Nurmalia Beladina beladina27.blogspot.co

  √ − √

  ∈ bil ganjil 4. √ .

  √ .

  =

  √

  ≥ 5. √ .

  ; ,

  √

  =

  √

  ; < 0 and

  =

  −

  = | | =

  ∈ bil ganjil √

  0 and

  ≥

  = | | = ;

  √

  = 3.

  √

  √

  = ;

  √ 10.

  =

  √

  2

  11. ( + ) −

  √

  =

  √

  ( + ) + 2

  = ( + + )

  ; ,

  √ 9. √

  =

  ≠ 8. √

  √ √ = ;

  √ √ =

  ≠ 7.

  √ √ = ;

  ≥ 6.

  ∈ bil ganjil 2. √

  √

  M ATERI M ATEM ATIKA SM A IPA

  q

  ( p

  ≡

  q

  ⟺

  q p

  ∨

  ~ p

  ≡

  ⇒

  q)

  p

  

   

  r p r q q p

  

  ~ ~

  q p  q p p q q p

  1. Logika Matematika Modus Ponen Modus Tollens Modus Silogisme

  ⇒

  ∧

  Sifat-sifat bentuk akar: 1.

  =

  4. log = . log 5. log = . log 6. log . log = log 7. =

  log

  −

  2. log = log + log 3. log = log

  =

  1. log = ⟺

  ≠ Sifat-sifat logaritma:

  9. = 10. = 11. = then = ;

  5. = 6. > , = 7. = 1 8.

  ( q

  ≠ 2. . = 3. ( ) = 4. ( ) = .

  2. Pangkat, Akar dan Logaritma Sifat-sifat bilangan berpangkat: 1. = 1, for

  ~ (p ⇔ q) = (p ∧~q) v ( q ∧ ~p)

  ~ (p ⇒ q) = (p ∧ ~q)

  ~ (p  q ) = (~p ∧ ~ q)

  Ingkaran/negasi: ~ (p ∧ q) = (~p  ~ q)

  p)

  ⇒

• √
• √
• √

  8. log = 9. log =

  Pertidaksamaan eksponen dan logaritma: Untuk a > 1 (tandanya tetap)

  Untuk 0 < a < 1 (tandanya dibalik)

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) ≥ ⟹ ≥

  ≥ ⟹ ≤

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ≤ ⟹ ≤

  ≤ ⟹ ≥

  ( ) ( ) log ( ) log ( ) ( ) log ( ) log ( ) ( )

  ≥ ⟹ ≥ ≥ ⟹ ≤

  ( ) ( ) log ( ) log ( ) ( ) log ( ) log ( ) ( )

  ≤ ⟹ ≤ ≤ ⟹ ≥

  3. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat: = + ,

• Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar:

  ≠

  Diskriminan: =

  4

  − 1. = + . =

  1. D  akar-akar real − , ≥ 0

  2. D > 0 akar-akar real berbeda

   √

  2. = −

  3. D = 0  akar-akar real kembar

• 4. D < 0  akar-akar imajiner
• 3. = ( )

  2

  −

  ) ( )

  4. = ( −

• ( )

  5. = ( )

  3 + + +

  −

• Bentuk umum fungsi kuadrat: ( ) = +

  1. D > 0  memotong di dua titik berbeda

  2. D = 0  menyinggung di satu titik

  3. D < 0  tidak memotong/tidak menyinggung

  4. Sistem Persamaan Linear Menggunakan metode subtitusi atau eliminasi.

  5. Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran Persamaan lingkaran: Pusat (0,0) dan jari-jari r  + = Pusat (a,b) dan jari-jari r  ( ) + ( ) =

  − − Pusat (a,b) dan menyinggung sumbu x  ( ) + ( ) =

  − − Pusat (a,b) dan menyinggung sumbu y  ( ) + ( ) =

  − −

  ( ) ( )

  Pusat (a,b) dan menyinggung garis px + qy + c = 0  =

• + Persamaan umum lingkaran: + A + B + = 0

  Pusat

A, B Jari-jari  + = A A

   − − − − −

• Jika diketahui titik singgungnya
• ( + ) + ( + ) + = 0
• Jika diketahui gradien m:
• Mencari nilai f(x) dengan metode subtitusi/ horner.
• Teorema sisa:

• Teorema faktor: (x – a) adalah faktor dari suku banyak f(x)  f(a) = 0. Jika f(a) = 0 maka f(x) habis dibagi (x – a). Jika (x – a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar dari f(x).
• 1
• 1

  1. buat model matematika; 2. lukis grafik; 3. tentukan daerah penyelesaian; 4. tentukan titik pojok; 5. subtitusi ke fungsi objektif;

  8. Program Linear Langkah-langkah:

  ∘ (identitas)

  =

  ∘ ℎ (asosiatif) 3. ∘

  )

  ) = (

  ∘

  ∘ ℎ

  (

  ∘ ≠ ∘ (komutatif) 2. ∘

  Sifat-sifat: 1.

