Eksponen Vertex Dari Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Loop
EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP
SKRIPSI
NURUL HIDAYATI 060803032
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
NURUL HIDAYATI 060803032
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
i
Judul
: EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWIWARNA DENGAN DUA LOOP
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: NURUL HIDAYATI
Nomor Induk Mahasiswa : 060803032
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Medan, Nopember 2011
Komisi Pembimbing : Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dra. Mardiningsih, M.Si NIP.19630405 198811 2 001
Diketahui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. l9620901 198803 1 002
Dr. Saib Suwilo, M.Sc. NIP. 19640109 198803 1 004
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
ii
EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Nopember 2011
NURUL HIDAYATI 060803032
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
iii
Alhamdulillahirabbil’alamiin, penulis panjatkan ke hadirat ALLAH Subhanahu Wa Ta’ala dengan tidak putus-putusnya, yang telah mencurahkan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP” ini dengan baik. Tak lupa juga Sholawat beriring salam kepada junjungan Nabi Muhammad Shallallahu ’Alaihi Wassalam beserta keluarga dan para sahabat.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang banyak membantu, memotivasi dan mendo’akan penulis dari awal penulis memulai sampai menyelesaikan skripsi ini, yaitu kepada:
1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si, selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika F-MIPA USU Medan.
3. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si, selaku dosen pembimbing II, yang telah banyak membantu dan memberi dukungan baik berupa nasehat maupun ilmu pengetahuan, serta dukungan moril dan motivasi bagi penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
5. Guru-guru yang telah sabar mendidik penulis di SD Negeri 101896 Kiri Hulu khususnya ibu kami Buk Ros yang telah meninggalkan dunia ini, di SLTP Swasta Tanjungmorawa Bersubsidi khususnya Ibu Lindawati Pakpahan, serta di SMA Negeri 5 Medan khususnya Ibu Farawiati Adrianti.
6. Ibunda Sunariyah, S.Pd dan Ayahanda Djumianto Wardhana yang telah begitu sabar dan penuh cinta mendo’akan penulis, memberikan dukungan moril dan materiil serta motivasi kepada penulis untuk segera menyelesaikan tulisan ini. Dan juga kepada abangda Fitrayadi Eka Wardhana, S.E beserta kakanda Sunarseh, abangda Dwiyanto Setiawan, S.T beserta kakanda Yani Farahdina Nasution, S.P, yang juga telah menyemangati dan mendo’akan penulis serta kepada keponakan-keponakan penulis Halwa Aulia Wardhana, Wardah Annisa Wardhana dan Muhammad Luthfi Setiawan yang telah memberikan rona ceria di hari-hari penulis pada saat menyelesaikan penelitian ini.
7. Nurlinda Sari Butarbutar dan Tuti Larasati yang senantiasa bersama penulis dalam suka dan duka, bersama-sama dalam menyelesaikan skripsi serta saling mendo’akan, saling memotivasi dan saling membantu.
Universitas Sumatera Utara
iv
Penulis juga berterima kasih kepada Mohammad Amin yang begitu banyak memberikan semangat dan mendo’akan kebaikan penulis, abangda Heri Risdianto, pak Agustin, serta sahabat-sahabat Reza, Cory, Jo, Ulfa, Tanti, Eko, Satria, Tantri, Rani, Agung, Rini, Ayu, Sari, Tika dan Andi dan sepupu-sepupu yang tergabung dalam Wagiran’s Club khususnya Mbak Tia, Puput, Anis, Dita, Dini dan Nanda. Juga kepada Aghni, Bayu, bang Zuhri, kak Nenna, bang Deni, kak Masnah, kak Rima, kak Diana, bang Budi, kak Nana, Putri, Rina, bang Nanang yang telah membantu dan menyemangati penulis. Teman-teman seperjuangan anak-anak Murni 2006, serta teman-teman stambuk 2006, abangda dan kakanda stambuk 2002, 2003, 2004 dan 2005, serta adinda stambuk 2007, 2008 dan 2009, anggota IM-KUBIK, ukhti-ukhti di musholah UKMI AL-FALAK dan semua teman-teman penulis baik dirumah, SD, SMP maupun SMA dan di lingkungan USU yang telah mendukung dan menyemangati penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terimakasih semuanya.
Penulis menyadari masih ada kekurangan dalam penelitian ini, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca sekalian.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua dan di dunia pendidikan.
Medan, 01 Oktober 2011 Penulis,
Nurul Hidayati
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
v
Suatu digraph D yang setiap arc-nya berwarna merah atau biru disebut digraph dwi-warna. Suatu digraph dwi-warna terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif m dan b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang m + b, dimana banyaknya arc merah adalah m dan banyaknya arc biru adalah b. Misalkan D adalah digraph dwi-warna dengan V (D) = {v1, v2, · · · , vn} untuk setiap vk ∈ V (D), maka eksponen vertex dari D adalah bilangan bulat positif terkecil m + b sedemikian hingga terdapat walk dengan panjang m + b dari vk ke masing-masing vertex di D. Andaikan D adalah suatu digraph dwi - warna yang terdiri dari n vertex dengan n ≥ 3 dan memiliki 2 loop, dan jika vk, k = 1, 2, ..., n adalah vertex di D, tulisan ini akan memperlihatkan pola dari eksponen vertex di D tepat 2n−2 untuk k = 1, 2, 3 dan tepat 2n − 5 + k untuk 4 ≤ k ≤ n.
Universitas Sumatera Utara
vi VERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH
WITH 2 LOOPS ABSTRACT
A digraph D in which each of its arcs is coloured by either red or blue is called two-coloured digraph. A strongly connected of two-coloured digraph is primitive provided there are nonnegative integers m and b such that for each pair of vertices u and v in D there is a walk with length m + b, in which m arcs coloured by red and b arcs coloured by blue. Let D is a two-coloured digraph with V (D) = {v1, v2, · · · , vn} for each vk ∈ V (D), the vertex exponent of D is the smallest nonnegative integer m + b such that there is a walk with length m + b from vk to each vertex in D. Let D is a two-coloured digraph on n vertex with n ≥ 3 and 2 loops, if vk, k = 1, 2, ..., n is vertex of D, this paper will give the general of vertex exponent of D exactly 2n − 2 for k = 1, 2, 3 and exactly 2n − 5 + k for 4 ≤ k ≤ n.
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
vii
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang 1.2. Perumusan Masalah 1.3. Tujuan Penelitian 1.4. Manfaat Penelitian 1.5. Metodologi Penelitian
Halaman i ii
iii v vi vii ix
1 1 4 4 4 4
2. DIGRAPH DAN 2-DIGRAPH
2.1. Definisi 2.2. Matriks Adjacency 2.3. Primitifitas dari Digraph dan 2-Digraph Terhubung Kuat 2.4. Eksponen Digraph dan 2-Digraph 2.5. Eksponen Vertex Digraph dan 2-Digraph
6
6 11 12 16 24
3. DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN 2 LOOP
3.1. Eksponen 2-Digraph dengan 2 Loop 3.2. Eksponen Vertex 2-Digraph dengan 2 Loop
29
29 32
4. KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan 4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA
41
41 41
42
Universitas Sumatera Utara
viii
LAMPIRAN A. FUNGSI MATLAB ”VERT 2EXP LOOPS”
43
B. OUTPUT DARI FUNGSI MATLAB ”VERT 2EXP LOOPS” 47
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
ix
Gambar
Halaman
1.1 Digraph dengan 2 Loop
3
2.1 Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc
7
2.2 Digraph dengan walk, path, cycle dan loop
8
2.3 2-Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc
9
2.4 2-Digraph dengan walk, path, cycle dan loop
10
2.5 (a) Digraph terhubung kuat (b) Digraph tidak terhubung kuat 13
2.6 Digraph terhubung kuat dan primitif
14
2.7 (a) 2-digraph terhubung kuat (b) 2-digraph tidak terhubung kuat 15
2.8 2-Digraph terhubung kuat dan primitif
16
2.9 Digraph Wielandt Wn dengan n vertex
27
3.1 2-Digraph dengan 2 Loop
36
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
v
Suatu digraph D yang setiap arc-nya berwarna merah atau biru disebut digraph dwi-warna. Suatu digraph dwi-warna terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif m dan b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang m + b, dimana banyaknya arc merah adalah m dan banyaknya arc biru adalah b. Misalkan D adalah digraph dwi-warna dengan V (D) = {v1, v2, · · · , vn} untuk setiap vk ∈ V (D), maka eksponen vertex dari D adalah bilangan bulat positif terkecil m + b sedemikian hingga terdapat walk dengan panjang m + b dari vk ke masing-masing vertex di D. Andaikan D adalah suatu digraph dwi - warna yang terdiri dari n vertex dengan n ≥ 3 dan memiliki 2 loop, dan jika vk, k = 1, 2, ..., n adalah vertex di D, tulisan ini akan memperlihatkan pola dari eksponen vertex di D tepat 2n−2 untuk k = 1, 2, 3 dan tepat 2n − 5 + k untuk 4 ≤ k ≤ n.
Universitas Sumatera Utara
vi VERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH
WITH 2 LOOPS ABSTRACT
A digraph D in which each of its arcs is coloured by either red or blue is called two-coloured digraph. A strongly connected of two-coloured digraph is primitive provided there are nonnegative integers m and b such that for each pair of vertices u and v in D there is a walk with length m + b, in which m arcs coloured by red and b arcs coloured by blue. Let D is a two-coloured digraph with V (D) = {v1, v2, · · · , vn} for each vk ∈ V (D), the vertex exponent of D is the smallest nonnegative integer m + b such that there is a walk with length m + b from vk to each vertex in D. Let D is a two-coloured digraph on n vertex with n ≥ 3 and 2 loops, if vk, k = 1, 2, ..., n is vertex of D, this paper will give the general of vertex exponent of D exactly 2n − 2 for k = 1, 2, 3 and exactly 2n − 5 + k for 4 ≤ k ≤ n.
