaraan. Fungsi velositas arus lalu
lintas pertama kali diperkenalkan oleh Greenshield pada tahun 1939 yang
menggambarkan fungsi velositas arus lalu lintas sebagai fungsi linear. Seiring
dengan berkembangnya ilmu pengetahuan, banyak peneliti yang mengajukan
fungsi velositas arus lalu lintas.
3
Fungsi Velositas Greenshield
Fungsi velositas arus lalu lintas pertama kali diperkenalkan oleh Greenshield
pada tahun 1939 yang menggambarkan fungsi velositas arus lalu lintas sebagai
fungsi linear sebagai berikut:
� =
�
−
� �,
(2.3)
�max
dengan � � dan
� berturut-turut adalah kepadatan maksimum dan kecepatan
maksimum lalu lintas pada waktu .
Fungsi Velositas Greenberg
Diperkenalkan oleh Greenberg pada tahun 1959, model menggunakan
analogi aliran fluida dan data dari Terowongan Lincoln di New York untuk
membangun logaritmik hubungan antara kecepatan dan kepadatan, yaitu
� =
� �,
�
(2.4)
�max
dengan � � dan
� berturut-turut adalah kepadatan maksimum dan kecepatan
maksimum lalu lintas pada waktu .
Fungsi Velositas Drake
Fungsi ini dikembangkan oleh Drake pada tahun 1961. Dalam
mengembangkan fungsi velositas, Drake memperkirakan kecepatan berdasarkan
kepadatan dan aliran kendaraan. Drake mengusulkan fungsi velositas berbentuk
fungsi eksponensial sebagai berikut:
� =
�
(−
� �,
� ��
).
(2.5)
dengan � � dan
� berturut-turut adalah kepadatan maksimum dan kecepatan
maksimum lalu lintas pada waktu .
Fungsi Velositas Polynomial
Beberapa peneliti mengusulkan rata-rata kecepatan kendaraan berbentuk
fungsi polynomial berderajat dua sebagai berikut:
dengan
� =
�
+ � ,
+ � ,
dan adalah parameter tambahan tertentu.
(2.6)
4
Fungsi Velositas Kuadratik
Rata-rata kecepatan kendaraan dapat pula dituliskan dalam fungsi kuadrat
sebagai berikut:
� =
−
�
� �,
� ��
.
(2.7)
dengan � � dan
� berturut-turut adalah kepadatan maksimum dan kecepatan
maksimum lalu lintas pada waktu .
Fungsi Velositas Underwood
Fungsi velositas Underwood dikembangkan oleh Underwood pada tahun
1961 merupakan fungsi hipotesis hubungan eksponensial antara kepadatan dan
kecepatan. Fungsi ini umumnya lebih realistis daripada fungsi Greenshields dan
Greenberg karena memiliki nilai koefisien determinasi terbesar diantara fungsi
velositas lainnya(Ardekani et al, 2011). Fungsi Underwood diberikan sebagai
berikut:
� =
�
exp −
� �,
� ��
.
(2.8)
Model LWR dengan Fungsi Velositas Linear
Kabir et al. (2010) telah mengajukan dan menganalisis model LWR dengan
fungsi velositas Greenshield untuk menggambarkan kepadatan arus lalu lintas.
Model LWR dengan fungsi velositas Greenshield dituliskan dalam persamaan
berikut:
�� �,
�
+
�
��
� ,
( −
=�
� ,
�max
.
) =
}
(2.9)
Model LWR (2.9) yang telah dianalisis oleh Kabir et al. (2010) dapat
menghitung kepadatan kendaraan pada kondisi jalan yang tidak padat. Sedangkan
untuk kondisi padat di mana rata-rata kecepatan kendaraan mendekati nol, model
(2.9) sulit digunakan untuk menghitung kepadatan kendaraan.
Koefisien Determinasi
Koefisien determinasi ( � adalah satu ukuran yang digunakan untuk
mengukur pengaruh variabel independen terhadap variansi variabel tak bebas,
dengan 0 < � < 1. Koefisien determinasi sering digunakan sebagai alat untuk
menguji kelayakan suatu model. Semakin besar nilai dari � , maka model semakin
mendekati kodisi yang sebenarnya.
