Inner Vertex Exponents Of A Class Two-Colored Digraph On Odd Vertices

EKSPONEN TITIK MASUK DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWI-WARNA
EKSPONEN TITIK DARI SEBUAH KELAS DIGRAPH DWIWARNA
DENGAN N-TITIK GANJIL
DENGAN SATU LOOP
SKRIPSI
KARSITTIKI ASADEHWAIRPAUTRI 090803072 090803001
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara

EKESKPSOPONNENENTTITITIKIKDDAARRII SSEEBBUUAAHH KKEELLAASS DDIIGGRRAAFPDHWDIW-WIWARANRANA DEDNEGNAGNAN-STAITTIUK GLOAONPJIL
SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
SITI SAHARA KARTIKA DEWI PUTRI
090098008303000712
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara

PERSETUJUAN

i

Judul

: EKSPONEN TITIK MASUK DARI SEBUAH KELAS

DIGRAF DWIWARNA DENGAN N-TITIK GANJIL

Kategori

: SKRIPSI

Nama

: KARTIKA DEWI PUTRI

Nomor Induk Mahasiswa : 090803072

Program Studi

: SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen

: MATEMATIKA

Fakultas

: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

(FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Medan, November 2013

Komisi Pembimbing : Pembimbing 2

Pembimbing 1

Dr. Mardiningsih, M.Si NIP.19630405 198811 2 001
Diketahui oleh : Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP.19640109 198803 1 004

Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002

Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN

ii

EKSPONEN TITIK MASUK DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA DENGAN N-TITIK GANJIL

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, November 2013
KARTIKA DEWI PUTRI 090803072

Universitas Sumatera Utara

iii
PENGHARGAAN
Segala puji dan syukur bagi Tuhan semesta alam, Allah SWT yang melimpahkan rahmat dan ridho-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”EKSPONEN TITIK MASUK DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA DENGAN N-TITIK GANJIL” ini dengan baik. Shalawat beriring salam kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabat.
Terima kasih penulis ucapkan kepada semua pihak yang telah membantu, memotivasi, dan mendo’akan penulis dari awal penulisan hingga selesai penulisan skripsi ini, yaitu kepada
1. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Medan.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II, yang telah banyak membantu penulis dan memberikan dukungan baik berupa nasihat, motivasi maupun ilmu pengetahuan kepada penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Dosen Pembanding I, dan Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II, yang telah memberikan nasehat, kritik dan saran yang membangun selama penelitian.
4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara, Medan.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ibunda Rahmawati dan Ayahanda Zainal Arifin yang begitu sabar membimbing, mendo’akan dan memberikan dukungan moril maupun materil serta motivasi kepada penulis untuk segera menyelesaikan skripsi ini. Kepada Kakanda Ayu Wardhani, yang senantiasa menyemangati penulis. Mardhatillah dan Siti Sahara yang senantiasa saling memotivasi, saling mendo’akan dan saling membantu dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Kak Laras, Kak Linda, Kak Nurul, Jundi, Bakti, Lukas, Panca, Fitri, Izzati, Vela, Ade, Mantari, Matematika 2009, IM3 dan rekan-rekan lainnya. Semoga Allah SWT memberi balasan atas bantuan yang telah diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu saran dan kritik yang membangun dari pembaca sangat diperlukan. Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan ini bermanfaat.
Medan, November 2013 Penulis KARTIKA DEWI PUTRI
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

iv

Sebuah digraf dwiwarna D(2) adalah primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif

s dan t sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat (s, t)-walk dari

u ke v. Bilangan bulat positif s + t terkecil dari semua bilangan bulat tak negatif

s dan t yang demikian disebut eksponen dari digraf dwi-warna D(2) dan dinotasikan

dengan exp(D(2)). Misalkan v adalah sebarang titik di D(2). Eksponen titik masuk

dari titik v pada D(2) adalah bilangan bulat positif terkecil s + t sehingga untuk setiap

titik u di D(2) terdapat (s, t)-walk dari titik u ke titik v, dinotasikan dengan expin(v).

Tulisan ini mendiskusikan eksponen titik masuk dari sebuah kelas digraf dwi-warna

primitif D(2) atas n ≥ 5 titik yang terdiri dari n-cycle v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1

dan

n−1 2

-cycle

v1

→ v2

→ v3

→ ···

→ v n+1 2

→ v1

dengan

tiga

arc biru,

vn

→ v1

,

v n+1 → v n+3 and v n+1 → v1. Diperlihatkan bahwa eksponen titik masuk dari sebarang

22

2

titik

vk

di

D(2)

adalah

expin(vk)

=

1 2

(n2

−

n

+

2k

−

2)

for

k

=

1, 2, · · · , n

Kata kunci : Digraf dwi-warna, primitif, eksponen dan eksponen titik masuk.

Universitas Sumatera Utara

v
INNER VERTEX EXPONENTS OF A CLASS TWO-COLORED DIGRAPH ON ODD VERTICES

ABSTRACT

A two-colored digraph D(2) is primitive provided there are nonnegative integer s and

t such that for each pair of vertices u and v there exsist a (s, t)-walk from vertex u to

vertex v. The smallest positive integer s + t taken over all such nonnegative integers

s and t is the exponent of a two-colored digraph D(2), denoted by exp(D(2)). Let v

be a vertex of D(2). The inner vertex exponent v is the smallest positive integer s + t

such that for every vertex u in D(2) there is an (s, t)-walk from u to v, denoted by

expin(v). This paper discuss inner vertex exponent of primitive two colored-digraph

D(2) on n ≥ 5 vertices consisting n-cycle v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1 and

n−1 2

-

cycle v1 → v2 → v3 → · · · → v n+1 with three blue arcs, vn → v1 , v n+1 → v n+3 and

2 22

v n+1 2

→

v1.

The

inner

vertex

exponent

of

vk

in

D(2)

is

expin(vk)

=

1 2

(n2

−

n

+

2k

−

2)

for k = 1, 2, · · · , n

Key words : Two-colored digraph, primitive, exponent and inner vertex exponent

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian

vi
Halaman i ii
iii iv v vi vii
1 3 3 3

BAB 2 DIGRAF DWI-WARNA PRIMITIF
2.1 Definisi 2.2 Matriks Adjacency 2.3 Primitifitas 2.4 Matriks Tak Negatif dan Eksponen Digraf Dwi-warna 2.5 Eksponen Titik Masuk Digraf dan Digraf Dwi-warna 2.6 Sistem Persamaan Diophantine 2.7 Formula Eksponen Titik Masuk Digraf Dwi-warna

4 6 9 11 18 21 22

BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Komputasi Nilai Eksponen Titik Masuk 3.1 Pembuktian Nilai Eksponen Titik Masuk

26 26

BAB 4 EKSPONEN TITIK MASUK DIGRAF DWI-WARNA PRIMITIF
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan 5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA

28
34 35 49

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

vii

Gambar
1.1 Digraf Dwi-warna Primitif 2.1 Digraf 2.2 Digraf Dwi-warna 2.3 Digraf dengan 6 titik dan 8 arc 2.4 Digraf dwi-warna dengan 6 titik 8 arc 2.5 Digraf terhubung kuat dan tidak terhubung kuat 2.6 Digraf dwi-warna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat 2.7 Digraf dwi-warna terhubung kuat dan primitif 2.8 Digraf dwi-warna dengan 4 titik dan 5 arc

Halaman
3 5 6 7 8 9 10 11 16

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

iv

Sebuah digraf dwiwarna D(2) adalah primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif

s dan t sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat (s, t)-walk dari

u ke v. Bilangan bulat positif s + t terkecil dari semua bilangan bulat tak negatif

s dan t yang demikian disebut eksponen dari digraf dwi-warna D(2) dan dinotasikan

dengan exp(D(2)). Misalkan v adalah sebarang titik di D(2). Eksponen titik masuk

dari titik v pada D(2) adalah bilangan bulat positif terkecil s + t sehingga untuk setiap

titik u di D(2) terdapat (s, t)-walk dari titik u ke titik v, dinotasikan dengan expin(v).

