Nurmalia Beladina beladina27.blogspot.co
1
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
MATERI MATEMATIKA SM A IPA
1.
Logika Matematika
Modus Ponen
pq
p
Modus Tollens
pq
~q
Modus Silogisme
pq
qr
q
~p
pr
p ⇒ q ≡ ~p q
p
q ≡ ( p ⇒ q)
2.
( q ⇒ p)
Ingkaran/negasi: ~ (p q) = (~p ~ q)
~ (p q ) = (~p ~ q)
~ (p ⇒ q) = (p ~q)
~ (p ⇔ q) = (p ~q) v ( q
~p)
Pangkat, Akar dan Logaritma
Sifat-sifat bilangan berpangkat:
1.
= 1, for ≠ 0
2.
.
=
(
)
3.
=
.
4. ( ) =
5.
=
6.
>
7.
= 1
8.
=
9.
=
,
=
Sifat-sifat bentuk akar:
1. √
6.
=
=
then
=
;
Sifat-sifat logaritma:
1.
2.
3.
log
log
=
=
4.
5.
log
6.
7.
log .
log =
=
log
≠0
√
=
√
=
√
√
10.
( +
11.
( +
log − log
. log
=
.
log =
∈ bil ganjil
;
√
√
≠0
=
8. √
= √
9. √ + √ +
=
log + log
;
=
2. √
3. √ = | | = ;
0 and ∈ bil ganjil
√ = | | = − ; < 0 and ∈ bil ganjil
4. √ . √ = √ ; ,
0
5. √ . √ = √ . √
= √
; ,
7.
10.
11.
=
log
log
=
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
) + 2√
) − 2√
;
≠0
√ = ( +
= √ + √
= √ −√
+
)√
0
2
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
8.
log
=
9.
log
=
Pertidaksamaan eksponen dan logaritma:
Untuk a > 1 (tandanya tetap)
Untuk 0 < a < 1 (tandanya dibalik)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
log ( )
log ( )
3.
log ( )
log ( )
log ( )
log ( )
1.
+
2.
−
3.
4.
5.
+
−
+
= −
=
√
= (
= (
= (
.
,
+
+
+
+
=
≠0
Diskriminan: =
−4
1. D ≥ 0 akar-akar real
2. D > 0 akar-akar real berbeda
3. D = 0 akar-akar real kembar
4. D < 0 akar-akar imajiner
=
) −2
)( +
) −3
,
)
(
+
)
Bentuk umum fungsi kuadrat: ( ) =
+
+
1. D > 0 memotong di dua titik berbeda
2. D = 0 menyinggung di satu titik
3. D < 0 tidak memotong/tidak menyinggung
Sistem Persamaan Linear
Menggunakan metode subtitusi atau eliminasi.
5.
( )
( )
Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat:
+
Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar:
4.
log ( )
log ( )
( )
( )
Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran
Persamaan lingkaran:
Pusat (0,0) dan jari-jari r
+
=
Pusat (a,b) dan jari-jari r ( − ) + ( − ) =
Pusat (a,b) dan menyinggung sumbu x ( − ) + ( − ) =
Pusat (a,b) dan menyinggung sumbu y ( − ) + ( − ) =
Pusat (a,b) dan menyinggung garis px + qy + c = 0
Persamaan umum lingkaran:
Pusat − A, − B
+
+ A + B +
Jari-jari
=
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
− A
=
( )
( )
= 0
+ − A
−
3
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
Persamaan garis singgung lingkaran:
Jika diketahui titik singgungnya ( , ) :
1. PGS pada lingkaran
+
=
+
=
2. PGS pada lingkaran ( − ) + ( − ) = .
( − )( − ) + ( − )( − ) =
3. PGS pada lingkaran
+
+ A + B + = 0.
+
6.
+
(
+
)+
(
+
)+
= 0
Jika diketahui gradien m:
1. PGS dengan gradient m dan pusat (0,0) jari-jari r =
2. PGS dengan gradient m dan pusat (a,b) jari-jari r −
Suku Banyak (Teorema Sisa dan Teorema Faktor)
Bentuk umum: ( ) =
+
+
Mencari nilai f(x) dengan metode subtitusi/ horner.
7.
+
+
√1 +
Pembagian suku banyak: ( ) = ( ) . ℎ( ) + ( )
f(x) yang dibagi, p(x) pembagi, h(x) hasil bagi, s(x) sisa.
Teorema sisa:
f(x) dibagi (x – a) sisanya f(a)
f(x) dibagi (x + a) sisanya f(-a)
f(x) dibagi (ax – b) sisanya
Teorema faktor:
(x – a) adalah faktor dari suku banyak f(x) f(a) = 0.
Jika f(a) = 0 maka f(x) habis dibagi (x – a).
Jika (x – a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar dari f(x).
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Fungsi komposisi: ( ∘ ) ( ) =
(
8.