Universitas Sumatera Utara
EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP
SKRIPSI
NURUL HIDAYATI 060803032
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
NURUL HIDAYATI 060803032
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
i
Judul
: EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWIWARNA DENGAN DUA LOOP
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: NURUL HIDAYATI
Nomor Induk Mahasiswa : 060803032
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Medan, Nopember 2011
Komisi Pembimbing : Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dra. Mardiningsih, M.Si NIP.19630405 198811 2 001
Diketahui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. l9620901 198803 1 002
Dr. Saib Suwilo, M.Sc. NIP. 19640109 198803 1 004
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
ii
EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Nopember 2011
NURUL HIDAYATI 060803032
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
iii
Alhamdulillahirabbil’alamiin, penulis panjatkan ke hadirat ALLAH Subhanahu Wa Ta’ala dengan tidak putus-putusnya, yang telah mencurahkan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP” ini dengan baik. Tak lupa juga Sholawat beriring salam kepada junjungan Nabi Muhammad Shallallahu ’Alaihi Wassalam beserta keluarga dan para sahabat.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang banyak membantu, memotivasi dan mendo’akan penulis dari awal penulis memulai sampai menyelesaikan skripsi ini, yaitu kepada:
1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si, selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika F-MIPA USU Medan.
3. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si, selaku dosen pembimbing II, yang telah banyak membantu dan memberi dukungan baik berupa nasehat maupun ilmu pengetahuan, serta dukungan moril dan motivasi bagi penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
5. Guru-guru yang telah sabar mendidik penulis di SD Negeri 101896 Kiri Hulu khususnya ibu kami Buk Ros yang telah meninggalkan dunia ini, di SLTP Swasta Tanjungmorawa Bersubsidi khususnya Ibu Lindawati Pakpahan, serta di SMA Negeri 5 Medan khususnya Ibu Farawiati Adrianti.
6. Ibunda Sunariyah, S.Pd dan Ayahanda Djumianto Wardhana yang telah begitu sabar dan penuh cinta mendo’akan penulis, memberikan dukungan moril dan materiil serta motivasi kepada penulis untuk segera menyelesaikan tulisan ini. Dan juga kepada abangda Fitrayadi Eka Wardhana, S.E beserta kakanda Sunarseh, abangda Dwiyanto Setiawan, S.T beserta kakanda Yani Farahdina Nasution, S.P, yang juga telah menyemangati dan mendo’akan penulis serta kepada keponakan-keponakan penulis Halwa Aulia Wardhana, Wardah Annisa Wardhana dan Muhammad Luthfi Setiawan yang telah memberikan rona ceria di hari-hari penulis pada saat menyelesaikan penelitian ini.
7. Nurlinda Sari Butarbutar dan Tuti Larasati yang senantiasa bersama penulis dalam suka dan duka, bersama-sama dalam menyelesaikan skripsi serta saling mendo’akan, saling memotivasi dan saling membantu.
Universitas Sumatera Utara
iv
Penulis juga berterima kasih kepada Mohammad Amin yang begitu banyak memberikan semangat dan mendo’akan kebaikan penulis, abangda Heri Risdianto, pak Agustin, serta sahabat-sahabat Reza, Cory, Jo, Ulfa, Tanti, Eko, Satria, Tantri, Rani, Agung, Rini, Ayu, Sari, Tika dan Andi dan sepupu-sepupu yang tergabung dalam Wagiran’s Club khususnya Mbak Tia, Puput, Anis, Dita, Dini dan Nanda. Juga kepada Aghni, Bayu, bang Zuhri, kak Nenna, bang Deni, kak Masnah, kak Rima, kak Diana, bang Budi, kak Nana, Putri, Rina, bang Nanang yang telah membantu dan menyemangati penulis. Teman-teman seperjuangan anak-anak Murni 2006, serta teman-teman stambuk 2006, abangda dan kakanda stambuk 2002, 2003, 2004 dan 2005, serta adinda stambuk 2007, 2008 dan 2009, anggota IM-KUBIK, ukhti-ukhti di musholah UKMI AL-FALAK dan semua teman-teman penulis baik dirumah, SD, SMP maupun SMA dan di lingkungan USU yang telah mendukung dan menyemangati penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terimakasih semuanya.
Penulis menyadari masih ada kekurangan dalam penelitian ini, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca sekalian.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua dan di dunia pendidikan.
Medan, 01 Oktober 2011 Penulis,
Nurul Hidayati
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
v
Suatu digraph D yang setiap arc-nya berwarna merah atau biru disebut digraph dwi-warna. Suatu digraph dwi-warna terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif m dan b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang m + b, dimana banyaknya arc merah adalah m dan banyaknya arc biru adalah b. Misalkan D adalah digraph dwi-warna dengan V (D) = {v1, v2, · · · , vn} untuk setiap vk ∈ V (D), maka eksponen vertex dari D adalah bilangan bulat positif terkecil m + b sedemikian hingga terdapat walk dengan panjang m + b dari vk ke masing-masing vertex di D. Andaikan D adalah suatu digraph dwi - warna yang terdiri dari n vertex dengan n ≥ 3 dan memiliki 2 loop, dan jika vk, k = 1, 2, ..., n adalah vertex di D, tulisan ini akan memperlihatkan pola dari eksponen vertex di D tepat 2n−2 untuk k = 1, 2, 3 dan tepat 2n − 5 + k untuk 4 ≤ k ≤ n.
Universitas Sumatera Utara
vi VERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH
WITH 2 LOOPS ABSTRACT
A digraph D in which each of its arcs is coloured by either red or blue is called two-coloured digraph. A strongly connected of two-coloured digraph is primitive provided there are nonnegative integers m and b such that for each pair of vertices u and v in D there is a walk with length m + b, in which m arcs coloured by red and b arcs coloured by blue. Let D is a two-coloured digraph with V (D) = {v1, v2, · · · , vn} for each vk ∈ V (D), the vertex exponent of D is the smallest nonnegative integer m + b such that there is a walk with length m + b from vk to each vertex in D. Let D is a two-coloured digraph on n vertex with n ≥ 3 and 2 loops, if vk, k = 1, 2, ..., n is vertex of D, this paper will give the general of vertex exponent of D exactly 2n − 2 for k = 1, 2, 3 and exactly 2n − 5 + k for 4 ≤ k ≤ n.
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
vii
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang 1.2. Perumusan Masalah 1.3. Tujuan Penelitian 1.4. Manfaat Penelitian 1.5. Metodologi Penelitian
Halaman i ii
iii v vi vii ix
1 1 4 4 4 4
2. DIGRAPH DAN 2-DIGRAPH
2.1. Definisi 2.2. Matriks Adjacency 2.3. Primitifitas dari Digraph dan 2-Digraph Terhubung Kuat 2.4. Eksponen Digraph dan 2-Digraph 2.5. Eksponen Vertex Digraph dan 2-Digraph
6
6 11 12 16 24
3. DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN 2 LOOP
3.1. Eksponen 2-Digraph dengan 2 Loop 3.2. Eksponen Vertex 2-Digraph dengan 2 Loop
29
29 32
4. KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan 4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA
41
41 41
42
Universitas Sumatera Utara
viii
LAMPIRAN A. FUNGSI MATLAB ”VERT 2EXP LOOPS”
43
B. OUTPUT DARI FUNGSI MATLAB ”VERT 2EXP LOOPS” 47
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
ix
Gambar
Halaman
1.1 Digraph dengan 2 Loop
3
2.1 Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc
7
2.2 Digraph dengan walk, path, cycle dan loop
8
2.3 2-Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc
9
2.4 2-Digraph dengan walk, path, cycle dan loop
10
2.5 (a) Digraph terhubung kuat (b) Digraph tidak terhubung kuat 13
2.6 Digraph terhubung kuat dan primitif
14
2.7 (a) 2-digraph terhubung kuat (b) 2-digraph tidak terhubung kuat 15
2.8 2-Digraph terhubung kuat dan primitif
16
2.9 Digraph Wielandt Wn dengan n vertex
27
3.1 2-Digraph dengan 2 Loop
36
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Digraph merupakan hubungan antara titik-titik yang disebut dengan vertex dari digraph dengan garis berarah yang disebut dengan arc dari digraph. Vertex dari digraph direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil dan arc dari digraph direpresentasikan dalam bentuk garis berarah.
Suatu walk dengan panjang m dari suatu digraph D yang menghubungkan vertex u dan vertex v adalah suatu barisan arc di D dalam bentuk
u = v0 → v1 → ... → vm−1 → vm = v
dengan v0 = u dan vm = v. Jika u = v maka walk tersebut dikatakan walk tertutup, dan jika u = v maka walk tersebut dikatakan walk terbuka. Suatu path adalah suatu walk tanpa adanya perulangan vertex. Suatu path tertutup uv disebut cycle. Dan suatu cycle dengan panjang 1 disebut loop.
Suatu digraph dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap pasangan vertex u dan v terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u dan primitif jika terdapat suatu bilangan bulat positif l sedemikian hingga untuk setiap pasangan vertex dari u dan v di D terdapat walk yang panjangnya l dari u ke v. Bilangan bulat terkecil dari l tersebut merupakan eksponen dari D yang dinotasikan dengan exp(D).
Konsep tradisional dari eksponen digraph primitif telah digeneralisasikan oleh Brualdi dan Liu (1990) dengan memperkenalkan tiga tipe generalisasi eksponen. Misalkan D adalah sebuah digraph primitif dengan himpunan vertex V (D) = (v1, v2, · · · , vn). Untuk suatu vi ∈ V (D) dan X ⊆ V (D), eksponen vertex γD(vk) adalah bilangan bulat positif terkecil l sedemikian hingga UtenrivdearpsaittaswSaulkmadteenragaUntara
2
panjang l dari vi kesetiap vertex di D, dan himpunan eksponen expD(X) adalah bilangan bulat positif terkecil p sehingga untuk setiap vertex vj di D terdapat sebuah walk dari paling sedikit satu vertex di X ke vj dengan panjang p.
Misalkan D adalah digraph primitif dengan orde n. Jika vertex - vertex di D adalah (v1, v2, · · · , vn) sedemikian hingga
γD(v1) ≤ γD(v2) ≤ · · · ≤ γD(vn)
maka γD(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke - k dari D, dinotasikan expD(vk).