Tulisan ini mendiskusikan eksponen titik masuk dari sebuah kelas digraf dwi-warna

primitif D(2) atas n ≥ 5 titik yang terdiri dari n-cycle v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1

dan

n−1 2

-cycle

v1

→ v2

→ v3

→ ···

→ v n+1 2

→ v1

dengan

tiga

arc biru,

vn

→ v1

,

v n+1 → v n+3 and v n+1 → v1. Diperlihatkan bahwa eksponen titik masuk dari sebarang

22

2

titik

vk

di

D(2)

adalah

expin(vk)

=

1 2

(n2

−

n

+

2k

−

2)

for

k

=

1, 2, · · · , n

Kata kunci : Digraf dwi-warna, primitif, eksponen dan eksponen titik masuk.

Universitas Sumatera Utara

v
INNER VERTEX EXPONENTS OF A CLASS TWO-COLORED DIGRAPH ON ODD VERTICES

ABSTRACT

A two-colored digraph D(2) is primitive provided there are nonnegative integer s and

t such that for each pair of vertices u and v there exsist a (s, t)-walk from vertex u to

vertex v. The smallest positive integer s + t taken over all such nonnegative integers

s and t is the exponent of a two-colored digraph D(2), denoted by exp(D(2)). Let v

be a vertex of D(2). The inner vertex exponent v is the smallest positive integer s + t

such that for every vertex u in D(2) there is an (s, t)-walk from u to v, denoted by

expin(v). This paper discuss inner vertex exponent of primitive two colored-digraph

D(2) on n ≥ 5 vertices consisting n-cycle v1 → v2 → v3 → · · · → vn → v1 and

n−1 2

-

cycle v1 → v2 → v3 → · · · → v n+1 with three blue arcs, vn → v1 , v n+1 → v n+3 and

2 22

v n+1 2

→

v1.

The

inner

vertex

exponent

of

vk

in

D(2)

is

expin(vk)

=

1 2

(n2

−

n

+

2k

−

2)

for k = 1, 2, · · · , n

Key words : Two-colored digraph, primitive, exponent and inner vertex exponent

Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Penelitian

Salah satu bentuk penerapan matriks primitif telah dilakukan oleh Google Search

Engine untuk proses meranking website. Parameter yang digunakan adalah vektor

eigen dari matriks H. Matriks H adalah matriks yang tiap barisnya merupakan

normalisasi

hyperlink

dengan

Hij

=

1 Pi

,

dengan

Pi

adalah

banyak

link

dari

hala-

man web, atau yang direpresentasikan sebagai titik, dari i dan 0 jika tidak terdapat

link. Parameter lain yang mendukung adalah eksponen dari digraf primitif yang

bersesuaian (Langville dan Meyer, 2006).

Misalkan A adalah matriks n×n tak negatif, yaitu setiap unsur di A bernilai tak negatif. A dikatakan primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat positif k sedemikian hingga setiap unsur di Ak adalah positif. Nilai terkecil dari k yang demikian disebut eksponen dari A, dinotasikan dengan exp(A).

Studi tentang eksponen dari matriks tak negatif A biasanya dilakukan melalui digraf D yang bersesuaian dengan A. Digraf D adalah digraf dengan ntitik sehingga terdapat arc vi → vj di D jika dan hanya jika aij > 0, aij ∈ A. Sebuah digraf D terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik (vi, vj) di D terdapat walk berarah (directed walk) dari vi ke vj dan dari vj ke vi. Digraf D primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat positif m dimana ada sebuah walk dengan panjang m dari setiap pasang titik di D. Minimum m adalah eksponen dari D, dinotasikan dengan exp(D). Jika terdapat walk dengan panjang l yang menghubungkan titik vi ke setiap titik di D, maka nilai terkecil l disebut sebagai eksponen titik keluar dari D, dinotasikan dengan expoutD(vi). Jika terdapat walk dengan panjang l yang menghubungkan setiap titik di D ke titik vi, maka nilai terkecil l yang demikian disebut sebagai eksponen titik masuk dari D, dinotasikan dengan expinD(vi).

1

Universitas Sumatera Utara

2
Digraf dengan arc yang diwarnai dengan merah atau biru, namun tidak keduanya pada satu arc sekaligus disebut digraf dwi-warna, dinotasikan sebagai D(2) (Fornasini dan Valcher, 1997). Digraf dwi-warna adalah primitif dengan syarat terdapat bilangan bulat tak negatif s dan t sehingga untuk setiap pasangan yang tidak harus berbeda titik vi dan vj terdapat sebuah walk (s, t) di D(2) dari vi ke vj, dengan masing-masing s dan t adalah panjang walk berwarna merah dan biru. Eksponen dari digraf dwi-warna primitif D(2) adalah bilangan bulat positif terkecil dari s + t dari semua jumlahan yang mungkin dari bilangan bulat tak negatif s dan t. Eksponen titik keluar dari digraf dwi-warna primitif adalah bilangan bulat positif terkecil p + q sedemikian hingga terdapat walk (p, q) dari titik vi ke setiap titik di D(2) , dinotasikan dengan expoutD(2)(vi). Eksponen titik masuk dari digraf dwi-warna primitif adalah bilangan bulat positif terkecil m + n sedemikian hingga terdapat walk (m, n) dari setiap titik di D(2) ke titik vi di D(2) , dinotasikan dengan expinD(2)(vi).
Penelitian mengenai eksponen dari digraf dwi-warna dimulai oleh Shader dan Suwilo (2003). Sejak saat itu, penelitian yang berkaitan dengan eksponen digraf dwi-warna mengalami perkembangan. Salah satunya penelitian mengenai eksponen dari sebuah kelas digraf dwi-warna yang dilakukan oleh Bai dan Shao (2007). Diperlihatkan batasan eksponen digraf pada sebuah digraf dengan n-titik ganjil yang memuat cycle v1 → v2 → v3 → ... → vn → v1 dan memuat arc vn → v n+1 . Eksponen titik mulai diperkenalkan oleh Gao dan Shao (2009). Diper-
2
lihatkan eksponen titik keluar dari setiap titik pada digraf dwi-warna Wielandt, yaitu digraf dengan n ≥ 3 titik yang memuat cycle vn → vn−1 → ... → v2 → v1 → vn dan memuat arc v1 → vn−1. Penelitian mengenai eksponen titik keluar pada sebuah kelas digraf Hamilton dwi-warna juga telah dilakukan oleh Syahmarani dan Suwilo (2012). Diperlihatkan batasan dari eksponen titik keluar dari digraf Hamilton dwi-warna primitif L(n2) dengan n ≥ 5 titik yang memuat cycle v1 → vn → vn−1 → ... → v2 → v1 dan memuat arc v1 → vn−1.
1.2 Perumusan Masalah
Universitas Sumatera Utara

