Bilangan Ukuran Ramsey Dari Pohon
BILANGAN UKURAN RAMSEY DARI POHON
TESIS Oleh BISTOK PURBA 097021055/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
BILANGAN UKURAN RAMSEY DARI POHON
TESIS Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara Oleh
BISTOK PURBA 097021055/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi
: BILANGAN UKURAN RAMSEY DARI POHON
: Bistok Purba : 097021055 : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, MSc) Anggota
Ketua Program Studi,
Dekan,
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 15 Juni 2011
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 15 Juni 2011
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si 3. Drs. Marwan Harahap, M.Eng
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
BILANGAN UKURAN RAMSEY DARI POHON
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, 15 Juni 2011 Penulis, Bistok Purba
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Diberikan suatu graph G, bilangan Ukuran-Ramsey rˆ(G) adalah bilangan minimum m dimana terdapat suatu graph F atas m edge sedemikian sehingga setiap dua-pewarnaan edge-edge dari F memenuhi pewarnaan monokhromatik dari G. Pada Tesis ini dibicarakan/diperkenalkan invariant β(T ) untuk pohon dan ditunjukkan bahwa rˆ(T ) = Ω(β(T )). Selain itu diperkirakan bahwa rˆ(T ) = O(β(T )). Perkiraan ini diselesaikan dengan memberikan suatu famili graph dan skema embedding untuk pohon. Kata kunci : Pohon, Algoritma embedding pohon, Bilangan ukuran Ramsey
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT Given a graph G, the size-Ramsey numbers rˆ(G) is the minimum number m for which there exists a graph F on m edges such that every two-coloring edges of F admits a monokhromatik copy of G. In this thesis, it is talked/interoduced invariant β(T ) for trees and showed that rˆ(T ) = Ω(β(T )). Beside that, it is thought that rˆ(T ) = O(β(T )). These estimates are solved by providing a family of graphs and an embedding scheme for trees. Keywords : Trees, Algorithm embedding trees, Size-Ramsey numbers.
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji dan Syukur penulis ucapkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa karena berkat kasih dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahaan dan Tesis ini tepat pada waktunya. Tesis ini berjudul ” Bilangan Ukuran Ramsey Dari Pohon” sebuah kajian yang meneliti tentang bilangan ukuran Ramsey dari Pohon sebagai salah satu syarat atau tugas akhir yang harus diselesaikan untuk memperoleh gelar Magister Sains (M.Si) pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara (USU). Dari awal perkuliahaan sampai penyusunan Tesis ini penulis banyak mendapat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang tak terhingga kepada:
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu DTM&H, MSc(CTM), SpA(K), selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Ir. Rahim Matondang, MSIE, selaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti program belajar pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mewengkang, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, dan Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc selaku Dosen Pembimbing yang telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dari awal hingga selesainya tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, dan Drs. Marwan Harahap, M.Eng selaku pembanding dan penguji atas segala saran , masukan dan petunjuk yang diberikan.
Gubernur Sumatera Utara melalui Badan Perencanaan Pembangunan Daerah (BAPPEDA) yang telah memberikan kepada penulis Beasiswa Pendidikan Pascasarjana di Universitas Sumatera Utara.
iv
Universitas Sumatera Utara
Bapak H. T. Erry Nurady, M.Si selaku Bupati Serdang Bedagai dan Bapak Drs.Rifai Bakri Tanjung, M.AP selaku Kepala Dinas Pendidikan Serdang Bedagai yang telah memberikan Ijin perkuliahaan dan bantuan dana.
Bapak Drs. Ruslin Nasution selaku Kepala SMA Negeri 1 Dolok Masihul yang telah memberikan dorongan, motivasi dan rekomendasi.
Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara yang telah penuh ihklas mentransferkan ilmunya sehingga sangat membantu penulis untuk memperkaya wawasan dan cakrawala pengetahuan yang sangat berguna dalam menyelesaikan tesis ini.
Rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU angkatan tahun 2009 yang telah banyak membantu penulis dalam perkuliahan maupun dalam penulisan tesis ini dan tidak lupa penulis ucapkan terimakasih untuk Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis yang berhubungan dengan administrasi selama penulis mengikuti pendidikan.
Keluarga besar SMAN 1 Dolok Masihul yang terus mendo’akan dan memotivasi penulis selama mengikuti pendidikan di Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Ayahanda dan Ibunda tercinta atas segala bantuannya baik doa maupun nasehat yang sangat bermanfaat bagi penulis guna terselesaikannya tesis ini. Seluruh keluargaku, Istri tercinta (Betty Rondang Sihombing, S.Pd) yang memberikan dorongan dan semangat.
Penulis menyadari sebagai manusia biasa mempunyai banyak kekurangan khususnya dalam penulisan tesis ini. Untuk itu semuanya diserahkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa. Amin.
Medan, Juni 2011
Bistok Purba
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP Penulis bernama Bistok Purba dilahirkan di Panombean pada tanggal 2 Mei 1970 anak ke-empat dari delapan orang bersaudara. Nama ayah J. Purba dan Ibu E. Butar-butar. Tamat dari SD Inpres Panombean tahun 1984, melanjut ke SMP Negeri 1 Rajabuluh dan tamat tahun 1987, kemudian melanjutkan ke SMA swasta Bersama Berastagi dan tamat tahun 1991. Pada tahun 1992 kuliah di FPMIPA IKIP Negeri Medan Jurusan Matematika tamat tahun 1997.
Riwayat pekerjaan formal penulis dimulai pada tahun 1997 sebagai Pegawai Negeri, Guru pada SMA Negeri 1 Dolok Masihul. Penulis menikah dengan Betty Rondang Sihombing pada tahun 2010 dan sekarang sedang menunggu kelahiran sibuah hati. Pada tahun 2009 penulis mendapat beasiswa dari Gubernur Sumatera Utara melalui BAPEDA dan Pemerintah Kabupaten Serdang Bedagai untuk melanjutkan studi S2 Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Pada tahun 2010 penulis diangkat menjadi Pengawas Sekolah Mata Pelajaran Matematika di Kabupaten Serdang Bedagai.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metodologi Penelitian BAB 2 BEBERAPA ISTILAH DARI GRAPH 2.1 Graph 2.2 Jenis Graph 2.3 Beberapa Notasi dan Defenisi BAB 3 LANDASAN TEORITIS 3.1 Garis-garis Besar Kasus yang Lebih Sederhana 3.2 Skema Embedding (Embedding Scheme)
Halaman
i ii iii iv vi vii ix
1
1 2 2 3 3
4
4 6 9
12
12 14
vii
Universitas Sumatera Utara
3.3 Sifat-sifat dari Bipartite Graph Acak
15
BAB 4 HASIL UTAMA
26
4.1 Skema Embedding untuk Tree (An Embedding Scheme For Trees) 26
4.2 Bilangan Ukuran-Ramsey dari Tree.
39
BAB 5 KESIMPULAN
41
DAFTAR PUSTAKA
42
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
2.1 Presentasi grafis dari G(6, 9)
2.2 Nullgraph berorder 4
2.3 Komplit graph berorder 3
2.4 Komplit bigraph berorder 5
2.5 Pohon berorder 9
2.6 Graph path
2.7 Graph sikel
Halaman 5 6 7 7 8 8 9
ix
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Diberikan suatu graph G, bilangan Ukuran-Ramsey rˆ(G) adalah bilangan minimum m dimana terdapat suatu graph F atas m edge sedemikian sehingga setiap dua-pewarnaan edge-edge dari F memenuhi pewarnaan monokhromatik dari G. Pada Tesis ini dibicarakan/diperkenalkan invariant β(T ) untuk pohon dan ditunjukkan bahwa rˆ(T ) = Ω(β(T )). Selain itu diperkirakan bahwa rˆ(T ) = O(β(T )). Perkiraan ini diselesaikan dengan memberikan suatu famili graph dan skema embedding untuk pohon. Kata kunci : Pohon, Algoritma embedding pohon, Bilangan ukuran Ramsey
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT Given a graph G, the size-Ramsey numbers rˆ(G) is the minimum number m for which there exists a graph F on m edges such that every two-coloring edges of F admits a monokhromatik copy of G. In this thesis, it is talked/interoduced invariant β(T ) for trees and showed that rˆ(T ) = Ω(β(T )). Beside that, it is thought that rˆ(T ) = O(β(T )). These estimates are solved by providing a family of graphs and an embedding scheme for trees. Keywords : Trees, Algorithm embedding trees, Size-Ramsey numbers.
iii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Untuk graph G dan H, bilangan Ukuran-Ramsey rˆ(G, H), merupakan bilangan terkecil m sedemikian sehingga terdapat suatu graph F atas m edge dengan sifat bahwa, dalam setiap pewarnaan merah-biru atas edge-edge dari F , terdapat pewarnaan merah dari G atau pewarnaan biru dari H. (Erdos et al., 1978).
Untuk suatu bilangan riil α ∈ [0, 1] dan graph F, G dapat ditulis F →α Gjika setiap subgraph F ′ ⊆ F dengan e(F ′) ≥ αe(F ) memuat suatu copy dari G sebagai subgraph. Perhatikan bahwa jika F →1/2 G maka rˆ(G) = rˆ(G, G) ≤ e(F ).
Telah diketahui dengan jelas bahwa rˆ(Kn) tumbuh secara eksponensial sesuai dengan n. Sebaliknya, Beck (1983), dalam menjawab pertanyaan-pertanyaan Erdos, menunjukkan bahwa untuk Pt, path atas t vertex, diperoleh
rˆ(Pt) = rˆ(Pt, Pt) ≤ 900t
Ternyata, Beck membuktikan bahwa untuk setiap α ∈ [0, 1] terdapat c = c(α) sedemikian sehingga a.a.s. (asymtotically almost surely), hampir pasti secara asymptotik graph acak G = Gn,c/n memenuhi G →α P⌊n/c⌋.
Friedman dan Pippenger (1987) meningkatkan hasil ini dengan menunjukkan bahwa setiap pohon (tree) dengan degree maksimum ∆ dan t vertex mempunyai bilangan ukuran-Ramsey c(∆)t, di mana c(∆) = O(∆4). Ini kemudian ditingkatkan menjadi c(∆) = O(∆2) oleh Ke (1993) dan menjadi c(∆) = O(∆) oleh Haxell dan Kohayakawa (1995).
Walaupun pohon (tree) tertentu T mempunyai ukuran-Ramsey dengan orde ∆ (T ) |T |, jelas bahwa ukuran-Ramsey dari star K1,t tidak dengan orde t2. Tentu saja, K1,α−1t →α K1,t untuk setiap α ∈ [0, 1]. Karenanya, batas ∆ (T ) |T | bisa jauh dari optimal dalam banyak kasus.