Digraph dwi-warna atau 2-digraph adalah suatu digraph yang setiap arc-nya diwarnai merah atau biru (Fornasini dan Valcher (1997)). Suatu (m,b)-walk pada 2 digraph D dari vertex u ke v adalah barisan arc yang terdiri dari m arc merah dan b arc biru yang menghubungkan vertex u dan v. Suatu 2-digraph D dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat m dan b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat (m, b)-walk dari u ke v dan sebaliknya, bilangan bulat positif terkecil dari m + b tersebut merupakan 2-eksponen dari 2-digraph D primitif yang dinotasikan dengan exp2(D).
Penelitian tentang 2-eksponen 2-digraph dimulai oleh Shader dan Suwilo
(2003) yang memperlihatkan bahwa bila D adalah digraph dwi-warna primitif
atas
n
vertex,
maka
2-eksponen
terbesar
dari
D
terletak
pada
interval
[
1 2
(n3
−
5n2),
1 2
(3n3
+
2n2
−
2n)].
Eksponen dari 2-digraph dengan 2-loop dan n vertex dapat diketahui dari komposisi warna arc yang adjacent dengan loop merah maupun loop biru pada 2-digraph tersebut. Dalam penelitiannya Richard Albert Nasution (2007) memperlihatkan bentuk umum 2-eksponen dari 2-digraph dengan 2 loop dengan jumlah vertex n yaitu tepat 2n, 2n − 1, dan 2n − 2 dengan syarat:
1. 2-digraph dengan eksponen tepat 2n didapat jika arcUynainvegrsaidtajascSeunmt kateerloaoUptara
3 merah adalah sepasang arc yang berwarna merah dan untuk loop biru adalah sepasang arc yang berwarna biru, atau sebaliknya. 2. 2-digraph dengan eksponen tepat 2n − 1 didapat jika arc yang adjacent ke loop merah adalah sepasang arc berwarna merah dan arc yang adjacent ke loop biru adalah sepasang arc yang berbeda warna, atau sebaliknya. 3. 2-digraph dengan eksponen tepat 2n − 2 didapat kedua loop terletak pada vertex yang sama. Suatu 2-digraph D terhubung kuat dengan n ≥ 2 vertex yang memuat sebuah loop merah dan sebuah loop biru memiliki eksponen exp2(D) ≤ 3n − 3. Andaikan D adalah 2-digraph yang terdiri dari cycle v1 → vn → ... → v3 → v1 dan vn → vn−1 → ... → v3 → v2 → vn, loop (v1, v1) dan loop (v2, v2) yang diperlihatkan pada gambar
Gambar 1.1 : Digraph dengan 2 Loop memiliki exp2(D) ≤ 3n − 5. Dan jika pewarnaan di D menjadi (v1, v1) adalah loop merah, (v2, v2) adalah loop biru, v1 → vn → vn−1 → ... → v3 → v1 adalah cycle merah dan v3 → v2 → vn adalah path biru, maka 2-eksponennya tepat 3n − 5.
Gao dan Shao (2009) juga telah menggeneralisasikan eksponen dari digraph dwi-warna primitif Wielandt dengan menggunakan tiga tipe generalisasi eksponen yang tipe pertamanya adalah generalisasi eksponen verUtenxivdeirgsritaapshSduwmia-tweararnUatara
4
primitif. Misalkan D adalah suatu digraph dwi-warna primitif dengan V (D) = {v1, v2, . . . , vn} untuk setiap vi ∈ V (D), maka eksponen vertex expD(vi) adalah bilangan bulat positif terkecil m1 + m2 sedemikian hingga terdapat (m1, m2)-walk dari vi ke setiap vertex di D. Penelitian ini bertujuan untuk mencari generalisasi dari eksponen vertex dari 2-digraph dengan 2 loop pada Gambar 1.1.
1.2 Perumusan Masalah Andaikan D adalah suatu digraph dwi - warna yang terdiri dari n vertex dan memiliki 2 loop seperti pada Gambar 1.1 dengan (v1, v1) adalah loop merah, (v2, v2) adalah loop biru, v1 → vn → vn−1 → · · · → v3 → v1 adalah cycle merah dan v3 → v2 → vn adalah path biru dari D. Masalah dari penelitian ini adalah bagaimana menentukan pola eksponen vertex v di D.
1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini yaitu untuk memperoleh generalisasi eksponen vertex dari 2-digraph dengan 2 loop seperti pada Gambar 1.1.
1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dalam bidang eksponen dari digraph primitif.
1.5 Metodologi Penelitian Untuk mencari pola eksponen vertex digraph dwi-warna dengan 2 loops dilakukan dengan cara sebagai berikut:
1. Mempelajari teori dasar yang berkenaan dengan penelitian ini, meliputi
definisi, teorema, dan berbagai contoh.
Universitas Sumatera Utara
5 2. Dengan bantuan program matlab ”vert 2exp loops” yang dibuat oleh Dr.
Saib Suwilo, M.Sc, yaitu suatu program yang digunakan untuk menentukan eksponen verteks dari digraph dwi-warna dengan loop. Melalui program ini peneliti memasukkan banyaknya vertex yang diinginkan lalu akan dihasilkan eksponen vertex dari masing-masing vertex serta komposisinya. 3. Mencari pola dari eksponen verteks digraph dwi-warna primitif dari hasilhasil yang telah diperoleh tersebut secara kombinatorial. 4. Memberikan suatu pembuktian dari pola eksponen verteks yang telah diperoleh tersebut.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
DIGRAPH DAN 2-DIGRAPH
Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan definisi sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar yang dimaksud adalah yang berkaitan dengan permasalahan dalam penelitian ini seperti definisi, keterhubungan, primitifitas, eksponen dan eksponen vertex dari digraph dan 2-digraph. 2.1 Definisi Pada sub-bab ini akan diberikan beberapa definisi tentang digraph dan 2-digraph serta notasi-notasi yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya.
2.1.1 Digraph Secara sederhana graph adalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang dihubungkan oleh garis tak berarah. Jika garis penghubung diberi arah, maka graph yang demikian dinamakan digraph (directed graph).
Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga yang tak kosong, sebuah digraph D adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan V yang unsurnya disebut vertex dari D, dan himpunan A ⊆ V × V yang unsurnya disebut arc dari D. Jika diberikan u, v ∈ A, maka terdapat arc dari u ke v di D, dimana u disebut sebagai vertex awal dan v disebut sebagai vertex akhir. Arc (u,v) dapat juga dinotasikan dengan u → v.
Vertex v dari digraph direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil yang diberi tanda v dan arc (u,v) dari digraph direpresentasikan dalam bentuk garis berarah dari titik u ke titik v.
Universitas Sumatera Utara
7 Contoh 2.1.1 : Himpunan vertex V = v1, v2, v3, v4, v5, v6 dan himpunan arc A = (v1, v2), (v1, v6), (v2, v3), (v2, v4), (v2, v5), (v3, v4), (v4, v5), (v5, v1), (v6, v5) adalah suatu digraph dengan 6 vertex dan 9 arc dan direpresentasikan secara grafis sebagai berikut:
Gambar 2.1 : Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc
Diberikan suatu digraph D dengan u dan v adalah vertex di D. Suatu walk dengan panjang m dari u ke v adalah suatu barisan arc di D dalam bentuk
v0 → v1 → v2 → ... → vm−1 → vm dengan m > 0, v0 = u dan vm = v. Jika u = v maka walk tersebut dikatakan walk tertutup dan jika u = v maka walk tersebut dikatakan walk terbuka. Suatu path didefinisikan sebagai suatu walk tanpa adanya perulangan vertex, namun vertex awal dan vertex akhir boleh berulang yang kemudian disebut path tertutup. Suatu path tertutup uv disebut dengan cycle dan sebuah cycle dengan panjang 1 disebut loop. Berikut ini akan diberikan representasi dari digraph untuk menjelaskan beberapa definisi di atas.
Universitas Sumatera Utara
Contoh 2.1.2 : Diberikan digraph sebagai berikut:
8
Gambar 2.2 : Digraph dengan walk, path, cycle dan loop
Digraph pada gambar di atas memiliki walk, path, cycle dan loop sebagai berikut:
a. v1 → v2 → v3 → v4 → v2 → v5 → v1 adalah sebuah walk tertutup tetapi bukan path.
b. v1 → v2 → v5 → v5 → v1 → v2 → v3 adalah sebuah walk terbuka tetapi bukan path.
c. v1 → v2 → v5 adalah sebuah path terbuka. d. v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v1 adalah sebuah cycle atau path tertutup. e. v5 → v5 adalah sebuah loop.
2.1.2 2-Digraph 2-Digraph atau digraph dwi-warna merupakan suatu digraph yang setiap arc-nya diberi warna merah atau biru.
Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga yang tak kosong, sebuah 2-digraph D adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan V yang unsurnya disebut vertex dari D, dan himpunan R ⊆ V × V yang unsurnya disebut arc merah dari D dan himpunan B ⊆ V × V yang unsurnya disebut arc biru dari D. Jika diberikan u1, v1 ∈ R dan u2, v2 ∈ B, maka terdaUpantivaerrscitmaseSrauhmadtaerria uU1tara
9 ke v1 di D dan terdapat arc biru dari u2 ke v2 di D, dimana u1 dan u2 disebut sebagai vertex awal dan v1 dan v2 disebut sebagai vertex akhir. Arc merah (u1,v1) dapat juga dinotasikan dengan u1 →−r v1 dan arc biru (u2,v2) dapat juga dinotasikan dengan u2 −→b v2.
