Fungsi Transfer Hubungan Jumlah Uang Beredar dan Tingkat Inflasi
FUNGS
SI TRANSF
ANSFER HUB
BUNGAN
AN PERUBA
BAHAN JUM
UMLAH
UANG BEREDAR
BER AR DAN TING
TINGKAT
T INFLASI
INF
FEB RIN
INA HANDA
DAYANI
DEPARTE
EMEN STAT
ATISTIKA
FAKUL
LTAS MAT
TEMATIKA
A DAN ILM
MU PENGET
ETAHUAN ALAM
A
IN
INSTITUT
P
PERTANIA
IAN BOGOR
R
BOGOR
2010
RINGKASAN
FEB RINA HANDAYANI. Fungsi Transfer Hubungan Jumlah Uang Beredar dan Tingkat Inflasi.
Dibimbing oleh MOHAMMAD MASJKUR dan YENNI ANGRAINI.
Inflasi merupakan salah satu bentuk penyakit ekonomi yang sering dialami oleh hampir semua
negara. Dalam perekonomian Indonesia, permasalahan tingkat inflasi merupakan indikator
ekonomi makro yang sangat penting karena jika tidak segera diatasi, tingkat inflasi mempunyai
dampak negatif yang parah terhadap perekonomian. Menurut Teori Kuantitas Uang, adanya
perubahan jumlah uang beredar akan mempengaruhi perubahan tingkat harga yang biasa disebut
tingkat inflasi. Model fungsi transfer yang merupakan suatu model peramalan deret waktu
berganda yang menggabungkan beberapa karakteristik model-model ARIMA satu peubah dengan
beberapa karakteristik analisis regresi digunakan untuk mengetahui hubungan perubahan jumlah
uang beredar dan tingkat inflasi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa model fungsi transfer lebih
baik untuk peramalan tingkat inflasi bulanan dibandingkan dengan model ARIMA. Dari model
fungsi transfer yang diperoleh dapat diketahui bahwa tingkat inflasi dipengaruhi oleh tingkat
inflasi satu bulan, dua belas bulan, dan tiga belas bulan sebelumnya serta dipengaruhi oleh
perubahan jumlah uang beredar satu bulan, dua bulan, tiga belas bulan, dan empat belas bulan
sebelumnya. Selain itu, hasil peramalan dengan model fungsi transfer juga sudah mendekati data
aktualnya. Hal ini terlihat dari nilai MAPE dan MAD yang relatif kecil, yaitu masing-masing
sebesar 9.65% dan 0.34. Sedangkan dengan model ARIMA didapatkan nilai MAPE dan MAD
masing-masing sebesar 100.51% dan 3.25.
Kata kunci : Perubahan Jumlah Uang Beredar, Tingkat Inflasi, Fungsi Transfer
FUNGSI TRANSFER HUBUNGAN PERUBAHAN JUMLAH
UANG BEREDAR DAN TINGKAT INFLASI
FEB RINA HANDAYANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2010
Judul : Fungsi Transfer Hubungan Perubahan Jumlah Uang Beredar dan Tingkat
Inflasi
Nama : Feb Rina Handayani
NRP : G14061567
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Ir. Mohammad Masjkur, M.S
NIP : 196106081986011002
Yenni Angraini, S.Si, M.Si
NIP : 197805112007012001
Mengetahui :
Plh. Ketua Departemen Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB
Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si
NIP : 196807021994021001
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala berkah dan rahmat-Nya
sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Karya ilmiah ini berjudul ”Fungsi Transfer
Hubungan Perubahan Jumlah Uang Beredar dan Tingkat Inflasi”. Karya ilmiah ini penulis susun
sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
Penulis menyampaikan terimakasih kepada Bapak Ir. Mohammad Masjkur, M.S dan Ibu Yenni
Angraini, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah memberikan bimbingan, masukan dan
arahan selama penulisan karya ilmiah ini. Ucapan terimakasih juga disampaikan kepada kedua
orang tua dan seluruh keluarga yang telah memberikan doa, kasih sayang serta dorongan yang
tulus baik moril maupun materiil. Tak lupa ucapan terimakasih juga penulis sampaikan untuk
teman-teman Statistika 43 atas kebersamaannya, ka Erwin yang telah menjadi teman diskusi
tentang metode penelitian ini, dan ka Doddy yang telah memberikan masukan-masukan serta
dukungannya. Semoga karya ilmiah ini dapat memberikan manfaat.
Bogor, November 2010
Feb Rina Handayani
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 24 Februari 1988 dari pasangan Bapak Suherman dan
Ibu Sri Mulyati (Alm). Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara.
Tahun 2000 penulis lulus dari SD Negeri Cantang Jaya, kemudian melanjutkan studi di SLTP
Negeri 5 Bogor hingga tahun 2003. Selanjutnya, penulis menyelesaikan pendidikannya di SMA
Negeri 2 Bogor dan lulus pada tahun 2006. Pada tahun yang sama penulis diterima di Institut
Pertanian Bogor melalui Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Setelah satu tahun menjalani
perkuliahan di TPB, pada tahun 2007 penulis diterima sebagai mahasiswa Departemen Statistika,
FMIPA IPB dengan mayor Statistika dan minor Ekonomi dan Studi Pembangunan.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis berkesempatan menjadi Asisten Dosen Mata Kuliah
Metode Statistika dan Mata Kuliah Perancangan Percobaan I pada tahun ajaran 2008/2009. Penulis
juga aktif dalam organisasi kemahasiswaan Himpunan Profesi Gamma Sigma Beta (GSB), yaitu
sebagai pengurus di Department Survey and Research. Selain itu, penulis juga aktif dalam
kegiatan kepanitiaan seperti Pesta Sains 2008, Statistika Ria 2008, Welcome Ceremony Statistics
(WCS) 2008 dan 2009. Pada tahun 2009 penulis menjadi peserta terbaik Program Pengembangan
Kewirausahaan Mahasiswa Kategori Bidang Usaha Jasa yang diselenggarakan oleh Direktorat
Pengembangan Karir dan Hubungan Alumni IPB. Penulis melaksanakan kegiatan praktik lapang
pada tahun 2010 di International Flavor and Fragrance-PT Essence Indonesia, Jakarta Timur.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................ vii
DAFTAR TABEL ..................................................................................................................... vii
DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................................. viii
PENDAHULUAN .....................................................................................................................
Latar Belakang .....................................................................................................................
Tujuan ..................................................................................................................................
1
1
1
TINJAUAN PUSTAKA ...........................................................................................................
Kestasioneran Data Deret Waktu ..........................................................................................
Proses Regresi Diri ................................................................................................................
Proses Rataan Bergerak .........................................................................................................
ARIMA (p,d,q) ......................................................................................................................
Kriteria Pemilihan Model ....................................................................................................
Model Fungsi Transfer ........................................................................................................
1
1
1
2
2
2
2
METODOLOGI ........................................................................................................................
Data ......................................................................................................................................
Metode .................................................................................................................................
5
5
5
HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................................................................
Eksplorasi Data ....................................................................................................................
Mempersiapkan Deret Input dan Deret Output (Penstasioneran Data)................................
Identifikasi Model ARIMA ...................................................................................................
Prewhitening Deret Input dan Deret Output .........................................................................
Menghitung Korelasi Silang .................................................................................................
Identifikasi Awal Model Fungsi Transfer .............................................................................
Identifikasi Model Sisaan ......................................................................................................
Identifikasi Akhir Parameter Model Fungsi Transfer ..........................................................
Peramalan ..............................................................................................................................
5
5
5
6
7
7
7
7
7
8
SIMPULAN ..............................................................................................................................
Simpulan ..............................................................................................................................
Saran .....................................................................................................................................
8
8
9
DAFTAR PUSTAKA ...............................................................................................................
9
LAMPIRAN ..............................................................................................................................
10
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
Halaman
Hasil Uji Dickey-Fuller ........................................................................................................... 6
Nilai AIC dan SBC Kandidat Model ARIMA Deret Input .................................................... 6
Nilai AIC dan SBC Kandidat Model ARIMA Deret Output ................................................. 7
Nilai AIC dan SBC Kandidat Model Fungsi Transfer ........................................................... 7
Perbandingan Hasil Peramalan Model Fungsi Transfer, ARIMA, dan Data Aktual ............. 8
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
Halaman
Plot Perubahan Jumlah Uang Beredar (%) ............................................................................. 5
Plot Tingkat Inflasi (%) .......................................................................................................... 5
Plot Deret Input Stasioner ....................................................................................................... 5
Plot Deret Output Stasioner .................................................................................................... 6
Plot ACF Deret Input Stasioner .............................................................................................. 6
Plot PACF Deret Input Stasioner ............................................................................................ 6
Plot ACF Deret Output Stasioner............................................................................................ 6
Plot PACF Deret Output Stasioner ......................................................................................... 7
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Plot ACF dan PACF Data Asli Perubahan Jumlah Uang Beredar dan Tingkat Inflasi ....... 11
Pendugaan Paremeter ARIMA (0,1,0)(1,0,0)12 Deret Input ................................................. 11
Pendugaan Paremeter ARIMA (0,1,0)(0,0,1)12 Deret Output .............................................. 12
Korelasi Silang antara t dan t .............................................................................................. 12
Pendugaan Parameter Model Fungsi Transfer b=1, s=0, dan r=0 ........................................ 13
Plot ACF dan PACF Deret Sisaan Model Fungsi Transfer b=1, s=0, dan r=0 ...................... 13
Pendugaan Parameter Model Fungsi Transfer b=1, s=0, dan r=1 ........................................ 14
Plot ACF dan PACF Deret Sisaan Model Fungsi Transfer b=1, s=0, dan r=1 ...................... 14
Kombinasi Model Fungsi Transfer dengan Model Sisaan ..................................................... 15
Hasil Pendugaan Model Fungsi Transfer Akhir .................................................................... 15
Plot ACF dan PACF Sisaan Model Fungsi Transfer Akhir ................................................... 16
Statistik uji
Box Pierce untuk Menguji Kebebasan Sisaan Model Fungsi Transfer ....... 16
Statistik uji
Box Pierce untuk Menguji Kebebasan Antara Input dan Sisaan Model
Fungsi Transfer ........................................................................................................................ 16
14 Plot Bersama Data Aktual, Model Fungsi Transfer, dan Model ARIMA ............................. 17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Di tengah perkembangan perekonomian
yang terjadi, inflasi tetap menjadi perhatian
utama pemerintah karena inflasi merupakan
penyakit ekonomi yang tidak bisa diabaikan.
Kestabilan inflasi merupakan prasyarat bagi
pertumbuhan
ekonomi
yang
berkesinambungan yang pada akhirnya
memberikan manfaat bagi peningkatan
kesejahteraan masyarakat. Oleh karena itu
inflasi sering menjadi target kebijakan
pemerintah. Inflasi yang tinggi begitu penting
untuk diperhatikan mengingat dampaknya
bagi perekonomian yang bisa menimbulkan
ketidakstabilan, pertumbuhan ekonomi yang
lambat dan pengangguran yang senantiasa
meningkat. Berkenaan dengan hal tersebut,
upaya mengendalikan inflasi agar stabil begitu
penting untuk dilakukan.
