Tugas kaLkulusss

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

  

  cc:hendarto@umm.ac.id

TUGAS KALKULUS

  

Untuk memenuhi tugas akhir mata kuliah Kalkulus

Diferensial

“RESUME MATERI KALKULUS DAN PENYELESAIAN

SOAL – SOAL”

  

Oleh :

Ayu Dwi Asnantia

09320042 – MAtkom 2A

  

Kata Pengantar

  Assalamu’alaikum wr. wb Puji syukur Alhamdulillah saya panjatkan kehadirat Allah

  SWT, karena atas limpahan rahmat dan hidayah-Nya saya dapat menyelesaikan tugas ini sesuai waktu yang telah ditentukan. Shalawat serta salam tetap tercurah pada junjungan kita Nabi Muhammad Saw, beserta sahabat dan para pengikutnya.

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

  Dalam kesempatan ini, saya mengucapkan banyak terima kasih atas bimbingan yang telah diberikan oleh Bapak Hendarto dalam satu semester ini di mata kuliah Kalkulus Diferensial. Semoga apa yang telah Bapak berikan dan sampaikan, menjadi sebuah senjata yang siap tempur bagi saya dalam menghadapi tantangan berikutnya, serta dapat bermanfaat untuk sekarang dan seterusnya. Amin. Wassalamu’alaikum wr.wb

  Malang, Juni 2010 Ayu Dwi Asnantia

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

  Aturan Rantai Turunan.....................................................21 

  ={ … }

  = B ; R f

  = A ;CD f

  f : A → B ; D f

   Himpunan semua elemen di B yang mempunyai pasangan di A disebut Range.  Aturan ditulis f dan pemasangan ditunjukkan dengan “  “, sehingga

   Definisi Fungsi : Aturan pemasangan elemen – elemen di himpunan A yang disebut domain harus tepat 1 elemen di himpunan B ( ko- domain).

  

FUNGSI

  Turunan Fungsi implisit....................................................21  Aplikasi Turunan ..............................................................24  Terapan Masalah Optimasi ..............................................26  Teorema de L’Hopital ......................................................28  Fungsi Transenden ..........................................................28  Fungsi Logaritma ............................................................29

  Turunan Fungsi Trigonometri ..........................................20 

  

DAFTAR ISI

  Sifat – sifat Turunan ........................................................19 

  TURUNAN .................................................................................17  Definisi Turunan...............................................................17 

   Sifat – sifat Limit Fungsi Trigonometri..............................11  Limit Sepihak ..................................................................13  Limit di Titik Tak Hingga ..................................................14  Limit Tak Hingga..............................................................15  Kekontinuan di Satu Titik ................................................16

   Definisi dan Sifat – sifat Limit ...........................................8

  Fungsi Komposisi ...............................................................7 LIMIT ...........................................................................................8

  Peta dan Prapeta ...............................................................6 

  Kombinasi Fungsi ..............................................................5 

  COVER ........................................................................................1 KATA PENGANTAR .......................................................................2 DAFTAR ISI ..................................................................................3 FUNGSI .......................................................................................4  Definisi Fungsi ...................................................................4 

   Daerah Definisi (daerah asal/wilayah/domain ) dari suatu fungsi f(x),

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

  D

  adalah himpunan semua bilangan real yang menyebabkan aturan

  f D

  fungsi berlaku/terdefinisi. Syarat : tidak melibatkan pembagian

  f dengan 0 dan tidak ada akar bilangan negative. Domain (x).

   Jika tidak dinyatakan secara jelas, maka domain suatu fungsi adalah himpunan bilangan real.

   y = f(x) dengan: x elemen A, f(x) aturan

  Notasi fungsi :

  pemadanannya, dan y adalah elemen B yang merupakan pasangan dari x.  Daerah Nilai (daerah hasil/jelajah/range) dari suatu fungsi f(x), dinotasikan R = { y | y = f(x), x ∈ D } (berisi semua pasangan

  f f x). Range (y).

  dari EXERCISE 1.3

  Find the domain and range of each function !