3

Andaikan D(2) adalah digraf dwi-warna yang terdiri dari n-titik ganjil dimana

n ≥ 5, dengan 3 arc biru pada arc vn → v1, v n+1 → v1, v n+1 → v n+3 dan arc

2 22

lainnya

berwarna

merah,

serta

memuat

cycle

dengan

panjang

n

dan

n+1 2

.

Masalah

dari penelitian ini adalah siapa eksponen titik masuk dari digraf dwi-warna seperti

pada Gambar 1.1 berikut.

Gambar 1.1 Digraf Dwi-warna Primitif 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah untuk mendapatkan pola dari eksponen titik masuk digraf dwi-warna dengan n-titik ganjil seperti pada Gambar 1.1. 1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat menambah referensi mengenai teori graf dalam menentukan pola eksponen titik pada digraf dwi-warna dengan n-titik ganjil.
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 DIGRAF DWI-WARNA PRIMITIF
Pada Bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. konsep dasar yang dimaksud adalah yang berkaitan dengan permasalahan dalam penelitian ini seperti keterhubungan, primitifitas, eksponen dan eksponen titik masuk dari digraf dan digraf dwi-warna.
2.1 Definisi
Pada subbab ini akan diberikan definisi tentang digraf dan digraf dwi-warna serta notasi-notasi yang akan dipergunakan dalam pembahasan selanjutnya.
2.1.1 Digraf Graf adalah himpunan tak kosong dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis. Jika garis yang menghubungkan titik-titik tersebut diberikan arah, maka disebut sebagai digraf, dan dinotasikan sebagai D. Dengan kata lain, sebuah digraf D terdiri dari dua himpunan, yaitu :
1. Himpunan titik yang dinotasikan dengan V = {v1, v2, v3, · · · , vn} dengan i adalah bilangan bulat positif dan vi adalah elemen dari himpunan V , n(V ) = 0.
2. Himpunan E yang merupakan himpunan pasangan berurut V × V yang tak harus berbeda dari semua titik, elemen dari E disebut arc dari digraf D.
Jika diberikan notasi E = (v1, v3) berarti terdapat sebuah arc dari titik v1 ke v3 atau dapat dituliskan dengan notasi v1 → v3.
Contoh 2.1.1 Himpunan titik V = {v1, v2, v3, v4} dan himpunan arc E = {(v1, v2), (v2, v3), (v3, v4), (v3, v1), (v4, v3)} adalah sebuah digraf dengan 4 titik dan 5 arc, dan dinotasikan dengan D(4, 5). D dapat direpresentasikan seperti berikut.
4
Universitas Sumatera Utara

5
Gambar 2.1 Digraf Andaikan suatu digraf D dengan n titik, dengan u dan v adalah titik di D. Suatu walk dengan panjang m dari u dan v adalah suatu barisan arc di D dalam bentuk v0 → v1 → v2 → · · · → vm dengan m ≥ 0, v0 = u dan vm = v. Jika u = v maka walk tersebut dikatakan walk tertutup dan jika u = v maka walk tersebut dikatakan walk terbuka. Suatu path adalah walk dengan titik yang tidak berulang, tetapi titik awal dan titik akhir boleh berulang yang disebut path tertutup. Suatu path tertutup u → v disebut dengan cycle dan cycle dengan panjang 1 disebut loop. Berikut penjelasan berdasarkan Gambar 2.1
1. Barisan arc v1 → v2 → v3 → v1 → v2 → v3 → v4 disebut walk dari v1 ke v4 2. Barisan arc v1 → v2 → v3 → v4 disebut path dari v1 ke v4 3. Barisan arc v1 → v2 → v3 → v1 disebut path tertutup atau cycle
2.1.2 Digraf Dwi-warna Digraf dengan arc yang diwarnai dengan merah atau biru, namun tidak keduanya pada satu arc sekaligus disebut digraf dwi-warna, dinotasikan dengan D(2) (Fornasini dan Valcher, 1997). Sebuah arc merah dari titik u ke titik v akan dinotasikan dengan u →r v dan arc biru dari titik u ke titik v dinotasikan dengan u →b v.
Contoh 2.1.2 Himpunan titik V = {v1, v2, v3, v4} dan himpunan arc merah A = {(v2, v3), (v3, v1), (v4, v3)} dan himpunan arc biru B = {(v!, v2), (v3, v4)} adalah sebuah digraf dengan 4 titik dan 5 arc, dan dinotasikan dengan D(4, 5). D dapat direpresentasikan seperti berikut.
Universitas Sumatera Utara

6

Gambar 2.2 Digraf Dwi-warna

Sebuah (s, t)-walk pada digraf dwi-warna D(2) adalah sebuah walk yang terdiri dari s buah arc merah dan t buah arc biru. Andaikan sebuah walk w, dengan r(w) dan b(w) masing-masing adalah banyak arc merah dan arc biru pada walk w, maka dapat dinotasikan sebagai l(w) = r(w) + b(w) atau dapat direpresentasikan dalam bentuk vektor, yaitu r(w) .
b(w)
Suatu path adalah walk dengan titik yang tidak berulang, tetapi titik awal dan titik akhir boleh berulang yang disebut path tertutup. Suatu path tertutup u → v disebut dengan cycle dan cycle dengan panjang 1 disebut loop, dengan komposisi
1 atau 0 . 01
Berikut adalah penjelasan berdasarkan Gambar 2.2.
1. v1 →b v2 →r v3 →r v1 →b v2 →r v3 →b v4 adalah walk dari v1 ke v4 dengan komposisi 3 . 2

2. v1 →b v2 →r v3 →b v4 adalah path dari v1 ke v4 dengan komposisi

1. 2

3. v1 →b v2 →r v3 →r v1 adalah path tertutup atau cycle dengan komposisi

2. 1

2.2 Matriks Adjacency Sebuah digraf D atau digraf D(2) dapat direpresentasikan dalam (0,1)-matriks,

Universitas Sumatera Utara

7

yaitu matriks yang elemennya adalah 0 atau 1, yang disebut sebagai matriks adjacency.

2.2.1 Matriks Adjacency Digraf Sebuah matriks adjacency dari digraf dengan n-titik adalah matriks berordo n A(D) = [aij] dengan



1 aij =

jikaterdapatarc darivikevj ,

0 sebaliknya.