Vertex v dari 2-digraph direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil yang diberi tanda v, arc merah (u1,v1) dari 2-digraph direpresentasikan dalam bentuk garis atau kurva berarah tak putus dari titik u1 ke titik v1 dan arc biru (u2,v2) dari 2-digraph direpresentasikan dalam bentuk garis atau kurva berarah putus-putus dari titik u2 ke titik v2. Contoh 2.1.3 : Himpunan vertex V = v1, v2, v3, v4, v5, v6, himpunan arc R = {(v1, v2), (v2, v4), (v4, v5), (v5, v1)} dan himpunan arc B = {(v1, v6), (v2, v3), (v2, v5), (v3, v4), (v6, v5) } adalah suatu digraph dengan 6 vertex, 4 arc merah dan 5 arc biru dan direpresentasikan secara grafis sebagai berikut:
Gambar 2.3 : 2-Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc
Suatu (m, b)-walk w pada 2-digraph D adalah suatu walk yang terdiri dari m arc merah dan b arc biru. Banyaknya m arc berwarna merah dan b arc berwarna biru pada suatu walk w di D dinotasikan dengan r(w) dan b(w) serta panjangnya walk w dinotasikan dengan ℓ(w) dimana ℓ(w) = r(w) + b(w) yaitu banyaknya arc merah dan arc biru yang membentuk walk tersebut. Vektor dari (r(w), b(w)) atau
Universitas Sumatera Utara
10
r(w) b(w)
disebut sebagai komposisi dari w.
Sama seperti digraph, path merupakan suatu walk tanpa adanya perulangan
vertex, namun vertex awal dan vertex akhir boleh berulang yang kemudian disebut
path tertutup atau cycle. Loop merupakan suatu cycle dengan komposisi
1 0
atau
0 1
.Berikut ini akan diberikan representasi dari 2-digraph untuk menjelaskan
beberapa definisi di atas.
Contoh 2.1.4 : Diberikan 2-digraph sebagai berikut:
Gambar 2.4 : 2-Digraph dengan walk, path, cycle dan loop
Digraph pada gambar di atas memiliki walk, path, cycle dan loop sebagai berikut:
a. v1 −→r v2 →−b v3 →−b v4 −→r v2 −→b v5 →−r v1 adalah sebuah walk tertutup tetapi bukan path.
b. v1 −→r v2 →−b v5 −→b v5 −→r v1 −→r v2 −→b v3 −→r v3 adalah sebuah walk terbuka tetapi bukan path.
c. v1 −→r v2 −→b v5 adalah sebuah path terbuka.
d. v1 −→r v2 −→b v3 →−b v4 −→r v5 −→r v1 adalah sebuah cycle atau path tertutup.
e. v5 →−b v5 adalah sebuah loop dengan komposisi
0 1
.
f. v3 −→r v3 adalah sebuah loop dengan komposisi
1 0
.
Universitas Sumatera Utara
11
2.2 Matriks Adjacency Digraph dan 2-Digraph dapat juga direpresentasikan dalam bentuk matriks. Suatu digraph D dan 2-Digraph D dengan n vertex dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks berordo n × n dengan entri-entrinya berupa 1 dan 0. Matriks tersebut merupakan matriks adjacency.
2.2.1 Matriks Adjacency Digraph
Suatu matriks adjacency A = [aij] dari Digraph D dengan n vertex dapat kita
representasikan dengan entri sebagai berikut:
1, ai,j =
0,
jika terdapat arc dari vi ke vj jika sebaliknya.
untuk i, j = 1, 2, · · · , n.
Contoh 2.2.1 : Berikut ini adalah matriks adjacency yang diperoleh dari digraph
pada Gambar 2.2 :
01000
0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 1
10001
2.2.2 Matriks Adjacency 2-Digraph Suatu matriks adjacency dari 2-Digraph D dengan n vertex dapat kita representasikan dalam 2 matriks adjacency, yaitu matriks adjacency merah dan matriks adjacency biru.
Matriks adjacency merah, R = [rij] pada D adalah matriks n × n dengan
entri sebagai berikut:
1, ri,j =
0,
jika terdapat arc merah jika sebaliknya
untuk i, j = 1, 2, · · · , n
Universitas Sumatera Utara
12
Matriks adjacency biru, B = [bij] pada D adalah matriks n × n dengan entri
sebagai berikut:
1, bi,j =
0,
jika terdapat arc biru jika sebaliknya
untuk i, j = 1, 2, · · · , n
Contoh 2.2.2 : Berikut ini adalah matriks adjacency yang diperoleh dari 2-
digraph pada Gambar 2.4 :
01000
0 0 0 0 0 R = 0 0 1 0 0 adalah matriks adjacency merah ; 0 1 0 0 1
10000
00000
0 0 1 0 1 B = 0 0 0 1 0 adalah matriks adjacency biru. 0 0 0 0 0
00001
2.3 Primitifitas dari Digraph dan 2-Digraph Terhubung Kuat Pada sub-bab ini akan dibahas tentang digraph dan 2-digraph terhubung kuat dan primitif.
2.3.1 Digraph Primitif Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan terdapat walk dari v ke u.
Universitas Sumatera Utara
13
Contoh 2.3.1 : Berikut ini adalah representasi dari digraph terhubung kuat dan digraph tidak terhubung kuat.
Gambar 2.5 : (a) Digraph terhubung kuat (b) Digraph tidak terhubung kuat
Gambar 2.5 (a) merupakan suatu digraph terhubung kuat karena terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya, dan Gambar 2.5 (b) bukan merupakan suatu digraph terhubung kuat atau dengan kata lain tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v2 ke v3.
Suatu digraph D terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat positif l sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat suatu walk yang panjangnya l.
Lemma 2.1 Andaikan D adalah digraph terhubung kuat maka setiap vertex v di D terletak pada cycle.
Bukti: Ambil sebarang vertex v di D dan sebarang arc dari vertex u ke v di D.
Karena D terhubung kuat, maka terdapat path dari vertex u ke v yang berakibat
akan diperoleh suatu path tertutup di D yang dibentuk oleh arc dari vertex u ke v
dan path dari vertex v ke u di D. Oleh definisi bahwa path tertutup adalah suatu
cycle dan v sebarang vertex di D, maka setiap vertex v di D terletak pada suatu
cycle.
Universitas Sumatera Utara
14 Andaikan himpunan C = {c1, c2,...,ct} adalah himpunan semua cycle di D. Misalkan M adalah suatu matriks baris dengan kolom ke i untuk i = 1, 2,..., t dan entri-entri dari M adalah panjang cycle ci (ℓ(ci)). Misalkan M sebagai subgrup dari grup bilangan bulat Z yang dibangun oleh kolom-kolom dari M yakni
M = {z1ℓ(c1) + z2ℓ(c2) + ... + ztℓ(ct) : zi ∈ Z, i = 1, 2, 3, ..., t}
Andaikan D adalah digraph imprimitif dengan indeks imprimitifitas k, maka k = gcd(ℓ(c1), ℓ(c2), ... , ℓ(ct)). Kemudian suatu digraph dikatakan primitif jika k = 1 dan imprimitf jika k = 1. Contoh 2.3.2 : Representasi dari digraph terhubung kuat yang primitif
Gambar 2.6 : Digraph terhubung kuat dan primitif
Digraph pada Gambar 2.6 merupakan digraph terhubung kuat dengan 4 cycle yaitu : v1 → v1 dengan panjang 1, cycle v1 → v2 → v4 → v1 dengan panjang 3, cycle v2 → v4 → v3 → v2 dengan panjang 3 dan cycle v3 → v3 dengan panjang 1. Pembagi persekutuan terbesar dari panjang cycle-cycle pada digraph tersebut adalah 1. Dengan demikian, digraph tersebut primitif. 2.3.2 2-Digraph Primitif Suatu 2-digraph D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v daUnntievredrsaiptaast SwuamlkatdearariUvtara
15
ke u, dengan tidak memperhatikan komposisi warna arc dari walk tersebut. Contoh 2.3.3 : Berikut ini adalah representasi dari 2-digraph terhubung kuat dan 2-digraph tidak terhubung kuat.
Gambar 2.7 : (a) 2-digraph terhubung kuat (b) 2-digraph tidak terhubung kuat
Gambar 2.7 (a) merupakan suatu 2-digraph terhubung kuat karena terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya, dan Gambar 2.7 (b) bukan merupakan suatu 2-digraph terhubung kuat atau dengan kata lain tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v2 ke v3.
Suatu 2-digraph D terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat m dan b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat (m, b)walk dari u ke v dan sebaliknya. Andaikan D adalah digraph dwi-warna terhubung kuat dan andaikan C = {γ1, γ2, . . . , γt} adalah himpunan semua cycle yang berada di D. Suatu matriks cycle M dari D adalah suatu matriks berordo 2 × t dengan kolom-kolomnya adalah komposisi dari cycle-cycle γi, i = 1, 2, · · · , t yakni
M = r(γ1) r(γ2) ... r(γt) b(γ1) b(γ2) ... b(γt)
disebut sebagai cycle matriks D. Suatu 2-digraph D dikatakan primitif jika dan
hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 × 2 dari
M adalah 1 (Fornasini dan Valcher, 1997).
Universitas Sumatera Utara
16 Contoh 2.3.3 : Representasi dari 2-digraph terhubung kuat yang primitif
Gambar 2.8 : 2-Digraph terhubung kuat dan primitif
Pada gambar terdapat 4 buah cycle, sehingga diperoleh cycle matriks sebagai
berikut
M= 1 3 1 0 0021
13 11 10
dan submatriksnya adalah M1 =
0
0 , M2 =
0
2 , M3 =
0
,dst. Dikare1
nakan det(M3)=1, hal ini mengakibatkan pembagi persekutuan terbesar dari se-
mua determinan submatriksnya akan bernilai 1. Dengan demikian 2-digraph terse-
but 2-primitif.
2.4 Eksponen Digraph dan 2-Digraph Pada sub-bab ini akan dibahas tentang definisi eksponen digraph dan 2-digraph serta contoh bagaimana menentukan eksponen dari digraph dan 2-digraph tersebut.
2.4.1 Eksponen Digraph
Pada digraph, eksponen dari digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat positif
terkecil k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk
berarah dari u ke v dengan panjang k. Eksponen dari digraph tersebut dinotasikan
dengan exp(D).
Universitas Sumatera Utara
17
Zaini dan Suwilo (2005), menyatakan bahwa vertex vi ke vj di Ak memiliki walk dengan panjang k. Berikut ini diperlihatkan hubungan antara suatu digraph dengan matriks.
