PEMODELAN TIME SERIES DAN PERAMALAN MENGGUNAKAN METODE AUTOREGRESSIVE MOVING AVERAGE (ARIMA) DAN RANDOM WALK
ABSTRACT
TIME SERIES MODELING AND FORECASTING USING
AUTOREGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE (ARIMA)
AND RANDOM WALK
By
FAIGA KHARIMAH
Autoregressive integrated moving average (ARIMA) is a combination of
Autoregressive (AR) model and Moving Average (MA) model. The ARIMA
model has orde (0,1,0) is called RandomWalk model. The ARIMA model using
past and present value to produce short-term forecasting. The purpose of this
research is to determine the best ARIMA model for forecasting the Consumer
Price Index (CPI) and health comodities price index Bandar Lampung city in the
period January to June 2014. The ARIMA model has assumption that the series
data are stationary. The CPI and health comodities price index of Bandar
Lampung is not stationary, then we apllied differencing to make the data
stationary. To find the best model ARIMA, first we check the stationary data by
using time series plot, Autocorrelation Function (ACF), and unitroot test. Then the
time series model was found by using ACF and Partial Autocorrelations Function
(PACF). The best model was found by using criteria Mean Square Error (MSE),
Akaike’s Information Criterion (AIC) and Bayesian Information Criterion (BIC).
The best model is ARIMA (1,1,0) for CPI and ARIMA (0,1,0) for health
comodities price index.
Key Word : time series, forecasting, CPI, ARIMA
PEMODELAN TIME SERIES DAN PERAMALAN
MENGGUNAKAN METODE AUTOREGRESSIVE
MOVING AVERAGE (ARIMA) DAN RANDOM WALK
Oleh
Faiga Kharimah
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Lubuk Linggau pada tanggal 30 Januari 1994. Penulis
merupakan anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan Bapak Ari Pria
Sentosa dan Ibu Haifa Marsyuda.
Penulis telah menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 2 Harapan
Jaya pada tahun 2005, pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 29
Bandar Lampung pada tahun 2008 dan pendidikan sekolah menengah atas di
SMA Negeri 5 Bandar Lampung pada tahun 2011. Setelah menamatkan sekolah
menengah atas, penulis melanjutkan pendidikan ke perguruan tinggi dan terdaftar
sebagai mahasiswi Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN. Selama
menempuh pendidikan di perguruan tinggi penulis juga ikut serta dalam
organisasi kemahasiswaan yaitu pada periode tahun 2012/2013 – 2013/2014
penulis terdaftar sebagai anggota HIMATIKA bidang Eksternal
Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah
menyelesaikan Kerja Praktik (KP) selama 1 bulan di Badan Pusat Statistik (BPS)
kota Bandar Lampung, serta Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 40 hari di desa
Waya Krui Kabupaten Pringsewu.
PERSEMBAHAN
Untuk orangtuaku, ayah dan ibu.
Tak seorang pun tahu betapa getirnya perjuangan, betapa banyak
waktu yang tersita, bahkan berapa banyak doa dan harapan yang
dipanjatkan. Dengan kalian sebagai semangat, ku bangun harapan
untuk masa depan.
MOTO
Senyuman di setiap hariku bukan karena hidupku sempurna,
tetapi karena aku bersyukur untuk setiap rahmat yang allah
berikan setiap harinya.
unknownLife is a COMPETITION. Sometimes you WIN. Sometimes you
LOSE. But, both are good to shape a BETTER you
-unknownIf passion drives you, lets reason hold the reins
-Benjamin FranklineYou may delay , but time will not
-Benjamin FranklineJika tak mampu berkata, maka tulislah. Setidaknya itu
melegakan
Faiga Kharimah-
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala limpahan rahmat dan
hidayahNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
“Pemodelan
Time
Series
dan
Peramalan
Menggunakan
Metode
Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) dan Random Walk”.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis sadari bahwa banyak pihak yang telah
terlibat sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik dan tepat waktu.
Untuk itu penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada :
1. Bapak Mustofa Usman, Ph.D. selaku pembimbing I yang telah memberikan
bimbingan, arahan, saran, dan ilmu yang diberikan kepada penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini.
2. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si. selaku pembimbing II yang telah memberikan
bimbingan, pengarahan, motivasi, dan ilmu bagi penulis untuk belajar lebih
banyak selama proses pembuatan skripsi ini.
3. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku penguji yang telah
memberikan kritik dan saran yang membangun dalam proses pembuatan
skripsi ini.
4. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si. selaku pembimbing akademik atas bimbingan dan
arahannya selama masa perkuliahan.
5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
7. Seluruh dosen, staff dan karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam atas bimbingan selama perkuliahan.
8. Kedua orang tua, Yafi, Naufal, dan seluruh sanak saudara yang selalu
memberikan semangat, doa dan kasih sayang.
9. Ayu, Anissa, Dini, Triani, Miranti, dan Ega yang senantiasa memberikan
waktu luang, dukungan, dan semangat bagi penulis.
10. Andri Wirawan yang selalu setia dan sabar mendengar keluh kesah, serta
memberi semangat dan motivasi bagi penulis.
11. Semua rekan-rekan Jurusan Matematika FMIPA UNILA angkatan 2011.
12. Semua pihak yang telah membantu penuis dalam menyelesaikan skripsi.
Penulis menyadari bahwa skripsi masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena
itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun agar lebih
baik dimasa yang akan datang.
Bandar Lampung, Mei 2015
Penulis,
Faiga Kharimah
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI..............................................................................................
xii
DAFTAR TABEL .....................................................................................
xiv
DAFTAR GAMBAR.................................................................................
xv
I.
PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
II.
Latar Belakang ........................................................................
Batasan Masalah ......................................................................
Tujuan Penelitian .....................................................................
Manfaat Penelitian ...................................................................
1
3
3
4
TINJAUAN PUSTAKA
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Indeks Harga Konsumen (IHK) ..............................................
Analisis Time Series ................................................................
Stasioner ..................................................................................
2.3.1 Stasioner dalam Varians ..............................................
2.3.2 Stasioner dalam Rata-Rata ..........................................
Autocorrelation Function / Fungsi Autokorelasi (ACF) .........
Partial Autocorrelation Function / Fungsi Autokorelasi Parsial
(PACF) ....................................................................................
Model Autoregressive Integrated Moving Average
(ARIMA).................................................................................
2.6.1 Autoregressive (AR) .....................................................
2.6.2 Moving Average (MA) .................................................
2.6.3 Autoregressive Integrated Moving Average
(ARIMA) ................................................................................
2.6.4 Model Random Walk ....................................................
White Noise
5
6
7
7
8
10
11
13
13
14
15
16
III. METODE PENELITIAN
3.1
3.2
3.3
IV.
Waktu dan Tempat Penelitian .................................................
Data .........................................................................................
Metode Penelitian ....................................................................
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
Data Indeks Harga Konsumen .................................................
4.1.1 Identifikasi Data ...........................................................
4.1.2 Identifikasi Model ARIMA ..........................................
4.1.3 Estimasi Parameter .......................................................
4.1.4 Pemeriksaan Model ......................................................
4.1.5 Peramalan .....................................................................
4.2 Data Indeks Harga Komoditas Kesehatan ...............................
4.2.1 Identifikasi Data ............................................................
4.2.2 Identifikasi Model ARIMA ...........................................
4.2.3 Estimasi Parameter ........................................................
4.2.4 Pemeriksaan Model .......................................................
4.2.5 Peramalan ......................................................................
V.
19
19
19
27
27
33
35
39
44
46
46
51
53
54
56
KESIMPULAN
5.1
5.2
Kesimpulan ..............................................................................
Saran ........................................................................................
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
xiii
58
59
DAFTAR TABEL
Halaman
1.
Tabel 2.1 Bentuk transformasi Box-Cox ..........................................
7
2.
Tabel 4.1 Nilai MSE, AIC, BIC .......................................................
43
3.
Tabel 4.2 Peramalan nilai IHK bulan Januari sampai Juni Tahun
2014 ..................................................................................................
4.
45
Tabel 4.3 Peramalan nilai indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar
Lampung bulan Januari sampai Juni Tahun 2014 ............................
57
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1.
Gambar 3.1 Flow chart pemodelan time series dan peramalan
menggunakan ARIMA (p,d,q) ..........................................................
2.
Gambar 4.1 Time series plot data IHK kota Bandar Lampung Tahun
2009-2013 .........................................................................................
3.
31
Gambar 4.6 Unit root test first differencing Box-Cox(1) data IHK
kota Bandar Lampung Tahun 2009-2013 ..........................................
8.
31
Gambar 4.5 Grafik ACF first differencing Box-Cox(1) data IHK
kota Bandar Lampung Tahun 2009-2013 ..........................................
7.
29
Gambar 4.4 Time series plot first differencing Box-Cox(1) data IHK
kota Bandar Lampung Tahun 2009-2013 ..........................................
6.
28
Gambar 4.3 Unit root test IHK kota Bandar Lampung Tahun
2009-2013 .........................................................................................
5.
27
Gambar 4.2 Grafik ACF untuk IHK kota Bandar Lampung Tahun
2009-2013 .........................................................................................
4.
25
32
Gambar 4.7 Grafik ACF dan PACF first differencing Box-Cox(1)
data IHK kota Bandar Lampung Tahun 2009-2013 ..........................
33
9.
Gambar 4.8 Grafik white noise ARIMA (1,1,0) ...............................
40
10.
Gambar 4.9 Grafik ACF residual ARIMA (1,1,0) ...........................
40
11.
Gambar 4.10 Grafik PACF residual ARIMA (1,1,0) .......................
41
12.
Gambar 4.11 Grafik white noise ARIMA (0,1,1) .............................
41
13.
Gambar 4.12 Grafik ACF dan PACF residual ARIMA (0,1,1) ........
42
14.
Gambar 4.13 Time series plot forecasting IHK kota Bandar Lampung
bulan Januari sampai Juni Tahun 2014..............................................
15.