1
Universitas Sumatera Utara
2
Beck (1983) memperkenalkan invariant (tree) β (T ) yang didefinisikan sebagai berikut. Misalkan V (T ) = V0 (T ) ∪ V1 (T ) merupakan partisi yang ditentukan oleh dua-pewarnaan unik yang tepat dari himpunan vertex dari T . Tetapkan ∆i = ∆i (T ) = max{dT (v) : v ∈ Vi (T )} dan ni = ni (T ) = Vi (T ) untuk i = 0, 1 dan misalkan β (T ) = n0∆0 + n1∆1. Dengan meningkatkan hasil yang dicapainya sebelumnya, Beck (1983) membuktikan bahwa untuk setiap (tree) T ,
β (T ) /4 ≤ rˆ (T ) ≤ O β (T ) (log |T |)12
dan memperkirakan bahwa rˆ(T ) = O (β (T )). Haxell dan Kohayakawa (1995) meningkatkan secara signifikan batas atas untuk rˆ(T ) = O (β (T ) log ∆ (T ))
Perkiraan ini diselesaikan dengan menunjukkan bahwa untuk setiap (n0, ∆0, n1, ∆1) dan α ∈ [0, 1] terdapat N0, N1 dan p ∈ [0, 1] dengan pN0N1 = Oα (n0∆0 + n1∆1) sedemikian sehingga a.a.s. bipartite graph acak G = GN0,N1;p memenuhi G →α T untuk setiap (tree) T dengan ∆i (T ) ≤ ∆i dan ni (T ) ≤ ni, untuk i = 0, 1. Karena a.a.s. G mempunyai O(pN0N1) edge, maka bilangan ukuran-Ramsey dari setiap pohon (tree) T adalah berorde β (T ).
Embedding T ke dalam G dilakukan dengan algoritma. Diyakini bahwa metode algoritma ini memang menarik dan bisa berguna dalam konteks serupa lainnya. Ternyata, dalam penelitian bersama dengan Kohayakawa, Rodl dan Rucinski (2008), digunakan teknik analog dalam algoritma yang mengembed graph berdegree terbatas ke dalam graph acak yang tidak padat.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah diatas, yang merupakan perumusan masalah dalam tesis ini adalah bagaimana menentukan bilangan ukuran Ramsey dari pohon (tree).
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun yang merupakan tujuan dari penelitian ini adalah untuk memperoleh bilangan ukuran Ramsey dari pohon (tree).
Universitas Sumatera Utara
3 1.4 Manfaat Penelitian
Untuk mengembangkan teori graph terutama tentang bilangan ukuran Ramsey dari pohon (tree). 1.5 Metodologi Penelitian
Metode dalam penelitian ini adalah studi literatur dari berbagai referensi yang relevan dengan bilangan ukuran Ramsey dari pohon. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut :
1. Menjelaskan tentang pohon (tree). 2. Menjelaskan algoritma embedding pohon (tree). 3. Melakukan pengkajian tentang bilangan ukuran Ramsey dari pohon (tree).
Universitas Sumatera Utara
BAB 2 BEBERAPA ISTILAH DARI GRAPH
Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dan terminologi dalam graph yang akan dipergunakan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini. Juga akan dibahas beberapa jenis graph yang akan dipergunakan sebagai objek penelitian ini. Semua konsep, terminologi dan jenis graph tersebut akan dipergunakan pada bab pembahasan.
2.1 Graph
Berdasarkan teori graph (Robin dan John, 1990) suatu graph G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (minimal tunggal) bersama-sama dengan suatu himpunan yang anggotanya adalah pasangan yang tak berurut dan verteks yang berbeda pada G yang disebut edge (mungkin kosong), dan dinotasikan dengan G{V (G), E(G)}. Himpunan verteks dari G dinotasikan dengan V (G) dan himpunan edge dinotasikan dengan E(G). Banyaknya anggota dari himpunan verteks pada G disebut order G dan dinotasikan dengan p(G), atau dengan singkat ditulis p.
Edge e = {u, v} atau juga dapat ditulis e = uv adalah sebuah edge dalam G, yaitu u dan v adalah titik-titik ujung dari e, maka u dan v dikatakan adjacent (berelasi) dimana u dan e adalah incedent (terhubung), begitu juga dengan v dan e. Banyaknya edge yang incedent dengan verteks u disebut degree/valensi/derajat dari u, dengan kata lain degree u adalah banyaknya edge yang memuat u sebagai titik ujung. Degree u dinotasikan dengan deg(u).
Berikut ini diberikan beberapa terminologi pada graph, yaitu:
1. Suatu walk adalah barisan berhingga dan verteks dan edge secara bergantian, yang diawali dari verteks dan diakhiri dengan verteks. Bentuk umum dari walk v0, e1, v1, e2, v2, . . . , vn−1, en, vn
4
Universitas Sumatera Utara
5 dalam hal ini v0 merupakan verteks awal dan vn merupakan verteks akhir. Jika verteks awal dan verteks akhir dari suatu walk adalah sama, maka walk disebut close walk (walk tertutup). 2. Suatu trail adalah suatu walk dengan setiap edgenya berlainan. 3. Suatu path adalah suatu walk dengan setiap verteksnya berbeda. 4. Suatu cycle adalah suatu path yang memiliki verteks awal sama dengan verteks akhir. 5. Length (panjang) adalah bilangan yang menyatakan banyaknya edge yang muncul dalam suatu walk. 6. Edge e adalah sebuah jembatan untuk G jika G − e tidak terhubung. Secara umum, edge e adalah jembatan untuk suatu graph G jika G − e mempunyai komponen terhubung lebih dari G. Suatu graph biasanya dipresentasikan secara grafis, dengan setiap verteks dipresentasikan sebagai titik atau lingkaran kecil, dan setiap edge e = uv dipresentasikan dengan sebuah garis atau kurva yang menghubungkan titik-titik yang bersesuaian dengan u dan v.
Gambar 2.1 Presentasi grafis dari G(6, 9)
Universitas Sumatera Utara
6
Berdasarkan gambar 2.1 maka dapat ditentukan :
1. Order graph G adalah 6. 2. Degree verteks v1, v2, v3, v4, v5, dan v6 masing-masing adalah 2, 4, 3, 2, 4, dan
3. 3. Barisan v1, e1, v2, e7, v6, e5, v5, e8, v2, e2, v3 adalah suatu walk dengan panjang
5. 4. Barisan v3, e9, v5, e8, v2, e7, v6 adalah suatu path dengan panjang 3. 5. Barisan v2, e7, v6, e5, v6, e9, v3, e2, v2 adalah suatu cycle dengan panjang 4.
2.2 Jenis Graph Dibawah ini akan dibahas beberapa jenis graph yaitu:
1. Nullgraph adalah suatu graph yang memiliki degree 0 (nol) dan dinotasikan dengan N , dengan p adalah order N. Contoh 2.2.1 v4 v3 •• •• v1 v2 Gambar 2.2 Nullgraph berorder 4
2. Graph komplit adalah suatu graph yang lengkap dengan setiap dua verteks yang berbeda harus adjacent. Graph komplit dinotasikan dengan Kp, dengan p adalah order K.
Teorema 2.2.1 Banyaknya edge pada snatu graph komplit dengan n verteks
adalah
1 2
n(n
−
1)
buah.
Universitas Sumatera Utara
7
Bukti : Untuk membuat sebuah edge memerlukan dua verteks. Karena
banyaknya cara untuk rnemilih dua verteks dari n verteks adalah C(n, 2).
Maka
banyaknya
edge
adalah
C(n, 2)
=
1 2
(n
− 1)
buah.
Contoh 2.2.2
Gambar 2.3 Komplit graph berorder 3
3. Graph bipartisi (bipartite) adalah suatu graph yang memiliki himpunan verteks yang dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian yang saling asing (disjoint), yaitu : V1(G) = {v1, v2 . . . , vi} V2(G) = {vi+1, vi+2, . . . , vn} sedemikian sehingga setiap edge dari G menghubungkan sebuah verteks dari V1(G) kesebuah verteks dan V2(G). Sebuah graph bipartisi lengkap, diartikan bahwa setiap verteks V1(G) dihubungkan ke setiap verteks di V2(G). Graph bipartisi dinotasikan dengan Km, n dengan m adalah jumlah verteks di V1(G) dan n adalah jumlah verteks di V2(G), dan standardisasi, diasumsikan m ≤ n. Contoh 2.2.3
Gambar 2.4 Komplit bigraph berorder 5
Universitas Sumatera Utara
8 4. Pohon (Tree) adalah suatu graph yang tidak memuat loop dan edge paralel
(simple Graph) juga tidak memuat cycle, dan dinotasikan dengan T . Menurut Narsingh Deo (1986) misalkan G adalah suatu graph sederhana, G disebut tree apabila G suatu graph terhubung dan tidak memuat sirkuit. Daun (leaf / terminal verteks) adalah verteks dalam tree yang berderejat 1. Verteks dalam tree yang berderejat > 1 disebut verteks cabang. Contoh 2.2.4
Gambar 2.5 Pohon berorder 9
5. Graph path (path graph) Graph path dengan t verteks dinotasikan dengan P t, yaitu graph yang terdiri dari path tunggal. P t memiliki t − 1 edge. Contoh 2.2.5 Gambar 2.6 Graph path
6. Graph sikel (Cycle graph) Graph sikel adalah graph sederhana yang setiap verteksnya berderajat dua. Graph sikel dengan t verteks dilambangkan dengan Ct, t ≥ 3 adalah graph dengan t verteks yaitu v1, v2, . . . , vt dan edge-edge (v1, v2), (v2, v3), . . . , (vt−1, vt), (vt, v1).
Universitas Sumatera Utara
Contoh 2.2.6
9
Gambar 2.7 Graph sikel
2.3 Beberapa Notasi dan Defenisi
Untuk suatu graph G, bilangan ukuran-Ramsey rˆ(G) adalah bilangan minimum m untuk mana terdapat suatu graph F atas m edge sedemikian sehingga setiap dua-pewarnaan edge-edge dari F memenuhi copy monokhromatik dari G (Erdoset.al. 1978).
Beck (1983) memperkenalkan invariant tree β (T ) yang didefinisikan sebagai berikut. Misalkan V (T ) = V0 (T ) ∪ V1 (T ) merupakan partisi yang ditentukan oleh dua-pewarnaan unik yang tepat dari himpunan vertex dari T . Tetapkan ∆i = ∆i (T ) = max{dT (v) : v ∈ Vi (T )} dan ni = ni (T ) = |Vi (T )| untuk i = 0, 1 dan misalkan β (T ) = n0∆0 + n1∆1. Dengan meningkatkan hasil yang dicapainya sebelumnya, Beck (1983) membuktikan bahwa untuk setiap tree T ,
β (T ) /4rˆ (T ) O β (T ) (log |T |)12
dan memperkirakan bahwa rˆ (T ) = O (β (T )). Haxell dan Kohayakawa (1995) meningkatkan secara signifikan batas atas untuk rˆ(T ) = O (β (T ) log ∆ (T )).
Embedding T ke dalam G dilakukan dengan alagoritma. Diyakini bahwa metode algoritma ini memang menarik dan bisa berguna dalam konteks serupa lainnya. Ternyata, dalam penelitian bersama dengan Kohayakawa, Rodl dan Rucinski (2008), digunakan teknik analog dalam algoritma yang menanamkan graph berdegree terbatas ke dalam graph acak yang tidak padat.
Suatu graph tertentu G = (V, E) dan himpunan-himpunan yang saling lepas S, T ⊆ V , dinotasikan dengan EG(S, T ) himpunan semua edge dengan satu titik ujung di S dan titik ujung lainnya di T dan misalnya eG(S, T ) = |EG(S, T )|.
Universitas Sumatera Utara
10
Neighborhood dari suatu vertex v ∈ V dinotasikan dengan ΓG(v)dn neighborhood dari himpunan S ⊆ V dinotasikan dengan ΓG(S) = ∪v∈SΓG(v).
Definisi 2.3. Diberikan suatu graph G = (V, E), untuk setiap himpunan S ⊂ V , didefinisikan
ΓG ∗ (S) = {v ∈ V : eG({v}, S) = 1} sebagai himpunan neigbor unik dari S.
