Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 2014 Semarang Hal.326-336
ISBN 978-602-1034-06-4
cos sin
4
3
a d
dx
2 2
sin cos
dx dy
D. Hasil dan Pembahasan
Persamaan 1 mempunyai bentuk yang bermacam- macam dipengaruhi oleh nilai parameter a dan b. Dengan parameter a=1 sebagai radius lingkaran besar maka bentuk-
bentuk hypocycloid hanya tergantung parameter b. Dengan q
p b
akan dibuat pola
perubahan bentuk hypocycloid dengan parameter yang ditentukan. Dengan menggunakan program MATLAB diperoleh hasil
Tabel 1. Program Matlab untuk mencari bentuk hypocycloid dan parameternya
clear close all
n=100; banyaknya titik p=1;
for q=1:9; Pengulangan terhadap nilai q a=1;b=-pq; b bernilai negative sebagai persamaan hypocycloid
syms theta x=a+b.costheta+ b.co sa+b.b.theta;
y=a+b.sintheta+ b.sina+b.b.theta; subplot3, 3, 3p-1 + q ; ezplotx, y, [0 2ppi];
end
Ga mbar 5. Bentuk hypocycloid untukp=1 dan q=1,2,3,4 kolo m 1-2 ,q= 5,6,7,8 ko lo m 3-4
Ga mbar 6. Bentuk hypocycloid untukp=2 dan q=1,2,3,4 kolo m 1-2 ,q= 5,6,7,8 ko lo m 3-4
Ga mbar 7. Bentuk hypocycloid untukp=3 dan q=1,2,3,4 kolo m 1-2 ,q= 5,6,7,8 ko lo m 3-4
Ga mbar 8. Bentuk hypocycloid untukp=4 dan q=1,2,3,4 kolo m 1-2 ,q= 5,6,7,8 ko lo m 3-4
-2 -1.8
-1.6 -1.4
-1.2 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.5
0.5 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-3 -2.5
-2 -1.5
-1 -0.5
0.5 1
1.5 -3
-2 -1
1 2
3 -2
-1.8 -1.6
-1.4 -1.2
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1
-0.5 0.5
1 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.5 0.5
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
-5 -4
-3 -2
-1 1
2 3
4 5
-5 -4
-3 -2
-1 1
2 3
4 5
-2 -1.5
-1 -0.5
0.5 1
1.5 2
-1.5 -1
-0.5 0.5
1 1.5
-2 -1.8
-1.6 -1.4
-1.2 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-8 -6
-4 -2
2 4
6 8
-8 -6
-4 -2
2 4
6 8
-3 -2.5
-2 -1.5
-1 -0.5
0.5 1
1.5 -3
-2 -1
1 2
3
-2 -1.5
-1 -0.5
0.5 1
1.5 -2
-1.5 -1
-0.5 0.5
1 1.5
2 -2
-1.8 -1.6
-1.4 -1.2
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -0.5
0.5 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 2014 Semarang Hal.326-336
ISBN 978-602-1034-06-4
Ga mbar 9. Bentuk hypocycloid dengan p=5 dan q=1,2,3,4 kolo m 1-2 ,q= 5,6,7,8 ko lo m 3-4
Ga mbar 10. Bentuk hypocycloid dengan p=6 dan q=1,2,3,4 kolo m 1-2 ,q= 5,6,7,8 ko lo m 3-4
Persamaan 1 dengan 6
p
dan 8
q
didapatkan beberapa hal mengenai hypocycloid dan juga epycicloid. Berikut diantaranya adalah Rovenskii,2000
a. Apabila parameter b bernilai positif maka bentuk kurva epycicloid
b. Apabila parameter b bernilai negatif maka bentuk kurva hypocycloid
c. Jika nilai
q
p maka kurva berbentuk epyicloid , sebaliknya jika
q
p kurva
berbentuk hypocycloid d.
Gambar kosong diperoleh ketika p=q sedang nilai a=1 dan parameter b negatif sehingga nilai persamaan x=0 dan y=0
e. Nilai penyebut q pada parameter b menjadi jumlah ujung pada kurva
hypocycloid. Namun jika nilai p dan q dapat disederhanakan ,maka nilai q yang paling sederhana tersebut yang akan menjadi jumlah ujung kurva hypocycloid.