Gambar 4.14 Grafik data peramalan nilai IHK kota Bandar Lampung
bulan Januari sampai Juni Tahun 2014 .............................................
16.
47
Gambar 4.17 Unit root test data indeks harga komoditas kesehatan
kota Bandar Lampung Tahun 2009-2013 .........................................
19.
46
Gambar 4.16 Grafik ACF data indeks harga komoditas kesehatan
kota Bandar Lampung Tahun 2009-2013 ..........................................
18.
45
Gambar 4.15 Time series plot data indeks harga komoditas kesehatan
kota Bandar Lampung Tahun 2009-2013 .........................................
17.
44
47
Gambar 4.18 Time series plot first differencing Box-Cox(1) data
indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar Lampung
Tahun 2009-2013...............................................................................
20.
49
Gambar 4.19 Grafik ACF first differencing Box-Cox(1) data
indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar Lampung
Tahun 2009-2013...............................................................................
21.
50
Gambar 4.20 Unit root test first differencing Box-Cox(1) data
indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar Lampung
Tahun 2009-2013...............................................................................
xvi
50
22.
Gambar 4.21 Grafik ACF Box-Cox(1) first differencing data
indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar Lampung
Tahun 2009-2013 ..............................................................................
23.
51
Gambar 4.22 Grafik PACF Box-Cox(1) first differencing data
indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar Lampung
Tahun 2009-2013 ..............................................................................
52
24.
Gambar 4.23 Grafik white noise ARIMA (0,1,0) ............................
54
25.
Gambar 4.24 Grafik ACF dan PACF residual ARIMA (0,1,0).........
55
26.
Gambar 4.25 Time Series plot forecasting data indeks harga komoditas
kesehatan kota Bandar Lampung bulan Januari sampai Juni Tahun
2014 ...................................................................................................
27.
56
Gambar 4.26 14 Grafik data peramalan nilai indeks harga komoditas
kesehatan kota Bandar Lampung bulan Januari sampai Juni Tahun
2014 ...................................................................................................
xvii
57
I.
1.1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Peramalan merupakan suatu hal yang dilakukan untuk mengukur ketidak pastian
masa depan sebagai upaya membantu perusahaan atau pemerintah untuk
mengambil suatu keputusan. Peramalan pada umumnya dilakukan pada data time
series. Data time series adalah data yang terurut berdasarkan waktu. Peramalan
pada data time series adalah peramalan dengan menggunakan analisa pola
hubungan antar variabel yang akan diramalkan berdasarkan waktu.
Salah satu metode untuk melakukan peramalan pada data time series yaitu
Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). Metode ARIMA adalah
metode peramalan yang dikembangkan oleh George Box dan Gwilym Jenkins
yang sering juga disebut metode runtun waktu Box-Jenkins. Model ARIMA
adalah model gabungan dari model Autoregressive (AR) dan Moving Average
(MA). Secara umum model ARIMA dituliskan dengan notasi ARIMA (p,d,q),
dimana p menyatakan orde dari proses AR, d menyatakan orde dari difference
(pembedaan) yang dilakukan agar data stasioner, dan q menyatakan orde dari
proses MA. Untuk mendapatkan model ARIMA dilakukan dengan tiga tahap
strategi permodelan yaitu Idetifikasi, Penaksiran, dan Pengujian (Pankratz, 1991).
2
Kelebihan dari metode ARIMA yaitu dapat digunakan untuk semua pola data time
series. ARIMA menggunakan nilai pada masa lalu dan masa sekarang dari
variabel dependen untuk menghasilkan peramalan jangka pendek yang akurat.
ARIMA baik digunakan jika observasi dari deret waktu (time teries) secara
statistik berhubungan satu sama lain.
Data Indeks Harga Konsumen (IHK) atau Consumer Price Index (CPI)
merupakan salah satu data time series. IHK merupakan nomor indeks yang
digunakan untuk mengukur harga rata-rata dari barang dan jasa yang dikonsumsi
oleh rumah tangga (household). IHK seringkali digunakan untuk mengukur
tingkat inflasi dan juga seringkali digunakan sebagai pertimbangan untuk
penyesuaian gaji, upah, uang pensiun, dan lainnya. Di Indonesia badan yang
bertugas untuk menghitung IHK adalah Badan Pusat Statistik (BPS).
Penghitungan IHK dimulai dengan mengumpulkan harga dari barang dan jasa,
kemudian mengubah angka tersebut menjadi sebuah indeks tunggal yang
mengukur seluruh tingkat harga.
Peramalan IHK dengan berbagai bentuk analisis dan informasi yang dihasilkan
besar dampaknya untuk membantu dan menunjang kegiatan sosial ekonomi di
Indonesia. Namun, hasil dari suatu peramalan tidak benar 100%, selalu terdapat
nilai kesalahan yang dihasilkan. Walaupun hasil peramalan tidak selalu tepat,
peramalan telah banyak digunakan untuk membantu dengan baik dalam berbagai
bidang, misalnya saja perencanaan, dan pengambilan keputusan, salah satunya
adalah peramalan IHK itu sendiri. Besarnya pengaruh IHK terhadap laju inflasi
ekonomi
akan
berdampak
terhadap
kemajuan
perekonomian
Indonesia.
3
Berdasarkan hal ini penulis tertarik untuk melakukan peramalan nilai IHK.
Besarnya pengaruh IHK dan kelebihan model ARIMA yang dapat digunakan
untuk semua pola data time series menjadi alasan penulis untuk melakukan
permodelan time series dan peramalan dengan metode ARIMA.
1.2
Batasan Masalah
Mengingat banyaknya metode peramalan yang dapat digunakan, maka fokus
penelitian ini adalah melakukan Time Series Modelling dengan ARIMA.
Selanjutnya model ARIMA (p,d,q) akan digunakan untuk meramalkan nilai IHK
dan indeks harga komoditas kesehatan selama enam periode ke depan.
1.3
Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan sebelumnya, maka tujuan dari
penelitian ini adalah :
1. Mengetahui tahap-tahap analisis data runtun waktu (time series)
menggunakan metode ARIMA.
2. Mendapatkan model ARIMA terbaik yang dapat digunakan untuk
memprediksi nilai IHK dan indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar
Lampung pada periode yang akan datang.
4
3. Menerapkan peramalan dengan menggunakan model ARIMA untuk
meramalkan nilai IHK dan indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar
Lampung.
1.4
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Dapat mengetahui bagaimana tahap atau prosedur analisis data time series
menggunakan ARIMA.
2. Dapat mengetahui model terbaik ARIMA (p,d,q) yang dapat digunakan
untuk meramalkan nilai IHK dan indeks harga komoditas kesehatan kota
Bandar Lampung.
3. Dapat mengetahui prediksi atau hasil ramalan nilai IHK dan indeks harga
komoditas kesehatan kota Bandar Lampung dengan menggunakan model
ARIMA (p,d,q).
II.
2.1
TINJAUAN PUSTAKA
Indeks Harga Konsumen (IHK)
Menurut Monga (1977) indeks harga konsumen adalah ukuran statistika dari
perubahan harga yang dibayar konsumen atau masyarakat dari gaji atau upah yang
didapatkan. Indeks harga yang didapatkan merupakan harga eceran dari beberapa
komoditas barang dan jasa seperti bahan makanan, sandang, kesehatan,
transportasi, listrik, dan sebagainya.
Indeks harga konsumen mempelajari akibat dari perubahan harga dari kombinasi
yang terpilih sebagai standard dari mata pencaharian pertimbangan konsumen.
Indeks harga konsumen dapat dihitung sebagai persentase dari harga suatu tahun
yang dibandingkan dengan harga tahun dasar.
Secara umum untuk menghitung indeks harga konsumen ataupun indeks harga
dari setiap komoditas adalah :
=
Dengan :
100
= harga IHK atau komoditas tahun ke-n
= harga IHK atau komoditas tahun yang dijadikan dasar
6
2.2
Analisis Time Series
Time series adalah sekumpulan data hasil pengamatan dari waktu ke waktu.
Analisis time series merupakan analisis terhadap pengamatan, pencatatan, dan
penyusunan peristiwa yang diambil berdasarkan waktu. Pada umumnya
pengamatan dan pencatatan itu dilakukan dalam jangka waktu tertentu. Misalnya
data harian kenaikan saham, data mingguan untuk daftar biaya pengiriman barang,
data bulanan indeks harga konsumen, data kuartalan jumlah uang yang beredar,
data tahunan jumlah penjualan dan jumlah produksi suatu barang dan jasa (J. D.
Cryer and K. S. Chan, 2008).
Metode analisis time series didasarkan pada pola data di masa lampau. Menurut
Chatfield (2004)
data time series memiliki variasi (gerakan) yang berbeda.
Terdapat empat variasi (gerakan) dari data rangkaian waktu, yaitu :
1. Variasi musim (seasonal variation) adalah pergerakan naik dan turun
secara teratur yang cenderung berulang kembali secara periodik dalam
runtun waktu tidak lebih dari satu tahun.
2. Gerak Siklis (cyclic variation) menunjukkan pergerakan naik dan turun
secara berulang dengan panjang dari setiap siklis tidak panjang dan relatif
pendek secara periodik dalam waktu lebih dari satu tahun.
3. Trend adalah gerakan yang menunjukkan arah perkembangan secara
umum baik pergerakan naik ataupun turun. Pola trend memiliki arah
gerakan yang bertahan dalam jangka waktu yang lama.
4. Gerak tidak beraturan (random variation) menunjukkan pergerakan naik
atau turun secara tiba-tiba.
7
2.3
Stasioner
Data dikatakan stasioner jika data tersebut mempunyai nilai rata-rata dan varians
yang konstan terhadap waktu.
2.3.1 Stasioner dalam Varians
Suatu data dikatakan stasioner dalam varians jika struktur data dari waktu ke
waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan dan tidak berubah-ubah,
atau dapat dikatakan tidak ada perubahan varians.