Perubahan jumlah uang beredar yang
tinggi sering menjadi penyebab tingginya
tingkat inflasi. Naiknya jumlah uang beredar
akan menaikkan permintaan agregat yang
pada akhirnya jika tidak diikuti oleh
pertumbuhan di sektor riil akan menyebabkan
naiknya tingkat harga, yang biasa disebut
dengan
inflasi.
Penjelasan
yang
menggambarkan bagaimana tingkat harga
ditentukan dan berubah seiring dengan
perubahan jumlah uang beredar disebut Teori
Kuantitas Uang. Oleh karena itu, Bank
Indonesia sebagai bank sentral yang
mengawasi jumlah uang beredar memiliki
kendali tertinggi atas tingkat inflasi. Jika Bank
Indonesia mempertahankan jumlah uang yang
beredar tetap stabil, maka tingkat harga akan
stabil. Begitupun sebaliknya jika Bank
Indonesia meningkatkan jumlah uang yang
beredar dengan cepat, tingkat harga akan
meningkat dengan cepat (Mankiw 2000).
Peramalan
tingkat
inflasi
dapat
dimodelkan dengan model ARIMA. Akan
tetapi jika informasi mengenai perubahan
jumlah uang beredar tersedia, maka dapat
digunakan model fungsi transfer. Model
fungsi transfer adalah suatu model peramalan
deret waktu berganda yang menggabungkan
beberapa karakteristik model-model ARIMA
satu peubah dengan beberapa karakteristik
analisis regresi. Model fungsi transfer
diharapkan dapat menjelaskan pengaruh
perubahan jumlah uang beredar terhadap
tingkat inflasi sehingga dapat dijadikan suatu
kebijakan moneter untuk pencapaian target
inflasi yang akan datang.
Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Membuat model fungsi transfer yang
menjelaskan hubungan antara perubahan
jumlah uang beredar dengan tingkat inflasi
bulanan.
2. Membandingkan hasil peramalan model
fungsi transfer dengan model ARIMA.
TINJAUAN PUSTAKA
Kestasioneran Data Deret Waktu
Model umum deret waktu yang stasioner
( ) dapat dituliskan sebagai berikut :
dengan
merupakan ingar putih (white
noise) yaitu barisan peubah acak yang saling
bebas dan memiliki sebaran identik dengan
,
, dan
(Wei 1990). Model umum deret waktu
tersebut mencakup model-model yang lebih
khusus, seperti proses Rataan Bergerak
(Moving Average), proses Regresi Diri
(Autoregressive) serta proses campuran antara
keduanya (Autoregressive-Moving Average).
Data deret waktu dikatakan stasioner jika
fluktuasi data berada di sekitar nilai tengah
dan ragam yang relatif konstan untuk seluruh
periode waktu. Pemeriksaan kestasioneran
data dapat dilihat dari plot data terhadap
waktu dan plot korelasi dirinya (ACF). Selain
itu, salah satu uji akar unit yang biasa
digunakan untuk menguji kestasioneran suatu
data deret waktu adalah uji Dickey-Fuller.
Persamaan yang digunakan pada uji DickeyFuller ialah sebagai berikut:
dengan
dan
diduga melalui
metode kudrat terkecil.
Hipotesis yang diuji yaitu :
H0 :
( tidak stasioner)
H1 :
( stasioner)
Statistik uji yang digunakan yaitu :
!"#$!
%
Jika nilai t-hit < nilai kritis dalam Tabel
Dickey-Fuller, maka keputusan yang diambil
adalah menolak H0 yang berarti data deret
waktu sudah stasioner (Enders 2004).
Proses Regresi Diri
Proses regresi diri (Autoregressive), sesuai
dengan namanya berimplikasi sebagai regresi
diri terhadap dirinya sendiri. Proses regresi
2
diri berordo p atau AR(p) memiliki persamaan
sebagai berikut :
&
&
&'
'
dengan & adalah koefisien AR pada ordo kei. Proses regresi diri dapat juga dimodelkan
sebagai berikut :
& (
dengan
& (
(Montgomery 1990).
& (
&' ('
Proses Rataan Bergerak
Proses rataan bergerak (Moving Average)
merupakan suatu proses dimana koefisien
pada model umum deret waktu tidak stasioner
tidak bernilai nol. Proses rataan bergerak
berordo q atau MA(q) dapat dimodelkan
sebagai berikut :
)
)
)*
*
dengan ) adalah koefisien MA pada ordo kei. Selain model tersebut, proses rataan
bergerak dapat dimodelkan sebagai berikut :
dengan
) (
(Montgomery 1990).
) (
)(
)* (* .
ARIMA (p,d,q)
Autoregressive integrated moving average
(ARIMA) adalah model yang mampu
menjelaskan data deret waktu yang tidak
stasioner. ARIMA merupakan gabungan
antara model autoregressive (AR) berordo-p
dan model moving average (MA) berordo-q
yang mengalami pembedaan ordo ke-d
(Montgomery 1990). Model umum ARIMA
(p,d,q) adalah sebagai berikut :
&
)
&
)
&'
)*
*
'
dimana
adalah nilai pengamatan pada
waktu ke-t, +i adalah koefisien AR pada ordo
ke-i, ) i adalah koefisien MA pada ordo ke-i,
dan adalah sisaan pada waktu ke-t.
Model ARIMA dapat juga dimodelkan
sebagai berikut :
&' ( , -
)* (
dengan :
,- = operator pembedaan dengan derajat
pembeda d
,"""" """
(
B
= operator backshift
&' (
& (
&' ('
)* (
)(
)* (*
Memasukkan faktor musiman (S) ke
dalam model akan dapat mereduksi besarnya
sisaan yang disebabkan oleh faktor musiman.
Bentuk umum dari model campuran dengan
faktor musiman adalah :
ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)S
dengan ordo p, d, dan q menunjukkan bagian
yang tidak musiman dari model, sedangkan
ordo P, D, dan Q menunjukkan bagian
musiman dari model, serta S adalah periode
musiman.
Kriteria Pemilihan Model
Schwarz’s Bayesian Criterion (SBC) atau
disebut juga Bayesian Information Criterion
(BIC) digunakan sebagai kriteria untuk
memilih model. SBC merupakan kriteria
pemilihan
model
berdasarkan
fungsi
kemungkinan maksimum. SBC didefinisikan
sebagai :
n ln .
+ M ln n
dengan .
adalah penduga dari
, M
banyaknya parameter dalam model, dan n
banyaknya sisaan yang dapat dihitung dari
suatu deret. Model terbaik adalah model
dengan nilai SBC minimum.
SBC dibentuk untuk menyeleksi model
dan memilih nilai parameter yang sebenarnya
setepat
mungkin.
Sementara
Akaike
Information Criterion (AIC) cenderung
memilih model dengan parameter lebih
banyak dari SBC, dimana AIC dapat
didefinisikan sebagai :
n ln
+ 2M.
Untuk data yang besar SBC lebih baik serta
lebih konsisten (Wei 1990).
Model Fungsi Transfer
Model fungsi transfer merupakan suatu
model yang mengkombinasikan pendekatan
deret waktu dengan pendekatan kausal. Model
ini menggambarkan bahwa nilai prediksi masa
depan dari suatu time series (disebut output
series) adalah berdasarkan pada nilai-nilai
masa lalu dari time series itu sendiri dan
berdasarkan pula pada satu atau lebih time
series yang berhubungan (disebut input
series) dengan output series tersebut. Model
fungsi transfer ini menghubungkan deret
output, deret input, dan noise (Prasetyo 2009).
Perbedaan model fungsi transfer dengan
regresi linier terdapat pada jenis data yang
digunakan. Fungsi transfer menggunakan data
deret waktu yang tidak saling bebas antar
periodenya. Sehingga perhitungan korelasi
3
antara deret input dan deret output
menggunakan korelasi silang (Makridakis et
al. 1983).
/0
3/0 1
"
%/ %0
" 2./0 1
1
; <
Dimana :
7
9 :
58
3/0 1
" := > ?<
6
5 9 >
48
;?<
;
%/
" 9 :
8
%0
" 9 >
8
1. Identifikasi
Transfer
" >= : ?<
" >= @ 1 A
" := @ 1"
"
B
" := "
;
" >=
Model fungsi transfer memiliki bentuk umum
seperti berikut :
"
C (
E
D (
F
"8
) (
J (
C (
E
D (
"
"
F
") (
"J (
"
) (
J (
) (
J (
"G
"G
" )* (*
" J' ('
dengan b,r,s,p,q adalah konstanta, p adalah
ordo dari proses autoregressive, q adalah ordo
dari proses moving average,
merupakan
sisaan pada waktu ke-t.
Prosedur pembentukan model fungsi
transfer meliputi tahapan-tahapan berikut :
Model
Fungsi
1.1. Mempersiapkan deret input dan
output
Tahap ini mengidentifikasikan apakah
deret input dan output sudah stasioner baik
dalam rataan maupun dalam ragam. Jika data
tidak stasioner maka dilakukan pembedaan
dan transformasi untuk menghilangkan
ketidakstasioneran.
1.2. Prewhitening deret input
Tahap
prewhitening
deret
input
merupakan proses transformasi deret yang
berkorelasi menuju perilaku white noise yang
tidak berkorelasi. Proses prewhitening ini
menggunakan model ARIMA untuk deret
input. Oleh karena itu, sebelum proses
prewhitening, dibangun terlebih dahulu model
ARIMA bagi xt (Makridakis et al. 1983).
Misalkan jika deret input xt dimodelkan
sebagai proses ARIMA (p,0,q), maka deret ini
memiliki model :
J' ( E
Dimana :
1. yt dan xt merupakan deret waktu yang
stasioner.
2. b adalah angka yang melambangkan
periode sebelum deret input (xt) memulai
untuk mempengaruhi deret output (yt).
3. C (
"C
"C ( C (
" G " CH ( H
Nilai s mengindikasikan berapa lama deret
output (yt) mulai dipengaruhi oleh nilai yang
baru dari deret input (xt).
4. D (
"
"D ( D (
" G " DI (I
Nilai r mengindikasikan berapa lama deret
output berhubungan dengan nilai yang
terdahulu dari deret output itu sendiri.
5. nt merupakan komponen galat pada waktu
ke-t.
Komponen galat (nt) diasumsikan dapat
dimodelkan dengan proses ARIMA (p,d,q),
sehingga model kombinasi fungsi transfer :
"
Bentuk
)* ( K
dengan K merupakan sisaan acak. Dengan
demikian deret input yang telah mengalami
prewhitening (K adalah :
K
J' ( E
)* (
1.3. Prewhitening deret output
Fungsi transfer merupakan proses
pemetaan xt terhadap yt. Sehingga apabila
diterapkan suatu proses prewhitening terhadap
xt, maka transformasi yang sama juga harus
diterapkan
terhadap
yt
agar
dapat
mempertahankan
integritas
hubungan
fungsional (Makridakis et al. 1983). Sehingga
deret output yang telah ditransformasi (L )
adalah:
L
J' (
)* (
1.4. Perhitungan korelasi silang antara
deret input dan deret output yang
telah di prewhitening.