5
Perbandingan Fungsi Velositas
Ardekani et al (2011) membandingkan fungsi velositas untuk mengetahui
fungsi velositas yang paling mendekati keadaan yang sebenarnya. Berdasarkan nilai
koefisien � , fungsi velositas Underwood adalah model terbaik dengan nilai �
sebesar 0.96 yang artinya kemampuan variabel bebas model Underwood dalam
menjelaskan varians dari variabel terikatnya sebesar 0.96.
Tabel 1. Perbandingan nilai � Ardekani et al.
��
0.86
0.43
0.96
0.94
0.91
0.90
Fungsi velositas
GreenShield
Greenberg
Underwood
Drake
Polynomial
Kuadrat
Berdasarkan Tabel 1 diperoleh fungsi velositas Underwood yang paling
mendekati dengan keadaan sebenarnya karena memiliki koefisien determinasi
terbesar.
Model LWR dengan Velositas Underwood
Persamaan (2.1) direkonstruksi dengan mensubstitusikan fungsi velositas
Underwood pada persamaan (2.8):
�
� �,
�� �,
+
� ,
= ,
(2.10)
� exp −
��
�
� ��
dengan asumsi bahwa kepadatan lalu lintas pada saat awal pengamatan yaitu pada
saat = adalah
� , =�
.
Model LWR dengan masalah nilai awal yang diberikan dapat dituliskan
sebagai:
�� �,
�
+
�
��
� ,
�
� ,
exp −
.
=�
� �,
� ��
=
(2.11)
Solusi Analitik Model LWR dengan Velositas Underwood
Pada bagian ini, masalah nilai awal persamaan (2.11) akan diselesaikan. dengan
metode karakteristik. Karena
�(�.
=
=
��
� )
�
=
�
�
�
+�
� +�
�
+�
�
��
� ��
��
� ��
,
�(
� )
��
(2.12)
6
dan
� =
maka
� +�
�
=
� . exp
=
−
exp −
�
−
�.
�
+
�
� ��
��
exp −
� ��
��
−
�
��
��
+� −�
Dengan demikian persamaan (2.1) menjadi
�� �,
�
� ��
�
��
� ��
�
��
,
(2.13)
exp −
�
� ��
.
� ��
exp −
�
(2.14)
= .
� ��
(2.15)
Selanjutnya persamaan (2.15) akan diselesaikan dengan metode karakteristik.
Asumsikan dan adalah fungsi dari sembarang. Sehingga turunan total dari
�(
,
) terhadap adalah
dengan
diperoleh
Jika
=
�(
dan
dan
�
) = (�,
,
),
(2.16)
adalah garis karakteritik. Berdasarkan aturan rantai
=
�(
�
−
�
,
)=
��
� ��
,
)=
�� ,
�
+
��
��
+
� ��
(
−
��
�
��
�
�
exp −
sama dengan persamaan (2.15). Sehingga,
�(
,
.
maka persamaan (2.17) akan
�
maka
� ��
�
−
�
��
atau
=
exp −
�
−
�
��
sehingga
=
exp −
� ��
� ��
) exp (−
�
Nilai awal pada persamaan (2.11) dapat dituliskan �
= ,
= ,
maka
= .
Selanjutnya, karena
� ��
�
�
=
exp −
,
�− �
��
(2.17)
,
�
�
=�
) =
,
(2.18)
. Karena
(2.19)
=
�
+
,
�
+
,
� ��
� ��
(2.20)
7
=
−
Berdasarkan persamaan (2.18) maka
adalah
� ,
=
=
−
untuk sembarang fungsi .
�
−
�
�
��
� ��
=
exp −
�
.
� ��
(2.21)
sehingga solusi dari persamaan (2.15)
�
−
�. ��
� ��
−�
�
��
(2.22)
Karena kepadatan lalu lintas pada umumnya tidak berbentuk fungsi yang
sederhana, maka untuk memudahkan pencarian solusi dari model LWR dilakukan
bantuan metode numerik.
Skema Metode Beda Hingga Implisit
Pada skema implisit variabel pada waktu + dihitung berdasarkan variabel
pada waktu n yang sudah diketahui serta variavel pada waktu + yang belum
diketahui. Sehingga, operator beda hingga yang di gunakan adalah sebagai berikut
��
��
,��
�
,��
��
�( � + )−�( � )
∆
�( �++ )+� �−+
=
=
∆�
.