  2

  1. f ( x )=1+x

  2 Kita masukkan x= – 1, f (−1)=1+(−1) → f (−1)=2

  2

  x=0, f (0 )=1+0 =

  1

  2

  =

  2 x=1, f (1)=1+1 sehingga, x merupakan bilangan real

  domain ( x )=D =(− ∞, ∞) − ∞

  ∞

  f

  2

  adalah bilangan bulat positif, meskipun Karena hasil dari f ( x)=1+x kita masukkan x= – 1, maka :

  Range ( y )=R = ¿ f

  2

  2. g ( z)= 4−z

  √

  2

  4−(−1) = 4−1=

  √ √ √

  3 Kita coba masukkan z= – 1, g ( z)=

  2

  4−0 =

  √

  2 z=0, g ( z)=

  2

  4−(1) =

  √ √

  3 z=1, g ( z)=

  D

  karena syarat f tidak boleh akar negative, dan jika kita memasukkan z= – 3 maka hasilnya akan akar negative. Sehingga:

  D =[− 2,2] f

• 2

  2 Hasil fungsi ini adalah bilangan bulat positif, sehingga :

  R =[ 0,2] f

  0 2

   Kombinasi Fungsi

  ( f ± g) (x )=f (x )± g(x ) 1. 2. ( fg ) ( x ) = f ( x ) . g ( x )

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042 3.

  )

  ; D fn

  )

  x

  (

  … f

  )

  x

  (

  f

  x

  ( f g )

  (

  = f

  )

  x

  (

  n

  ( c . f ) (x )=c . f ( x ) , c adalahkonstanta 5. f

  f (x) g( x) ; g(x )≠ 0 4.

  ( x)=

  = D f

6. Domain dari kombinasi fungsi berupa irisan kedua domain yaitu

  ∩ D g

  Pada fungsi di atas,kita dapat mengetahui bahwa A={1,2,3,4,5,6} dan B={a,b,c,d,e,f}. sehingga D f

  √ x +1

  √ x−1 D f g

  = D

  f ∩ D g

  ∩ { g ( x )≠ 0

  }

  = [ − 1, ∞) ∩ [ 1, ∞)∩ { x ≠1 } = ¿

   PEta dan Prapeta

  A B

  ={ 1,2,3,4,5,6 } yang merupakan Prapeta dari B.

  f (x) g (x)

  R f

  ={ a , c , d }

  dinamakan Peta dari A 1.

  2.

  3.

  4.

  5.

  6.

  .a .b .c .d .e .f

  =

  = [ − 1, ∞) ∩ [ 1, ∞)=[−1,1]

  Exercise 1.5 Find the domains of f , g , f +g , fg

  }

  ,∧f g !

  1. f (

  x

  )

  = √ x +1 , g(x )=

  √ x−1

  D f

  =

  { x /x +1 ≥ 0

  D f

  f ∩ D g

  { x ≥−1

  }

  = ¿

  D g

  = { x−1≥ 0 } = { x ≥ 1 } = ¿ D f

  ∩ D g

  = { − 1≤ x ≤ 1 } =[− 1,1]

  f ( x )+g ( x)= √ x +1+

  √ x−1 D f +g

  = D

  =

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

   Peta dari A oleh f adalah f ( A )={y ∈

  R f y

  = f ( x ), x ∈ A }  Prapeta dari B oleh f adalah f ⁻

  

1

  (

  B )={x

  ∈ D

  f

  / f (x) ∈ B

  2

  dimana A=R f

  6. if f ( x )=x +5∧g (x )= x

  1−x ) = 1+ ¿ Exercise 1.5

  f ∘ g=f ( √

  = 1+1−x=−x

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

  1−x ¿

  √

  1−x .Tentukan f ∘ g !

  √

  2 dan g ( x )=

  Soal 1. f ( x )=1+ x

  ∩ D g

  = g( A)

  −

  A) dan R g ∘ f

  (

  1

  = f ⁻

   Menentukan Domain dan Range adalah D g ∘ f

  5(x +1) . Fungsi demikian disebut sebagai fungsi komposisi dari f dan g.

  √

  ) , sehingga g(x +1)=

  

(

f ( x)

  Dibentuk fungsi baru ( g ∘ f )( x)=g

  √ 5 x .

  Perhatikan dua buah fungsi f ( x)=x+1 dan g ( x)=

   Fungsi Komposisi

  2

3. Fi nd the following a.

  f ( g (0)

  =

  2

  2

  − 3=x

  2

  c. g ( f ( x ) ) = g ( x +5)=(x+5)

  f (−5+5)=f (0 )=0+5=5

  )

  ) b. f (f ( − 5 ) ) c. g

  f ( f (−5 )

  = f (−3)=−3+5=2 b.