+
± √1 +
= ( − )±
∘ )( ) =
( )
( )
Sifat-sifat:
1. ∘ ≠ ∘
(komutatif)
2. ∘ ( ∘ ℎ) = ( ∘ ) ∘ ℎ (asosiatif)
3. ∘ = ∘
(identitas)
Program Linear
Langkah-langkah:
1. buat model matematika;
2. lukis grafik;
3. tentukan daerah penyelesaian;
4. tentukan titik pojok;
5. subtitusi ke fungsi objektif;
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
Invers f(x) f-1(x)
Jika f(x) = y maka f-1(y) = x
Sifat-sifat:
1. ∘
=
∘ =
(identitas)
(
)
=
∘
(invers komposisi)
2.
∘
3. ∘ = ℎ = ℎ ∘
∘ = ℎ =
∘ℎ
4
9.
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
6. pilih nilai optimum/minimum.
Matriks
Operasi matriks:
⋱
Bentuk umum:
Kesamaan matriks:
1. ordo sama
2. elemen yang bersesuaian sama
Transpos matriks: (baris menjadi kolom)
=
=
| | =
2.
3.
−
4.
+
=
=
−
−
| |
ℎ
=
ℎ
=
ℎ
=
+
+
+
+ ℎ
−
−
−
−ℎ
+
+
+
+
Sifat-sifat invers:
1. . = =
.
2. . = = .
) =
3. (
.
4. ( ) =
=
. =
(matriks satuan)
5. .
−
=
Invers matriks:
=
+
=
Determinan matriks:
=
1.
10. Vektor
Notasi vektor: ⃗ =
Panjang vektor: | ⃗ | =
Vektor pada dua titik:
= ( , , ) dan
Maka,
=
−
⃗+
+
= (
=
−
−
−
,
Operasi aljabar vektor:
⃗=
⃗+
1. ⃗ + ⃗ =
+
,
2. ⃗ − ⃗ =
)
⃗. ⃗ =
⃗+ ⃗ =
⃗= ⃗=
Vektor satuan: (vektor yang panjangnya satu)
=
⃗
| |
Pembagian ruas garis:
1. Pembagian di dalam
⃗:
⃗=
:
⃗=
2. Pembagian di luar
⃗
⃗
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
⃗− ⃗ =
=
−
−
−
+
+
| ⃗| +
⃗ + 2| ⃗| ⃗
| ⃗| +
4. Perkalian vektor:
⃗ × ⃗ = | || | sin
⃗× ⃗=
=
−
3. Perkalian skalar:
⃗ . ⃗ = | || | cos
Vektor posisi:
titik pangkal O(0,0) dan titik ujung A(x,y,z).
vektor satuan dari vector ⃗ = ( , , ) :
+
+
+
+
⃗ − 2| ⃗| ⃗
ℎ
ℎ
5
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
⃗:
⃗=
:−
⃗=
⃗
⃗
Besar sudut antara dua vektor: cos =
⃗ .⃗
| ⃗| ⃗
Proyeksi vektor:
Proyeksi skalar (panjang proyeksi vektor):
proyeksi skalar ⃗ pada ⃗ =
proyeksi skalar ⃗ pada ⃗ =
11. Transformasi
proyeksi vektor ⃗ pada ⃗ =
⃗. ⃗
⃗
⃗. ⃗
proyeksi vektor ⃗ pada ⃗ =
| ⃗|
⃗. ⃗
⃗
⃗. ⃗
| ⃗|
.⃗
.⃗
Translasi:
P (x,y) ditranslasikan oleh matriks T =
P( +
, +
) atau
=
+
Refleksi:
Refleksi terhadap ….
Pemetaan
Persamaan matriks transformasi
1
0
sumbu x (y = 0)
P (x, y) P (x, -y)
=
sumbu y (x = 0)
P (x, y) P (-x, y)
=
garis y = k
P (x, y) P (x, 2k – y)
=
garis x = h
P (x, y) P (2h – x, y)
=
garis x = h lalu x = k
P (x, y) P (2(k – h)+ x, y)
garis y = h lalu y = k
P (x, y) P (x, 2(k – h)+ y)
garis x = h lalu y = k
P (x, y) P (2h – x, 2k – y)
sumbu y = x
P (x, y) P (y, x)
=
sumbu y = -x
P (x, y) P (-y, -x)
=
titik asal O (0, 0)
P (x, y) P (-x, -y)
=
titik R (a, b)
P (x, y) P (2a – x, 2b – y)
garis y = mx (m = tan )
=
garis y = mx + c
garis y = x + k
=
garis y = -x + k
=
Rotasi:
Rotasi …. (berlawanan jarum jam)
0
−1
0
1
0
0
1
0
−1
−1 0
0
1
0 1
1 0
0
−1
−1 0
−1 0
0
−1
−1 0
=
0
−1
cos 2
sin 2
sin 2
− cos 2
cos 2
sin 2
=
sin 2
− cos 2
0 1
+
1 0
0
−1
+
−1 0
Persamaan matriks transformasi
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
−1
6
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
Rotasi pusat O (0,0) sebesar o
=
Rotasi pusat (a, b) sebesar o
Dilatasi:
Dilatasi ….
cos
sin
sin
− cos
cos
sin
=
sin
− cos
Pemetaan
Persamaan matriks transformasi
pusat (0,0), faktor skala k
0
=
P (x, y) P (kx, ky)
Dilatasi [O, k]
0
pusat (a, b), faktor skala k
0
=
Dilatasi [P (a, b), k]
0
Komposisi transformasi:
Jika transformasi T1 (bersesuaian dengan matriks M1) dan transformasi T2 (matriks M2).
