60 Prinsip dari estimator wavelet thresholding, mempertahankan koefisien wavelet
yang nilainya lebih besar dari suatu nilai threshold tertentu dan mengabaikan koefisien wavelet yang kecil. Selanjutnya koefisien yang besar ini digunakan untuk merekonstruksi
estimator fungsi yang dicari.
Pada estimasi fungsi dengan metode wavelet thresholding, tingkat kemulusan estimator ditentukan oleh pemilihan fungsi wavelet, level resolusi, fungsi thresholding, dan
parameter threshold. Namun yang paling dominan menentukan tingkat kemulusan estimator adalah parameter threshold. Nilai threshold yang kecil memberikan estimasi
fungsi yang sangat tidak mulus under smooth, sedangkan nilai threshold yang besar memberikan estimasi yang sangat mulus over smoot. Oleh karena itu perlu dipilih nilai
threshold yang optimal.
2. Bahan dan Metode
Penelitian ini merupakan kajian literatur yang kemudian dikembangkan dengan simulasi menggunakan software S-Plus For Windows. Dalam tulisan ini dilakukan
pembahasan tentang estimator fungsi regresi non parametrik dengan wavelet thresholding dan prosedur mendapatkan parameter threshold optimal dengan metode cross validasi serta
contoh penerapannya. Metode cross validasi yang digunakan adalah metode cross validasi dua lipatan Twofold Cross Validation, yaitu mengeluarkan setengah dari data untuk
menghasilkan nilai prediksi, seperti yang telah dikembangkan oleh Nason
[6]
dan Ogden
[7]
.
3. Hasil dan Pembahasan 3.1. Estimator Fungsi Regresi Non Parametrik dengan Wavelet Thresholding
3.1.1. Fungsi Wavelet
Fungsi wavelet adalah suatu fungsi matematika yang mempunyai sifat- sifat tertentu diantaranya berosilasi di sekitar nol seperti fungsi sinus dan cosinus dan
terlokalisasi dalam domain waktu artinya pada saat nilai domain relatif besar, fungsi wavelet berharga nol. Fungsi wavelet dibedakan atas dua jenis, yaitu wavelet ayah
dan wavelet ibu
yang mempunyai sifat
1 dx
x
dan
dx x
. Dengan dilatasi diadik dan translasi integer, wavelet ayah dan wavelet ibu melahirkan keluarga wavelet
yaitu
k x
2 p
2 p
x
j j
k ,
j
2 1
dan 2
2
2 1
,
k x
p p
x
j j
k j
untuk suatu skalar p 0, dan tanpa mengurangi keumuman dapat diambil p = 1, sehingga
2 2
2 ,
k x
x
j j
k j
dan 2
2
2 ,
k x
x
j j
k j
. Fungsi x
k ,
j
dan
x
k ,
j
mempunyai sifat:
k ,
k k
, j
k ,
j
dx x
x
dx
x x
k ,
j k
, j
k ,
k j
, j
k ,
j k
, j
dx x
x
dengan
.
1
,
j i
jika j
i jika
j i
Contoh wavelet paling sederhana adalah wavelet Haar yang mempunyai rumus
61
lain yang
x x
x x
, 1
2 1
, 1
2 1
, 1
dan
lain. yang
, 1
, 1
x x
x
Beberapa contoh wavelet selain wavelet Haar diantaranya wavelet Daubechies Daublet, symmetris Symmlet, dan Coifman Coiflet
[2]
.
3.1.2. Analisis Multiresolusi Analisis multiresolusi L
2
R adalah ruang bagian tertutup {V
j
,j Z} yang memenuhi
i …V
-2
V
-1
V V
1
V
2
…
ii
Z j
V
j
= {0},
Z j
V
j
= L
2
R iii
fV
j
1
. 2
j
V f
iv Z
k V
k f
V f
, .
v Terdapat sebuah fungsi
V
sehingga
Z k
, k
.
k ,
membentuk basis ortonormal untuk V
dan untuk semua j,k Z,
k x
2 2
x
j 2
j k
, j
. Jika {V
j
, j Z} analisis multiresolusi dari L
2
R, maka ada basis ortonormal
Z k
, j
;
k ,
j
untuk L
2
R: ,
2 2
2 ,
k x
j j
k j
sehingga untuk sembarang f L
2
R,
Z k
k j
k j
j j
f f
P f
P .
,
, 1
, 1
1
,yaitu
x
yang diturunkan dari
Z k
,k k
k
x c
ψx
1 1
1
.
Akibat 1
Bila adalah fungsi skala yang membangun analisis multiresolusi dan
Z k
,k k
k
x c
ψx
1 1
1
maka dekomposisi ke dalam wavelet ortonormal untuk sembarang f
L
2
R dapat dilakukan menjadi
ψ d
jo j
Z k
k j,
k j,
, ,
x x
c x
f
Z k
k jo
k jo
2
dengan
k ,
jo k
, jo
, f
c dan
k ,
j k
, j
, f
d .
3.1.3. Estimator Wavelet Linier