Proposisi 2.2 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri aikj dari Ak menyatakan banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k di D.
Bukti: Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap entri (i, j) dari A menyatakan arc dari vi ke vj di digraph D. Hal ini berakibat untuk k = 1, maka setiap entri ai1j dari A1 menyatakan banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya satu.
Asumsikan setiap entri ai(jk) dan Ak menyatakan banyaknya walk dari vi dan vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1. Berikut ini diperlihatkan ai(jk+1) adalah banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D, untuk k ≥ 1.
Perhatikan setiap walk dari vi ke vj di D dengan panjang k + 1 yang terdiri
dari walk dari vi ke vj dengan panjang k untuk l = 1, 2, . . . , n dan dilanjutkan dengan arc dari vi ke vj. Sehingga ai(lk)alj adalah menyatakan walk yang panjangnya
k + 1 dari vi ke vj di D, untuk k = 1, 2, . . . , n. Jika tidak terdapat walk yang panjang k dari vi ke vj di D, maka ai(lk) = 0 sehingga ai(lk)alj = 0. Hal ini berarti tidak terdapat walk dengan panjang k+1 dari vi ke vj yang melalui vl di D sehingga
diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1 dari vi ke vj di D adalah
n
ai(1k)a1j + ai(2k)a2j + · · · + ai(nk)anj =
ai(lk)alj
i=1
karena
Ak+1 = AkA
maka
n
ai(jk) =
ai(lk)alj
i=1
Universitas Sumatera Utara
18
Hal ini berakibat ai(jk+1) adalah benar menyatakan banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D. Jadi, elemen (i, j) dari Ak adalah banyaknya walk yang panjangnya k dari vi ke vj.
Contoh 2.4.1 : Matriks adjacency dari digraph pada Gambar 2.6 adalah A = 1 1 0 0
0
0
0
1, kemudian akan dicari eksponen dari digraph tersebut.
0 1 1 0
1010
Berdasarkan Proposisi 2.2, banyaknya walk dari vertex vi ke vj dengan panjang k adalah entri dari matriks Akij dari Ak, dengan demikian nilai k merupakan eksponen dari digraph bila matriks Ak adalah matriks positif. Perhatikan matriks
Ak berikut:
1 1 0 0
a.
Untuk
k
=
1
;
diperoleh
A1
=
0
0
0
1, maka bukan merupakan ekspo-
0 1 1 0
1010
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 1 dari v1 ke v3, v1
ke v4, v2 ke v1, v2 ke v2, v2 ke v3, v3 ke v1, v3 ke v4, v4 ke v2 dan v4 ke v4.
1 1 0 1
b.
Untuk k
=
2
;
diperoleh
A2
=
1
0
1
0, maka bukan merupakan ekspo-
0 1 1 1
1210
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 2 dari v1 ke v3, v2
ke v2, v2 ke v4, v3 ke v1, dan v4 ke v4.
2 1 1 1
c.
Untuk k
=
3
;
diperoleh
A3
=
1
2
1
0, maka bukan merupakan ekspo-
1 1 2 1
1212
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 3 dari v2 ke v4.
3 3 2 1
d.
Untuk
k
=
4
;
diperoleh
A4
=
1
2
1
2, karena terdapat walk dengan
2 3 3 1
3232
Universitas Sumatera Utara
19
panjang 4 dari tiap pasangan verteks di D, maka eksponen dari digraph pada Gambar 2.6 adalah 4.
2.4.2 2-Eksponen 2-Digraph Pada 2-digraph, 2-eksponen dari 2-digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil m + b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk berarah dari u ke v dengan panjang m + b yang terdiri dari m arc merah dan b arc biru. Eksponen dari 2-digraph tersebut dinotasikan dengan exp2(D).
Suwilo (2008) juga melakukan riset tentang digraph dwi - warna primitif yang dikhususkan pada lollipop dwi - warna.
Lemma 2.3 Andaikan D adalah sebuah 2-digraph atas n verteks dan misalkan R dan B masing-masing adalah matriks adjacency merah dan biru dari digraph dwi-warna D. Maka elemen (i, j) dari (R, B)(m,b) adalah banyaknya (m, b)-walk dari verteks vi ke verteks vj.
Bukti. Akan dibuktikan dengan induksi pada (m + b) dan (m + b + 1), jika m = 0 maka b = 1 atau jika m = 1 maka b = 0. Jika m = 0 maka elemen (i, j) dari (R, B)(0,1) = B adalah walk dengan komposisi 0 di 2-digraph D. Dengan cara
1 yang sama, jika b = 0 maka (R, B)(1,0) = R adalah walk dengan elemen (i, j) menyatakan walk dengan komposisi 1 di 2-digraph D.
0 Andaikan Lemma 2.3 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif m′ dan b′ dengan m′ + b′ ≤ m + b akan diperlihatkan untuk m + b + 1 adalah benar dengan catatan sebagai berikut.
(R, B)(m+1,b) = R(R, B)(m,b) + B(R, B)(m+1,b−1)
Oleh hipotesis induksi, elemen (i, j) pada R(R, B)(m,b) adalah walk dari vi ke vj yang dimulai dengan arc merah dan diikuti oleh (m, b)-walk, dan elemen (i, j) pada B(R, B)(m+1,b−1) adalah walk dari vi ke vj yang dimulUaindiveenrgsiatnasaSrcumbiartuerdaaUntara
20
diikuti oleh (m + 1, b − 1)-walk sedemikian hingga elemen (i, j) dari (R, B)(m+1,b) adalah jumlah (m + 1, b)-walk dari vi ke vj. Jadi, elemen (i, j) dari (R, B)(m,b) adalah jumlah (m, b)-walk dari verteks vi ke verteks vj.
Contoh 2.4.1 : Matriks adjacency merah dari 2-digraph pada Gambar 2.8 adalah 1 0 0 1
R
=
0
0
0
0
dan
matriks
adjacency
biru
dari
2-digraph
pada
Gambar
2.8
1 0 0 0
0010
0 0 0 0
adalah
B
=
0
1
0
1, kemudian akan dicari eksponen dari 2-digraph tersebut.
0 1 0 0
0000
Berdasarkan Lemma 2.3, banyaknya walk dari vertex vi ke vj dengan panjang m + b adalah entri (i, j) dari (R, B)(m,b), dengan demikian nilai m + b merupakan eksponen dari digraph bila matriks (R, B)(m+b) adalah matriks positif. Perhatikan matriks (R, B)(m,b) berikut:
a. Untuk m + b = 1, maka diperoleh:
1 0 0 1
1.
(R,
B )(1,0)
=
R
=
0
0
0
0
1 0 0 0
0010
0 0 0 0
2.
(R, B)(0,1) = B
=
0
1
0
1
0 1 0 0
0000
b. Untuk m + b = 2, maka diperoleh:
1 0 1 1
1.
(R,
B )(2,0)
=
R2
=
0
0
0
0
1 0 0 1
1000
Universitas Sumatera Utara
21
0 0 0 0
2.
(R,
B )(1,1)
=
RB
+
BR
=
0
0
1
0
0 0 0 0
0100
0 0 0 0
3.
(R,
B )(0,2)
=
B2
=
0
1
0
1
0 1 0 1
0000
c. Untuk m + b = 3, maka diperoleh:
2 0 1 1
1.
(R,
B )(3,0)
=
R3
=
0
0
0
0
1 0 1 1
1001
0 1 0 0
2.
(R, B)(2,1) = R(R, B)(1,1) + BR2
=
1
0
0
0
0 0 0 0
0000
0 0 0 0
3.
(R,
B )(1,2)
=
RB2
+
B(R,
B )(1,1)
=
0
1
1
0
0 0 1 0
0101
0 0 0 0
4.
(R,
B )(0,3)
=
B3
=
0
1
0
1
0 1 0 1
0000
d. Untuk m + b = 4, maka diperoleh:
3 0 1 2
1.
(R,
B )(4,0)
=
R4
=
0
0
0
0
2 0 1 1
1011
0 1 0 0
2.
(R, B)(3,1) = R(R, B)(2,1) + BR3
=
1
0
0
1
0 1 0 0
0 0 0 0 Universitas Sumatera Utara
22
0 1 0 1
3.
(R,
B )(2,2)
=
R(R,
B )(1,2)
+
B(R,
B )(2,1)
=
1
0
0
0
1 0 0 0
0010
0 0 0 0
4.
(R,
B )(1,3)
=
RB3
+
B(R,
B )(1,2)
=
0
2
1
1
0 1 1 0
0101
0 0 0 0
5.
(R,
B )(0,4)
=
B4
=
0
1
0
1
0 1 0 1
0000
e. Untuk m + b = 5, maka diperoleh:
4 0 2 3
1.
(R,
B )(5,0)
=
R5
=
0
0
0
0
3 0 1 2
2011
0 1 0 0
2.
(R, B)(4,1) = R(R, B)(3,1) + BR4
=
1
0
1
1
0 1 0 0
0100
0 1 1 1
3.
(R,
B )(3,2)
=
R(R,
B )(2,2)
+
B(R,
B )(3,1)
=
1
0
0
1
1 1 0 2
1000
0 1 0 1
4.
(R,
B )(2,3)
=
R(R,
B )(1,3)
+
B(R,
B )(2,2)
=
1
0
1
0
1 0 0 0
0110
0 0 0 0
5.
(R,
B )(1,4)
=
RB4
+
B(R,
B )(1,3)
=
0
3
1
2
0 2 1 1
0101
Universitas Sumatera Utara
23
0 0 0 0
6.
(R,
B )(0,5)
=
B5
=
0
1
0
1
0 1 0 1
0000
f. Untuk m + b = 6, maka diperoleh:
6 0 3 4
1.
(R,
B )(6,0)
=
R6
=
0
0
0
0
4 0 2 3
3012
0 2 0 0
2.
(R, B)(5,1) = R(R, B)(4,1) + BR5
=
2
0
1
1
0 1 0 0
0100
1 1 1 1
3.