Fungsi korelasi silang antara K dan L
pada lag ke-k adalah :
2.MN 1
"
3MN 1
O1
%M %N
O P O PQO G
dimana 2.MN 1 adalah korelasi silang antara
K dan L pada lag ke-k, 3MN 1 adalah
kovarian antara K dan L pada lag ke-k, %M
4
adalah simpangan baku deret K , dan %N
adalah simpangan baku deret L .
1.5. Menentukan nilai b,r,s
Konstanta b, r, dan s ditentukan
berdasarkan pola fungsi korelasi silang antara
K dan L . Cara menentukan b, r, dan s adalah
sebagai berikut ;
a. Korelasi silang berbeda nyata dengan nol
untuk pertama kalinya pada lag ke-b.
b. Untuk s dilihat dari lag berikutnya yang
mempunyai pola yang jelas atau lama
input mempengaruhi output setelah nyata
yang pertama.
c. Nilai r mengindikasikan berapa lama deret
output berhubungan dengan nilai yang
terdahulu dari deret output itu sendiri.
Nilai r dilihat dari plot korelasi diri output.
1.6. Pendugaan awal parameter
dan
Penduga awal parameter fungsi transfer
yaitu
RS
R O "R O G O RI
dan
T
U
" T O T O G TH dicari dengan memanfaatkan
persamaan berikut ini (Box et al. 2008) :
O
W X
V
"R V
"R V
RI V I T "";
V
W X
"R V
"R V
RI V I TV F ;
V
W X
OGOX Y
"R V
"R V
RI V I " ;
V
WZX Y
dengan
<
"
MN
1 %N
%M
Pendugaan awal ini digunakan sebagai nilai
awal pada algoritma pendugaan akhir
nonlinier parameter dan deret sisaan .
2. Pendugaan Akhir Parameter Model
Fungsi Transfer
Pendugaan awal parameter merupakan
nilai awal pada algoritma pendugaan kuadrat
terkecil nonlinier untuk membentuk penduga
akhir parameter model yang dilakukan secara
iteratif. Proses diulang sampai kekonvergenan
tercapai. Pendugaan kuadrat terkecil nonlinier
untuk menduga parameter diperoleh dengan
meminimumkan :
% DO CO &O )[X
;
9
\
dengan t0 adalah maksimum{p + r + 1, b + p +
s + 1}(Wei 1990).
3. Diagnostik Model Fungsi Transfer
Pemeriksaan kesesuaian model dilakukan
dengan melihat perilaku sisaan (
dan
korelasi silang antara
dan ] (sisaan dan
input). Keacakan sisaan serta tidak adanya
nilai korelasi silang antara
dan ] yang
berbeda nyata dengan nol menunjukkan model
sudah sesuai.
Uji statistik Q Box-Pierce dapat
diaplikasikan untuk menguji kebebasan sisaan
dan tidak adanya korelasi antara input dan
sisaan. Sisaan saling bebas jika :
^
`
_9
1 """""""@ """"""_
<
8
a
b
lebih kecil dari nilai
dengan derajat bebas
K – p – q,
dengan n adalah jumlah
pengamatan, K lag maksimum yang diamati,
u adalah Max(r, s+b), dan
1 adalah
autokorelasi untuk lag ke-k. Dengan cara yang
sama, korelasi silang mengindikasikan tidak
adanya pola antara input dan sisaan jika
^
`
_9
<
M
1 """""""@ """"""_
8
a
b
lebih kecil dari nilai
dengan derajat bebas
K + 1 - (r+s+1) (Montgomery 1990).
4. Peramalan
Peramalan dihitung dengan menggunakan
persamaan :
DI ( &' (
&' ( CH ( E
F
DI ( )* (
dengan memasukkan nilai-nilai parameter
fungsi transfer dan nilai deret input dan output
yang
didapat
dari
langkah-langkah
sebelumnya.
Setelah melakukan peramalan, ketepatan
peramalan dapat dicari dengan menghitung
Mean Absolute Percentage Error (MAPE),
dengan rumus sebagai berikut :
cdef
;
g
E
8
E
h
g
"i"
atau dengan mencari nilai Mean Absolute
Deviation (MAD) dengan rumus sebagai
berikut :
; [E
h[
jkl
8
dimana xt adalah pengamatan pada waktu ke-t
dan ft adalah ramalan pada waktu ke-t.
Semakin kecil nilai MAPE dan MAD
menunjukkan data hasil peramalan semakin
mendekati nilai aktual (Bowerman et al.
1993).
5
METODOLOGI
Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini
seluruhnya merupakan data sekunder negara
Indonesia dalam bentuk bulanan yang
diperoleh dari laporan bulanan Bank
Indonesia dalam periode waktu antara bulan
Januari 2003 sampai dengan bulan Mei 2010.
Data bulan Januari 2003 sampai dengan April
2009 digunakan untuk membangun model
fungsi transfer. Sedangkan data bulan Mei
2009 sampai dengan Mei 2010 digunakan
untuk validasi model.
Metode
Tahap-tahap yang dilakukan dalam
penelitian ini adalah :
1. Eksplorasi data perubahan jumlah uang
beredar dan data tingkat inflasi.
2. Mempersiapkan deret input (perubahan
jumlah uang beredar) dan deret output
(tingkat inflasi) dengan penstasioneran
data.
3. Identifikasi model ARIMA untuk deret
input dan output.
4. Prewhitening deret input dan deret output.
5. Menghitung korelasi silang antara deret
input dengan deret output.
6. Identifikasi awal model fungsi transfer.
7. Identifikasi awal model sisaan.
8. Menentukan model kombinasi fungsi
transfer.
9. Meramalkan tingkat inflasi dengan
menggunakan model terbaik.
10. Membandingkan hasil peramalan model
fungsi transfer dengan model ARIMA.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data
Gambar 1 Plot Perubahan Jumlah Uang
Beredar (%).
Berdasarkan pada Gambar 1, dapat
diketahui bahwa perubahan jumlah uang
beredar berfluktuasi pada setiap bulannya.
Pada bulan Januari 2003 perubahan jumlah
uang beredar berada pada angka 4.3%. Pada
awal tahun 2005 perubahan jumlah uang
beredar mengalami peningkatan hingga
mencapai angka 12.2% di bulan April 2005
dan cenderung terus meningkat hingga tahun
2009.
Gambar 2 menunjukkan pola data deret
waktu untuk tingkat inflasi. Mulai Januari
2003 sampai September 2005, tingkat inflasi
cenderung stabil. Kemudian mengalami
kenaikan tajam pada bulan Oktober 2005
hingga mencapai angka 18%. November 2005
tingkat inflasi mencapai 18.38 %. Tingkat
inflasi ini merupakan tingkat inflasi paling
tinggi selama kurun waktu 7 tahun sejak tahun
2003 hingga tahun 2009. Kenaikan tingkat
inflasi pada saat itu dipengaruhi oleh
kebijakan
pemerintahan
Indonesia
mengurangi subsidi BBM dan menaikkan
harga BBM di dalam negeri. Tingginya angka
inflasi ini terus terjadi di tiap periode, yang
pada akhirnya menurun
tajam di bulan
Oktober 2006. Kemudian tingkat inflasi
cenderung stabil dan mengalami kenaikan
kembali pada pertengahan tahun 2008. Namun
hal ini tidak berlangsung lama karena tingkat
inflasi terdorong turun kembali.
Gambar 2 Plot Tingkat Inflasi (%)
Mempersiapkan Deret Input dan
DeretOutput (Penstasioneran Data)
Gambar 3 Plot Deret Input Stasioner.
Plot data asli pada Gambar 1 dan 2 serta
plot ACF dan PACF pada Lampiran 1
menunjukkan data tidak stasioner. Pembedaan
6
satu kali telah dapat menghasilkan deret input
maupun deret output yang stasioner (Gambar
3 dan 4).
Gambar 5 Plot ACF Deret Input Stasioner.
Gambar 4 Plot Deret Output Stasioner.
Kestasioneran juga dapat diuji dengan
menggunakan uji Dickey-Fuller. Hasil
pengujian dalam tabel 1 menunjukkan bahwa
d(0) atau data sebelum pembedaan dari deret
input dan deret output belum stasioner. Hal ini
terlihat dari nilai t hitung yang lebih besar dari
nilai kritis atau p-value yang lebih besar dari
taraf nyata pengujian ( = 5%). Pada saat d(1)
atau data dengan pembedaan satu kali, terlihat
bahwa deret input dan deret output sudah
stasioner.
Tabel 1 Uji Dickey-Fuller
Deret
Output
Input
d(0)
t- hit
-2.16
(0.22)
-0.90
(0.78)
Nilai
kritis
-2.90
(0.05)
-2.91
(0.05)
d(1)
t-hit
-7.33
(0.00)
-4.24
(0.00)
Nilai
kritis
-2.90
(0.05)
-2.91
(0.05)
Identifikasi Model ARIMA
Identifikasi model ARIMA dilakukan
dengan memperhatikan beberapa nilai awal
dari korelasi diri dan korelasi diri parsialnya
yang berbeda nyata dengan nol, serta pola dari
plot ACF dan PACF.
Perubahan Jumlah Uang Beredar
Plot ACF dari deret input yang stasioner,
nyata pada lag 12 sedangkan plot PACF nyata
pada lag 3 dan 12 (Gambar 5 dan 6). Tabel 2
menunjukkan
bahwa
model
ARIMA
(0,1,0)(1,0,0)12 merupakan model terbaik
karena memiliki nilai AIC dan SBC terkecil
dibandingkan dengan model ARIMA lainnya
dan seluruh koefisien parameternya nyata
(Lampiran 2). Selain itu, pengujian BoxPierce menunjukkan bahwa sisaan tidak
saling berkorelasi. Sehingga model ARIMA
untuk deret input yang diperoleh adalah :
mno(
,:
Gambar 6 Plot PACF Deret Input Stasioner.
Tabel 2 Nilai AIC dan SBC Kandidat Model
ARIMA Deret Input
Model
AIC
SBC
ARIMA
259.37
261.68
(0,1,0)(1,0,0)12
ARIMA
262.95
265.27
(0,1,0)(0,0,1)12
ARIMA*
261.26
265.89
(0,1,0)(2,0,0)12
ARIMA
260.04
264.67
(0,1,0)(0,0,2)12
Ket : (*) parameter 2 tidak signifikan.
Tingkat Inflasi
Gambar 7 dan 8 merupakan plot ACF dan
PACF deret output yang telah stasioner.
Gambar 7 Plot ACF Deret Output Stasioner.
Tabel 3 menunjukkan bahwa model
ARIMA (0,1,0)(0,0,1)12 merupakan model
terbaik karena memiliki AIC dan SBC terkecil
dan seluruh koefisien parameternya nyata
(Lampiran 3). Selain itu, pengujian Box-
7
Pierce menunjukkan bahwa sisaan tidak
saling berkorelasi. Sehingga model ARIMA
tingkat inflasi yang diperoleh adalh sebagai
berikut :
,>
mpn(
Gambar 8 Plot PACF Deret Output Stasioner.
