Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015
490
Persamaan 2.2 secara empiris tidak dapat dilakukan pengujian secara statistik, karena persamaan 2.2 merupakan persamaan ekspektasi, adalah suatu nilai yang belum diobservasi.
Oleh karena itu, agar persamaan regresi CAPM dapat diuji secara empiris haruslah diubah menjadi sebagai berikut
t ft
mt ft
t
e r
r r
r
1
. 2.3 Oleh karena return aset bebas risiko memiliki rataan yang konstan, maka dapat ditulis
sebagai
ft f
r E
. Juga karena merupakan aset bebas risiko, maka variansi
2
ft f
r Var
[11]. Sehingga persamaan 2.3 dapat dinyatakan sebagai
t f
mt f
t
e r
r
1
. 2.4 Di mana
suku konstan,
1
merupakan slope, dan
t
e merupakan residual. Barisan residual
} {
t
e diasumsikan white noise, yakni berdistribusi normal dengan rataan nol dan
variansi
2 e
[5]. Untuk melakukan estimasi persamaan 2.4 dapat dilakukan dengan metode kuadrat
terkecil least square.
2.3 Transformasi Freeman-Tukey
Dalam melakukan estimasi persamaan regresi CAPM, seringkali menghadapi masalah. Masalah yang sering muncul adalah bahwa estimator regresi yang dianalisis menghasilkan
koefisien determinasi
2
R yang nilainya sangat kecil di bawah 50. Untuk mengatasi masalah tersebut salah satunya dapat dilakukan dengan cara mentransformasikan data return
premi risiko aset ke dalam suatu variabel yang memungkinkan estimasi persamaan regresi menghasilkan nilai determinasi cukup layak.
Salah satu bentuk transformasi yang dapat digunakan dalam analisis regresi data return premi risiko aset, menurut Draper Smith [5] adalah yang diperkenalkan oleh Freeman
Tukey pada tahun 1959. Dalam transformasi ini, dimisalkan
t
Y menyatakan return premi risiko aset, yaitu
f t
t
r Y
. Salah satu karakteristik dari return premi risiko aset adalah
bahwa 1
1
t
Y . Oleh karena itu, bentuk transformasi Freeman-Tukey yang dapat
digunakan adalah
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015
491
t t
t
Y Y
M 1
1 ln
. 2.5 Selanjutnya, estimasi persamaan regresi dilakukan pada hubungan variabel
t
M terhadap variabel penjelas
t mt
r
[11]. Sehingga persamaan regresi 2.4 dapat digantikan
menjadi
t f
mt t
r M
1
. 2.6 Di mana
suku konstan,
1
merupakan slope, dan
t
merupakan residual. Barisan residual
} {
t
diasumsikan white noise, yaitu berdistribusi normal dengan rataan nol dan variansi
2
[11], [9]. Nilai rataan dari
t
M dapat dihitung sebagai
t f
mt t
M
r E
M E
[
1 1
f m
, 2.7
dan nilai variansi dari
t
M sebagai ]
[
2 2
t
M t
t M
M E
M Var
2 2
2 1
m
. 2.8 Selanjutnya, nilai rataan dan variansi
t
Y , dapat ditentukan berdasarkan nilai rataan dan variansi dari
t
M . Karena perhitungan rataan dan variansi
t
Y , berdasarkan nilai rataan dan variansi
t
M tidak sederhana, perhitungan dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan perluasan deret Taylor [11].
Menggunakan pendekatan perluasan deret Taylor tersebut, terlebih dahulu persamaan 2.5 ditulis menjadi [5]
1 ln
1 ln
t t
t
Y Y
M
. 2.9
Suku pertama dan kedua dari persamaan 2.9 diuraikan menjadi deret Taylor sebagai
t t
t t
t
Y Y
Y Y
Y
...
1 ln
3 3
1 2
2 1
diambil suku pertama
t t
t t
t
Y Y
Y Y
Y
...
1 ln
3 3
1 2
2 1
diambil suku pertama Berdasarkan kedua pendekatan perluasan deret Taylor tersebut di atas, diperoleh persamaan
t t
t t
t t
Y Y
Y Y
Y M
2 1
ln 1
ln
. 2.10
Sehingga, dengan menggunakan persamaan 2.10 dapat diperoleh rataan dari
t
Y adalah
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015
492 M
t Y
M E
2 1
2 1
, 2.11 dan variansi dari
t
Y adalah
2 4
1 4
1 2
M t
Y
M Var
. 2.12 Selanjutnya, nilai rataan dan variansi dari
t
Y akan digunakan untuk menghitung Value-at- Risk VaR dan Expected Shortfall ES.
2.4 Value-at-Risk dan Expected Shortfall
