Karakteristik Time Series dan Model Random Walk

  1. Cryer, J.D., and Chan, K.S. (2008) Time Series Analysis with Appli- cations in R, Second Edition, Springer.

  CNH4S3 Analisis Time Series [Dosen] Aniq A Rohmawati, M.Si [Jadwal] Need to reschedule? [About] The purpose of time series analysis is generally twofold: to understand or model the stochastic mechanism that gives rise to an observed series and to predict or forecast the future values of a series based on the history of that series and, possibly, other related series or factors [1]. Computational required to carry out the calculations and do plot: readily on statistical software (SPSS, Matlab, R). Pre-requisite: Statistics and Process Stochastic (grade: pass).

• Minggu 1 Review Peubah Acak; Karakteristik Time Series • Minggu 2 Model Random Walk • Minggu 3 Identifikasi ACF dan PACF
• Minggu 4-6 Model Moving Average (MA), Autoregressive (AR)
• Minggu 7 Diagnostik Model; Flowchart Forecasting Time Series • Minggu UTS
• Minggu 8 Maximum Likelihood Estimator (MLE)
• Minggu 9-10 Model ARI, IMA dan ARIMA
• Minggu 11-13 Implementasi model ATS pada data
• Minggu 14 Review UAS
• Minggu UAS Grade: Kuis 30% + UTS 35% + UAS 35%; (with minimum attendance 75%) [References]

  2. Ross, SM. (2010). Introduction to Probability Model. 10th Edition, Elsevier Inc.

1 Review: Peubah Acak dan Fungsi Distribusi

  [Perhatikan Grafik Berikut Ini] Apakah keduanya merupakan data time series? Kejadian dan Pulang Peluang adalah suatu konsep berpikir, peluang mengajak kita untuk mem- persiapkan diri menghadapi kejadian yang tidak terjadi. Misalkan S adalah ruang sampel, dengan A adalah kejadian, maka peluang kejadian A, n (A) n (A)

  P (A) = lim = _n→∞ n n (S) [Kasus] Pak Mad mempunyai 2 anak. Berapa peluang bahwa keduanya laki- laki, diberikan bahwa Pak Mad tersebut memiliki setidaknya 1 anak laki-laki?

  [Peluang Bersyarat] Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling bebas, dengan P (A) > 0, peluang bersyarat B diberikan A, didefinisikan P (A ∩ B)

  P (B|A) = P (A)

  Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Peubah acak (p.a) merupakan fungsi yang memetakan ruang sampel ke bi- langan real. Salah satu karakteristik p.a adalah memiliki fungsi distribusi (f.d).

  [Fungsi Distribusi] Fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari peubah acak X, F

  (x) = P (X ≤ x), −∞ < x < ∞ Karakteristik fungsi distribusi,

• F (x) fungsi tidak turun

  F

• lim b→∞ (x) = F (∞) = 1 _{b→−∞ F (x) = F (−∞) = 0}
• lim [Demo Matlab] clc; x = exprnd(0.1,100) hist(x) [Peubah Acak Diskrit]
• Fungsi massa peluang (fmp) atau probability mass function (pmf), p

  (x) = P (X = x)

• Fungsi distribusi kumulatif (cdf),

  F p (x) = P (X ≤ x) = Σ t≤x (t)

  [Peubah Acak Kontinu]

• Fungsi padat peluang (fpp) atau probability density function (pmf), ditulis f (x) _{Z b}

  P (a ≤ X ≤ b) = f (x)dx _a

• Fungsi distribusi kumulatif (cdf), _{Z x}

  F (x) = P (X ≤ x) = f (t)dt _−∞ Gambar 1: Fungsi Distribusi Peubah Acak [2]

  [Tes]

  1. Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Pois- son dengan parameter λ = 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini?

  2. Tentukan fungsi distribusi kumultif (cdf) dari distribusi Exponensial? [Proses Stokastik] adalah kumpulan peubah acak Y t dengan t ∈ T meru- pakan indeks waktu. Setiap proses stokastik memuat ruang keadaan S dan indeks parameter T .

• Banyaknya Mahasiswa Baru IK per tahun
• Banyaknya klaim asuransi PT.ASTERA yang masuk pada interval [0,t] Mean/Ekpektasi Misalkan X p.a, maka ekspektasi dari X didefinisikan sebagai

  1. Variabel Diskrit _X E xp (X) = µ ^{X = (x)} _x

  2. Variabel Kontinu _{Z ∞} E xf

  (X) = µ ^{X = (x)dx} _−∞ Sifat: Jika a dan b merupakan konstanta, tentukan E(aX + b)...

  Variansi Misalkan X adalah p.a dengan mean µ. Variansi dari X adalah

  2

  2 V ar

  (X) = σ = E[(X − µ) ] Sifat: Jika a dan b merupakan konstanta, tentukan V ar(aX + b)...

  Kovariansi Misalkan X dan Y adalah p.a dengan mean µ ^{X dan µ Y . Kovariansi dari X} dan Y adalah

  Cov µ (X, Y ) = E(XY ) − µ ^{X Y}

  Sifat: Untuk X, Y, Z p.a dan c adalah konstanta, berlaku

  1. Cov(X, X) =...

  2. Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) 3. Cov(cX, Y ) =...