Contoh 2.2.1 Berikut ini adalah representasi digraf yang terdiri dari 6 titik dan 8 arc. Dari digraf berikut dapat dibentuk sebuah matriks adjacency dengan memperhatikan arc yang menghubungkan titik-titik pada digraf tersebut.

Gambar 2.3 Digraf dengan 6 titik dan 8 arc

Matriks adjacency dari digraf di atas adalah sebagai berikut.

 010000

 

0

0

1

0

0

0

 



A(D)

=

 

0

0

1

1

0

0 

 

0

0

0

0

1

0

 

 0 0 0 0 0 1



101000

2.2.2 Matriks Adjacency Digraf Dwi-warna Matriks adjacency dari sebuah digraf dwi-warna dengan n-titik dibagi menjadi

Universitas Sumatera Utara

8
dua, yaitu matriks adjacency berorde n untuk arc merah R = [rij] dan matriks adjacency untuk arc biru B = [bij] dengan ketentuan sebagai berikut.



1, R = [rij] =

jikaterdapatarcmerahdarivikevj

0, jikasebaliknya.

dan



1, B = [bij] =

jikaterdapatarcbirudarivikevj

0, jikasebaliknya.

Contoh 2.2.2 Berikut adalah digraf dwi-warna yang terdiri dari 6 titik dengan 6 arc merah dan 2 arc biru.

Gambar 2.4 Digraf dwi-warna dengan 6 titik dan 8 arc Matriks adjacency dari digraf dwi-warna di atas adalah sebagai berikut.

 010000

 000000

 

0

0

1

0

0

0

 

 

0

0

0

0

0

0

 

  

R=

 

0

0

1

1

0

0

  dan

B

=

 

0

0

0

0

0

0 

 

0

0

0

0

1

0

 

 

0

0

0

0

0

0

 

 0 0 0 0 0 0 

 0 0 0 0 0 1 

001000

100000

Universitas Sumatera Utara

9
2.3 Primitifitas
Pada subbab ini akan dibahas mengenai digraf dan digraf dwi-warna terhubung kuat dan primitifitasnya.
2.3.1 Digraf Primitif Sebuah digraf D terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik (vi, vj) di D terdapat walk berarah (directed walk) dari vi ke vj dan dari vj ke vi . Digraf D primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat positif m dimana ada sebuah walk dengan panjang m dari setiap pasang titik di D. Contoh 2.3.1 Berikut adalah contoh digraf terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.
(a) (b) Gambar 2.5 Digraf terhubung kuat dan tidak terhubung kuat Gambar 2.5(a) menunjukkan digraf terhubung kuat karena terdapat walk dari tiap pasang titik di digraf D, dan Gambar 2.5(b) menunjukkan digraf tidak terhubung kuat, karena tidak terdapat walk dari v3 ke v4.
Digraf D yang terhubung kuat dikatakan primitif , jika terdapat suatu bilangan bulat positif m sedemikian hingga untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat suatu walk dengan panjang m.
Lemma 2.3.1 Andaikan D adalah digraf terhubung kuat, maka setiap titik v di D terletak pada cycle.
Bukti Ambil sebarang titik v di digraf D dan sebarang arc dari titik u ke v di D. Karena D terhubung kuat, maka terdapat path dari titil u ke v dan path dari v ke u di D. Oleh definisi, path tertutup adalah suatu cycle, dan v adalah sebarang
Universitas Sumatera Utara

10
titik di D, maka setiap titik v di D pasti terletak pada suatu cycle.
2.3.2 Digraf Dwi-warna Primitif Sebuah digraf dwi-warna D(2) adalah terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat walk dari titik u ke titik v dan walk dari titik v ke titik u tanpa memperhatikan warna setiap arc yang dilalui. Berikut adalah contoh digraf dwi-warna D(2) terhubung kuat dan digraf dwi-warna D(2) tidak terhubung kuat.
Contoh 2.3.2 Representasi dari digraf dwi-warna terhubung kuat
(a) (b) Gambar 2.6 Digraf dwi-warna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat Gambar 2.6 memperlihatkan bahwa (a) adalah digraf dwi-warna D(2) terhubung kuat karena terdapat walk dari satu titik ke titik yang lain dan (b) adalah digraf dwi-warna D(2) yang tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v1 ke v2.
Sebuah digraf dwi-warna terhubung kuat D(2) disebut primitif jika terdapat bilangan tak negatif s dan t sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat (s, t)-walk dari u ke v. Andaikan C = {C1, C2, ..., Ct} adalah himpunan semua cycle yang terdapat di D(2) dan didefinisikan M sebagai matriks cycle dari D(2) orde 2 × t dengan setiap kolom ke-i dari M merupakan komposisi dari cycle-cycle Ci, i = 1, 2, ..., t seperti berikut
M = r(C1) r(C2) · · · r(Ct) . b(C1) b(C2) · · · b(Ct)
Sebuah digraf dwi-warna D(2) adalah primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 × 2 dari M adalah ±1 (Fonarsini dan
Universitas Sumatera Utara

11
Valcher, 1997).
Lemma 2.3.2 Andaikan D(2) adalah digraf dwi-warna terhubung kuat dengan paling sedikit satu arc setiap warna. Misalkan M adalah matriks cycle dari D(2). Digraf D(2) adalah primitif jika dan hanya jika content dari matriks M adalah 1.
Contoh 2.3.3 Representasi digraf dwi-warna terhubung kuat dan primitif

Gambar 2.7 Digraf dwi-warna terhubung kuat dan primitif.

Digraf dwi-warna D(2) pada Gambar 2.7 adalah terhubung kuat yang terdiri dari

cycle v1 →b v7 →b v6 →r v5 →r v4 →r v3 →b v2 →b v1 dengan komposisi

3 4

, dan

cycle v1 →b v5 →r v4 →r v3 →b v2 →b v1 dengan komposisi

2 3

dan maka matriks

cycle dari D(2) adalah M = 3 2 dengan det (M) = 1. Oleh karena det (M) 43
= 1, maka digraf dwi-warna terhubung kuat D(2) adalah primitif.

2.4 Matriks Tak Negatif dan Eksponen Digraf Dwi-warna Berikut ini akan dibahas pengertian matriks tak negatif dan hubungannya dengan Digraf dwi-warna D(2).

2.4.1 Matriks Tak Negatif Matriks tak negatif A merupakan sebuah matriks yang setiap entri aij dari A adalah bilangan bulat tak negatif, sebaliknya jika setiap entri aij dari matriks A adalah

Universitas Sumatera Utara

12

bilangan bulat positif maka matriks tersebut disebut matriks positif. Perhatikan dua buah matriks berikut ini.

0 1 1

9 3 1

A =  2 0 3 , matriks tak negatif; B =  5 7 2 , matriks positif.





570

611

2.4.2 Eksponen Digraf Eksponen dari sebuah digraf D merupakan bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang k dan dinotasikan dengan exp(D).

