Analisis Sistem Dinamik Lalu Lintas dengan Model Mobil Pengikut

ANALISIS SISTEM DINAMIK LALU LINTAS DENGAN
MODEL MOBIL PENGIKUT

PENI FITRIA RAHARJANTI

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Sistem
Dinamik Lalu Lintas dengan Model Mobil Pengikut adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.
Bogor, Maret 2015
Peni Fitria Raharjanti
NIM G54100049

ABSTRAK
PENI FITRIA RAHARJANTI. Analisis Sistem Dinamik Lalu Lintas dengan
Model Mobil Pengikut. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI dan
ALI KUSNANTO.
Suatu model matematika dapat dibuat untuk memelajari dan menyelesaikan
masalah nyata yang terjadi dalam kehidupan, seperti pada permasalahan lalu lintas.
Karya ilmiah ini menyajikan sebuah model taklinear mobil pengikut dengan reaksi
waktu tunda pada sebuah jalan lingkar. Model tersebut dianalisis dan diuji
kestabilan linearnya. Setelah itu, akan diperiksa persamaan karakteristik pada
keadaaan setimbang. Berdasarkan arus solusi seragam, ditentukan batas dari
bifurkasi Hopf yang mungkin terjadi, berupa bilangan kompleks. Selanjutnya
dilakukan simulasi dinamika lalu lintas. Hasil simulasi memerlihatkan adanya
perubahan kestabilan ketika terjadi perubahan parameter sensitivitas.
Kata kunci: analisis kestabilan, bifurkasi Hopf, model mobil pengikut, waktu
tunda.

ABSTRACT
PENI FITRIA RAHARJANTI. Analysis of Dynamical Traffic System with CarFollowing Model. Supervised by ENDAR HASAFAH NUGRAHANI and ALI
KUSNANTO.
A mathematical model can be formulated to study and solve certain real
problem, such as traffic problem. In this manuscript, a nonlinear car-following
model that includes a reaction-time delay of drivers in a circular road was
discussed and the analysis of its linear stability was performed. Moreover, the
characteristic equation on equilibrium state was investigated. Based on the
uniformly flow solution, boundaries of Hopf bifurcations were determined in the
complex parameter space. Furthermore, a simulation on traffic dynamics was also
performed. The simulation result shows that there exists a slight change of linear
stability, when the sensitivity parameter changes.
Keywords: car-following model, Hopf bifurcation, stability analysis, time delay.

ANALISIS SISTEM DINAMIK LALU LINTAS DENGAN
MODEL MOBIL PENGIKUT

PENI FITRIA RAHARJANTI

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

Judul Skripsi : Analisis Sistem Dinamik Lalu Lintas dengan Model Mobil
Pengikut
Nama
: Peni Fitria Raharjanti
NIM
: G54100049

Disetujui oleh

Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
Pembimbing I

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Analisis Sitem Dinamik
Lalu Lintas dengan Model Mobil Pengikut berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS
dan Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing, serta Dr Paian Sianturi selaku

penguji. Terimakasih juga kepada seluruh dosen matematika atas ilmu yang
diberikan dan staf TU matematika yang telah membantu dalam kelancaran belajar.
Penghargaan penulis sampaikan kepada Bapak, Ibu, Murobbi, serta seluruh
keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Serta terimakasih buat seluruh
teman seperjuangan Math 47, teman Lolipop, keluarga Al-Iffah, sahabat TDP 2
B3/20 yang selalu memotivasi dan menemani perjuangan ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Maret 2015
Peni Fitria Raharjanti

DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR

vii

DAFTAR LAMPIRAN

vii

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

1

TINJAUAN PUSTAKA

2

HASIL DAN PEMBAHASAN

6

Model Mobil Pengikut

6

Analisis Sistem Dinamik Model Mobil Pengikut

8

Simulasi Model

12

SIMPULAN

16

DAFTAR PUSTAKA

16

LAMPIRAN

18

RIWAYAT HIDUP

26

DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5

Model mobil pengikut
Fungsi kecepatan optimal (a) dan Turunan fungsi kecepatan optimal
(b)
Grafik hubungan posisi kendaraan dengan waktu
Grafik hubungan parameter sensitivitas � dengan turunan fungsi

kecepatan optimal (percepatan) ′ (ℎ∗ )
Grafik hubungan parameter sensitivitas � dengan rata-rata headway
ℎ∗

6
8
13
14
15

DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5

Ekspansi Taylor
Persamaan karakteristik
Menggunakan software Mathematica untuk memperoleh Gambar 3

Menggunakan software Mathematica untuk memperoleh Gambar 4
Menggunakan software Mathematica untuk memperoleh Gambar 5

18
20
22
24
25

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Lalu lintas jalan merupakan salah satu sarana masyarakat yang memiliki
peranan penting dalam kehidupan sehari-hari. Ada tiga komponen pembentuk lalu
lintas, yaitu manusia sebagai pengguna, kendaraan, dan jalan. Ketiganya saling
berinteraksi antara satu dengan yang lainnya. Berbagai perjalanan akan
menghasilkan pola rumit pembentuk arus lalu lintas. Antara kendaraan yang satu
dengan yang lain tidak mungkin berjalan secara seragam karena ketidaksamaan
keterampilan dan pengambilan keputusan oleh pengemudi. Akibatnya, muncul
permasalahan lalu lintas. Diantaranya ketidaktertiban pengguna jalan dan
pelanggaran rambu lalu lintas. Hal ini bisa mengakibatkan kemacetan lalu lintas