  ) ( ) = ( )

  ∘

  Invers f(x)  f

  (y) = x Sifat-sifat: 1.

  (x) Jika f(x) = y maka f

  =

  =

  ℎ 

  =

  ℎ ∘ ∘

  =

  ℎ 

  ∘

  ∘

  ∘ (invers komposisi) 3.

  ) =

  ∘

  = (identitas) 2. (

  ∘

  =

  ) ( ) = ( ) (

  ∘

  (

  −

  Persamaan garis singgung lingkaran:

  ( , )

  :

  1. PGS pada lingkaran + =  + =

  2. PGS pada lingkaran ( −

  ) + (

  − ) = .

  (

  −

  ) (

  −

  ) + (

  −

  ) (

  ) = 3. PGS pada lingkaran + + A + B + = 0 .

  7. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Fungsi komposisi:

  6. Suku Banyak (Teorema Sisa dan Teorema Faktor) Bentuk umum: ( ) = + + +

   sisanya

  f(x) dibagi (x – a)  sisanya f(a) f(x) dibagi (x + a)  sisanya f(-a) f(x) dibagi (ax – b)

  

( ) + ( )

f(x) yang dibagi, p(x) pembagi, h(x) hasil bagi, s(x) sisa.

  ℎ

  Pembagian suku banyak: ( ) = ( ) .

  ⋯

  1 +

  1. PGS dengan gradient m dan pusat (0,0) jari-jari r  = ± √

  √

  ) ±

  −

  = (

  2. PGS dengan gradient m dan pusat (a,b) jari-jari r  −

  1 +

  ∘ ℎ

  6. pilih nilai optimum/minimum.

  9. Matriks ⋯

  Operasi matriks: Bentuk umum: ⋮ ⋱ ⋮

  1. = ⋯

<

  ℎ Kesamaan matriks:

  − − 2. =

  1. ordo sama −

  ℎ − − ℎ

  2. elemen yang bersesuaian sama 3. =

• Transpos matriks: (baris menjadi kolom)

  ℎ

  ℎ ℎ

  =  = =

  Determinan matriks: Sifat-sifat invers:

  | | = =  =

  1. . =  = . − 2. . =  = .

  Invers matriks:

  ( )

  3. = −

  =  = | |

  − ( ) = .

  4. 5. . = . = (matriks satuan)

  10. Vektor Operasi aljabar vektor:

  Notasi vektor: = ⃗ + = ⃗ ⃗ ⃗

  1. ⃗ = =

  ⃗

• Panjang vektor: | | =

  ⃗

• Vektor pada dua titik:

  −

  ) ) = ( , , dan = ( , ,

  2. = = ⃗ − ⃗ − −

  − −

  Maka, = = − −

  3. Perkalian skalar: −

  ⃗

  . = | || | cos

  ⃗ Vektor posisi:

  ⃗

• titik pangkal O(0,0) dan titik ujung A(x,y,z).
• . =

  ⃗

  ⃗ + = | | + ⃗ + 2| | ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

  ⃗

  = =

  ⃗

  | | + | ⃗

  Vektor satuan: (vektor yang panjangnya satu) = 2| ⃗ − ⃗ ⃗ ⃗ − ⃗

  ⃗

  vektor satuan dari vector = ( , , ) : =

  4. Perkalian vektor: ⃗

  | |

  ⃗

  × = | || | sin

  ⃗ Pembagian ruas garis:

  ⃗

  × =

  ⃗

  1. Pembagian di dalam

  ⃗ ⃗

  ⃗ : ⃗ = :  ⃗ =

  2. Pembagian di luar

  ⃗ ⃗

  ⃗ ⃗

  : = : =

  −  ⃗

  ⃗ ⃗ .

  Besar sudut antara dua vektor: cos =

  | | ⃗ ⃗

  Proyeksi vektor: Proyeksi skalar (panjang proyeksi vektor):

  ⃗ . ⃗ ⃗

  .

  ⃗ proyeksi vektor .