Proposisi 2.4.2 A adalah suatu matriks adjacency dari digraf D. Entri aikj dari Ak menyatakan banyak walk dari vi ke vj dengan panjang k di digraf D.

Bukti. Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraf D, maka setiap
entri (i, j) dari A menyatakan arc dari titik vi ke vj di digraf D. Ini mengakibatkan jika k = 1, maka setiap entri a1ij dari A1 menyatakan walk dari titik vi ke vj dengan panjang 1. Andaikan setiap entri a(ijk) dari Ak menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1. Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa a(ijk+1) adalah banyaknya walk dari vi ke vj dengan panjang k+1 di D dengan k ≥ 1.

Perhatikan setiap walk dari titik vi ke vj di D dengan panjang k + 1 yang
terdiri dari walk vi ke vl dengan panjang k untuk l = 1, 2, ..., n, dan dilanjutkan dengan arc dari titik vi ke vj, sehingga a(ilk) aij menyatakan walk dengan panjang k + 1 dari titik vi ke vj di D untuk k = 1, 2, ..., n. Jika tidak terdapat walk yang panjangnya k dari titik vi ke vj di D, maka a(ilk) = 0 sehingga a(ilk) aij = 0. Hal ini berakibat tidak terdapat walk yang panjangnya k + 1 dari titik vi ke vj melalui
titik vl di D sehingga diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1 dari titik
vi ke vj di D adalah

n

a(i1k)a1j + ai(2k)a2j + ... + a(ink)anj =

aiklalj

i=1

Universitas Sumatera Utara

13

karena

Ak+1 = AkA

maka

n

a(ijk) =

aiklalj

i=1

Sehingga a(ijk+1) adalah benar menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke titik vj yang panjangnya k + 1 di D. Berikut adalah contoh menentukan eksponen suatu

digraf dengan menggunakan proposisi 2.1.

Contoh 2.4.2 Perhatikan Gambar 2.5(a). Matriks adjacency dari digraf pada Gambar 2.5(a) adalah sebagai berikut

 0110

A

=

0 

0

0

1 

1 0 0 0



1000

Berdasarkan Proposisi 2.4.2, banyaknya walk dari titik vi ke titik vj dengan panjang k dinyatakan oleh entri aikj dari matriks Ak yang semuanya positif. Eksponen dari digraf D adalah bilangan positif terkecil k yang mengakibatkan matriks Ak
positif. Perhatikan matriks berikut.

 0110

a.

Untuk k = 1;

diperoleh

A1

=

0 

0

0

1 

1 0 0 0



1000

Bukan eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk

dengan panjang 1 dari titik 1 ke titik 4, titik 2 ke titik 3, titik 3 ke titik 2,

titik 4 ke titik 3 dan titik 3 ke titik 4.

 1001

b.

Untuk

k

=

2;

diperoleh

A2

=

1 

0

0

0 

0 1 1 0



0110

Bukan eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk

Universitas Sumatera Utara

14

dengan panjang 2 dari titik 1 ke titik 2, titik 1 ke titik 3, titik 2 ke titik 3, titik 2 ke titik 4 , titik 3 ke titik 4, dan titik 4 ke titik 1.

 1110

c.

Untuk

k

=

3;

diperoleh

A3

=

0 

1

1

0 

1 0 0 1



1001

Bukan eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk dengan panjang 3 dari titik 1 ke titik 4, titik 2 ke titik 4, titik 3 ke titik 1, titik 3 ke titik 2, titik 4 ke titik 2 dan titik 4 ke titik 3.

 1111

d.

Untuk

k

=

4;

diperoleh

A4

=

1 

0

0

1 

1 1 1 0



1110

Bukan eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk dengan panjang 4 dari titik 2 ke titik 3, dan titik 3 ke titik 4.

 2111

e.

Untuk

k

=

5;

diperoleh

A5

=

1 

1

1

0 

1 1 1 1



1111

Bukan eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2, karena tidak terdapat walk dengan panjang 5 dari titik 2 ke titik 4.

 2221

f.

Untuk

k

=

6;

diperoleh

A6

=

1 

1

1

1 

2 1 1 1



2111

Karena terdapat walk dengan panjang 6 dari tiap pasang titik yang ada di D, maka eksponen dari digraf pada contoh 2.4.2 adalah exp(D) = 6.

2.4.3 Eksponen Digraf Dwi-warna Pada digraf dwi-warna D(2), eksponen dari D(2) didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil s + t dari semua bilangan bulat tak negatif s dan t yang ada

Universitas Sumatera Utara

15
sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat sebuah (s, t)-walk dari u ke v yang terdiri dari s-arc merah dan t-arc biru. Eksponen dari digraf dwiwarna D(2) dinotasikan oleh exp(D(2)).
Andaikan A dan B adalah matiks tak negatif orde m. Untuk bilangan tak negatif s dan t, didefinisikan (s, t)-Hurwitz product, (A, B)(s,t) dari A dan B adalah jumlah keseluruhan matriks dari hasil perkalian A sebanyak s kali dan B sebanyak t kali. Sebagai contoh, (A, B)(1,0) = A, (A, B)(0,1) = B, (A, B)(1,1) = AB + BA dan (A, B)(2,2) = A2B2 + ABAB + AB2A + BABA + B2A2.
Lemma 2.4.3 Jika (R,B) adalah matriks adjacency dari digraf dwi-warna D(2), maka entri (i, j) dari (R, B)(s,t) adalah jumlah (s, t)-walk dari titik u ke v di D(2).
Bukti. Akan dibuktikan dengan induksi pada (s+t) dan (s+t+1), jika s = 0 maka t = 1 atau jika s = 1 maka t = 0. Jika s = 0 maka entri (i,j) dari (R, B)(0,1) = B adalah walk dengan komposisi 0 di D(2). Dengan cara yang sama, jika s = 1
1 dan t = 0 maka (R, B)(1,0) = R adalah walk dengan entri (i, j) menyatakan walk dengan komposisi 1 di D(2).
0 Anggap Lemma 2.4.3 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif s′ dan t′ dengan s′ + t′ ≤ s + t, akan diperlihatkan untuk s + t + 1 juga benar dengan catatan sebagai berikut
(R, B)(s+1,t) = R(R, B)(s,t) + B(R, B)(s+1,t−1)
dengan induksi matematika entri (i, j) pada R(R, B)(s,t) adalah walk dari vi ke vj yang dimulai dengan arc merah diikuti oleh sebuah (s, t)-walk dan entri (i, j) pada B(R, B)(s+1,t−1) adalah jumlah walk dari vi ke vj yang dimulai dengan sebuah arc biru dan diikuti oleh sebuah (s + 1, t − 1)-walk sedemikian hingga entri (i, j) dari (R, B)(s+1,t) adalah jumlah (s + 1, t)-walk dari i ke j. Perhatikan contoh berikut.
Contoh 2.4.3 Reprensentasi D(2) dengan 4 titik, 3 arc merah dan 2 arc biru
Universitas Sumatera Utara

16

Gambar 2.8 Digraf dwi-warna dengan 4 titik dan 5 arc

Matriks adjacency merah dan biru dari Gambar 2.8 adalah

 0100

 0010

R

=

0 

0

0

0 

dan

B

=

0 

0

0

1 

1 0 0 0

0 0 0 0

  

1000

0000

Berdasarkan Lemma 2.4.3, banyaknya walk dari titik i ke titik j dengan panjang s + t adalah entri (i, j) dari (R, B)(s,t) yang semuanya bernilai positif, dan (s + t) terkecil dari yang demikian adalah eksponen dari matriks (R, B)(s,t). Perhatikan matriks (R, B)(s,t) berikut Untuk s + t = 1, maka

 0100

1.