Maka transformasi T1 lalu transformasi T2 ditulis: T2 T1 = M2 . M1
12. Deret Aritmatika
Barisan aritmatika: U1, U2, U3, …, Un
Rumus suku ke-n : Un = a + (n – 1) b
=
Suku tengah:
Sisipan:
Deret aritmatika: U1 + U2 + U3 + … + Un
=
=
( +
=
( 2 + ( − 1) )
Sisipan:
+ ( − 1)
=
k = banyaknya bilangan yang disisipkan
)
=
Hubungan Un dan Sn
=
13. Deret Geometri
Barisan geometri: U1, U2, U3, …, Un
=
Rumus suku ke-n :
=
Suku tengah:
Sisipan: ( )
Deret geometri: U1 + U2 + U3 + … + Un
=
×
=
=
~
k = banyaknya suku yang disisipkan
(
)
(
)
,| | > 1
,| | < 1
=
Hubungan Un dan Sn
=
14. Dimensi Tiga
15. Trigonometri
mi
de
sec
sa
sin
=
, cos =
, tan
−
=
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
=
csc
=
cot
=
−
7
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
Tabel nilai trigonometri:
sin cos tan
o
0
0
1
0
30o
45
o
60o
90
1
2
1
2
o
1
1
1
2
2
3
1
√2
2
1
√3
2
1
√2
√3
0
√3
~
all +
I
II
180o
0o / 360o
III
tan +
1
=
IV
cos +
270o
sin (180o – ) = sin
cos (180o – ) = –cos
tan (180o – ) = –tan
sin (180o + ) = –sin
cos (180o + ) = –cos
tan (180o + ) = tan
3. tan + 1 = sec
4. 1 + cot
= csc
Aturan sinus untuk segitiga sembarang:
=
90o
sin +
√3
Identitas trigonometri:
1. sin + cos = 1
2. tan
Kuadran:
Luas segitiga:
C
=
Aturan cosines untuk segitiga sembarang:
=
+
−2 .
=
+
− 2 . cos
=
+
−2 .
b
A
a
c
sin (360o – ) = –sin
cos (360o – ) = cos
tan (360o – ) = –tan
B
=
. sin
=
. sin
=
. sin
Persamaan trigonometri:
1. sin x = sin x1 = + n. 360o
x2 = (180o – ) + n. 360o
2. cos x = cos x1 = + n. 360o
x2 = (–) + n. 360o
3. tan x = tan x = + n. 180o
Rumus jumlah dan selisih sudut:
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
Rumus jumlah dan selisih fungsi:
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
sin A − sin B = 2 cos ( A + B) sin ( A − B)
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
tan( A + B) =
tan( A − B) =
.
.
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
sin A + sin B = 2 sin ( A + B) cos ( A − B)
cos A + cos B = 2 cos ( A + B) cos ( A − B)
cos A − cos B = −2 sin ( A + B) sin ( A − B)
8
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
Rumus perkalian fungsi:
Rumus sudut rangkap:
2 sin cos = sin( + ) + sin ( − )
2 cos sin = sin( + ) − sin ( − )
2 cos cos = cos( + ) + cos( − )
−2 sin sin = cos( + ) − cos( − )
sin 2 = 2 sin cos
cos 2 = cos − sin
= 2 cos − 1
= 1 − 2 sin
Rumus setengah sudut:
sin
=
cos
=
tan 2 =
( 1 − cos 2 )
( 1 + cos 2 )
16. Limit
Teorema limit:
1. Jika f(x) = k, maka lim → ( )
2. Jika f(x) = x, maka lim → ( )
3. lim → [ ( ) + ( ) ] = lim →
4. lim → [ ( ) − ( ) ] = lim →
5. lim → . ( ) = . lim → (
6. lim → [ ( ) . ( ) ] = lim →
7. lim
8. lim
9. lim
→
→
( )
→
=
( )
→
( )=
( ) + lim
( ) − lim
)
( ) . lim
→
( )
( )
{ ( ) } = { lim
→
=
=
lim
→
→
( )
( )
→
→
( )
( )}
( ) , lim
( ) > 0 dan n genap.
