Algoritma penentuan lintasan terpendek untuk semua pasangan simpul
ALGORITMA PENENTUAN LINTASAN TERPENDEK
UNTUK SEMUA PASANGAN SIMPUL
SYAMSUL BARRI
JURUSAN MA TEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETARUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
1997
Jifift.Jlffafi menowng I(amu, mal(a titfal(aaa orang yang aapat mengaCafil(an I(amu;
jil(a.Jlffafi mem6iarl(att I(amu (titfal(mem6eri pertoumgatt)
malig siapal(afi geratlgatt yang aapat menounlg I(amu (seCain) aari.Jlffafi sesuaafi itu?
'Kflrena itu, fienaal(Cafi I(;paaa.Jlffafi saja orattg-orang mu'min 6ertawal(l(a{
Ｈｾ＠
. .JlEi 'Imr01I: 160)
Sesunggufinya orang-orang 6eriman itu aaaCafi merel(a yang apa6iCa tllSe6ut nama.Jlffafi,
gemetarCafi fiati merel(a aan apa6iCa tfi6aeal(an I(;paaa merel(a ayat-ayat-Jfya,
6ertam6afiCafi iman merel(a (I(arenatlya) aan I(;paaa 'TufiannyaCafi merel(a 6ertawal(l(a{
Ｈｾ＠
. .Jl{.Jlttfaa{: 2)
CBerangl(at pagi-pagiCafi I(amu se6agai pengajar iCmu,
atau se6agai peeneari ｩＨｭｬｾ＠
atau se6agai pentfengariCmu, atau se6agai pencinta ifinu,
(j)an JanganCafi menjaai orang yang I(;Eima
(6ul(an pellgajar, 6ul(att peneari, 6ul(an pentfengar aan 6ul(an peneinta ifinu)
I(arena I(amu al(an eeCal(a / fianeur (.Jl{- :J{aalts)
'Kflrya I(;ciC ini'Kfl persem6afil(an untul(:
ＡｊＳ｡ｰｾ＠
16u, ＧｋｦｬＨ｡ｾ＠
.Jlail(
aan 'lVponal(anl(u yang tercinta
RINGKASAN
SYAMSUL BAHRI. Aigoritma Penentuan Lintasan Terpendek untuk Semua Pasangan SimpuI (The
Shortest Path Determination Algorithm for All-Pairs Vertex). Dibimbing oleh AMRIL AMAN dan
PRAPTO 1RI SUPRIYO.
Graf merupakan pasangan terurut (V,E), dimana V adalah himpunan tak kosong dan terbatas
yang anggotanya disebut simpul (vertex) dan E adalah himpunan sisi (edge). Hubungan antara simpul
dan sisi tersebut membentuk suatu jaringan (network). Selanjutnya, dari jaringan tersebut dapat
ditentukan lintasan(path) yang dilalui untuk suatu pasangan simpul, tetapi masalah yang penting dalam
hal ini adalah menentukan Iintasan terpendek (shortest path) di antara Iintasan-Iintasan yang mungkin
dari pasangan simpuI tersebut. Hal ini menarik, karena berkaitan dengan masalah pengoptimuman,
antara lain meminimumkan biaya dan efisiensi waktu yang digunakan.
Ada dua kelas permasalahan lintasan terpendek, yaitu masalah Iintasan terpendek satu pasangan
simpuI dan masalah lintasan terpendek untuk semua pasangan simpul. Beberapa algoritma telah
dikembangkan untuk menyelesaikan masalah ini ; masing-masing algoritma memiliki penampiJan yang
berbeda dalam menyelesaikan suatu permasalahan tertentu. Kelebihan suatu algoritma dibandingkan
dengan algoritma lainnya, antara lain ditentukan oleh struktur dan efisiensi dari algoritma tersebut.
Salah satu penentu efisiensi dari suatu algoritma adalah banyaknya langkah yang dibutuhkan oleh
suatu program yang menggunakan algoritma tersebut dalam menyelesaikan suatu masalah yang
berukuran n.
Masalah Iintasan terpendek untuk semua pasangan simpul dapat diselesaikan antara lain dengan
menggunakan a1goritma Floyd atau algoritma Dijkstra secara berulang-ulang untuk setiap simpul
sebagai sumber. Pada kasus terburuk (worst case), algoritma Dijkstra dapat menyelesaikan masalah
Iintasan terpendek untuk semua pasangan simpul dengan waktu eksekusi O(n'), dimana n adalah
banyaknya simpuI pada suatu jaringan. Untuk masalah yang sarna algoritma Floyd hanya membutuhkan
waktu eksekusi O(n'). OIeh karena itu, a1goritma Floyd lebih efisien dibandingkan a1goritma Dijkstra
dalam menyelesaikan masalah lintasan terpendek untuk semua pasangan simpuI, jika ditinjau pada
kasus terburuk.
ALGORITMA PENENTUAN LINTASAN TERPENDEK
UNTUK SEMUA PASANGAN SIMPUL
SYAMSUL BAHRI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarj ana Sains
pada
Program Studi Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
1997
Judul
Nama
NIM
Algoritma Penentuan Lintasan Terpendek untuk Semua Pasangan
Simpul
Syamsul Bahri
G30.0326
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
ｾ＠
Dr.
Drs. Prapto Tri Supriyo
Pembimbing II
Program Studi
Tanggal Lu Ius
29 NOV 1997
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bima pada tanggal 8 Pebruari 1975 sebagai anak ketiga dari enam
bersaudara, anak dari pasangan M. Said Yusuf dengan Uneng.
Tahun 1993 penulis lulus dari SMA Negeri Sila dan pada tahun yang sama diterima pada
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Aiam, Institut Pertanian Bogor
melalui Jalur Seleksi Masuk IPB (USMI).
Selama mengikuti perkuliahan di IPB, penulis selain aktif kuliah juga aktif pada
organisasi kemahasiswaan di IPB antara lain Senat Mahasiswa FMIPA, Badan Perwakilan
Mahasiswa (BPM) FMIPA dan Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (GUMATIKA) serta
Keluarga Muslim Matematika (KAMUSTIKA). Penulis juga pernah menjadi Asisten Pendidikan
Agama Islam (PAI) pada tahun ajaran 199611997.
Selain kuliah, penulis juga belajar di
Pesantren Mahasiswadan SaIjana Ulil Albaab - Bogor (1995-1997).
Pada akhir masa perkuliahan, penulis melaksanakan Praktek KeIja Lapang (PKL) pada
PT. UNINET BHAKTINUSA yaitu pada UniINTERNET Service Provider, dengan judul
"Penerapan Aigoritma Dijkstra untuk Menentukan Rute Terpendek pada Jaringan Internet".
PRAKATA
AJhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT, atas segala rahmat dan karunia-Nya
sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Karya ihniah ini beIjudul "Algoritma
Penentuan Lintasan Terpendek untuk Semua Pasangan Simpul".
Terima kasih penulis ucapkan kepada berbagai pihak yang telah membantu dalam
penyelesaian karya ilmiah ini, antara lain Bapak Dr. Ir. Arnril Arnan, MSc dan Bapak Drs. Prapto
Tri Supriyo selaku dosen pembimbing serta Ibu Ir. Sri Nurdiati, MSc. sebagai dosen penguji.