(R,

B )(1,0)

=

R

=

0 

0

0

0 

1 0 0 0



1000

 0010

2.

(R,

B )(0,1)

=

B

=

0 

0

0

1 

0 0 0 0



0000

Untuk s + t = 2, maka

 0000

1.

(R, B)(2,0) = R2

=

0 

0

0

0 

0 1 0 0



0100

Universitas Sumatera Utara

 0000

2.

(R,

B )(0,2)

=

B2

=

0 

0

0

0 

0 0 0 0



0000

 1001

3.

(R,

B )(1,1)

=

RB

+

BR

=

1 

0

0

0 

0 0 1 0



0010

dan seterusnya hingga diperoleh untuk s + t = 12, yaitu Untuk s + t = 12, maka

 0000

1.

(R,

B )(12,0)

=

R12

=

0 

0

0

0 

0 0 0 0



0000

 0000

2.

(R, B)(11,1) = R(R, B)(10,1) + BR11

=

0 

0

0

0 

0 0 0 0



0000

 0000

3.

(R,

B )(10,2)

=

R(R,

B )(9,2)

+

B(R,

B )(10,1)

=

0 

0

0

0 

0 0 0 0



0000

 0000

4.

(R,

B )(9,3)

=

R(R,

B )(8,3)

+

B(R,

B )(9,2)

=

0 

0

0

0 

0 0 0 0



0000

 1200

5.

(R,

B )(8,4)

=

R(R,

B )(7,4)

+

B(R,

B )(8,3)

=

0 

0

0

0 

4 5 0 1



4501

17

Universitas Sumatera Utara

18

 10 5 4 6

6.

(R,

B )(7,5)

=

R(R,

B )(6,5)

+

B(R,

B )(7,4)

=

  

6

5



5

4 1 3 
1 6 4 
164

Karena terdapat walk dengan panjang 12 dari tiap pasang titik pada di-
graf dwi-warna D(2), maka eksponen dari digraf dwi-warna D(2) pada Gambar 2.8 adalah exp(D2) = 12, dengan komposisi 7 yang terdiri 7 arc merah dan 5 arc
5 biru.

2.5 Eksponen Titik Masuk Digraf dan Digraf Dwi-warna

Pada subbab ini akan dibahas mengenai definisi eksponen titik masuk digraf D dan eksponen titik masuk digraf dwi-warna D(2) serta contoh bagaimana menentukan eksponen titik masuk dari digraf D dan digraf dwi-warna D(2).

2.5.1 Eksponen Titik Masuk Digraf Misalkan D adalah sebuah digraf primitif atas n titik v1, v2, ..., vn. Untuk sebarang vi di D, i = 1, 2, ..., n, eksponen titik vi yang dinotasikan dengan expinD(vi) adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga terdapat walk dengan panjang k dari setiap titik di ke titik vi di D, dan himpunan eksponen expD(X) adalah bilangan bulat positif terkecil p sehingga untuk setiap titik vj di D terdapat sebuah walk dari paling sedikit satu titik di X ke vj dengan panjang p.
Andaikan D adalah digraf primitif orde n. Jika titik-titik di D adalah (v1, v2, ..., vn) sedemikian hingga
expD(v1) ≤ expD(v2) ≤ · · · ≤ expD(vn)
maka expD(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D, dinotasikan expD(vk) (Brualdi dan Liu, 1990).
Contoh 2.5.1 Perhatikan Gambar 2.5(a).

Universitas Sumatera Utara

19

Matriks adjacency dari digraf pada Gambar 2.5(a) adalah sebagai berikut

 0110

A

=

0 

0

0

1 

1 0 0 0



1000

Berdasarkan Proposisi 2.4, eksponen titik dari D diperoleh dengan melihat entri aij dari Ak, dengan entri pada kolom ke-i harus bernilai positif. Perhatikan matriks Ak berikut

 1111

a.

Untuk k = 4;

diperoleh

A4

=

1 

0

0

1 

1 1 1 0



1110

Karena kolom pertama bernilai positif, maka expinD(v1) = 4

 2111

b.

Untuk

k

=

5;

diperoleh

A5

=

1 

1

1

0 

1 1 1 1



1111

Kolom kedua dan kolom ketiga bernilai positif, maka expinD(v2) = expinD(v3) = 5.

 2221

c.

Untuk

k

=

6;

diperoleh

A6

=

1 

1

1

1 

2 1 1 1



2111

Kolom keempat bernilai postif, maka expinD(v4) = 6.

Dengan demikian eksponen titik digraf pada Gambar 2.5(a), expinD(v1) = 4, expinD(v2) = expinD(v3) = 5, dan expinD(v4) = 6.

2.5.2 Eksponen Titik Masuk Digraf Dwi-warna Misalkan D(2) adalah digraf dwi-warna dengan V (D(2)) adalah himpunan semua titik di D(2), yaitu V (D(2) = {v1, v2, · · · , vn}. Untuk sebarang titik vk ∈ V (D(2), maka eksponen titik vk di D(2) yang dinotasikan sebagai expinD(2) (vk) adalah bilangan bulat positif terkecil r + b sedemikian hingga terdapat sebuah (r, b)-walk

Universitas Sumatera Utara

20

dari setiap titik di D(2) ke titik vk.
Andaikan D(2) adalah digraf dwi-warna primitif orde n. Jika titik-titik di D(2) adalah (v1, v2, ..., vn) sedemikian hingga
expinD(2)(v1) ≤ expinD(2)(v2) ≤ · · · ≤ expinD(2)(vk)
maka expD(2)(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen titik ke-k dari digraf dwi-warna D(2) (Gao dan Shao, 2009).

Untuk mencari eksponen titik digraf dwi-warna primitif D(2), dapat dilakukan dengan operasi (s, t)-matriks Hurwitz Product R dan B yang dapat didefinisikan secara rekurensif. Untuk bilangan bulat tak negatif terkecil s dan t, jika k adalah adalah titik di D(2), maka semua entri pada kolom ke-k dari matriks tersebut bernilai positif.

Contoh 2.5.2 Perhatikan kembali digraf dwi-warna primitif pada Contoh 2.4.3. Berikut akan dicari eksponen titik masuk dari masing-masing titik pada digraf dwi-warna D(2) pada Gambar 2.8 dengan melihat entri (i, j) dari (R, B)(s,t) pada kolom ke-i bernilai positif. Menggunakan Contoh 2.4.3 telah diperoleh matriksmatriks (R, B)(s,t), maka

 2101

a.