  )

  f ( g (0)

  Jawab : a.

  )

  ( f ( x )

• 10 x+25−3= x
• 10 x+22

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

  (

  x→ c ( f g

  )

  ( x)=lim

  x→ c

  lim

  x→ c f (x)

  lim

  x→ c g (x) 8.

  x)

  x→ c f (x ) . lim x→ c g(x ) 7.

  lim

  x→ c f ¿ n

  , n

  ϵ N lim

  x→ c f n

  ( x)= ¿ 9. lim

  x→ c n √ f (x)= n

  √

  lim

  lim

  ( fg)(x)=lim

  L I m I t

  ( kf )(x)=k lim

   Definisi Limit : Misalkan f(x) terdefinisi pada I = (a, b), kecuali mungkin di c ∈ I. Limit dari f(x) untuk x mendekati c disebut L, dinotasikan lim x→c f(x) = L artinya untuk setiap _ > 0, dapat dicari δ >

  0 sehingga |x − c| < δ =⇒ |f(x) − L| < ε .

   Sifat – sifat Limit : Misalkan f dan g dua buah fungsi dan k ϵ R 1. lim

  x→ c k=k 2.

  lim

  x→ c x=c 3.

  lim

  x→ c

  x→ c f (x) 4.

  x→ c

  lim

  x→ c

  ( f +g)(x )=lim

  x →c f ( x )+lim x→ c g(x ) 5.

  lim

  x→ c

  (

  f −g )(x)=lim x → c f ( x )−lim x → c g(x ) 6.

  lim

  x → c f (x) 10. bila p ( x ) polinom makalim x →c f ( x )≥ 0 untuk n genap

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

  = ( x +2)(x −2)

  12

  2

  3 x

  Exercise 2.1 Find The Limits by Substitution !!

  =(− 3)(−3)=9 26. lim

  

)

  2 (−1 )−1

  (

  3 x (2 x−1)=3 (−1)

  x →−1

  25. lim

  x →2 x+2=2+2=4

  ( x−2) = lim

  x−2

  2

  4

  −

  2

  x→ 2 x

  Oleh karena itu, kita memakai penyelesaian dengan uraian aljabar, karena terdapat bentuk aljabar kuadrat di sana . sehingga, lim

  4 2−2 = , merupakan bentuk tak tentu .

  −

  2

  2

  =

  x→ 2 x ²−4 x−2

  2 x=2.2=4 22. lim

  x→ 2

  21. lim

  3.(2)

4 Exercise 2.2

  2.2−1 =

  =

  ( 5−x)

  4 / 3

  =

  [

  [ 5−(−3 )]

  

4 /3

]

  = (8)

  4 /3

  8

  =1 13. lim

  1 /3 .8

  1

  = 2.8=16 18. lim

  h → 0 √

  5 h+4−2

  h

  =

  ,bentuk tak tentu

  Karena bentuknya berakar, penyelesaian yang kita lakukan adalah dengan menggunakan perkalian dengan sekawan. Maka :

  x →−3

  1984

  2 x −1 =

  2 ¿

  3 =

  Find The Limits !! 1. lim

  x →−7

  ( 2 x +5)= lim

  x→ 2

  2 x + lim

  x→−7

  5=−14 +5=−9 2. − x − x

  ¿

  ( ¿¿ 2+5 x−2)=lim

  = (−1)

  x →2 ¿ ¿

  lim

  x→ 2 ¿ 3.

  lim

  x →−4

  ( x+3)

  1984

  = (−4+3)

  1984

  x →−7

• 3 t+2
• 3 t+2

  2 −

  x → 0 x ²

  2 − lim

  1

  x →0

  24 ) = lim

  x ²

  1

  1

  x→ 0 (

  3 52. lim

  1

  −

  − 1−2 =

  = − 1+2

  ( t+2) ( t−2)

  24 =

  2 − 0=

  = lim

  5 lim

  lim

  x → 4 f ( x)−5 =2(1)

  lim

  5 4−2

  lim x →4 f ( x ) −

  2 1=

  x→ 4 x−lim x → 4

  x →4 f ( x )−lim x →4

  1

  1= lim

  x → 4 f ( x )−5 x−2

  Jawab : 1= lim

  x→ 4 f (x )

  = 1, find lim

  x → 4 f ( x )−5 x−2

  2 55. if lim

  t →−1

  ( t+2)(t +1) ( t−2)(t +1)

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042 lim

  5 h+4+2

  h → 0

  5 h+4+2) = lim

  h( √

  ( 5 h+4 )−4

  h → 0

  5 h+4+2 = lim

  √

  √

  √

  h .

