BILANGAN RAMSEY BIPARTIT UNTUK LINGKARAN GENAP DAN GRAF K2,2.

BILANGAN RAMSEY BIPARTIT UNTUK

LINGKARAN GENAP DAN GRAF

K

2,2

TESIS

Oleh: SURYADI 0921222005

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS ANDALAS

PADAN

DAFTAR ISI

I PENDAHULUAN 1

I.1 Latar Belakang Masalah . . . 1

I.2 Perumusan Masalah . . . 3

I.3 Tujuan Penelitian . . . 3

I.4 Manfaat Penelitian . . . 4

II TINJAUAN PUSTAKA 5 II.1 Graf dan Sub Graf . . . 5

II.2 Bilangan Ramsey Bipartit . . . 12

IIIBILANGAN RAMSEY BIPARTIT UNTUK LINGKARAN GENAP DAN GRAF K2,2 14 III.1 Batas Bawah b(C2m;K2,2) . . . 14

III.2 Batas Atas b(C2m;K2,2) . . . 16

III.3 Nilai Eksak b(C2m;K2,2) . . . 33

IVKESIMPULAN 34 DAFTAR PUSTAKA 35

DAFTAR GAMBAR

II.1 (a) Graf berarah (b) Graf tak berarah . . . 6

II.2 (a) Graf sederhana (b) Bukan graf sederhana . . . 6

II.3 (a) K4 (b) P3 (c) C4 . . . 8

II.4 C4 ∼= K2,2 . . . 9

II.5 Suatu graf G dengan subgraf H1 dan H2, H1 merupakan spanning subgraf dari G sedangkan H2 bukan spanning subgraf dari G . . . 10

II.6 Graf G = K3,3, H1 ⊆G,H2 ⊆G, H2 = H1 . . . 11

II.7 Sisi u1u4 merupakan sebuah tali bagi lingkaran u1u2u4u3u1 . . 11

III.1 (a) G ⊆K4,4,G ∼= C8 (b) G ∼= C8 . . . 15

III.2 (a) Km−1,m+n−2 + C2m (b) Kn−1,m+n−2 + C2n . . . 16

III.3 Ilustrasi Bukti Lema 3.4. (a) Kasus 1. (b) Kasus 2. (c) Kasus 3. 18 III.4 Ilustrasi Bukti Lema 3.5. (a) Kasus 1. (b) Kasus 2. . . 20

III.5 Ilustrasi untuk y1,y2,y3 ∈6 NG(x4) dan x1,x2,x3 6∈NG(y4) . . . 22

III.6 Ilustrasi untuk x5y4,x5y5 6∈E(G) . . . 23

III.7 Ilustrasi untuk x5y4 ∈E(G) dan x5y5 ∈6 E(G) . . . 23

III.8 Ilustrasi untuk x5y5 ∈E(G) dan x5y4 ∈6 E(G) . . . 24

III.9 Ilustrasi untuk x5y4 ∈E(G) dan x5y5 ∈E(G) . . . 25

III.10 Graf yang memuat lingkaran C2(k+1) . . . 26

xiv xv III.11 Ilustrasi untuk xk+1yk+1 ∈E(G) . . . 27

III.12 Ilustrasi jika tidak ada sisi antara {xk+2} dan {yk+1,yk+2} di G 28

III.13 Ilustrasi untuk xk+2yk+1 ∈E(G) dan xk+2yk+2 6∈E(G). . . . 29

III.14 Ilustrasi untuk xk+2yk+2 ∈E(G) dan xk+2yk+1 6∈E(G). . . . 31

ABSTRAK

Misalkan H1 dan H2 adalah graf-graf bipartit. Bilangan Ramsey bipartit b(H1;H2)

adalah bilangan bulat positif terkecil b sedemikian sehingga apabila sisisisi graf bipartit

lengkap Kb,b diwarnai dengan dua warna maka akan terbentuk subgraf monokromatik H1

atau subgraf monokromatik H2. Dengan kata lain, jika G merupakan subgraf dari Kb,b maka

G memuat H1 atau komplemen dari G yang relatif terhadap Kb,b memuat H2. Nilai eksak

b(H1;H2) yang telah ditemukan diantaranya adalah b(K2,2;K2,2) = 5, b(K2,3;K2,3) = 9,

b(K2,4;K2,4) = 13, dan b(K3,3;K3,3) = 17. Tesis ini mengkaji batas-batas dan nilai eksak dari

b(H1;H2) untuk H1 yang berbentuk lingkaran genap dan H2 yang berbentuk graf K2,2.