Untuk

s+t

=

5

dengan

(R,

B )(3,2)

=

R(R,

B)(2,2)+B(R,

B )(3,1)

=

1 

1

0

0 

1 0 1 1



1011

Karena semua entri pada kolom pertama dengan (R, B)(3,2) bernilai positif,

maka expin(v1) = 5 yang terdiri dari 3-arc merah dan 2-arc biru.

 1200

b.

Untuk s+t = 6 dengan (R, B)(4,2) =

R(R, B)(3,2)+B(R, B)(4,1)

=

0 

1

0

0 

2 1 0 1



2101

Karena semua entri pada kolom kedua dengan (R, B)(4,2) bernilai positif,

maka expin(v2) = 6 yang terdiri dari 4-arc merah dan 2-arc biru.

Universitas Sumatera Utara

21

 1021

c.

Untuk s+t = 6 dengan (R, B)(3,3) =

R(R, B)(2,3)+B(R, B)(3,2)

=

1 

0

1

1 

0 0 1 0



0010

Karena semua entri pada kolom ketiga dengan (R, B)(3,3) bernilai positif,

maka expin(v3) = 6 yang terdiri dari 3-arc merah dan 3-arc biru.

 3112

d.

Untuk s+t = 7 dengan (R, B)(4,3) =

R(R, B)(4,3)+B(R, B)(4,2)

=

2 

1

0

1 

1 0 2 1



1021

Karena semua entri pada kolom keempat dengan (R, B)(4,3) bernilai positif,

maka expin(v4) = 7 yang terdiri dari 4-arc merah dan 3-arc biru.

2.6 Sistem Persamaan Diophantine

Persamaan diophantine adalah suatu persamaan dalam bentuk

a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b

(1)

dengan solusi dari persamaan tersebut adalah bilangan bulat untuk semua bilangan bulat a1, a2 , ... , an , b. Andaikan bahwa n ≥ 1 dan koefisien-koefisien a1 , a2 ,..., an tak semuanya nol.

Teorema 2.6.1 Persamaan (1) adalah punya solusi bulat jika dan hanya jika gcd(a1, a2, ..., an) membagi b.

Sistem persamaan diophantine adalah himpunan dari m persamaan diophantine dalam n variabel yang sama dengan m dan n adalah bilangan bulat positif seperti berikut

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

(2)

Universitas Sumatera Utara

22

Sistem persamaan diophantine pada persamaan (2) dapat juga dituliskan sebagai sebuah persamaan matriks Ax = b, dimana

 a11 a12 · · · a1n 



A

=

 



a21 ...

a22 ...

··· ...

a2n ...



 

,





am1 am2 · · · amn

 x1 



x

=

 



x2 ...



 

,





xn

 b1 



b

=

 



b2 ...



 

.





bm

Kolom-kolom dari matriks A adalah koefisien-koefisien dari variabel x1, x2, ..., xn pada persamaan (2).

Teorema 2.6.2 Sistem persamaan diophantine Ax = b dari persamaan (2) memiliki solusi bilangan bulat jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 × 2 dari A adalah ±1.

2.7 Formula Eksponen Titik Masuk Digraf Dwi-warna

Pada bagian akan dibahas cara menentukan batas bawah dan batas atas eksponen titik digraf dwi-warna primitif yang memuat dua cycle sebagaimana yang ditawarkan oleh Suwilo (2011). Terlebih dahulu akan dibahas mengenai teknik untuk menentukan batas bawah eksponen titik digraf dwi-warna primitif.

Lemma 2.7.1 Andaikan D(2) adalah digraf dwi-warna primitif yang memuat dua

cycle dengan matriks cycle M =

r(C1) b(C1)

b(C2) r(C2)

. Misalkan vk adalah sembarang

titik di D(2) dan terdapat sebuah (s, t)-walk dari setiap titik vj di D(2) ke titik vk

de-ngan s = M g , maka g ≥ M −1 r(pj,k) untuk sembarang bi-

th

h

b(pj,k )

langan bulat tak negatif g, h, dan untuk suatu path p(j,k) dari vj ke vk.

Bukti Untuk sembarang 1 ≤ j ≤ n, misalkan pjk adalah path dari titik vj ke titik vk. D(2) memuat dua cycle sehingga setiap walk di D(2) dapat dituliskan seperti berikut.

Universitas Sumatera Utara

23

s = M x1 + r(pj,k) t x2 b(pj,k)

(3)

dengan x1, x2 ≥ 0. Karena D(2) primitif, maka M invertible. Menggunakan s = M g dan persamaan (3) diperoleh persamaan berikut th

M s = M x1 + r(pj,k) t x2 b(pj,k)

M x1 = M s − r(pj,k) x2 t b(pj,k)

x1 = s − M −1 r(pj,k ) ≥ 0

x2 t

b(pj,k)

sehingga s ≥ M −1 r(pj,k) dan Lemma (2.7.1) terbukti. t b(pj,k)
Dari pembuktian Lemma 2.7.1 , maka diperoleh teorema berikut.

Teorema 2.7.1 Andaikan D(2) adalah digraf dwi-warna primitif yang terdiri dari

cycle C1 dan C2. Misalkan vk adalah titik di D(2). Untuk sembarang titik vi dan

vj di D(2), didefinisikan gk = b(C2)r(pj,k) − r(C2)b(pj,k) dan hk = r(C1)b(pj,k) −

b(C1)r(pj,k). Maka

s t

≥M

gk hk

, sehingga expin(vk) ≥ l(C1)gk + l(C2)hk.

Bukti. Andaikan bahwa eksponen titik masuk vk dicapai oleh (s, t)-walk dengan s = M g dan diperoleh persamaan berikut
th

g ≥ M −1 r(pj,k ) = b(C2)r(pj,k) − r(C2)b(pj,k)

h

b(pj,k)

r(C1)b(pj,k) − b(C1)r(pj,k)

(4)

untuk sembarang path pj,k dari titik vj ke titik vk. Jika untuk sembarang titik vj, j = 1, 2, ..., n diperoleh nilai b(C2)r(pj,k) − r(C2)b(pj,k) ≥

Universitas Sumatera Utara

24

0, maka didefinisikan

gk = b(C2)r(pj,k) − r(C2)b(pj,k) ≥ 0

(5)

dan jika untuk sembarang titik vi, dimana i = 1, 2, ..., n diperoleh nilai r(C1)b(pi,k) − b(C1)r(pi,k) ≥ 0, maka didefinisikan

hk = r(C1)b(pi,k) − b(C1)r(pi,k) ≥ 0

(6)

sehingga g ≥ gk dan h ≥ hk. Oleh Lemma (2.6.1) diperoleh

s = M g ≥ M gk t h hk

(7)

sehingga expin(vk) = s + t ≥ (r(C1) + b(C1))gk + (r(C2) + b(C2))hk = l(C1)gk + l(C2)hk.