bahkan bisa berakibat fatal yaitu munculnya kecelakaan lalu lintas. Oleh karena
itu, pentingnya mengetahui pemodelan lalu lintas dalam upaya menjaga
keselamatan bertransportasi maupun dapat digunakan untuk pembuatan kebijakan
transportasi.
Pandangan umum mengatakan bahwa pemodelan matematika adalah salah
satu tahap dari pemecahan masalah matematika. Seiring perkembangan
matematika, sebagai alat analisis berbagai masalah nyata, arus lalu lintas pun
dapat diformulasikan membentuk suatu model. Di mana proses membangun suatu
model matematika digunakan untuk menggambarkan dinamika suatu sistem.
Pembahasan pemodelan lalu lintas mencakup banyak hal sesuai dengan kerumitan
dari lalu lintas tersebut. Diantaranya jalan yang digunakan dalam pemodelan lalu
lintas bisa meliputi jalan lurus, jalan lingkar, atau persimpangan jalan. Suatu jalan
lurus pun bisa terdiri dari satu atau dua jalur. Bahkan masing-masing jalur bisa
terdiri satu atau lebih lajur yang digunakan. Sehingga karya ilmiah ini
mengkhususkan pembahasan pemodelan lalu lintas hanya menggunakan jalan
lingkar dan jumlah kendaraan yang digunakan dibatasi.
Berdasarkan jurnal Stépán dan Orosz (2006), dalam karya ilmiah ini akan
dikaji bifurkasi Hopf dengan waktu tunda pada model mobil pengikut. Tulisan
tersebut membahas model mikroskopis atau sering disebut model mobil pengikut
(car-following), yaitu model yang mengacu pada perilaku pengemudi dalam
berinteraksi dengan kendaraan lain di depannya pada suatu jalan lalu lintas.
Parameter yang digunakan adalah posisi, kecepatan, dan percepatan yang
bergantung pada waktu. Model ini diberikan waktu tunda (time delay) yang
menyatakan faktor keterlambatan respons output pengemudi terhadap input yang
muncul. Kemudian dilakukan analisis sistem dinamik untuk mengetahui
perubahan dari kestabilan.

Tujuan Penelitian
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah menganalisis model mobil
pengikut, memberikan simulasi dinamika model mobil pengikut dengan
menaikkan parameter sensitivitas, dan melihat daerah kestabilan sistem dengan
menaikkan kecepatan yang diinginkan.

2

TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori tentang
pemodelan lalu lintas yang menunjang dalam pembahasan selanjutnya.
Model Mobil Pengikut
Berdasarkan Arovas (2006), model mobil pengikut didefinisikan sebagai
persamaan dari gerak kendaraan individu di mana (�) adalah posisi dari
kendaraan ke- pada suatu waktu dan jalan tertentu, dengan < +1 . Jadi, posisi
kendaraan pertama ( = 1) berada paling terakhir. Terdapat tiga model mobil
pengikut.
1 Traditional Car-Following Model (TCFM)
TCFM merupakan model di mana percepatan atau perlambatan kendaraan
merupakan selisih dari dua kecepatan kendaraan dikalikan dengan parameter
sensitivitas �. Percepatan dan perlambatan kendaraan tersebut dilakukan agar
tidak terjadi tabrakan antara suatu kendaraan dengan kendaraan di depannya,
dengan percepatan tersebut diberikan waktu tunda � − 1. Sedangkan parameter
sensitivitas berupa konstanta sebagai pengali. Persamaan tersebut dapat
dituliskan sebagai berikut

dengan
�
�−1
�

�−1 =�

+1

�

� −

,

percepatan kendaraan kekecepatan kendaraan kewaktu
waktu tunda
parameter sensitivitas.

2 Optimal Velocity Model (OVM)
OVM adalah model di mana pengemudi memberikan percepatan dalam rangka
mengatur selisih dari dua komponen dikalikan dengan parameter sensitivitas.
Komponen pertama merupakan sebuah kecepatan optimal yang disesuaikan
dengan jarak mobil di depannya. Dalam pemodelan lalu lintas, jarak pada
mobil berikutnya diketahui sebagai headway. Sedangkan komponen kedua
merupakan kecepatan kendaraan ke- tersebut. Persamaan tersebut dapat
dituliskan sebagai berikut
=�

+1

−

−

,

fungsi kecepatan optimum dari jarak kendaraan
dengan
+1 −
ke- ( ) dan kendaraan di depannya ( +1 ).
3 Optimal Headway Model (OHM)
OHM adalah model di mana pengemudi memberikan percepatan dalam rangka
mengatur selisih dari dua komponen dikalikan dengan parameter sensitivitas.

3

Komponen pertama merupakan fungsi headway yang optimal pada kecepatan
kendaraan, sedangkan komponen kedua merupakan jarak antara dua kendaraan
atau kendaraan ke- dengan kendaraan di depannya. Persamaan tersebut dapat
dituliskan sebagai berikut
−

=�

+1

−

,

dengan fungsi headway optimal adalah invers dari fungsi kecepatan optimal
OVM = −1 .
Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial biasa (PDB) orde
dalam bentuk
0

�

+

1

( −1)

�

+

dikatakan linear jika dapat ditulis

+

�

=

� ,

(1)

� adalah fungsi konstan
� adalah koefisien. Jika
dengan 0 � , 1 � , … ,
untuk semua = 0,1,2, … , , maka persamaan diferensial dikatakan memiliki
� dan (�) adalah fungsi dari waktu �
koefisien konstan. Selalu diasumsikan
dan 0 (�) ≠ 0. PDB linear dikatakan homogen jika (�) = 0 dan takhomogen
jika (�) ≠ 0. Persamaan yang tidak memenuhi persamaan (1) disebut persamaan
diferensial taklinear (Farlow 1994).
Sistem Persamaan Diferensial
Bentuk umum dari sistem persamaan diferensial orde-1 adalah
� =� �

� +� � ;

0 =

0,

(2)

di mana � adalah matriks koefisien × dan
adalah vektor konstanta.
Persamaan (2) disebut homogen jika = 0, sehingga solusi dari sistem adalah
semua yang memenuhi persamaan = � (Tu 1994).

Persamaan Diferensial Tundaan
Menurut Kuang (1993), persamaan diferensial tundaan dapat dinyatakan
dalam bentuk
� =

� ,

atau dapat dinyatakan dalam bentuk

=0

�

� +

dengan � − 1 adalah waktu tunda dan

0

�0

=0

�−1 ,

�

� − 1 = 0,

� = (�).

