Definisi Integral.

Definisi Integral
Integral adalah : proses pembalikan diferensial untuk mencari
fungsi awal F(X), yang tingkat perubahan atau turunannya telah
di ketahui.
Integral suatu fungsi f(x) dapat dinyatakan sebagai :

∫ f(x) dx = F(X)+C
∫ Dibaca : INTEGRAL

fungsi X berkenaan dengan X .

dimana :
Lambang ∫
f(X)
c
F(X) + c.

adalah tanda INTEGRAL ,
adalah integran
adalah konstanta pengintegralan

Rumus- rumus pada integral tak tentu :
1.

 dx

2.

 adx

3.

n
x
 dx 

4.

 xc
 ax  c

n
ax
 dx 

1
n 1

a
n 1

x n 1  c
x n 1  c

1.
2.
3.

 f(x)  g(x) dx   f(x)dx   g(x)dx
 f(x)  g(x) dx   f(x)dx -  g(x)dx
 a f(x) dx  a  f(x) dx

3

 x n dx 

1
n 1

x n 1  c.

n
ax
dx 


a
n 1

1.

 x dx 

2.

2
2
x
dx 


3.



4
5

1
2

x 3 dx 

x n 1  c.

n  1

x2  c
2
3
4
5.4

x3  c
x4  c 

1
5

x 4  c.

Tentukan Integral - integral tak tentu berikut ini :
a.

4
5x
 dx

b



c



d

e.
f.
g.



1
dx
3
x
4

h.

 5 dx

i.

dx
3




x 3 dx

j.

10
x
 dx 

1

k.

-6
x
 dx 

3

x2

dx

 (x  x ) dx
 (x - x  x ) dx
 5x dx
3

6

2

5

l.
m.

2

n.

o.

 (4 x  5)dx 
 3x dx 
 4 x dx 
2

3



1
dx 
2
x

6

PENERAPAN EKONOMI
Surplus konsumen dan surplus produsen

Surplus Konsumen

Surplus konsumen adalah suatu fungsi yang menunjukan
hubungan Antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen
dengan berbagai harga Tertentu. Jika harga pasar produk
tersebut adalah Pe , maka jumlah produk yang akan Dibeli oleh
konsumen adalah Qe. Tetapi berdasarkan kurva permintaan
yang ada, Menurut para ahli ekonomi bahwa konsumen masih
bersedia dan mampu Untuk membayar produk tersebut
dengan harga yang lebih tinggi dari pada harga Pe Sampai
pada titik B. Namun,dalam kenyataan nya tingkat harga yang
terjadi di pasar hanyalah 0Pe dengan demikian surplus harga
tersebut (Pe B) adalah kuntungan total Bagi Konsumen, dan ini
di sebut sebagai SURPLUS KONSUMEN / KELEBIHAN
KONSUMEN

P

B (O1Pe)

KK
Pe

E (QePe)
P=f(Q)
A(O,0)

Qe
Gambar kurva surplus konsumen

Q

Secara geometri, kelebihan konsumen ini di tinjukan oleh luas
daerah di bawah kurva permintaan dan di atas garis peE yang
sejajar dengan sumbu horisontal Q ( daerah yang di arsir ).
Besarnya kelebihan konsumen ini dapat di peroleh dengan cara
mengintegralkan fungsi permintaan dengan menggunakan
metode integral tertentu.
Jikafungsi permintaan berbentuk P=f(Q),maka kelebihan
konsumennya adalah :
KK = Oqe f (Q) Dq - [QePe]
Dimana : KK = kelebihan konsumen
Qe = jumlah keseimbangan
Pe = Harga keseimbangan
Jika fungsi permintaan
konsumen adalah :
KK = Pe∫Qe f(P) Dp

berbentuk

Q=f(P),

Dimana, KK = kelebihan konsumen
B = Titik potong sumbu P jika Q =0
Pe = Harga keseimbangan