I PENDAHULUAN

I.1

Latar Belakang Masalah

Penentuan bilangan Ramsey merupakan salah satu topik kajian dalam kombinatorik. Perkembangannya diawali dari ide dasar bilangan Ramsey klasik

yaitu untuk bilangan bulat positif m dan n, bilangan Ramsey R(m;n) adalah

bilangan bulat positif terkecil R sedemikian sehingga bila sisi-sisi graf lengkap KR

diwarnai dengan dua warna maka akan terbentuk subgraf monokromatik Km atau

subgraf monokromatik Kn. Dengan kata lain, untuk sebarang graf G yang berorde

R, G akan memuat Km atau komplemen dari G akan memuat Kn.

Penelitian untuk menentukan nilai eksak bilangan Ramsey klasik telah mendapat banyak perhatian. Namun demikian kemajuan yang didapatkan masih relatif lambat. Sampai saat ini baru sembilan buah nilai eksak bilangan Ramsey klasik yang diketahui, yaitu Greenwood dan Gleason (1955) yang menunjukan

bahwa R(3;3) = 6,R(3;4) = 9,R(3;5) = 14,R(4;4) = 18. Kery (1964) kemudian

membuktikan bahwa R(3;6) = 18, diikuti oleh Kalbfleisch (1966) yang

memberikan R(3;7) = 23. Dua bilangan Ramsey lain diberikan oleh Grienstead dan

Roberts (1982) yaitu R(3;8) = 28,R(3;9) = 36. Hasil terbaru diberikan oleh Mc Kay

dan Radziszowski (1995) yang menunjukan bahwa R(4;5) = 25.

Untuk nilai m,n 3 lainnya, penentuan nilai eksak bilangan Ramsey klasik

merupakan persoalan yang sulit walaupun batas atas dan batas bawah dari bebe-

rapa bilangan tersebut telah diperoleh. Kesulitan ini mendorong para peneliti untuk mengembangkan konsep bilangan Ramsey klasik, salah satunya dengan pengembangan ke arah konsep bilangan Ramsey bipartit. Konsep ini mengganti domain graf lengkap pada bilangan Ramsey klasik menjadi graf bipartit lengkap dan mengganti syarat kelengkapannya menjadi graf bipartit.

Misalkan H1 dan H2 adalah graf-graf bipartit. Bilangan Ramsey bipartit b(H1;H2)

adalah bilangan bulat positif terkecil b sedemikian sehingga apabila sisisisi graf bipartit

lengkap Kb,b diwarnai dengan dua warna maka akan terbentuk subgraf monokromatik H1

atau subgraf monokromatik H2. Dengan kata lain, untuk sebarang subgraf G dari Kb,b, G

memuat H1 atau komplemen dari G yang relatif terhadap Kb,b memuat H2.

Untuk kombinasi H1 dan H2 yang berbentuk graf bipartit lengkap, sampai saat ini

beberapa nilai eksak maupun batas-batas untuk b(H1;H2) telah diperoleh.

Beineke dan Schwenk [1] tahun 1975 telah menunjukan bahwa

b(K2,2;K2,2) = 5, b(K2,4;K2,4) = 13, b(K3,3;K3,3) = 17 , dan menunjukan bahwa

b(K2,n;K2,n) = 4n − 3 untuk n = 2 atau untuk n yang

merupakan bilangan ganjil sedemikian sehingga terdapat suatu matriks Hadamard yang

berorde 2(n − 1).

Pada tahun 1978, Irving [8] menunjukan bahwa b(K4,4;K4,4) 48. Hattingh dan

Henning pada tahun 1998 [6] membuktikan bahwa

Pada tahun 2000, Carnielli dan Carmelo [3] membuktikan bahwa jika 4n−3

3

merupakan pangkat prima maka b(K2,n;K2,n) = 4n−3. Selain itu juga ditunjukan bahwa

b(K2,2;K1,n) = n + q, untuk q2 −q + 1 n q2, dengan q merupakan

suatu pangkat prima.