4

Titik Kesetimbangan
Diberikan sistem persamaan diferensial
=

1, 2, … ,

1, 2, … ,

,

,

titik ∗ disebut titik tetap atau titik kritis atau disebut juga titik kesetimbangan dari
∗
sistem jika
= 0 (Verhulst 1990).
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan � adalah matriks × . Skalar � disebut nilai eigen atau nilai
karakteristik dari � jika terdapat suatu vektor tak nol , sehingga � = � . Vektor
disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan nilai
eigen �. Persamaan � = � dapat dituliskan dalam bentuk
�−�

= 0.

det � − �

= 0.

(3)

Persamaan (3) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika
� − � singular atau secara ekivalen persamaan karakteristik dituliskan
(4)

Jika determinan pada persamaan (4) diuraikan maka didapatkan suatu polinomial
berderajat dalam peubah �
� � = det � − � .

(5)

Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan (5) disebut
persamaan karakteristik untuk matriks � (Leon 2001).

Analisis Kestabilan
Misalkan diberikan matriks A berukuran
11

�=

1

⋱

×

sebagai berikut

1

,

dengan persamaan karakteristik det � − � = 0, dan adalah matriks identitas,
maka diperoleh nilai eigen dari matriks tersebut. Analisis kestabilan titik
kesetimbangan dilakukan untuk setiap nilai eigen yang diperoleh, maka akan ada
empat kasus sebagai berikut.
1 Jika nilai eigennya real dan berbeda tanda, maka titik kesetimbangan bersifat
sadel.
2 Jika semua nilai eigennya real dan bertanda sama maka titik
kesetimbangannya merupakan simpul tak sejati (nodes). Jika bertanda positif
maka nodes tak stabil. Jika bertanda negatif, maka nodes stabil.
3 Jika nilai eigennya merupakan complex conjugate dengan bagian real yang
positif maka titik kesetimbangan bersifat spiral tak stabil. Jika bagian realnya
negatif maka titik kesetimbangan bersifat spiral stabil.

5

4

Jika nilai eigen merupakan imajiner murni, maka titik kesetimbangan bersifat
center yang selalu stabil (Huntley dan Johnson 1983).
Secara umum, kestabilan titik kesetimbangan memiliki perilaku sebagai
berikut.
1 Stabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah negatif (� < 0, untuk setiap ).
b. Setiap komponen bagian real dari nilai eigen kompleks lebih kecil atau
sama dengan nol dan minimal ada satu yang lebih kecil dari nol
0 untuk setiap dan ada yang Re � < 0).
(Re �
2 Tidak stabil, jika
a. Ada nilai eigen real yang postif (� > 0, untuk suatu ).
b. Ada komponen bagian real dari nilai eigen kompleks lebih besar dari nol,
(Re � > 0 untuk suatu ).
3 Sadel, jika ada perkalian dua buah nilai eigen bernilai negatif � � <
0 untuk suatu dan (Tu 1994).
Untuk suatu SPD taklinear, analisis kestabilan dilakukan melalui pelinearan.
Misalkan diberikan SDP taklinear sebagai berikut
=

⊂

:

→

.

Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk suatu titik kesetimbangan
persamaan (6) dapat ditulis sebagai berikut
=� +�

.

(6)
∗

, maka

(7)

Persamaan (7) tersebut merupakan SPD taklinear dengan A adalah matriks Jacobi
�=�

∗
1
1

=
1
11

=
1

…

=� ( )
1

⋱

(8)

…
⋱

= ∗

1

′

= ∗

dan �( ) suku berorde tinggi bersifat lim →0 �
= 0. Selanjutnya � dengan �
pada persamaan (8) disebut pelinearan sistem taklinear dalam bentuk = �
(Verhulst 1990).
Bifurkasi Hopf
Bifurkasi adalah perubahan kualitatif yang terjadi pada struktur
penyelesaian persamaan diferensial. Perubahan meliputi perubahan stabilitas dan
perubahan letak titik kesetimbangan yang diakibatkan oleh perubahan parameter.

6

Bifurkasi terjadi pada penyelesaian titik kesetimbangan yang mempunyai paling
sedikit satu nilai eigen sama dengan nol pada bagian realnya.
Menurut Strogatz (1994) ada 4 jenis bifurkasi.
1 Bifurkasi Saddle-node.
2
Bifurkasi Transkritikal.
3
Bifurkasi Pitchfork.
4
Bifurkasi Hopf.
Pada karya ilmiah ini, akan membahas tentang bifurkasi Hopf. Bifurkasi Hopf
adalah berubahnya jenis kestabilan suatu titik kesetimbangan suatu persamaan
diferensial dikarenakan munculnya sepasang nilai eigen yang bernilai imajiner
murni.

HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Mobil Pengikut
Permasalahan dalam karya ilmiah ini berupa model mobil pengikut yang
dikonstruksi dari jurnal Stépán dan Orosz (2006). Model mobil pengikut
merupakan model yang mengacu pada perilaku pengemudi dalam berinteraksi
dengan kendaraan lain di depannya pada suatu jalan lalu lintas. Model tersebut
diberikan waktu tunda dan akan dianalisis untuk mengetahui dinamika suatu
sistem. Dalam Gambar 1 berikut digambarkan permasalahan model mobil
pengikut yang dimaksud.

Gambar 1 Model mobil pengikut.
Asumsi-asumsi yang digunakan dalam menganalisis model mobil pengikut,
yaitu:
1 Jalan yang digunakan dalam pemodelan lalu lintas ini merupakan jalan lingkar
(ring road).
2 Jumlah kendaraan yang melintasi jalan hanya ada tiga ( = 3).
3 Setiap kendaraan berjalan beriringan, di mana kendaraan pertama 1
mengikuti kendaraan kedua 2 , kendaraan kedua 2 mengikuti kendaraan
ketiga 3 , dan kendaraan ketiga 3 mengikuti kendaraan pertama 1 .
4 Setiap kendaraan tidak diperbolehkan mendahului (menyalip) kendaraan lain
yang berada di depannya.