(2.23)
Sistem Persamaan taklinear
Sistem persamaan nonlinear adalah kumpulan dari beberapa persamaan
nonlinear yang saling berhubungan untuk mencapai tujuan tertentu. Untuk
menyelesaikan permasalahan persamaan nonlinier terdapat banyak metode dan
algoritma yang bisa digunakan, tetapi setiap metode dan algoritma yang ada
mempunyai kelebihan dan kekurangan masing-masing. Salah satunya metode
numerik digunakan untuk menyelesaikan persoalan dimana perhitungan secara
analitik tidak dapat digunakan. Ada banyak macam metode numerik untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear maupun sistem persamaan nonlinear
diantaranya metode Newton-Raphson dan metode Jacobian.
Metode Iterasi Newton-Raphson
Metode Newton-Raphson (umumnya disebut dengan metode Newton)
merupakan metode pencarian solusi persamaan taklinear yang sering digunakan
diantara metode lainnnya, karena metode ini memberikan konvergensi yang lebih
cepat dibandingkan dengan metode lainnya. Metode Newton sering konvergen
dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai "cukup dekat" dengan solusi yang
diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari solusi yang dicari, metode ini dapat
8
meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan
mengatasi kegagalan konvergensi.
Metode Newton Raphson merupakan metode yang paling dikenal untuk
mencari hampiran terhadap akar fungsi riil dan dapat memecahkan persamaan
= , dengan diasumsikan mempunyai turunan kontinu ’ . Metode ini
menggunakan suatu garis lurus sebagai hampiran fungsi. Garis tersebut adalah garis
singgung pada kurva. Dengan menggunakan suatu nilai awal
dan ditetapkan
adalah titik potong sumbu dengan garis singgung pada kurva di titik . Dalam
setiap iterasi akan terbentuk secara berulang-ulang hingga manghasilkan nilai
yang membuat
= .
Kestabilan
Kestabilan adalah syarat solusi dari suatu persamaan diferensial stabil.
Persamaan diferensial akan stabil jika solusinya terbatas. Misal � adalah solusi
suatu persamaan diferensial, � dikatakan terbatas jika terdapat konstanta >
sedemikian sehingga ‖ � ‖ < untuk setiap � ∈ ℝ.
Teorema Ekuivalensi Lax
Untuk sebuah persamaan diferensial dan masalah nilai awal yang well-possed,
jika suatu persamaan beda konsisten dan stabil, maka persamaan beda tersebut
konvergen.
3 METODE PENELITIAN
Data
Penelitian ini menggunakan data kepadatan kendaraan pada gerbang tol
Cikarang utara sampai 10 km ke arah Jakarta yang terdiri dari 4 lajur dan dapat
menampung 12500 kendaraan. Kepadatan kendaraan dihitung dengan melihat
rekaman video kepadatan arus lalu lintas dari sebuah stasiun televisi swasta di
Indonesia. Data kepadatan kendaraan digunakan sebagai nilai awal untuk
melakukan simulasi numerik kepadatan arus lalu lintas.
Metode
Pada penelitian ini, difokuskan pada solusi numerik dari model arus lalu lintas
LWR untuk menggambarkan fenomena kepadatan arus lalu lintas pada sebuah ruas
jalan. Solusi numerik diperoleh dengan menggunakan metode beda hingga skema
implisit.
Model LWR diselesaikan secara numerik dengan melalui tiga tahapan.
Pertama, model LWR dengan velositas underwood di diskretisasi menggunakan
9
metode beda hingga skema implisit. Kedua, memeriksa kekonvergenan skema
numerik metode beda hingga implisit menggunakan teorema ekuivalensi Lax.
Ketiga, dilakukan simulasi numerik dari model LWR untuk menggambarkan
fenomena dari kepadatan lalu lintas yang sebenarnya menggunakan data awal
kepadatan kendaraan dan parameter yang berbeda-beda.
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini, akan dilakukan penyelesaian model LWR dengan velositas
Underwood diselesaikan secara numerik dengan mendiskritisasi model LWR
menggunakan skema diskretisasi metode beda hingga implisit. Selanjutnya,
diperiksa kekonvergenan skema diskretisasi beda hingga implisit dengan
membuktikan kestabilan dan kekonsistenannya. Terakhir dilakukan simulasi
numerik untuk menggambarkan fenomena dari kepadatan lalu lintas yang
sebenarnya menggunakan parameter yang berbeda-beda.