Tabel 3 Nilai AIC dan SBC Kandidat Model
ARIMA Deret Output
Model
AIC
SBC
ARIMA
260.45
262.76
(0,1,0)(1,0,0)12
ARIMA
241.96
244.28
(0,1,0)(0,0,1)12
243.94
248.57
ARIMA*
(0,1,0)(1,0,1)12
ARIMA
245.17
249.79
(0,1,0)(2,0,0)12
ARIMA*
243.94
248.57
(0,1,0)(0,0,2)12
Ket : (*) salah satu parameter tidak signifikan.
Prewhitening Deret Input dan Deret
Output
Tahap
prewhitening
dilakukan
berdasarkan model ARIMA untuk data
perubahan jumlah uang beredar (deret input).
Dalam tahap ini digunakan unsur white noise
model tersebut. Dengan demikian model
Prewhitening untuk deret input adalah :
t
= (1+0.69 B12), Xt
Proses prewhitening pada deret output juga
mengikuti model prewhitening untuk deret
input, sehingga model prewhitening untuk
deret output adalah :
12
t
= (1+0.69 B ),Yt
Menghitung Korelasi Silang
Deret input dan deret output yang telah
melalui
proses
prewhitening
untuk
memperoleh t dan t dihitung korelasi
silangnya. Korelasi silang menunjukkan
hubungan antara perubahan jumlah uang
beredar dengan tingkat inflasi. Dari pola
korelasi silang yang dihasilkan akan
digunakan untuk identifikasi model fungsi
transfer (b, r, s). Hasil korelasi silang antara t
dan t dapat dilihat pada Lampiran 4.
Identifikasi Awal Model Fungsi Transfer
Identifikasi awal model fungsi transfer
dilakukan dengan melihat pola korelasi silang
antara t dan t. Untuk nilai b ditentukan
berdasarkan lag yang nyata pertama kali pada
pola korelasi silangnya, sehingga nilai b=1.
Selanjutnya untuk mendapatkan nilai s dilihat
berapa lama nilai input mempengaruhi output
setelah nyata yang pertama. Sedangkan untuk
nilai r dapat dilihat berdasarkan plot korelasi
diri output stasioner yang menunjukkan lag
yang nyata setelah nyata yang pertama.
Berdasarkan keterangan di atas, identifikasi
awal model fungsi transfer memilki nilai b=1,
s=0, dan r=0. Pengujian parameter untuk
model tersebut dapat dilihat pada Lampiran 5.
Sehingga identifikasi awal model fungsi
transfer sebagai berikut :
,>
mQq,:
8
Identifikasi Model Sisaan
Model yang didapatkan dari identifikasi
awal model fungsi transfer, yaitu :
,>
mQq,:
8
Sehingga untuk memperoleh nilai nt adalah :
8
,>
mQq,:
Identifikasi awal model fungsi transfer
menghasilkan plot ACF dan PACF sisaan
pada Lampiran 6.
Identifikasi Akhir Parameter Model
Fungsi Transfer
Untuk mendapatkan model yang terbaik
dilakukan pemeriksaan kandidat model
lainnya (Tabel 4).
Tabel 4 Nilai AIC dan SBC Kandidat Model
Fungsi Transfer
No
Nilai
b,s,r
AIC
SBC
1
(1,0,0)
264.28 266.55
2
(1,0,1)
259.98 264.48
3
(1,1,0)* 262.41 266.90
4
(1,1,1)* 263.67 270.41
Ket : (*) salah satu parameter tidak signifikan.
Pada Tabel 4 dapat terlihat bahwa model
fungsi transfer dengan nilai b=1, s=0, dan r=1
memiliki nilai AIC dan SBC yang paling kecil
serta seluruh parameternya nyata (Lampiran
7). Oleh karena itu, model tersebut
8
diikutsertakan dalam identifikasi akhir model
fungsi transfer. Sisaan dari model fungsi
transfer dengan nilai b=1, s=0, dan r=1
memiliki plot ACF dan PACF yang dapat
dilihat pada Lampiran 8. Sehingga identifikasi
akhir model fungsi transfer dilakukan dengan
mengkombinasikan model awal dengan
sisaannya (Lampiran 9).
Dengan pertimbangan uji parameter,
korelasi diri sisaan, dan korelasi antara deret
input dan sisaan, maka ditetapkan bahwa
model akhir yang diperoleh adalah model
fungsi transfer dengan nilai b=1, s=0, dan r=0
dengan model sisaan ARIMA(0,0,0)(1,0,0)12.
Hasil pendugaan akhir model fungsi transfer
dapat dilihat pada Lampiran 10. Plot ACF dan
PACF sisaan akhir (Lampiran 11) yang tidak
berbeda nyata dengan nol serta nilai korelasi
diri sisaan (Lampiran 12) mengindikasikan
bahwa sisaan model ini saling bebas. Nilai
korelasi antara input dan sisaan juga tidak
berbeda nyata dengan nol pada taraf nyata 5%
(Lampiran 13) sehingga asumsi kebebasan
antara input dan sisaan terpenuhi. Dari
pengujian parameter, didapatkan model akhir
fungsi transfer adalah sebagai berikut :
,>
mQq,:
periode tertentu dan tidak ada unsur
perubahan jumlah uang beredar sebagai faktor
yang mempengaruhi tingkat inflasi. Oleh
karena itu, model fungsi transfer lebih baik
untuk peramalan tingkat inflasi bulanan.
Tabel 5 Perbandingan Hasil Peramalan Fungsi
Transfer, ARIMA dan Data Aktual.
Bulan
Peramalan
Aktual
>
"
mQq:
mr>
m
r:
s
s
m
mQq:
r:
Mei-09
6.32
6.45
6.04
Jun-09
5.57
6.05
3.65
Jul-09
2.86
5.21
2.71
2.50
4.50
2.75
Sep-09
2.91
4.48
2.83
Okt-09
2.36
5.25
2.57
2.26
6.22
2.41
Des-09
2.76
6.73
2.78
Jan-10
3.51
7.75
3.72
Feb-10
3.89
8.24
3.81
Mar-10
3.84
8.47
3.43
Apr-10
4.26
8.59
3.91
Mei-10
4.47
8.59
4.16
9.65%
0.34
100.51%
3.25
Nop-09
mr(
mr>
ARIMA
Agust-09
atau juga dapat dimodelkan sebagai berikut :
>
Transfer
MAPE
MAD
t
Model fungsi transfer ini memiliki makna
bahwa tingkat inflasi dipengaruhi oleh tingkat
inflasi satu bulan, dua belas bulan, dan tiga
belas bulan sebelumnya serta dipengaruhi oleh
perubahan jumlah uang beredar satu bulan,
dua bulan, tiga belas bulan, dan empat belas
bulan sebelumnya.
Peramalan
Perbandingan hasil peramalan dengan
model fungsi transfer, model ARIMA tingkat
inflasi dan data aktual dapat dilihat pada Tabel
5. Nilai MAPE dan MAD hasil peramalan
dengan model fungsi transfer masing-masing
sebesar 9.65% dan 0.34 sedangkan pada
model ARIMA masing-masing sebesar 100.51
dan 3.25. Berdasarkan Tabel 5 diketahui
bahwa hasil peramalan model fungsi transfer
lebih mendekati data aktual dibandingkan
dengan model ARIMA tingkat inflasi.
Perbedaan hasil ramalan ini disebabkan
karena pada model ARIMA tingkat inflasi
hanya didasarkan pada satu pengamatan
Selain itu, plot bersama antara data aktual,
model fungsi transfer dan model ARIMA
tingkat
inflasi
pada
Lampiran
14
menunjukkan bahwa pola data aktual lebih
mirip dengan pola model fungsi transfer
dibandingkan dengan pola ARIMA tingkat
inflasi. MAPE dan MAD data keseluruhan
dari model fungsi transfer masing-masing
sebesar 8.72% dan 0.67. Sedangkan MAPE
dan MAD data keseluruhan dari model
ARIMA tingkat inflasi masing-masing sebesar
20.67% dan 0.99.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Hasil penelitian menunjukkan bahwa
model fungsi transfer yang diperoleh lebih
baik untuk peramalan tingkat inflasi bulanan
dibandingkan dengan model ARIMA. Model
fungsi transfer yang didapatkan adalah
sebagai berikut :
>
>
"
mQq:
mr>
m
mr>
r:
s
s
m
mQq:
r:
t
9
Model fungsi transfer ini memiliki makna
bahwa tingkat inflasi dipengaruhi oleh tingkat
inflasi satu bulan, dua belas bulan, dan tiga
belas bulan sebelumnya serta dipengaruhi oleh
perubahan jumlah uang beredar satu bulan,
dua bulan, tiga belas bulan, dan empat belas
bulan sebelumnya.
Saran
Penulis menyarankan untuk menggunakan
fungsi transfer multi input untuk peramalan
tingkat inflasi bulanan dengan menambahkan
deret input lain sebagai faktor-faktor yang
mempengaruhi tingkat inflasi. Selain itu
penulis menyarankan untuk mengkaji kembali
hubungan tingkat inflasi dan faktor-faktor lain
yang mempengaruhinya dengan menggunakan
metode deret waktu lainnya seperti metode
VAR. Tidak terlepas kemungkinan diperoleh
model baru yang lebih mampu menjelaskan
hubungan tingkat inflasi dengan faktor-faktor
yang mempengaruhinya.
DAFTAR PUSTAKA
Bowerman BL, Richard T.O’Connell. 1993.
Forecasting and Time Series : an applied
approach. 3rd edition. California :
Wadsworth.
Box GEP, GM Jenkins, GC Reinsel. 2008.
Time Series Analysis : Forecasting and
Control. 4th edition. Canada : John Wiley
and Sons, Inc.
Enders W. 2004. Applied Econometric Time
Series. 2nd edition. USA : John Wiley and
Sons, Inc.
Mankiw NG. 2000. Teori Makroekonomi.
Jakarta : Erlangga.
Makridakis S, SC Wheelwright, VE McGee.
1983. Forecasting : Methods and
Applications. 2nd edition. Singapore :
McGraw-Hill, Inc.
Montgomery DC, LA Johnson, JS Gardiner.
1990. Forecasting and Time Series
Analysis. 2nd edition. Singapore :
McGraw-Hill, Inc.
Prasetyo EI. 2009. Analisis Hubungan Curah
Hujan dan Produksi Kelapa Sawit dengan
Model Fungsi Transfer [skripsi].
Departemen Statistika IPB, Bogor.
Wei WWS. 1990. Time Series Analysis
Univariate and Multivariate Methods.
Canada : Addison-Wesley.
10
LAMPIRAN
11
Lampiran 1. Plot ACF dan PACF Data Asli Perubahan Jumlah Uang Beredar dan Tingkat Inflasi
!
!