7

5

Setiap kendaraan hanya melintasi jalan lingkar sebanyak satu kali putaran
( = 1).

Permasalahan di atas dapat dituliskan dengan sistem persamaan diferensial
sebagai berikut:
1
2
3

dengan

� =�

� =�

� =�

2
3
1

�−1 −

�−1 −

�−1 −

1
2
3

�−1

�−1

−

−

1
2

�−1 +� −

�

�

(9)
3

� ,

posisi kendaraan ke-i , i=1,2,3,
kecepatan kendaraan ke-i, i=1,2,3,
percepatan kendaraan ke-i, i=1,2,3,
�
waktu,
� − 1 waktu tunda,
�
parameter sensitivitas,
(ℎ ) fungsi kecepatan optimal dengan ℎ = +1 − ,
�
panjang jalan lingkar.
� dipengaruhi oleh selisih dua komponen.
Percepatan kendaraan keKomponen pertama merupakan perkalian antara parameter sensitivitas � dengan
fungsi kecepatan optimal dari jarak antar dua kendaraan pada waktu tunda
� − 1. Komponen kedua merupakan perkalian antara parameter sensitivitas �
dengan kecepatan kendaraan ke- . Waktu tunda � − 1 menyatakan faktor
keterlambatan respons output pengemudi terhadap input yang muncul dalam
rentang waktu satu satuan waktu sebelumnya.
Persamaan (9) menunjukkan kecepatan setiap pengemudi menuju sebuah
1
kecepatan yang optimal , dengan sebuah karakteristik waktu istirahat > 0.
�
Pada waktu itu, setiap pengemudi bereaksi terhadap jarak antar kendaraan
(headway) dengan waktu tunda 1. Berdasarkan Stépán dan Orosz (2006), untuk
melengkapi model ditetapkan fungsi kecepatan optimal
ℎ seperti dalam
persamaan (10) berikut
jika 0 ℎ 1,
ℎ = 0 (ℎ − 1)3
�
, jika ℎ > 1.
1 + (ℎ − 1)3
0,

(10)

Parameter � 0 merupakan kecepatan yang diinginkan, didefinisikan dengan
� 0 = max (ℎ) > 0.
Berikut ini diberikan gambar untuk menjelaskan fungsi kecepatan optimal
dan turunannya.

8

Gambar 2 Fungsi kecepatan optimal (a) dan turunan fungsi kecepatan optimal (b).
Gambar 2(a) merupakan grafik hubungan antara rasio fungsi kecepatan
optimal terhadap kecepatan yang diinginkan 0 dan headway h, sedangkan
�
Gambar 2(b) merupakan grafik hubungan antara rasio turunan fungsi kecepatan
′
optimal terhadap kecepatan yang diinginkan 0 dan headway h. Pada grafik ini
�
dapat dijelaskan tiga sifat, yaitu:
1
Ketika 0 ℎ 1, headway menunjukkan nilai 1 maka terjadi kemacetan lalu
lintas, sedangkan jika headway kurang dari 1 maka kendaraan tersebut harus
diusahakan berhenti.
2
Ketika headway lebih besar dari 1 maka fungsi kecepatan optimal (ℎ)
merupakan fungsi kontinu, taknegatif, dan monoton naik. Secara khusus,
mobil-mobil cenderung bergerak lebih cepat ketika jarak antar kendaraan
semakin longgar.
3
Ketika headway menuju nilai takhingga, hal ini berhubungan dengan
kecepatan arus bebas yang tinggi dari pengemudi ketika lalu lintas sedang
lengang.

Analisis Sistem Dinamik Model Mobil Pengikut
Langkah-langkah untuk analisis dinamika pada model mobil pengikut
dilakukan dengan cara menentukan titik kesetimbangan, mempelajari dan
menganalisis gangguan (perturbation) yang terjadi, serta mengevaluasi kestabilan.
Titik Kesetimbangan
Titik kesetimbangan dalam model mobil pengikut dari sistem persamaan (9)
diperoleh dari
(�) = 0,

= 1,2,3.

Hal tersebut menjelaskan ketika tidak ada percepatan dari suatu kendaraan maka
dapat diketahui bahwa kecepatan kendaraan tersebut konstan. Akibatnya diperoleh
kecepatan kesetimbangan sebagai berikut

9

� =�
sehingga
�

+1

0=�

+1

� =�

+1

� =

+1

� ≡ �∗,

�−1 −

�−1

−

�−1 −

�−1

,

�−1

�−1 −

�−1

�−1 −

= 1,2,3.

�

,

= 1,2,3

� ,

−

,

Kecepatan kesetimbangan untuk kendaraan ke- ekivalen dengan fungsi kecepatan
optimal � ∗ . Sehingga diperoleh titik kesetimbangan berikut
�

�∗ � ,

�=

� = � ∗� +

∗

= 1,2,3

,

dengan ∗ merupakan konstanta yang menunjukkan posisi kendaraan ke- .
Jarak antara kendaraan awal dengan kendaraan di depannya bernilai sama
yaitu nilai jarak rata-rata yang diperoleh dari panjang lintasan jalan lingkar dibagi
banyaknya kendaraan
∗
2

−

∗
1

=

∗
3

−

∗
2

=

∗
1

−

∗
3

�

+ � = ≔ ℎ∗ ,
3

sehingga titik kesetimbangan terpenuhi dengan syarat
�∗ =

ℎ∗ < � 0 .

Gangguan (Perturbation) Arus Seragam
Mempelajari pemodelan lalu lintas tentu tidak lepas dari gangguan
(perturbation) dalam lalu lintas itu sendiri. Jika terjadi gangguan pada satu
kendaraan maka akan berpengaruh terhadap kendaraan yang lainnya. Gangguan
dari titik kesetimbangan didefinisikan sebagai berikut
� ≔

� −

� ,

= 1,2,3.