Disamping itu, terima kasih juga kepada Bapak Drs. KH. Didin Hafidhuddin, MSc. dan semua
Ustadz serta Rochmadi, Asep, Yayat, Agus, Didin, OP dan rekan-rekan santri di PP. UIil Albaab,
yang telah memberikan motivasi selama penulis di pesantren UIil Albaab khususnya. T ak lupa
pula, penulis mengucapkan terima kasih kepada Fauzy, Dede, Ardi, Djoni dan rekan-rekan
angkatan 30 khususnya serta semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian karya ihniah
ini baik secara langsung ataupun tidak langsung. Ucapan terima kasih dan penghargaan yang
setinggi-tingginya kepada Bapak, Ibu, Kakak, Adik dan semua keluarga yang telah memberikan
do' a dan restunya kepada penulis selama masa perkuliahan hingga selesainya karya ihniah ini.
Akhimya semoga karya ihniah ini bermanfaat bagi pengembangan ilmu pengetahuan
pada umumnya dan penerapan teori graf pada masalah lintasan terpendek pada khususnya.
Bogor, November 1997
Penulis
DAFTAR lSI
Halaman
DAFfAR TABEL
vi
DAFfAR GAMBAR
vi
PENDAHULUAN
I
Latar Belakang
Tujnan Penelitian
1
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
Graf
Teorema Lintasan Terpendek ............................................................................ .
Analisis Algoritma
.......... " ......................... " .......................... , ..................... .
1
2
3
PERUMUSAN MASALAH
4
ALGORlTMA FLOYD
4
Struktur dan Solusi RekursifLintasan Terpendek
.. , ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ....
Penentuan Bobot Lintasan Terpendek ................. ' .......................... ' ... ... ... ... ... ... ....
Penentnan Lintasan Terpendek .................................................... " ... ....... ... ... .....
Langkah-Langkah Algoritma Floyd
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ........ ...... ... ...
Contoh Kasus
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . ... . .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... .....
Analisis Algoritma Floyd
... ... ... ... ... ... . .. . .. ... ... ... ... ... ... . .. ... ... . .. ... ... ... . .. .. ... ... ... . ...
ALGORlTMA DlJKSTRA
5
6
6
7
7
Proses Pelabelan Algoritma Dijkstra
........................................... " ... ... ... . .. ... ......
.............. ' .......................... ' ... ... ... ... ... ... ....
Langkah-Langkah Algoritma Dijkstra
Penentuan Lintasan Terpendek
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .....
................ ,...................................................... ' ... ... ... ... ... . ......
Contoh Kasus
Analisis Algoritma Dijkstra
PENERAPAN ALGORlTMA FLOYD
KESlMPULAN DAN SARAN
4
5
8
8
8
8
9
9
........ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....... ... ... ...... ... ... ... ... 11
Kesimpulan ................................................. " ......................... ' . ... ... . .. ... ... .. . . ..
Saran ............... ............ ......... ...... ......... ... ......... ......... ............... ....................
DAFfARPUSTAKA
LAMPIRAN
Program untuk Menentukan Lintasan Terpendek untuk Semua Pasangan Simpul
Berdasarkan Algoritma Floyd
II
11
12
DAFTAR TABEL
Halaman
I.
2.
3.
Jarak antar Kota-Kola di Polau Jawa (dalam km)
..... , .......... ,. ... ... ... ... ... ...... ... ... ...... 10
Jarak Tetpendek antar Setiap Pasangan Kota (dalam km) HasiI Aigoritma Floyd
.. , ...... ... ... 10
Kola Kedua yang DiIalui oleh Lintasan dari Kola i ke Kola j
................" ........... ' ...........' . 11
DAFTAR GAMBAR
I.
2.
3.
4.
5.
Halaman
Graf dengan 6 Simpul
................ , ..................... , .......... " ............................... " 1
Digraf dengan 6 Simpul
............................................................................... " 1
............. , ................................ , ........... ' . .. . ... ..... 2
D igraf dengan VI sebagai Sumber
Lintasan Tetpendek dari Vike Vj dengan Vk sebagai Simpul Antara
.................... ' ... ......... 5
Digraf dengan 5 Simpul
......................... ,. ... ... ... ...... ... ...... ... ...... ... ... ... ... ...... .... 6
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Hubungan antara objek yang ada di sekitar kita
merupakan hal yang sering kita amati, seperti
hubungan antara kota-kota dalam atlas, struktur
organisasi pada suatu lembaga, hubungan antara
komputer-komputer
pada
suatu
jaringan
(LANfWAN) dan sebagainya.
Fenomena tersebut secara abstrak dapat
digambarkan dengan suatu graf (graph), dimana
kota-kota, unit dalam organisasi, komputer pada
suatu jaringan atau yang sejenisnya digambarkan
sebagai simpul (vertex). Sedangkan jalan yang
menghubungkan antar kota, kabel/media yang
menghubungkan antar komputer atau yang
sejenisnya digambarkan sebagai sisi (edges).
Masalah lintasan terpendek (shortest path)
merupakan masalah kIasik yang sering kita jumpai
dalam kehidupan sehari-hari di bemagai sektor
kehidupan, antara lain di bidang transportasi,
komunikasi dan komputasi. Masalah ini menjadi
masalah yang penting, karena berkaitan dengan
masalah meminimumkan biaya atau efisiensi
waktu yang dibutuhkan.
Masalah lintasan terpendek untuk semua
pasangan simpul (the all-pairs shortest path)
adalah masalah menentukan lintasan terpendek
atau jarak terpendek untuk setiap pasangan simpul
yang ada, sehingga tercapai optimalitas fungsi
tujuan (objektif) tertentu.
Untuk menyelesaikan masalah ini, ada
beberapa algoritma yang dapat digunakan seperti
algoritrna Dijkstra, aigoritma Bellman-Ford,
algoritma Johnson, algoritma Floyd dan lain
sebagainya.
Pada prakteknya tidak semua algoritrna itu
efektif untuk diterapkan atau diimplementasikan
pada suatu masalah tertentu. Hal ini disebabkan
karena setiap algoritrna mempunyai penampilan
yang beIbeda dalam menyelesaikan suatu masalah.
Kelebihan suatu algoritma dibandingkan dengan
algoritrna lainnya, antara lain ditentukan oleh
struktur dan efisiensi dati algoritrna tersebut.
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mempelajari dan
membandingkan efisiensi antara algoritrna Floyd
dan Dijkstra dalam menentukan lintasan
terpendek semua pasangan simpul pada suatu graf
berarah terbobot berdasarkan banyaknya langkah
yang diperJukan untuk menyelesaikan suatu
masalah pada kasu. terburuk.
TlNJAUAN PUSTAKA
Teori graf (graph theory) merupakan salah
satu topik dalam matematika yang peneraparmya
dapat menyelesaikan berbagai masalah nyata di
berbagai bidang seperti ekonomi, industri,
transportasi, sains dan lain sebagainya. Beriknt
akan dijelaskan teori-teori dasar graf yang
mendasari masalah lintasan terpendek
Graf
Suatu graf G adalall suatu pasangan terurut
(V,E), dimana V adalah suatu himpunan tak
kosong dan terbatas yang anggotanya disebut
simpul (vertex) dan E adalah himpnnan sisi (edge)
[Foulds, 1992]. Gambar la beriknt menunjukkan
sebuah graf dengan 6 simpul dan IO sisi.
