BAB XVI. INTEGRAL - 16. Integral

BAB XVI. INTEGRAL

10. ∫ cos n (ax+b)sin(ax+b) dx =
11. ∫ 2 sin ax cos bx dx = ∫ sin

A. Integral Tak Tentu

k
x n +1 + c ; n ≠ -1
n +1
1
2. ∫ (ax + b) n dx =
(ax+b) n+1 + c ; a ≠ 0 dan n ≠ -1
a (n + 1)
1
3. ∫ dx = ln|x| + c
x
4. ∫ ( f ( x)dx ± g ( x)dx) = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
1. ∫ k x n dx =

sin x dx + c

d
sin x
cos x
dx
4. ∫ ctgx dx = ∫
dx = ∫
dx = ln |sin x| + c
sin x
sin x

1
cos (ax+b) + c
a
1
6. ∫ cos(ax + b) dx = sin (ax+b) + c
a

∫ sin(ax + b) dx = -

8. ∫ ctg (ax + b) dx =

1
ln|cos(ax+b)| + c
a

1
ln|sin(ax+b)| + c
a

9. ∫ sin n (ax+b) cos(ax+b) dx =

14. ∫ c sec 2 x dx = - ctg x + c
1
15. ∫ c sec 2 (ax+b)dx = - ctg (ax+b)+ c
a

3. Rumus-rumus Integral yang lain

d

− cos x
sin x
3. ∫ tan x dx = ∫
dx = - ln |cos x| + c
dx = ∫ dx
cos x
cos x

7. ∫ tan(ax + b) dx = -

1
tan (ax+b)+ c
a

17. ∫ c tan x csecx dx = -csec x + c

1. ∫ sin x dx = - cos x dx + c

5.

13. ∫ sec 2 (ax+b)dx =

16. ∫ tan x secx dx = sec x + c

2. Rumus Integral Fungsi Trigonometri

∫ cos x dx =

( a + b)
( a − b)
x dx + ∫ sin
x dx
2
2

12. ∫ sec 2 x dx = tan x + c

1. Rumus Integral Fungsi Aljabar

2.

1
cos n+1 (ax+b) +c
a(n + 1)

1
sin n+1 (ax+b) +c
a(n + 1)

1 2
x
1
a arc sin ( ) + x a 2 − x 2 + c
2
a
2
x
x
( x = a sin θ ; sin θ = ; θ = arc sin ( ) )
a

a
1
1
2. ∫ a 2 + x 2 dx = a 2 ln |x + a 2 + x 2 | + x a 2 + x 2 +c
2
2
1.

∫

a 2 − x 2 dx =

3.

∫

x 2 − a 2 dx = -

4.

∫

5.

∫

6.

∫

1 2
a ln |x + x 2 − a 2 |
2
1
+ x x2 − a2 + c
2

dx
a2 − x2
dx

a +x
2

2

dx

x
= arc sin ( ) + c
a
= ln |x +

a2 + x2 | + c

= ln |x +

x2 − a2 | + c

x −a
1

dx
x+a
=
| +c
ln |
7. ∫ 2
2
a −x
2a
x−a
2

2

www.belajar-matematika.com - 1

16. SOAL-SOAL INTEGRAL

1
= 2

1

1+

u
+C
1
1+
2
3
1 2 2
. u +C
=2 3
3
1
2 2
= - (9 − x ) + C
3
1

=(9 − x 2 ) 9 − x 2 + C
3

EBTANAS1995
1. Hasil dari ∫ (3x 2 – 8x + 4) dx adalah …
A. x 3 – 8x 2 + 4x + C
B. x 3 – 4x 2 + 4x + C
C. 3x 3 – 4x 2 + 4x + C
D. 3x 3 – 8x 2 + 4x + C
E. 6x 3 – 8x 2 + 4x + C

Jawabannya adalah A

jawab:

UMPTN1991

∫

3
8
(3x 2 – 8x + 4) dx = x 3 − x 2 + 4 x + C
3
2
3
= x − 4x 2 + 4x + C

Jawabannya adalah B
EBTANAS2001
2. Hasil

∫x

9 − x 2 dx = ….

1
1
9 − x2 + C
(9 − x 2 ) 9 − x 2 +
9
3

jawab:
Misal u = 9 - x 2
du = - 2x dx
−

∫x

3.

∫

sin 2 x cos x dx = ….