Solusi Numerik dengan Metode Beda Hingga Skema Implisit
Pada bagian ini, model LWR diselesaikan secara numerik dengan melalui tiga
tahapan. Pertama, model LWR dengan velositas underwood di diskretisasi
menggunakan metode beda hingga skema implisit. Kedua, memeriksa
kekonvergenan skema numerik metode beda hingga implisit menggunakan teorema
ekuivalensi Lax. Ketiga, dilakukan simulasi numerik dari model LWR untuk
menggambarkan fenomena dari kepadatan lalu lintas yang sebenarnya
menggunakan parameter yang berbeda-beda.
Diskretisasi
Dengan menggunakan diskretisasi skema Implisit terhadap ruang dan
waktu model LWR (2.15) diaproksimasi menggunakan operator (2.23) beda hingga
implisit menjadi seperti berikut:
dengan
�� + −��
∆
=
��++ +��−+
+
�
−
∆�
�� .
��
� ��
=
(4.1)
��
. exp − �
��
.
(4.2)
Dari persamaan (4.1) diperoleh:
� + + � + +
� + = � .
(4.3)
∆
∆� −
∆
∆� +
Untuk penyederhanaan, persamaan (4.3) dapat dituliskan menjadi bentuk
berikut
untuk � = , … . ,
+
� ++ +
−
dan
+
�
+
+
= ,….,
+
� −+ =
− , di mana
∆t
� ,
(4.4)
10
+
+
=
+
=
(4.5)
∆
.
∆
Didefinisikan syarat awal dan syarat batas untuk persamaan (4.4) sebagai
berikut:
� = ρ
=
∆
� = �
� = ρ
(4.6)
dengan �
adalah kepadatan jalan pada saat = , �
adalah kepadatan
adalah banyaknya kendaraan yang akan keluar dari
jalan pada saat = dan ρ
ruas jalan yang diteliti. untuk � = , , … . , − dan = , … . , , sehingga
persamaan (4.4) dapat dituliskan menjadi bentuk matriks berikut
+
untuk
̂
+
= ,….,
+
+
=
∆�
− , di mana
̂ +
+
+
+
̂ = (
+
= −
,
+
+
+
,…,
+
,
+
+
=
[
+
+
−
′
(4.7)
…
…
…
⋱
…
…
) untuk
, ,…, ,−
+
−
+
−
+
−
= , +
+
′
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
]
.
Kekonvergenan dari Skema Numerik
Pada bagian ini akan ditunjukkan skema diskretisasi (4.1) memenuhi syarat
kekonvergenan yang sesuai dengan teorema ekuivalensi Lax.
Kestabilan
Kestabilan skema diskritisasi (4.1) dianalisis menggunakan analisis
kestabilan Von Neumann.
Skema diskritisasi (4.4) stabil, jika � = �
, ∀ ∈ ℝ , memenuhi
|�|
untuk ruang i dan waktu n.
Persamaan (4.4) dapat dituliskan sebagai berikut:
� ++ + �
+
+ � −+ = �
(4.8)
11
untuk � = , … . ,
Jika � = �
�
−
= ,….,
dan
=
,∀
∆
∆�
.
− , dengan
∈ ℝ, disubstitusikan ke dalam persamaan (4.8) diperoleh
+
+
+�
+
+
+ �
Jika kedua ruas pada persamaan (4.10) dibagi �
Selanjutnya akan dibuktikan
�
−
−
+ +
dengan
exp − �
��
��
�� .
=
> ,
��
� ��
Kekonsistenan
(4.9)
�=
+
�
∆
∆�
� .
�
−
> ,
> , sehingga
�=
+�
+
+
+
� + −�
+
�
�
−
+
−
−
+
.
(4.10)
, diperoleh
= �−
.
(4.11)
(4.12)
. Karena
. exp −
> ,∀
+
=�
−
−
�
�
�
∆
∆
∈ ℝ, dan � < �
. Jadi
�,
maka
. ∎
Teorema ekuivalensi Lax menyatakan bahwa metode beda hingga konsisten
untuk masalah nilai awal yang diberikan (Strikwerda, 1989).