Gambar lao Graf dengan 6 simpul
Pada Gambar la di atas, graf G terdiri atas 6
simpuI yaitu VI • V2 , V3 , V4 , Vs , V6 dan 10 sisi
yaitu el ,e2 • e3 , ., • elO_
Gambar lb. Digraf dengan 6 simpul
ALGORITMA PENENTUAN LINTASAN TERPENDEK
UNTUK SEMUA PASANGAN SIMPUL
SYAMSUL BARRI
JURUSAN MA TEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETARUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
1997
Jifift.Jlffafi menowng I(amu, mal(a titfal(aaa orang yang aapat mengaCafil(an I(amu;
jil(a.Jlffafi mem6iarl(att I(amu (titfal(mem6eri pertoumgatt)
malig siapal(afi geratlgatt yang aapat menounlg I(amu (seCain) aari.Jlffafi sesuaafi itu?
'Kflrena itu, fienaal(Cafi I(;paaa.Jlffafi saja orattg-orang mu'min 6ertawal(l(a{
Ｈｾ＠
. .JlEi 'Imr01I: 160)
Sesunggufinya orang-orang 6eriman itu aaaCafi merel(a yang apa6iCa tllSe6ut nama.Jlffafi,
gemetarCafi fiati merel(a aan apa6iCa tfi6aeal(an I(;paaa merel(a ayat-ayat-Jfya,
6ertam6afiCafi iman merel(a (I(arenatlya) aan I(;paaa 'TufiannyaCafi merel(a 6ertawal(l(a{
Ｈｾ＠
. .Jl{.Jlttfaa{: 2)
CBerangl(at pagi-pagiCafi I(amu se6agai pengajar iCmu,
atau se6agai peeneari ｩＨｭｬｾ＠
atau se6agai pentfengariCmu, atau se6agai pencinta ifinu,
(j)an JanganCafi menjaai orang yang I(;Eima
(6ul(an pellgajar, 6ul(att peneari, 6ul(an pentfengar aan 6ul(an peneinta ifinu)
I(arena I(amu al(an eeCal(a / fianeur (.Jl{- :J{aalts)
'Kflrya I(;ciC ini'Kfl persem6afil(an untul(:
ＡｊＳ｡ｰｾ＠
16u, ＧｋｦｬＨ｡ｾ＠
.Jlail(
aan 'lVponal(anl(u yang tercinta
RINGKASAN
SYAMSUL BAHRI. Aigoritma Penentuan Lintasan Terpendek untuk Semua Pasangan SimpuI (The
Shortest Path Determination Algorithm for All-Pairs Vertex). Dibimbing oleh AMRIL AMAN dan
PRAPTO 1RI SUPRIYO.
Graf merupakan pasangan terurut (V,E), dimana V adalah himpunan tak kosong dan terbatas
yang anggotanya disebut simpul (vertex) dan E adalah himpunan sisi (edge). Hubungan antara simpul
dan sisi tersebut membentuk suatu jaringan (network). Selanjutnya, dari jaringan tersebut dapat
ditentukan lintasan(path) yang dilalui untuk suatu pasangan simpul, tetapi masalah yang penting dalam
hal ini adalah menentukan Iintasan terpendek (shortest path) di antara Iintasan-Iintasan yang mungkin
dari pasangan simpuI tersebut. Hal ini menarik, karena berkaitan dengan masalah pengoptimuman,
antara lain meminimumkan biaya dan efisiensi waktu yang digunakan.
Ada dua kelas permasalahan lintasan terpendek, yaitu masalah Iintasan terpendek satu pasangan
simpuI dan masalah lintasan terpendek untuk semua pasangan simpul. Beberapa algoritma telah
dikembangkan untuk menyelesaikan masalah ini ; masing-masing algoritma memiliki penampiJan yang
berbeda dalam menyelesaikan suatu permasalahan tertentu. Kelebihan suatu algoritma dibandingkan
dengan algoritma lainnya, antara lain ditentukan oleh struktur dan efisiensi dari algoritma tersebut.
Salah satu penentu efisiensi dari suatu algoritma adalah banyaknya langkah yang dibutuhkan oleh
suatu program yang menggunakan algoritma tersebut dalam menyelesaikan suatu masalah yang
berukuran n.
Masalah Iintasan terpendek untuk semua pasangan simpul dapat diselesaikan antara lain dengan
menggunakan a1goritma Floyd atau algoritma Dijkstra secara berulang-ulang untuk setiap simpul
sebagai sumber. Pada kasus terburuk (worst case), algoritma Dijkstra dapat menyelesaikan masalah
Iintasan terpendek untuk semua pasangan simpul dengan waktu eksekusi O(n'), dimana n adalah
banyaknya simpuI pada suatu jaringan. Untuk masalah yang sarna algoritma Floyd hanya membutuhkan
waktu eksekusi O(n'). OIeh karena itu, a1goritma Floyd lebih efisien dibandingkan a1goritma Dijkstra
dalam menyelesaikan masalah lintasan terpendek untuk semua pasangan simpuI, jika ditinjau pada
kasus terburuk.
ALGORITMA PENENTUAN LINTASAN TERPENDEK
UNTUK SEMUA PASANGAN SIMPUL
SYAMSUL BAHRI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarj ana Sains
pada
Program Studi Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
1997
Judul
Nama
NIM
Algoritma Penentuan Lintasan Terpendek untuk Semua Pasangan
Simpul
Syamsul Bahri
G30.0326
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
ｾ＠
Dr.
Drs. Prapto Tri Supriyo
Pembimbing II
Program Studi
Tanggal Lu Ius
29 NOV 1997
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bima pada tanggal 8 Pebruari 1975 sebagai anak ketiga dari enam
bersaudara, anak dari pasangan M. Said Yusuf dengan Uneng.
Tahun 1993 penulis lulus dari SMA Negeri Sila dan pada tahun yang sama diterima pada
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Aiam, Institut Pertanian Bogor
melalui Jalur Seleksi Masuk IPB (USMI).
Selama mengikuti perkuliahan di IPB, penulis selain aktif kuliah juga aktif pada
organisasi kemahasiswaan di IPB antara lain Senat Mahasiswa FMIPA, Badan Perwakilan
Mahasiswa (BPM) FMIPA dan Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (GUMATIKA) serta
Keluarga Muslim Matematika (KAMUSTIKA). Penulis juga pernah menjadi Asisten Pendidikan
Agama Islam (PAI) pada tahun ajaran 199611997.
Selain kuliah, penulis juga belajar di
Pesantren Mahasiswadan SaIjana Ulil Albaab - Bogor (1995-1997).
Pada akhir masa perkuliahan, penulis melaksanakan Praktek KeIja Lapang (PKL) pada
PT. UNINET BHAKTINUSA yaitu pada UniINTERNET Service Provider, dengan judul
"Penerapan Aigoritma Dijkstra untuk Menentukan Rute Terpendek pada Jaringan Internet".
PRAKATA
AJhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT, atas segala rahmat dan karunia-Nya
sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Karya ihniah ini beIjudul "Algoritma
Penentuan Lintasan Terpendek untuk Semua Pasangan Simpul".
Terima kasih penulis ucapkan kepada berbagai pihak yang telah membantu dalam
penyelesaian karya ilmiah ini, antara lain Bapak Dr. Ir. Arnril Arnan, MSc dan Bapak Drs. Prapto
Tri Supriyo selaku dosen pembimbing serta Ibu Ir. Sri Nurdiati, MSc. sebagai dosen penguji.