→
Limit aljabar untuk x a
1. Bentuk linear/kuadrat dengan penyebut 1 (subtitusi)
Contoh: lim → ( + 4 ) = ( 1) + 4 = 5
2. Bentuk (aturan L’Hospital turunan)
Contoh: lim
= lim
→
(
→
)
(
= lim
)
→
3. Memuat akar (kalikan dengan sekawannya)
Contoh: lim
→
√
= lim
→
√
×
√
√
+ 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
= lim
→
= lim
→
(
(
= lim 3 + √
→
= 3 + √9
= 6
Limit aljabar untuk x ~
(membagi tiap suku dengan variable pangkat tertinggi)
Contoh:
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
√
)
√
)
+ 5
9
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
1. lim
= lim
→~
=
→~
+ 5 − √4
2. lim √4
→~
=
= ~
− 3 = lim √4
+ 5 − √4
→~
= lim
√
→~ √
=
−3 ×
√
√
√
√
Rumus cepat:
=
lim
→~
lim √
+
lim
=
→~
Maka: untuk n = m L =
+
−
+
+
=
√
untuk n > m L = ~
untuk n < m L = 0
Limit trigonometri:
lim
= 1 atau lim
lim
= 1 atau lim
→
→
Definisi:
=
( ) = lim
Rumus dasar:
1. y = c
2. y = x
n
3. y = ax
4. y = u v
5. y = u . v
6. y = u . v . w
=
lim
(
)
→
(
(
)
)
=
( )
→
Turunan trigonometri:
= sin
= a cos
= cos
= −a sin
= tan
= a sec
y = 0
y = 1
y = anxn-1
y = u v
y = uv uv
y = uvw + uv w + uvw
=
Dalil rantai:
Jika ( ) = ( ∘ ) ( ) =
( )=
( )=
→
= 1
→
17. Turunan
7.
= 1
→
( ( ) ) , maka:
( ( )) ⟶
( ) = ( ( )). ( )
( ( ℎ( ) ) ) ⟶
( ) = ( ( ℎ( ) ) ) .
Persamaan garis singgung:
Gradien garis singgung: =
Persamaan garis singgung: − =
Dua garis sejajar: m1 = m2
Dua garis tegak lurus: m1 . m2 = -1
( −
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
( ℎ( ) ) . ℎ ( )
)
Garis singgung pada kurva f(x) // sumbu X:
m=0
Sudut yang dibentuk garis g menyinggung
kurva f(x): m = tan
10
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
Fungsi naik dan fungsi turun:
Kurva naik jika: ( ) > 0 atau m > 0
Kurva turun jika: ( ) < 0 atau m < 0
Keadaan stasioner: ( ) = 0 atau m = 0
18. Integral
Definisi: ∫ ( )
Rumus dasar:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
( )+
=
+ , ≠ −1
=
∫
= ln +
∫
=
+
∫
= − cos +
∫ sin
= sin +
∫ cos
= tan +
∫ sec
= − cot +
∫ csc
= sec +
∫ sec tan
= − csc +
∫ csc cot
Integral subtitusi:
∫
( ) .( ( ))
=
Nilai stasioner: y1 = f(x1)
Titik stasioner/puncak/balik:
maks (xo, f(xo)) min (xo, f(xo))
( ( ))
+
misal: u (dengan pangkat tertinggi)
tentukan du dx
subtitusi ke soal
Integral parsial:
=
−∫
∫
10. ∫ sin
= − cos
=
sin
12. ∫ sin (
+
) = − cos(
14. ∫ sin
cos
11. ∫ cos
13. ∫ cos(
15. ∫ cos
)=
+
+
+
sin (
= −
sin
=
(
√
−
+
−
→
→
→
=
sin
=
tan
=
sec
Luas daerah:
a
L= ∫ (
L= ∫ (
−
y2
d
y1
c
x1
b
−
)
L= ∫ (
)
L= ∫ (
Volume benda putar:
V=
V=
∫
∫
−(
)
−( )
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
)
−
x2
−
)
)
cos
sin
Integral subtitusi trigonometri:
√
√
)+
+
(
)
)+
+
+
+
11
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
19. Permutasi, Kombinasi, dan Peluang
Notasi faktorial:
n! = n × ( n − 1) × 3 × 3 × 1
Contoh: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Permutasi: cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutannya (AB BA)
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur: nPr = (
!
)!
Permutasi n unsur dengan terdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan m unsur yang
!
sama adalah: P =
! !
!
Banyaknya permutasi siklis (lingkaran) dari n unsure yang berbeda: P = (n – 1)!
Permutasi dari n unsur berbeda, disusun k unsur, tiap unsur boleh berulang: P = nk
Kombinasi: cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutannya (AB = BA).
Kombinasi k unsur dari n unsur: nCk =
Peluang: P(A) =
( )
( )
!
!(
)!
(peluang kejadian A)
Frekuensi harapan suatu kejadian: Fh(A) = n P(A)
…. n = banyaknya percobaan
c
Peluang komplemen suatu kejadian: P(A ) = 1 – P(A)
Peluang kejadian majemuk:
1. Gabungan dua kejadian: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
2. Kejadian saling lepas/asing, jika A dan B tidak mempunyai irisan: P(A B) = P(A) + P(B)
3. Kejadian saling bebas, jika A dan B tidak saling mempengaruhi: P(A B) = P(A) . P(B)
Selamat Belajar
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
Semoga Sukses
12
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
Creat ed by:
Nurmalia Beladina
beladina2 7.blogspot .com
beladina2 7@gmail.com
Dilarang mengedit dan merubah isi dokumen ini.
Hargailah karya anak bangsa!
Semoga bermanfaat .
Berdoa. Belajar. Berusaha.
Pray. Study. W ork hard.