(R,
B )(4,2)
=
R(R,
B )(3,2)
+
B(R,
B )(4,1)
=
1
1
1
1
1 1 2 2
1102
0 2 1 1
4.
(R,
B )(3,3)
=
R(R,
B )(2,3)
+
B(R,
B )(3,2)
=
2
0
0
1
1 1 0 2
1000
0 1 0 1
5.
(R,
B )(2,4)
=
R(R,
B )(1,4)
+
B(R,
B )(2,3)
=
1
1
2
0
1 0 1 0
0211
0 0 0 0
6.
(R,
B )(1,5)
=
RB5
+
B(R,
B )(1,4)
=
0
4
1
3
0 3 1 2
0101
0 0 0 0
7.
(R,
B )(0,6)
=
B6
=
0
1
0
1
0 1 0 1
0000
SKRIPSI
NURUL HIDAYATI 060803032
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
NURUL HIDAYATI 060803032
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
i
Judul
: EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWIWARNA DENGAN DUA LOOP
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: NURUL HIDAYATI
Nomor Induk Mahasiswa : 060803032
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Medan, Nopember 2011
Komisi Pembimbing : Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dra. Mardiningsih, M.Si NIP.19630405 198811 2 001
Diketahui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. l9620901 198803 1 002
Dr. Saib Suwilo, M.Sc. NIP. 19640109 198803 1 004
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
ii
EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Nopember 2011
NURUL HIDAYATI 060803032
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
iii
Alhamdulillahirabbil’alamiin, penulis panjatkan ke hadirat ALLAH Subhanahu Wa Ta’ala dengan tidak putus-putusnya, yang telah mencurahkan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP” ini dengan baik. Tak lupa juga Sholawat beriring salam kepada junjungan Nabi Muhammad Shallallahu ’Alaihi Wassalam beserta keluarga dan para sahabat.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang banyak membantu, memotivasi dan mendo’akan penulis dari awal penulis memulai sampai menyelesaikan skripsi ini, yaitu kepada:
1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si, selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika F-MIPA USU Medan.
3. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si, selaku dosen pembimbing II, yang telah banyak membantu dan memberi dukungan baik berupa nasehat maupun ilmu pengetahuan, serta dukungan moril dan motivasi bagi penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
5. Guru-guru yang telah sabar mendidik penulis di SD Negeri 101896 Kiri Hulu khususnya ibu kami Buk Ros yang telah meninggalkan dunia ini, di SLTP Swasta Tanjungmorawa Bersubsidi khususnya Ibu Lindawati Pakpahan, serta di SMA Negeri 5 Medan khususnya Ibu Farawiati Adrianti.
6. Ibunda Sunariyah, S.Pd dan Ayahanda Djumianto Wardhana yang telah begitu sabar dan penuh cinta mendo’akan penulis, memberikan dukungan moril dan materiil serta motivasi kepada penulis untuk segera menyelesaikan tulisan ini. Dan juga kepada abangda Fitrayadi Eka Wardhana, S.E beserta kakanda Sunarseh, abangda Dwiyanto Setiawan, S.T beserta kakanda Yani Farahdina Nasution, S.P, yang juga telah menyemangati dan mendo’akan penulis serta kepada keponakan-keponakan penulis Halwa Aulia Wardhana, Wardah Annisa Wardhana dan Muhammad Luthfi Setiawan yang telah memberikan rona ceria di hari-hari penulis pada saat menyelesaikan penelitian ini.
7. Nurlinda Sari Butarbutar dan Tuti Larasati yang senantiasa bersama penulis dalam suka dan duka, bersama-sama dalam menyelesaikan skripsi serta saling mendo’akan, saling memotivasi dan saling membantu.
Universitas Sumatera Utara
iv
Penulis juga berterima kasih kepada Mohammad Amin yang begitu banyak memberikan semangat dan mendo’akan kebaikan penulis, abangda Heri Risdianto, pak Agustin, serta sahabat-sahabat Reza, Cory, Jo, Ulfa, Tanti, Eko, Satria, Tantri, Rani, Agung, Rini, Ayu, Sari, Tika dan Andi dan sepupu-sepupu yang tergabung dalam Wagiran’s Club khususnya Mbak Tia, Puput, Anis, Dita, Dini dan Nanda. Juga kepada Aghni, Bayu, bang Zuhri, kak Nenna, bang Deni, kak Masnah, kak Rima, kak Diana, bang Budi, kak Nana, Putri, Rina, bang Nanang yang telah membantu dan menyemangati penulis. Teman-teman seperjuangan anak-anak Murni 2006, serta teman-teman stambuk 2006, abangda dan kakanda stambuk 2002, 2003, 2004 dan 2005, serta adinda stambuk 2007, 2008 dan 2009, anggota IM-KUBIK, ukhti-ukhti di musholah UKMI AL-FALAK dan semua teman-teman penulis baik dirumah, SD, SMP maupun SMA dan di lingkungan USU yang telah mendukung dan menyemangati penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terimakasih semuanya.
Penulis menyadari masih ada kekurangan dalam penelitian ini, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca sekalian.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua dan di dunia pendidikan.
Medan, 01 Oktober 2011 Penulis,
Nurul Hidayati
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
v
Suatu digraph D yang setiap arc-nya berwarna merah atau biru disebut digraph dwi-warna. Suatu digraph dwi-warna terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif m dan b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang m + b, dimana banyaknya arc merah adalah m dan banyaknya arc biru adalah b. Misalkan D adalah digraph dwi-warna dengan V (D) = {v1, v2, · · · , vn} untuk setiap vk ∈ V (D), maka eksponen vertex dari D adalah bilangan bulat positif terkecil m + b sedemikian hingga terdapat walk dengan panjang m + b dari vk ke masing-masing vertex di D. Andaikan D adalah suatu digraph dwi - warna yang terdiri dari n vertex dengan n ≥ 3 dan memiliki 2 loop, dan jika vk, k = 1, 2, ..., n adalah vertex di D, tulisan ini akan memperlihatkan pola dari eksponen vertex di D tepat 2n−2 untuk k = 1, 2, 3 dan tepat 2n − 5 + k untuk 4 ≤ k ≤ n.
Universitas Sumatera Utara
vi VERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH
WITH 2 LOOPS ABSTRACT
A digraph D in which each of its arcs is coloured by either red or blue is called two-coloured digraph. A strongly connected of two-coloured digraph is primitive provided there are nonnegative integers m and b such that for each pair of vertices u and v in D there is a walk with length m + b, in which m arcs coloured by red and b arcs coloured by blue. Let D is a two-coloured digraph with V (D) = {v1, v2, · · · , vn} for each vk ∈ V (D), the vertex exponent of D is the smallest nonnegative integer m + b such that there is a walk with length m + b from vk to each vertex in D. Let D is a two-coloured digraph on n vertex with n ≥ 3 and 2 loops, if vk, k = 1, 2, ..., n is vertex of D, this paper will give the general of vertex exponent of D exactly 2n − 2 for k = 1, 2, 3 and exactly 2n − 5 + k for 4 ≤ k ≤ n.
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
vii
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang 1.2. Perumusan Masalah 1.3. Tujuan Penelitian 1.4. Manfaat Penelitian 1.5. Metodologi Penelitian
Halaman i ii
iii v vi vii ix
1 1 4 4 4 4
2. DIGRAPH DAN 2-DIGRAPH
2.1. Definisi 2.2. Matriks Adjacency 2.3. Primitifitas dari Digraph dan 2-Digraph Terhubung Kuat 2.4. Eksponen Digraph dan 2-Digraph 2.5. Eksponen Vertex Digraph dan 2-Digraph
6
6 11 12 16 24
3. DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN 2 LOOP
3.1. Eksponen 2-Digraph dengan 2 Loop 3.2. Eksponen Vertex 2-Digraph dengan 2 Loop
29
29 32
4. KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan 4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA
41
41 41
42
Universitas Sumatera Utara
viii
LAMPIRAN A. FUNGSI MATLAB ”VERT 2EXP LOOPS”
43
B. OUTPUT DARI FUNGSI MATLAB ”VERT 2EXP LOOPS” 47
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
ix
Gambar
Halaman
1.1 Digraph dengan 2 Loop
3
2.1 Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc
7
2.2 Digraph dengan walk, path, cycle dan loop
8
2.3 2-Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc
9
2.4 2-Digraph dengan walk, path, cycle dan loop
10
2.5 (a) Digraph terhubung kuat (b) Digraph tidak terhubung kuat 13
2.6 Digraph terhubung kuat dan primitif
14
2.7 (a) 2-digraph terhubung kuat (b) 2-digraph tidak terhubung kuat 15
2.8 2-Digraph terhubung kuat dan primitif
16
2.9 Digraph Wielandt Wn dengan n vertex
27
3.1 2-Digraph dengan 2 Loop
36
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
v
Suatu digraph D yang setiap arc-nya berwarna merah atau biru disebut digraph dwi-warna. Suatu digraph dwi-warna terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif m dan b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang m + b, dimana banyaknya arc merah adalah m dan banyaknya arc biru adalah b. Misalkan D adalah digraph dwi-warna dengan V (D) = {v1, v2, · · · , vn} untuk setiap vk ∈ V (D), maka eksponen vertex dari D adalah bilangan bulat positif terkecil m + b sedemikian hingga terdapat walk dengan panjang m + b dari vk ke masing-masing vertex di D. Andaikan D adalah suatu digraph dwi - warna yang terdiri dari n vertex dengan n ≥ 3 dan memiliki 2 loop, dan jika vk, k = 1, 2, ..., n adalah vertex di D, tulisan ini akan memperlihatkan pola dari eksponen vertex di D tepat 2n−2 untuk k = 1, 2, 3 dan tepat 2n − 5 + k untuk 4 ≤ k ≤ n.