Jika x, t ∈ R, ε > 0 adalah sedemikian sehingga x ∈ [(1 − ε)t, (1 + ε)t] maka
ditulis x ∼t. Juga akan digunakan notasi standar Ωγ(f (n)), Oγ (f (n)) untuk kelas
semua fungsi dengan batas bawah/atas c(γ)f(n), di mana c = c(γ)adalah konstanta
yang hanya tergantung pada γ. Dalam banyak perhitungan digunakan secara im-
plisit ketaksamaan yang sudah diketahui dengan jelas seperti
1+x
exdan
a b
b
a b
ea b b
(2.1)
Ketaksamaan Chernoff juga digunakan secara ekstensif: untuk ε > 0 dan setiap variabel acak Binomial X dengan parameter n dan p diperoleh
P [|X − np| εep] ex {−Ωε (np)}
(2.2)
Definisi 2.4 (Himpunan LE). Dikatakan bahwa suatu himpunan vertex-vertex S dalam suatu graph G adalah ε -lossles expanding jika |Γ (S) \S| ∼ε e (S, V (G) \S), yaitu, hampir setiap edge dalam S-cut bersesuaian dengan suatu neighbor unik dari S. S disebut dengan singkatan himpunan LE.
Ciri yang berguna dari himpunan LE adalah kekuatannya: sekalipun sebagian besar edge yang incident pada himpunan LE dihapus, sifat LE tetap bertahan. Ini dinyatakan secara formal dalam lemma sederhana berikut.
Lemma 2.5. Misalkan G adalah suatu graph dan S ⊆ V = V (G). Untuk setiap G′ ⊆ G diperoleh
|ΓG (S) \S| eG (S, V \S) + 2 {|ΓG (S) \S| − eG (S, V \S)}
Bukti. Misalkan N menotasikan jumlah edge e = uv dalam eG (S, V \S) sedemikian sehingga vertex-ujung v ∈ V \S memenuhi eG (v, S) ≥ 2. Catat bahwa
Universitas Sumatera Utara
11 |ΓG (S) \S| {eG (S, V \S) − N } + n/2 karena setiap edge yang tidak dihitung oleh N bersesuaian tepat dengan satu neighbor unik dari S dan semua edge yang dihitung N bisa memberi kontribusi dengan paling banyak n/2 neighbor. Diperoleh −N 2 {|ΓG (S) \S| − eG (S, V \S)}. Pernyataan terbukti karena |ΓG (S) \S| eG(S, V \S) − N . Definisi 2.6. Misalkan T adalah suatu pohon (tree) dan V (T ) = V0 (T ) ∪ V1 (T ) adalah bi-partisi kanonik dari T . Tetapkan ni = |Vi (T )| dan ∆i = max{dT (v) : v ∈ Vi(T )}, untuk i = 0, 1. Parameter β (T ) didefinisikan sebagai β (T ) = n0∆0 +n1∆1. Pohon (tree) dengan parameter-parameter ini disebut dengan (n0, ∆0, n1, ∆1)-tree.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3 LANDASAN TEORITIS
3.1 Garis-garis Besar Kasus yang Lebih Sederhana
Domigos Dellamonica (2009) telah mengkaji kasus spesifik yang lebih sederhana dimana dapat mengaplikasikan versi teknik yang lebih sederhana dimana dapat mengaplikasikan versi teknik yang lebih muda dalam membuktikan. Asumsikan bahwa ni dan ∆i tetap dan memenuhi n0∆0 = n1∆1. Asumsi tak-realistis ini adalah eksistensi suatu bipartite graph G yang mempunyai kelas V0, V1 dengan 100ni ≤ |Vi| = Ni = O(ni), i = 0, 1, sedemikian sehingga semua vertex di dalam Vi mempunyai degree Di = O (∆i) dan sedemikian sehingga untuk setiap i dan setiap himpunan S ⊆ Vi, dengan |S| ≤ |Vi−1| /Di diperoleh |ΓG (S)| ≥ (1 − ε)Di untuk suatu bilangan kecil ε ≥ 0. Khususnya, G adalah suatu bipartite graph untuk mana diperoleh ekspansi lossless pada pokoknya untuk semua himpunan (yang jelas, jika S terlalu besar, itu tidak bisa diekspansikan secara lossless).
Selanjutnya diberikan garis-garis besar bagaimana bisa menentukan copy dari (n0, ∆0, n1, ∆1)-tree T dalam suatu subgraph G yang cukup padat. Andaikan bahwa G′ ⊆ G adalah sedemikian rupa e(G′) ≥ e(G)/2. Dengan menghapuskan secara berangkai vertex-vertex ber-degree rendah, bisa dipastikan bahwa setiap v ∈ Vi′ = Vi∩V (G′) mempunyai degree paling kecil Di/4 dan bahwa e(G′) ≥ e(G)/4.
Andaikan bahwa f adalah embedding parsial T ke dalam G′. Suatu vertex v ∈ V ′ = V (G′) adalah nonaktif terhadap f jika terdapat vertex u ∈ V (T ) sedemikian sehingga v = f(u) dan, selain itu, semua neighbor dari u sudah diembed oleh f (yaitu, f −1(V ′) ⊃ TT .
Suatu vertex disebut bebas berkenaan dengan embedding parsial f jika vertex tersebut tidak dicadangkan dan tidak berada dalam bayangan dari f. Akan diuraikan bagaimana suatu vertex menjadi dicadangkan dalam ulasan berikut.
12
Universitas Sumatera Utara
13
Vertex kritis
Unsur pokok dalam skema embedding adalah bagaimana menangani vertexvertex aktif dalam G′ yang mempunyai sedikit neighbor bebas. Vertex-vertex ini akan disebut vertex kritis. Dikaitkan dengan setiap vertex kritis v suatu himpunan bagian Rv dari neighborhood bebasnya yang akan dicadangkan secara eksklusif untuk neighbor terembed dari f −1(v) (jika v pernah digunakan dalam embedding, untuk lainnya v akan tetap tidak digunakan). Khususnya, vertex-vertex di dalam Rv tidak lagi bebas.
Misalkan c ∈ (0, 1) adalah suatu konstanta tetap yang akan didefinisikan kemudian. Suatu vertex dari kelas Vi′(i = 0, 1) diklasifikasikan sebagai kritis jika mempunyai lebih kecil dari cDi neighbor.
Pada dasarnya ada dua kesulitan dalam menangani vertex kritis karena himpunan-himpunan bagian yang dicadangkan harus eksklusif, himpunan-himpunan bagian tersebut harus saling lepas dari satu dengan lainnya. Selain itu, setelah mencadangkan vertex, bisa menghasilkan lebih banyak vertex kritis, karena vertex yang dicadangkan tidak lagi bebas. Karena itu, penting dipastikan bahwa jumlah vertex kritis selalu dibatasi.
Untuk menjamin agar tidak terlalu banyak vertex kritis, himpunan vertex yang dicadangkan untuk setiap vertex kritis relatip kecil-berukuran ∆0 atau ∆1 tergantung pada ke dalam kelas mana vertex kritis termasuk. Karena itu, untuk setiap vertex kritis baru, dicadangkan sejumlah kecil vertex (yang kemudian menjadikan tak-bebas). Di lain pihak, setiap vertex kritis harus mengirimkan sebagian yang berarti dari edge-edge-nya ke dalam himpunan vertex tak-bebas. Dengan sifat LE dan Lemma 2.4, himpunan vertex-vertex kritis haruslah kecil, jika tidak maka ekspansi himpunan LE dari vertex-vertex kritis akan kontradiksi dengan fakta bahwa himpunan vertex tak-bebas tidak besar.
Secara lebih formal, misalkan Ci adalah himpunan vertex kritis dalam kelas Vi. Jumlah vertex tak-bebas dalam V1−i paling banyak n1−i + |Ci| ∆i. Akan tetapi, setiap vertex v ∈ Ci mengirimkan paling sedikit d′G(v) − cDi ≥ (1/4 − c)Di edge ke dalam himpunan vertex tak-bebas dari V1−i.J ika |Ci| mencapai 16n1−i/Di < |V1−i| /Di, bisa dipastikan kontradiksi dengan sifat LE melalui Lemma 2.5. Tentu
Universitas Sumatera Utara
14
saja, himpunan vertex tak-bebas haruslah lebih besar dari pada |Ci| Di/8 ≥ (8n1−i/ Di + |Ci| /2)Di/8 = n1−i + |Ci| Di/16 > n1−i + |Ci| ∆i jika dipilih c cukup kecil dan Di/∆i cukup besar.
3.2 Skema Embedding (Embedding Scheme)
berikut adalah Skema Embedding pohon (Domigos, 2009)dengan langkahlangkah sebagai berikut: Ambil akar sebarang v1 ∈ V1 (T ) dan petakan itu ke suatu vertex sebarang dalam V1′. Di setiap langkah diambil suatu vertex yang sudah embedded dan embed semua children sekaligus. Andaikan bahwa diperoleh embedding parsial f dari T ke dalam G′. Misalkan C adalah koleksi dari vertex-vertex kritis dan R = {Rv}v∈C adalah famili dari himpunan-himpunan yang dicadangkan. Misalkan u ∈ V (T ) adalah vertex yang embedded dan w = f(u).
Jika w kritis maka Rw ∈ R memuat vertex yang cukup untuk embed setiap child dari u. Tidak ada vertex kritis lainnya yang bisa diciptakan setelah embedding ini terjadi (karena tidak ada vertex bebas digunakan). Jika w ∈ Vi′ tidak kritis, maka jumlah neighbor bebas dari w paling sedikit sama dengan cDi ≫ ∆i, yang lebih dari cukup untuk embed setiap child dari u. Setelah embedding children dari u (dengan memilih secara sewenang-wenang vertex-vertex dari antara neighborneighbor bebas dari w), bisa diciptakan vertex kritis baru.
Vertex kritis baru mempunyai cDi neighbor bebas sebelum perluasan embedding di atas. Karena perluasan hanya bisa menjadikan ∆i vertex tak-bebas dan cDi ≫ ∆i, vertex kritis baru ini tetap mempunyai banyak neighbor bebas persis setelah perluasan.
Ambil salah satu vertex kritis baru (yang mungkin banyak) dan pilih himpunan bagian-∆i sebarang dari neighborhood bebasnya. Bentuk himpunan-himpunan yang dicadangkan untuk vertex-vertex kritis baru dengan menggunakan prosedur iteratif berikut.
Universitas Sumatera Utara
15
Andaikan bahwa Cj ⊂ Vi′ adalah koleksi dari j vertex kritis pertama dalam Vi′ yang dibentuk dengan perluasan embedding. Misalkan {Rv}v∈Cj adalah kelompok himpunan bagian-∆i-himpunan bagian-∆i yang saling lepas sedemikian sehingga Rv mungkin hanya memuat neighbor bebas dari v. Tetapkan Xj = v∈Cj Rv.
Jika terdapat suatu vertex (non-kritis) w yang mempunyai lebih kecil dari cDi neighbor bebas di luar dari Xj ditetapkan Cj+1 = Cj ∪ {w} dan diperoleh kelompok baru dari himpunan-∆i-himpunan-∆i yang saling lepas {Rv}v∈Cj+1 seperti di atas. Juga ditetapkan batasan tambahan untuk kelompok ini: Xj ⊂ Xj+1, yaitu begitu suatu vertex dipilih untuk dicadangkan menjadi vertex kritis, vertex tersebut akan dicadangkan untuk suatu vertex kritis (tetapi tidak selalu untuk vertex yang memang awalnya dipasangkan kepadanya). Batasan ini penting karena digunakan fakta bahwa himpunan vertex-vertex tak-bebas adalah naik monoton. Khususnya, begitu suatu vertex diklasifikasikan sebagai kritis, vertex tersebut selalu mempunyai lebih kecil dari cDi neighbor bebas.