  ⃗ ⃗ pada ⃗ = proyeksi skalar

  ⃗

  ⃗ pada ⃗ =

  ⃗ ⃗ . ⃗

  ⃗ . ⃗ proyeksi vektor ⃗ pada .

  ⃗ = ⃗ proyeksi skalar ⃗ pada ⃗ =

  | | ⃗

  | | ⃗

  11. Transformasi Translasi:

  )

• = + P (x,y) ditranslasikan oleh matriks T =  P ( + , atau

  Refleksi:

  Refleksi terhadap …. Pemetaan Persamaan matriks transformasi

  1

  sumbu x (y = 0) P (x, y)  P  (x, -y) =

  1

  −

  1

  − sumbu y (x = 0) P (x, y)  P =  (-x, y)

  1

  1

  garis y = k P (x, y)  P  (x, 2k – y) =

  1

  −

  1

  − garis x = h

  =

  P (x, y)  P  (2h – x, y)

  1

  garis x = h lalu x = k P (x, y)  P  (2(k – h)+ x, y) garis y = h lalu y = k P (x, y)  P  (x, 2(k – h)+ y) garis x = h lalu y = k P (x, y)  P  (2h – x, 2k – y)

  1

  sumbu y = x P (x, y)  P  (y, x) =

  1

  1

  − sumbu y = -x

  =

  P (x, y)  P  (-y, -x)

  1

  −

  1

  − titik asal O (0, 0) P (x, y)  P  (-x, -y) =

  1

  −

  1

  − titik R (a, b)

  =

  P (x, y)  P  (2a – x, 2b – y)

  1

  −

  cos 2 sin 2

  garis y = mx (m = tan

  =

  )

  sin 2 cos 2

  −

  cos 2 sin 2

  garis y = mx + c

  = sin 2 cos 2

  −

  1

  garis y = x + k

  = +

  1

  1

  −

  = + garis y = -x + k

  1

  − Rotasi:

  Rotasi …. (berlawanan jarum jam) Persamaan matriks transformasi cos sin o

  Rotasi pusat O (0,0) sebesar  =

  sin cos

  −

  

o cos sin

=

  Rotasi pusat (a, b) sebesar 

  sin cos

  − Dilatasi:

  Dilatasi …. Pemetaan Persamaan matriks transformasi

  pusat (0,0), faktor skala k P (x, y)  P  (kx, ky) =

  Dilatasi [O, k] pusat (a, b), faktor skala k

  =

  Dilatasi [P (a, b), k] Komposisi transformasi: Jika transformasi T (bersesuaian dengan matriks M ) dan transformasi T (matriks M ).

  1

  1

  2

  2 Maka transformasi T 1 lalu transformasi T

2 ditulis: T

2  T 1 = M 2 . M

  1

  12. Deret Aritmatika Barisan aritmatika: U

  1 , U 2 , U 3 , …, U n

  Deret aritmatika: U

  1 + U 2 + U 3 + … + U n

  Rumus suku ke-n : U n = a + (n – 1) b

  ( ) = +

  Suku tengah: =

  ( 2 + ( = 1) )

  − Sisipan: =

  Sisipan: =

  = + ( 1)

  −

  k = banyaknya bilangan yang disisipkan

  Hubungan U n dan S n  = −

  13. Deret Geometri Barisan geometri: U

  1 , U 2 , U 3 , …, U n

  Deret geometri: U

  1 + U 2 + U 3 + … + U n ( )

  Rumus suku ke-n : =

  = , | | &gt; 1

  Suku tengah: = ×

  ( ) = , | | &lt; 1 ( )

  Sisipan: =

  = ~ k = banyaknya suku yang disisipkan

  Hubungan U dan S  =

  n n

  −

  14. Dimensi Tiga    

  15. Trigonometri

  m i sec = csc = cot = de

   sa sin = , cos = , tan = Tabel nilai trigonometri: ^o Kuadran:

  90

  sin   cos  tan 

  sin + all + o

  1 I

  II

  1

  1

  1 o _{o o o}

  30

  3 180 / 360

  √

  2

  2

3 III

  IV

  1

  1 o

  45

  1

  tan + cos +

  2

  2

  √ √

  2

  2 _o

  1

  1 o

  270

  60

  3

  3

  3

  √ √ √

  o

  2

  2

  sin (180 ) = sin 

• – o

  o

  sin (360 ) = –sin  –

  90 1 ~ o

  o

  cos (180 ) = –cos  –

• – cos (360 ) = cos 

  o o

  tan (180 ) = –tan  –

• – tan (360

  ) = –tan  Identitas trigonometri:

  o

  sin (180 ) = –sin  + 1. sin + cos = 1

  o

  cos (180 ) = –cos  +

  o

  2. tan = tan (180 ) = tan  + 3. tan + 1 = sec 4. 1 + cot = csc

  Aturan sinus untuk segitiga sembarang: C Luas segitiga:

  = = = . sin

  Aturan cosines untuk segitiga sembarang:

  b a = . sin =

• = . sin =

  2 .