Disamping itu, terima kasih juga kepada Bapak Drs. KH. Didin Hafidhuddin, MSc. dan semua
Ustadz serta Rochmadi, Asep, Yayat, Agus, Didin, OP dan rekan-rekan santri di PP. UIil Albaab,
yang telah memberikan motivasi selama penulis di pesantren UIil Albaab khususnya. T ak lupa
pula, penulis mengucapkan terima kasih kepada Fauzy, Dede, Ardi, Djoni dan rekan-rekan
angkatan 30 khususnya serta semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian karya ihniah
ini baik secara langsung ataupun tidak langsung. Ucapan terima kasih dan penghargaan yang
setinggi-tingginya kepada Bapak, Ibu, Kakak, Adik dan semua keluarga yang telah memberikan
do' a dan restunya kepada penulis selama masa perkuliahan hingga selesainya karya ihniah ini.
Akhimya semoga karya ihniah ini bermanfaat bagi pengembangan ilmu pengetahuan
pada umumnya dan penerapan teori graf pada masalah lintasan terpendek pada khususnya.
Bogor, November 1997
Penulis
DAFTAR lSI
Halaman
DAFfAR TABEL
vi
DAFfAR GAMBAR
vi
PENDAHULUAN
I
Latar Belakang
Tujnan Penelitian
1
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
Graf
Teorema Lintasan Terpendek ............................................................................ .
Analisis Algoritma
.......... " ......................... " .......................... , ..................... .
1
2
3
PERUMUSAN MASALAH
4
ALGORlTMA FLOYD
4
Struktur dan Solusi RekursifLintasan Terpendek
.. , ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ....
Penentuan Bobot Lintasan Terpendek ................. ' .......................... ' ... ... ... ... ... ... ....
Penentnan Lintasan Terpendek .................................................... " ... ....... ... ... .....
Langkah-Langkah Algoritma Floyd
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ........ ...... ... ...
Contoh Kasus
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . ... . .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... .....
Analisis Algoritma Floyd
... ... ... ... ... ... . .. . .. ... ... ... ... ... ... . .. ... ... . .. ... ... ... . .. .. ... ... ... . ...
ALGORlTMA DlJKSTRA
5
6
6
7
7
Proses Pelabelan Algoritma Dijkstra
........................................... " ... ... ... . .. ... ......
.............. ' .......................... ' ... ... ... ... ... ... ....
Langkah-Langkah Algoritma Dijkstra
Penentuan Lintasan Terpendek
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .....
................ ,...................................................... ' ... ... ... ... ... . ......
Contoh Kasus
Analisis Algoritma Dijkstra
PENERAPAN ALGORlTMA FLOYD
KESlMPULAN DAN SARAN
4
5
8
8
8
8
9
9
........ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....... ... ... ...... ... ... ... ... 11
Kesimpulan ................................................. " ......................... ' . ... ... . .. ... ... .. . . ..
Saran ............... ............ ......... ...... ......... ... ......... ......... ............... ....................
DAFfARPUSTAKA
LAMPIRAN
Program untuk Menentukan Lintasan Terpendek untuk Semua Pasangan Simpul
Berdasarkan Algoritma Floyd
II
11
12
DAFTAR TABEL
Halaman
I.
2.
3.
Jarak antar Kota-Kola di Polau Jawa (dalam km)
..... , .......... ,. ... ... ... ... ... ...... ... ... ...... 10
Jarak Tetpendek antar Setiap Pasangan Kota (dalam km) HasiI Aigoritma Floyd
.. , ...... ... ... 10
Kola Kedua yang DiIalui oleh Lintasan dari Kola i ke Kola j
................" ........... ' ...........' . 11
DAFTAR GAMBAR
I.
2.
3.
4.
5.
Halaman
Graf dengan 6 Simpul
................ , ..................... , .......... " ............................... " 1
Digraf dengan 6 Simpul
............................................................................... " 1
............. , ................................ , ........... ' . .. . ... ..... 2
D igraf dengan VI sebagai Sumber
Lintasan Tetpendek dari Vike Vj dengan Vk sebagai Simpul Antara
.................... ' ... ......... 5
Digraf dengan 5 Simpul
......................... ,. ... ... ... ...... ... ...... ... ...... ... ... ... ... ...... .... 6
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Hubungan antara objek yang ada di sekitar kita
merupakan hal yang sering kita amati, seperti
hubungan antara kota-kota dalam atlas, struktur
organisasi pada suatu lembaga, hubungan antara
komputer-komputer
pada
suatu
jaringan
(LANfWAN) dan sebagainya.
Fenomena tersebut secara abstrak dapat
digambarkan dengan suatu graf (graph), dimana
kota-kota, unit dalam organisasi, komputer pada
suatu jaringan atau yang sejenisnya digambarkan
sebagai simpul (vertex). Sedangkan jalan yang
menghubungkan antar kota, kabel/media yang
menghubungkan antar komputer atau yang
sejenisnya digambarkan sebagai sisi (edges).
Masalah lintasan terpendek (shortest path)
merupakan masalah kIasik yang sering kita jumpai
dalam kehidupan sehari-hari di bemagai sektor
kehidupan, antara lain di bidang transportasi,
komunikasi dan komputasi. Masalah ini menjadi
masalah yang penting, karena berkaitan dengan
masalah meminimumkan biaya atau efisiensi
waktu yang dibutuhkan.
Masalah lintasan terpendek untuk semua
pasangan simpul (the all-pairs shortest path)
adalah masalah menentukan lintasan terpendek
atau jarak terpendek untuk setiap pasangan simpul
yang ada, sehingga tercapai optimalitas fungsi
tujuan (objektif) tertentu.
Untuk menyelesaikan masalah ini, ada
beberapa algoritma yang dapat digunakan seperti
algoritrna Dijkstra, aigoritma Bellman-Ford,
algoritma Johnson, algoritma Floyd dan lain
sebagainya.
Pada prakteknya tidak semua algoritrna itu
efektif untuk diterapkan atau diimplementasikan
pada suatu masalah tertentu. Hal ini disebabkan
karena setiap algoritrna mempunyai penampilan
yang beIbeda dalam menyelesaikan suatu masalah.
Kelebihan suatu algoritma dibandingkan dengan
algoritrna lainnya, antara lain ditentukan oleh
struktur dan efisiensi dati algoritrna tersebut.
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mempelajari dan
membandingkan efisiensi antara algoritrna Floyd
dan Dijkstra dalam menentukan lintasan
terpendek semua pasangan simpul pada suatu graf
berarah terbobot berdasarkan banyaknya langkah
yang diperJukan untuk menyelesaikan suatu
masalah pada kasu. terburuk.
TlNJAUAN PUSTAKA
Teori graf (graph theory) merupakan salah
satu topik dalam matematika yang peneraparmya
dapat menyelesaikan berbagai masalah nyata di
berbagai bidang seperti ekonomi, industri,
transportasi, sains dan lain sebagainya. Beriknt
akan dijelaskan teori-teori dasar graf yang
mendasari masalah lintasan terpendek
Graf
Suatu graf G adalall suatu pasangan terurut
(V,E), dimana V adalah suatu himpunan tak
kosong dan terbatas yang anggotanya disebut
simpul (vertex) dan E adalah himpnnan sisi (edge)
[Foulds, 1992]. Gambar la beriknt menunjukkan
sebuah graf dengan 6 simpul dan IO sisi.