Universitas Sumatera Utara
vi VERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH
WITH 2 LOOPS ABSTRACT
A digraph D in which each of its arcs is coloured by either red or blue is called two-coloured digraph. A strongly connected of two-coloured digraph is primitive provided there are nonnegative integers m and b such that for each pair of vertices u and v in D there is a walk with length m + b, in which m arcs coloured by red and b arcs coloured by blue. Let D is a two-coloured digraph with V (D) = {v1, v2, · · · , vn} for each vk ∈ V (D), the vertex exponent of D is the smallest nonnegative integer m + b such that there is a walk with length m + b from vk to each vertex in D. Let D is a two-coloured digraph on n vertex with n ≥ 3 and 2 loops, if vk, k = 1, 2, ..., n is vertex of D, this paper will give the general of vertex exponent of D exactly 2n − 2 for k = 1, 2, 3 and exactly 2n − 5 + k for 4 ≤ k ≤ n.
Universitas Sumatera Utara
EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP
SKRIPSI
NURUL HIDAYATI 060803032
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
NURUL HIDAYATI 060803032
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
i
Judul
: EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWIWARNA DENGAN DUA LOOP
Kategori
: SKRIPSI
Nama
: NURUL HIDAYATI
Nomor Induk Mahasiswa : 060803032
Program Studi
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen
: MATEMATIKA
Fakultas
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Medan, Nopember 2011
Komisi Pembimbing : Pembimbing 2
Pembimbing 1
Dra. Mardiningsih, M.Si NIP.19630405 198811 2 001
Diketahui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. l9620901 198803 1 002
Dr. Saib Suwilo, M.Sc. NIP. 19640109 198803 1 004
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
ii
EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Nopember 2011
NURUL HIDAYATI 060803032
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
iii
Alhamdulillahirabbil’alamiin, penulis panjatkan ke hadirat ALLAH Subhanahu Wa Ta’ala dengan tidak putus-putusnya, yang telah mencurahkan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”EKSPONEN VERTEX DARI DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA LOOP” ini dengan baik. Tak lupa juga Sholawat beriring salam kepada junjungan Nabi Muhammad Shallallahu ’Alaihi Wassalam beserta keluarga dan para sahabat.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang banyak membantu, memotivasi dan mendo’akan penulis dari awal penulis memulai sampai menyelesaikan skripsi ini, yaitu kepada:
1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si, selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika F-MIPA USU Medan.
3. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si, selaku dosen pembimbing II, yang telah banyak membantu dan memberi dukungan baik berupa nasehat maupun ilmu pengetahuan, serta dukungan moril dan motivasi bagi penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
5. Guru-guru yang telah sabar mendidik penulis di SD Negeri 101896 Kiri Hulu khususnya ibu kami Buk Ros yang telah meninggalkan dunia ini, di SLTP Swasta Tanjungmorawa Bersubsidi khususnya Ibu Lindawati Pakpahan, serta di SMA Negeri 5 Medan khususnya Ibu Farawiati Adrianti.
6. Ibunda Sunariyah, S.Pd dan Ayahanda Djumianto Wardhana yang telah begitu sabar dan penuh cinta mendo’akan penulis, memberikan dukungan moril dan materiil serta motivasi kepada penulis untuk segera menyelesaikan tulisan ini. Dan juga kepada abangda Fitrayadi Eka Wardhana, S.E beserta kakanda Sunarseh, abangda Dwiyanto Setiawan, S.T beserta kakanda Yani Farahdina Nasution, S.P, yang juga telah menyemangati dan mendo’akan penulis serta kepada keponakan-keponakan penulis Halwa Aulia Wardhana, Wardah Annisa Wardhana dan Muhammad Luthfi Setiawan yang telah memberikan rona ceria di hari-hari penulis pada saat menyelesaikan penelitian ini.
7. Nurlinda Sari Butarbutar dan Tuti Larasati yang senantiasa bersama penulis dalam suka dan duka, bersama-sama dalam menyelesaikan skripsi serta saling mendo’akan, saling memotivasi dan saling membantu.
Universitas Sumatera Utara
iv
Penulis juga berterima kasih kepada Mohammad Amin yang begitu banyak memberikan semangat dan mendo’akan kebaikan penulis, abangda Heri Risdianto, pak Agustin, serta sahabat-sahabat Reza, Cory, Jo, Ulfa, Tanti, Eko, Satria, Tantri, Rani, Agung, Rini, Ayu, Sari, Tika dan Andi dan sepupu-sepupu yang tergabung dalam Wagiran’s Club khususnya Mbak Tia, Puput, Anis, Dita, Dini dan Nanda. Juga kepada Aghni, Bayu, bang Zuhri, kak Nenna, bang Deni, kak Masnah, kak Rima, kak Diana, bang Budi, kak Nana, Putri, Rina, bang Nanang yang telah membantu dan menyemangati penulis. Teman-teman seperjuangan anak-anak Murni 2006, serta teman-teman stambuk 2006, abangda dan kakanda stambuk 2002, 2003, 2004 dan 2005, serta adinda stambuk 2007, 2008 dan 2009, anggota IM-KUBIK, ukhti-ukhti di musholah UKMI AL-FALAK dan semua teman-teman penulis baik dirumah, SD, SMP maupun SMA dan di lingkungan USU yang telah mendukung dan menyemangati penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terimakasih semuanya.
Penulis menyadari masih ada kekurangan dalam penelitian ini, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca sekalian.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua dan di dunia pendidikan.
Medan, 01 Oktober 2011 Penulis,
Nurul Hidayati
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
v
Suatu digraph D yang setiap arc-nya berwarna merah atau biru disebut digraph dwi-warna. Suatu digraph dwi-warna terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif m dan b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang m + b, dimana banyaknya arc merah adalah m dan banyaknya arc biru adalah b. Misalkan D adalah digraph dwi-warna dengan V (D) = {v1, v2, · · · , vn} untuk setiap vk ∈ V (D), maka eksponen vertex dari D adalah bilangan bulat positif terkecil m + b sedemikian hingga terdapat walk dengan panjang m + b dari vk ke masing-masing vertex di D. Andaikan D adalah suatu digraph dwi - warna yang terdiri dari n vertex dengan n ≥ 3 dan memiliki 2 loop, dan jika vk, k = 1, 2, ..., n adalah vertex di D, tulisan ini akan memperlihatkan pola dari eksponen vertex di D tepat 2n−2 untuk k = 1, 2, 3 dan tepat 2n − 5 + k untuk 4 ≤ k ≤ n.
Universitas Sumatera Utara
vi VERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH
WITH 2 LOOPS ABSTRACT
A digraph D in which each of its arcs is coloured by either red or blue is called two-coloured digraph. A strongly connected of two-coloured digraph is primitive provided there are nonnegative integers m and b such that for each pair of vertices u and v in D there is a walk with length m + b, in which m arcs coloured by red and b arcs coloured by blue. Let D is a two-coloured digraph with V (D) = {v1, v2, · · · , vn} for each vk ∈ V (D), the vertex exponent of D is the smallest nonnegative integer m + b such that there is a walk with length m + b from vk to each vertex in D. Let D is a two-coloured digraph on n vertex with n ≥ 3 and 2 loops, if vk, k = 1, 2, ..., n is vertex of D, this paper will give the general of vertex exponent of D exactly 2n − 2 for k = 1, 2, 3 and exactly 2n − 5 + k for 4 ≤ k ≤ n.
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
vii
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang 1.2. Perumusan Masalah 1.3. Tujuan Penelitian 1.4. Manfaat Penelitian 1.5. Metodologi Penelitian
Halaman i ii
iii v vi vii ix
1 1 4 4 4 4
2. DIGRAPH DAN 2-DIGRAPH
2.1. Definisi 2.2. Matriks Adjacency 2.3. Primitifitas dari Digraph dan 2-Digraph Terhubung Kuat 2.4. Eksponen Digraph dan 2-Digraph 2.5. Eksponen Vertex Digraph dan 2-Digraph
6
6 11 12 16 24
3. DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN 2 LOOP
3.1. Eksponen 2-Digraph dengan 2 Loop 3.2. Eksponen Vertex 2-Digraph dengan 2 Loop
29
29 32
4. KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan 4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA
41
41 41
42
Universitas Sumatera Utara
viii
LAMPIRAN A. FUNGSI MATLAB ”VERT 2EXP LOOPS”
43
B. OUTPUT DARI FUNGSI MATLAB ”VERT 2EXP LOOPS” 47
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
ix
Gambar
Halaman
1.1 Digraph dengan 2 Loop
3
2.1 Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc
7
2.2 Digraph dengan walk, path, cycle dan loop
8
2.3 2-Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc
9
2.4 2-Digraph dengan walk, path, cycle dan loop
10
2.5 (a) Digraph terhubung kuat (b) Digraph tidak terhubung kuat 13
2.6 Digraph terhubung kuat dan primitif
14
2.7 (a) 2-digraph terhubung kuat (b) 2-digraph tidak terhubung kuat 15
2.8 2-Digraph terhubung kuat dan primitif
16
2.9 Digraph Wielandt Wn dengan n vertex
27
3.1 2-Digraph dengan 2 Loop
36
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Digraph merupakan hubungan antara titik-titik yang disebut dengan vertex dari digraph dengan garis berarah yang disebut dengan arc dari digraph. Vertex dari digraph direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil dan arc dari digraph direpresentasikan dalam bentuk garis berarah.
Suatu walk dengan panjang m dari suatu digraph D yang menghubungkan vertex u dan vertex v adalah suatu barisan arc di D dalam bentuk
u = v0 → v1 → ... → vm−1 → vm = v
dengan v0 = u dan vm = v. Jika u = v maka walk tersebut dikatakan walk tertutup, dan jika u = v maka walk tersebut dikatakan walk terbuka. Suatu path adalah suatu walk tanpa adanya perulangan vertex. Suatu path tertutup uv disebut cycle. Dan suatu cycle dengan panjang 1 disebut loop.
Suatu digraph dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap pasangan vertex u dan v terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u dan primitif jika terdapat suatu bilangan bulat positif l sedemikian hingga untuk setiap pasangan vertex dari u dan v di D terdapat walk yang panjangnya l dari u ke v. Bilangan bulat terkecil dari l tersebut merupakan eksponen dari D yang dinotasikan dengan exp(D).