Apabila ketidak stasioneran terjadi dalam varians, untuk menstabilkan varians
dilakukan dengan Box-Cox transformation yang di definisikan dengan :
,
Dengan
(2.1)
=
adalah parameter transformasi Box-Cox, dan Zt adalah nilai data time
series pada waktu ke-t. Beberapa nilai
yang umum digunakan sebagai berikut:
Tabel 2.1 Bentuk Transformasi Box-Cox
Bentuk Transformasi
-1
1
-0,5
1
0
Ln
0,5
1
8
Namun dalam banyak penerapan yang telah dilakukan, jenis transformasi yang
sering digunakan untuk menstabilkan varians agar data stasioner dalam varians
yaitu transformasi logaritma atau ditulis ln
ditulis
dan transformasi akar kuadrat atau
(Pankratz, 1991).
2.3.2 Stasioner dalam Rata-Rata
Suatu data dikatakan stasioner dalam rata-rata adalah jika rata-rata tetap, atau
dapat dikatakan tidak terdapat unsur trend dalam data. Apabila data tidak stasioner
dalam rata-rata dilakukan differencing untuk membuat rata-rata yang konstan pada
data (Pankratz, 1991).
Secara umum bentuk differencing pertama didefinisikan sebagai berikut :
=
Dengan :
−
(2.2)
= Differencing pertama
= nilai Z pada waktu ke-t
= nilai Z pada waktu ke t-1
Notasi yang dapat digunakan dalam melakukan differencing adalah backshift
notation B, yang penggunaannya sebagai berikut :
=
Dengan :
= differencing ke i
(2.3)
9
Notasi
yang digunakan pada
mempunyai pengaruh menggeser data satu
periode ke belakang, untuk dua penerapan notasi
pada
maka akan
menggeser data tersebut dua periode ke belakang, yang penggunaannya sebagai
berikut:
(2.4)
=
Differencing pertama dengan menggunakan notasi backshift dapat ditulis sebagai
berikut :
=
−
=
−
= (1 −
(2.5)
)
Differencing pertama dinyatakan oleh (1 −
), sama halnya dengan differencing
kedua (differencing pertama dari differencing pertama sebelumnya) dapat ditulis
sebagai berikut :
′ =
= (
Dengan :
−
−
)−(
−
)
−
)
′ = differencing kedua
Dengan notasi backshift dapat ditulis sebagai berikut :
′ =
= (
−
−
)−(
10
=
−2
+
=
−2
+
= (1 − 2 +
= (1 −
)
(2.6)
)
Pembedaan orde kedua dinotasikan dengan (1 −
) . Tujuan melakukan
differencing adalah untuk mendapatkan kestasioneran pada data. Jika data
stasioner pada orde ke –d , ditulis sebagai berikut :
orde ke − d = (1 −
2.4
(2.7)
)
Autocorrelation Function / Fungsi Autokorelasi (ACF)
Autokorelasi merupakan hubungan antar data pengamatan suatu data time series.
Menurut Wei (2006), koefisien autokorelasi untuk lag k dari data time series dapat
dinyatakan sebagai berikut :
=
Dengan :
(
,
)
=
(
(
)(
)
= rata-rata
= autokovarians pada lag ke-k
= autokorelasi pada lag ke-k
t = waktu pengamatan ke t, t = 1,2,3, . . .
)
(
)
=
(2.8)
11
=
Dimana
=
Hubungan antara koefisien autokorelasi
autokorelasi. Koefiesien autokorelasi
sampel
dengan lagnya disebut dengan fungsi
diduga dengan koefisien autokorelasi
.
=
Dengan :
( − ̅) (
− ̅)
∑ ( − ̅)
∑
(2.9)
= koefisien autokorelasi pada lag ke-k, k=0,1,2,...,k
n = jumlah observasi
̅= nilai rata-rata
= nilai data pada waktu t
2.5
Partial Autocorrelation Function / Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)
Autokorelasi parsial merupakan korelasi antara
,
ketidakbebasan
,…,
dan
dengan mengabaikan
. Autokorelasi parsial
dan
diturunkan dari model regresi linier, dengan variabel dependent
independent
,
=
Dengan :
,…,
dapat
dan
yaitu:
+
+
+
= parameter regresi ke-i , i = 1, 2, . . ., k
= residu dengan rata-rata nol
+
(2.10)
12
tidak berkorelasi dengan
, j = 1, 2, . . . ,k. Dengan mengalikan kedua
ruas pada persamaan (2.10) dan dengan nilai harapannya nol, diperoleh :
=
+
=
1 γj− 1
+
+
2 γj− 2
+
+
γj−
+
+
j−
+
(
)+
(2.11)
dan
=
+
1 j− 1
2 j− 2
(2.12)
untuk j = 1, 2, . . ., k diperoleh persamaan :
=
1 0
+
2 1
+
+
−1
=
1 1
+
2 0
+
+
−2
⋮
⋮
=
⋮
1
−1
⋮
+
2
−2
+
+
0
Dengan menggunakan aturan Cramer’s, berturut-tururt k = 1, 2, . . . diperoleh
=
=
1
1
1
2
1
1
=
1
2
1
1
1
2
3
1
2
1
2
1
1
⋮
13
1
1
=
2.6
…
−2
1
…
−3
2
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
−1
−2
−3
1
1
Dengan
2
…
1
2
…
−2
1
…
−3
⋮
⋮
⋮
−1
−2
−3
1
…
−1
=2
⋮
⋮
1
1
(2.13)
merupakan fungsi autokorelasi parsial (Wei, 2006).
Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Model Autoreggresive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan model
Autoregressive Moving Average (ARMA) non stasioner yang telah di differencing
sehingga menjadi model yang stasioner.
2.6.1 Autoregressive (AR)
Model AR adalah model yang menggambarkan bahwa nilai masa sekarang
dipengaruhi oleh nilai masa lampau. Model AR dengan order p dinotasikan
dengan AR(p). Bentuk umum model AR(p) adalah :
=
+
+
+
+
Dimana
=
Dengan :
= data pada waktu ke-t
(1 −
)
+
(2.14)
14
= Parameter AR orde ke-p
= nilai residual pada waktu ke-t
Persamaan (2.14) dapat ditulis dengan menggunakan notasi B (backshift notation)
menjadi ,
=
+
+
+
+
+
(2.15)
Atau
1−
−
−
−
=
+
Orde dalam model AR yang sering digunakan dalam analisis time series adalah
p=1 atau p=2 (Pankratz, 1991).
2.6.2 Moving Average (MA)
Model Moving Average (MA) adalah model perataan nilai dengan mengambil
sekelompok nilai pengamatan yang kemudian dicari nilai rata-rata nya, MA atau
rata-rata bergerak menggunakan angka rata-rata yang baru dihitung sebagai
ramalan dikarenakan setiap kali data observasi baru tersedia maka nilai rata-rata
baru juga akan didapatkan. Model MA dengan orde q dinotasikan dengan MA(q).
Secara umum model MA(q) adalah :
=
Dengan :
−
= data pada waktu ke-t
−
−
−
(2.16)
15
= Parameter MA orde ke-q
= nilai residual pada waktu ke-t
Persamaan (2.16) dapat ditulis menggunakan backshift notation (B) menjadi :
= (1 −
=
−
−
−
)
(2.17)
( )
Dimana
( ) = (1 −
−
−
−
)
Secara umum, order MA yang sering digunakan dalam analisis time series adalah
q=1 atau q=2 (Pankratz, 1991).
2.6.3 Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Model ARIMA(p,d,q) merupakan model yang terdiri dari Autoregressive (AR)
dengan orde p, Integrated yang didapat dari hasil differencing dengan d adalah
orde dari differencing yang dilakukan, dan Moving Average (MA) dengan orde q.
Secara umum bentuk model ARIMA(p,d,q) adalah :
( )∇ =
Dengan :
∇ = (1 −
( ) = 1−
+
)
−
−
−
( )
(2.18)
16
( ) = (1 −
−
−
−
)
Jika p=0 maka model ARIMA (p,d,q) disebut juga Integrated Moving Average
model dinotasikan IMA (d,q). Jika q=0 maka model ARIMA (p,d,q) disebut juga
Atoregressive Integrated yang dinotasikan dengan ARI(p,d) (Pankratz, 1991).
2.6.4 Model Random Walk
Model random walk adalah model ARIMA(p,d,q) dengan orde AR p=0 , orde
differencing d=1, dan orde MA q=0. Secara umum bentuk model random walk
adalah :
(1 −
)
(2.19)
=
atau
=
+
(2.20)
Model random walk adalah proses limit dari AR(1), proses (1 −
dengan Φ
)
=
1. Berdasarkan persamaan (2.18) dengan konstanta tak nol menjadi :
(1 −
)
=
+
(2.21)
Atau
=
+
+
Proses random walk dengan nilai konstanta tak nol disebut dengan random walk
with drift (Wei, 2006).
17
2.7
White Noise
Menurut Wei (2006) suatu proses pada (
) disebut white noise jika merupakan
barisan variabel acak yang tidak berkorelasi dengan rata-rara
(
= 0, varians konstan
diasumsikan
proses white noise (
)=
(
)=
yang
. Oleh karena itu, suatu
) adalah stasioner dengan :
Fungsi autokovarians
=
,
= 0
≠ 0
0,
Fungsi autokorelasi
1,
0,
=
= 0
≠ 0
Fungsi autokorelasi parsial
=
1,
0,
= 0
≠ 0
Langkah –langkah pengujian white noise :
Hipotesis : H0 =
H1 = ∃
=
=
=
= 0 (residual memenuhi proses white noise)
≠ 0 , = 1,2,…,
(residual tidak memenuhi proses white
noise)
Statistik uji yang digunakan yaitu uji Ljung Box-Pierce yang didefinisikan
dengan:
18
=
( + 2)
−
Dimana: n = banyaknya observasi
k = banyaknya lag yang diuji
= nilai koefisien autokorelasi pada lag k
Kriteria keputusan adalah H0 ditolak jika
=
−
>
tabel dengan derajat bebas
dengan p adalah banyaknya parameter atau p-value <
.