Setelah prosedur di atas selesai, setiap vertex tak-kritis dari Vi′(i = 0, 1) mempunyai setidaknya cDi neighbor bebas dan setiap vertex kritis mempunyai suatu himpunan eksklusif dari vertex-vertex yang dicadangkan. Karena itu, dimungkinkan melanjutkan embedding sampai tree keseluruhan embedded.
Yang jelas, perlu ditunjukkan bahwa dimungkinkan memperoleh kelompok himpunan-himpunan dicadangkan di atas. Setiap vertex kritis baru mempunyai paling sedikit cDi − ∆i neighbor yang bebas atau dicadangkan untuk sementara ke vertex kritis baru lainnya. Dengan menggunakan sifat LE dari graph dan pernyataan tipe-Hall, tidak sulit memperoleh kelompok baru dari himpunan-himpunan dicadangkan sepanjang j = |Cj| tidak terlalu besar. Akan tetapi, karena mempunyai batas atas global untuk jumlah vertex kritis, strategi ini selalu berhasil.
3.3 Sifat-sifat dari Bipartite Graph Acak
Dalam bagian ini dinyatakan suatu teorema teknis yang menguraikan beberapa sifat bipartite graph acak yang digunakan sewaktu embedding tree. catat bahwa, berbeda dengan asumsi-asumsi dari Bagian 3.1, mempunyai ekspansi lossless pada kedua kelas bipartite graph yang tidak padat tidak selalu dimungkinkan. Un-
Universitas Sumatera Utara
16
tuk mengatasi hal ini ditunjukkan bahwa terdapat banyak himpunan LE di ”tempat yang berguna”, yaitu sebagian besar neighborhood dari vertex kaya akan himpunan LE.
Definisi 3.3. Misalkan ε > 0, p ∈ (0, ε/8), N0, N1, D0 =p N1, D1 =p N0 ∈ N. Suatu bipartite graph G = (U, W ; E) dengan |U | = N0, |W | = N1 memenuhi sifat berikut: Sifat (3.4) jika terdapat W ′ ⊆ W dengan |W ′| ≥ (1 − 2ε)N1 sedemikian sehingga berlaku syarat-syarat berikut:
1. Deg(w) ∼ε D1 untuk semua w ∈ W ′ dan, selain itu, #{u ∈ T (w) : deg(u) ∼ε D0} ε
i=1 i=1
D1S.
d∗G(T ) ≤
k
d∗G(Ti)
<
√ (1 − 5 ε)D0
k
|Ti|
i=1 i=1
√
≤ 11−−54√εε D0|T |
Universitas Sumatera Utara
22
< (1 − 10ε)D0|T |,
kontradiksi dengan ε2. Karenanya, dengan menghapuskan kurang dari s0 elemen dari W ′ bisa dijamin bahwa (iii) berlaku bersama-sama dengan (i) dan (ii).
Klaim 3.10. Jika εN1 < D0D1 maka a.a.s. setiap w ∈ W untuk mana deg(w) ∼ε D1 dan setiap T ⊆ Γ(w) dengan T ≥ε D1 memenuhi syarat-syarat dari Sifat (3.4). (iv).
Bukti. Andaikan bahwa Jika εN1 < D0D1. Misalkan w ∈ W adalah tetap dan asumsikan bahwa deg(w) ∼ε D1 (karena untuk lainnya w ∈ W ′). Misalkan T = {t1, t2, . . . , tm} ⊆ Γ(w) adalah himpunan sebarang dengan m ≥ε D1. Dalam graph acak g[U, W \{w}], vertex t1 mempunyai perkiraan p(N1 − 1) ∼ε/2 D0. Karenanya, dengan ketaksamaan Chernoff,
P [deg(t1) ∼ε D0] ≥ 1 − exp{Ωε(D0}}.
Akan diusahakan membentuk suatu himpunan T1 dengan k = min{εD1/8, εN1 /(4D0)} elemen yang memenuhi syarat (iv). Misalkan X = {w}. dikatakan bahwa ti berhasil jika Γ(ti)\X ∼ε D0 dan deg(ti) ∼ε D0, untuk lainnya ti gagal. Jika ti berhasil, ditambahkan t1 pada T1 dan Γ(ti) pada X. Jika ti gagal, baik X maupun T1 tetap tidak berubah. Jika T1 memuat k elemen maka diperoleh T1 akhir. Dengan konstruksi, setiap T1′ ⊆ T1 adalah sedemikian sehingga d∗(T1′) ∼ε D0T1′.
Andaikan bahwa tℓ adalah elemen terakhir yang ditambahkan pada T1. Maka
dimulai membangun T2 ⊂ {tℓ+1, . . . , tm} dengan cara yang sama dengan memba-
ngun T1” tetapkan X = {w} dan tambahkan secara berangkai vertex-vertex ti yang
berhasil pada T2 dan neighborhood-nya Γ(ti) pada X. Ulangi prosedur untuk Ti
lainnya sampai dibangun Tr atau sampai vertex tm dicapai. Catat bahwa selalu
dipunyai
X
≤
ε N1 4D0
(1
+
ε)D0
+
1
≤ε
N1/2.
Karena
itu,
dengan
ketaksamaan
Cher-
noff, probabilitas bahwa ti tetap gagal paling besar sama dengan exp{−Ωε(D0)}
untuk setiap i.
Jika tidak dapat dibangun koleksi T1, . . . , Tr yang diinginkan maka paling sedikit m/8 elemen dari T gagal. Tentu saja, diperlukan rk elemen berhasil, di mana 3m/4 ≤ rk ≤ 3m/4 + kleq3m/4 +ε D1/8 ≤ 7m/8. Sekalipun barisan variabel indikator I[ti gagal] tidak saling bebas, barisan tersebut didominasi oleh barisan
Universitas Sumatera Utara
23
variabel-variabel Bernoulli yang saling bebas. Karena itu, probabilitas bahwa barisan tetap dari (m/8) ≥ε D1/8 vertex gagal paling besar exp{−Ωε(mD0/8)} = exp{−Ωε(D0D1)}. Perhatikan batas gabungan untuk (1) semua pilihan w ∈ W yang mempunyai deg(w) ∼ε D1; (2) semua himpunan bagian T ⊆ Γ(w) dengan T ≥ε D1; (3) semua himpunan bagian−(m/8) yang mungkin dari vertex-vertex T yang gagal. Probabilitas bahwa gagal dibangun koleksi yang diinginkan untuk suatu vertex paling besar sama dengan
N122D122D1exp{−Ωε(D0D1)} → 0apabilaD0D1 → ∞,
(3.5)
karena D0D1 >ε N1. (Catat bahwa bisa dijadikan D0D1 sebesar yang dibutuhkan dengan mengambil C yang cukup besar). Dengan demikian, klaim terbukti.
Adalah fakta yang sudah diketahui dengan jelas bahwa jumlah edge di antara himpunan-himpunan berukuran linier dalam suatu graph acak adalah a.a.s. sangat mendekati nilai yang diperkirakan. Tentu saja, misalnya ε3 adalah kejadian yang bersesuaian dengan sifat (3.4).(v) dan misalkan ε4 menotasikan kejadian yang diuraikan oleh Klaim 3.9. Catat bahwa kejadian-kejadian ε0, . . . , ε4 berlaku bersama-sama dengan probabilitas yang paling kecil sama dengan 1 − ε. Dengan bersyaratkan semua kejadian tersebut, (v) dipenuhi (dengan ε3), Klaim 3.8 menjamin (i)-(iii) dan ε4 bersama-sama dengan (i) mengimplikasikan (iv).
Dalam bagian ini dibuktikan lemma yang akan digunakan untuk menjamin agar langkah-langkah tertentu dalam skema embedding tree bisa dilaksanakan.
Lemma 3.11. Misalkan S1, . . . Sm adalah koleksi himpuna dan b ∈ Nm adalah sedemikian rupa sehingga, untuk setiap I ⊆ [m], diperoleh ∪i∈ISi ≥ i∈I bi−.
Bukti. Direduksi masalah ini menjadi masalah pencocokan. Perhatikan suatu bipartite graph H dengan kelas vertex A = ∪im=1{i}[bi] dan B = ∪im=1Si dan edge-edge yang diberikan oleh {(i, j), u} untuk semua i ∈ [m], j ∈ [bi] dan u ∈ Si. Perhatikan bahwa menambahkan bi copy suatu vertex i yang mempunyai neighborhood si untuk semua i.
Diberikan himpunan A′ ⊆ A, misalkan I = I(A′) adalah proyeksi dari A′ pada koordinat pertama. Diperoleh A′ ≤ i∈I bi dan, di lain pihak, ΓH (A′) = ∪i∈I Si ≥
i∈I bi ≥ A′. Karenanya, syarat Hall dipenuhi untuk H dan terdapat pencocokan
Universitas Sumatera Utara
24
M terhadap A. Dari M diperoleh himpunan-himpunan Si′ ⊆ Si dengan memisalkan Si′ adalah himpunan elemen-elemen yang dicocokkan dengan (i, 1), . . . , (i, bi).
Andaikan bahwa terdapat famili yang saling lepas {S”i ⊆ Si}ki=1, k ≤ m, dengan S”i = bi. Dengan melaksanakan perubahan-perubahan lokal kecil pada famili {Si′ ⊆ Si}mi=1 bisa dipastikan bahwa ∪ik=1S”i ⊆ ∪im=1Si′. Jika terdapat x ∈ ∪ki=1S”i\ ∪im=1 Si′ maka misalkan j ∈ [k] adalah sedemikian rupa sehingga x ∈ S”j. Karena bj = Sj′ = S”j, terdapat y ∈ Sj′ \S”j. Misalkan Sj′ ← Sj′ − y + x. Catat bahwa ini menurunkan dengan tegas
k
|Si′∆Si′|
i=1
Khususnya, karena bilangan ini selalu non-negatip, dengan paling banyak tahap bisa diperoleh famili yang diinginkan.
k i=1
|Si′∆Si′|
Lemma 3.12. Misalkan G = (U, W ; E) adalah graph dengan W ′ ⊆ W yang memenuhi Sifat (3.4). Misalkan α ≥ α0(ε) = Ω(√ε).
Andaikan bahwa S ⊆ W ′, dengan S ≤ε N1/(D0D1), adalah sedemikian rupa sehingga terdapat famili yang saling lepas {Av ⊂ Γ(v)}v∈S dan famili (tidak perlu saling lepas) {Bx ⊂ Γ(x)}x∈ v∈S Av dengan Av = αD1 untuk setiap v ∈ S dan Bx = αD0 untuk setiap x ∈ ∪v∈SAv.
Maka terdapat famili yang saling lepas dari himpunan−∆1{Xv′ ⊆ Av}v∈S dan famili yang saling lepas himpunan −∆0{Yv,x ⊆ Bx}v∈S,x∈Xv.
Bukti. Akan diasumsikan bahwa D0D1 ≤ε N1 karena untuk lainnya S = φ dan tidak ada yang perlu dibuktikan. Famili-famili yang diinginkan akan diperoleh dengan tiga tahap.
