79
Matematika
y =
4 3
5 2 030 000
1 790 000 2 500 000
5 5
4 4
3 5
3 4
7 5
5 4
. .
. .
. .
= − −
= 18 960 000
32 592 500
. .
.
z =
4 3
5 3
4 7
2 030 000 1 790 000
2 500 000 4
3 5
3 4
7 5
5 4
. .
. .
. .
= − −
= 3 740 000
32 116 875
. .
.
Oleh karena itu, biaya sewa hotel tiap malam adalah Rp547.500,00; biaya transportasi adalah Rp592.500,00; dan biaya makan adalah Rp116.875,00
Cobalah kamu selesaikan masalah tersebut dengan cara menentukan invers matriks. Mintalah bimbingan dari gurumu.
d. Metode Kofaktor
Terlebih dahulu kamu memahami tentang minor suatu matriks. Minor suatu matriks
A dilambangkan dengan M
ij
adalah determinan matriks bagian dari A yang
diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j.
Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar berordo n × n, maka minor elemen
a
ij
yang dinotasikan dengan M
ij
, dideinisikan sebagai determinan dari sub matriks A berordo
n-1 × n-1 setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan.
Misalkan matriks A =
a a
a a
a a
a a
a
11 21
31 12
22 32
13 23
33
minor elemen a
11
adalah
a a
a a
a a
a a
a
11 21
31 12
22 32
13 23
33
sehingga M
11
a a
a a
22 32
23 33
Di unduh dari : Bukupaket.com
80
Kelas XI SMAMASMKMAK Semester 1
M
11
, M
12
, dan M
13
merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke–1 dari matriks A. Matriks kofaktor matriks A dilambangkan
C M
c M
a a
a a
ij i
j ij
ij i
j i
j
= − = −
= −
+ +
+
1 1
1
11 22
23 32
33
dan det
c c
c c
11 1 1
12 1
2 13
1 3
21
1 4
7 5
4 19
1 3
5 5
4 13
1 3
5 4
7 1
= − = −
= − =
= − =
=
+ +
+
− =
= − = −
= − = −
= −
+ +
+
1 3
7 5
4 23
1 4
5 5
4 9
1 4
5 3
7 13
2 1
22 2
2 23
2 3
31
c c
c 1
1 3
4 5
5 5
1 4
3 5
5 5
1 4
3 3
4 7
3 1
32 3
2 33
3 3
+ +
+
= − = −
= − = −
= c
c
Dari masalah di atas diperoleh matriks kofaktor A, dengan menggunakan rumus :
CA= a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a +
− +
− +
22 32
23 33
21 31
23 33
21 31
22 32
21 32
13 33
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
11 31
13 33
11 31
12 32
12 22
13 23
11 21
13 23
11 2
− +
− +
1 1
12 22
19 23
5 13
9 5
1 13
7 a
a
=
− −
− −
−
Matriks adjoin dari matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks
tersebut, dilambangkan dengan adj A = C
ij t
, yaitu:
Adj A
c c
c c
c c
c c
c
t
=
=
−
11 21
31 12
22 32
13 23
33
19 1
13 1
23 9
13 5
5 7
− −
− −
Di unduh dari : Bukupaket.com
81
Matematika
Dari masalah 2.10 di atas, diperoleh inver matriks A. Dengan rumus :
A A
adj A
−
=
1
1 det
Sehingga:
A adj
A
−
= =
− −
− −
− −
=
1
1
1 32
19 13
1 23
9 13
5 5
7
det
A 1
19 32
13 32
1 32
23 32
9 32
13 32
5 32
5 32
7 32
− −
−
−
Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok, coba tunjukkan bahwa AA
-1
= A
-1
A = I, dengan
I adalah matriks identitas 3 × 3.
Bentuk matriks permasalahan 2.10 adalah 4
3 5
3 4
7 5
5 4
2 030 0
=
x y
z .
. 0 00
1 790 000 2 500 000
. .
. .
Bentuk ini dapat kita nyatakan dalam bentuk persamaan AX = B. Untuk memperoleh
matriks X yang elemen-elemennya menyatakan biaya sewa hotel, biaya transportasi
dan biaya makan, kita kalikan matriks A
-1
ke ruas kiri dan ruas kanan persamaan AX
= B, sehingga diperoleh
X A B
= =
−
− −
− −
−
1
19 13
13 32
1 32
23 32
9 32
13 32
5 32
5 32
7 32
×
2 030 000 1 790 000
2 500 000 .
. .
. .
.
X =
547 500 592 500
116 875 .
. .
Hasil yang diperoleh dengan menerapkan cara determinan dan cara invers, diperoleh hasil yang sama, yaitu; biaya sewa hotel tiap malam adalah Rp547.500,00; biaya
transportasi adalah Rp592.500,00; dan biaya makan adalah Rp116.875,00.
Berdasarkan langkah-langkah pemecahan masalah di atas, dapat disimpulkan
Di unduh dari : Bukupaket.com
82
Kelas XI SMAMASMKMAK Semester 1
Sifat 2.6
Misalkan matriks A berordo n × n dengan n
∈
N. Jika det A
≠ 0, A
−
=
1
1 det
A adj
Adan AA
-1
= A
-1
A = I, I adalah matriks identitas perkalian matriks
e. Sifat-Sifat Invers Matriks