maka

surplus

Contoh kasus :
Jika fungsi permintaan suatu produk ditunjukan oleh P= 25-Q2 dan harga
keseimbangan adalah 9, carilah kelebihan konsumen dan gambarlah ?
JAWABAN ;
Jika P=9 ,maka Q2 =25-9
Q2 = 16
Q1 = +4
Q2 = -4
Jadi keseimbangan atau market Equilibrium pasar terjadi pada E (4,9 )
Jika P=0, maka Q = 25
Q1 =+5 dan Q2= -5
Jadi titik potong untuk sumbu Q (5,0)
Jika Q=0 maka, P=25
Jadi titik potong sumbu p adalah ( 0,25)

Karena fungsi permintaan P=f(Q), Maka :
KK= Oqe f(Q) dQ –[ QePe] = 0 4 (25-Q2) Dq - (9x4) Dq
= 25Q-1/3 Q3 04 – 36
=25(4)-1/3 (4)3 04 -36
=100-21,3-36
=42,7

P(O,25)
25-

E(4,9)

KK
-

P=25-Q2

10-

-

-

-

0-

(5,0)
Q
4

5

Surplus Produsen
Suatu fungsi penawaran menunjukan hubungan
antara jumlah produk yang di tawarkan oleh
produsen dengan berbagai harga tertentu. Jika
harga pasar produk tersebut adalah Pe maka jumlah
produk yg akan ditawarkan oleh produsen adalah
Qe . Tetapi berdasarkan kurva penawaran yang ada,
maka produsen masih bersedia dan mampu untuk
menjual produknya dengan harga yang lebih
rendah dari pada harga Pe yaitu sampai pada titik
B. Namun, dalam kenyataanya tingkat harga yang
terjadi di pasar hanyalah setinggi 0Pe Dengan
demikian,surplus harga tersebut (PeB) adalah
keuntungan total bagi produsen, dan ini yang
disebut surplus produsen.

P

S

P=f(Q)
Pe

E(Qe1Pe)

B(0,9)
Qe
Gambar kurva surplus produsen

Q

Secara Geometri, kelebihan produsen ini di tunjukan oleh luas
daerah diatas kurva penawaran dan di bawah garis PeE
( Daerah yang diarsir ). Besarnya kelebihan produsen ini dapat
diperoleh dengan cara mengintegralkan fungsi penawaran
dengan menggunakan metode integral tertentu. jika fungsi
penawaran berbentuk
P=f(Q), maka kelebihan produsen
adalah :
KP = (Qe.Pe)- 0∫Qe f(Q)Dq
Dimana :
KP= Surplus produsen
Qe = Jumlah keseimbangan
Pe = harga keseimbangan
Sedangkan, apabilah fungsi penawaran berbentuk Q=f(P),
Kelebihan produsen adalah :
KP = Pe∫B f(P) dP
Dimana :
KP = kelebihan Produsen
B = titik potong sumbu P jika Q=0
Pe = harga keseimbangan

Contoh kasus
Jika fungsi penawaran suatu produk di tunjukan oleh P=Q2+3
Dan harga keseimbangan adalah 12, carilah surplus produsen dan
gambar kanlah kurva nya?
Jawaban ;
Jika P=12, maka Q2=12-3
Q2=akar 9
Q1=+3
Q2=-3 ( tidak memenuhi karna (-) )
Jadi, keseimbangan pasar terjadi pada E (3,12 )

Jika Q=0, maka P=3
Jadi titik potong sumbu P adalah (0,3)
Karena fungsi penawaran P=f(Q), Maka
KP =(Qe.Pe)-0∫Qef(Q)Dq=(3x12)-0∫3 (Q2+3)dQ
=36-[1/3Q3+3Q]03
= 36-[1/3(3) 3+3(3)]03
= 36-9+9
= 18

P

12

E (3,12)
P=Q2+3

9

KP
(2,7)

6
(1,4)
3

0

(0,3)

