Pendahuluan Kasus I – Permukaan smooth dengan slip

29

BAB III PEMODELAN DENGAN METODE VOLUME HINGGA

3.1. Pendahuluan

Pemodelan yang dibangun menggunakan kode komputer digunakan untuk melakukan perhitungan matematis dengan memasukkan varibel-variabel yang telah ditentukan yaitu sebagai berikut: a. Ketinggian film input dan output adalah 1 µm. Sedangkan ketinggian fluida masuk didapatkan sesuai dengan gap ratio yang akan ditentukan hi = gap ratio x ho. b. Panjang kontak sliding di bantalan adalah 20 mm. c. Kecepatan permukaan yang bergerak adalah sebesar 1 ms. d. Viskositas fluida 0,001 Pa.s e. Tekanan atmosfer f. Konstanta slip yang digunakan adalah 0,02 . m Pa s . Nilai ini mengacu pada percobaan yang dilakukan oleh Choo, dkk . 2007. Pada percobaan tersebut didapatkan panjang slip sebesar 20 µm. Sehingga didapatkan nilai konstanta slip sebagai berikut: . . . g. Memvariasikan area slip di bagian inlet d = 0, d = 0,25; d = 0,5; dan d = 0,75. h. Semua hasil yang didapat ditunjukkan dengan parameter tak berdimensi yaitu tekanan tak berdimensi. Pengubahan menjadi parameter tak berdimensi dilakukan sebagai berikut: 2 1 o ph P U Lx μ = 3.1 x X Lx = 3.2 30 i. Panjang slip dan tanpa slip adalah sama yaitu setengah dari panjang kontak, yaitu untuk slip 0,5 dari panjang kontak dan tanpa slip adalah 0,5 dari panjang kontak. j. Pergerakan area slip T s dan area tanpa slip T a dari Lx = 0 sampai Lx = 1 Beberapa kasus seperti dalam Tabel 3.1 menjadi konsentrasi penelitian yang akan diamati: Tabel 3.1. Kasus-kasus penelitian NO KASUS PENELITIAN 1 Permukaan smooth dengan slip 2 Permukaan smooth dengan slip dan menggunakan kavitasi model half-sommerfeld 3 Kekasaran permukaan bertektur rectangular dengan slip 4 Kekasaran permukaan bertektur rectangular dengan slip dan menggunakan kavitasi model half-sommerfeld 5 Kekasaran permukaan bertektur sinusoidal dengan slip 6 Kekasaran permukaan bertektur sinusoidal dengan slip dan menggunakan kavitasi model half-sommerfeld 7 Single-grooved slider