  −

  2 + . cos

  − A B

  c

• = 2 .

  − Persamaan trigonometri:

  o

  1. sin x = sin   x

  1 =  + n. 360 o o x 2 = (180 ) + n. – 360 o

  2. cos x = cos   x

  1 =  + n. 360 o x 2 = (– ) + n. 360 o

  3. tan x = tan   x =  + n. 180 Rumus jumlah dan selisih sudut: Rumus jumlah dan selisih fungsi: sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

  sin A + sin B = 2 sin ( A + B) cos ( A

  B)

  − sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

  sin A sin B = 2 cos ( A + B) sin ( A

  B)

  − − cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

  cos A + cos B = 2 cos ( A + B) cos ( A

  B)

  − cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

  cos A cos B = 2 sin ( A + B) sin ( A

  B)

  − − −

  tan( A + B) = . tan( A

  B) =

  − .

  2 sin tan 2 =

  → ( )

  → = lim

  2. Bentuk ( aturan L’Hospital  turunan ) Contoh: lim

  → ( + 4) = ( 1) + 4 = 5

  1. Bentuk linear/kuadrat dengan penyebut 1 ( subtitusi ) Contoh: lim

  Limit aljabar untuk x  a

  → ( ) &gt; 0 dan n genap.

  , lim

  → ( ) = lim

  = lim →

  9. lim

  → ( ) }

  → { ( ) } = {lim

  8. lim

  ( )

  ( ) →

  = →

  → ( ) ( )

  → ( ) ( )

  3. Memuat akar ( kalikan dengan sekawannya ) Contoh: lim

  → ( )

  Limit aljabar untuk x  ~

  −

  1 = 1

  −

  sin = 2 cos

  −

  sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos

  Rumus sudut rangkap:

  (membagi tiap suku dengan variable pangkat tertinggi) Contoh:

  9 = 6

  → √ = lim

  √

  √

  → 3 +

  ( ) = lim

  = lim → √

  → √ ( )

  √ √ = lim

  → √

×

  7. lim

  → ( ) . lim

  Rumus perkalian fungsi:

  −

  −

  sin = ( 1

  Rumus setengah sudut:

  

)

  −

  cos(

  −

  2 sin sin = cos( + )

  )

  16. Limit Teorema limit:

  −

  ) 2 cos cos = cos( + ) + cos(

  −

  sin(

  −

  ) 2 cos sin = sin( + )

  −

  2 sin cos = sin( + ) + sin(

  cos 2 ) cos = ( 1 + cos 2 )

  1. Jika f(x) = k, maka lim

  → [ ( ) . ( ) ] = lim

  ( ) ] = lim →

  6. lim

  → ( )

  → . ( ) = . lim

  5. lim

  ( )

  lim →

  −

  ( )

  −

  → ( ) =

  → [ ( )

  4. lim

  → ( )

  → ( ) + lim

  → [ ( ) + ( ) ] = lim

  3. lim

  → ( ) =

  2. Jika f(x) = x, maka lim

• 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
• 5 = 3 +

  1. lim = lim = = = ~

  ~ ~ → →

  √ √

  2. lim

  4 + 5 4 3 = lim 4 + 5 4 3 ×

  − √ − − √ − √ √

  ~ ~ √ √ → →

  = lim

~ √ √

  → =

  Rumus cepat:

  ⋯ lim + + + =

• lim =

  √ −

  ~ √ →

  ~ ⋯ →

  Maka: untuk n = m  L = untuk n &gt; m  L = ~ untuk n &lt; m  L = 0

  Limit trigonometri:

  lim = lim = 1 atau lim = 1 → → →

  ( ) lim = 1 lim = 1 lim =

  atau

  ( ) → → →

  17. Turunan

  ( ) ( ) ( ) = lim

  Definisi: =

  →

  Rumus dasar: Turunan trigonometri:

  1. y = c  y  = 0

  = sin  = a cos

  2. y = x  y  = 1 = cos = a sin

   −

  n n-1 3. y = ax  y  = anx

  = tan  = a sec

  4. y = u  v  y  = u  v 5. y = u . v  y  = uv  uv 6. y = u . v . w  y  = uvw + uvw + uvw 7. =  =

  Dalil rantai:

  ( ) = ( ) ( ) =

  Jika ( ( ) ) , maka: ∘

  ( ) = ( ( ) ) ( ) = ( ( ) ) . ( )

  ⟶

  ( ) = ( ( ( ) = ( ( ( ( ) ( ) ) ) ( ) ) ) . ( ) ) .