(11)

Persamaan tersebut menjelaskan terjadinya gangguan kendaraan ke- merupakan
selisih dari posisi kendaraan ke- terhadap posisi kesetimbangan kendaraan keitu sendiri.
Model mobil pengikut sesuai dengan sistem persamaan (9) dan diberikan
gangguan (perturbation) sesuai persamaan (11) akan membentuk persamaan baru
berupa persamaan diferensial taklinear. Penyelesaian dari persamaan tersebut akan
dilakukan pelinearan menggunakan ekspansi Taylor dari fungsi kecepatan optimal
(ℎ) dengan ℎ = ℎ∗ = �/3. Ekspansi Taylor ini dilakukan sampai orde ke tiga
dari , dengan mengeliminasi order ke nol sehingga

10

1

2

3

� = −�

� = −�

� = −�

1

2

3

� +�

� +�

=1,2,3

=1,2,3

� +�

=1,2,3

ℎ∗ ,

ℎ∗ =

ℎ∗

�−1 −

2

ℎ∗

�−1 −

3

ℎ∗

�−1 −

1

1

2

3

�−1

�−1

�−1

,

dengan
1

ℎ∗ =

′

2

1
"(ℎ∗ ),
2

3

ℎ∗ =

1
′′′(ℎ∗ ).
6

Penjelasan lebih lanjut diberikan pada Lampiran 1.
Persamaan (11) dapat dituliskan menjadi persamaan baru yaitu

dengan

� =�

ℎ∗

� +

� − 1 ; ℎ∗

�−1 +�

1 (�)

3 (�)
1 (�)
2 (�)

;

�−1 ≔

3 (�)

dan
−�
0
0
�=
1
0
0

0
−�
0
0
1
0

0
0
−�
0
0
1

0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0

0
0
0
;
0
0
0

− 1)
2 (� − 1)
3 (� − 1)
1 (� − 1)
2 (� − 1)
3 (� − 1)

1 (�

2 (�)

� ≔

(12)

ℎ∗ = �

1

ℎ∗

0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0

0 −1 1
0
0 0 −1 1
0 1
0 −1
;
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0

11

=2,3

�

� − 1 ; ℎ∗ = �

=2,3

=2,3

ℎ∗ (

ℎ∗ (

ℎ∗ (

�−1 −

5

�−1 −

6

�−1 −

4

0
0
0

4

5

6

�−1 )

�−1 )

.

�−1 )

(13)

Persamaan
� merupakan persamaan taklinear yang terdiri dari tiga
komponen. Komponen pertama merupakan perkalian matriks � dengan � ,
komponen kedua merupakan perkalian antara matriks ℎ∗ dengan � − 1 , dan
komponen ketiga merupakan matriks � � − 1 ; ℎ∗ merupakan fungsi berorde
tinggi. Selanjutnya dilakukan pelinearan dari persamaan (12) akan diperoleh
� =�

� +

ℎ∗

�−1 .

(14)

Matriks � + ℎ∗ pengganti dari matriks Jacobi. Persamaan (14) diperoleh
ketika terjadi kesetimbangan, di mana dari persamaan (13) selisih jarak antara dua
kendaraan pada � � − 1 ; ℎ∗ bernilai nol sehingga � � − 1 ; ℎ∗ bernilai nol
juga. Hal ini dikarenakan posisi kendaraan pada keadaan setimbang bernilai sama.
Analisis Kestabilan
Analisis kestabilan (steady state) diperoleh
� = �� , ∈ ℂ6 , dan � ∈ ℂ maka diperoleh
� =�

��

dengan

memisalkan

.

(15)

Selanjutnya persamaan (15) disubstitusikan ke persamaan (14) menjadi
� = � � + ℎ∗ � − 1
�(�−1)
� �� = � �� + ℎ∗
�� −�
� �� = � �� + ℎ∗
∗
−�
� =� + ℎ
� − � − ℎ∗ −� = �.

Persamaan karakteristik diperoleh

det � − � − ℎ∗ −� = 0
⇔ (�2 + �� + � 1 ℎ∗ −� )3 − (�

1

ℎ∗

−� 3

) = 0.

(16)

Penjelasan lebih lanjut diberikan pada Lampiran 2.
Perilaku kestabilan titik kesetimbangan ditentukan oleh bagian real solusi
persamaan karakteristik persamaan (16). Titik bifurkasi didefinisikan 1 ℎ∗ =

12

ℎ∗ = ′(ℎ∗ ) dan ℎ∗ = ℎ∗ . Hal ini akan menunjukkan terjadinya bifurkasi
Hopf apabila
1

� ℎ∗

=±

ℝ+.

,

Untuk mengetahui batas bifurkasi Hopf dalam parameter ruang maka
menyubstitusikan � =
ke dalam persamaan karakteristik (16). Berdasarkan
jurnal Orosz et al. (2005), pemisahan bagian real dan imajiner diberikan sebagai
berikut
′ ℎ∗ =

2 cos

� = − cot

−

�

sin
�
,
−

�

,

dengan jumlah kendaraan hanya ada tiga ( = 3) dan kendaraan yang melintasi
jalan lingkar hanya satu kali putaran ( = 1), sehingga
′ ℎ∗ =

� ,
3 cos( − )
3
�
� = − cot
− ,
3

(17)

dengan ′ ℎ∗ merupakan bagian real, � merupakan bagian imajiner, dan batas
�
∈ 0, . Selanjutnya akan diperoleh garis asimtot vertikal konvergen menuju
3

′

ℎ∗ =

3
� ≅ 0.604.
9

(18)

Simulasi Model
Pada bagian ini akan diberikan simulasi menggunakan program
Mathematica 9.0 untuk menunjukkan grafik hubungan dua variabel, yaitu
hubungan posisi kendaraan terhadap waktu, hubungan parameter sensitivitas �
dengan turunan fungsi kecepatan optimal ′(ℎ) , dan hubungan parameter
sensitivitas � dengan headway h yang dipengaruhi oleh kecepatan yang
diinginkan � 0 .