Selain itu, autokorelasi residual dapat dilihat dari plot ACF residual. Apabila tidak
ada lag yang keluar dari garis signifikan, maka dapat dikatakan bahwa tidak ada
autokorelasi.
III.
3.1
METODE PENELITIAN
Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2014/2015
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2
Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder tentang Indeks
Harga Konsumen (IHK) bulanan kota Bandar Lampung dari bulan Januari 2009
sampai Desember 2013 yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi
Lampung. Peramalan pada data IHK dilakukan dengan menggunakan metode
Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) dan juga menggunakan
bantuan program SAS 9.0.
3.3
Metode Penelitian
Metode yang digunakan untuk melakukan peramalan pada data IHK kota Bandar
Lampung adalah metode runtun waktu Box-Jenkin’s atau disebut ARIMA.
Peramalan dengan ARIMA menggunakan tiga tahap strategi pemodelan, yaitu
2
identifikasi, penaksiran dan pengujian. Adapun langkah–langkah Peramalan
dengan menggunakan ARIMA sebagai berikut :
1. Identifikasi Model
Hal pertama yang perlu diperhatikan adalah banyaknya data time series
bersifat non stasioner. Model ARIMA yang merupakan gabungan dari
model Autoregressive (AR) dan Moving Average (MA) hanya dapat
dilakukan pada data time series yang bersifat stasioner. Data time series
dikatakan stasioner jika varians dan rata-rata dari data konstan.
Kestasioneran data dapat dilihat melalui plot data, grafik autucorrelation
function (ACF), dan unit root test.
Pada plot data yang stasioner, data akan bergerak secara fluktuasi yang
tetap atau konstan dan tidak mengandung unsur trend. Sebaliknya jika data
bergerak pada fluktuasi yang tidak konstan dapat dikatakan data tidak
stasioner dalam varians. Untuk mendapatkan data yang stasioner dalam
varians dilakukan dengan transformasi Box-Cox, dan untuk mendapatkan
nilai
terbaik dalam melakukan transformasi Box-Cox dilakukan dengan
menggunakan software SAS 9.0. Nilai
yang didapat kemudian
digunakan untuk melakukan transformasi Box-Cox yang didefinisikan
dengan :
,
=
1
Jika data yang didapat sudah stasioner dalam varians, namun pada data
masih terdapat unsur trend maka perlu dilakukan differencing untuk
✁2
mendapatkan data yang stasioner dalam rata-rata. Proses differencing
(pembedaan) didefinisikan dengan :
= (1
)
Selain dengan plot data, kestasioneran data dapat juga dilihat dari grafik
ACF. Pada grafik ACF jika bar pada lag data turun secara linier
menunjukkan data yang tidak stasioner. Sebaliknya jika bar pada lag data
turun secara eksponensial atau sinusoidal menunjukkan bahwa data
stasioner.
Setelah data stasioner dilanjutkan dengan menduga orde dari AR dan MA
yang dapat dilihat dari grafik Autocorrelation Function (ACF) dan Partial
Autocorrelation Function (PACF) untuk mendapatkan model ARIMA
yang mungkin. Jika ACF turun secara eksponensial dan PACF signifikan
setelah lag p, maka proses tersebut merupakan proses AR(p). Sebaliknya
jika PACF turun secara eksponensial dan ACF signifikan setelah lag q,
maka proses tersebut merupakan proses MA(q).
Namun, banyak data time series yang tidak mengikuti proses AR maupun
MA, tetapi memiliki orde d dari differencing yang telah dilakukan, dalam
kondisi seperti ini data time series mengikuti ARIMA(p,d,q) dengan p=0,
d=1, dan q=0
atau ARIMA(0,1,0) yang disebut juga dengan model
random walk.
2. Penaksiran Parameter
Setelah mendapatkan model ARIMA yang mungkin selanjutnya dilakukan
penaksiran (estimasi) parameter pada model ARIMA yang dilakukan
dengan bantuan software SAS 9.0 menggunakan metode least square
2
o Model AR
=
+
,
Dari n obseravsi
,
+
,
+
+
dengan parameter
,
,
,
diduga dengan meminimumkan jumlah kuadrat residual Sum
Squared Error (SSE)
( )
=
=
o Model MA
= (1
)
,
Dari n observasi
,
,
dengan parameter
,
,
,
diduga dengan meminimumkan jumlah kuadrat residual Sum
Squared Error (SSE)
=
( )
=
Misal akan dilakukan estimasi parameter model AR(1) yang
didefinisikan dengan :
=
+
Sehingga, diperoleh residual :
=
Dugaan bagi parameter
jumlah kuadrat residual.
diperoleh dengan meminimumkan
2
3
=
( )
=
(
)
Untuk meminimumkan jumlah kuadrat residual maka digunakan
fungsi differencial
=0
2(
)+2
(
) =0
2
(
) =0
)+2
(
) =0
2
(
) =2
2(
2(
2
(
)=0
)(
)+
=
(
(
(
)
)
)
Selanjutnya akan dilakukan uji signifikansi parameter. Hipotesis yang
digunakan untuk uji kesignifikansi parameter adalah sebagai berikut :
H0 = Parameter tidak signifikan
H1 = Parameter cukup signifikan
Pengujian kesignifikan parameter menggunakan uji t dengan kriteria yaitu
jika nilai p-value lebih kecil dari α yang ditentukan maka tolak H0 atau
dapat dikatakan parameter signifikan.
3. Pengujian
Selanjutnya untuk mengetahui apakah residual memiliki autokorelasi atau
tidak, dilakukan dengan uji Ljung Box-Pierce untuk melihat apakah
residual memenuhi proses white noise. Selain dengan uji Ljung Box-pierce
2
4
juga dapat dilihat dari grafik ACF residual, jika semua lag tidak melewati
garis signifikan maka residual tidak memiliki autokorelasi.
Kemudian, dilakukan pemilihan model terbaik dari beberapa model
terbaik dengan membandingkan nilai MSE (Mean Square Error), AIC
(Akaike
Information
Criterion),
dan
BIC
(Bayesian
Information
Criterion). Nilai MSE adalah suatu kriteria pemilihan model terbaik
berdasarkan pada hasil sisa peramalannya. Nilai AIC adalah nilai yang
digunakan untuk mengidentifikasi model yang diterapkan dengan
pendekatan maximum likelihood. Sedangkan nilai BIC digunakan untuk
mengidentifikasi model yang diterapkan dengan pendekatan maximum
likelihood dan kemudian dikembangkan dengan teori Bayesian. Semakin
kecil nilai MSE, AIC, dan BIC berarti nilai taksiran semakin mendekati
nilai sebenarnya.
Setelah melakukan tiga tahap strategi pemodelan, model ARIMA (p,d,q) akan
digunakan untuk melakukan peramalan untuk enam periode ke depan.
Langkah-langkan dalam melakukan pemodelan time series dan peramalan dapat
juga dilihat pada Gambar 3.1.
✂2
Data
Identifikasi Data
(Uji Stasioneritas)
Transformasi Boxcox dan Differencing
Sudah stasioner
?
Tidak
ya
Identifikasi model
yang mungkin
Estimasi Parameter
Pemeriksaan Model dan
Pemilihan Model Terbaik
Model ARIMA
Peramalan
Gambar 3.1 Flow chart pemodelan time series dan peramalan menggunakan
ARIMA(p,d,q)
V.
5.1
KESIMPULAN
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, maka dapat disimpulkan
beberapa hal sebagai berikut:
1. Tahap-tahap analisis data runtun waktu (time series) menggunakan metode
ARIMA dilakukan dengan tiga tahap strategi pemodelan Box and Jenkin’s,
yaitu identifikasi, estimasi, dan pengujian.
2. Model ARIMA terbaik untuk meramalkan nilai Indeks Harga Konsumen
(IHK) kota Bandar Lampung yaitu ARIMA(1,1,0) atau ARI(1,1) dengan
nilai MSE 0,98942 , nilai AIC 162,4678 , dan nilai BIC -0,41722. Model
ARIMA(1,1,0) secara matematis dituliskan sebagai berikut :
3. Hasil peramalan nila IHK kota Bandar Lampung bulan Januari sampai
bulan Juni tahun 2014 dengan menggunakan model ARIMA(1,1,0) adalah
Bulan
Hasil Ramalan
Januari 2014
159,0172
Februari 2014
159,6418
Maret 2014
160,2816
April 2014
160,9263
Mei 2014
161,5726
Juni 2014
162,2194
59
4. Model ARIMA terbaik untuk meramalkan nilai Indeks Harga komoditas
kesehatan kota Bandar Lampung adalah ARIMA (0,1,0) atau disebut
dengan model random walk. Secara matematis dituliskan sebagai berikut :
5. Hasil peramalan nilai indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar
Lampung bulan Januari sampai bulan Juni tahun 2014 dengan
menggunakan model random walk adalah:
5.2
Bulan
Hasil Ramalan
Januari 2014
136,3219
Februari 2014
136,7737
Maret 2014
137,2256
April 2014
137,6675
Mei 2014
138,1293
Juni 2014
138,5812
Saran
Keterbatasan dalam penelitian ini adalah semua variabel yang mempengaruhi nilai
IHK dan indeks harga komoditas kesehatan dianggap konstan. Selain itu
kekurangan metode ARIMA adalah tidak dapat meramalkan data dalam waktu
periode yang panjang. Oleh karena itu sebaiknya untuk melakukan penelitian
selanjutnya memperhatikan nilai variabel lain yang mempengaruhi nilai IHK dan
indeks harga komoditas kesehatan.
DAFTAR PUSTAKA
Chatfield, Chris.2004.The Analysis of Time Series An Indtroduction Sixth Edition.
Chapman & Hall/CRC,United States of America.
Cryer J.D. and Chan K.S.2008.Time Series Analysis with Application in
R.Springer,New York.
Monga, G.S.1977.Mathematics and Statistics for Economics.Vikas Publishing
House, New Delhi.
Pankratz, Alan.1991.Forecasting with Dynamic Regression Models.Willey
Intersciences Publication, Canada.