Gambar lao Graf dengan 6 simpul
Pada Gambar la di atas, graf G terdiri atas 6
simpuI yaitu VI • V2 , V3 , V4 , Vs , V6 dan 10 sisi
yaitu el ,e2 • e3 , ., • elO_
Gambar lb. Digraf dengan 6 simpul
UNTUK SEMUA PASANGAN SIMPUL
SYAMSUL BARRI
JURUSAN MA TEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETARUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
1997
Jifift.Jlffafi menowng I(amu, mal(a titfal(aaa orang yang aapat mengaCafil(an I(amu;
jil(a.Jlffafi mem6iarl(att I(amu (titfal(mem6eri pertoumgatt)
malig siapal(afi geratlgatt yang aapat menounlg I(amu (seCain) aari.Jlffafi sesuaafi itu?
'Kflrena itu, fienaal(Cafi I(;paaa.Jlffafi saja orattg-orang mu'min 6ertawal(l(a{
Ｈｾ＠
. .JlEi 'Imr01I: 160)
Sesunggufinya orang-orang 6eriman itu aaaCafi merel(a yang apa6iCa tllSe6ut nama.Jlffafi,
gemetarCafi fiati merel(a aan apa6iCa tfi6aeal(an I(;paaa merel(a ayat-ayat-Jfya,
6ertam6afiCafi iman merel(a (I(arenatlya) aan I(;paaa 'TufiannyaCafi merel(a 6ertawal(l(a{
Ｈｾ＠
. .Jl{.Jlttfaa{: 2)
CBerangl(at pagi-pagiCafi I(amu se6agai pengajar iCmu,
atau se6agai peeneari ｩＨｭｬｾ＠
atau se6agai pentfengariCmu, atau se6agai pencinta ifinu,
(j)an JanganCafi menjaai orang yang I(;Eima
(6ul(an pellgajar, 6ul(att peneari, 6ul(an pentfengar aan 6ul(an peneinta ifinu)
I(arena I(amu al(an eeCal(a / fianeur (.Jl{- :J{aalts)
'Kflrya I(;ciC ini'Kfl persem6afil(an untul(:
ＡｊＳ｡ｰｾ＠
16u, ＧｋｦｬＨ｡ｾ＠
.Jlail(
aan 'lVponal(anl(u yang tercinta
RINGKASAN
SYAMSUL BAHRI. Aigoritma Penentuan Lintasan Terpendek untuk Semua Pasangan SimpuI (The
Shortest Path Determination Algorithm for All-Pairs Vertex). Dibimbing oleh AMRIL AMAN dan
PRAPTO 1RI SUPRIYO.
Graf merupakan pasangan terurut (V,E), dimana V adalah himpunan tak kosong dan terbatas
yang anggotanya disebut simpul (vertex) dan E adalah himpunan sisi (edge). Hubungan antara simpul
dan sisi tersebut membentuk suatu jaringan (network). Selanjutnya, dari jaringan tersebut dapat
ditentukan lintasan(path) yang dilalui untuk suatu pasangan simpul, tetapi masalah yang penting dalam
hal ini adalah menentukan Iintasan terpendek (shortest path) di antara Iintasan-Iintasan yang mungkin
dari pasangan simpuI tersebut. Hal ini menarik, karena berkaitan dengan masalah pengoptimuman,
antara lain meminimumkan biaya dan efisiensi waktu yang digunakan.
Ada dua kelas permasalahan lintasan terpendek, yaitu masalah Iintasan terpendek satu pasangan
simpuI dan masalah lintasan terpendek untuk semua pasangan simpul. Beberapa algoritma telah
dikembangkan untuk menyelesaikan masalah ini ; masing-masing algoritma memiliki penampiJan yang
berbeda dalam menyelesaikan suatu permasalahan tertentu. Kelebihan suatu algoritma dibandingkan
dengan algoritma lainnya, antara lain ditentukan oleh struktur dan efisiensi dari algoritma tersebut.
Salah satu penentu efisiensi dari suatu algoritma adalah banyaknya langkah yang dibutuhkan oleh
suatu program yang menggunakan algoritma tersebut dalam menyelesaikan suatu masalah yang
berukuran n.
Masalah Iintasan terpendek untuk semua pasangan simpul dapat diselesaikan antara lain dengan
menggunakan a1goritma Floyd atau algoritma Dijkstra secara berulang-ulang untuk setiap simpul
sebagai sumber. Pada kasus terburuk (worst case), algoritma Dijkstra dapat menyelesaikan masalah
Iintasan terpendek untuk semua pasangan simpul dengan waktu eksekusi O(n'), dimana n adalah
banyaknya simpuI pada suatu jaringan. Untuk masalah yang sarna algoritma Floyd hanya membutuhkan
waktu eksekusi O(n'). OIeh karena itu, a1goritma Floyd lebih efisien dibandingkan a1goritma Dijkstra
dalam menyelesaikan masalah lintasan terpendek untuk semua pasangan simpuI, jika ditinjau pada
kasus terburuk.
ALGORITMA PENENTUAN LINTASAN TERPENDEK
UNTUK SEMUA PASANGAN SIMPUL
SYAMSUL BAHRI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarj ana Sains
pada
Program Studi Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
1997
Judul
Nama
NIM
Algoritma Penentuan Lintasan Terpendek untuk Semua Pasangan
Simpul
Syamsul Bahri
G30.0326
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
ｾ＠
Dr.
Drs. Prapto Tri Supriyo
Pembimbing II
Program Studi
Tanggal Lu Ius
29 NOV 1997
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bima pada tanggal 8 Pebruari 1975 sebagai anak ketiga dari enam
bersaudara, anak dari pasangan M. Said Yusuf dengan Uneng.
Tahun 1993 penulis lulus dari SMA Negeri Sila dan pada tahun yang sama diterima pada
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Aiam, Institut Pertanian Bogor
melalui Jalur Seleksi Masuk IPB (USMI).
Selama mengikuti perkuliahan di IPB, penulis selain aktif kuliah juga aktif pada
organisasi kemahasiswaan di IPB antara lain Senat Mahasiswa FMIPA, Badan Perwakilan
Mahasiswa (BPM) FMIPA dan Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (GUMATIKA) serta
Keluarga Muslim Matematika (KAMUSTIKA). Penulis juga pernah menjadi Asisten Pendidikan
Agama Islam (PAI) pada tahun ajaran 199611997.
Selain kuliah, penulis juga belajar di
Pesantren Mahasiswadan SaIjana Ulil Albaab - Bogor (1995-1997).
Pada akhir masa perkuliahan, penulis melaksanakan Praktek KeIja Lapang (PKL) pada
PT. UNINET BHAKTINUSA yaitu pada UniINTERNET Service Provider, dengan judul
"Penerapan Aigoritma Dijkstra untuk Menentukan Rute Terpendek pada Jaringan Internet".
PRAKATA
AJhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT, atas segala rahmat dan karunia-Nya
sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Karya ihniah ini beIjudul "Algoritma
Penentuan Lintasan Terpendek untuk Semua Pasangan Simpul".
Terima kasih penulis ucapkan kepada berbagai pihak yang telah membantu dalam
penyelesaian karya ilmiah ini, antara lain Bapak Dr. Ir. Arnril Arnan, MSc dan Bapak Drs. Prapto
Tri Supriyo selaku dosen pembimbing serta Ibu Ir. Sri Nurdiati, MSc. sebagai dosen penguji.