Sesuai dengan teorema ekuvalensi Lax, untuk sebuah persamaan diferensial
dan masalah nilai awal yang well-possed, jika suatu persamaan beda konsisten dan
stabil, maka persamaan beda tersebut konvergen.
Simulasi Numerik
Pada bagian ini akan diberikan beberapa contoh kasus untuk disimulasikan.
Simulasi ini dilakukan untuk menggambarkan fenomena arus lalu lintas yang
sebenarnya. Simulasi dilakukan dengan bantuan software MATLAB R2010a.
Simulasi dilakukan pada gerbang tol Cikarang utara sampai 10 Km kearah
Jakarta. Berikut grafik kepadatan kendaraan awal pada gerbang tol Cikarang utara
sampai 10 Km kearah Jakarta.
12
Gambar 1 Grafik kepadatan awal kendaraan pada t = 0
Berdasarkan Gambar 1 dapat dilihat bahwa kepadatan kendaraan dari jarak 0
km - 5 km pada ruas jalan yang telah dipartisi berfluktuasi pada angka 180 – 210
kendaraan, sedangkan pada jarak 5 km – 10 km kepadatan kendaraan berfluktuasi
antara 210 – 240 kendaraan. Selanjutnya, dilakukan simulasi numerik berdasarkan
nilai awal di atas dan diasumsikan banyaknya kendaraan pada jarak 0 km � ,
sepanjang waktu sebanyak 210 kendaraan. Simulasi dilakukan dengan parameter
yang berbeda selama 60 menit dengan ∆ =
� .
a) Simulasi 1
Pada simulasi ini, kepadatan kendaraan dihitung berdasarkan nilai awal dan
nilai batas yang diberikan di atas dan menggunakan parameter � � = 5
�
kendaraan,
,∆ =
,∆ =
� . Berikut solusi dari model
� =
LWR yang divisualisasikan pada Gambar 2.
Gambar 2 Profil Kepadatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
13
Berdasarkan Gambar 2 diperoleh data perubahan kepadatan kendaraan
setiap menit tidak mengalami perubahan yang signifikan dari waktu ke waktu, dapat
dilihat pada grafik yang berwarna kemerah-merahan yang berkurang secara lambat
setiap menit. Dengan menggunakan fungsi velositas Underwood pada persamaan
(2.4) diperoleh rata-rata kecepatan kendaraan setiap ruas seperti yang ditunjukkan
pada Gambar 3.
Gambar 3 Profil Kecepatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
Berdasarkan Gambar 3 dapat dilihat bahwa rata-rata kecepatan kendaraan
, hal ini yang menyebabkan terurai
disetiap ruas hanya berada pada angka 15-20
secara lambat. Dari Gambar 3 juga terlihat hubungan timbal balik antara kepadatan
dan kecepatan kendaraan. Semakin tinggi kepadatan kendaraan maka rata-rata
kecepatan kendaraan akan berkurang. Perubahan kepadatan kendaraan dapat dilihat
pada Gambar 4.
Gambar 4 Grafik kepadatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan 60 menit,
14
Gambar 5 Grafik kecepatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan 60 menit.
Dari Gambar 4 dan Gambar 5 dapat dilihat perubahan kepadatan dan
kecepatan kendaraan setiap 20 menit yang tidak berubah secara signifikan. Dari
Gambar 4 dan Gambar 5 juga terlihat hubungan timbal balik antara kecepatan dan
kepadatan, semakin padat suatu ruas jalan maka rata-rata kecepatan kendaraan
semakin lambat.
Selain kepadatan dan kecepatan kendaraan, dari model LWR juga diperoleh
data fluks kendaraan yaitu laju banyaknya kendaraan yang melewati suatu ruas
jalan berdasarkan kondisi kepadatan dan kecepatan pada ruas jalan tersebut. Fluks
kendaraan dapat dilihat pada Gambar 5.
Gambar 6 Profil fluks kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
Gambar 5 menujukkan laju banyaknya kendaraan yang melewati setiap 200
meter ruas jalan tol jagorawi pada Km 5- Km 15 bervariasi antara 3500-3680
Kendaraan/jam.