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
MATERI MATEMATIKA SM A IPA
1.
Logika Matematika
Modus Ponen
pq
p
Modus Tollens
pq
~q
Modus Silogisme
pq
qr
q
~p
pr
p ⇒ q ≡ ~p q
p
q ≡ ( p ⇒ q)
2.
( q ⇒ p)
Ingkaran/negasi: ~ (p q) = (~p ~ q)
~ (p q ) = (~p ~ q)
~ (p ⇒ q) = (p ~q)
~ (p ⇔ q) = (p ~q) v ( q
~p)
Pangkat, Akar dan Logaritma
Sifat-sifat bilangan berpangkat:
1.
= 1, for ≠ 0
2.
.
=
(
)
3.
=
.
4. ( ) =
5.
=
6.
>
7.
= 1
8.
=
9.
=
,
=
Sifat-sifat bentuk akar:
1. √
6.
=
=
then
=
;
Sifat-sifat logaritma:
1.
2.
3.
log
log
=
=
4.
5.
log
6.
7.
log .
log =
=
log
≠0
√
=
√
=
√
√
10.
( +
11.
( +
log − log
. log
=
.
log =
∈ bil ganjil
;
√
√
≠0
=
8. √
= √
9. √ + √ +
=
log + log
;
=
2. √
3. √ = | | = ;
0 and ∈ bil ganjil
√ = | | = − ; < 0 and ∈ bil ganjil
4. √ . √ = √ ; ,
0
5. √ . √ = √ . √
= √
; ,
7.
10.
11.
=
log
log
=
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
) + 2√
) − 2√
;
≠0
√ = ( +
= √ + √
= √ −√
+
)√
0
2
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
8.
log
=
9.
log
=
Pertidaksamaan eksponen dan logaritma:
Untuk a > 1 (tandanya tetap)
Untuk 0 < a < 1 (tandanya dibalik)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
log ( )
log ( )
3.
log ( )
log ( )
log ( )
log ( )
1.
+
2.
−
3.
4.
5.
+
−
+
= −
=
√
= (
= (
= (
.
,
+
+
+
+
=
≠0
Diskriminan: =
−4
1. D ≥ 0 akar-akar real
2. D > 0 akar-akar real berbeda
3. D = 0 akar-akar real kembar
4. D < 0 akar-akar imajiner
=
) −2
)( +
) −3
,
)
(
+
)
Bentuk umum fungsi kuadrat: ( ) =
+
+
1. D > 0 memotong di dua titik berbeda
2. D = 0 menyinggung di satu titik
3. D < 0 tidak memotong/tidak menyinggung
Sistem Persamaan Linear
Menggunakan metode subtitusi atau eliminasi.
5.
( )
( )
Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat:
+
Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar:
4.
log ( )
log ( )
( )
( )
Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung Lingkaran
Persamaan lingkaran:
Pusat (0,0) dan jari-jari r
+
=
Pusat (a,b) dan jari-jari r ( − ) + ( − ) =
Pusat (a,b) dan menyinggung sumbu x ( − ) + ( − ) =
Pusat (a,b) dan menyinggung sumbu y ( − ) + ( − ) =
Pusat (a,b) dan menyinggung garis px + qy + c = 0
Persamaan umum lingkaran:
Pusat − A, − B
+
+ A + B +
Jari-jari
=
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
− A
=
( )
( )
= 0
+ − A
−
3
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
Persamaan garis singgung lingkaran:
Jika diketahui titik singgungnya ( , ) :
1. PGS pada lingkaran
+
=
+
=
2. PGS pada lingkaran ( − ) + ( − ) = .
( − )( − ) + ( − )( − ) =
3. PGS pada lingkaran
+
+ A + B + = 0.
+
6.
+
(
+
)+
(
+
)+
= 0
Jika diketahui gradien m:
1. PGS dengan gradient m dan pusat (0,0) jari-jari r =
2. PGS dengan gradient m dan pusat (a,b) jari-jari r −
Suku Banyak (Teorema Sisa dan Teorema Faktor)
Bentuk umum: ( ) =
+
+
Mencari nilai f(x) dengan metode subtitusi/ horner.
7.
+
+
√1 +
Pembagian suku banyak: ( ) = ( ) . ℎ( ) + ( )
f(x) yang dibagi, p(x) pembagi, h(x) hasil bagi, s(x) sisa.
Teorema sisa:
f(x) dibagi (x – a) sisanya f(a)
f(x) dibagi (x + a) sisanya f(-a)
f(x) dibagi (ax – b) sisanya
Teorema faktor:
(x – a) adalah faktor dari suku banyak f(x) f(a) = 0.
Jika f(a) = 0 maka f(x) habis dibagi (x – a).
Jika (x – a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar dari f(x).
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Fungsi komposisi: ( ∘ ) ( ) =
(
8.