TESIS Oleh BISTOK PURBA 097021055/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
BILANGAN UKURAN RAMSEY DARI POHON
TESIS Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara Oleh
BISTOK PURBA 097021055/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi
: BILANGAN UKURAN RAMSEY DARI POHON
: Bistok Purba : 097021055 : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, MSc) Anggota
Ketua Program Studi,
Dekan,
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 15 Juni 2011
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 15 Juni 2011
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Prof. Dr. Tulus, M.Si 3. Drs. Marwan Harahap, M.Eng
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
BILANGAN UKURAN RAMSEY DARI POHON
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, 15 Juni 2011 Penulis, Bistok Purba
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Diberikan suatu graph G, bilangan Ukuran-Ramsey rˆ(G) adalah bilangan minimum m dimana terdapat suatu graph F atas m edge sedemikian sehingga setiap dua-pewarnaan edge-edge dari F memenuhi pewarnaan monokhromatik dari G. Pada Tesis ini dibicarakan/diperkenalkan invariant β(T ) untuk pohon dan ditunjukkan bahwa rˆ(T ) = Ω(β(T )). Selain itu diperkirakan bahwa rˆ(T ) = O(β(T )). Perkiraan ini diselesaikan dengan memberikan suatu famili graph dan skema embedding untuk pohon. Kata kunci : Pohon, Algoritma embedding pohon, Bilangan ukuran Ramsey
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT Given a graph G, the size-Ramsey numbers rˆ(G) is the minimum number m for which there exists a graph F on m edges such that every two-coloring edges of F admits a monokhromatik copy of G. In this thesis, it is talked/interoduced invariant β(T ) for trees and showed that rˆ(T ) = Ω(β(T )). Beside that, it is thought that rˆ(T ) = O(β(T )). These estimates are solved by providing a family of graphs and an embedding scheme for trees. Keywords : Trees, Algorithm embedding trees, Size-Ramsey numbers.
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji dan Syukur penulis ucapkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa karena berkat kasih dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahaan dan Tesis ini tepat pada waktunya. Tesis ini berjudul ” Bilangan Ukuran Ramsey Dari Pohon” sebuah kajian yang meneliti tentang bilangan ukuran Ramsey dari Pohon sebagai salah satu syarat atau tugas akhir yang harus diselesaikan untuk memperoleh gelar Magister Sains (M.Si) pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara (USU). Dari awal perkuliahaan sampai penyusunan Tesis ini penulis banyak mendapat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang tak terhingga kepada:
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu DTM&H, MSc(CTM), SpA(K), selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Ir. Rahim Matondang, MSIE, selaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti program belajar pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mewengkang, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, dan Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc selaku Dosen Pembimbing yang telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dari awal hingga selesainya tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, dan Drs. Marwan Harahap, M.Eng selaku pembanding dan penguji atas segala saran , masukan dan petunjuk yang diberikan.
Gubernur Sumatera Utara melalui Badan Perencanaan Pembangunan Daerah (BAPPEDA) yang telah memberikan kepada penulis Beasiswa Pendidikan Pascasarjana di Universitas Sumatera Utara.
iv
Universitas Sumatera Utara
Bapak H. T. Erry Nurady, M.Si selaku Bupati Serdang Bedagai dan Bapak Drs.Rifai Bakri Tanjung, M.AP selaku Kepala Dinas Pendidikan Serdang Bedagai yang telah memberikan Ijin perkuliahaan dan bantuan dana.
Bapak Drs. Ruslin Nasution selaku Kepala SMA Negeri 1 Dolok Masihul yang telah memberikan dorongan, motivasi dan rekomendasi.
Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara yang telah penuh ihklas mentransferkan ilmunya sehingga sangat membantu penulis untuk memperkaya wawasan dan cakrawala pengetahuan yang sangat berguna dalam menyelesaikan tesis ini.
Rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU angkatan tahun 2009 yang telah banyak membantu penulis dalam perkuliahan maupun dalam penulisan tesis ini dan tidak lupa penulis ucapkan terimakasih untuk Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis yang berhubungan dengan administrasi selama penulis mengikuti pendidikan.
Keluarga besar SMAN 1 Dolok Masihul yang terus mendo’akan dan memotivasi penulis selama mengikuti pendidikan di Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Ayahanda dan Ibunda tercinta atas segala bantuannya baik doa maupun nasehat yang sangat bermanfaat bagi penulis guna terselesaikannya tesis ini. Seluruh keluargaku, Istri tercinta (Betty Rondang Sihombing, S.Pd) yang memberikan dorongan dan semangat.
Penulis menyadari sebagai manusia biasa mempunyai banyak kekurangan khususnya dalam penulisan tesis ini. Untuk itu semuanya diserahkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa. Amin.
Medan, Juni 2011
Bistok Purba
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP Penulis bernama Bistok Purba dilahirkan di Panombean pada tanggal 2 Mei 1970 anak ke-empat dari delapan orang bersaudara. Nama ayah J. Purba dan Ibu E. Butar-butar. Tamat dari SD Inpres Panombean tahun 1984, melanjut ke SMP Negeri 1 Rajabuluh dan tamat tahun 1987, kemudian melanjutkan ke SMA swasta Bersama Berastagi dan tamat tahun 1991. Pada tahun 1992 kuliah di FPMIPA IKIP Negeri Medan Jurusan Matematika tamat tahun 1997.
Riwayat pekerjaan formal penulis dimulai pada tahun 1997 sebagai Pegawai Negeri, Guru pada SMA Negeri 1 Dolok Masihul. Penulis menikah dengan Betty Rondang Sihombing pada tahun 2010 dan sekarang sedang menunggu kelahiran sibuah hati. Pada tahun 2009 penulis mendapat beasiswa dari Gubernur Sumatera Utara melalui BAPEDA dan Pemerintah Kabupaten Serdang Bedagai untuk melanjutkan studi S2 Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Pada tahun 2010 penulis diangkat menjadi Pengawas Sekolah Mata Pelajaran Matematika di Kabupaten Serdang Bedagai.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metodologi Penelitian BAB 2 BEBERAPA ISTILAH DARI GRAPH 2.1 Graph 2.2 Jenis Graph 2.3 Beberapa Notasi dan Defenisi BAB 3 LANDASAN TEORITIS 3.1 Garis-garis Besar Kasus yang Lebih Sederhana 3.2 Skema Embedding (Embedding Scheme)
Halaman
i ii iii iv vi vii ix
1
1 2 2 3 3
4
4 6 9
12
12 14
vii
Universitas Sumatera Utara
3.3 Sifat-sifat dari Bipartite Graph Acak
15
BAB 4 HASIL UTAMA
26
4.1 Skema Embedding untuk Tree (An Embedding Scheme For Trees) 26
4.2 Bilangan Ukuran-Ramsey dari Tree.
39
BAB 5 KESIMPULAN
41
DAFTAR PUSTAKA
42
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
2.1 Presentasi grafis dari G(6, 9)
2.2 Nullgraph berorder 4
2.3 Komplit graph berorder 3
2.4 Komplit bigraph berorder 5
2.5 Pohon berorder 9
2.6 Graph path
2.7 Graph sikel
Halaman 5 6 7 7 8 8 9
ix
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Diberikan suatu graph G, bilangan Ukuran-Ramsey rˆ(G) adalah bilangan minimum m dimana terdapat suatu graph F atas m edge sedemikian sehingga setiap dua-pewarnaan edge-edge dari F memenuhi pewarnaan monokhromatik dari G. Pada Tesis ini dibicarakan/diperkenalkan invariant β(T ) untuk pohon dan ditunjukkan bahwa rˆ(T ) = Ω(β(T )). Selain itu diperkirakan bahwa rˆ(T ) = O(β(T )). Perkiraan ini diselesaikan dengan memberikan suatu famili graph dan skema embedding untuk pohon. Kata kunci : Pohon, Algoritma embedding pohon, Bilangan ukuran Ramsey
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT Given a graph G, the size-Ramsey numbers rˆ(G) is the minimum number m for which there exists a graph F on m edges such that every two-coloring edges of F admits a monokhromatik copy of G. In this thesis, it is talked/interoduced invariant β(T ) for trees and showed that rˆ(T ) = Ω(β(T )). Beside that, it is thought that rˆ(T ) = O(β(T )). These estimates are solved by providing a family of graphs and an embedding scheme for trees. Keywords : Trees, Algorithm embedding trees, Size-Ramsey numbers.
iii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Untuk graph G dan H, bilangan Ukuran-Ramsey rˆ(G, H), merupakan bilangan terkecil m sedemikian sehingga terdapat suatu graph F atas m edge dengan sifat bahwa, dalam setiap pewarnaan merah-biru atas edge-edge dari F , terdapat pewarnaan merah dari G atau pewarnaan biru dari H. (Erdos et al., 1978).
Untuk suatu bilangan riil α ∈ [0, 1] dan graph F, G dapat ditulis F →α Gjika setiap subgraph F ′ ⊆ F dengan e(F ′) ≥ αe(F ) memuat suatu copy dari G sebagai subgraph. Perhatikan bahwa jika F →1/2 G maka rˆ(G) = rˆ(G, G) ≤ e(F ).
Telah diketahui dengan jelas bahwa rˆ(Kn) tumbuh secara eksponensial sesuai dengan n. Sebaliknya, Beck (1983), dalam menjawab pertanyaan-pertanyaan Erdos, menunjukkan bahwa untuk Pt, path atas t vertex, diperoleh
rˆ(Pt) = rˆ(Pt, Pt) ≤ 900t
Ternyata, Beck membuktikan bahwa untuk setiap α ∈ [0, 1] terdapat c = c(α) sedemikian sehingga a.a.s. (asymtotically almost surely), hampir pasti secara asymptotik graph acak G = Gn,c/n memenuhi G →α P⌊n/c⌋.
Friedman dan Pippenger (1987) meningkatkan hasil ini dengan menunjukkan bahwa setiap pohon (tree) dengan degree maksimum ∆ dan t vertex mempunyai bilangan ukuran-Ramsey c(∆)t, di mana c(∆) = O(∆4). Ini kemudian ditingkatkan menjadi c(∆) = O(∆2) oleh Ke (1993) dan menjadi c(∆) = O(∆) oleh Haxell dan Kohayakawa (1995).
Walaupun pohon (tree) tertentu T mempunyai ukuran-Ramsey dengan orde ∆ (T ) |T |, jelas bahwa ukuran-Ramsey dari star K1,t tidak dengan orde t2. Tentu saja, K1,α−1t →α K1,t untuk setiap α ∈ [0, 1]. Karenanya, batas ∆ (T ) |T | bisa jauh dari optimal dalam banyak kasus.