Konsep bilangan Ramsey bipartit tidak hanya berkembang untuk kombinasi H1 dan

H2 yang berbentuk graf bipartit lengkap saja, tetapi juga berkembang untuk kombinasi H1

dan H2 yang berbentuk graf bipartit tertentu. Beberapa hasil telah ditemukan. Pada tahun

1975, Faudree dan Schelp [5] membuktikan nilai eksak bilangan Ramsey Bipartit

b(H1;H2) untuk H1 dan H2 yang berbentuk lintasan. Untuk H1 dan H2 yang berbentuk

lintasan dan bintang, nilai eksak bilangan Ramsey Bipartite b(H1;H2) berhasil ditemukan

oleh Hattingh dan Henning [7] pada tahun 1998.

Dalam tulisan ini penulis tertarik untuk mengkaji masalah bilangan Ramsey bipartit

b(H1;H2) untuk H1 dan H2 yang berbentuk lingkaran genap dan graf

bipartit lengkap K2,2.

I.2

Perumusan Masalah

Perumusan masalah dalam tulisan ini adalah berapakah nilai eksak bilangan

Ramsey bipartit untuk kombinasi graf lingkaran genap C2m, m 2 dan graf

I.3

Tujuan Penelitian

Tulisan ini bertujuan untuk mengkaji batas-batas bilangan Ramsey bipartit

b(C2m;K2,2), m 3, dan mengkaji nilai eksak bilangan Ramsey bipartit b(C2m;K2,2), m 2.

I.4

Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat memperluas wawasan penulis dan pembaca, serta dapat memberikan sumbangan terhadap pengembangan kajian matematika, khususnya perkembangan konsep bilangan Ramsey bipartit.

III.12 Ilustrasi jika tidak ada sisi antara {xk+2} dan {yk+1,yk+2} di G 28

III.13 Ilustrasi untuk xk+2yk+1 ∈ E(G) dan xk+2yk+2 6∈ E(G). . . . 29

III.14 Ilustrasi untuk xk+2yk+2 ∈ E(G) dan xk+2yk+1 6∈ E(G). . . . 31

ABSTRAK

Misalkan H1 dan H2 adalah graf-graf bipartit. Bilangan Ramsey bipartit b(H1;H2)

adalah bilangan bulat positif terkecil b sedemikian sehingga apabila sisisisi graf bipartit lengkap Kb,b diwarnai dengan dua warna maka akan terbentuk subgraf monokromatik H1

atau subgraf monokromatik H2. Dengan kata lain, jika G merupakan subgraf dari Kb,b maka

G memuat H1 atau komplemen dari G yang relatif terhadap Kb,b memuat H2. Nilai eksak

b(H1;H2) yang telah ditemukan diantaranya adalah b(K2,2;K2,2) = 5, b(K2,3;K2,3) = 9,

b(K2,4;K2,4) = 13, dan b(K3,3;K3,3) = 17. Tesis ini mengkaji batas-batas dan nilai eksak dari

b(H1;H2) untuk H1 yang berbentuk lingkaran genap dan H2 yang berbentuk graf K2,2.

I PENDAHULUAN

I.1

Latar Belakang Masalah

Penentuan bilangan Ramsey merupakan salah satu topik kajian dalam kombinatorik. Perkembangannya diawali dari ide dasar bilangan Ramsey klasik yaitu untuk bilangan bulat positif m dan n, bilangan Ramsey R(m;n) adalah bilangan bulat positif terkecil R sedemikian sehingga bila sisi-sisi graf lengkap KR

diwarnai dengan dua warna maka akan terbentuk subgraf monokromatik Km atau

subgraf monokromatik Kn. Dengan kata lain, untuk sebarang graf G yang berorde

R, G akan memuat Km atau komplemen dari G akan memuat Kn.

Penelitian untuk menentukan nilai eksak bilangan Ramsey klasik telah mendapat banyak perhatian. Namun demikian kemajuan yang didapatkan masih relatif lambat. Sampai saat ini baru sembilan buah nilai eksak bilangan Ramsey klasik yang diketahui, yaitu Greenwood dan Gleason (1955) yang menunjukan bahwa R(3;3) = 6,R(3;4) = 9,R(3;5) = 14,R(4;4) = 18. Kery (1964) kemudian membuktikan bahwa R(3;6) = 18, diikuti oleh Kalbfleisch (1966) yang memberikan R(3;7) = 23. Dua bilangan Ramsey lain diberikan oleh Grienstead dan

Roberts (1982) yaitu R(3;8) = 28,R(3;9) = 36. Hasil terbaru diberikan oleh Mc Kay dan Radziszowski (1995) yang menunjukan bahwa R(4;5) = 25.