1

Q
2

3

Contoh Kasus
Fungsi permintaan dan penawaran
suatu barang asing-masing ditunjukkan
dengan fungsi sebagai berikut : Qd =
30 – 2P dan Qs = -6 + P.
Hitunglah surplus konsumennya

Solusi
Mencari harga dipasar dengan cara :
Qd = Qs
30 – 2P = – 6 +P
30 + 6 = P + 2P
36 = 3P
Pe = 12, dan Qe = –6 + 12
Qe = 6
Lanjutannya …

Solusi
Fungsi
permintaan
Qd = 30 – 2P
2p = 30 – Qd
P = 15 – ½ Qd

Fungsi
penawaran
Qs = – 6 + P
Qs + 6 = P
P = Qs + 6

Lanjutannya …

Solusi


Lanjutannya …

Gambar
P

P`=
15
Pe =
12
P``=
6
0

Surplus
konsumen
P = Qs + 6 atau Qs = –
6+P
Surplus
Produsen
P = 15 – ½ Qd atau Qd =
30 – 2P
Qe =
6

30

Q

1. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh
persamaan Q = 48 – 0.03 P2. Hitunglah surplus konsumen
jika tingkat harga pasar adalah 30.
2. Seseorang
produsen
mempunyai
fungsi
penawaran
P = 0,50Q + 3. Berapa surplus produsen itu bila tingkat
keseimbangan di pasar adalah 10?
3. Diketahui fungsi permintaan dan penawaran D : p= -½ x² - ½x
+ 33 dan S : p= 6 + x. Dapatkan besarnya surplus
konsumen pada saat terjadi market equilibrium (ME) ?
4. Diberikan
fungsi
permintaan
sebagai
berikut
:
Qd = 75 – 3P2, gambarkan fungsi tersebut pada sebuah
grafik Qd vs P serta carilah surplus konsumenya jika harga
pasar Pe = 2
5. Diberikan fungsi penawaran sebagai berikut : P = 20 + 5Qs,
gambarkan fungsi tersebut pada sebuah grafik P vs Q, serta
carilah surplus produsenya untuk harga pasar sebesar 40.

Jawaban Integral

Tentukan Integral - integral tak tentu berikut ini :
a).

 5x dx

b).

1
 x 3 dx

c).



d).

4



4

3

x dx
1

3

x

2

dx
26

a).

b).

5 41
 5x dx  4  1 x  c
5
x c
4

1
-3
dx
x

 x3
 dx
1
-31
x c

- 3 1
1 2
- x c
2
1 1
- ( 2)c
2 x
1
- 2 c
2x

27

c).



4

3
4

x 3 dx   x dx


1

x

3
1
4

c

3
1
4
7
1 4
 x c
7
4
7
4 4
 x c
7
4 4 3
 x x c
7

28

d).



2
3

1
3

x

2

dx   x dx
1
x

2
- 1
3

2
 1
3

c

1
3

 3x  c
3 x c
3

29

Tentukan Integral tak tentu berikut ini
1.


(x
x
)
dx


2.


(x
x
x
)
dx


3.

5x
dx


3

6

2

5

2

30

1.

 (x

3

 x ) dx   x dx   x dx
2

3

2

1 3
1 4
 x  c1  x  c 2
3
4
1 4 1 3
 x  x  c1  c 2
4
3
1 4 1 3
 x  x C
4
3
31

2.

6
5
2
6
5
2
(x
x

x
)
dx

x
dx
x
dx

x



 dx

1 7
1 6
1 3
 x  c1 - x  c 2  x  c3
7
6
3
1 7 1 6 1 3
 x  x  x C
7
6
3

32

3.

5x
dx

5
x
dx


1 2
 5( ) x  c
2
5 2
 x c
2
33

1.
2.
3.
4.