Disamping itu, terima kasih juga kepada Bapak Drs. KH. Didin Hafidhuddin, MSc. dan semua
Ustadz serta Rochmadi, Asep, Yayat, Agus, Didin, OP dan rekan-rekan santri di PP. UIil Albaab,
yang telah memberikan motivasi selama penulis di pesantren UIil Albaab khususnya. T ak lupa
pula, penulis mengucapkan terima kasih kepada Fauzy, Dede, Ardi, Djoni dan rekan-rekan
angkatan 30 khususnya serta semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian karya ihniah
ini baik secara langsung ataupun tidak langsung. Ucapan terima kasih dan penghargaan yang
setinggi-tingginya kepada Bapak, Ibu, Kakak, Adik dan semua keluarga yang telah memberikan
do' a dan restunya kepada penulis selama masa perkuliahan hingga selesainya karya ihniah ini.
Akhimya semoga karya ihniah ini bermanfaat bagi pengembangan ilmu pengetahuan
pada umumnya dan penerapan teori graf pada masalah lintasan terpendek pada khususnya.
Bogor, November 1997
Penulis
DAFTAR lSI
Halaman
DAFfAR TABEL
vi
DAFfAR GAMBAR
vi
PENDAHULUAN
I
Latar Belakang
Tujnan Penelitian
1
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
Graf
Teorema Lintasan Terpendek ............................................................................ .
Analisis Algoritma
.......... " ......................... " .......................... , ..................... .
1
2
3
PERUMUSAN MASALAH
4
ALGORlTMA FLOYD
4
Struktur dan Solusi RekursifLintasan Terpendek
.. , ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ....
Penentuan Bobot Lintasan Terpendek ................. ' .......................... ' ... ... ... ... ... ... ....
Penentnan Lintasan Terpendek .................................................... " ... ....... ... ... .....
Langkah-Langkah Algoritma Floyd
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ........ ...... ... ...
Contoh Kasus
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . ... . .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... .....
Analisis Algoritma Floyd
... ... ... ... ... ... . .. . .. ... ... ... ... ... ... . .. ... ... . .. ... ... ... . .. .. ... ... ... . ...
ALGORlTMA DlJKSTRA
5
6
6
7
7
Proses Pelabelan Algoritma Dijkstra
........................................... " ... ... ... . .. ... ......
.............. ' .......................... ' ... ... ... ... ... ... ....
Langkah-Langkah Algoritma Dijkstra
Penentuan Lintasan Terpendek
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .....
................ ,...................................................... ' ... ... ... ... ... . ......
Contoh Kasus
Analisis Algoritma Dijkstra
PENERAPAN ALGORlTMA FLOYD
KESlMPULAN DAN SARAN
4
5
8
8
8
8
9
9
........ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....... ... ... ...... ... ... ... ... 11
Kesimpulan ................................................. " ......................... ' . ... ... . .. ... ... .. . . ..
Saran ............... ............ ......... ...... ......... ... ......... ......... ............... ....................
DAFfARPUSTAKA
LAMPIRAN
Program untuk Menentukan Lintasan Terpendek untuk Semua Pasangan Simpul
Berdasarkan Algoritma Floyd
II
11
12
DAFTAR TABEL
Halaman
I.
2.
3.
Jarak antar Kota-Kola di Polau Jawa (dalam km)
..... , .......... ,. ... ... ... ... ... ...... ... ... ...... 10
Jarak Tetpendek antar Setiap Pasangan Kota (dalam km) HasiI Aigoritma Floyd
.. , ...... ... ... 10
Kola Kedua yang DiIalui oleh Lintasan dari Kola i ke Kola j
................" ........... ' ...........' . 11
DAFTAR GAMBAR
I.
2.
3.
4.
5.
Halaman
Graf dengan 6 Simpul
................ , ..................... , .......... " ............................... " 1
Digraf dengan 6 Simpul
............................................................................... " 1
............. , ................................ , ........... ' . .. . ... ..... 2
D igraf dengan VI sebagai Sumber
Lintasan Tetpendek dari Vike Vj dengan Vk sebagai Simpul Antara
.................... ' ... ......... 5
Digraf dengan 5 Simpul
......................... ,. ... ... ... ...... ... ...... ... ...... ... ... ... ... ...... .... 6
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Hubungan antara objek yang ada di sekitar kita
merupakan hal yang sering kita amati, seperti
hubungan antara kota-kota dalam atlas, struktur
organisasi pada suatu lembaga, hubungan antara
komputer-komputer
pada
suatu
jaringan
(LANfWAN) dan sebagainya.
Fenomena tersebut secara abstrak dapat
digambarkan dengan suatu graf (graph), dimana
kota-kota, unit dalam organisasi, komputer pada
suatu jaringan atau yang sejenisnya digambarkan
sebagai simpul (vertex). Sedangkan jalan yang
menghubungkan antar kota, kabel/media yang
menghubungkan antar komputer atau yang
sejenisnya digambarkan sebagai sisi (edges).
Masalah lintasan terpendek (shortest path)
merupakan masalah kIasik yang sering kita jumpai
dalam kehidupan sehari-hari di bemagai sektor
kehidupan, antara lain di bidang transportasi,
komunikasi dan komputasi. Masalah ini menjadi
masalah yang penting, karena berkaitan dengan
masalah meminimumkan biaya atau efisiensi
waktu yang dibutuhkan.
Masalah lintasan terpendek untuk semua
pasangan simpul (the all-pairs shortest path)
adalah masalah menentukan lintasan terpendek
atau jarak terpendek untuk setiap pasangan simpul
yang ada, sehingga tercapai optimalitas fungsi
tujuan (objektif) tertentu.
Untuk menyelesaikan masalah ini, ada
beberapa algoritma yang dapat digunakan seperti
algoritrna Dijkstra, aigoritma Bellman-Ford,
algoritma Johnson, algoritma Floyd dan lain
sebagainya.
Pada prakteknya tidak semua algoritrna itu
efektif untuk diterapkan atau diimplementasikan
pada suatu masalah tertentu. Hal ini disebabkan
karena setiap algoritrna mempunyai penampilan
yang beIbeda dalam menyelesaikan suatu masalah.
Kelebihan suatu algoritma dibandingkan dengan
algoritrna lainnya, antara lain ditentukan oleh
struktur dan efisiensi dati algoritrna tersebut.
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mempelajari dan
membandingkan efisiensi antara algoritrna Floyd
dan Dijkstra dalam menentukan lintasan
terpendek semua pasangan simpul pada suatu graf
berarah terbobot berdasarkan banyaknya langkah
yang diperJukan untuk menyelesaikan suatu
masalah pada kasu. terburuk.
TlNJAUAN PUSTAKA
Teori graf (graph theory) merupakan salah
satu topik dalam matematika yang peneraparmya
dapat menyelesaikan berbagai masalah nyata di
berbagai bidang seperti ekonomi, industri,
transportasi, sains dan lain sebagainya. Beriknt
akan dijelaskan teori-teori dasar graf yang
mendasari masalah lintasan terpendek
Graf
Suatu graf G adalall suatu pasangan terurut
(V,E), dimana V adalah suatu himpunan tak
kosong dan terbatas yang anggotanya disebut
simpul (vertex) dan E adalah himpnnan sisi (edge)
[Foulds, 1992]. Gambar la beriknt menunjukkan
sebuah graf dengan 6 simpul dan IO sisi.