  5 h+4−2

  h →0 √

  = lim

  h

  5 h+4−2

  h → 0 √

  5

  5 h+4 +2 =

  t →−1

  − t−2 =

  − t−2 = lim

  2

  t

  2

  t →−1 t

  menggunakan penyelesaian bentuk aljabar, yakni : lim

  ; bentuk tak tentu . kita bisa menyelesaikannya dengan

  2

  5

  t

  2

  t →−1 t

  4 24. lim

  5

  4+2 =

  √

  x → 4 f ( x)=2+5=7 jadi , lim x→ 4 f ( x )=7

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

  Exercise 2.3

  Find the Limit!! (

  3−2 x)=3−2 (3)=−3 31. lim

  x→ 3 h ²+4 h+5−

  5

  √ √

  lim = 15. bentuk tak tentu. Sehingga kita menggunakan

  h → 0 h penyelesaian dengan sekawan.

h ² +4 h+5−

  5 h ²+4 h+5+

  5

  √ √ √ √

  = lim

  

( )

h → 0 h

  ( h ²+4 h+5+

  5 )

  √ √

  ( h ²+4 h+5 )−5

  h (h+4)

  = lim = lim

  2

  2

  h( h 4 h+5+ 5) h( h 4 h+5+ 5) √ √ √ √

• h → 0 h → 0
• 0+4

  4 = =

  5+

  5

  2

  5

  √ √ √

  

  Sifat – sifat Limit Fungsi Trigonometri

  lim sin x=sin c dan lim cos x=cos c 1.

  x→ c x →c

  sin x x lim 1dan lim

  1 = = 2.

  x→ 0 x x →0 sin x

  tan x x lim = 1 dan lim = 1 3.

  x→ 0 x x → 0 tan x

  Soal – soal : Hitung Limit – Limit Berikut ini ! sin 2θ sin x

  √

  lim 22. = lim =1 sebagaimana sifat Limit Fungsi

  θ → 0 x→ 0 x

  2 θ

  √

  Trigonometri sin 3 y 1 3 sin 3 y 3 sin 3 y 3 sin θ lim

  23. = lim = lim = lim =

  y →0 4 y

  4 y →0 3 y 4 y →0 3 y 4 θ → 0 θ

  3

  4

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

  t

  1 lim 2 t t cos t lim cost lim

  t → 0 sin t

  sin t 26. = 2 = 2 lim = 2

  ( ) t →0

  lim

  t → 0 tant t → 0 sin t

  cos t

  t → 0 t ( )

  = 2.1.1 = 2

  x csc2 x x

  1 1 2 x

  1

  1 lim ( . ) lim lim 27. = lim = = .

  x→ 0 cos5 x x→ 0 sin2 x cos 5 x (

  2 x→ 0 sin 2 x )( x→ 0 cos 5 x )

  2

  1 1.1 =

  2

  x

  2 x

  csc ¿

  2 x 2 x

  6 x cos x

  ¿ 3 cos x . .

  28. = lim = lim

  x→ 0 ( sin x sin 2 x )

  cot ¿ ¿

  x→ 0 sin x sin 2 x

  6 x ²

  ¿

  lim ¿

  x → 0

  = 3.1.1 = 3

  x +x cos x x x cos x

  lim 29. = lim

• x→ 0 sin x cos x (

  x→ 0 sin x cos x sin x cos x ) x

  1 x . = lim + lim = (1.1)+ 1 = 2

  x→ 0 ( sin x cos x ) x→ 0 ( sin x )

  sin 5 x sin 5 x 4 x

  5 5 sin5 x 4 x lim . . lim . 34. = lim = =

  ( ) ( ) x→ 0 sin 4 x x→ 0 sin 4 x 5 x

  4 4 x→ 0 5 x sin 4 x

  5

  5 .1.1=

  4

  4 tan3 x sin 3 x 1 1 sin 3 x 8 x

  3 lim . . . . 35. = lim = lim

  x→ 0 sin 8 x x→ 0 ( cos 3 x sin 8 x ) x→ 0 ( cos 3 x sin 8 x 3 x

  8 )