"
"
#
#
$
$
%
%
Lampiran 2. Pendugaan Paremeter ARIMA (0,1,0)(1,0,0)12 Deret Input
Pendugaan
Galat baku
t-hitung
Nilai-p
Lag
AIC
SBC
lag
6
12
18
24
-0.69
0.11
-6.05
SI TRANSF
ANSFER HUB
BUNGAN
AN PERUBA
BAHAN JUM
UMLAH
UANG BEREDAR
BER AR DAN TING
TINGKAT
T INFLASI
INF
FEB RIN
INA HANDA
DAYANI
DEPARTE
EMEN STAT
ATISTIKA
FAKUL
LTAS MAT
TEMATIKA
A DAN ILM
MU PENGET
ETAHUAN ALAM
A
IN
INSTITUT
P
PERTANIA
IAN BOGOR
R
BOGOR
2010
RINGKASAN
FEB RINA HANDAYANI. Fungsi Transfer Hubungan Jumlah Uang Beredar dan Tingkat Inflasi.
Dibimbing oleh MOHAMMAD MASJKUR dan YENNI ANGRAINI.
Inflasi merupakan salah satu bentuk penyakit ekonomi yang sering dialami oleh hampir semua
negara. Dalam perekonomian Indonesia, permasalahan tingkat inflasi merupakan indikator
ekonomi makro yang sangat penting karena jika tidak segera diatasi, tingkat inflasi mempunyai
dampak negatif yang parah terhadap perekonomian. Menurut Teori Kuantitas Uang, adanya
perubahan jumlah uang beredar akan mempengaruhi perubahan tingkat harga yang biasa disebut
tingkat inflasi. Model fungsi transfer yang merupakan suatu model peramalan deret waktu
berganda yang menggabungkan beberapa karakteristik model-model ARIMA satu peubah dengan
beberapa karakteristik analisis regresi digunakan untuk mengetahui hubungan perubahan jumlah
uang beredar dan tingkat inflasi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa model fungsi transfer lebih
baik untuk peramalan tingkat inflasi bulanan dibandingkan dengan model ARIMA. Dari model
fungsi transfer yang diperoleh dapat diketahui bahwa tingkat inflasi dipengaruhi oleh tingkat
inflasi satu bulan, dua belas bulan, dan tiga belas bulan sebelumnya serta dipengaruhi oleh
perubahan jumlah uang beredar satu bulan, dua bulan, tiga belas bulan, dan empat belas bulan
sebelumnya. Selain itu, hasil peramalan dengan model fungsi transfer juga sudah mendekati data
aktualnya. Hal ini terlihat dari nilai MAPE dan MAD yang relatif kecil, yaitu masing-masing
sebesar 9.65% dan 0.34. Sedangkan dengan model ARIMA didapatkan nilai MAPE dan MAD
masing-masing sebesar 100.51% dan 3.25.
Kata kunci : Perubahan Jumlah Uang Beredar, Tingkat Inflasi, Fungsi Transfer
FUNGSI TRANSFER HUBUNGAN PERUBAHAN JUMLAH
UANG BEREDAR DAN TINGKAT INFLASI
FEB RINA HANDAYANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2010
Judul : Fungsi Transfer Hubungan Perubahan Jumlah Uang Beredar dan Tingkat
Inflasi
Nama : Feb Rina Handayani
NRP : G14061567
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Ir. Mohammad Masjkur, M.S
NIP : 196106081986011002
Yenni Angraini, S.Si, M.Si
NIP : 197805112007012001
Mengetahui :
Plh. Ketua Departemen Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB
Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si
NIP : 196807021994021001
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala berkah dan rahmat-Nya
sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Karya ilmiah ini berjudul ”Fungsi Transfer
Hubungan Perubahan Jumlah Uang Beredar dan Tingkat Inflasi”. Karya ilmiah ini penulis susun
sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
Penulis menyampaikan terimakasih kepada Bapak Ir. Mohammad Masjkur, M.S dan Ibu Yenni
Angraini, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah memberikan bimbingan, masukan dan
arahan selama penulisan karya ilmiah ini. Ucapan terimakasih juga disampaikan kepada kedua
orang tua dan seluruh keluarga yang telah memberikan doa, kasih sayang serta dorongan yang
tulus baik moril maupun materiil. Tak lupa ucapan terimakasih juga penulis sampaikan untuk
teman-teman Statistika 43 atas kebersamaannya, ka Erwin yang telah menjadi teman diskusi
tentang metode penelitian ini, dan ka Doddy yang telah memberikan masukan-masukan serta
dukungannya. Semoga karya ilmiah ini dapat memberikan manfaat.
Bogor, November 2010
Feb Rina Handayani
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 24 Februari 1988 dari pasangan Bapak Suherman dan
Ibu Sri Mulyati (Alm). Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara.
Tahun 2000 penulis lulus dari SD Negeri Cantang Jaya, kemudian melanjutkan studi di SLTP
Negeri 5 Bogor hingga tahun 2003. Selanjutnya, penulis menyelesaikan pendidikannya di SMA
Negeri 2 Bogor dan lulus pada tahun 2006. Pada tahun yang sama penulis diterima di Institut
Pertanian Bogor melalui Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Setelah satu tahun menjalani
perkuliahan di TPB, pada tahun 2007 penulis diterima sebagai mahasiswa Departemen Statistika,
FMIPA IPB dengan mayor Statistika dan minor Ekonomi dan Studi Pembangunan.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis berkesempatan menjadi Asisten Dosen Mata Kuliah
Metode Statistika dan Mata Kuliah Perancangan Percobaan I pada tahun ajaran 2008/2009. Penulis
juga aktif dalam organisasi kemahasiswaan Himpunan Profesi Gamma Sigma Beta (GSB), yaitu
sebagai pengurus di Department Survey and Research. Selain itu, penulis juga aktif dalam
kegiatan kepanitiaan seperti Pesta Sains 2008, Statistika Ria 2008, Welcome Ceremony Statistics
(WCS) 2008 dan 2009. Pada tahun 2009 penulis menjadi peserta terbaik Program Pengembangan
Kewirausahaan Mahasiswa Kategori Bidang Usaha Jasa yang diselenggarakan oleh Direktorat
Pengembangan Karir dan Hubungan Alumni IPB. Penulis melaksanakan kegiatan praktik lapang
pada tahun 2010 di International Flavor and Fragrance-PT Essence Indonesia, Jakarta Timur.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................ vii
DAFTAR TABEL ..................................................................................................................... vii
DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................................. viii
PENDAHULUAN .....................................................................................................................
Latar Belakang .....................................................................................................................
Tujuan ..................................................................................................................................
1
1
1
TINJAUAN PUSTAKA ...........................................................................................................
Kestasioneran Data Deret Waktu ..........................................................................................
Proses Regresi Diri ................................................................................................................
Proses Rataan Bergerak .........................................................................................................
ARIMA (p,d,q) ......................................................................................................................
Kriteria Pemilihan Model ....................................................................................................
Model Fungsi Transfer ........................................................................................................
1
1
1
2
2
2
2
METODOLOGI ........................................................................................................................
Data ......................................................................................................................................
Metode .................................................................................................................................
5
5
5
HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................................................................
Eksplorasi Data ....................................................................................................................
Mempersiapkan Deret Input dan Deret Output (Penstasioneran Data)................................
Identifikasi Model ARIMA ...................................................................................................
Prewhitening Deret Input dan Deret Output .........................................................................
Menghitung Korelasi Silang .................................................................................................
Identifikasi Awal Model Fungsi Transfer .............................................................................
Identifikasi Model Sisaan ......................................................................................................
Identifikasi Akhir Parameter Model Fungsi Transfer ..........................................................
Peramalan ..............................................................................................................................
5
5
5
6
7
7
7
7
7
8
SIMPULAN ..............................................................................................................................
Simpulan ..............................................................................................................................
Saran .....................................................................................................................................
8
8
9
DAFTAR PUSTAKA ...............................................................................................................
9
LAMPIRAN ..............................................................................................................................
10
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
Halaman
Hasil Uji Dickey-Fuller ........................................................................................................... 6
Nilai AIC dan SBC Kandidat Model ARIMA Deret Input .................................................... 6
Nilai AIC dan SBC Kandidat Model ARIMA Deret Output ................................................. 7
Nilai AIC dan SBC Kandidat Model Fungsi Transfer ........................................................... 7
Perbandingan Hasil Peramalan Model Fungsi Transfer, ARIMA, dan Data Aktual ............. 8
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
Halaman
Plot Perubahan Jumlah Uang Beredar (%) ............................................................................. 5
Plot Tingkat Inflasi (%) .......................................................................................................... 5
Plot Deret Input Stasioner ....................................................................................................... 5
Plot Deret Output Stasioner .................................................................................................... 6
Plot ACF Deret Input Stasioner .............................................................................................. 6
Plot PACF Deret Input Stasioner ............................................................................................ 6
Plot ACF Deret Output Stasioner............................................................................................ 6
Plot PACF Deret Output Stasioner ......................................................................................... 7
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Plot ACF dan PACF Data Asli Perubahan Jumlah Uang Beredar dan Tingkat Inflasi ....... 11
Pendugaan Paremeter ARIMA (0,1,0)(1,0,0)12 Deret Input ................................................. 11
Pendugaan Paremeter ARIMA (0,1,0)(0,0,1)12 Deret Output .............................................. 12
Korelasi Silang antara t dan t .............................................................................................. 12
Pendugaan Parameter Model Fungsi Transfer b=1, s=0, dan r=0 ........................................ 13
Plot ACF dan PACF Deret Sisaan Model Fungsi Transfer b=1, s=0, dan r=0 ...................... 13
Pendugaan Parameter Model Fungsi Transfer b=1, s=0, dan r=1 ........................................ 14
Plot ACF dan PACF Deret Sisaan Model Fungsi Transfer b=1, s=0, dan r=1 ...................... 14
Kombinasi Model Fungsi Transfer dengan Model Sisaan ..................................................... 15
Hasil Pendugaan Model Fungsi Transfer Akhir .................................................................... 15
Plot ACF dan PACF Sisaan Model Fungsi Transfer Akhir ................................................... 16
Statistik uji
Box Pierce untuk Menguji Kebebasan Sisaan Model Fungsi Transfer ....... 16
Statistik uji
Box Pierce untuk Menguji Kebebasan Antara Input dan Sisaan Model
Fungsi Transfer ........................................................................................................................ 16
14 Plot Bersama Data Aktual, Model Fungsi Transfer, dan Model ARIMA ............................. 17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Di tengah perkembangan perekonomian
yang terjadi, inflasi tetap menjadi perhatian
utama pemerintah karena inflasi merupakan
penyakit ekonomi yang tidak bisa diabaikan.
Kestabilan inflasi merupakan prasyarat bagi
pertumbuhan
ekonomi
yang
berkesinambungan yang pada akhirnya
memberikan manfaat bagi peningkatan
kesejahteraan masyarakat. Oleh karena itu
inflasi sering menjadi target kebijakan
pemerintah. Inflasi yang tinggi begitu penting
untuk diperhatikan mengingat dampaknya
bagi perekonomian yang bisa menimbulkan
ketidakstabilan, pertumbuhan ekonomi yang
lambat dan pengangguran yang senantiasa
meningkat. Berkenaan dengan hal tersebut,
upaya mengendalikan inflasi agar stabil begitu
penting untuk dilakukan.