1
Universitas Sumatera Utara
2
Beck (1983) memperkenalkan invariant (tree) β (T ) yang didefinisikan sebagai berikut. Misalkan V (T ) = V0 (T ) ∪ V1 (T ) merupakan partisi yang ditentukan oleh dua-pewarnaan unik yang tepat dari himpunan vertex dari T . Tetapkan ∆i = ∆i (T ) = max{dT (v) : v ∈ Vi (T )} dan ni = ni (T ) = Vi (T ) untuk i = 0, 1 dan misalkan β (T ) = n0∆0 + n1∆1. Dengan meningkatkan hasil yang dicapainya sebelumnya, Beck (1983) membuktikan bahwa untuk setiap (tree) T ,
β (T ) /4 ≤ rˆ (T ) ≤ O β (T ) (log |T |)12
dan memperkirakan bahwa rˆ(T ) = O (β (T )). Haxell dan Kohayakawa (1995) meningkatkan secara signifikan batas atas untuk rˆ(T ) = O (β (T ) log ∆ (T ))
Perkiraan ini diselesaikan dengan menunjukkan bahwa untuk setiap (n0, ∆0, n1, ∆1) dan α ∈ [0, 1] terdapat N0, N1 dan p ∈ [0, 1] dengan pN0N1 = Oα (n0∆0 + n1∆1) sedemikian sehingga a.a.s. bipartite graph acak G = GN0,N1;p memenuhi G →α T untuk setiap (tree) T dengan ∆i (T ) ≤ ∆i dan ni (T ) ≤ ni, untuk i = 0, 1. Karena a.a.s. G mempunyai O(pN0N1) edge, maka bilangan ukuran-Ramsey dari setiap pohon (tree) T adalah berorde β (T ).
Embedding T ke dalam G dilakukan dengan algoritma. Diyakini bahwa metode algoritma ini memang menarik dan bisa berguna dalam konteks serupa lainnya. Ternyata, dalam penelitian bersama dengan Kohayakawa, Rodl dan Rucinski (2008), digunakan teknik analog dalam algoritma yang mengembed graph berdegree terbatas ke dalam graph acak yang tidak padat.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah diatas, yang merupakan perumusan masalah dalam tesis ini adalah bagaimana menentukan bilangan ukuran Ramsey dari pohon (tree).
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun yang merupakan tujuan dari penelitian ini adalah untuk memperoleh bilangan ukuran Ramsey dari pohon (tree).
Universitas Sumatera Utara
3 1.4 Manfaat Penelitian
Untuk mengembangkan teori graph terutama tentang bilangan ukuran Ramsey dari pohon (tree). 1.5 Metodologi Penelitian
Metode dalam penelitian ini adalah studi literatur dari berbagai referensi yang relevan dengan bilangan ukuran Ramsey dari pohon. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut :
1. Menjelaskan tentang pohon (tree). 2. Menjelaskan algoritma embedding pohon (tree). 3. Melakukan pengkajian tentang bilangan ukuran Ramsey dari pohon (tree).
Universitas Sumatera Utara
BAB 2 BEBERAPA ISTILAH DARI GRAPH
Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dan terminologi dalam graph yang akan dipergunakan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini. Juga akan dibahas beberapa jenis graph yang akan dipergunakan sebagai objek penelitian ini. Semua konsep, terminologi dan jenis graph tersebut akan dipergunakan pada bab pembahasan.
2.1 Graph
Berdasarkan teori graph (Robin dan John, 1990) suatu graph G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (minimal tunggal) bersama-sama dengan suatu himpunan yang anggotanya adalah pasangan yang tak berurut dan verteks yang berbeda pada G yang disebut edge (mungkin kosong), dan dinotasikan dengan G{V (G), E(G)}. Himpunan verteks dari G dinotasikan dengan V (G) dan himpunan edge dinotasikan dengan E(G). Banyaknya anggota dari himpunan verteks pada G disebut order G dan dinotasikan dengan p(G), atau dengan singkat ditulis p.
Edge e = {u, v} atau juga dapat ditulis e = uv adalah sebuah edge dalam G, yaitu u dan v adalah titik-titik ujung dari e, maka u dan v dikatakan adjacent (berelasi) dimana u dan e adalah incedent (terhubung), begitu juga dengan v dan e. Banyaknya edge yang incedent dengan verteks u disebut degree/valensi/derajat dari u, dengan kata lain degree u adalah banyaknya edge yang memuat u sebagai titik ujung. Degree u dinotasikan dengan deg(u).
Berikut ini diberikan beberapa terminologi pada graph, yaitu:
1. Suatu walk adalah barisan berhingga dan verteks dan edge secara bergantian, yang diawali dari verteks dan diakhiri dengan verteks. Bentuk umum dari walk v0, e1, v1, e2, v2, . . . , vn−1, en, vn
4
Universitas Sumatera Utara
5 dalam hal ini v0 merupakan verteks awal dan vn merupakan verteks akhir. Jika verteks awal dan verteks akhir dari suatu walk adalah sama, maka walk disebut close walk (walk tertutup). 2. Suatu trail adalah suatu walk dengan setiap edgenya berlainan. 3. Suatu path adalah suatu walk dengan setiap verteksnya berbeda. 4. Suatu cycle adalah suatu path yang memiliki verteks awal sama dengan verteks akhir. 5. Length (panjang) adalah bilangan yang menyatakan banyaknya edge yang muncul dalam suatu walk. 6. Edge e adalah sebuah jembatan untuk G jika G − e tidak terhubung. Secara umum, edge e adalah jembatan untuk suatu graph G jika G − e mempunyai komponen terhubung lebih dari G. Suatu graph biasanya dipresentasikan secara grafis, dengan setiap verteks dipresentasikan sebagai titik atau lingkaran kecil, dan setiap edge e = uv dipresentasikan dengan sebuah garis atau kurva yang menghubungkan titik-titik yang bersesuaian dengan u dan v.
Gambar 2.1 Presentasi grafis dari G(6, 9)
Universitas Sumatera Utara
6
Berdasarkan gambar 2.1 maka dapat ditentukan :
1. Order graph G adalah 6. 2. Degree verteks v1, v2, v3, v4, v5, dan v6 masing-masing adalah 2, 4, 3, 2, 4, dan
3. 3. Barisan v1, e1, v2, e7, v6, e5, v5, e8, v2, e2, v3 adalah suatu walk dengan panjang
5. 4. Barisan v3, e9, v5, e8, v2, e7, v6 adalah suatu path dengan panjang 3. 5. Barisan v2, e7, v6, e5, v6, e9, v3, e2, v2 adalah suatu cycle dengan panjang 4.
2.2 Jenis Graph Dibawah ini akan dibahas beberapa jenis graph yaitu:
1. Nullgraph adalah suatu graph yang memiliki degree 0 (nol) dan dinotasikan dengan N , dengan p adalah order N. Contoh 2.2.1 v4 v3 •• •• v1 v2 Gambar 2.2 Nullgraph berorder 4
2. Graph komplit adalah suatu graph yang lengkap dengan setiap dua verteks yang berbeda harus adjacent. Graph komplit dinotasikan dengan Kp, dengan p adalah order K.
Teorema 2.2.1 Banyaknya edge pada snatu graph komplit dengan n verteks
adalah
1 2
n(n
−
1)
buah.
Universitas Sumatera Utara
7
Bukti : Untuk membuat sebuah edge memerlukan dua verteks. Karena
banyaknya cara untuk rnemilih dua verteks dari n verteks adalah C(n, 2).
Maka
banyaknya
edge
adalah
C(n, 2)
=
1 2
(n
− 1)
buah.
Contoh 2.2.2
Gambar 2.3 Komplit graph berorder 3
3. Graph bipartisi (bipartite) adalah suatu graph yang memiliki himpunan verteks yang dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian yang saling asing (disjoint), yaitu : V1(G) = {v1, v2 . . . , vi} V2(G) = {vi+1, vi+2, . . . , vn} sedemikian sehingga setiap edge dari G menghubungkan sebuah verteks dari V1(G) kesebuah verteks dan V2(G). Sebuah graph bipartisi lengkap, diartikan bahwa setiap verteks V1(G) dihubungkan ke setiap verteks di V2(G). Graph bipartisi dinotasikan dengan Km, n dengan m adalah jumlah verteks di V1(G) dan n adalah jumlah verteks di V2(G), dan standardisasi, diasumsikan m ≤ n. Contoh 2.2.3
Gambar 2.4 Komplit bigraph berorder 5
Universitas Sumatera Utara
8 4. Pohon (Tree) adalah suatu graph yang tidak memuat loop dan edge paralel
(simple Graph) juga tidak memuat cycle, dan dinotasikan dengan T . Menurut Narsingh Deo (1986) misalkan G adalah suatu graph sederhana, G disebut tree apabila G suatu graph terhubung dan tidak memuat sirkuit. Daun (leaf / terminal verteks) adalah verteks dalam tree yang berderejat 1. Verteks dalam tree yang berderejat > 1 disebut verteks cabang. Contoh 2.2.4
Gambar 2.5 Pohon berorder 9
5. Graph path (path graph) Graph path dengan t verteks dinotasikan dengan P t, yaitu graph yang terdiri dari path tunggal. P t memiliki t − 1 edge. Contoh 2.2.5 Gambar 2.6 Graph path
6. Graph sikel (Cycle graph) Graph sikel adalah graph sederhana yang setiap verteksnya berderajat dua. Graph sikel dengan t verteks dilambangkan dengan Ct, t ≥ 3 adalah graph dengan t verteks yaitu v1, v2, . . . , vt dan edge-edge (v1, v2), (v2, v3), . . . , (vt−1, vt), (vt, v1).
Universitas Sumatera Utara
Contoh 2.2.6
9
Gambar 2.7 Graph sikel
2.3 Beberapa Notasi dan Defenisi
Untuk suatu graph G, bilangan ukuran-Ramsey rˆ(G) adalah bilangan minimum m untuk mana terdapat suatu graph F atas m edge sedemikian sehingga setiap dua-pewarnaan edge-edge dari F memenuhi copy monokhromatik dari G (Erdoset.al. 1978).
Beck (1983) memperkenalkan invariant tree β (T ) yang didefinisikan sebagai berikut. Misalkan V (T ) = V0 (T ) ∪ V1 (T ) merupakan partisi yang ditentukan oleh dua-pewarnaan unik yang tepat dari himpunan vertex dari T . Tetapkan ∆i = ∆i (T ) = max{dT (v) : v ∈ Vi (T )} dan ni = ni (T ) = |Vi (T )| untuk i = 0, 1 dan misalkan β (T ) = n0∆0 + n1∆1. Dengan meningkatkan hasil yang dicapainya sebelumnya, Beck (1983) membuktikan bahwa untuk setiap tree T ,
β (T ) /4rˆ (T ) O β (T ) (log |T |)12
dan memperkirakan bahwa rˆ (T ) = O (β (T )). Haxell dan Kohayakawa (1995) meningkatkan secara signifikan batas atas untuk rˆ(T ) = O (β (T ) log ∆ (T )).
Embedding T ke dalam G dilakukan dengan alagoritma. Diyakini bahwa metode algoritma ini memang menarik dan bisa berguna dalam konteks serupa lainnya. Ternyata, dalam penelitian bersama dengan Kohayakawa, Rodl dan Rucinski (2008), digunakan teknik analog dalam algoritma yang menanamkan graph berdegree terbatas ke dalam graph acak yang tidak padat.
Suatu graph tertentu G = (V, E) dan himpunan-himpunan yang saling lepas S, T ⊆ V , dinotasikan dengan EG(S, T ) himpunan semua edge dengan satu titik ujung di S dan titik ujung lainnya di T dan misalnya eG(S, T ) = |EG(S, T )|.
Universitas Sumatera Utara
10
Neighborhood dari suatu vertex v ∈ V dinotasikan dengan ΓG(v)dn neighborhood dari himpunan S ⊆ V dinotasikan dengan ΓG(S) = ∪v∈SΓG(v).
Definisi 2.3. Diberikan suatu graph G = (V, E), untuk setiap himpunan S ⊂ V , didefinisikan
ΓG ∗ (S) = {v ∈ V : eG({v}, S) = 1} sebagai himpunan neigbor unik dari S.