∫ sin
∫

n

(ax+b) cos(ax+b) dx =

sin 2 x cos x dx =

=

1
sin 3 x + c
(2 + 1)
1
sin 3 x + c
3

∫
= ∫

sin 2 x cos x dx =

(sin x) 2 cos x dx
u 2 du

1 3
u +c
3
1
sin 3 x + c
=
3
=

9 − x 2 x dx
1

1
sin n+1 (ax+b) +c
a(n + 1)

Cara 2:
Misal: u = sin x
du = cos x dx

∫

∫

E. cos x - cos 3 x + C

cara 1:

1
du = x dx
2

9 − x 2 dx =

D. sin 3 x + C

A. 2 sin x. cos x + C
1
B. cos 3 x + C
3
1
C. sin 3 x + C
3
Jawab:

1
A. − (9 − x 2 ) 9 − x 2 + C
3
2
B. − (9 − x 2 ) 9 − x 2 + C
3
2
C. (9 − x 2 ) 9 − x 2 + C
3
2
2
D. (9 − x 2 ) 9 − x 2 + (9 − x 2 ) 9 − x 2 + C
9
3

E.

1
2

1

1
1
= ∫ u 2 . − du = - ∫ u 2 du
2
2

Jawabannya adalah C

www.matematika-sma.com - 1

EBTANAS2000
6. Hasil ∫ cos 2x. sin 5x dx = ….

UAN2003
4. Hasil ∫ x sin(x 2 +1) dx = …
A. – cos (x 2 +1) + C

1
cos (x 2 +1) + C
2
E. -2 cos (x 2 +1) + C
D.

B. cos (x +1) + C
1
C. − cos (x 2 +1) + C
2
2

1
1
cos 7 x + cos 3x + c
14
6
1
1
cos 7 x − cos 3x + c
B. 14
6
1
1
C.
cos 7 x − cos 3x + c
14
6
1
1
D.
cos 7 x + cos 3x + c
14
3
A. -

jawab:
u = x 2 +1
du = 2x dx

∫

E.

x sin(x +1) dx =
2

∫

=

1
sin u du Æ (karena du = 2x dx)
2

1
1
cos 7 x − cos 3 x + c
3
14

Jawab :

1
cos u + c
2
1
= - cos (x 2 +1) + c
2

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)
1
sin (A+B) + sin (A-B)
sin A cos B =
2

Jawabannya adalah C

cos 2x. sin 5x = sin 5x cos 2x
1
= { sin (5x + 2x) + sin (5x – 2x) }
2

=-

UAN2003
1
sin
x dx = …
5. ∫
2
x

1
+c
x
1
D. cos + c
x

A. sin x 2 + c

C. sin

B. cos x + c
Jawab:
Misal ;
1
u=
= x −1
x
du = - x

∫

=-

1
x dx = 2

sin
x

−2

E. cos x 2 + c

=

1
( sin 7x + sin 3x )
2

∫

cos 2x. sin 5x dx

1
1
sin 7x dx + ∫
sin 3x dx
2
2
1 1
1 1
= - . cos 7x + - . cos 3x + c
2 7
2 3
=

∫

=1
dx
x2

∫

sin u du

Jawabannya adalah B
UN2006
4

= cos u + c
= cos

1
1
. cos 7x - cos 3x + c
14
6

1
+c
x

7. Nilai dari

∫
0

A. 10 B. 8

Jawabannya adalah D
www.matematika-sma.com - 2

2x + 2
x 2 + 2x + 1

C. 6

dx =…

D. 5

E. 4

Jawab:

EBTANAS1991
π
2

2x + 2 = 2 (x+1)

2x + 2

∫

x 2 + 2x + 1

0

∫

sin(2x- π ) dx =

0

( x + 1) 2 = x+1

x 2 + 2x + 1 =
4

9.

A. -1

dx

B. -

1
2

C. 0

D.

1
2

E. 1

Jawab:
π

2( x + 1)
dx =
x +1

4

=

∫
0

4

∫

2

∫

2 dx

sin(2x- π ) dx

0

0

π

4

= 2x | = 2.4 – 0 = 8

2
1
= - cos (2x- π ) |
2
0

0

Jawabannya adalah B
UAN2007
3

8. Diketahui

∫

(3x 2 + 2x + 1 ) dx = 25, nilai

a

A. -4

B. -2

C. -1

D. 1

1
a=…
2

∫

3

= -

1
1
cos 0 – (- cos - π )
2
2

=-

1
1
1 1
. 1 + . -1 = - = -1
2
2
2 2

* cos 0 = 1,
* cos - π = cos( π – 2 π ) = - cos 2 π = - cos 360 = - 1 )

(3x 2 + 2x + 1 ) dx = x 3 + x 2 + x |

a

1
1
cos ( π - π ) – (- cos(0 - π ) )
2
2

E. 2

Jawab:
3

= -

a

= 27 + 9 + 3 - (a 3 + a 2 + a )

jawabannya adalah A

= 39 - (a 3 + a 2 + a ) = 25

UN2006
10. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva
y = x 2 - 2 dan garis y – x – 4 = 0 adalah….