Perubahan jumlah uang beredar yang
tinggi sering menjadi penyebab tingginya
tingkat inflasi. Naiknya jumlah uang beredar
akan menaikkan permintaan agregat yang
pada akhirnya jika tidak diikuti oleh
pertumbuhan di sektor riil akan menyebabkan
naiknya tingkat harga, yang biasa disebut
dengan
inflasi.
Penjelasan
yang
menggambarkan bagaimana tingkat harga
ditentukan dan berubah seiring dengan
perubahan jumlah uang beredar disebut Teori
Kuantitas Uang. Oleh karena itu, Bank
Indonesia sebagai bank sentral yang
mengawasi jumlah uang beredar memiliki
kendali tertinggi atas tingkat inflasi. Jika Bank
Indonesia mempertahankan jumlah uang yang
beredar tetap stabil, maka tingkat harga akan
stabil. Begitupun sebaliknya jika Bank
Indonesia meningkatkan jumlah uang yang
beredar dengan cepat, tingkat harga akan
meningkat dengan cepat (Mankiw 2000).
Peramalan
tingkat
inflasi
dapat
dimodelkan dengan model ARIMA. Akan
tetapi jika informasi mengenai perubahan
jumlah uang beredar tersedia, maka dapat
digunakan model fungsi transfer. Model
fungsi transfer adalah suatu model peramalan
deret waktu berganda yang menggabungkan
beberapa karakteristik model-model ARIMA
satu peubah dengan beberapa karakteristik
analisis regresi. Model fungsi transfer
diharapkan dapat menjelaskan pengaruh
perubahan jumlah uang beredar terhadap
tingkat inflasi sehingga dapat dijadikan suatu
kebijakan moneter untuk pencapaian target
inflasi yang akan datang.
Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Membuat model fungsi transfer yang
menjelaskan hubungan antara perubahan
jumlah uang beredar dengan tingkat inflasi
bulanan.
2. Membandingkan hasil peramalan model
fungsi transfer dengan model ARIMA.
TINJAUAN PUSTAKA
Kestasioneran Data Deret Waktu
Model umum deret waktu yang stasioner
( ) dapat dituliskan sebagai berikut :
dengan
merupakan ingar putih (white
noise) yaitu barisan peubah acak yang saling
bebas dan memiliki sebaran identik dengan
,
, dan
(Wei 1990). Model umum deret waktu
tersebut mencakup model-model yang lebih
khusus, seperti proses Rataan Bergerak
(Moving Average), proses Regresi Diri
(Autoregressive) serta proses campuran antara
keduanya (Autoregressive-Moving Average).
Data deret waktu dikatakan stasioner jika
fluktuasi data berada di sekitar nilai tengah
dan ragam yang relatif konstan untuk seluruh
periode waktu. Pemeriksaan kestasioneran
data dapat dilihat dari plot data terhadap
waktu dan plot korelasi dirinya (ACF). Selain
itu, salah satu uji akar unit yang biasa
digunakan untuk menguji kestasioneran suatu
data deret waktu adalah uji Dickey-Fuller.
Persamaan yang digunakan pada uji DickeyFuller ialah sebagai berikut:
dengan
dan
diduga melalui
metode kudrat terkecil.
Hipotesis yang diuji yaitu :
H0 :
( tidak stasioner)
H1 :
( stasioner)
Statistik uji yang digunakan yaitu :
!"#$!
%
Jika nilai t-hit < nilai kritis dalam Tabel
Dickey-Fuller, maka keputusan yang diambil
adalah menolak H0 yang berarti data deret
waktu sudah stasioner (Enders 2004).
Proses Regresi Diri
Proses regresi diri (Autoregressive), sesuai
dengan namanya berimplikasi sebagai regresi
diri terhadap dirinya sendiri. Proses regresi
2
diri berordo p atau AR(p) memiliki persamaan
sebagai berikut :
&
&
&'
'
dengan & adalah koefisien AR pada ordo kei. Proses regresi diri dapat juga dimodelkan
sebagai berikut :
& (
dengan
& (
(Montgomery 1990).
& (
&' ('
Proses Rataan Bergerak
Proses rataan bergerak (Moving Average)
merupakan suatu proses dimana koefisien
pada model umum deret waktu tidak stasioner
tidak bernilai nol. Proses rataan bergerak
berordo q atau MA(q) dapat dimodelkan
sebagai berikut :
)
)
)*
*
dengan ) adalah koefisien MA pada ordo kei. Selain model tersebut, proses rataan
bergerak dapat dimodelkan sebagai berikut :
dengan
) (
(Montgomery 1990).
) (
)(
)* (* .
ARIMA (p,d,q)
Autoregressive integrated moving average
(ARIMA) adalah model yang mampu
menjelaskan data deret waktu yang tidak
stasioner. ARIMA merupakan gabungan
antara model autoregressive (AR) berordo-p
dan model moving average (MA) berordo-q
yang mengalami pembedaan ordo ke-d
(Montgomery 1990). Model umum ARIMA
(p,d,q) adalah sebagai berikut :
&
)
&
)
&'
)*
*
'
dimana
adalah nilai pengamatan pada
waktu ke-t, +i adalah koefisien AR pada ordo
ke-i, ) i adalah koefisien MA pada ordo ke-i,
dan adalah sisaan pada waktu ke-t.
Model ARIMA dapat juga dimodelkan
sebagai berikut :
&' ( , -
)* (
dengan :
,- = operator pembedaan dengan derajat
pembeda d
,"""" """
(
B
= operator backshift
&' (
& (
&' ('
)* (
)(
)* (*
Memasukkan faktor musiman (S) ke
dalam model akan dapat mereduksi besarnya
sisaan yang disebabkan oleh faktor musiman.
Bentuk umum dari model campuran dengan
faktor musiman adalah :
ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)S
dengan ordo p, d, dan q menunjukkan bagian
yang tidak musiman dari model, sedangkan
ordo P, D, dan Q menunjukkan bagian
musiman dari model, serta S adalah periode
musiman.
Kriteria Pemilihan Model
Schwarz’s Bayesian Criterion (SBC) atau
disebut juga Bayesian Information Criterion
(BIC) digunakan sebagai kriteria untuk
memilih model. SBC merupakan kriteria
pemilihan
model
berdasarkan
fungsi
kemungkinan maksimum. SBC didefinisikan
sebagai :
n ln .
+ M ln n
dengan .
adalah penduga dari
, M
banyaknya parameter dalam model, dan n
banyaknya sisaan yang dapat dihitung dari
suatu deret. Model terbaik adalah model
dengan nilai SBC minimum.
SBC dibentuk untuk menyeleksi model
dan memilih nilai parameter yang sebenarnya
setepat
mungkin.
Sementara
Akaike
Information Criterion (AIC) cenderung
memilih model dengan parameter lebih
banyak dari SBC, dimana AIC dapat
didefinisikan sebagai :
n ln
+ 2M.
Untuk data yang besar SBC lebih baik serta
lebih konsisten (Wei 1990).
Model Fungsi Transfer
Model fungsi transfer merupakan suatu
model yang mengkombinasikan pendekatan
deret waktu dengan pendekatan kausal. Model
ini menggambarkan bahwa nilai prediksi masa
depan dari suatu time series (disebut output
series) adalah berdasarkan pada nilai-nilai
masa lalu dari time series itu sendiri dan
berdasarkan pula pada satu atau lebih time
series yang berhubungan (disebut input
series) dengan output series tersebut. Model
fungsi transfer ini menghubungkan deret
output, deret input, dan noise (Prasetyo 2009).
Perbedaan model fungsi transfer dengan
regresi linier terdapat pada jenis data yang
digunakan. Fungsi transfer menggunakan data
deret waktu yang tidak saling bebas antar
periodenya. Sehingga perhitungan korelasi
3
antara deret input dan deret output
menggunakan korelasi silang (Makridakis et
al. 1983).
/0
3/0 1
"
%/ %0
" 2./0 1
1
; <
Dimana :
7
9 :
58
3/0 1
" := > ?<
6
5 9 >
48
;?<
;
%/
" 9 :
8
%0
" 9 >
8
1. Identifikasi
Transfer
" >= : ?<
" >= @ 1 A
" := @ 1"
"
B
" := "
;
" >=
Model fungsi transfer memiliki bentuk umum
seperti berikut :
"
C (
E
D (
F
"8
) (
J (
C (
E
D (
"
"
F
") (
"J (
"
) (
J (
) (
J (
"G
"G
" )* (*
" J' ('
dengan b,r,s,p,q adalah konstanta, p adalah
ordo dari proses autoregressive, q adalah ordo
dari proses moving average,
merupakan
sisaan pada waktu ke-t.
Prosedur pembentukan model fungsi
transfer meliputi tahapan-tahapan berikut :
Model
Fungsi
1.1. Mempersiapkan deret input dan
output
Tahap ini mengidentifikasikan apakah
deret input dan output sudah stasioner baik
dalam rataan maupun dalam ragam. Jika data
tidak stasioner maka dilakukan pembedaan
dan transformasi untuk menghilangkan
ketidakstasioneran.
1.2. Prewhitening deret input
Tahap
prewhitening
deret
input
merupakan proses transformasi deret yang
berkorelasi menuju perilaku white noise yang
tidak berkorelasi. Proses prewhitening ini
menggunakan model ARIMA untuk deret
input. Oleh karena itu, sebelum proses
prewhitening, dibangun terlebih dahulu model
ARIMA bagi xt (Makridakis et al. 1983).
Misalkan jika deret input xt dimodelkan
sebagai proses ARIMA (p,0,q), maka deret ini
memiliki model :
J' ( E
Dimana :
1. yt dan xt merupakan deret waktu yang
stasioner.
2. b adalah angka yang melambangkan
periode sebelum deret input (xt) memulai
untuk mempengaruhi deret output (yt).
3. C (
"C
"C ( C (
" G " CH ( H
Nilai s mengindikasikan berapa lama deret
output (yt) mulai dipengaruhi oleh nilai yang
baru dari deret input (xt).
4. D (
"
"D ( D (
" G " DI (I
Nilai r mengindikasikan berapa lama deret
output berhubungan dengan nilai yang
terdahulu dari deret output itu sendiri.
5. nt merupakan komponen galat pada waktu
ke-t.
Komponen galat (nt) diasumsikan dapat
dimodelkan dengan proses ARIMA (p,d,q),
sehingga model kombinasi fungsi transfer :
"
Bentuk
)* ( K
dengan K merupakan sisaan acak. Dengan
demikian deret input yang telah mengalami
prewhitening (K adalah :
K
J' ( E
)* (
1.3. Prewhitening deret output
Fungsi transfer merupakan proses
pemetaan xt terhadap yt. Sehingga apabila
diterapkan suatu proses prewhitening terhadap
xt, maka transformasi yang sama juga harus
diterapkan
terhadap
yt
agar
dapat
mempertahankan
integritas
hubungan
fungsional (Makridakis et al. 1983). Sehingga
deret output yang telah ditransformasi (L )
adalah:
L
J' (
)* (
1.4. Perhitungan korelasi silang antara
deret input dan deret output yang
telah di prewhitening.