Wei, William W.S.2006.Time Series Analysis Univariate and Multivariate
Methods Second Edition.Pearson education Inc.,Canada.
TIME SERIES MODELING AND FORECASTING USING
AUTOREGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE (ARIMA)
AND RANDOM WALK
By
FAIGA KHARIMAH
Autoregressive integrated moving average (ARIMA) is a combination of
Autoregressive (AR) model and Moving Average (MA) model. The ARIMA
model has orde (0,1,0) is called RandomWalk model. The ARIMA model using
past and present value to produce short-term forecasting. The purpose of this
research is to determine the best ARIMA model for forecasting the Consumer
Price Index (CPI) and health comodities price index Bandar Lampung city in the
period January to June 2014. The ARIMA model has assumption that the series
data are stationary. The CPI and health comodities price index of Bandar
Lampung is not stationary, then we apllied differencing to make the data
stationary. To find the best model ARIMA, first we check the stationary data by
using time series plot, Autocorrelation Function (ACF), and unitroot test. Then the
time series model was found by using ACF and Partial Autocorrelations Function
(PACF). The best model was found by using criteria Mean Square Error (MSE),
Akaike’s Information Criterion (AIC) and Bayesian Information Criterion (BIC).
The best model is ARIMA (1,1,0) for CPI and ARIMA (0,1,0) for health
comodities price index.
Key Word : time series, forecasting, CPI, ARIMA
PEMODELAN TIME SERIES DAN PERAMALAN
MENGGUNAKAN METODE AUTOREGRESSIVE
MOVING AVERAGE (ARIMA) DAN RANDOM WALK
Oleh
Faiga Kharimah
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Lubuk Linggau pada tanggal 30 Januari 1994. Penulis
merupakan anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan Bapak Ari Pria
Sentosa dan Ibu Haifa Marsyuda.
Penulis telah menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 2 Harapan
Jaya pada tahun 2005, pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 29
Bandar Lampung pada tahun 2008 dan pendidikan sekolah menengah atas di
SMA Negeri 5 Bandar Lampung pada tahun 2011. Setelah menamatkan sekolah
menengah atas, penulis melanjutkan pendidikan ke perguruan tinggi dan terdaftar
sebagai mahasiswi Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN. Selama
menempuh pendidikan di perguruan tinggi penulis juga ikut serta dalam
organisasi kemahasiswaan yaitu pada periode tahun 2012/2013 – 2013/2014
penulis terdaftar sebagai anggota HIMATIKA bidang Eksternal
Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah
menyelesaikan Kerja Praktik (KP) selama 1 bulan di Badan Pusat Statistik (BPS)
kota Bandar Lampung, serta Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 40 hari di desa
Waya Krui Kabupaten Pringsewu.
PERSEMBAHAN
Untuk orangtuaku, ayah dan ibu.
Tak seorang pun tahu betapa getirnya perjuangan, betapa banyak
waktu yang tersita, bahkan berapa banyak doa dan harapan yang
dipanjatkan. Dengan kalian sebagai semangat, ku bangun harapan
untuk masa depan.
MOTO
Senyuman di setiap hariku bukan karena hidupku sempurna,
tetapi karena aku bersyukur untuk setiap rahmat yang allah
berikan setiap harinya.
unknownLife is a COMPETITION. Sometimes you WIN. Sometimes you
LOSE. But, both are good to shape a BETTER you
-unknownIf passion drives you, lets reason hold the reins
-Benjamin FranklineYou may delay , but time will not
-Benjamin FranklineJika tak mampu berkata, maka tulislah. Setidaknya itu
melegakan
Faiga Kharimah-
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala limpahan rahmat dan
hidayahNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
“Pemodelan
Time
Series
dan
Peramalan
Menggunakan
Metode
Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) dan Random Walk”.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis sadari bahwa banyak pihak yang telah
terlibat sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik dan tepat waktu.
Untuk itu penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada :
1. Bapak Mustofa Usman, Ph.D. selaku pembimbing I yang telah memberikan
bimbingan, arahan, saran, dan ilmu yang diberikan kepada penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini.
2. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si. selaku pembimbing II yang telah memberikan
bimbingan, pengarahan, motivasi, dan ilmu bagi penulis untuk belajar lebih
banyak selama proses pembuatan skripsi ini.
3. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku penguji yang telah
memberikan kritik dan saran yang membangun dalam proses pembuatan
skripsi ini.
4. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si. selaku pembimbing akademik atas bimbingan dan
arahannya selama masa perkuliahan.
5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
7. Seluruh dosen, staff dan karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam atas bimbingan selama perkuliahan.
8. Kedua orang tua, Yafi, Naufal, dan seluruh sanak saudara yang selalu
memberikan semangat, doa dan kasih sayang.
9. Ayu, Anissa, Dini, Triani, Miranti, dan Ega yang senantiasa memberikan
waktu luang, dukungan, dan semangat bagi penulis.
10. Andri Wirawan yang selalu setia dan sabar mendengar keluh kesah, serta
memberi semangat dan motivasi bagi penulis.
11. Semua rekan-rekan Jurusan Matematika FMIPA UNILA angkatan 2011.
12. Semua pihak yang telah membantu penuis dalam menyelesaikan skripsi.
Penulis menyadari bahwa skripsi masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena
itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun agar lebih
baik dimasa yang akan datang.
Bandar Lampung, Mei 2015
Penulis,
Faiga Kharimah
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI..............................................................................................
xii
DAFTAR TABEL .....................................................................................
xiv
DAFTAR GAMBAR.................................................................................
xv
I.
PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
II.
Latar Belakang ........................................................................
Batasan Masalah ......................................................................
Tujuan Penelitian .....................................................................
Manfaat Penelitian ...................................................................
1
3
3
4
TINJAUAN PUSTAKA
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Indeks Harga Konsumen (IHK) ..............................................
Analisis Time Series ................................................................
Stasioner ..................................................................................
2.3.1 Stasioner dalam Varians ..............................................
2.3.2 Stasioner dalam Rata-Rata ..........................................
Autocorrelation Function / Fungsi Autokorelasi (ACF) .........
Partial Autocorrelation Function / Fungsi Autokorelasi Parsial
(PACF) ....................................................................................
Model Autoregressive Integrated Moving Average
(ARIMA).................................................................................
2.6.1 Autoregressive (AR) .....................................................
2.6.2 Moving Average (MA) .................................................
2.6.3 Autoregressive Integrated Moving Average
(ARIMA) ................................................................................
2.6.4 Model Random Walk ....................................................
White Noise
5
6
7
7
8
10
11
13
13
14
15
16
III. METODE PENELITIAN
3.1
3.2
3.3
IV.
Waktu dan Tempat Penelitian .................................................
Data .........................................................................................
Metode Penelitian ....................................................................
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
Data Indeks Harga Konsumen .................................................
4.1.1 Identifikasi Data ...........................................................
4.1.2 Identifikasi Model ARIMA ..........................................
4.1.3 Estimasi Parameter .......................................................
4.1.4 Pemeriksaan Model ......................................................
4.1.5 Peramalan .....................................................................
4.2 Data Indeks Harga Komoditas Kesehatan ...............................
4.2.1 Identifikasi Data ............................................................
4.2.2 Identifikasi Model ARIMA ...........................................
4.2.3 Estimasi Parameter ........................................................
4.2.4 Pemeriksaan Model .......................................................
4.2.5 Peramalan ......................................................................
V.
19
19
19
27
27
33
35
39
44
46
46
51
53
54
56
KESIMPULAN
5.1
5.2
Kesimpulan ..............................................................................
Saran ........................................................................................
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
xiii
58
59
DAFTAR TABEL
Halaman
1.
Tabel 2.1 Bentuk transformasi Box-Cox ..........................................
7
2.
Tabel 4.1 Nilai MSE, AIC, BIC .......................................................
43
3.
Tabel 4.2 Peramalan nilai IHK bulan Januari sampai Juni Tahun
2014 ..................................................................................................
4.
45
Tabel 4.3 Peramalan nilai indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar
Lampung bulan Januari sampai Juni Tahun 2014 ............................
57
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1.
Gambar 3.1 Flow chart pemodelan time series dan peramalan
menggunakan ARIMA (p,d,q) ..........................................................
2.
Gambar 4.1 Time series plot data IHK kota Bandar Lampung Tahun
2009-2013 .........................................................................................
3.
31
Gambar 4.6 Unit root test first differencing Box-Cox(1) data IHK
kota Bandar Lampung Tahun 2009-2013 ..........................................
8.
31
Gambar 4.5 Grafik ACF first differencing Box-Cox(1) data IHK
kota Bandar Lampung Tahun 2009-2013 ..........................................
7.
29
Gambar 4.4 Time series plot first differencing Box-Cox(1) data IHK
kota Bandar Lampung Tahun 2009-2013 ..........................................
6.
28
Gambar 4.3 Unit root test IHK kota Bandar Lampung Tahun
2009-2013 .........................................................................................
5.
27
Gambar 4.2 Grafik ACF untuk IHK kota Bandar Lampung Tahun
2009-2013 .........................................................................................
4.
25
32
Gambar 4.7 Grafik ACF dan PACF first differencing Box-Cox(1)
data IHK kota Bandar Lampung Tahun 2009-2013 ..........................
33
9.
Gambar 4.8 Grafik white noise ARIMA (1,1,0) ...............................
40
10.
Gambar 4.9 Grafik ACF residual ARIMA (1,1,0) ...........................
40
11.
Gambar 4.10 Grafik PACF residual ARIMA (1,1,0) .......................
41
12.
Gambar 4.11 Grafik white noise ARIMA (0,1,1) .............................
41
13.
Gambar 4.12 Grafik ACF dan PACF residual ARIMA (0,1,1) ........
42
14.
Gambar 4.13 Time series plot forecasting IHK kota Bandar Lampung
bulan Januari sampai Juni Tahun 2014..............................................
15.
Gambar 4.14 Grafik data peramalan nilai IHK kota Bandar Lampung
bulan Januari sampai Juni Tahun 2014 .............................................
16.