+
± √1 +
= ( − )±
∘ )( ) =
( )
( )
Sifat-sifat:
1. ∘ ≠ ∘
(komutatif)
2. ∘ ( ∘ ℎ) = ( ∘ ) ∘ ℎ (asosiatif)
3. ∘ = ∘
(identitas)
Program Linear
Langkah-langkah:
1. buat model matematika;
2. lukis grafik;
3. tentukan daerah penyelesaian;
4. tentukan titik pojok;
5. subtitusi ke fungsi objektif;
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
Invers f(x) f-1(x)
Jika f(x) = y maka f-1(y) = x
Sifat-sifat:
1. ∘
=
∘ =
(identitas)
(
)
=
∘
(invers komposisi)
2.
∘
3. ∘ = ℎ = ℎ ∘
∘ = ℎ =
∘ℎ
4
9.
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
6. pilih nilai optimum/minimum.
Matriks
Operasi matriks:
⋱
Bentuk umum:
Kesamaan matriks:
1. ordo sama
2. elemen yang bersesuaian sama
Transpos matriks: (baris menjadi kolom)
=
=
| | =
2.
3.
−
4.
+
=
=
−
−
| |
ℎ
=
ℎ
=
ℎ
=
+
+
+
+ ℎ
−
−
−
−ℎ
+
+
+
+
Sifat-sifat invers:
1. . = =
.
2. . = = .
) =
3. (
.
4. ( ) =
=
. =
(matriks satuan)
5. .
−
=
Invers matriks:
=
+
=
Determinan matriks:
=
1.
10. Vektor
Notasi vektor: ⃗ =
Panjang vektor: | ⃗ | =
Vektor pada dua titik:
= ( , , ) dan
Maka,
=
−
⃗+
+
= (
=
−
−
−
,
Operasi aljabar vektor:
⃗=
⃗+
1. ⃗ + ⃗ =
+
,
2. ⃗ − ⃗ =
)
⃗. ⃗ =
⃗+ ⃗ =
⃗= ⃗=
Vektor satuan: (vektor yang panjangnya satu)
=
⃗
| |
Pembagian ruas garis:
1. Pembagian di dalam
⃗:
⃗=
:
⃗=
2. Pembagian di luar
⃗
⃗
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
⃗− ⃗ =
=
−
−
−
+
+
| ⃗| +
⃗ + 2| ⃗| ⃗
| ⃗| +
4. Perkalian vektor:
⃗ × ⃗ = | || | sin
⃗× ⃗=
=
−
3. Perkalian skalar:
⃗ . ⃗ = | || | cos
Vektor posisi:
titik pangkal O(0,0) dan titik ujung A(x,y,z).
vektor satuan dari vector ⃗ = ( , , ) :
+
+
+
+
⃗ − 2| ⃗| ⃗
ℎ
ℎ
5
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
⃗:
⃗=
:−
⃗=
⃗
⃗
Besar sudut antara dua vektor: cos =
⃗ .⃗
| ⃗| ⃗
Proyeksi vektor:
Proyeksi skalar (panjang proyeksi vektor):
proyeksi skalar ⃗ pada ⃗ =
proyeksi skalar ⃗ pada ⃗ =
11. Transformasi
proyeksi vektor ⃗ pada ⃗ =
⃗. ⃗
⃗
⃗. ⃗
proyeksi vektor ⃗ pada ⃗ =
| ⃗|
⃗. ⃗
⃗
⃗. ⃗
| ⃗|
.⃗
.⃗
Translasi:
P (x,y) ditranslasikan oleh matriks T =
P( +
, +
) atau
=
+
Refleksi:
Refleksi terhadap ….
Pemetaan
Persamaan matriks transformasi
1
0
sumbu x (y = 0)
P (x, y) P (x, -y)
=
sumbu y (x = 0)
P (x, y) P (-x, y)
=
garis y = k
P (x, y) P (x, 2k – y)
=
garis x = h
P (x, y) P (2h – x, y)
=
garis x = h lalu x = k
P (x, y) P (2(k – h)+ x, y)
garis y = h lalu y = k
P (x, y) P (x, 2(k – h)+ y)
garis x = h lalu y = k
P (x, y) P (2h – x, 2k – y)
sumbu y = x
P (x, y) P (y, x)
=
sumbu y = -x
P (x, y) P (-y, -x)
=
titik asal O (0, 0)
P (x, y) P (-x, -y)
=
titik R (a, b)
P (x, y) P (2a – x, 2b – y)
garis y = mx (m = tan )
=
garis y = mx + c
garis y = x + k
=
garis y = -x + k
=
Rotasi:
Rotasi …. (berlawanan jarum jam)
0
−1
0
1
0
0
1
0
−1
−1 0
0
1
0 1
1 0
0
−1
−1 0
−1 0
0
−1
−1 0
=
0
−1
cos 2
sin 2
sin 2
− cos 2
cos 2
sin 2
=
sin 2
− cos 2
0 1
+
1 0
0
−1
+
−1 0
Persamaan matriks transformasi
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
−1
6
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
Rotasi pusat O (0,0) sebesar o
=
Rotasi pusat (a, b) sebesar o
Dilatasi:
Dilatasi ….
cos
sin
sin
− cos
cos
sin
=
sin
− cos
Pemetaan
Persamaan matriks transformasi
pusat (0,0), faktor skala k
0
=
P (x, y) P (kx, ky)
Dilatasi [O, k]
0
pusat (a, b), faktor skala k
0
=
Dilatasi [P (a, b), k]
0
Komposisi transformasi:
Jika transformasi T1 (bersesuaian dengan matriks M1) dan transformasi T2 (matriks M2).