Hubungan Posisi Kendaraan terhadap Waktu
Hal pertama yang akan dijelaskan pada bagian simulasi adalah hubungan
posisi terhadap waktu (�) dan dipengaruhi dengan parameter sensitivitas �.
Berdasarkan persamaan (17) diperoleh
ℎ∗ =

3
�ℎ = 0.604ℎ.
9

(19)

13

Selanjutnya persamaan (19) disubstitusikan ke persamaan (9), sehingga dapat
dituliskan menjadi
1
2
3

� =�
� =�
� =�

ℎ∗ −
ℎ∗ −
ℎ∗ −

1
2
3

�
�
� .

Diberikan nilai awal untuk
1 0 = 0, 2 0 = 0, 3 0 = 0, 1 0 =
0, 2 0 = 30, dan 3 0 = 60 untuk parameter sensitivitas �1 = 0.1 , �2 = 0.7
dan waktu perjalanan � ∈ (0,12). Berikut adalah gambar grafik hubungan antara
posisi kendaraan dengan waktu. Untuk mendapatkan Gambar 3 dapat dilihat pada
Lampiran 3.

Gambar 3 Grafik hubungan posisi kendaraan dengan waktu.
Keterangan gambar:
Posisi kendaraan ke-1 (
Posisi kendaraan ke-2 (
Posisi kendaraan ke-3 (
Posisi kendaraan ke-1 (
Posisi kendaraan ke-2 (
Posisi kendaraan ke-3 (

dengan � = 0.1
2 ) dengan � = 0.1
3 ) dengan � = 0.1
1 ) dengan � = 0.2
2 ) dengan � = 0.2
3 ) dengan � = 0.2
1)

Gambar 3 dapat dijelaskan bahwa kendaraan berjalan secara seragam.
Semakin besar nilai parameter sensitivitas � maka grafik hubungan posisi dan
waktu semakin curam sedangkan semakin kecil nilai parameter sensitivitas �
maka grafiknya semakin landai. Hal ini menunjukkan ketika parameter sensitivitas
� semakin besar maka waktu yang digunakan berpindah semakin sedikit. Berlaku
juga untuk sebaliknya.

14

Hubungan Percepatan dengan Parameter Sensitivitas
Berdasarkan sistem persamaan (17) yang merupakan anggota bilangan
kompleks. Persamaan tersebut dipisahkan menjadi bagian real ′ ℎ∗ dan
imajiner � . Oleh karena itu, bagian ini bertujuan untuk mengetahui hubungan
keduanya. Untuk mendapatkan Gambar 4 dapat dilihat pada Lampiran 4.

Gambar 4 Grafik hubungan parameter sensitivitas � dengan turunan fungsi
kecepatan optimal (percepatan) ′ ℎ∗ .

Gambar 4 menunjukkan hubungan parameter sensitivitas � sebagai fungsi
kemiringan dari turunan fungsi kecepatan optimal yang bergantung terhadap ratarata headway ′ ℎ∗ . Berdasarkan persamaan (18), grafik ini memiliki bentuk
� 3

monoton dengan sebuah garis asimtot vertikal ′max = 9 ≅ 0.604. Turunan
fungsi kecepatan optimal sering disebut dengan percepatan kendaraan. Apabila
percepatan kendaraan semakin membesar maka nilai parameter sensitivitas �
semakin membesar pula. Namun pada optimal batas atas kecepatan, semakin
membesarnya nilai parameter sensitivitas � tidak akan mempengaruhi percepatan
kendaraan tersebut. Pada simulasi ini, dapat diketahui perubahan kestabilan atau
terjadinya bifurkasi Hopf ditandai oleh kurva kemiringan ( ′ , �). Daerah stabil
ditunjukkan pada bagian kiri kurva dan secara linear tidak stabil di sebelah kanan
kurva. Daerah yang stabil menunjukkan lalu lintas pada kondisi normal, tidak
terjadi kecelakaan lalu lintas. Sedangkan daerah yang tidak stabil menggambarkan
kondisi lalu lintas rawan terjadi kecelakaan.

15

Hubungan Headway dengan Parameter Sensitivitas
Berdasarkan persamaan (10) akan ditunjukkan hubungan parameter
sensitivitas � dengan rata-rata headway ℎ∗ . Hal ini dipengaruhi oleh kecepatan
yang diinginkan � 0 , dengan nilai yang diberikan � 0 = 0.5 ; 1. Untuk
mendapatkan Gambar 5 dapat dilihat pada Lampiran 5. Berikut adalah grafik
(ℎ∗ , �) yang diperoleh.

Gambar 5 Grafik hubungan parameter sensitivitas � dengan rata-rata
headway ℎ∗

Gambar 5 menunjukkan grafik hubungan antara parameter sensitivitas �
dengan rata-rata headway ℎ∗ . Daya tarik utama pada bagian ini adalah
mengonversi Gambar 4 yaitu grafik ( ′ , �) ke sebuah grafik kestabilan (ℎ∗ , �).
Pada kasus sebelumnya, ′ ℎ∗ memiliki hanya satu nilai maksimum pada
� 3

interval ℎ ∈ 1, ∞ berupa ′max =
≅ 0.604. Oleh karena itu, grafik
9
∗
kestabilan (ℎ , �) dapat diperoleh dari grafik ( ′ , �). Sesuai Gambar 5, daerah
yang diarsir itu stabil.
Untuk
ℎ∗
yang diberikan oleh persamaan (10), diperoleh
3