Jika x, t ∈ R, ε > 0 adalah sedemikian sehingga x ∈ [(1 − ε)t, (1 + ε)t] maka
ditulis x ∼t. Juga akan digunakan notasi standar Ωγ(f (n)), Oγ (f (n)) untuk kelas
semua fungsi dengan batas bawah/atas c(γ)f(n), di mana c = c(γ)adalah konstanta
yang hanya tergantung pada γ. Dalam banyak perhitungan digunakan secara im-
plisit ketaksamaan yang sudah diketahui dengan jelas seperti
1+x
exdan
a b
b
a b
ea b b
(2.1)
Ketaksamaan Chernoff juga digunakan secara ekstensif: untuk ε > 0 dan setiap variabel acak Binomial X dengan parameter n dan p diperoleh
P [|X − np| εep] ex {−Ωε (np)}
(2.2)
Definisi 2.4 (Himpunan LE). Dikatakan bahwa suatu himpunan vertex-vertex S dalam suatu graph G adalah ε -lossles expanding jika |Γ (S) \S| ∼ε e (S, V (G) \S), yaitu, hampir setiap edge dalam S-cut bersesuaian dengan suatu neighbor unik dari S. S disebut dengan singkatan himpunan LE.
Ciri yang berguna dari himpunan LE adalah kekuatannya: sekalipun sebagian besar edge yang incident pada himpunan LE dihapus, sifat LE tetap bertahan. Ini dinyatakan secara formal dalam lemma sederhana berikut.
Lemma 2.5. Misalkan G adalah suatu graph dan S ⊆ V = V (G). Untuk setiap G′ ⊆ G diperoleh
|ΓG (S) \S| eG (S, V \S) + 2 {|ΓG (S) \S| − eG (S, V \S)}
Bukti. Misalkan N menotasikan jumlah edge e = uv dalam eG (S, V \S) sedemikian sehingga vertex-ujung v ∈ V \S memenuhi eG (v, S) ≥ 2. Catat bahwa
Universitas Sumatera Utara
11 |ΓG (S) \S| {eG (S, V \S) − N } + n/2 karena setiap edge yang tidak dihitung oleh N bersesuaian tepat dengan satu neighbor unik dari S dan semua edge yang dihitung N bisa memberi kontribusi dengan paling banyak n/2 neighbor. Diperoleh −N 2 {|ΓG (S) \S| − eG (S, V \S)}. Pernyataan terbukti karena |ΓG (S) \S| eG(S, V \S) − N . Definisi 2.6. Misalkan T adalah suatu pohon (tree) dan V (T ) = V0 (T ) ∪ V1 (T ) adalah bi-partisi kanonik dari T . Tetapkan ni = |Vi (T )| dan ∆i = max{dT (v) : v ∈ Vi(T )}, untuk i = 0, 1. Parameter β (T ) didefinisikan sebagai β (T ) = n0∆0 +n1∆1. Pohon (tree) dengan parameter-parameter ini disebut dengan (n0, ∆0, n1, ∆1)-tree.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3 LANDASAN TEORITIS
3.1 Garis-garis Besar Kasus yang Lebih Sederhana
Domigos Dellamonica (2009) telah mengkaji kasus spesifik yang lebih sederhana dimana dapat mengaplikasikan versi teknik yang lebih sederhana dimana dapat mengaplikasikan versi teknik yang lebih muda dalam membuktikan. Asumsikan bahwa ni dan ∆i tetap dan memenuhi n0∆0 = n1∆1. Asumsi tak-realistis ini adalah eksistensi suatu bipartite graph G yang mempunyai kelas V0, V1 dengan 100ni ≤ |Vi| = Ni = O(ni), i = 0, 1, sedemikian sehingga semua vertex di dalam Vi mempunyai degree Di = O (∆i) dan sedemikian sehingga untuk setiap i dan setiap himpunan S ⊆ Vi, dengan |S| ≤ |Vi−1| /Di diperoleh |ΓG (S)| ≥ (1 − ε)Di untuk suatu bilangan kecil ε ≥ 0. Khususnya, G adalah suatu bipartite graph untuk mana diperoleh ekspansi lossless pada pokoknya untuk semua himpunan (yang jelas, jika S terlalu besar, itu tidak bisa diekspansikan secara lossless).
Selanjutnya diberikan garis-garis besar bagaimana bisa menentukan copy dari (n0, ∆0, n1, ∆1)-tree T dalam suatu subgraph G yang cukup padat. Andaikan bahwa G′ ⊆ G adalah sedemikian rupa e(G′) ≥ e(G)/2. Dengan menghapuskan secara berangkai vertex-vertex ber-degree rendah, bisa dipastikan bahwa setiap v ∈ Vi′ = Vi∩V (G′) mempunyai degree paling kecil Di/4 dan bahwa e(G′) ≥ e(G)/4.
Andaikan bahwa f adalah embedding parsial T ke dalam G′. Suatu vertex v ∈ V ′ = V (G′) adalah nonaktif terhadap f jika terdapat vertex u ∈ V (T ) sedemikian sehingga v = f(u) dan, selain itu, semua neighbor dari u sudah diembed oleh f (yaitu, f −1(V ′) ⊃ TT .
Suatu vertex disebut bebas berkenaan dengan embedding parsial f jika vertex tersebut tidak dicadangkan dan tidak berada dalam bayangan dari f. Akan diuraikan bagaimana suatu vertex menjadi dicadangkan dalam ulasan berikut.
12
Universitas Sumatera Utara
13
Vertex kritis
Unsur pokok dalam skema embedding adalah bagaimana menangani vertexvertex aktif dalam G′ yang mempunyai sedikit neighbor bebas. Vertex-vertex ini akan disebut vertex kritis. Dikaitkan dengan setiap vertex kritis v suatu himpunan bagian Rv dari neighborhood bebasnya yang akan dicadangkan secara eksklusif untuk neighbor terembed dari f −1(v) (jika v pernah digunakan dalam embedding, untuk lainnya v akan tetap tidak digunakan). Khususnya, vertex-vertex di dalam Rv tidak lagi bebas.
Misalkan c ∈ (0, 1) adalah suatu konstanta tetap yang akan didefinisikan kemudian. Suatu vertex dari kelas Vi′(i = 0, 1) diklasifikasikan sebagai kritis jika mempunyai lebih kecil dari cDi neighbor.
Pada dasarnya ada dua kesulitan dalam menangani vertex kritis karena himpunan-himpunan bagian yang dicadangkan harus eksklusif, himpunan-himpunan bagian tersebut harus saling lepas dari satu dengan lainnya. Selain itu, setelah mencadangkan vertex, bisa menghasilkan lebih banyak vertex kritis, karena vertex yang dicadangkan tidak lagi bebas. Karena itu, penting dipastikan bahwa jumlah vertex kritis selalu dibatasi.
Untuk menjamin agar tidak terlalu banyak vertex kritis, himpunan vertex yang dicadangkan untuk setiap vertex kritis relatip kecil-berukuran ∆0 atau ∆1 tergantung pada ke dalam kelas mana vertex kritis termasuk. Karena itu, untuk setiap vertex kritis baru, dicadangkan sejumlah kecil vertex (yang kemudian menjadikan tak-bebas). Di lain pihak, setiap vertex kritis harus mengirimkan sebagian yang berarti dari edge-edge-nya ke dalam himpunan vertex tak-bebas. Dengan sifat LE dan Lemma 2.4, himpunan vertex-vertex kritis haruslah kecil, jika tidak maka ekspansi himpunan LE dari vertex-vertex kritis akan kontradiksi dengan fakta bahwa himpunan vertex tak-bebas tidak besar.
Secara lebih formal, misalkan Ci adalah himpunan vertex kritis dalam kelas Vi. Jumlah vertex tak-bebas dalam V1−i paling banyak n1−i + |Ci| ∆i. Akan tetapi, setiap vertex v ∈ Ci mengirimkan paling sedikit d′G(v) − cDi ≥ (1/4 − c)Di edge ke dalam himpunan vertex tak-bebas dari V1−i.J ika |Ci| mencapai 16n1−i/Di < |V1−i| /Di, bisa dipastikan kontradiksi dengan sifat LE melalui Lemma 2.5. Tentu
Universitas Sumatera Utara
14
saja, himpunan vertex tak-bebas haruslah lebih besar dari pada |Ci| Di/8 ≥ (8n1−i/ Di + |Ci| /2)Di/8 = n1−i + |Ci| Di/16 > n1−i + |Ci| ∆i jika dipilih c cukup kecil dan Di/∆i cukup besar.
3.2 Skema Embedding (Embedding Scheme)
berikut adalah Skema Embedding pohon (Domigos, 2009)dengan langkahlangkah sebagai berikut: Ambil akar sebarang v1 ∈ V1 (T ) dan petakan itu ke suatu vertex sebarang dalam V1′. Di setiap langkah diambil suatu vertex yang sudah embedded dan embed semua children sekaligus. Andaikan bahwa diperoleh embedding parsial f dari T ke dalam G′. Misalkan C adalah koleksi dari vertex-vertex kritis dan R = {Rv}v∈C adalah famili dari himpunan-himpunan yang dicadangkan. Misalkan u ∈ V (T ) adalah vertex yang embedded dan w = f(u).
Jika w kritis maka Rw ∈ R memuat vertex yang cukup untuk embed setiap child dari u. Tidak ada vertex kritis lainnya yang bisa diciptakan setelah embedding ini terjadi (karena tidak ada vertex bebas digunakan). Jika w ∈ Vi′ tidak kritis, maka jumlah neighbor bebas dari w paling sedikit sama dengan cDi ≫ ∆i, yang lebih dari cukup untuk embed setiap child dari u. Setelah embedding children dari u (dengan memilih secara sewenang-wenang vertex-vertex dari antara neighborneighbor bebas dari w), bisa diciptakan vertex kritis baru.
Vertex kritis baru mempunyai cDi neighbor bebas sebelum perluasan embedding di atas. Karena perluasan hanya bisa menjadikan ∆i vertex tak-bebas dan cDi ≫ ∆i, vertex kritis baru ini tetap mempunyai banyak neighbor bebas persis setelah perluasan.
Ambil salah satu vertex kritis baru (yang mungkin banyak) dan pilih himpunan bagian-∆i sebarang dari neighborhood bebasnya. Bentuk himpunan-himpunan yang dicadangkan untuk vertex-vertex kritis baru dengan menggunakan prosedur iteratif berikut.
Universitas Sumatera Utara
15
Andaikan bahwa Cj ⊂ Vi′ adalah koleksi dari j vertex kritis pertama dalam Vi′ yang dibentuk dengan perluasan embedding. Misalkan {Rv}v∈Cj adalah kelompok himpunan bagian-∆i-himpunan bagian-∆i yang saling lepas sedemikian sehingga Rv mungkin hanya memuat neighbor bebas dari v. Tetapkan Xj = v∈Cj Rv.
Jika terdapat suatu vertex (non-kritis) w yang mempunyai lebih kecil dari cDi neighbor bebas di luar dari Xj ditetapkan Cj+1 = Cj ∪ {w} dan diperoleh kelompok baru dari himpunan-∆i-himpunan-∆i yang saling lepas {Rv}v∈Cj+1 seperti di atas. Juga ditetapkan batasan tambahan untuk kelompok ini: Xj ⊂ Xj+1, yaitu begitu suatu vertex dipilih untuk dicadangkan menjadi vertex kritis, vertex tersebut akan dicadangkan untuk suatu vertex kritis (tetapi tidak selalu untuk vertex yang memang awalnya dipasangkan kepadanya). Batasan ini penting karena digunakan fakta bahwa himpunan vertex-vertex tak-bebas adalah naik monoton. Khususnya, begitu suatu vertex diklasifikasikan sebagai kritis, vertex tersebut selalu mempunyai lebih kecil dari cDi neighbor bebas.