Fungsi korelasi silang antara K dan L
pada lag ke-k adalah :
2.MN 1
"
3MN 1
O1
%M %N
O P O PQO G
dimana 2.MN 1 adalah korelasi silang antara
K dan L pada lag ke-k, 3MN 1 adalah
kovarian antara K dan L pada lag ke-k, %M
4
adalah simpangan baku deret K , dan %N
adalah simpangan baku deret L .
1.5. Menentukan nilai b,r,s
Konstanta b, r, dan s ditentukan
berdasarkan pola fungsi korelasi silang antara
K dan L . Cara menentukan b, r, dan s adalah
sebagai berikut ;
a. Korelasi silang berbeda nyata dengan nol
untuk pertama kalinya pada lag ke-b.
b. Untuk s dilihat dari lag berikutnya yang
mempunyai pola yang jelas atau lama
input mempengaruhi output setelah nyata
yang pertama.
c. Nilai r mengindikasikan berapa lama deret
output berhubungan dengan nilai yang
terdahulu dari deret output itu sendiri.
Nilai r dilihat dari plot korelasi diri output.
1.6. Pendugaan awal parameter
dan
Penduga awal parameter fungsi transfer
yaitu
RS
R O "R O G O RI
dan
T
U
" T O T O G TH dicari dengan memanfaatkan
persamaan berikut ini (Box et al. 2008) :
O
W X
V
"R V
"R V
RI V I T "";
V
W X
"R V
"R V
RI V I TV F ;
V
W X
OGOX Y
"R V
"R V
RI V I " ;
V
WZX Y
dengan
<
"
MN
1 %N
%M
Pendugaan awal ini digunakan sebagai nilai
awal pada algoritma pendugaan akhir
nonlinier parameter dan deret sisaan .
2. Pendugaan Akhir Parameter Model
Fungsi Transfer
Pendugaan awal parameter merupakan
nilai awal pada algoritma pendugaan kuadrat
terkecil nonlinier untuk membentuk penduga
akhir parameter model yang dilakukan secara
iteratif. Proses diulang sampai kekonvergenan
tercapai. Pendugaan kuadrat terkecil nonlinier
untuk menduga parameter diperoleh dengan
meminimumkan :
% DO CO &O )[X
;
9
\
dengan t0 adalah maksimum{p + r + 1, b + p +
s + 1}(Wei 1990).
3. Diagnostik Model Fungsi Transfer
Pemeriksaan kesesuaian model dilakukan
dengan melihat perilaku sisaan (
dan
korelasi silang antara
dan ] (sisaan dan
input). Keacakan sisaan serta tidak adanya
nilai korelasi silang antara
dan ] yang
berbeda nyata dengan nol menunjukkan model
sudah sesuai.
Uji statistik Q Box-Pierce dapat
diaplikasikan untuk menguji kebebasan sisaan
dan tidak adanya korelasi antara input dan
sisaan. Sisaan saling bebas jika :
^
`
_9
1 """""""@ """"""_
<
8
a
b
lebih kecil dari nilai
dengan derajat bebas
K – p – q,
dengan n adalah jumlah
pengamatan, K lag maksimum yang diamati,
u adalah Max(r, s+b), dan
1 adalah
autokorelasi untuk lag ke-k. Dengan cara yang
sama, korelasi silang mengindikasikan tidak
adanya pola antara input dan sisaan jika
^
`
_9
<
M
1 """""""@ """"""_
8
a
b
lebih kecil dari nilai
dengan derajat bebas
K + 1 - (r+s+1) (Montgomery 1990).
4. Peramalan
Peramalan dihitung dengan menggunakan
persamaan :
DI ( &' (
&' ( CH ( E
F
DI ( )* (
dengan memasukkan nilai-nilai parameter
fungsi transfer dan nilai deret input dan output
yang
didapat
dari
langkah-langkah
sebelumnya.
Setelah melakukan peramalan, ketepatan
peramalan dapat dicari dengan menghitung
Mean Absolute Percentage Error (MAPE),
dengan rumus sebagai berikut :
cdef
;
g
E
8
E
h
g
"i"
atau dengan mencari nilai Mean Absolute
Deviation (MAD) dengan rumus sebagai
berikut :
; [E
h[
jkl
8
dimana xt adalah pengamatan pada waktu ke-t
dan ft adalah ramalan pada waktu ke-t.
Semakin kecil nilai MAPE dan MAD
menunjukkan data hasil peramalan semakin
mendekati nilai aktual (Bowerman et al.
1993).
5
METODOLOGI
Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini
seluruhnya merupakan data sekunder negara
Indonesia dalam bentuk bulanan yang
diperoleh dari laporan bulanan Bank
Indonesia dalam periode waktu antara bulan
Januari 2003 sampai dengan bulan Mei 2010.
Data bulan Januari 2003 sampai dengan April
2009 digunakan untuk membangun model
fungsi transfer. Sedangkan data bulan Mei
2009 sampai dengan Mei 2010 digunakan
untuk validasi model.
Metode
Tahap-tahap yang dilakukan dalam
penelitian ini adalah :
1. Eksplorasi data perubahan jumlah uang
beredar dan data tingkat inflasi.
2. Mempersiapkan deret input (perubahan
jumlah uang beredar) dan deret output
(tingkat inflasi) dengan penstasioneran
data.
3. Identifikasi model ARIMA untuk deret
input dan output.
4. Prewhitening deret input dan deret output.
5. Menghitung korelasi silang antara deret
input dengan deret output.
6. Identifikasi awal model fungsi transfer.
7. Identifikasi awal model sisaan.
8. Menentukan model kombinasi fungsi
transfer.
9. Meramalkan tingkat inflasi dengan
menggunakan model terbaik.
10. Membandingkan hasil peramalan model
fungsi transfer dengan model ARIMA.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data
Gambar 1 Plot Perubahan Jumlah Uang
Beredar (%).
Berdasarkan pada Gambar 1, dapat
diketahui bahwa perubahan jumlah uang
beredar berfluktuasi pada setiap bulannya.
Pada bulan Januari 2003 perubahan jumlah
uang beredar berada pada angka 4.3%. Pada
awal tahun 2005 perubahan jumlah uang
beredar mengalami peningkatan hingga
mencapai angka 12.2% di bulan April 2005
dan cenderung terus meningkat hingga tahun
2009.
Gambar 2 menunjukkan pola data deret
waktu untuk tingkat inflasi. Mulai Januari
2003 sampai September 2005, tingkat inflasi
cenderung stabil. Kemudian mengalami
kenaikan tajam pada bulan Oktober 2005
hingga mencapai angka 18%. November 2005
tingkat inflasi mencapai 18.38 %. Tingkat
inflasi ini merupakan tingkat inflasi paling
tinggi selama kurun waktu 7 tahun sejak tahun
2003 hingga tahun 2009. Kenaikan tingkat
inflasi pada saat itu dipengaruhi oleh
kebijakan
pemerintahan
Indonesia
mengurangi subsidi BBM dan menaikkan
harga BBM di dalam negeri. Tingginya angka
inflasi ini terus terjadi di tiap periode, yang
pada akhirnya menurun
tajam di bulan
Oktober 2006. Kemudian tingkat inflasi
cenderung stabil dan mengalami kenaikan
kembali pada pertengahan tahun 2008. Namun
hal ini tidak berlangsung lama karena tingkat
inflasi terdorong turun kembali.
Gambar 2 Plot Tingkat Inflasi (%)
Mempersiapkan Deret Input dan
DeretOutput (Penstasioneran Data)
Gambar 3 Plot Deret Input Stasioner.
Plot data asli pada Gambar 1 dan 2 serta
plot ACF dan PACF pada Lampiran 1
menunjukkan data tidak stasioner. Pembedaan
6
satu kali telah dapat menghasilkan deret input
maupun deret output yang stasioner (Gambar
3 dan 4).
Gambar 5 Plot ACF Deret Input Stasioner.
Gambar 4 Plot Deret Output Stasioner.
Kestasioneran juga dapat diuji dengan
menggunakan uji Dickey-Fuller. Hasil
pengujian dalam tabel 1 menunjukkan bahwa
d(0) atau data sebelum pembedaan dari deret
input dan deret output belum stasioner. Hal ini
terlihat dari nilai t hitung yang lebih besar dari
nilai kritis atau p-value yang lebih besar dari
taraf nyata pengujian ( = 5%). Pada saat d(1)
atau data dengan pembedaan satu kali, terlihat
bahwa deret input dan deret output sudah
stasioner.
Tabel 1 Uji Dickey-Fuller
Deret
Output
Input
d(0)
t- hit
-2.16
(0.22)
-0.90
(0.78)
Nilai
kritis
-2.90
(0.05)
-2.91
(0.05)
d(1)
t-hit
-7.33
(0.00)
-4.24
(0.00)
Nilai
kritis
-2.90
(0.05)
-2.91
(0.05)
Identifikasi Model ARIMA
Identifikasi model ARIMA dilakukan
dengan memperhatikan beberapa nilai awal
dari korelasi diri dan korelasi diri parsialnya
yang berbeda nyata dengan nol, serta pola dari
plot ACF dan PACF.
Perubahan Jumlah Uang Beredar
Plot ACF dari deret input yang stasioner,
nyata pada lag 12 sedangkan plot PACF nyata
pada lag 3 dan 12 (Gambar 5 dan 6). Tabel 2
menunjukkan
bahwa
model
ARIMA
(0,1,0)(1,0,0)12 merupakan model terbaik
karena memiliki nilai AIC dan SBC terkecil
dibandingkan dengan model ARIMA lainnya
dan seluruh koefisien parameternya nyata
(Lampiran 2). Selain itu, pengujian BoxPierce menunjukkan bahwa sisaan tidak
saling berkorelasi. Sehingga model ARIMA
untuk deret input yang diperoleh adalah :
mno(
,:
Gambar 6 Plot PACF Deret Input Stasioner.
Tabel 2 Nilai AIC dan SBC Kandidat Model
ARIMA Deret Input
Model
AIC
SBC
ARIMA
259.37
261.68
(0,1,0)(1,0,0)12
ARIMA
262.95
265.27
(0,1,0)(0,0,1)12
ARIMA*
261.26
265.89
(0,1,0)(2,0,0)12
ARIMA
260.04
264.67
(0,1,0)(0,0,2)12
Ket : (*) parameter 2 tidak signifikan.
Tingkat Inflasi
Gambar 7 dan 8 merupakan plot ACF dan
PACF deret output yang telah stasioner.
Gambar 7 Plot ACF Deret Output Stasioner.
Tabel 3 menunjukkan bahwa model
ARIMA (0,1,0)(0,0,1)12 merupakan model
terbaik karena memiliki AIC dan SBC terkecil
dan seluruh koefisien parameternya nyata
(Lampiran 3). Selain itu, pengujian Box-
7
Pierce menunjukkan bahwa sisaan tidak
saling berkorelasi. Sehingga model ARIMA
tingkat inflasi yang diperoleh adalh sebagai
berikut :
,>
mpn(
Gambar 8 Plot PACF Deret Output Stasioner.