  3 1 sin 3 x 8 x lim = 8 x→ 0 ( cos 3 x )( 3 x )( sin 8 x )

  3

  3 .1 .1.1=

  =

  8

  8

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

  

  Limit Sepihak Definisi limit kanan : Misalkan f(x) terdefinisi pada I = (a, b),

   kecuali mungkin di c ∈ I. Limit dari f(x) untuk x mendekati c dari kanan disebut L, dinotasikan lim x→c+ f(x) = L artinya untuk

  ε

  setiap > 0, dapat dicari δ > 0 sehingga x − c < δ =⇒ |f(x) − L| < ε

   f ( x )=L dan lim ¿ _{¿ +} x → c f ( x)=L _{− ¿} x → c ¿ 1. f ( x )=L → lim ¿ _¿

  Sifat – sifat:

  lim ¿

  x →c

  lim f ( x)=L→ lim | f (x ) | = | L | 2.

  x→ c x→ c

  lim ( f )(x )=0 → lim f (x)

  | | = 3. x→ c x → c

  Soal Hitung limit – limit berikut ini !

  2

  2 | |

  lim | x − 1 | = | 2 − 1 | = 3 =

  3 a.

  x→ 2 _{− ¿} x x → 0

  | x | b. lim ¿ _¿

  Karena berbentuk pecahan, syarat penyebut adalah ≠ 0. Sehingga x≠0.

  x

  Misal f ( x)=

  | x | x

  =−

  1

  | x |

  Untuk x<0, =– 1 → − x

  x untuk x>0, | x | x →

  1 = =

  x

  1,∧x<0 −

  f ( x )= { 1,∧x >0

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

  x → 0 ^{+ ¿} f ( x )=1 x → 0 ^{− ¿} f (x)=−1 ;lim _¿ ¿

  lim _¿

  ¿

  Karena limit kiri dan limit kanannya tidak sama, mengakibatkan limitnya tidak ada. lim

  x→ 0 f ( x)=tidak ada

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

   Limit di titik Tak Hingga

  membesar

Bagian ini mengamati perilaku fungsi f(x) bila x tanpa

  mengecil batas.

  lim f ( x )=L jika dan hanya jika ∀ ϵ>0, ∃ M , x >M → f ( x )−L < ∈

  | | x → ∞

  lim f ( x )=L jika dan hanya jika f (x )−L < ∀ ∈>0, ∃ M , x <M → ∈

  | | x →−∞ untuk k ∈ N dan merupakan pangkat terbesar ,maka :

  1

  1 lim = 0 dan lim =

  k k x → ∞ x→−∞ x x

  Soal – soal !!

  x

  1

  1

  1

  2

  2 x ² x x +1 x x

  lim = lim = lim = = = 50.

  2 x → ∞ x ²+3 x →∞ x→ ∞

  2 1+0

  1

  x

  3 1+

• 2

  2 x ² x x

  

3

  7 x

  3

  7 x ³ x

  7 lim = lim = = 7 51.

  2 x → ∞ x ³+3 x ²+6 x x→ ∞ 1−0−0

  3 x 6 x 1− +

  3

  3

x x

  10

  1

  31

  5

  4

  6 x x ²

  53. 10 x x + 31 x + lim = lim =

  6 x → ∞ x→ ∞

  1

  x

  1 9+

  4

  3

  9 x x x 9 + lim = lim =

  54.

  4

  2 x → ∞ x→ ∞

  5

  1

  6

  2 2 x 5 x − x +6 + 2+ − +

  2

  3

  4

  x x

  2

  1 ₋ +

  1 1 /2 x ²

  2 x+ x x

  √

  57. lim = lim =

  x → ∞ 3 x−7 x→ ∞

  7 3−

  x

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

   Asimptot DAtar

  garis y =L disebut asimptot datar dari fungsi f (x ) jika memnuhi salah satu dari lim n→−∞ f ( x )=L atau lim n → ∞ f ( x )=L Materi ini merupakan materi pengayaan.

  

  Limit Tak Hingga

BAgian ini mengamati perilaku fungsi f(x) dimana nilai f(x) membesar / mengecil tanpa batas.