15
b) Simulasi 2
Pada simulasi ini diasumsikan ruas jalan tol Cikarang mengalami
penambahan satu lajur yang menyebabkan perubahan parameter kepadatan
maksimum kendaraan menjadi � � = 5
kendaraan. Simulasi dilakukan
berdasarkan nilai awal dan nilai batas yang sama dengan simulasi 1, ∆ =
,∆ =
� . Berikut solusi dari model LWR yang divisualisasikan pada
Gambar 6.
Gambar 7 Profil Kepadatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
Dari Gambar 6 terlihat bahwa kepadatan kendaraan terurai lebih cepat
daripada simulasi 1. penambahan 1 lajur memberikan perubahan yang signifikan
pada kondisi kepadatan yang sama dengan simulasi 1. Perubahan dapat dilihat pada
grafik yang merah dan kuning yang hanya ada sampai menit 45 atau dengan kata
lain kepadatan kendaraan diatas angka 210 hanya terjadi sampai menit 45.
Gambar 8 Profil Kecepatan kendaraan selama 60 menit (∆t = 1 menit).
16
Dari Gambar 7 terlihat juga perubahan yang signifikan pada rata-rata
kecepatan kendaraan. Hal ini disebabkan karena perubahan kecepatan kendaraan
bergantung pada kepadatan suatu ruas jalan. Perubahan kepadatan dan kecepatan
setiap 20 menit dapat di lihat lebih detail pada Gambar 7.
(a)
(b)
Gambar 9 (a) Grafik kepadatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan 60 menit,
(b) Grafik kecepatan lalu lintas pada t = 20 menit, 40 menit dan 60 menit.
Berbeda dengan kasus 1 dimana perubahan kepadatan dan kecepatan
kendaraan setiap 20 menit tidak berubah secara drastis, pada kasus 2 kendaraan
terurai lebih cepat. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 9(a) dimana pada menit ke 60
17
kondisi kepadatan kendaraan menunjukkan kepadatan yang konstan. Hal ini
disebabkan karena � , di asumsikan konstan sebanyak 210 kendaraan.
Perubahan kepadatan dan kecepatan kendaraan mengakibatkan fluks
kendaraan juga mengalami perubahan yang signifikan, seperti yang ditunjukkan
pada Gambar 10
Gambar 10 Profil fluks kendaraan selama 60 menit (∆t=1 menit).
Dari Gambar 10 dapat dilihat bahwa penambahan 1 lajur mengakibatkan
peningkatan laju kendaraan yang melewati setiap meningkat secara drastis. Pada
kasus 1 fluks kendaraan hanya bervariasi pada angka 3500-3680 kendaraan/jam
sedangkan pada kasus 2 fluks kendaraan berada pada angka 6000-6800
kendaraan/jam.
Kepadatan awal � ,
memberikan pengaruh yang besar terhadap
perubahan kepadatan dan kecepatan lalu lintas di setiap titik.
5 KESIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Pada penelitian ini kepadatan lalu lintas dimodelkan oleh model LWR
berbasis fungsi velositas Underwood dengan syarat awal dan syarat batas diketahui.
Solusi dari masalah nilai awal dan batas tersebut dapat memberikan gambaran
mengenai kepadatan dan kecepatan lalu lintas pada sebuah ruas jalan dengan
kondisi tertentu.
Solusi dari model LWR diperoleh secara secara numerik menggunakan
metode beda hingga skema implisit dan telah terbukti stabil dan konsisten.
Berdasarkan Simulasi numerik diperoleh kecenderungan perubahan arus lalu lintas
jika data diubah-ubah.
18
Saran
Penelitian model LWR berbasis fungsi velositas underwood ini dapat
dilanjutkan dengan mempertimbangkan asumsi adanya arus masuk atau keluar
dipertengahan ruas jalan, yang menyebabkan model LWR dengan fungsi velositas
underwood pada persamaan (2.10) menjadi
dengan
,
�� ,
�
+
�
�
� ,
�
exp −
� ,
� �
=
,
menggambarkan arus masuk dan keluar pada pertengahan ruas jalan.
DAFTAR PUSTAKA
Ahsan A, Andallah LS, Hossain Z. 2015. Numerical solution of a fluid dynamic
traffic flow model associated with a constant rate inflow. American Journal
of Computational and Applied Mathematics. 5:18-26.