3.2. Kasus I – Permukaan smooth dengan slip

3.2.1. Diskripsi masalah Langkah penting untuk membangun persamaan aliran fluida di dalam kontak terlubrikasi yang mana terjadi kontak sliding dan salah satu permukaannya terjadi slip adalah memodelkan kontak sliding dengan infinite width slider bearing yaitu lebar bantalan diasumsikan tak hingga, sehingga gradien kecepatan fluida dan tekanan hanya berpengaruh pada arah x. Dan slider bearing dimodelkan dalam inclined pad bearing yang sederhana seperti pada Gambar 3.1, dimana dua permukaan membentuk parallel gap. Pada bearing ini ketebalan film atau ketinggian fluida h memisahkan dua permukaan. Ketinggian fluida ini merupakan fungsi linier dari x Persamaan 3.3. Permukaan atas dilabelkan sebagai permukaan 1 yang merupakan permukaan yang d t d m P k a s t s p diam. Sedan tanpa slip da i h x h = − Gamba Suat diaplikasikan mempunyai Pada permuk kemudian ke area Ls dan sepanjang a tekanan pada Untu sehingga dap pada permuk z = , z h = , ngkan permu an bergerak d i o x h h x L − ar 3.1 Skema tu kontak ter n pada perm ketinggian kaan tersebu eluar pada d n selanjutny rea Lx setel a kondisi ba uk kasus sm pat dikataka kaan batas fl 1 u U = u u z αμ ∂ = − ∂ ukaan bawah dengan kece atik infinite rlubrikasi he mukaan 1 y film sebesa ut keadaan y daerah tanpa ya meningg lah digunaka atas x = 0 da ooth dengan an bahwa kec luid-solid. U h dilabelkan epatan U 1 W width slider eterogen dar yang merup ar h i dan pad yang direkay a slip terhad galkan area an oleh area an x = Lx. n slip ini dim cepatan slip Untuk kecepa dengan perm Wu, 2006. bearing den ri sliptanpa pakan permu da sisi outle yasa adalah dap permuka slip untuk a slip. Deng modelkan de berbanding atan arah x k Fluid f mukaan 2 ad ngan mixed s slip atau m ukaan diam. et ketinggian aliran fluida aan 1. Slip t memasuki gan asumsi b engan Navie lurus denga kondisi batas film U 1 La dalah permu 3 slip surface ixed slip sur . Pada sisi n film adala a mengalami terjadi sepan area tanpa bahwa tidak er slip condi an tegangan g s sebagai ber 3 3 Permukaan Permukaan 31 ukaan 3.3 rface inlet ah h o . i slip njang slip k ada ition, geser rikut: 3.4 3.5 n 1 n 2 32 Konstanta α disebut sebagai koefisien slip dan bernilai selalu positif. Jika koefisien slip sama dengan nol maka kondisi batas di atas menjadi kasus tanpa slip. Dengan mengaplikasikan persamaan kesetimbangan gaya sebelumnya yaitu Persamaan 2.7 sebagai berikut ini: 2 2 p u x z μ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ 3.6 Langkah pertama adalah mengintegralkan Persamaan 3.6 di atas sebanyak dua kali terhadap z untuk mendapatkan persamaan kecepatan. 2 1 1 1 2 p u z C z U x μ ∂ = + + ∂ 3.7 1 2 u z U C = = = 3.8 2 1 1 1 2 u p u z h h C h U z x αμ μ ∂ ∂ = = − = + + ∂ ∂ 3.9 2 1 1 1 2 p u C h h U x z αμ μ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ 3.10 1 1 sedangkan untuk komponen sehingga persamaannya menjadi: u p h C z x μ ∂ ∂ = + ∂ ∂ 1 1 1 2 U h p C x h h αμ μ αμ αμ ⎛ ⎞ ∂ = − + − ⎜ ⎟ ∂ + + ⎝ ⎠ 3.11 Dengan memasukkan koefisien ke dalam persamaan kecepatan: 2 1 1 1 1 2 2 U p h p u z z U x x h h αμ μ μ αμ αμ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + − + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3.12 Kecepatan ini digunakan untuk menghitung debit aliran yaitu sebagai berikut: 33 x q x ∂ = ∂ 3.13 1 3 1 1 2 h x U h p q udz x h h αμ αμ αμ αμ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ = = + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ 3.14 Ketika dimasukkan ke dalam persamaan kontinuitas, persamaan Reynolds yang telah dimodifikasi didapatkan: 3 1 3 1 6 1 h p U h x x h x h αμ αμ μ αμ αμ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ + = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ + ∂ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3.15 Persamaan Reynolds modifikasi, Persamaan 3.15 ini merupakan persamaan umum untuk sistem fluid lubrication pada infinite width slider bearing. 3.2.2. Diskretisasi persamaan umum Sebuah formulasi control volume digunakan dalam diskretisasi persamaan umum. Untuk kasus infinite width slider bearing, control volume diasumsikan sebagai kasus 1 Dimensi. Karena gradien P terhadap arah y dan z sama dengan nol, dengan kata lain variabel tidak bergantung terhadap arah y dan z. Dalam hal ini, panjang grid tiap control volume adalah seragam, yaitu sepanjang Δx. Control volume digambarkan sebagai berikut: Gambar 3.2 Control volume nodal P pada infinite width slider bearing Versteg, 1995 34 Persamaan umum sesuai dengan Persamaan 3.15 diintegralkan seluruh control volume. 3 1 3 1 6 1 CV CV p h dV U h dV x x h x h αμ αμ μ αμ αμ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ + = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ + ∂ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ 3.16 1 6 e e w w p K dx U C dx x x x μ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∫ ∫ 3.17 Dimana K dan C adalah variabel untuk menyederhanakan Persamaan 3.17 dan didefinisikan sebagai berikut: 3 3 1 K h h αμ αμ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 3.18 1 C h h αμ αμ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 3.19 Sehingga integral persamaan umum menjadi: 1 6 e w e w p p K K U C C x x μ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3.20 1 3 P W E P e w E W p p p p K K U C C x x μ − − ⎡ ⎤ − = − ⎣ ⎦ Δ Δ 3.21 1 3 W P E e w e w W E p p p K K K K U C C x x x μ ⎡ ⎤ + = + + − ⎣ ⎦ Δ Δ Δ 3.22 P P E E W W c a p a p a p S = + + 3.23 E E K a x = Δ 2 E P E E P K K K K K = + 3.24 W W K a x = Δ 2 W P W W P K K K K K = + 3.25 35 P E W a a a = + 3.26 1 3 c W E S U C C μ ⎡ ⎤ = − ⎣ ⎦ 3.27 Karena nilai K merupakan fungsi dari x, maka untuk menjaga kontinuitas nilai K dari batas permukaan control volume dievaluasi berdasarkan harmonic mean Pantankar, 1980. Persamaan 3.23 tersebut merupakan persamaan diskretisasi yang dapat dipakai pada tiap control volume untuk kasus infinite width slider bearing.

3.3. Kasus II – Permukaan smooth dengan slip dan menggunakan kavitasi model