47
Gambar 4.17 Unit root test data indeks harga komoditas kesehatan
kota Bandar Lampung Tahun 2009-2013 .........................................
19.
46
Gambar 4.16 Grafik ACF data indeks harga komoditas kesehatan
kota Bandar Lampung Tahun 2009-2013 ..........................................
18.
45
Gambar 4.15 Time series plot data indeks harga komoditas kesehatan
kota Bandar Lampung Tahun 2009-2013 .........................................
17.
44
47
Gambar 4.18 Time series plot first differencing Box-Cox(1) data
indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar Lampung
Tahun 2009-2013...............................................................................
20.
49
Gambar 4.19 Grafik ACF first differencing Box-Cox(1) data
indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar Lampung
Tahun 2009-2013...............................................................................
21.
50
Gambar 4.20 Unit root test first differencing Box-Cox(1) data
indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar Lampung
Tahun 2009-2013...............................................................................
xvi
50
22.
Gambar 4.21 Grafik ACF Box-Cox(1) first differencing data
indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar Lampung
Tahun 2009-2013 ..............................................................................
23.
51
Gambar 4.22 Grafik PACF Box-Cox(1) first differencing data
indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar Lampung
Tahun 2009-2013 ..............................................................................
52
24.
Gambar 4.23 Grafik white noise ARIMA (0,1,0) ............................
54
25.
Gambar 4.24 Grafik ACF dan PACF residual ARIMA (0,1,0).........
55
26.
Gambar 4.25 Time Series plot forecasting data indeks harga komoditas
kesehatan kota Bandar Lampung bulan Januari sampai Juni Tahun
2014 ...................................................................................................
27.
56
Gambar 4.26 14 Grafik data peramalan nilai indeks harga komoditas
kesehatan kota Bandar Lampung bulan Januari sampai Juni Tahun
2014 ...................................................................................................
xvii
57
I.
1.1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Peramalan merupakan suatu hal yang dilakukan untuk mengukur ketidak pastian
masa depan sebagai upaya membantu perusahaan atau pemerintah untuk
mengambil suatu keputusan. Peramalan pada umumnya dilakukan pada data time
series. Data time series adalah data yang terurut berdasarkan waktu. Peramalan
pada data time series adalah peramalan dengan menggunakan analisa pola
hubungan antar variabel yang akan diramalkan berdasarkan waktu.
Salah satu metode untuk melakukan peramalan pada data time series yaitu
Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). Metode ARIMA adalah
metode peramalan yang dikembangkan oleh George Box dan Gwilym Jenkins
yang sering juga disebut metode runtun waktu Box-Jenkins. Model ARIMA
adalah model gabungan dari model Autoregressive (AR) dan Moving Average
(MA). Secara umum model ARIMA dituliskan dengan notasi ARIMA (p,d,q),
dimana p menyatakan orde dari proses AR, d menyatakan orde dari difference
(pembedaan) yang dilakukan agar data stasioner, dan q menyatakan orde dari
proses MA. Untuk mendapatkan model ARIMA dilakukan dengan tiga tahap
strategi permodelan yaitu Idetifikasi, Penaksiran, dan Pengujian (Pankratz, 1991).
2
Kelebihan dari metode ARIMA yaitu dapat digunakan untuk semua pola data time
series. ARIMA menggunakan nilai pada masa lalu dan masa sekarang dari
variabel dependen untuk menghasilkan peramalan jangka pendek yang akurat.
ARIMA baik digunakan jika observasi dari deret waktu (time teries) secara
statistik berhubungan satu sama lain.
Data Indeks Harga Konsumen (IHK) atau Consumer Price Index (CPI)
merupakan salah satu data time series. IHK merupakan nomor indeks yang
digunakan untuk mengukur harga rata-rata dari barang dan jasa yang dikonsumsi
oleh rumah tangga (household). IHK seringkali digunakan untuk mengukur
tingkat inflasi dan juga seringkali digunakan sebagai pertimbangan untuk
penyesuaian gaji, upah, uang pensiun, dan lainnya. Di Indonesia badan yang
bertugas untuk menghitung IHK adalah Badan Pusat Statistik (BPS).
Penghitungan IHK dimulai dengan mengumpulkan harga dari barang dan jasa,
kemudian mengubah angka tersebut menjadi sebuah indeks tunggal yang
mengukur seluruh tingkat harga.
Peramalan IHK dengan berbagai bentuk analisis dan informasi yang dihasilkan
besar dampaknya untuk membantu dan menunjang kegiatan sosial ekonomi di
Indonesia. Namun, hasil dari suatu peramalan tidak benar 100%, selalu terdapat
nilai kesalahan yang dihasilkan. Walaupun hasil peramalan tidak selalu tepat,
peramalan telah banyak digunakan untuk membantu dengan baik dalam berbagai
bidang, misalnya saja perencanaan, dan pengambilan keputusan, salah satunya
adalah peramalan IHK itu sendiri. Besarnya pengaruh IHK terhadap laju inflasi
ekonomi
akan
berdampak
terhadap
kemajuan
perekonomian
Indonesia.
3
Berdasarkan hal ini penulis tertarik untuk melakukan peramalan nilai IHK.
Besarnya pengaruh IHK dan kelebihan model ARIMA yang dapat digunakan
untuk semua pola data time series menjadi alasan penulis untuk melakukan
permodelan time series dan peramalan dengan metode ARIMA.
1.2
Batasan Masalah
Mengingat banyaknya metode peramalan yang dapat digunakan, maka fokus
penelitian ini adalah melakukan Time Series Modelling dengan ARIMA.
Selanjutnya model ARIMA (p,d,q) akan digunakan untuk meramalkan nilai IHK
dan indeks harga komoditas kesehatan selama enam periode ke depan.
1.3
Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan sebelumnya, maka tujuan dari
penelitian ini adalah :
1. Mengetahui tahap-tahap analisis data runtun waktu (time series)
menggunakan metode ARIMA.
2. Mendapatkan model ARIMA terbaik yang dapat digunakan untuk
memprediksi nilai IHK dan indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar
Lampung pada periode yang akan datang.
4
3. Menerapkan peramalan dengan menggunakan model ARIMA untuk
meramalkan nilai IHK dan indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar
Lampung.
1.4
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Dapat mengetahui bagaimana tahap atau prosedur analisis data time series
menggunakan ARIMA.
2. Dapat mengetahui model terbaik ARIMA (p,d,q) yang dapat digunakan
untuk meramalkan nilai IHK dan indeks harga komoditas kesehatan kota
Bandar Lampung.
3. Dapat mengetahui prediksi atau hasil ramalan nilai IHK dan indeks harga
komoditas kesehatan kota Bandar Lampung dengan menggunakan model
ARIMA (p,d,q).
II.
2.1
TINJAUAN PUSTAKA
Indeks Harga Konsumen (IHK)
Menurut Monga (1977) indeks harga konsumen adalah ukuran statistika dari
perubahan harga yang dibayar konsumen atau masyarakat dari gaji atau upah yang
didapatkan. Indeks harga yang didapatkan merupakan harga eceran dari beberapa
komoditas barang dan jasa seperti bahan makanan, sandang, kesehatan,
transportasi, listrik, dan sebagainya.
Indeks harga konsumen mempelajari akibat dari perubahan harga dari kombinasi
yang terpilih sebagai standard dari mata pencaharian pertimbangan konsumen.
Indeks harga konsumen dapat dihitung sebagai persentase dari harga suatu tahun
yang dibandingkan dengan harga tahun dasar.
Secara umum untuk menghitung indeks harga konsumen ataupun indeks harga
dari setiap komoditas adalah :
=
Dengan :
100
= harga IHK atau komoditas tahun ke-n
= harga IHK atau komoditas tahun yang dijadikan dasar
6
2.2
Analisis Time Series
Time series adalah sekumpulan data hasil pengamatan dari waktu ke waktu.
Analisis time series merupakan analisis terhadap pengamatan, pencatatan, dan
penyusunan peristiwa yang diambil berdasarkan waktu. Pada umumnya
pengamatan dan pencatatan itu dilakukan dalam jangka waktu tertentu. Misalnya
data harian kenaikan saham, data mingguan untuk daftar biaya pengiriman barang,
data bulanan indeks harga konsumen, data kuartalan jumlah uang yang beredar,
data tahunan jumlah penjualan dan jumlah produksi suatu barang dan jasa (J. D.
Cryer and K. S. Chan, 2008).
Metode analisis time series didasarkan pada pola data di masa lampau. Menurut
Chatfield (2004)
data time series memiliki variasi (gerakan) yang berbeda.
Terdapat empat variasi (gerakan) dari data rangkaian waktu, yaitu :
1. Variasi musim (seasonal variation) adalah pergerakan naik dan turun
secara teratur yang cenderung berulang kembali secara periodik dalam
runtun waktu tidak lebih dari satu tahun.
2. Gerak Siklis (cyclic variation) menunjukkan pergerakan naik dan turun
secara berulang dengan panjang dari setiap siklis tidak panjang dan relatif
pendek secara periodik dalam waktu lebih dari satu tahun.
3. Trend adalah gerakan yang menunjukkan arah perkembangan secara
umum baik pergerakan naik ataupun turun. Pola trend memiliki arah
gerakan yang bertahan dalam jangka waktu yang lama.
4. Gerak tidak beraturan (random variation) menunjukkan pergerakan naik
atau turun secara tiba-tiba.
7
2.3
Stasioner
Data dikatakan stasioner jika data tersebut mempunyai nilai rata-rata dan varians
yang konstan terhadap waktu.
2.3.1 Stasioner dalam Varians
Suatu data dikatakan stasioner dalam varians jika struktur data dari waktu ke
waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan dan tidak berubah-ubah,
atau dapat dikatakan tidak ada perubahan varians.