 5 dx  5x  C
dx
1
1
 3   3 dx  3 x  C
1 11
10
 x dx  11 x  C
1 5
-6
 x dx  - 5 x  C
1 1
- ( 5 ) C
5 x
1
- 5 C
5x

34

Jadi  2 x dx  x 2  C , karena turunan f ( x)  x 2  C adalah 2 x
2
2
(
4

5
)

2

5

,
(
)

2
 5 x  C adalah 4 x  5
x
dx
x
x
C
karena
turunan
f
x
x

2
3
3
2




3
x
dx
x
C
,
karena
turunan
f
(
x
)
x
C
adalah
3
x

3
4
4
3




4
x
dx
x
C
,
karena
turunan
f
(
x
)
x
C
adalah
4
x




1
1
1
1
dx


C
,
karena
turunan
f
(
x
)


C
adalah
x
x
x2
x2

Jawaban Surplus Konsumen dan Produsen

Soal 1
Fungsi permintaan suatu barang
ditunjukkan oleh persamaan Q =
48 – 0.03 P2. Hitunglah surplus
konsumen jika tingkat harga
pasar adalah 30.

Jawab
Q = 48 – 0,03 P2
Jika P = 0, Q = 48

Cs



Pe



p^

Jika Q = 0, P = 40 = Pˆ
P = 30, Q = Qe = 21

f ( P)dP 

30



40

(48  0.03P 2 )dP



 48(40)  0.01(40)  48(30)  0.01(30) 
 48P  0.01P

3 40
30

3

 (1920  640)  (1440  270)  110.

3

Soal 2
Seseorang produsen mempunyai fungsi
penawaran P = 0,50Q + 3. Berapa
surplus produsen itu bila tingkat
keseimbangan di pasar adalah 10?
Jawab :
P = 0,50Q + 3
Q = -6 + 2P
P=0
Q = -6
Q=0
P = 3 = P^
Pe = 10
Qe = 14

 Qe Pe 

0



Qe

 (14)(10)

0

f (Q)dQ



14

(0,50Q  3)dQ


 140  0,25(14)

 140  0,25Q  3Q
2

 140  91  0
 49.

2



14
0

 



 3(14)  0,25(0) 2  3(0)

Soal 3
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran
D : p= -½ x² - ½x + 33 dan S : p= 6 + x
Dapatkan besarnya surplus konsumen pada
saat terjadi market equilibrium (ME) ?

JAWAB :
ME terjadi pada saat D = S
Atau -½ x² - ½x + 33 = 6 + x
 -½ x² - 1½x + 27 = 0
 x² - 3x – 54
 (x+9) (x-6) = 0
 Jadi, kuantitas equilibrium x ๐ = 6 unit dan price equilibrium
p๐ = 6 + 6 = 12 satuan rupiah
 Karena market equilibrium terjadi saat x ๐ = 6 dan p๐ =
12, maka :

P
33-

SK
S
C 12 -

B

SP
E 6A
0

6

X

Soal 4
Diberikan fungsi permintaan
sebagai berikut : Qd = 75 – 3P2,
gambarkan fungsi tersebut pada
sebuah grafik Qd vs P serta carilah
surplus konsumenya jika harga
pasar Pe = 2

Solusi
Qd = 75 – 3P2
Qe = 75 – 3.(22)
Qe = 75 – 3.4
Qe = 75 – 12
Qe = 63
Jadi (Pe, Qe) = (2, 63)
Fungsi Qd = 75 – 3P2 merupakan kurva
parabola yang terbuka di bawah dengan titik
puncaknya (P, Qd) = (0,75).
Lanjutannya …

Gambar
Qd
75
63

0

Surplus Konsumen
(SK)

2

5

P

Solusi


Soal 5

Diberikan fungsi penawaran sebagai
berikut : P = 20 + 5Qs, gambarkan
fungsi tersebut pada sebuah grafik
P vs Q, serta carilah surplus
produsenya untuk harga pasar
sebesar 40.

Solusi


Lanjutannya …

Gambar
Pe = 20 –
5Qs

P
Pe
40

=
Surplus
Produsen

P = 20

0

Qs
4

Solusi


Lanjutannya …

Solusi


Lanjutannya …