(a 3 + a 2 + a ) = 14
Kita lakukan uji coba nilai (trial & error) :
Masukkan nilai 1 Æ a 3 + a 2 + a = 3 Æ tidak memenuhi
2 Æ a 3 + a 2 + a = 8 + 4 + 2 = 14
Æ memenuhi
3
2
-2 Æ a + a + a = -8 + 4 -2 = -6
Æ tidak memenuhi
1
maka a = 2, sehingga a = 1
2
Jawabannya adalah D

5
satuan luas
6
5
B. 11 satuan luas
6
A. 10

C. 20

5
satuan luas
6
5
E. 21
satuan luas
6

D. 20

3
satuan luas
6

Jawab:
y = x 2 - 2 ….(1)
y – x – 4 = 0 ⇔ y = x + 4 ….(2)

www.matematika-sma.com - 3

substitusi (1) dan (2) :

UN2007
11. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah
adalah ….. satuan luas :

x + 4 = x2 - 2
⇔ x2 - x - 6 = 0
⇔ (x - 3 ) (x +2 ) = 0
titik potong di x = 3 (batas atas)
dan x = -2 (batas bawah)
sketsa gambar untuk melihat posisi kurva dan garis,
pd gambar terlihat posisi di atas adalah garis, sehingga
untuk menghitung luasnya adalah persamaan garis
dikurangi kurva (kondisi sebaliknya apabila kurva di atas
garis)

A. 20

5
6

C. 7

1
2

B. 13

1
2

D. 6

1
6

E. 5

5
6

jawab:
Titik potong kurva dan garis :
3

∫

(y2 – y1) dx

−2
3

=

∫

(x + 4) –( x 2 - 2) dx

−2

3

∫

=

(x +4 - x 2 + 2) dx

−2

∫

(- x 2 + x + 6) dx

−2

====-

3
1 3 1 2
x + x + 6x |
3
2
−2
1
1
(27 − (−8)) + (9 − 4) + 6(3-(-2))
3
2
1
1
(35) + (5) + 6(5)
3
2
35
5
− 70 + 15 + 180 125
=
+ + 30 =
3
2
6
6

= 20

Titik potongnya adalah x = -3 (batas bawah)
dan x = 2 ( batas atas)
luasnya =

3

=

9 - x2 = x + 3
⇔ x2 + x – 6 = 0
⇔ (x + 3 ) ( x – 2) = 0

5
satuan luas
6

2

∫

(pers .kurva – pers garis) dx

−3

2

=

∫

(9-x 2 ) – (x +3) dx

−3

2

=

∫

(9 - x 2 - x – 3) dx

−3

2

=

∫

(6 - x 2 - x) dx

−3

= 6x Jawabannya adalah D

1 3 1 2 2
x - x |
3
2 −3

www.matematika-sma.com - 4

= 6 (2-(-3) ) -

=6.5 -

= 30 -

substitusi (1) dan (2)

1
1
(8 − (−27)) - (4 − 9)
3
2

x2 = 2 – x
⇔ x2 + x – 2 = 0
⇔ (x + 2 ) (x – 1 ) = 0
x = -2 (batas bawah) atau
x = 1 (batas atas)
(lihat pada gambar)

1
1
(35) - (−5)
3
2

35
5 180 − 70 + 15
+ =
3
2
6

Mencari volume :

125
5
= 20
=
6
6

V= π

Jawabannya adalah A
=π
UAN2002
12. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan
garis x + y – 2 = 0 diputar mengelilingi sumbu x sejauh
360 0 . Volume benda putar yang terjadi adalah…
A. 15
B. 15
C. 14
D. 14
E. 10

2
π
3
2
π
5
3
π
5
2
π
5
3
π
5

satuan volume
satuan volume
satuan volume
satuan volume
satuan volume

Jawab:

=π

1

∫

(y 2

∫

{ (2-x) 2 - (x 2 ) 2 } dx

∫

((4 - 4x + x 2 ) - x 4 } dx

2

- y 1 2 ) dx

−2
1

−2
1

−2

= π

1

∫

(4 – 4x + x 2 -x 4 ) dx

−2

=π

1

∫

(- x 4 + x 2 - 4x + 4) dx

−2
1
1 5 1 3
x + x - 2x 2 + 4x) |
5
3
−2
1
1
= π {(- (1 − (−32)) + ( (1-(-8))-2(1-4)+4(1-(-2))}
3
5

= π (-

1
1
= π {(- 33 + 9 - 2 . (-3) + 4 .3 )
5
3
33
+ 3 + 6 + 12 )
5
33
− 33 + 105
= π (+ 21) = π
5
5
72
2
π satuan volume
=π
= 14
5
5

= π (-

jawabannya adalah D

Mencari titik potong:
y = x 2 …(1)
x + y – 2 = 0 ⇔ y = 2 – x ..(2)
www.matematika-sma.com - 5