Maka transformasi T1 lalu transformasi T2 ditulis: T2 T1 = M2 . M1
12. Deret Aritmatika
Barisan aritmatika: U1, U2, U3, …, Un
Rumus suku ke-n : Un = a + (n – 1) b
=
Suku tengah:
Sisipan:
Deret aritmatika: U1 + U2 + U3 + … + Un
=
=
( +
=
( 2 + ( − 1) )
Sisipan:
+ ( − 1)
=
k = banyaknya bilangan yang disisipkan
)
=
Hubungan Un dan Sn
=
13. Deret Geometri
Barisan geometri: U1, U2, U3, …, Un
=
Rumus suku ke-n :
=
Suku tengah:
Sisipan: ( )
Deret geometri: U1 + U2 + U3 + … + Un
=
×
=
=
~
k = banyaknya suku yang disisipkan
(
)
(
)
,| | > 1
,| | < 1
=
Hubungan Un dan Sn
=
14. Dimensi Tiga
15. Trigonometri
mi
de
sec
sa
sin
=
, cos =
, tan
−
=
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
=
csc
=
cot
=
−
7
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
Tabel nilai trigonometri:
sin cos tan
o
0
0
1
0
30o
45
o
60o
90
1
2
1
2
o
1
1
1
2
2
3
1
√2
2
1
√3
2
1
√2
√3
0
√3
~
all +
I
II
180o
0o / 360o
III
tan +
1
=
IV
cos +
270o
sin (180o – ) = sin
cos (180o – ) = –cos
tan (180o – ) = –tan
sin (180o + ) = –sin
cos (180o + ) = –cos
tan (180o + ) = tan
3. tan + 1 = sec
4. 1 + cot
= csc
Aturan sinus untuk segitiga sembarang:
=
90o
sin +
√3
Identitas trigonometri:
1. sin + cos = 1
2. tan
Kuadran:
Luas segitiga:
C
=
Aturan cosines untuk segitiga sembarang:
=
+
−2 .
=
+
− 2 . cos
=
+
−2 .
b
A
a
c
sin (360o – ) = –sin
cos (360o – ) = cos
tan (360o – ) = –tan
B
=
. sin
=
. sin
=
. sin
Persamaan trigonometri:
1. sin x = sin x1 = + n. 360o
x2 = (180o – ) + n. 360o
2. cos x = cos x1 = + n. 360o
x2 = (–) + n. 360o
3. tan x = tan x = + n. 180o
Rumus jumlah dan selisih sudut:
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
Rumus jumlah dan selisih fungsi:
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
sin A − sin B = 2 cos ( A + B) sin ( A − B)
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
tan( A + B) =
tan( A − B) =
.
.
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
sin A + sin B = 2 sin ( A + B) cos ( A − B)
cos A + cos B = 2 cos ( A + B) cos ( A − B)
cos A − cos B = −2 sin ( A + B) sin ( A − B)
8
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
Rumus perkalian fungsi:
Rumus sudut rangkap:
2 sin cos = sin( + ) + sin ( − )
2 cos sin = sin( + ) − sin ( − )
2 cos cos = cos( + ) + cos( − )
−2 sin sin = cos( + ) − cos( − )
sin 2 = 2 sin cos
cos 2 = cos − sin
= 2 cos − 1
= 1 − 2 sin
Rumus setengah sudut:
sin
=
cos
=
tan 2 =
( 1 − cos 2 )
( 1 + cos 2 )
16. Limit
Teorema limit:
1. Jika f(x) = k, maka lim → ( )
2. Jika f(x) = x, maka lim → ( )
3. lim → [ ( ) + ( ) ] = lim →
4. lim → [ ( ) − ( ) ] = lim →
5. lim → . ( ) = . lim → (
6. lim → [ ( ) . ( ) ] = lim →
7. lim
8. lim
9. lim
→
→
( )
→
=
( )
→
( )=
( ) + lim
( ) − lim
)
( ) . lim
→
( )
( )
{ ( ) } = { lim
→
=
=
lim
→
→
( )
( )
→
→
( )
( )}
( ) , lim
( ) > 0 dan n genap.