2 2

′

0
0
max = 3 � ≅ 0.8399� . Oleh karena itu, dengan dua nilai berbeda dari
kecepatan yang diinginkan � 0 , dapat dijelaskan dalam dua kasus dari
grafik (ℎ∗ , �).
1 Kasus pertama ditunjukkan pada Gambar 5 dengan � 0 = 0.5. Nilai maksimum
′
max terdapat pada Gambar 4 bagian sebelah kiri garis asimtot. Hal ini sesuai

dengan � 0 <
∗

3�

3

6 2

≅ 0.7198. Pada kasus ini ada parameter sensitivitas kritis

� , sehingga untuk � > � ∗ menunjukkan kesetimbangan aliran seragam stabil
untuk semua nilai rata-rata headway ℎ∗ . Untuk � < � ∗ , dibatasi interval ratarata headway ℎ∗ merupakan kesetimbangan tidak stabil.
2 Kasus kedua yang ditunjukkan pada Gambar 5 dengan � 0 = 1. Nilai
maksimum ′ max terdapat pada Gambar 4 sebelah kanan garis asimtot. Hal ini

16

sesuai dengan � 0

3�
3

6 2

≅ 0.7198. Pada kasus ini, untuk beberapa nilai � ada

interval tidak stabil dari rata-rata headway ℎ∗ . Hal ini tidak memungkinkan
untuk membuat stabil semua aliran seragam dengan meningkatkan nilai
parameter sensitivitas �.
Kasus di atas menunjukkan bahwa dengan menaikkan nilai kecepatan yang
diinginkan � 0 dan parameter sensitivitas � menurun, hanya akan memperluas area
tidak stabil dari interval rata-rata headway ℎ∗ .

SIMPULAN
Sistem dinamik model mobil pengikut terdiri dari tiga persamaan diferensial
taklinear homogen orde dua. Masing-masing persamaan dipengaruhi oleh fungsi
kecepatan optimal, waktu tunda � − 1 , dan parameter sensitivitas �. Sistem
tersebut dianalisis dengan cara menentukan titik kesetimbangan, menentukan
gangguan arus seragam, dan mengevaluasi kestabilan.
Hubungan posisi kendaraan terhadap waktu dengan dipengaruhi parameter
sensitivitas � dapat diketahui bahwa kendaraan dapat berjalan secara seragam
ketika kecepatan kecepatan kendaraan tersebut konstan. Apabila parameter
sensitivitas � meningkat maka waktu yang dibutuhkan kendaraan untuk berpindah
posisi semakin sedikit. Hubungan percepatan kendaraan dengan parameter
sensitivitas � ditunjukkan dengan semakin meningkatnya percepatan kendaraan
maka parameter sensitivitas � semakin meningkat pula. Namun, pada optimal
batas atas kecepatan, semakin meningkatnya nilai parameter sensitivitas � tidak
akan mempengaruhi percepatan kendaraan tersebut. Pada bagian ini dapat
diketahui perubahan kestabilan atau terjadinya bifurkasi Hopf. Selanjutnya
hubungan rata-rata jarak antar kendaraan dengan parameter sensitivitas
menunjukkan bahwa dengan menaikkan nilai kecepatan yang diinginkan � 0 dan
parameter sensitivitas � menurun, hanya akan memperluas area tidak stabil dari
interval rata-rata jarak antar kendaraan.

DAFTAR PUSTAKA
Arovas D. 2006. Lecture Notes on Nonlinear Dynamics. San Diego (US):
University of California.
Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their Applications.
New York (US): Mc Graw-Hill.
Huntley ID, Johnson RM. 1983. Linear and Nonlinear Differential Equations.
Chichester : Ellis Horwood Ltd.
Kuang Y. 1993. Delay Differential Equation with Application in Population
Dynamics. Boston (US): Academic Press.
Kusnetsov YA. 1998. Element of Applied Bifurcation Theory. New York (US):
Springer-Verlag.

17

Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Bondan A, penerjemah; Hardani
HW, editor. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with
Applications. Ed ke-5.
Orosz G, Krauskopf B, Wilson RE. 2005. Bifurcation and Multiple Traffic Jams
in Car-Following Model with Reaction-Time Delay. Physica D 211: 277293. doi: 10.1016/j.physd.2005.09.004.
Stépán G, Orosz G. 2006. Hopf calculation in delayed car-following models.
Proceedings of the 6th IFAC Workshop on Time Delay Systems C. Manes
and P. Pepe eds.6:193-198. doi:10.3182/20060710-3-IT-4901.00032.
Strogatz SH.1994. Nonlinear Dynamics and Chaos with Applications to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts (US): Addison-Wesley
Publishing Company.
Tu PNV. 1994. Dynamical System, An Introduction with Application in
Economics and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag.
Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential Equation and Dynamical System.
Heidelberg (DE): Springer-Verlag.

18

Lampiran 1 Ekspansi Taylor
1

=�

=−�

1

�−1 −

2

� =−�

=−�

� +�

1

=−�
2

=�

1

2

1 (ℎ

2

� =−�

′′

),

2

(ℎ∗ ) =

1

2 (ℎ

� +�
2
2

=−�

2

(ℎ∗ )

=1,2,3

�−1 −

dengan ′(ℎ∗ ) =

=−�

∗

� +�

1

=−�

�−1 −

−

1

�

�−1

∗

),

′′′

6

(ℎ∗ ) =

2
3

3 (ℎ

∗

)

� + � 1 (ℎ∗ ) ( 2 � − 1 − 1 � − 1) 1
+ � 2 (ℎ∗ )( 2 � − 1 − 1 � − 1) 2
+ � 3 (ℎ∗ ) ( 2 � − 1 − 1 � − 1) 3

1

3

=−�

2

�−1

� + � (ℎ∗ ) 2 � − 1 − 1 � − 1
1
′(ℎ∗ )
� +�
�
−
1
�
−
1
−
1
2
1!
∗
′′(ℎ )
+�
2 �−1 − 1 �−1
2!
′′′(ℎ∗ )
+�
2 �−1 − 1 �−1
3!