Setelah prosedur di atas selesai, setiap vertex tak-kritis dari Vi′(i = 0, 1) mempunyai setidaknya cDi neighbor bebas dan setiap vertex kritis mempunyai suatu himpunan eksklusif dari vertex-vertex yang dicadangkan. Karena itu, dimungkinkan melanjutkan embedding sampai tree keseluruhan embedded.
Yang jelas, perlu ditunjukkan bahwa dimungkinkan memperoleh kelompok himpunan-himpunan dicadangkan di atas. Setiap vertex kritis baru mempunyai paling sedikit cDi − ∆i neighbor yang bebas atau dicadangkan untuk sementara ke vertex kritis baru lainnya. Dengan menggunakan sifat LE dari graph dan pernyataan tipe-Hall, tidak sulit memperoleh kelompok baru dari himpunan-himpunan dicadangkan sepanjang j = |Cj| tidak terlalu besar. Akan tetapi, karena mempunyai batas atas global untuk jumlah vertex kritis, strategi ini selalu berhasil.
3.3 Sifat-sifat dari Bipartite Graph Acak
Dalam bagian ini dinyatakan suatu teorema teknis yang menguraikan beberapa sifat bipartite graph acak yang digunakan sewaktu embedding tree. catat bahwa, berbeda dengan asumsi-asumsi dari Bagian 3.1, mempunyai ekspansi lossless pada kedua kelas bipartite graph yang tidak padat tidak selalu dimungkinkan. Un-
Universitas Sumatera Utara
16
tuk mengatasi hal ini ditunjukkan bahwa terdapat banyak himpunan LE di ”tempat yang berguna”, yaitu sebagian besar neighborhood dari vertex kaya akan himpunan LE.
Definisi 3.3. Misalkan ε > 0, p ∈ (0, ε/8), N0, N1, D0 =p N1, D1 =p N0 ∈ N. Suatu bipartite graph G = (U, W ; E) dengan |U | = N0, |W | = N1 memenuhi sifat berikut: Sifat (3.4) jika terdapat W ′ ⊆ W dengan |W ′| ≥ (1 − 2ε)N1 sedemikian sehingga berlaku syarat-syarat berikut:
1. Deg(w) ∼ε D1 untuk semua w ∈ W ′ dan, selain itu, #{u ∈ T (w) : deg(u) ∼ε D0} ε
i=1 i=1
D1S.
d∗G(T ) ≤
k
d∗G(Ti)
<
√ (1 − 5 ε)D0
k
|Ti|
i=1 i=1
√
≤ 11−−54√εε D0|T |
Universitas Sumatera Utara
22
< (1 − 10ε)D0|T |,
kontradiksi dengan ε2. Karenanya, dengan menghapuskan kurang dari s0 elemen dari W ′ bisa dijamin bahwa (iii) berlaku bersama-sama dengan (i) dan (ii).
Klaim 3.10. Jika εN1 < D0D1 maka a.a.s. setiap w ∈ W untuk mana deg(w) ∼ε D1 dan setiap T ⊆ Γ(w) dengan T ≥ε D1 memenuhi syarat-syarat dari Sifat (3.4). (iv).
Bukti. Andaikan bahwa Jika εN1 < D0D1. Misalkan w ∈ W adalah tetap dan asumsikan bahwa deg(w) ∼ε D1 (karena untuk lainnya w ∈ W ′). Misalkan T = {t1, t2, . . . , tm} ⊆ Γ(w) adalah himpunan sebarang dengan m ≥ε D1. Dalam graph acak g[U, W \{w}], vertex t1 mempunyai perkiraan p(N1 − 1) ∼ε/2 D0. Karenanya, dengan ketaksamaan Chernoff,
P [deg(t1) ∼ε D0] ≥ 1 − exp{Ωε(D0}}.
Akan diusahakan membentuk suatu himpunan T1 dengan k = min{εD1/8, εN1 /(4D0)} elemen yang memenuhi syarat (iv). Misalkan X = {w}. dikatakan bahwa ti berhasil jika Γ(ti)\X ∼ε D0 dan deg(ti) ∼ε D0, untuk lainnya ti gagal. Jika ti berhasil, ditambahkan t1 pada T1 dan Γ(ti) pada X. Jika ti gagal, baik X maupun T1 tetap tidak berubah. Jika T1 memuat k elemen maka diperoleh T1 akhir. Dengan konstruksi, setiap T1′ ⊆ T1 adalah sedemikian sehingga d∗(T1′) ∼ε D0T1′.
Andaikan bahwa tℓ adalah elemen terakhir yang ditambahkan pada T1. Maka
dimulai membangun T2 ⊂ {tℓ+1, . . . , tm} dengan cara yang sama dengan memba-
ngun T1” tetapkan X = {w} dan tambahkan secara berangkai vertex-vertex ti yang
berhasil pada T2 dan neighborhood-nya Γ(ti) pada X. Ulangi prosedur untuk Ti
lainnya sampai dibangun Tr atau sampai vertex tm dicapai. Catat bahwa selalu
dipunyai
X
≤
ε N1 4D0
(1
+
ε)D0
+
1
≤ε
N1/2.
Karena
itu,
dengan
ketaksamaan
Cher-
noff, probabilitas bahwa ti tetap gagal paling besar sama dengan exp{−Ωε(D0)}
untuk setiap i.
Jika tidak dapat dibangun koleksi T1, . . . , Tr yang diinginkan maka paling sedikit m/8 elemen dari T gagal. Tentu saja, diperlukan rk elemen berhasil, di mana 3m/4 ≤ rk ≤ 3m/4 + kleq3m/4 +ε D1/8 ≤ 7m/8. Sekalipun barisan variabel indikator I[ti gagal] tidak saling bebas, barisan tersebut didominasi oleh barisan
Universitas Sumatera Utara
23
variabel-variabel Bernoulli yang saling bebas. Karena itu, probabilitas bahwa barisan tetap dari (m/8) ≥ε D1/8 vertex gagal paling besar exp{−Ωε(mD0/8)} = exp{−Ωε(D0D1)}. Perhatikan batas gabungan untuk (1) semua pilihan w ∈ W yang mempunyai deg(w) ∼ε D1; (2) semua himpunan bagian T ⊆ Γ(w) dengan T ≥ε D1; (3) semua himpunan bagian−(m/8) yang mungkin dari vertex-vertex T yang gagal. Probabilitas bahwa gagal dibangun koleksi yang diinginkan untuk suatu vertex paling besar sama dengan
N122D122D1exp{−Ωε(D0D1)} → 0apabilaD0D1 → ∞,
(3.5)
karena D0D1 >ε N1. (Catat bahwa bisa dijadikan D0D1 sebesar yang dibutuhkan dengan mengambil C yang cukup besar). Dengan demikian, klaim terbukti.
Adalah fakta yang sudah diketahui dengan jelas bahwa jumlah edge di antara himpunan-himpunan berukuran linier dalam suatu graph acak adalah a.a.s. sangat mendekati nilai yang diperkirakan. Tentu saja, misalnya ε3 adalah kejadian yang bersesuaian dengan sifat (3.4).(v) dan misalkan ε4 menotasikan kejadian yang diuraikan oleh Klaim 3.9. Catat bahwa kejadian-kejadian ε0, . . . , ε4 berlaku bersama-sama dengan probabilitas yang paling kecil sama dengan 1 − ε. Dengan bersyaratkan semua kejadian tersebut, (v) dipenuhi (dengan ε3), Klaim 3.8 menjamin (i)-(iii) dan ε4 bersama-sama dengan (i) mengimplikasikan (iv).
Dalam bagian ini dibuktikan lemma yang akan digunakan untuk menjamin agar langkah-langkah tertentu dalam skema embedding tree bisa dilaksanakan.
Lemma 3.11. Misalkan S1, . . . Sm adalah koleksi himpuna dan b ∈ Nm adalah sedemikian rupa sehingga, untuk setiap I ⊆ [m], diperoleh ∪i∈ISi ≥ i∈I bi−.
Bukti. Direduksi masalah ini menjadi masalah pencocokan. Perhatikan suatu bipartite graph H dengan kelas vertex A = ∪im=1{i}[bi] dan B = ∪im=1Si dan edge-edge yang diberikan oleh {(i, j), u} untuk semua i ∈ [m], j ∈ [bi] dan u ∈ Si. Perhatikan bahwa menambahkan bi copy suatu vertex i yang mempunyai neighborhood si untuk semua i.
Diberikan himpunan A′ ⊆ A, misalkan I = I(A′) adalah proyeksi dari A′ pada koordinat pertama. Diperoleh A′ ≤ i∈I bi dan, di lain pihak, ΓH (A′) = ∪i∈I Si ≥
i∈I bi ≥ A′. Karenanya, syarat Hall dipenuhi untuk H dan terdapat pencocokan
Universitas Sumatera Utara
24
M terhadap A. Dari M diperoleh himpunan-himpunan Si′ ⊆ Si dengan memisalkan Si′ adalah himpunan elemen-elemen yang dicocokkan dengan (i, 1), . . . , (i, bi).
Andaikan bahwa terdapat famili yang saling lepas {S”i ⊆ Si}ki=1, k ≤ m, dengan S”i = bi. Dengan melaksanakan perubahan-perubahan lokal kecil pada famili {Si′ ⊆ Si}mi=1 bisa dipastikan bahwa ∪ik=1S”i ⊆ ∪im=1Si′. Jika terdapat x ∈ ∪ki=1S”i\ ∪im=1 Si′ maka misalkan j ∈ [k] adalah sedemikian rupa sehingga x ∈ S”j. Karena bj = Sj′ = S”j, terdapat y ∈ Sj′ \S”j. Misalkan Sj′ ← Sj′ − y + x. Catat bahwa ini menurunkan dengan tegas
k
|Si′∆Si′|
i=1
Khususnya, karena bilangan ini selalu non-negatip, dengan paling banyak tahap bisa diperoleh famili yang diinginkan.
k i=1
|Si′∆Si′|
Lemma 3.12. Misalkan G = (U, W ; E) adalah graph dengan W ′ ⊆ W yang memenuhi Sifat (3.4). Misalkan α ≥ α0(ε) = Ω(√ε).
Andaikan bahwa S ⊆ W ′, dengan S ≤ε N1/(D0D1), adalah sedemikian rupa sehingga terdapat famili yang saling lepas {Av ⊂ Γ(v)}v∈S dan famili (tidak perlu saling lepas) {Bx ⊂ Γ(x)}x∈ v∈S Av dengan Av = αD1 untuk setiap v ∈ S dan Bx = αD0 untuk setiap x ∈ ∪v∈SAv.
Maka terdapat famili yang saling lepas dari himpunan−∆1{Xv′ ⊆ Av}v∈S dan famili yang saling lepas himpunan −∆0{Yv,x ⊆ Bx}v∈S,x∈Xv.
Bukti. Akan diasumsikan bahwa D0D1 ≤ε N1 karena untuk lainnya S = φ dan tidak ada yang perlu dibuktikan. Famili-famili yang diinginkan akan diperoleh dengan tiga tahap.