  4. Cov(X, Y + Z) =... Korelasi Pembahasan mengenai kuat lemahnya asosiasi antara satu hal dengan hal lain merupakan salah satu pembahasan dalam ilmu statistika. Untuk mengetahui seberapa besar asosiasi antara satu hal dengan hal lainnya, kita memerlukan ukuran kuantitatif, yaitu ukuran asosiasi. Asosiasi dua variabel dapat diny-

  2

  atakan sebagai korelasi. Misalkan X dan Y adalah p.a dengan variansi σ _X

  2

  dan σ . Korelasi dari X dan Y adalah _Y Cov (X, Y )

  Corr (X, Y ) = ρ = _XY

  2

  2

  pσ σ _{X Y}

2 Data Time Series

  Barisan peubah acak Y t dengan t ∈ T menyatakan waktu. Analisis TS, ingin menjawab: ’Bagaimana menentukan model Y t sehingga model sehingga model tersebut dapat digunakan untuk forecasting ’ TS memiliki dua tujuan penting: (1) Membangun model TS yang bersesuaian dengan data historis (2) Menggunakan model TS untuk forecasting. TS di In- donesia dikenal dengan ’Deret Waktu’. TS merupakan salah pendekatan yang digunakan oleh para statistisian untuk memodelkan observasi yang memiliki time dependency , sehingga tidak semua observasi dapat dimodelkan dengan TS.

  Y t = f (.) + ε t

  2

  dengan ε t ∼ N (0, σ ) berdistibusi identik dan saling bebas.Time dependen- cy berhubungan dengan korelasi antar waktu, yang sering disebut sebagai autokorelasi,

  ρ t,s = corr(Y t , Y s ) cov (Y , Y ) _{t s} =

  2

  σ _Y γ t,s

  =

  

2

  σ _Y dengan k = t − s merupakan lag waktu.

  Gambar 2: Plot Korelasi Harga Emas dan Nilai MK Geometri Nilai ρ antara 0 sampai 1, semakin mendekati 1 maka nilai korelasi semakin tinggi. Nilai korelasi dari harga emas adalah 0.9517. Sedangkan, korelasi nilai UTS MK Geometri adalah 0.0178. Dapat dikatakan bahwa data harga emas memiliki time dependency pada lag ke-1

3 Random Walk dan Moving Average

• Random Walk Diberikan ε , ε , ..., ε t peubah acak yang saling bebas dan identik den-

  1

  2

  2

  gan mean 0 dan variansi σ . Model Random Walk untuk sekumpulan _ε observasi Y t , Y = ε

  1

1 Y

  = ε + ε = Y + ε

  2

  1

  2

  1

  2 Y = ε + ε + ε = Y + ε

  3

  1

  2

  3

  2

  3 ...

  Y t = ε + ε + . . . + ε t = Y t− + ε t

  1

  2

  1 Tentukan mean, variansi, kovariansi dan korelasi dari Y ? _t

• Moving Average Diberikan kumpulan observasi {Y t }, dengan

  ε + ε _{t t−}

  1 Y = _t

  2

  2

  dengan ε t ∼ N (0, σ ) merupakan peubah acak yang saling bebas dan _ε berdistribusi identik. Tentukan mean, variansi, kovariansi dan korelasi dari Y t ?

  4 Kestasioneran Salah satu karakteristik TS selain time dependency adalah kestasioneran.

  Kestasioneran memiliki peran penting dalam penaksiran parameter. Pe- naksiran parameter akan sulit dilakukan jika model TS tidak stasioner. Ter- dapat 2 kategori kestasioneran dalam TS: stasioner kuat dan lemah.

• Stasioner Kuat Proses stokastik dikatakan stasioner kuat jika distribusi gabungan Y t , Y t , ..., Y t n
_{1 2} , Y , ..., Y n sama dengan distribusi gabungan Y t +k t +k t +k , _{1 2} F Y ,Y ,...,Y (y t , y t , ..., y t ) = F Y ,Y ,...,Y (y t , y t , ..., y t n ) _{t1 t2 t1+k t2+k tn 1 2 3 tn+k 1 +k} 2 +k +k<
• Stasioner Lemah Proses stokastik dikatakan stasioner lemah jika mean dan variansi dari Y untuk semua t tidak bergantung waktu (konstan) _t

  E (Y t ) = µ

  2 V ar (Y t ) = σ

  Selain itu, nilai kovariansi hanya bergantung pada lag k dan tidak bergantung pada waktu t, Cov (Y , Y ) = Cov(Y , Y ) = Cov(Y , Y ) = ... _{t t−k t−}

  1 (t−1)−k t− 2 (t−2)−k

• Proses White Noise Diberikan ε , ε , ..., ε peubah acak yang saling bebas dan identik. Akan

  1 2 t

  ditunjukkan apakah proses tersebut stasioner kuat dan lemah? F (ε t , ε t , ..., ε t n ) = P (ε t &lt; a , ε t &lt; a , ..., ε t n &lt; a n ) _{1 2 1}

  1

²

  2

  &lt; a &lt; a n &lt; a = P (ε t ¹

  1 )P (ε t ² 2 ) . . . P (ε t n )

  &lt; a &lt; a &lt; a = P (ε t )P (ε t ) . . . P (ε t n n ) _{1 +k}

  1 ^{2 +k} 2 +k

  = P (ε &lt; a , ε &lt; a , . . . , ε n &lt; a ) _{t 1 +k}

  

1 t

^{2 +k} 2 t +k n

  , ε , . . . , ε n = F (ε t t t ) _{1 +k 2 +k +k} Proses white noise merupakan stasioner kuat dan lemah.

  Apakah dua p.a yang tidak berkorelasi mengakibatkan saling bebas? Bagaimana sebaliknya!