  ∀ M >0, ∃δ>0,∋ 0<x−c<δ → f ( x )>M lim _¿

  ¿

  ¿ 4. u →0 ^{− ¿}

  1

  u

  = 1.−∞=−∞

  u →0 ^{− ¿}

  1

  u

  = 1. lim _¿

  ¿ x →−3 ^{+ ¿}

  1

  x −3

  = lim _¿

  lim _¿

  ¿

  ¿ 7.

  1

  x−7

  = 4 lim

  u → 0 ^{+ ¿}

  1 u ⁼ 4.

  ∞=∞ x → 7

• ^{+ ¿} ¿ x → 7 ^{+ ¿}

  4

  x−7

  = 4 lim _¿

  ¿

  lim

  ¿

  lim _¿

  7 lim _¿

  ¿

  = lim

   x → 0 ^{− ¿}

  1

  x

  =− ∞

  x → 0 ^{+ ¿}

  1

  x

  = ∞, lim _¿

  ¿

  lim _¿

  ¿

   1

  x−a

  u → 0 ^{− ¿}

  12

  1 u ^{=− ∞}

  ¿ x → a ^{− ¿} ¿

  lim _¿

  ¿

  Soal!! Hitung Limit- limit berikut ini ! 2.

  x → 0 ^{+ ¿}

  1

  x

  =

  12

  7

  x → c ^{+ ¿} f ( x )=∞ jika dan hanya jika

  12 7 x =

  . ∞=∞ x → 0

• ^{+ ¿}

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

  1

  1 = ¿ . ∞=∞

  u x +2 _{¿ +} u → 0 ¿

  17.a. _¿

  1 1 +

  x → 2 = lim ¿ _¿ x +2

  ( x +2) ( x−2) _{− ¿} lim ¿ _¿

  1

  1

  u → 0 = . (−∞)=−∞ _{− ¿} u x +2

  1

  1 b.

  x → 2 = lim ¿ _¿

  ( x +2)(x−2) x +2 lim ¿ _¿

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

   Kekontinuan di Satu Titik

  Misalkanf ( x ) terdefinisi pada interval buka I dan c ϵ I . fungsif diebut kontinu f ( x )= lim ¿

• _{+ ¿}

  x→ c f (x) _{− ¿} x → c ¿ f ( x )→ f (c )=lim ¿ _¿ di titik c ji ka f (c )=lim ¿ x→ c

  Soal!

  2 x −

  64 ,∧x ≠ 8 f ( x ) = x−8

  5 ,∧x=2 { Periksa kekontinuan f di titik x=8.

  Jawab :

  2

  ( x−8)(x +8)

  x −

  64 ( lim f ( x)=lim = lim = lim x +8 )=16

  x→ 8 x→ 8 x −8 x → 8 ( x−8) x→ 8 f (2)=5

  lim f ( x)=16 ≠5=f (2)

  x→ 8

  Jadi, f(x) tidak kontinu di x=2

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

  

T U R U N A N

   Kemiringan garis singgung di titik P = (c,f(c)) didefinisikan sebagai :

  f (c+h)−f (c ) m=lim h→ 0 h

  Soal :

  2 di titik x=2.

  Tentukan persamaan garis singgung kurva y=4 x Jawab :

  2 y=f (x )=4 x x=2 → y=16 P (2,16)

  2 f (c+h)−f (c ) f (2+h )−f (2) 4(2+h) −

  4.4

  m=lim = lim = lim h→ 0 h h → 0 h h →0 h

  2 ( )

  4 4 +4 h+h −

  16

  ¿ lim h → 0 h

  2

  16+16 h+4 h −

  16

  ¿ lim h → 0 h

  (

  ¿ lim 16+4 h )=16+ 4.0=16 h → 0

  ∴ m=16

  Persamaan garis singgung di x=2 adalah y – 16= 16 (x – 2) y=16x – 16 

  f f Definisi : misal y=f(x) fungsi pada dimana D dan x ∈ D

  Turunan f di titik x ditulis f’(x) adalah :

  f ( x +h )−f (x) '

  (

  f x )=lim h → 0 h

  Asalkan nilai limitnya ada. Jika nilai turunan f di x=c ada, maka diketahui f diferensiabel di titik c. jika f diferensiabel pada semua titik dalam domain D, maka f diferensiabel adalah pada D. jika f diferensiabel pada R, maka f dikatakan diferensiabel dimana – mana.