Ardekani SA, Mostafa G, Shiva M. 2011. Macroscopic speed-flow models for
characterization of freeway and managed lanes. Publicat de Universitatea
Tehnică. 1: 149-159.
Hasan M, Sultana S, Andallah LS, Azam T. 2015. Lax-Friedrich scheme for the
numerical simulation of a traffic flow based on a nonlinear velocity density
model. 5:186-194.
Kabir MH, Gani MO, Andallah LS. 2010. Numerical simulation of a mathematical
traffic flow model based on a nonlinear velocity-density function. Journal
of Bangladesh Academy of Sciences. 34: 15-22.
Kamau KM, Sigey JK, Okelo JA, Okwoyo J. 2014. Inhomogenous LWR traffic
flow model and its application to Kisii-Kisumu highway in Kenya. SIJ
Transactions on Computer Science Engineering And Its Applications
(CSEA). 2: 213-218.
Kiselev AB, Kokoreva AV, Nikitin VE, Smirnov NN. 2004. Mathematical
modelling of traffic flows on controlled roads. Journal of Applied
Mathematics and Mechanics. 68: 933-939.
Lighthil MJ, Witham GB. 1955. On Kinematic Waves: I: Flow Movement in Long
Rivers, II: A Theory of Traffic Flow on Long Crowded Roads. In:
Proceedings of the Royal Society: A229, London.
Mazare PE, Claudel CG, Bayen AM. 2005. Analytical and grid-free solutions to the
Lighthill-Whitham-Richards traffic flow model. Journal of Applied
Mathematics and Mechanics. 23: 645-653.
Morlock and Edward K. 1978. Introduction to Transportation Engineering and
Planing, Tokyo: Kogakusta, LTD.
Qiu S, Abdelaziz M, Abdellatif F, Christian G, Claudel. 2013. Exact and grid-free
solutions to the Lighthill–Whitham–Richards traffic flow model with
bounded acceleration for a class of fundamental diagrams. Transportation
Research Part B. 55: 282–306.
19
Spiliopoulou A, Kontorinaki M, Papageorgiou P. 2014. Macroscopic traffic flow
model validation at congested freeway off-ramp areas. Transportation
Research Part C. 41: 18–29.
Stoilova V, Nikolov E, Nikolova N. 2013. Analytical Deriving of Second Order
Model of Payne from First Order Lighthil Whitham-Richards Model.
Cybernetics And Information Technologies. 13: 4-12.
Strikwerda JC. 1989. Finite difference scheme and partial differential Equation
(first edition). London (GB): Chapman & Hall
Sultana N, Parvin M, Sarker R, Andallah LS. 2013. Simulaion of traffic flow model
with traffic controller boundary. International Journal of Science and
Engeenering, 5:1-9.
Verberg D, Purcell JE, Rigdon SE. 2007. Calculus Ninth Edition. New Jersey
(USA): Prentice Hall, Inc.
Thomas, T. 2013. An empirical model for trip distribution of commuters in the
netherlands: transferability in time and space reconsidered. Journal of
transport geography. 26: 158-165.
20
21
LAMPIRAN
22
23
LAMPIRAN
1. Sintaks algoritma metode hingga skema implisit
function V=BHimplisit(PX0,PTa,PTb,X_end,T,pmax,vmax)
tic;
[~,nX1] = size(PX0);
nX = nX1-1;
hX = X_end/nX1;
%% panjang sub-interval X
[~,nt1] = size(PTa);
nt = nt1-1;
%% panjang sub-interval t
ht = T/nt1;
%%%% Grid untuk variabel X dan t
Xvec = hX*(0:nX);
%% size = 1x(nX+1)
%% size = 1x(nt+1)
tvec = ht*(0:nt);
P = zeros(nt1,nX1);
%% size = (nt+1)x(nX+1)
%mendefinisikan nilai awal
P(1,:) = PX0;
P(:,1) = PTa;
P(:,nX) = PTb;
for m = 2:nt1
%% iterasi waktu
Vtemp = P(m-1,:);
Vtemphit = P(m-1,2:nX1-1)';
Un = P(m-1,2:nX1-1);
tol = 1;
iter = 1;
while tol > 1.0e-5 && iter