Proposisi berikut dapat digunakan untuk menentukan batas bawah eksponen titik masuk digraf dwi-warna primitif dari sebuah titik yang ditentukan, misalkan titik v. Didefinisikan bahwa d(vk, v) adalah panjang walk terpendek dari vk ke v.

Proposisi 2.7.1 Asumsikan D(2) adalah digraf dwi-warna primitif atas n titik. Mi-salkan v adalah sebuah titik di D(2) dengan expin(v). Untuk sembarang titik vk, k = 1, 2, ..., n di D(2), expin(vk) ≤ expin(v) + d(vk, v).

Bukti. Untuk setiap k = 1, 2, ..., n misalkan pv,k adalah (r(pv,k), b(pv,k))-path dari v ke titik vk dengan panjang d(v, vk). Karena eksponen titik masuk v adalah expin(v), maka terdapat (s, t)-walk dengan panjang expin(v) = s + t dari setiap titik vj, j = 1, 2, ..., n ke titik v. Ini menunjukkan bahwa setiap titik vk di D(2) terdapat suatu (s + r(pv,k), t + b(pv,k))-walk dari setiap titik v ke setiap titik vk. Walk tersebut ber-awal dari v menuju vk melalui (r(pv,k), b(pv,k))-path dan kemudian menuju vj melalui suatu (s, t)-walk dari vj ke v. Oleh karena itu diperoleh expin(vk) ≤ expin(v) + d(v, vk)

Proposisi berikut digunakan untuk menentukan batas atas eksponen titik

Universitas Sumatera Utara

25

masuk digraf dwi-warna yang memuat dua cycle.

Proposisi 2.7.2 Andaikan D(2) adalah digraf dwi-warna yang terdiri atas cycle C1 dan C2. Misalkan vk adalah titik di D(2) yang terdapat pada cycle C1 dan cycle C2. Jika untuk setiap i = 1, 2, ..., n dan sembarang bilangan bulat positif s dan t, terdapat path pi,k dari vi ke vk sehingga sistem persamaan

M x + r(pi,k) = s

b(pi,k )

t

punya solusi bilangan bulat tak negatif, maka expin(vk) ≤ s + t.

(8)

Bukti. Misalkan bahwa solusi dari sistem persamaan (8) adalah x = (x1, x2)T . Karena D(2) primitif, maka matriks cycle M invertible, sehingga x1 dan x2 tidak dapat nol kedua-duanya. Karena x1, x2 = 0 dan kedua cycle C1 dan C2 memuat titik vk, maka terdapat tiga kemungkinan berikut.

Jika x1 > 0 dan x2 > 0, maka walk dari titik vi ke titik vk akan bergerak sebanyak x1 kali mengelilingi cycle C1 dan bergerak sebanyak x2 kali mengelilingi cycle C2 dan kembali lagi ke titik vi, kemudian terus bergerak menuju titik vk di sepanjang path pi,k adalah sebuah (s, t)-walk dari vi ke vk. Jika x1 = 0 dan x2 > 0, maka walk dari titik vi ke titik vk akan bergerak sebanyak x2 kali mengelilingi cycle C2 dan kembali lagi ke titik vi, kemudian terus bergerak menuju titik vk di sepanjang path pi,k adalah sebuah (s, t)-walk dari vi ke vk. Jika x1 > 0 dan x2 = 0, maka walk dari titik vi ke titik vk akan bergerak sebanyak x1 kali mengelilingi cycle C1 dan kembali lagi ke titik vi, kemudian terus bergerak menuju titik vk di sepanjang path pi,k adalah sebuah (s, t)-walk dari vi ke vk. Dengan demikian, untuk setiap titik vi, i = 1, 2, ..., n terdapat sebuah (s, t)-walk dari vi ke vk, sehingga expin(vk) ≤ s + t.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3 METODE PENELITIAN
Untuk menentukan eksponen titik masuk dari sebuah kelas digraf dwi-warna D(2) dengan n-titik, akan dilaukan dalam 2 langkah pendekatan, yaitu sebagai berikut.
3.1 Komputasi Nilai Eksponen Titik Masuk
Dengan menggunakan kode program yang ditulis dengan MATLAB akan diperoleh bilangan bulat tak negatif s dan t sehingga
expin(vk) = s + t
Hal ini dilakukan dengan menghitung hasil kali (s, t)-Hurwitz dari matriks adjacency A dan B secara rekursif.
Berikut adalah algoritma yang digunakan untuk menghitung eksponen titik masuk dari sebuah kelas digraf dwi-warna D(2) dengan n-titik ganjil, dimana n ≥ 5.
1. Mengecek primitifitas digraf dwi-warna D(2) 2. Menotasikan digraf dwi-warna D(2) dalam bentuk matriks adjacency, matriks
A untuk arc berwarna merah dan matriks B untuk arc berwarna biru. 3. Menghitung hasil kali (s, t)-Hurwitz dari matriks adjacency A dan B secara
rekursif, dengan (A, B)(s,t) = A(A, B)(s−1,t) + B(A, B)(s,t−1) 4. Apabila seluruh entri matriks dari hasil kali (s, t)-Hurwitz dari matriks A
dan B bernilai positif maka expin(vk) = s + t.
3.2 Pembuktian Nilai Eksponen Titik Masuk
Dengan s dan t yang sudah diperoleh pada langkah sebelumnya, kemudian dibuktikan bahwa expin(vk) = s + t. Hal pertama yang harus dilakukan adalah memperlihatkan bahwa expin(vk) ≥ s + t, yaitu dengan menemukan bilangan bulat tak
26
Universitas Sumatera Utara

27

negatif gk dan hk sedemikian hingga s ≥ M gk t hk

sehingga expin(vk) = s + t ≥ l(C1)gk + l(C2)hk, dengan M adalah matriks cycle dari digraf dwi-warna D(2), l(C1) adalah panjang dari cycle C1 dan l(C2) adalah panjang dari cycle C2.

Langkah berikutnya adalah memperlihatkan bahwa expin(vk) ≤ s + t. Karena digraf dwi-warna D(2) primitif, maka determinan dari matriks cycle M adalah ±1 dan setiap walk pada digraf dwi-warna D(2) dapat didekomposisi menjadi suatu path dari titik vi ke titik vk dan beberapa buah cycle, sehingga untuk memperlihatkan expin(vk) ≤ s + t, cukup diperlihatkan bahwa sistem persamaan diophantine

M

x1

+

r(pi,k )

=

s ,

dengan i = 1, 2, · · · , n

x2 b(pi,k) t

punya solusi bulat tak negatif x1, x2 ≥ 0 untuk semua titik vi dan beberapa path pi,k dari titik vi ke titik vk.
Dengan memperlihatkan expin(vk) ≥ s + t dan expin(vk) ≤ s + t, maka dapat disimpulkan bahwa expin(vk) = s + t

Universitas Sumatera Utara

BAB 4 EKSPONEN TITIK MASUK DIGRAF DWI-WARNA PRIMITIF

Pada bab ini akan diperlihatkan hasil dari penelitian ini, yaitu pola eksponen titik masuk dari digraf dw