Apabila ketidak stasioneran terjadi dalam varians, untuk menstabilkan varians
dilakukan dengan Box-Cox transformation yang di definisikan dengan :
,
Dengan
(2.1)
=
adalah parameter transformasi Box-Cox, dan Zt adalah nilai data time
series pada waktu ke-t. Beberapa nilai
yang umum digunakan sebagai berikut:
Tabel 2.1 Bentuk Transformasi Box-Cox
Bentuk Transformasi
-1
1
-0,5
1
0
Ln
0,5
1
8
Namun dalam banyak penerapan yang telah dilakukan, jenis transformasi yang
sering digunakan untuk menstabilkan varians agar data stasioner dalam varians
yaitu transformasi logaritma atau ditulis ln
ditulis
dan transformasi akar kuadrat atau
(Pankratz, 1991).
2.3.2 Stasioner dalam Rata-Rata
Suatu data dikatakan stasioner dalam rata-rata adalah jika rata-rata tetap, atau
dapat dikatakan tidak terdapat unsur trend dalam data. Apabila data tidak stasioner
dalam rata-rata dilakukan differencing untuk membuat rata-rata yang konstan pada
data (Pankratz, 1991).
Secara umum bentuk differencing pertama didefinisikan sebagai berikut :
=
Dengan :
−
(2.2)
= Differencing pertama
= nilai Z pada waktu ke-t
= nilai Z pada waktu ke t-1
Notasi yang dapat digunakan dalam melakukan differencing adalah backshift
notation B, yang penggunaannya sebagai berikut :
=
Dengan :
= differencing ke i
(2.3)
9
Notasi
yang digunakan pada
mempunyai pengaruh menggeser data satu
periode ke belakang, untuk dua penerapan notasi
pada
maka akan
menggeser data tersebut dua periode ke belakang, yang penggunaannya sebagai
berikut:
(2.4)
=
Differencing pertama dengan menggunakan notasi backshift dapat ditulis sebagai
berikut :
=
−
=
−
= (1 −
(2.5)
)
Differencing pertama dinyatakan oleh (1 −
), sama halnya dengan differencing
kedua (differencing pertama dari differencing pertama sebelumnya) dapat ditulis
sebagai berikut :
′ =
= (
Dengan :
−
−
)−(
−
)
−
)
′ = differencing kedua
Dengan notasi backshift dapat ditulis sebagai berikut :
′ =
= (
−
−
)−(
10
=
−2
+
=
−2
+
= (1 − 2 +
= (1 −
)
(2.6)
)
Pembedaan orde kedua dinotasikan dengan (1 −
) . Tujuan melakukan
differencing adalah untuk mendapatkan kestasioneran pada data. Jika data
stasioner pada orde ke –d , ditulis sebagai berikut :
orde ke − d = (1 −
2.4
(2.7)
)
Autocorrelation Function / Fungsi Autokorelasi (ACF)
Autokorelasi merupakan hubungan antar data pengamatan suatu data time series.
Menurut Wei (2006), koefisien autokorelasi untuk lag k dari data time series dapat
dinyatakan sebagai berikut :
=
Dengan :
(
,
)
=
(
(
)(
)
= rata-rata
= autokovarians pada lag ke-k
= autokorelasi pada lag ke-k
t = waktu pengamatan ke t, t = 1,2,3, . . .
)
(
)
=
(2.8)
11
=
Dimana
=
Hubungan antara koefisien autokorelasi
autokorelasi. Koefiesien autokorelasi
sampel
dengan lagnya disebut dengan fungsi
diduga dengan koefisien autokorelasi
.
=
Dengan :
( − ̅) (
− ̅)
∑ ( − ̅)
∑
(2.9)
= koefisien autokorelasi pada lag ke-k, k=0,1,2,...,k
n = jumlah observasi
̅= nilai rata-rata
= nilai data pada waktu t
2.5
Partial Autocorrelation Function / Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)
Autokorelasi parsial merupakan korelasi antara
,
ketidakbebasan
,…,
dan
dengan mengabaikan
. Autokorelasi parsial
dan
diturunkan dari model regresi linier, dengan variabel dependent
independent
,
=
Dengan :
,…,
dapat
dan
yaitu:
+
+
+
= parameter regresi ke-i , i = 1, 2, . . ., k
= residu dengan rata-rata nol
+
(2.10)
12
tidak berkorelasi dengan
, j = 1, 2, . . . ,k. Dengan mengalikan kedua
ruas pada persamaan (2.10) dan dengan nilai harapannya nol, diperoleh :
=
+
=
1 γj− 1
+
+
2 γj− 2
+
+
γj−
+
+
j−
+
(
)+
(2.11)
dan
=
+
1 j− 1
2 j− 2
(2.12)
untuk j = 1, 2, . . ., k diperoleh persamaan :
=
1 0
+
2 1
+
+
−1
=
1 1
+
2 0
+
+
−2
⋮
⋮
=
⋮
1
−1
⋮
+
2
−2
+
+
0
Dengan menggunakan aturan Cramer’s, berturut-tururt k = 1, 2, . . . diperoleh
=
=
1
1
1
2
1
1
=
1
2
1
1
1
2
3
1
2
1
2
1
1
⋮
13
1
1
=
2.6
…
−2
1
…
−3
2
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
−1
−2
−3
1
1
Dengan
2
…
1
2
…
−2
1
…
−3
⋮
⋮
⋮
−1
−2
−3
1
…
−1
=2
⋮
⋮
1
1
(2.13)
merupakan fungsi autokorelasi parsial (Wei, 2006).
Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Model Autoreggresive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan model
Autoregressive Moving Average (ARMA) non stasioner yang telah di differencing
sehingga menjadi model yang stasioner.
2.6.1 Autoregressive (AR)
Model AR adalah model yang menggambarkan bahwa nilai masa sekarang
dipengaruhi oleh nilai masa lampau. Model AR dengan order p dinotasikan
dengan AR(p). Bentuk umum model AR(p) adalah :
=
+
+
+
+
Dimana
=
Dengan :
= data pada waktu ke-t
(1 −
)
+
(2.14)
14
= Parameter AR orde ke-p
= nilai residual pada waktu ke-t
Persamaan (2.14) dapat ditulis dengan menggunakan notasi B (backshift notation)
menjadi ,
=
+
+
+
+
+
(2.15)
Atau
1−
−
−
−
=
+
Orde dalam model AR yang sering digunakan dalam analisis time series adalah
p=1 atau p=2 (Pankratz, 1991).
2.6.2 Moving Average (MA)
Model Moving Average (MA) adalah model perataan nilai dengan mengambil
sekelompok nilai pengamatan yang kemudian dicari nilai rata-rata nya, MA atau
rata-rata bergerak menggunakan angka rata-rata yang baru dihitung sebagai
ramalan dikarenakan setiap kali data observasi baru tersedia maka nilai rata-rata
baru juga akan didapatkan. Model MA dengan orde q dinotasikan dengan MA(q).
Secara umum model MA(q) adalah :
=
Dengan :
−
= data pada waktu ke-t
−
−
−
(2.16)
15
= Parameter MA orde ke-q
= nilai residual pada waktu ke-t
Persamaan (2.16) dapat ditulis menggunakan backshift notation (B) menjadi :
= (1 −
=
−
−
−
)
(2.17)
( )
Dimana
( ) = (1 −
−
−
−
)
Secara umum, order MA yang sering digunakan dalam analisis time series adalah
q=1 atau q=2 (Pankratz, 1991).
2.6.3 Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Model ARIMA(p,d,q) merupakan model yang terdiri dari Autoregressive (AR)
dengan orde p, Integrated yang didapat dari hasil differencing dengan d adalah
orde dari differencing yang dilakukan, dan Moving Average (MA) dengan orde q.
Secara umum bentuk model ARIMA(p,d,q) adalah :
( )∇ =
Dengan :
∇ = (1 −
( ) = 1−
+
)
−
−
−
( )
(2.18)
16
( ) = (1 −
−
−
−
)
Jika p=0 maka model ARIMA (p,d,q) disebut juga Integrated Moving Average
model dinotasikan IMA (d,q). Jika q=0 maka model ARIMA (p,d,q) disebut juga
Atoregressive Integrated yang dinotasikan dengan ARI(p,d) (Pankratz, 1991).
2.6.4 Model Random Walk
Model random walk adalah model ARIMA(p,d,q) dengan orde AR p=0 , orde
differencing d=1, dan orde MA q=0. Secara umum bentuk model random walk
adalah :
(1 −
)
(2.19)
=
atau
=
+
(2.20)
Model random walk adalah proses limit dari AR(1), proses (1 −
dengan Φ
)
=
1. Berdasarkan persamaan (2.18) dengan konstanta tak nol menjadi :
(1 −
)
=
+
(2.21)
Atau
=
+
+
Proses random walk dengan nilai konstanta tak nol disebut dengan random walk
with drift (Wei, 2006).
17
2.7
White Noise
Menurut Wei (2006) suatu proses pada (
) disebut white noise jika merupakan
barisan variabel acak yang tidak berkorelasi dengan rata-rara
(
= 0, varians konstan
diasumsikan
proses white noise (
)=
(
)=
yang
. Oleh karena itu, suatu
) adalah stasioner dengan :
Fungsi autokovarians
=
,
= 0
≠ 0
0,
Fungsi autokorelasi
1,
0,
=
= 0
≠ 0
Fungsi autokorelasi parsial
=
1,
0,
= 0
≠ 0
Langkah –langkah pengujian white noise :
Hipotesis : H0 =
H1 = ∃
=
=
=
= 0 (residual memenuhi proses white noise)
≠ 0 , = 1,2,…,
(residual tidak memenuhi proses white
noise)
Statistik uji yang digunakan yaitu uji Ljung Box-Pierce yang didefinisikan
dengan:
18
=
( + 2)
−
Dimana: n = banyaknya observasi
k = banyaknya lag yang diuji
= nilai koefisien autokorelasi pada lag k
Kriteria keputusan adalah H0 ditolak jika
=
−
>
tabel dengan derajat bebas
dengan p adalah banyaknya parameter atau p-value <
.
Selain itu, autokorelasi residual dapat dilihat dari plot ACF residual. Apabila tidak
ada lag yang keluar dari garis signifikan, maka dapat dikatakan bahwa tidak ada
autokorelasi.