Gambar lao Graf dengan 6 simpul
Pada Gambar la di atas, graf G terdiri atas 6
simpuI yaitu VI • V2 , V3 , V4 , Vs , V6 dan 10 sisi
yaitu el ,e2 • e3 , ., • elO_
Gambar lb. Digraf dengan 6 simpul
ALGORITMA PENENTUAN LINTASAN TERPENDEK
UNTUK SEMUA PASANGAN SIMPUL
SYAMSUL BARRI
JURUSAN MA TEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETARUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
1997
Jifift.Jlffafi menowng I(amu, mal(a titfal(aaa orang yang aapat mengaCafil(an I(amu;
jil(a.Jlffafi mem6iarl(att I(amu (titfal(mem6eri pertoumgatt)
malig siapal(afi geratlgatt yang aapat menounlg I(amu (seCain) aari.Jlffafi sesuaafi itu?
'Kflrena itu, fienaal(Cafi I(;paaa.Jlffafi saja orattg-orang mu'min 6ertawal(l(a{
Ｈｾ＠
. .JlEi 'Imr01I: 160)
Sesunggufinya orang-orang 6eriman itu aaaCafi merel(a yang apa6iCa tllSe6ut nama.Jlffafi,
gemetarCafi fiati merel(a aan apa6iCa tfi6aeal(an I(;paaa merel(a ayat-ayat-Jfya,
6ertam6afiCafi iman merel(a (I(arenatlya) aan I(;paaa 'TufiannyaCafi merel(a 6ertawal(l(a{
Ｈｾ＠
. .Jl{.Jlttfaa{: 2)
CBerangl(at pagi-pagiCafi I(amu se6agai pengajar iCmu,
atau se6agai peeneari ｩＨｭｬｾ＠
atau se6agai pentfengariCmu, atau se6agai pencinta ifinu,
(j)an JanganCafi menjaai orang yang I(;Eima
(6ul(an pellgajar, 6ul(att peneari, 6ul(an pentfengar aan 6ul(an peneinta ifinu)
I(arena I(amu al(an eeCal(a / fianeur (.Jl{- :J{aalts)
'Kflrya I(;ciC ini'Kfl persem6afil(an untul(:
ＡｊＳ｡ｰｾ＠
16u, ＧｋｦｬＨ｡ｾ＠
.Jlail(
aan 'lVponal(anl(u yang tercinta
RINGKASAN
SYAMSUL BAHRI. Aigoritma Penentuan Lintasan Terpendek untuk Semua Pasangan SimpuI (The
Shortest Path Determination Algorithm for All-Pairs Vertex). Dibimbing oleh AMRIL AMAN dan
PRAPTO 1RI SUPRIYO.
Graf merupakan pasangan terurut (V,E), dimana V adalah himpunan tak kosong dan terbatas
yang anggotanya disebut simpul (vertex) dan E adalah himpunan sisi (edge). Hubungan antara simpul
dan sisi tersebut membentuk suatu jaringan (network). Selanjutnya, dari jaringan tersebut dapat
ditentukan lintasan(path) yang dilalui untuk suatu pasangan simpul, tetapi masalah yang penting dalam
hal ini adalah menentukan Iintasan terpendek (shortest path) di antara Iintasan-Iintasan yang mungkin
dari pasangan simpuI tersebut. Hal ini menarik, karena berkaitan dengan masalah pengoptimuman,
antara lain meminimumkan biaya dan efisiensi waktu yang digunakan.
Ada dua kelas permasalahan lintasan terpendek, yaitu masalah Iintasan terpendek satu pasangan
simpuI dan masalah lintasan terpendek untuk semua pasangan simpul. Beberapa algoritma telah
dikembangkan untuk menyelesaikan masalah ini ; masing-masing algoritma memiliki penampiJan yang
berbeda dalam menyelesaikan suatu permasalahan tertentu. Kelebihan suatu algoritma dibandingkan
dengan algoritma lainnya, antara lain ditentukan oleh struktur dan efisiensi dari algoritma tersebut.
Salah satu penentu efisiensi dari suatu algoritma adalah banyaknya langkah yang dibutuhkan oleh
suatu program yang menggunakan algoritma tersebut dalam menyelesaikan suatu masalah yang
berukuran n.
Masalah Iintasan terpendek untuk semua pasangan simpul dapat diselesaikan antara lain dengan
menggunakan a1goritma Floyd atau algoritma Dijkstra secara berulang-ulang untuk setiap simpul
sebagai sumber. Pada kasus terburuk (worst case), algoritma Dijkstra dapat menyelesaikan masalah
Iintasan terpendek untuk semua pasangan simpul dengan waktu eksekusi O(n'), dimana n adalah
banyaknya simpuI pada suatu jaringan. Untuk masalah yang sarna algoritma Floyd hanya membutuhkan
waktu eksekusi O(n'). OIeh karena itu, a1goritma Floyd lebih efisien dibandingkan a1goritma Dijkstra
dalam menyelesaikan masalah lintasan terpendek untuk semua pasangan simpuI, jika ditinjau pada
kasus terburuk.
ALGORITMA PENENTUAN LINTASAN TERPENDEK
UNTUK SEMUA PASANGAN SIMPUL
SYAMSUL BAHRI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarj ana Sains
pada
Program Studi Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
1997
Judul
Nama
NIM
Algoritma Penentuan Lintasan Terpendek untuk Semua Pasangan
Simpul
Syamsul Bahri
G30.0326
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
ｾ＠
Dr.
Drs. Prapto Tri Supriyo
Pembimbing II
Program Studi
Tanggal Lu Ius
29 NOV 1997
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bima pada tanggal 8 Pebruari 1975 sebagai anak ketiga dari enam
bersaudara, anak dari pasangan M. Said Yusuf dengan Uneng.
Tahun 1993 penulis lulus dari SMA Negeri Sila dan pada tahun yang sama diterima pada
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Aiam, Institut Pertanian Bogor
melalui Jalur Seleksi Masuk IPB (USMI).
Selama mengikuti perkuliahan di IPB, penulis selain aktif kuliah juga aktif pada
organisasi kemahasiswaan di IPB antara lain Senat Mahasiswa FMIPA, Badan Perwakilan
Mahasiswa (BPM) FMIPA dan Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (GUMATIKA) serta
Keluarga Muslim Matematika (KAMUSTIKA). Penulis juga pernah menjadi Asisten Pendidikan
Agama Islam (PAI) pada tahun ajaran 199611997.
Selain kuliah, penulis juga belajar di
Pesantren Mahasiswadan SaIjana Ulil Albaab - Bogor (1995-1997).
Pada akhir masa perkuliahan, penulis melaksanakan Praktek KeIja Lapang (PKL) pada
PT. UNINET BHAKTINUSA yaitu pada UniINTERNET Service Provider, dengan judul
"Penerapan Aigoritma Dijkstra untuk Menentukan Rute Terpendek pada Jaringan Internet".
PRAKATA
AJhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT, atas segala rahmat dan karunia-Nya
sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Karya ihniah ini beIjudul "Algoritma
Penentuan Lintasan Terpendek untuk Semua Pasangan Simpul".
Terima kasih penulis ucapkan kepada berbagai pihak yang telah membantu dalam
penyelesaian karya ilmiah ini, antara lain Bapak Dr. Ir. Arnril Arnan, MSc dan Bapak Drs. Prapto
Tri Supriyo selaku dosen pembimbing serta Ibu Ir. Sri Nurdiati, MSc. sebagai dosen penguji.