  ℎ ⟶ ℎ ℎ ℎ Persamaan garis singgung:

• Gradien garis singgung: = Garis singgung pada kurva f(x) // sumbu X:
• Persamaan garis singgung: = ( ) m = 0

  − −

  Dua garis sejajar: m = m

  1

2 Sudut yang dibentuk garis g menyinggung

  Dua garis tegak lurus: m

  1 . m 2 = -1

  kurva f(x): m = tan  Fungsi naik dan fungsi turun: Nilai stasioner: y

  1 = f(x 1 ) ( ) &gt; 0

  Kurva naik jika: atau m &gt; 0 Titik stasioner/puncak/balik:

  Kurva turun jika: ( ) &lt; 0 atau m &lt; 0 maks (x o, f(x o )) min (x o, f(x o ))

  ( ) = 0

  Keadaan stasioner: atau m = 0

  18. Integral

  ( ) ( ) +

  Definisi: = ∫

  Rumus dasar:

• 1. = ,

  1

  10. sin = cos ∫ ≠ − ∫ −

• 2. = ln
• 11. cos = sin

  ∫

• 3. =

  ∫

• ) = ) +

  ∫

  12. cos(

  sin( +

  − 4. sin = cos ∫

• 5. cos = sin

  −

• ∫
• ) = ) +

  ∫

  13. + + cos( sin( ∫

  6. sec = tan ∫

• 14. sin cos = cos

  − 7. csc = cot ∫

• ( )

  −

• ∫

  8. = sec

  sec tan +

  ∫ 15. cos + sin = sin

  ∫

  ( )

  9. csc cot = csc ∫ −

• Integral subtitusi:

  Integral subtitusi trigonometri:

  ( ( ) ) ( ) . ( ( ) ) =

• = tan

  = sin

  ∫ √ − →

• misal: u (dengan pangkat tertinggi)

  √ →

• tentukan du

   dx

  = sec

  √ − →

• subtitusi ke soal Integral parsial:

  =

  ∫ − ∫ Luas daerah: y

  2

  d y

  1

  c

  a b

  x

  1 x

  2 ( ) L =

  ∫ − L = ( ) −

  ∫

  ( ) L =

  ∫ − L = ( ) −

  ∫ Volume benda putar:

  ( ) V =

  ∫ −

  V = ( )

  − ∫

  19. Permutasi, Kombinasi, dan Peluang Notasi faktorial:

  n! = n × ( n 1) × 3 × 3 × 1

  − Contoh: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 Permutasi: cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutannya (AB  BA)

  !

• Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur:

  n P r = ( ) !

• Permutasi n unsur dengan terdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan m unsur yang

  !

  sama adalah: P =

  ! ! !

• Banyaknya permutasi siklis (lingkaran) dari n unsure yang berbeda: P = (n – 1)!

  k

• Permutasi dari n unsur berbeda, disusun k unsur, tiap unsur boleh berulang: P = n Kombinasi: cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutannya (AB = BA).

  !

  Kombinasi k unsur dari n unsur: n C k =

  !( ) ! ( )

  Peluang: P(A) = (peluang kejadian A)

  ( )

  Frekuensi harapan suatu kejadian: Fh(A) = n  P(A) …. n = banyaknya percobaan

  c

  Peluang komplemen suatu kejadian: P(A ) = 1 – P(A) Peluang kejadian majemuk:

  1. Gabungan dua kejadian: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

  2. Kejadian saling lepas/asing, jika A dan B tidak mempunyai irisan: P(A  B) = P(A) + P(B)

  3. Kejadian saling bebas, jika A dan B tidak saling mempengaruhi: P(A  B) = P(A) . P(B)

  

Selamat Belajar Semoga Sukses



  Creat ed by: Nur malia Beladina beladina2 7.blogspot .com beladina2 7@gmail.com

  Dilarang mengedit dan merubah isi dokumen ini.

  Hargailah karya anak bangsa!  Sem oga berm anfaat .

  Berdoa. Belajar. Berusaha. Pray. Study. W ork hard.