• 2 x +7 Tunjukkan bahwa f

  − 6 x

  x )=lim h →0

  ¿ f

  '

  (

  x )=lim h → 0

  (

  6 ( x

  2

  2 ) + 2 x+2h+7

  )

  2

  '

  h f '

  (

  x )=lim h → 0

  6 x

  2

  2

  2

  h f '

  (

  x )=lim h → 0

  (

  h ¿ ¿ f

  ( 12 x +6 h+2)=12 x +2

  dy dx

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

   Notasi Leibniz:

  f '

  (

  x )=lim h → 0 f ( x +h )−f (x) h

  = lim

  ∆ x→ 0

f ( x +∆ x )−f (x)

∆ x

  = lim

  ∆ x →0 Δ y Δ x

  =

  Soal ! 1. f ( x )=6 x

  − ( ¿¿ 2+2 x +7)

  2

  '

  ( x )=12 x +2 . JAwab :

  f '

  (

  x )=lim h → 0 f ( x +h )−f (x) h h x + ¿

  6 x

  6

  ( ¿ ¿ 2+2( x +h)+7

  )

• 2 xh+h
• 2 x−7
• 12 xh+6 h
• 2 x +2 h+7−6 x
• 2 x−7

2. Tentukan turunan dari fungsi berikut !

  

2

¿ ¿ lim h → 0

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

  f ( x )=2 x

  3 x+h ¿

  3

  − 2 x

  3 ¿

  2 ¿

  ¿ f ' ( x )=lim h →0

  ¿

  6 x

  2

• 6 xh+2 x
• 3 x
• h
• 2 h

  2

  f '

  2 Soal

  v du−u dv v

  =

  x )= u v

  (

  '

  2 atau f

  ( x ) . g (x )−f ( x ). g '(x ) [ g ( x )]

  =

  '

  )

  ( f ( x ) g ( x)

  x )=v du+u dv 7. d dx

  (

  atau f '

  ( x )

  '

  ( x ) . g ( x )+f ( x ) . g

  '

  Tentukan turunan dari fungsi – fungsi berikut ! 1. f ( x )=67 → f

  (

  =

  Kitamisalkan (2 x +1)=u dan ( x

  2

  x )=2 ( x

  (

  x )=v du+u dv f '

  (

  f '

  = v Sehingga ,

  )

  2

  2

  x )=0 2. f ( x )=5 x → f

  4. f ( x )=(2 x+1)(x

  x )=8 x

  (

  '

  2 → f

  3. f ( x )=4 x

  x )=5

  (

  '

  d dx f ( x ) . g ( x )+f ( x )

dy

dx

g ( x )=f

  )

  ( x

  2

  Sifat – Sifat Turunan:

  

  2

  ¿ 6 x

  )

  h→ 0 ¿

  = lim

  3 h

  2 h+6 xh

  '

  6 x

  h → 0

  = lim

  3 h

  − 2 x

  3 )

  2

  2 h+3 xh

  3

  1. f ( x )=k → f

  (

  d dx ( f ( x ) . g ( x )

  = k f

  6.

  d dx f (x)± d dx g(x )

  =

  )

  ( f ( x )± g ( x )

  d dx

  ( x) 5.

  '

  '

  x )=0 2. f ( x )=x → f

  4. y=kf ( x ) → y

  x )=n x n−1

  (

  '

  n → f

  3. f ( x )=x

  x )=1

  (

  '

  =

• 3 x ) Jawab :
• 3 x
• 3 x ) +( 2 x+1 )(2 x +3)

  Ayu Dwi Asnantia Matematika 2A ----- 09320042

  x+1 f ( x )=

  5.

  2 x

  Jawab :

2 Kita misalkan (x+1)=u dan x =v. Sehingga :

  ' x +1 u v du−u dv

  (

  f x )= = =

  2

  2 v x v

  2

  2

  2

  2 x − 2 x (x +1)

  ' x − 2 x − 2 x − x − 2 x − x−2

  (

  f x )= = = =

  4

  4

  4

  3 x x x x

  9 /4 '

  9 5 / 4

  → y = x

  6. y=x

  4

  

1 /4

  4 1/ 4 '

  1 − 3 /4

  5

  y= 5 x=(5 x ) ; y = ( 5 x) .5=

  7. √

  3/ 4

  4 ₋ 4 x

  1

  2

  2/3 '

3 − 1 /3