1

dengan ′(ℎ∗ ) =
=−�

1

2

3

�−1 −

2

�−1

�−1 −

−
2

2

1

�−1

�

�−1

� + � (ℎ∗ ) 3 � − 1 − 2 � − 1
1
′(ℎ∗ )
� +�
�
−
1
�
−
1
−
2
3
1!
∗
′′(ℎ )
+�
3 �−1 − 2 �−1
2!
′′′(ℎ∗ )
+�
3 �−1 − 2 �−1
3!

1 (ℎ

2

∗

′′

),

2

(ℎ∗ ) =

� + � 1 (ℎ∗ )

2 (ℎ

3

+ � 2 (ℎ∗ )

+ � 3 (ℎ∗ )

� +�

3

(ℎ )

=1,2,3

),

′′′

6

(ℎ∗ ) =

�−1 −

3

∗

∗

2

�−1 −

�−1 −

3

�−1 −

2

3

3 (ℎ

�−1

2

2

�−1

∗

1

�−1

2

)

2

�−1

3

19

3

=�

=−�
3

�−1 −

1
3

� +�

�−1

3

−

�−1 −

1

3

3

�

�−1

� + � (ℎ∗ ) 1 � − 1 − 3 � − 1
1
′(ℎ∗ )
�
−
1
�
−
1
−
=−� 3 � +�
3
1
1!
∗
′′(ℎ )
+�
1 �−1 − 3 �−1
2!
′′′(ℎ∗ )
+�
1 �−1 − 3 �−1
3!

� =−�

3

dengan ′(ℎ∗ ) =
=−�

3

1 (ℎ

∗

),

′′

2

(ℎ∗ ) =

� + � 1 (ℎ∗ )

1

+ � 2 (ℎ∗ )

+ � 3 (ℎ∗ )

=−�

3

� +�

=1,2,3

2 (ℎ

∗

),

′′′

6

(ℎ∗ ) =

�−1 −

1

1

(ℎ∗ )

3

�−1 −

�−1 −
1

3 (ℎ

�−1

3

3

�−1 −

3

)

1

�−1

�−1
3

∗

2

2
3

�−1

Sehingga dapat dituliskan dalam bentuk matriks
1
2
3
1
2
3

�
�
�
�
�
�

−�
0
0
=
1
0
0

0
−�
0
0
1
0

0
0
−�
0
0
1

0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0

1
2
3
1
2
3

0
0
0
+ � 1 (ℎ∗ )
0
0
0

0
0
0
0
0
0

�
�
�
�
�
�

0 −1 1
0
0 0 −1 0
0 1
0 −1
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0

1
2
3
1
2
3

�−1
�−1
�−1
�−1
�−1
�−1

20

=2,3
=2,3

+�

=2,3

(ℎ∗ )

(ℎ∗ )

(ℎ∗ )

2
3
1

�−1 −

�−1 −

�−1 −
0
0
0

1
2
3

�−1

�−1

�−1

.

Menjadi persamaan baru
� =�

� +

ℎ∗

�−1 +�

� − 1 ; ℎ∗ .

Lampiran 2 Persamaan karakteristik
Menggunakan software Mathematica diperoleh persamaan karakteristik
sebagai berikut:

21

22

� �;

=

1
−2�

ℎ∗

= det � − � −

� � + � [3

= �2 + �� [3

1

ℎ

1
∗

ℎ∗

2 2

� +3

2 2 −2�

�

= �2 + �� [ �2 + �� 2 + 3
= �2 + �� + 1 ℎ∗ � −� −
+

+

= �2 + �� +

1

1

1
∗

ℎ∗ �
ℎ∗ �

ℎ �

−�

ℎ∗

1

+3

ℎ∗ �
∗
1 ℎ �

1

−� 2

−� 2

−

−�

1

+

1

ℎ∗ �

ℎ∗

1 ℎ
−�

∗

�

�

�� � + � +
−�

� � + � 2]

2� 2

�2 + �� + �2 + �� 2 ]
2

�2 + �� + 3 1 ℎ∗ � 2 −2� ]
−�
[ �2 + �� 2 + 2 1 ℎ∗ � −� �2 + ��

ℎ∗ �
−�

+ �2 + �� + � 1 ℎ∗ −�
= (�2 + �� + � 1 ℎ∗ −� )3 − (� 1 ℎ∗

−�

�2 + �� +

[ �2 + �� + �

ℎ∗ �
−� 3
) = 0.
1

−�

1

+

1

ℎ∗

1

ℎ∗ �
−� 2

ℎ∗ �

−� 2

−� 2

]

Lampiran 3 Menggunakan software Mathematica untuk memperoleh Gambar 3

23

24

Lampiran 4 Menggunakan software Mathematica untuk memperoleh Gambar 4

25

Lampiran 5 Menggunakan software Mathematica untuk memperoleh Gambar 5

26

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kudus pada tanggal 4 Mei 1992 dari pasangan Bapak
Arif Suharyono dan Ibu Waryati. Penulis merupakan anak pertama dari dua
bersaudara. Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Kudus dan pada tahun
yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur
Ujian Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah aktif di beberapa organisasi
kemahasiswaan. Di antaranya sebagai RT Lorong 10 Asrama A1 TPB IPB, Ketua
Bidang PSDM Organisasi Mahasiswa Daerah Keluarga Kudus Bogor, Sekretaris
Divisi Muslimah Center (MC) FMIPA IPB 2010. Selain itu, penulis aktif dalam
berbagai kepanitiaan, di antaranya Staf Kesekretariatan Panitia Festival Ilmuwan
Muslim Nasional 2011, Sekretaris Divisi Humas Panitia Festival Ilmuwan Muslim
Nasional 2012, Ketua Divisi Konsumsi Festival Ilmuwan Muslim Nasional 2013,
dan Staf Kesekretariatan Panitia Pesta Sains 2012. Penulis juga mengikuti Pekan
Kreativitas Mahasiswa bidang Kewirausahaan dengan mengangkat tema
“Missingyou” Mi Super Singkong Hanya Untukmu, serta pernah menjadi staf
pengajar matematika di beberapa lembaga bimbingan belajar.