Beberapa bentuk hypocycloid sudah diberikan nama seperti deltoid dan juga astroid. Berikut adalah kurva yang akan diperluas ke dalam 3 dimensi dengan sistem koordinat bola
Gambar 11. Bentuk hypocycloid yang akan diperluas ke 3 dimensi dengan sistem koordinat bola
Persamaan 1 akan dibentuk ke dalam persamaan 3 dimensi dengan mengikuti sistem koordinat bola. Permukaan bola dianggap sebagai perluasan dari titik-titik yang setiap
titiknya mempunyai jari-jari dan juga sudut dari pusat bola. Demikian pula setiap titik di
permukaan hasil perluasan kurva hypocycloid juga mempunyai jari- jari dan juga sudut.Persamaan hypocycloid menjadi
; sin
sin sin
; cos
cos sin
b b
a b
b a
y b
b a
b b
a x
4 dengan
sin ;
2 2
r y
x r
maka dikonstruksi
cos
z 5
-10 -8
-6 -4
-2 2
4 6
8 10
-10 -8
-6 -4
-2 2
4 6
8 10
-4 -3
-2 -1
1 2
3 4
-4 -3
-2 -1
1 2
3 4
-2.5 -2
-1.5 -1
-0.5 0.5
1 1.5
2 2.5
-2.5 -2
-1.5 -1
-0.5 0.5
1 1.5
2 2.5
-1.5 -1
-0.5 0.5
1 1.5
-1.5 -1
-0.5 0.5
1 1.5
-2 -1.8
-1.6 -1.4
-1.2 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-15 -10
-5 5
10 15
-15 -10
-5 5
10 15
-5 -4
-3 -2
-1 1
2 3
4 5
-5 -4
-3 -2
-1 1
2 3
4 5
-3 -2.5
-2 -1.5
-1 -0.5
0.5 1
1.5 -3
-2 -1
1 2
3 -2
-1.5 -1
-0.5 0.5
1 1.5
2 -1.5
-1 -0.5
0.5 1
1.5 -1.5
-1 -0.5
0.5 1
1.5 -1.5
-1 -0.5
0.5 1
1.5 -2
-1.8 -1.6
-1.4 -1.2
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
-1 -0.5
0.5 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1
Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 2014 Semarang Hal.326-336
ISBN 978-602-1034-06-4 Terdapat dua parameter berbeda pada persamaan 4 dan 5 yaitu
dan . Dari hasil turunan persamaan tersebut akan diperoleh persamaan baru yang kemudian dikombinasikan sebagai
bentuk perluasan yang baru. Persamaan 4 diturunkan terhadap
b b
a b
b a
d dy
b b
a b
b a
d dx
sin sin
cos cos
cos cos
Persamaan 4 diturunkan terhadap
; cos
cos sin
b b
a b
a b
a d
dy
; sin
sin sin
b b
a b
a b
a d
dx
Persamaan 5 diturunkan terhadap
sin
d dz
Bentuk 1 Deltoid
Bentuk deltoid diperoleh dari persamaan 1 dengan parameter a=1 dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai
−
1 3
dan −
2 3
. Bentuk umum deltoid ini kemudian diperluas dengan
sistem koordinat bola . Hasil turunan dari masing- masing parameternya dikombinasikan sehingga menghasilkan persamaan baru dan divisualisasikan. Perlakuan ini juga diterapkan
pada bentuk astroid, star, dan juga bentuk 4. Hasil perluasan ditunjukkan
Ga mbar 12. De ltoid dan perluasan 3 dimensi dengan sistem koordinat bola d ilan jutkan visualisasi dari
-1 -0.5
0.5 -1
-0.8 -0.6
-0.4 -0.2
0.2 0.4
0.6 0.8
1
Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 2014 Semarang Hal.326-336
ISBN 978-602-1034-06-4
ko mbinasi turunannya
z d
dy d
dx z
d dy
d dx
d dz
d dy
d dx
, ,
, ,
, ,
, ,
dan
d
dz d
dy d
dx d
dz d
dy d
dx d
dz d
dy d
dx z
d dy
d dx
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
,
Bentuk 2 Astroid
Bentuk Astroid diperoleh dari persamaan 1 dengan parameter a=1 dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai
−
1 4
dan −
3 4
. Hasil perluasan ditunjukan
Ga mbar 13. De ltoid dan perluasan 3 dimensi dengan sistem koordinat bola d ilan jutkan visualisasi dari ko mbinasi turunannya
z d
dy d
dx z
d dy
d dx
d dz
d dy
d dx
, ,
, ,
, ,
, ,
dan
d
dz d
dy d
dx d
dz d
dy d
dx d
dz d
dy d
dx z
d dy
d dx
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
,
Bentuk 3 Star
Bentuk deltoid diperoleh dari persamaan 1 dengan parameter a=1 dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai
−
2 5
dan −
3 5
. Hasil perluasan ditunjukkan
-0 .8
-0 .6
-0 .4
-0 .2
0.2 0.4
0.6 0.8
-0 .8
-0 .6
-0 .4
-0 .2
0.2 0.4
0.6 0.8
Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 2014 Semarang Hal.326-336
ISBN 978-602-1034-06-4
Ga mbar 14. De ltoid dan perluasan 3 dimensi dengan sistem koordinat bola d ilan jutkan visualisasi dari ko mbinasi turunannya
z d
dy d
dx z
d dy
d dx
d dz
d dy
d dx
, ,
, ,
, ,
, ,
dan
d
dz d
dy d
dx d
dz d
dy d
dx d
dz d
dy d
dx z
d dy
d dx
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
,
Bentuk 4
Bentuk deltoid diperoleh dari persamaan 2 dengan parameter a=1 dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai
−
2 7
dan −
5 7
. Hasil perluasan ditunjukan oleh gambar
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8 1
Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 2014 Semarang Hal.326-336
ISBN 978-602-1034-06-4
Ga mbar 15. De ltoid dan perluasan 3 dimensi dengan sistem koordinat bola d ilan jutkan visualisasi dari ko mbinasi turunannya
z d
dy d
dx z
d dy
d dx
d dz
d dy
d dx
, ,
, ,
, ,
, ,
dan
d
dz d
dy d
dx d
dz d
dy d
dx d
dz d
dy d
dx z
d dy
d dx
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, Hasil perluasan hypocycloid dengan sistem koordinat bola menghasilkan bentuk 3
dimensi yang mempunyai kemiripan dengan bentuk bola. Bentuk yang dihasilkan mempunyai Hanya saja kontur dari hasil perluasan dipaksakan seperti bentuk dasar dari
hypocycloid yang diperluas dan bukan lagi lingkaran yang menjadi bentuk dasar bola. Hasil turunan persamaan yang kemudian dikombinasikan juga menghasilkan berbagai bentuk 3
dimensi yang bermacam- macam.
E. Simpulan dan Saran
