Persamaan Diferensial KAJIAN TEORI

11

C. Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial merupakan ilmu matematika yang dapat digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalah fisis merupakan masalah yang berkaitan dengan hukum alam yang dibahas dalam ilmu fisika. Masalah fisis tersebut dapat dipahami sebab akibatnya apabila dibentuk dalam model persamaan diferensial. Berikut definisi tentang persamaan diferensial. Definisi 2.5 Ross, 1984 : 3 Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan-turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial menurut variabel bebasnya dibagi dalam dua kelas yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Definisi 2.6 Ross, 1984 : 4 Persamaan diferensial biasa PDB adalah suatu persamaan yang memuat turunan-turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas. Definisi 2.7 Ross, 1984 : 4 Persamaan diferensial parsial PDP adalah suatu persamaan yang memuat turunan-turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap dua atau lebih variabel bebas. Berikut diberikan definisi persamaan diferensial parsial PDP homogen dan persamaan diferensial parsial PDP nonhomogen. 12 Definisi 2.8 Ross, 1984 : 717 Persamaan Diferensial Parsial PDP linear orde dua dengan variabel bebas dan didefinisikan sebagai G Fu t u E x u D t u C t x u B x u A                  2 2 2 2 2 2.1 dengan A, B, C, D, E, F, dan G merupakan fungsi-fungsi atas variabel dan . Jika  G maka PDP tersebut homogen, sedangkan jika  G maka PDP tersebut nonhomogen. Definisi 2.9 Ross, 1984 : 720 Persamaan Diferensial Parsial PDP linear homogen orde dua 2 2 2 2 2                  Fu t u E x u D t u C t x u B x u A 2.2 dengan A, B, C, D, E, dan F merupakan konstanta real, maka persamaan 2.2 dapat diklasifikasikan menjadi 3 tipe sebagai berikut: 1. PDP dikatakan hiperbolik jika Persamaan 2.2 memenuhi 4 2   AC B , 2. PDP dikatakan parabolik jika Persamaan 2.2 memenuhi 4 2   AC B , 3. PDP dikatakan elliptik jika Persamaan 2.2 memenuhi 4 2   AC B . Berikut beberapa contoh dari Definisi 2.8 dan Definisi 2.9 a. x y u x x u cos 2 2 2       merupakan PDP linear orde dua yang non homogen. 13 b. Persamaan telegraf 2 2 2 2 2 2 x u u t u t u             , ,     merupakan PDP hiperbolik, karena 4 4 2 2     AC B . c. Persamaan panas t u x u k      2 2 dengan  k merupakan PDP parabolik, karena 4 2   AC B . d. Persamaan Laplace 2 2 2 2       y u x u merupakan PDP elliptik, karena 4 4 2     AC B .

D. Persamaan Karakteristik