Tabel 3 Nilai AIC dan SBC Kandidat Model
ARIMA Deret Output
Model
AIC
SBC
ARIMA
260.45
262.76
(0,1,0)(1,0,0)12
ARIMA
241.96
244.28
(0,1,0)(0,0,1)12
243.94
248.57
ARIMA*
(0,1,0)(1,0,1)12
ARIMA
245.17
249.79
(0,1,0)(2,0,0)12
ARIMA*
243.94
248.57
(0,1,0)(0,0,2)12
Ket : (*) salah satu parameter tidak signifikan.
Prewhitening Deret Input dan Deret
Output
Tahap
prewhitening
dilakukan
berdasarkan model ARIMA untuk data
perubahan jumlah uang beredar (deret input).
Dalam tahap ini digunakan unsur white noise
model tersebut. Dengan demikian model
Prewhitening untuk deret input adalah :
t
= (1+0.69 B12), Xt
Proses prewhitening pada deret output juga
mengikuti model prewhitening untuk deret
input, sehingga model prewhitening untuk
deret output adalah :
12
t
= (1+0.69 B ),Yt
Menghitung Korelasi Silang
Deret input dan deret output yang telah
melalui
proses
prewhitening
untuk
memperoleh t dan t dihitung korelasi
silangnya. Korelasi silang menunjukkan
hubungan antara perubahan jumlah uang
beredar dengan tingkat inflasi. Dari pola
korelasi silang yang dihasilkan akan
digunakan untuk identifikasi model fungsi
transfer (b, r, s). Hasil korelasi silang antara t
dan t dapat dilihat pada Lampiran 4.
Identifikasi Awal Model Fungsi Transfer
Identifikasi awal model fungsi transfer
dilakukan dengan melihat pola korelasi silang
antara t dan t. Untuk nilai b ditentukan
berdasarkan lag yang nyata pertama kali pada
pola korelasi silangnya, sehingga nilai b=1.
Selanjutnya untuk mendapatkan nilai s dilihat
berapa lama nilai input mempengaruhi output
setelah nyata yang pertama. Sedangkan untuk
nilai r dapat dilihat berdasarkan plot korelasi
diri output stasioner yang menunjukkan lag
yang nyata setelah nyata yang pertama.
Berdasarkan keterangan di atas, identifikasi
awal model fungsi transfer memilki nilai b=1,
s=0, dan r=0. Pengujian parameter untuk
model tersebut dapat dilihat pada Lampiran 5.
Sehingga identifikasi awal model fungsi
transfer sebagai berikut :
,>
mQq,:
8
Identifikasi Model Sisaan
Model yang didapatkan dari identifikasi
awal model fungsi transfer, yaitu :
,>
mQq,:
8
Sehingga untuk memperoleh nilai nt adalah :
8
,>
mQq,:
Identifikasi awal model fungsi transfer
menghasilkan plot ACF dan PACF sisaan
pada Lampiran 6.
Identifikasi Akhir Parameter Model
Fungsi Transfer
Untuk mendapatkan model yang terbaik
dilakukan pemeriksaan kandidat model
lainnya (Tabel 4).
Tabel 4 Nilai AIC dan SBC Kandidat Model
Fungsi Transfer
No
Nilai
b,s,r
AIC
SBC
1
(1,0,0)
264.28 266.55
2
(1,0,1)
259.98 264.48
3
(1,1,0)* 262.41 266.90
4
(1,1,1)* 263.67 270.41
Ket : (*) salah satu parameter tidak signifikan.
Pada Tabel 4 dapat terlihat bahwa model
fungsi transfer dengan nilai b=1, s=0, dan r=1
memiliki nilai AIC dan SBC yang paling kecil
serta seluruh parameternya nyata (Lampiran
7). Oleh karena itu, model tersebut
8
diikutsertakan dalam identifikasi akhir model
fungsi transfer. Sisaan dari model fungsi
transfer dengan nilai b=1, s=0, dan r=1
memiliki plot ACF dan PACF yang dapat
dilihat pada Lampiran 8. Sehingga identifikasi
akhir model fungsi transfer dilakukan dengan
mengkombinasikan model awal dengan
sisaannya (Lampiran 9).
Dengan pertimbangan uji parameter,
korelasi diri sisaan, dan korelasi antara deret
input dan sisaan, maka ditetapkan bahwa
model akhir yang diperoleh adalah model
fungsi transfer dengan nilai b=1, s=0, dan r=0
dengan model sisaan ARIMA(0,0,0)(1,0,0)12.
Hasil pendugaan akhir model fungsi transfer
dapat dilihat pada Lampiran 10. Plot ACF dan
PACF sisaan akhir (Lampiran 11) yang tidak
berbeda nyata dengan nol serta nilai korelasi
diri sisaan (Lampiran 12) mengindikasikan
bahwa sisaan model ini saling bebas. Nilai
korelasi antara input dan sisaan juga tidak
berbeda nyata dengan nol pada taraf nyata 5%
(Lampiran 13) sehingga asumsi kebebasan
antara input dan sisaan terpenuhi. Dari
pengujian parameter, didapatkan model akhir
fungsi transfer adalah sebagai berikut :
,>
mQq,:
periode tertentu dan tidak ada unsur
perubahan jumlah uang beredar sebagai faktor
yang mempengaruhi tingkat inflasi. Oleh
karena itu, model fungsi transfer lebih baik
untuk peramalan tingkat inflasi bulanan.
Tabel 5 Perbandingan Hasil Peramalan Fungsi
Transfer, ARIMA dan Data Aktual.
Bulan
Peramalan
Aktual
>
"
mQq:
mr>
m
r:
s
s
m
mQq:
r:
Mei-09
6.32
6.45
6.04
Jun-09
5.57
6.05
3.65
Jul-09
2.86
5.21
2.71
2.50
4.50
2.75
Sep-09
2.91
4.48
2.83
Okt-09
2.36
5.25
2.57
2.26
6.22
2.41
Des-09
2.76
6.73
2.78
Jan-10
3.51
7.75
3.72
Feb-10
3.89
8.24
3.81
Mar-10
3.84
8.47
3.43
Apr-10
4.26
8.59
3.91
Mei-10
4.47
8.59
4.16
9.65%
0.34
100.51%
3.25
Nop-09
mr(
mr>
ARIMA
Agust-09
atau juga dapat dimodelkan sebagai berikut :
>
Transfer
MAPE
MAD
t
Model fungsi transfer ini memiliki makna
bahwa tingkat inflasi dipengaruhi oleh tingkat
inflasi satu bulan, dua belas bulan, dan tiga
belas bulan sebelumnya serta dipengaruhi oleh
perubahan jumlah uang beredar satu bulan,
dua bulan, tiga belas bulan, dan empat belas
bulan sebelumnya.
Peramalan
Perbandingan hasil peramalan dengan
model fungsi transfer, model ARIMA tingkat
inflasi dan data aktual dapat dilihat pada Tabel
5. Nilai MAPE dan MAD hasil peramalan
dengan model fungsi transfer masing-masing
sebesar 9.65% dan 0.34 sedangkan pada
model ARIMA masing-masing sebesar 100.51
dan 3.25. Berdasarkan Tabel 5 diketahui
bahwa hasil peramalan model fungsi transfer
lebih mendekati data aktual dibandingkan
dengan model ARIMA tingkat inflasi.
Perbedaan hasil ramalan ini disebabkan
karena pada model ARIMA tingkat inflasi
hanya didasarkan pada satu pengamatan
Selain itu, plot bersama antara data aktual,
model fungsi transfer dan model ARIMA
tingkat
inflasi
pada
Lampiran
14
menunjukkan bahwa pola data aktual lebih
mirip dengan pola model fungsi transfer
dibandingkan dengan pola ARIMA tingkat
inflasi. MAPE dan MAD data keseluruhan
dari model fungsi transfer masing-masing
sebesar 8.72% dan 0.67. Sedangkan MAPE
dan MAD data keseluruhan dari model
ARIMA tingkat inflasi masing-masing sebesar
20.67% dan 0.99.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Hasil penelitian menunjukkan bahwa
model fungsi transfer yang diperoleh lebih
baik untuk peramalan tingkat inflasi bulanan
dibandingkan dengan model ARIMA. Model
fungsi transfer yang didapatkan adalah
sebagai berikut :
>
>
"
mQq:
mr>
m
mr>
r:
s
s
m
mQq:
r:
t
9
Model fungsi transfer ini memiliki makna
bahwa tingkat inflasi dipengaruhi oleh tingkat
inflasi satu bulan, dua belas bulan, dan tiga
belas bulan sebelumnya serta dipengaruhi oleh
perubahan jumlah uang beredar satu bulan,
dua bulan, tiga belas bulan, dan empat belas
bulan sebelumnya.
Saran
Penulis menyarankan untuk menggunakan
fungsi transfer multi input untuk peramalan
tingkat inflasi bulanan dengan menambahkan
deret input lain sebagai faktor-faktor yang
mempengaruhi tingkat inflasi. Selain itu
penulis menyarankan untuk mengkaji kembali
hubungan tingkat inflasi dan faktor-faktor lain
yang mempengaruhinya dengan menggunakan
metode deret waktu lainnya seperti metode
VAR. Tidak terlepas kemungkinan diperoleh
model baru yang lebih mampu menjelaskan
hubungan tingkat inflasi dengan faktor-faktor
yang mempengaruhinya.
DAFTAR PUSTAKA
Bowerman BL, Richard T.O’Connell. 1993.
Forecasting and Time Series : an applied
approach. 3rd edition. California :
Wadsworth.
Box GEP, GM Jenkins, GC Reinsel. 2008.
Time Series Analysis : Forecasting and
Control. 4th edition. Canada : John Wiley
and Sons, Inc.
Enders W. 2004. Applied Econometric Time
Series. 2nd edition. USA : John Wiley and
Sons, Inc.
Mankiw NG. 2000. Teori Makroekonomi.
Jakarta : Erlangga.
Makridakis S, SC Wheelwright, VE McGee.
1983. Forecasting : Methods and
Applications. 2nd edition. Singapore :
McGraw-Hill, Inc.
Montgomery DC, LA Johnson, JS Gardiner.
1990. Forecasting and Time Series
Analysis. 2nd edition. Singapore :
McGraw-Hill, Inc.
Prasetyo EI. 2009. Analisis Hubungan Curah
Hujan dan Produksi Kelapa Sawit dengan
Model Fungsi Transfer [skripsi].
Departemen Statistika IPB, Bogor.
Wei WWS. 1990. Time Series Analysis
Univariate and Multivariate Methods.
Canada : Addison-Wesley.
10
LAMPIRAN
11
Lampiran 1. Plot ACF dan PACF Data Asli Perubahan Jumlah Uang Beredar dan Tingkat Inflasi
!
!
"
"
#
#
$
$
%
%
Lampiran 2. Pendugaan Paremeter ARIMA (0,1,0)(1,0,0)12 Deret Input
Pendugaan
Galat baku
t-hitung
Nilai-p
Lag
AIC
SBC
lag
6
12
18
24
-0.69
0.11
-6.05