Untuk nilai m,n 3 lainnya, penentuan nilai eksak bilangan Ramsey klasik merupakan persoalan yang sulit walaupun batas atas dan batas bawah dari bebe-

rapa bilangan tersebut telah diperoleh. Kesulitan ini mendorong para peneliti untuk mengembangkan konsep bilangan Ramsey klasik, salah satunya dengan pengembangan ke arah konsep bilangan Ramsey bipartit. Konsep ini mengganti domain graf lengkap pada bilangan Ramsey klasik menjadi graf bipartit lengkap dan mengganti syarat kelengkapannya menjadi graf bipartit.

Misalkan H1 dan H2 adalah graf-graf bipartit. Bilangan Ramsey bipartit b(H1;H2)

adalah bilangan bulat positif terkecil b sedemikian sehingga apabila sisisisi graf bipartit lengkap Kb,b diwarnai dengan dua warna maka akan terbentuk subgraf monokromatik H1

atau subgraf monokromatik H2. Dengan kata lain, untuk sebarang subgraf G dari Kb,b, G

memuat H1 atau komplemen dari G yang relatif terhadap Kb,b memuat H2.

Untuk kombinasi H1 dan H2 yang berbentuk graf bipartit lengkap, sampai saat ini

beberapa nilai eksak maupun batas-batas untuk b(H1;H2) telah diperoleh.

Beineke dan Schwenk [1] tahun 1975 telah menunjukan bahwa

b(K2,2;K2,2) = 5, b(K2,4;K2,4) = 13, b(K3,3;K3,3) = 17 , dan menunjukan bahwa

b(K2,n;K2,n) = 4n − 3 untuk n = 2 atau untuk n yang

merupakan bilangan ganjil sedemikian sehingga terdapat suatu matriks Hadamard yang berorde 2(n − 1).

Pada tahun 1978, Irving [8] menunjukan bahwa b(K4,4;K4,4) 48. Hattingh dan

Henning pada tahun 1998 [6] membuktikan bahwa

Pada tahun 2000, Carnielli dan Carmelo [3] membuktikan bahwa jika 4n−3

3

merupakan pangkat prima maka b(K2,n;K2,n) = 4n−3. Selain itu juga ditunjukan bahwa

b(K2,2;K1,n) = n + q, untuk q2 − q + 1 n q2, dengan q merupakan

suatu pangkat prima.

Konsep bilangan Ramsey bipartit tidak hanya berkembang untuk kombinasi H1 dan

H2 yang berbentuk graf bipartit lengkap saja, tetapi juga berkembang untuk kombinasi H1

dan H2 yang berbentuk graf bipartit tertentu. Beberapa hasil telah ditemukan. Pada tahun

1975, Faudree dan Schelp [5] membuktikan nilai eksak bilangan Ramsey Bipartit b(H1;H2) untuk H1 dan H2 yang berbentuk lintasan. Untuk H1 dan H2 yang berbentuk

lintasan dan bintang, nilai eksak bilangan Ramsey Bipartite b(H1;H2) berhasil ditemukan

oleh Hattingh dan Henning [7] pada tahun 1998.

Dalam tulisan ini penulis tertarik untuk mengkaji masalah bilangan Ramsey bipartit b(H1;H2) untuk H1 dan H2 yang berbentuk lingkaran genap dan graf

bipartit lengkap K2,2.

I.2

Perumusan Masalah

Perumusan masalah dalam tulisan ini adalah berapakah nilai eksak bilangan Ramsey bipartit untuk kombinasi graf lingkaran genap C2m, m 2 dan graf

I.3

Tujuan Penelitian

Tulisan ini bertujuan untuk mengkaji batas-batas bilangan Ramsey bipartit b(C2m;K2,2), m 3, dan mengkaji nilai eksak bilangan Ramsey bipartit b(C2m;K2,2), m 2.

I.4

Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat memperluas wawasan penulis dan pembaca, serta dapat memberikan sumbangan terhadap pengembangan kajian matematika, khususnya perkembangan konsep bilangan Ramsey bipartit.