UN2007
13. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva
y = -x 2 +4 dan y=-2x + 4 diputar 360 0 mengelilingi
sumbu y adalah….
A. 8 π satuan volume
13
B. π satuan volume
2
C. 4 π satuan volume
8
D. π satuan volume
3
5
E. π satuan volume
4

y (y - 4) = 0
didapat y = 0 atau y = 4
( terlihat pada gambar)
mencari Volume:
karena diputar terhadap sumbu y rumusnya menjadi:
4

∫

V= π

(x 1 2 - x 2 2 ) dy

0

=π

4

∫

{ (4-y) –

0

=π

Jawab:

4

∫

4-y –

0

=π

4

∫
0

=
=

=

=

π
4

π
4

π
4

(16 − 8 y + y 2 )
} dy
4

(16 − 4 y − 16 + 8 y − y 2 )
} dy
4

4

∫

(4y - y 2 ) dy

0

1 3 4
y ) |
3
0

( 2y 2 -

(32 -

π 32
4 3

=

π 96 − 64
64
(
)=
)
3
4
3
8
π satuan volume
3

Mencari titik potong:
Persamaan kurva y= -x 2 + 4 ⇔ x 2 = 4 – y …(1)
persamaan garis y = -2x + 4 ⇔ 2x = 4 – y
4− y
..(2)
x=
2
substitusi (1) dan (2)
(4 − y ) 2
=4–y
4
(4-y) 2 = 16 – 4y
16 – 8y + y 2 = 16 – 4y
16 - 16- 8y+ 4y+ y 2 =0
- 4y + y 2 = 0
y2 - 4 y = 0

(4 − y ) 2
} dy
4

x2 = 4 – y ⇔

12.

www.matematika-sma.com - 6

∫a

8.

2

1
x
dx
= arc tan| | + c
2
a
a
+x
a. Jika f(x) > 0 (Kurva di atas sumbu x)

4. Integral Parsial

∫ u dv = uv - ∫ v du
Didapat dari :
y = u.v dimana u = g(x) dan v = h(x)
y’ = u’ v + u v’
= v u’ + u v’

b

L=

∫ f ( x) dx
a

dy
dv
du
+u.
= v.
dx
dx
dx

b. Jika f(x) < 0 (Kurva di bawah sumbu x)

(dikalikan dx)

dy = v du + u dv
d (u.v) = v du + u dv

∫ d (u.v) = ∫ v du + ∫ u dv
u.v = ∫ v du + ∫ u dv

∫ u dv

b

= uv - ∫ v du

L = - ∫ f ( x) dx =
a

B. Integral Tertentu
b

a

∫ f ( x) dx
b

c. Jika f(x) > 0 dan f(x) < 0 (Kurva sebagian berada di
bawah sumbu x dan sebagian lainnya berada di atas
sumbu x)

b

∫ f ( x) dx = F(x) |

a

= F(b) – F(a)

a

1. Luas Daerah Antara Kurva dan Sumbu- sumbu
Koordinat

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x),
sumbu x dan garis-garis x = a dan x = b serta x =g(y),
sumbu y dan garis-garis y = a dan y = b dapat
dibedakan sbb
c

L = - ∫ f ( x) dx +
a

∫
c

∫ f ( x) dx
c

b

a

=

b

f ( x) dx +

∫ f ( x) dx
c

www.belajar-matematika.com - 2

d. jika
g(y) > 0 (kurva berada di sebelah kanan sumbu y)

i
b

L=

∫ g ( y) dy

c

L = - ∫ g ( y ) dy +

a

a

e. jika g(y) < 0 (kurva berada di sebelah kiri sumbu y)
=

b

∫ g ( y) dy
c

a

b

c

c

∫ g ( y) dy + ∫ g ( y) dy

2. Luas Daerah Antara Dua Kurva
a. Di atas sumbu x

b

L = - ∫ g ( y ) dy =
a

a

∫ g ( y) dy
b

f. jika g(y) < 0 dan g(y) > 0 (kurva sebagian berada
di sebelah kiri sumbu y dan sebagian lainnya berada
sebelah kanan sumbu y)

L=

b

b

b

a

a

a

∫ y2 dx - ∫ y1 dx = ∫ ( y 2 − y1) dx

www.belajar-matematika.com - 3

b. Di bawah sumbu x

b

L = - ∫ y2 dx a

b

b

b

a

a

a

{ - ∫ y1 dx } = ∫ y1 dx - ∫ y2 dx

b

= ∫ ( y1 − y 2) dx
a

c. Di sebelah kanan sumbu y

L=

b

b

b

a

a

a

∫ x2 dy - ∫ x1 dy = ∫ ( x2 − x1) dy

3. Volume Benda Putar

a. Diputar terhadap sumbu x maka,
V= π

b

∫y

2

dx

a

b. Diputar terhadap sumbu y maka,
V= π

b

∫ x dy
2

a

www.belajar-matematika.com - 4