III.
3.1
METODE PENELITIAN
Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2014/2015
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2
Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder tentang Indeks
Harga Konsumen (IHK) bulanan kota Bandar Lampung dari bulan Januari 2009
sampai Desember 2013 yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi
Lampung. Peramalan pada data IHK dilakukan dengan menggunakan metode
Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) dan juga menggunakan
bantuan program SAS 9.0.
3.3
Metode Penelitian
Metode yang digunakan untuk melakukan peramalan pada data IHK kota Bandar
Lampung adalah metode runtun waktu Box-Jenkin’s atau disebut ARIMA.
Peramalan dengan ARIMA menggunakan tiga tahap strategi pemodelan, yaitu
2
identifikasi, penaksiran dan pengujian. Adapun langkah–langkah Peramalan
dengan menggunakan ARIMA sebagai berikut :
1. Identifikasi Model
Hal pertama yang perlu diperhatikan adalah banyaknya data time series
bersifat non stasioner. Model ARIMA yang merupakan gabungan dari
model Autoregressive (AR) dan Moving Average (MA) hanya dapat
dilakukan pada data time series yang bersifat stasioner. Data time series
dikatakan stasioner jika varians dan rata-rata dari data konstan.
Kestasioneran data dapat dilihat melalui plot data, grafik autucorrelation
function (ACF), dan unit root test.
Pada plot data yang stasioner, data akan bergerak secara fluktuasi yang
tetap atau konstan dan tidak mengandung unsur trend. Sebaliknya jika data
bergerak pada fluktuasi yang tidak konstan dapat dikatakan data tidak
stasioner dalam varians. Untuk mendapatkan data yang stasioner dalam
varians dilakukan dengan transformasi Box-Cox, dan untuk mendapatkan
nilai
terbaik dalam melakukan transformasi Box-Cox dilakukan dengan
menggunakan software SAS 9.0. Nilai
yang didapat kemudian
digunakan untuk melakukan transformasi Box-Cox yang didefinisikan
dengan :
,
=
1
Jika data yang didapat sudah stasioner dalam varians, namun pada data
masih terdapat unsur trend maka perlu dilakukan differencing untuk
✁2
mendapatkan data yang stasioner dalam rata-rata. Proses differencing
(pembedaan) didefinisikan dengan :
= (1
)
Selain dengan plot data, kestasioneran data dapat juga dilihat dari grafik
ACF. Pada grafik ACF jika bar pada lag data turun secara linier
menunjukkan data yang tidak stasioner. Sebaliknya jika bar pada lag data
turun secara eksponensial atau sinusoidal menunjukkan bahwa data
stasioner.
Setelah data stasioner dilanjutkan dengan menduga orde dari AR dan MA
yang dapat dilihat dari grafik Autocorrelation Function (ACF) dan Partial
Autocorrelation Function (PACF) untuk mendapatkan model ARIMA
yang mungkin. Jika ACF turun secara eksponensial dan PACF signifikan
setelah lag p, maka proses tersebut merupakan proses AR(p). Sebaliknya
jika PACF turun secara eksponensial dan ACF signifikan setelah lag q,
maka proses tersebut merupakan proses MA(q).
Namun, banyak data time series yang tidak mengikuti proses AR maupun
MA, tetapi memiliki orde d dari differencing yang telah dilakukan, dalam
kondisi seperti ini data time series mengikuti ARIMA(p,d,q) dengan p=0,
d=1, dan q=0
atau ARIMA(0,1,0) yang disebut juga dengan model
random walk.
2. Penaksiran Parameter
Setelah mendapatkan model ARIMA yang mungkin selanjutnya dilakukan
penaksiran (estimasi) parameter pada model ARIMA yang dilakukan
dengan bantuan software SAS 9.0 menggunakan metode least square
2
o Model AR
=
+
,
Dari n obseravsi
,
+
,
+
+
dengan parameter
,
,
,
diduga dengan meminimumkan jumlah kuadrat residual Sum
Squared Error (SSE)
( )
=
=
o Model MA
= (1
)
,
Dari n observasi
,
,
dengan parameter
,
,
,
diduga dengan meminimumkan jumlah kuadrat residual Sum
Squared Error (SSE)
=
( )
=
Misal akan dilakukan estimasi parameter model AR(1) yang
didefinisikan dengan :
=
+
Sehingga, diperoleh residual :
=
Dugaan bagi parameter
jumlah kuadrat residual.
diperoleh dengan meminimumkan
2
3
=
( )
=
(
)
Untuk meminimumkan jumlah kuadrat residual maka digunakan
fungsi differencial
=0
2(
)+2
(
) =0
2
(
) =0
)+2
(
) =0
2
(
) =2
2(
2(
2
(
)=0
)(
)+
=
(
(
(
)
)
)
Selanjutnya akan dilakukan uji signifikansi parameter. Hipotesis yang
digunakan untuk uji kesignifikansi parameter adalah sebagai berikut :
H0 = Parameter tidak signifikan
H1 = Parameter cukup signifikan
Pengujian kesignifikan parameter menggunakan uji t dengan kriteria yaitu
jika nilai p-value lebih kecil dari α yang ditentukan maka tolak H0 atau
dapat dikatakan parameter signifikan.
3. Pengujian
Selanjutnya untuk mengetahui apakah residual memiliki autokorelasi atau
tidak, dilakukan dengan uji Ljung Box-Pierce untuk melihat apakah
residual memenuhi proses white noise. Selain dengan uji Ljung Box-pierce
2
4
juga dapat dilihat dari grafik ACF residual, jika semua lag tidak melewati
garis signifikan maka residual tidak memiliki autokorelasi.
Kemudian, dilakukan pemilihan model terbaik dari beberapa model
terbaik dengan membandingkan nilai MSE (Mean Square Error), AIC
(Akaike
Information
Criterion),
dan
BIC
(Bayesian
Information
Criterion). Nilai MSE adalah suatu kriteria pemilihan model terbaik
berdasarkan pada hasil sisa peramalannya. Nilai AIC adalah nilai yang
digunakan untuk mengidentifikasi model yang diterapkan dengan
pendekatan maximum likelihood. Sedangkan nilai BIC digunakan untuk
mengidentifikasi model yang diterapkan dengan pendekatan maximum
likelihood dan kemudian dikembangkan dengan teori Bayesian. Semakin
kecil nilai MSE, AIC, dan BIC berarti nilai taksiran semakin mendekati
nilai sebenarnya.
Setelah melakukan tiga tahap strategi pemodelan, model ARIMA (p,d,q) akan
digunakan untuk melakukan peramalan untuk enam periode ke depan.
Langkah-langkan dalam melakukan pemodelan time series dan peramalan dapat
juga dilihat pada Gambar 3.1.
✂2
Data
Identifikasi Data
(Uji Stasioneritas)
Transformasi Boxcox dan Differencing
Sudah stasioner
?
Tidak
ya
Identifikasi model
yang mungkin
Estimasi Parameter
Pemeriksaan Model dan
Pemilihan Model Terbaik
Model ARIMA
Peramalan
Gambar 3.1 Flow chart pemodelan time series dan peramalan menggunakan
ARIMA(p,d,q)
V.
5.1
KESIMPULAN
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, maka dapat disimpulkan
beberapa hal sebagai berikut:
1. Tahap-tahap analisis data runtun waktu (time series) menggunakan metode
ARIMA dilakukan dengan tiga tahap strategi pemodelan Box and Jenkin’s,
yaitu identifikasi, estimasi, dan pengujian.
2. Model ARIMA terbaik untuk meramalkan nilai Indeks Harga Konsumen
(IHK) kota Bandar Lampung yaitu ARIMA(1,1,0) atau ARI(1,1) dengan
nilai MSE 0,98942 , nilai AIC 162,4678 , dan nilai BIC -0,41722. Model
ARIMA(1,1,0) secara matematis dituliskan sebagai berikut :
3. Hasil peramalan nila IHK kota Bandar Lampung bulan Januari sampai
bulan Juni tahun 2014 dengan menggunakan model ARIMA(1,1,0) adalah
Bulan
Hasil Ramalan
Januari 2014
159,0172
Februari 2014
159,6418
Maret 2014
160,2816
April 2014
160,9263
Mei 2014
161,5726
Juni 2014
162,2194
59
4. Model ARIMA terbaik untuk meramalkan nilai Indeks Harga komoditas
kesehatan kota Bandar Lampung adalah ARIMA (0,1,0) atau disebut
dengan model random walk. Secara matematis dituliskan sebagai berikut :
5. Hasil peramalan nilai indeks harga komoditas kesehatan kota Bandar
Lampung bulan Januari sampai bulan Juni tahun 2014 dengan
menggunakan model random walk adalah:
5.2
Bulan
Hasil Ramalan
Januari 2014
136,3219
Februari 2014
136,7737
Maret 2014
137,2256
April 2014
137,6675
Mei 2014
138,1293
Juni 2014
138,5812
Saran
Keterbatasan dalam penelitian ini adalah semua variabel yang mempengaruhi nilai
IHK dan indeks harga komoditas kesehatan dianggap konstan. Selain itu
kekurangan metode ARIMA adalah tidak dapat meramalkan data dalam waktu
periode yang panjang. Oleh karena itu sebaiknya untuk melakukan penelitian
selanjutnya memperhatikan nilai variabel lain yang mempengaruhi nilai IHK dan
indeks harga komoditas kesehatan.
DAFTAR PUSTAKA
Chatfield, Chris.2004.The Analysis of Time Series An Indtroduction Sixth Edition.
Chapman & Hall/CRC,United States of America.
Cryer J.D. and Chan K.S.2008.Time Series Analysis with Application in
R.Springer,New York.
Monga, G.S.1977.Mathematics and Statistics for Economics.Vikas Publishing
House, New Delhi.
Pankratz, Alan.1991.Forecasting with Dynamic Regression Models.Willey
Intersciences Publication, Canada.
Wei, William W.S.2006.Time Series Analysis Univariate and Multivariate
Methods Second Edition.Pearson education Inc.,Canada.