Disamping itu, terima kasih juga kepada Bapak Drs. KH. Didin Hafidhuddin, MSc. dan semua
Ustadz serta Rochmadi, Asep, Yayat, Agus, Didin, OP dan rekan-rekan santri di PP. UIil Albaab,
yang telah memberikan motivasi selama penulis di pesantren UIil Albaab khususnya. T ak lupa
pula, penulis mengucapkan terima kasih kepada Fauzy, Dede, Ardi, Djoni dan rekan-rekan
angkatan 30 khususnya serta semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian karya ihniah
ini baik secara langsung ataupun tidak langsung. Ucapan terima kasih dan penghargaan yang
setinggi-tingginya kepada Bapak, Ibu, Kakak, Adik dan semua keluarga yang telah memberikan
do' a dan restunya kepada penulis selama masa perkuliahan hingga selesainya karya ihniah ini.
Akhimya semoga karya ihniah ini bermanfaat bagi pengembangan ilmu pengetahuan
pada umumnya dan penerapan teori graf pada masalah lintasan terpendek pada khususnya.
Bogor, November 1997
Penulis
DAFTAR lSI
Halaman
DAFfAR TABEL
vi
DAFfAR GAMBAR
vi
PENDAHULUAN
I
Latar Belakang
Tujnan Penelitian
1
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
Graf
Teorema Lintasan Terpendek ............................................................................ .
Analisis Algoritma
.......... " ......................... " .......................... , ..................... .
1
2
3
PERUMUSAN MASALAH
4
ALGORlTMA FLOYD
4
Struktur dan Solusi RekursifLintasan Terpendek
.. , ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ....
Penentuan Bobot Lintasan Terpendek ................. ' .......................... ' ... ... ... ... ... ... ....
Penentnan Lintasan Terpendek .................................................... " ... ....... ... ... .....
Langkah-Langkah Algoritma Floyd
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ........ ...... ... ...
Contoh Kasus
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . ... . .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... .....
Analisis Algoritma Floyd
... ... ... ... ... ... . .. . .. ... ... ... ... ... ... . .. ... ... . .. ... ... ... . .. .. ... ... ... . ...
ALGORlTMA DlJKSTRA
5
6
6
7
7
Proses Pelabelan Algoritma Dijkstra
........................................... " ... ... ... . .. ... ......
.............. ' .......................... ' ... ... ... ... ... ... ....
Langkah-Langkah Algoritma Dijkstra
Penentuan Lintasan Terpendek
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .....
................ ,...................................................... ' ... ... ... ... ... . ......
Contoh Kasus
Analisis Algoritma Dijkstra
PENERAPAN ALGORlTMA FLOYD
KESlMPULAN DAN SARAN
4
5
8
8
8
8
9
9
........ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....... ... ... ...... ... ... ... ... 11
Kesimpulan ................................................. " ......................... ' . ... ... . .. ... ... .. . . ..
Saran ............... ............ ......... ...... ......... ... ......... ......... ............... ....................
DAFfARPUSTAKA
LAMPIRAN
Program untuk Menentukan Lintasan Terpendek untuk Semua Pasangan Simpul
Berdasarkan Algoritma Floyd
II
11
12
DAFTAR TABEL
Halaman
I.
2.
3.
Jarak antar Kota-Kola di Polau Jawa (dalam km)
..... , .......... ,. ... ... ... ... ... ...... ... ... ...... 10
Jarak Tetpendek antar Setiap Pasangan Kota (dalam km) HasiI Aigoritma Floyd
.. , ...... ... ... 10
Kola Kedua yang DiIalui oleh Lintasan dari Kola i ke Kola j
................" ........... ' ...........' . 11
DAFTAR GAMBAR
I.
2.
3.
4.
5.
Halaman
Graf dengan 6 Simpul
................ , ..................... , .......... " ............................... " 1
Digraf dengan 6 Simpul
............................................................................... " 1
............. , ................................ , ........... ' . .. . ... ..... 2
D igraf dengan VI sebagai Sumber
Lintasan Tetpendek dari Vike Vj dengan Vk sebagai Simpul Antara
.................... ' ... ......... 5
Digraf dengan 5 Simpul
......................... ,. ... ... ... ...... ... ...... ... ...... ... ... ... ... ...... .... 6
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Hubungan antara objek yang ada di sekitar kita
merupakan hal yang sering kita amati, seperti
hubungan antara kota-kota dalam atlas, struktur
organisasi pada suatu lembaga, hubungan antara
komputer-komputer
pada
suatu
jaringan
(LANfWAN) dan sebagainya.
Fenomena tersebut secara abstrak dapat
digambarkan dengan suatu graf (graph), dimana
kota-kota, unit dalam organisasi, komputer pada
suatu jaringan atau yang sejenisnya digambarkan
sebagai simpul (vertex). Sedangkan jalan yang
menghubungkan antar kota, kabel/media yang
menghubungkan antar komputer atau yang
sejenisnya digambarkan sebagai sisi (edges).
Masalah lintasan terpendek (shortest path)
merupakan masalah kIasik yang sering kita jumpai
dalam kehidupan sehari-hari di bemagai sektor
kehidupan, antara lain di bidang transportasi,
komunikasi dan komputasi. Masalah ini menjadi
masalah yang penting, karena berkaitan dengan
masalah meminimumkan biaya atau efisiensi
waktu yang dibutuhkan.
Masalah lintasan terpendek untuk semua
pasangan simpul (the all-pairs shortest path)
adalah masalah menentukan lintasan terpendek
atau jarak terpendek untuk setiap pasangan simpul
yang ada, sehingga tercapai optimalitas fungsi
tujuan (objektif) tertentu.
Untuk menyelesaikan masalah ini, ada
beberapa algoritma yang dapat digunakan seperti
algoritrna Dijkstra, aigoritma Bellman-Ford,
algoritma Johnson, algoritma Floyd dan lain
sebagainya.
Pada prakteknya tidak semua algoritrna itu
efektif untuk diterapkan atau diimplementasikan
pada suatu masalah tertentu. Hal ini disebabkan
karena setiap algoritrna mempunyai penampilan
yang beIbeda dalam menyelesaikan suatu masalah.
Kelebihan suatu algoritma dibandingkan dengan
algoritrna lainnya, antara lain ditentukan oleh
struktur dan efisiensi dati algoritrna tersebut.
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mempelajari dan
membandingkan efisiensi antara algoritrna Floyd
dan Dijkstra dalam menentukan lintasan
terpendek semua pasangan simpul pada suatu graf
berarah terbobot berdasarkan banyaknya langkah
yang diperJukan untuk menyelesaikan suatu
masalah pada kasu. terburuk.
TlNJAUAN PUSTAKA
Teori graf (graph theory) merupakan salah
satu topik dalam matematika yang peneraparmya
dapat menyelesaikan berbagai masalah nyata di
berbagai bidang seperti ekonomi, industri,
transportasi, sains dan lain sebagainya. Beriknt
akan dijelaskan teori-teori dasar graf yang
mendasari masalah lintasan terpendek
Graf
Suatu graf G adalall suatu pasangan terurut
(V,E), dimana V adalah suatu himpunan tak
kosong dan terbatas yang anggotanya disebut
simpul (vertex) dan E adalah himpnnan sisi (edge)
[Foulds, 1992]. Gambar la beriknt menunjukkan
sebuah graf dengan 6 simpul dan IO sisi.
Gambar lao Graf dengan 6 simpul
Pada Gambar la di atas, graf G terdiri atas 6
simpuI yaitu VI • V2 , V3 , V4 , Vs , V6 dan 10 sisi
yaitu el ,e2 • e3 , ., • elO_
Gambar lb. Digraf dengan 6 simpul