→
Limit aljabar untuk x a
1. Bentuk linear/kuadrat dengan penyebut 1 (subtitusi)
Contoh: lim → ( + 4 ) = ( 1) + 4 = 5
2. Bentuk (aturan L’Hospital turunan)
Contoh: lim
= lim
→
(
→
)
(
= lim
)
→
3. Memuat akar (kalikan dengan sekawannya)
Contoh: lim
→
√
= lim
→
√
×
√
√
+ 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
= lim
→
= lim
→
(
(
= lim 3 + √
→
= 3 + √9
= 6
Limit aljabar untuk x ~
(membagi tiap suku dengan variable pangkat tertinggi)
Contoh:
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
√
)
√
)
+ 5
9
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
1. lim
= lim
→~
=
→~
+ 5 − √4
2. lim √4
→~
=
= ~
− 3 = lim √4
+ 5 − √4
→~
= lim
√
→~ √
=
−3 ×
√
√
√
√
Rumus cepat:
=
lim
→~
lim √
+
lim
=
→~
Maka: untuk n = m L =
+
−
+
+
=
√
untuk n > m L = ~
untuk n < m L = 0
Limit trigonometri:
lim
= 1 atau lim
lim
= 1 atau lim
→
→
Definisi:
=
( ) = lim
Rumus dasar:
1. y = c
2. y = x
n
3. y = ax
4. y = u v
5. y = u . v
6. y = u . v . w
=
lim
(
)
→
(
(
)
)
=
( )
→
Turunan trigonometri:
= sin
= a cos
= cos
= −a sin
= tan
= a sec
y = 0
y = 1
y = anxn-1
y = u v
y = uv uv
y = uvw + uv w + uvw
=
Dalil rantai:
Jika ( ) = ( ∘ ) ( ) =
( )=
( )=
→
= 1
→
17. Turunan
7.
= 1
→
( ( ) ) , maka:
( ( )) ⟶
( ) = ( ( )). ( )
( ( ℎ( ) ) ) ⟶
( ) = ( ( ℎ( ) ) ) .
Persamaan garis singgung:
Gradien garis singgung: =
Persamaan garis singgung: − =
Dua garis sejajar: m1 = m2
Dua garis tegak lurus: m1 . m2 = -1
( −
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
( ℎ( ) ) . ℎ ( )
)
Garis singgung pada kurva f(x) // sumbu X:
m=0
Sudut yang dibentuk garis g menyinggung
kurva f(x): m = tan
10
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
Fungsi naik dan fungsi turun:
Kurva naik jika: ( ) > 0 atau m > 0
Kurva turun jika: ( ) < 0 atau m < 0
Keadaan stasioner: ( ) = 0 atau m = 0
18. Integral
Definisi: ∫ ( )
Rumus dasar:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
( )+
=
+ , ≠ −1
=
∫
= ln +
∫
=
+
∫
= − cos +
∫ sin
= sin +
∫ cos
= tan +
∫ sec
= − cot +
∫ csc
= sec +
∫ sec tan
= − csc +
∫ csc cot
Integral subtitusi:
∫
( ) .( ( ))
=
Nilai stasioner: y1 = f(x1)
Titik stasioner/puncak/balik:
maks (xo, f(xo)) min (xo, f(xo))
( ( ))
+
misal: u (dengan pangkat tertinggi)
tentukan du dx
subtitusi ke soal
Integral parsial:
=
−∫
∫
10. ∫ sin
= − cos
=
sin
12. ∫ sin (
+
) = − cos(
14. ∫ sin
cos
11. ∫ cos
13. ∫ cos(
15. ∫ cos
)=
+
+
+
sin (
= −
sin
=
(
√
−
+
−
→
→
→
=
sin
=
tan
=
sec
Luas daerah:
a
L= ∫ (
L= ∫ (
−
y2
d
y1
c
x1
b
−
)
L= ∫ (
)
L= ∫ (
Volume benda putar:
V=
V=
∫
∫
−(
)
−( )
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
)
−
x2
−
)
)
cos
sin
Integral subtitusi trigonometri:
√
√
)+
+
(
)
)+
+
+
+
11
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
19. Permutasi, Kombinasi, dan Peluang
Notasi faktorial:
n! = n × ( n − 1) × 3 × 3 × 1
Contoh: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Permutasi: cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutannya (AB BA)
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur: nPr = (
!
)!
Permutasi n unsur dengan terdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan m unsur yang
!
sama adalah: P =
! !
!
Banyaknya permutasi siklis (lingkaran) dari n unsure yang berbeda: P = (n – 1)!
Permutasi dari n unsur berbeda, disusun k unsur, tiap unsur boleh berulang: P = nk
Kombinasi: cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutannya (AB = BA).
Kombinasi k unsur dari n unsur: nCk =
Peluang: P(A) =
( )
( )
!
!(
)!
(peluang kejadian A)
Frekuensi harapan suatu kejadian: Fh(A) = n P(A)
…. n = banyaknya percobaan
c
Peluang komplemen suatu kejadian: P(A ) = 1 – P(A)
Peluang kejadian majemuk:
1. Gabungan dua kejadian: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
2. Kejadian saling lepas/asing, jika A dan B tidak mempunyai irisan: P(A B) = P(A) + P(B)
3. Kejadian saling bebas, jika A dan B tidak saling mempengaruhi: P(A B) = P(A) . P(B)
Selamat Belajar
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com
Semoga Sukses
12
Persiapan Ujian Nasional M atematika SM A
Creat ed by:
Nurmalia Beladina
beladina2 7.blogspot .com
beladina2 7@gmail.com
Dilarang mengedit dan merubah isi dokumen ini.
Hargailah karya anak bangsa!
Semoga bermanfaat .
Berdoa. Belajar. Berusaha.
Pray. Study. W ork hard.
Nurmalia Beladina | beladina27.blogspot.com