Konsep tradisional dari eksponen digraph primitif telah digeneralisasikan oleh Brualdi dan Liu (1990) dengan memperkenalkan tiga tipe generalisasi eksponen. Misalkan D adalah sebuah digraph primitif dengan himpunan vertex V (D) = (v1, v2, · · · , vn). Untuk suatu vi ∈ V (D) dan X ⊆ V (D), eksponen vertex γD(vk) adalah bilangan bulat positif terkecil l sedemikian hingga UtenrivdearpsaittaswSaulkmadteenragaUntara
2
panjang l dari vi kesetiap vertex di D, dan himpunan eksponen expD(X) adalah bilangan bulat positif terkecil p sehingga untuk setiap vertex vj di D terdapat sebuah walk dari paling sedikit satu vertex di X ke vj dengan panjang p.
Misalkan D adalah digraph primitif dengan orde n. Jika vertex - vertex di D adalah (v1, v2, · · · , vn) sedemikian hingga
γD(v1) ≤ γD(v2) ≤ · · · ≤ γD(vn)
maka γD(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke - k dari D, dinotasikan expD(vk).
Digraph dwi-warna atau 2-digraph adalah suatu digraph yang setiap arc-nya diwarnai merah atau biru (Fornasini dan Valcher (1997)). Suatu (m,b)-walk pada 2 digraph D dari vertex u ke v adalah barisan arc yang terdiri dari m arc merah dan b arc biru yang menghubungkan vertex u dan v. Suatu 2-digraph D dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat m dan b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat (m, b)-walk dari u ke v dan sebaliknya, bilangan bulat positif terkecil dari m + b tersebut merupakan 2-eksponen dari 2-digraph D primitif yang dinotasikan dengan exp2(D).
Penelitian tentang 2-eksponen 2-digraph dimulai oleh Shader dan Suwilo
(2003) yang memperlihatkan bahwa bila D adalah digraph dwi-warna primitif
atas
n
vertex,
maka
2-eksponen
terbesar
dari
D
terletak
pada
interval
[
1 2
(n3
−
5n2),
1 2
(3n3
+
2n2
−
2n)].
Eksponen dari 2-digraph dengan 2-loop dan n vertex dapat diketahui dari komposisi warna arc yang adjacent dengan loop merah maupun loop biru pada 2-digraph tersebut. Dalam penelitiannya Richard Albert Nasution (2007) memperlihatkan bentuk umum 2-eksponen dari 2-digraph dengan 2 loop dengan jumlah vertex n yaitu tepat 2n, 2n − 1, dan 2n − 2 dengan syarat:
1. 2-digraph dengan eksponen tepat 2n didapat jika arcUynainvegrsaidtajascSeunmt kateerloaoUptara
3 merah adalah sepasang arc yang berwarna merah dan untuk loop biru adalah sepasang arc yang berwarna biru, atau sebaliknya. 2. 2-digraph dengan eksponen tepat 2n − 1 didapat jika arc yang adjacent ke loop merah adalah sepasang arc berwarna merah dan arc yang adjacent ke loop biru adalah sepasang arc yang berbeda warna, atau sebaliknya. 3. 2-digraph dengan eksponen tepat 2n − 2 didapat kedua loop terletak pada vertex yang sama. Suatu 2-digraph D terhubung kuat dengan n ≥ 2 vertex yang memuat sebuah loop merah dan sebuah loop biru memiliki eksponen exp2(D) ≤ 3n − 3. Andaikan D adalah 2-digraph yang terdiri dari cycle v1 → vn → ... → v3 → v1 dan vn → vn−1 → ... → v3 → v2 → vn, loop (v1, v1) dan loop (v2, v2) yang diperlihatkan pada gambar
Gambar 1.1 : Digraph dengan 2 Loop memiliki exp2(D) ≤ 3n − 5. Dan jika pewarnaan di D menjadi (v1, v1) adalah loop merah, (v2, v2) adalah loop biru, v1 → vn → vn−1 → ... → v3 → v1 adalah cycle merah dan v3 → v2 → vn adalah path biru, maka 2-eksponennya tepat 3n − 5.
Gao dan Shao (2009) juga telah menggeneralisasikan eksponen dari digraph dwi-warna primitif Wielandt dengan menggunakan tiga tipe generalisasi eksponen yang tipe pertamanya adalah generalisasi eksponen verUtenxivdeirgsritaapshSduwmia-tweararnUatara
4
primitif. Misalkan D adalah suatu digraph dwi-warna primitif dengan V (D) = {v1, v2, . . . , vn} untuk setiap vi ∈ V (D), maka eksponen vertex expD(vi) adalah bilangan bulat positif terkecil m1 + m2 sedemikian hingga terdapat (m1, m2)-walk dari vi ke setiap vertex di D. Penelitian ini bertujuan untuk mencari generalisasi dari eksponen vertex dari 2-digraph dengan 2 loop pada Gambar 1.1.
1.2 Perumusan Masalah Andaikan D adalah suatu digraph dwi - warna yang terdiri dari n vertex dan memiliki 2 loop seperti pada Gambar 1.1 dengan (v1, v1) adalah loop merah, (v2, v2) adalah loop biru, v1 → vn → vn−1 → · · · → v3 → v1 adalah cycle merah dan v3 → v2 → vn adalah path biru dari D. Masalah dari penelitian ini adalah bagaimana menentukan pola eksponen vertex v di D.
1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini yaitu untuk memperoleh generalisasi eksponen vertex dari 2-digraph dengan 2 loop seperti pada Gambar 1.1.
1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dalam bidang eksponen dari digraph primitif.
1.5 Metodologi Penelitian Untuk mencari pola eksponen vertex digraph dwi-warna dengan 2 loops dilakukan dengan cara sebagai berikut:
1. Mempelajari teori dasar yang berkenaan dengan penelitian ini, meliputi
definisi, teorema, dan berbagai contoh.
Universitas Sumatera Utara
5 2. Dengan bantuan program matlab ”vert 2exp loops” yang dibuat oleh Dr.
Saib Suwilo, M.Sc, yaitu suatu program yang digunakan untuk menentukan eksponen verteks dari digraph dwi-warna dengan loop. Melalui program ini peneliti memasukkan banyaknya vertex yang diinginkan lalu akan dihasilkan eksponen vertex dari masing-masing vertex serta komposisinya. 3. Mencari pola dari eksponen verteks digraph dwi-warna primitif dari hasilhasil yang telah diperoleh tersebut secara kombinatorial. 4. Memberikan suatu pembuktian dari pola eksponen verteks yang telah diperoleh tersebut.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
DIGRAPH DAN 2-DIGRAPH
Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan definisi sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar yang dimaksud adalah yang berkaitan dengan permasalahan dalam penelitian ini seperti definisi, keterhubungan, primitifitas, eksponen dan eksponen vertex dari digraph dan 2-digraph. 2.1 Definisi Pada sub-bab ini akan diberikan beberapa definisi tentang digraph dan 2-digraph serta notasi-notasi yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya.
2.1.1 Digraph Secara sederhana graph adalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang dihubungkan oleh garis tak berarah. Jika garis penghubung diberi arah, maka graph yang demikian dinamakan digraph (directed graph).
Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga yang tak kosong, sebuah digraph D adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan V yang unsurnya disebut vertex dari D, dan himpunan A ⊆ V × V yang unsurnya disebut arc dari D. Jika diberikan u, v ∈ A, maka terdapat arc dari u ke v di D, dimana u disebut sebagai vertex awal dan v disebut sebagai vertex akhir. Arc (u,v) dapat juga dinotasikan dengan u → v.
Vertex v dari digraph direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil yang diberi tanda v dan arc (u,v) dari digraph direpresentasikan dalam bentuk garis berarah dari titik u ke titik v.
Universitas Sumatera Utara
7 Contoh 2.1.1 : Himpunan vertex V = v1, v2, v3, v4, v5, v6 dan himpunan arc A = (v1, v2), (v1, v6), (v2, v3), (v2, v4), (v2, v5), (v3, v4), (v4, v5), (v5, v1), (v6, v5) adalah suatu digraph dengan 6 vertex dan 9 arc dan direpresentasikan secara grafis sebagai berikut:
Gambar 2.1 : Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc
Diberikan suatu digraph D dengan u dan v adalah vertex di D. Suatu walk dengan panjang m dari u ke v adalah suatu barisan arc di D dalam bentuk
v0 → v1 → v2 → ... → vm−1 → vm dengan m > 0, v0 = u dan vm = v. Jika u = v maka walk tersebut dikatakan walk tertutup dan jika u = v maka walk tersebut dikatakan walk terbuka. Suatu path didefinisikan sebagai suatu walk tanpa adanya perulangan vertex, namun vertex awal dan vertex akhir boleh berulang yang kemudian disebut path tertutup. Suatu path tertutup uv disebut dengan cycle dan sebuah cycle dengan panjang 1 disebut loop. Berikut ini akan diberikan representasi dari digraph untuk menjelaskan beberapa definisi di atas.
Universitas Sumatera Utara
Contoh 2.1.2 : Diberikan digraph sebagai berikut:
8
Gambar 2.2 : Digraph dengan walk, path, cycle dan loop
Digraph pada gambar di atas memiliki walk, path, cycle dan loop sebagai berikut:
a. v1 → v2 → v3 → v4 → v2 → v5 → v1 adalah sebuah walk tertutup tetapi bukan path.
b. v1 → v2 → v5 → v5 → v1 → v2 → v3 adalah sebuah walk terbuka tetapi bukan path.
c. v1 → v2 → v5 adalah sebuah path terbuka. d. v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v1 adalah sebuah cycle atau path tertutup. e. v5 → v5 adalah sebuah loop.
2.1.2 2-Digraph 2-Digraph atau digraph dwi-warna merupakan suatu digraph yang setiap arc-nya diberi warna merah atau biru.
Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga yang tak kosong, sebuah 2-digraph D adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan V yang unsurnya disebut vertex dari D, dan himpunan R ⊆ V × V yang unsurnya disebut arc merah dari D dan himpunan B ⊆ V × V yang unsurnya disebut arc biru dari D. Jika diberikan u1, v1 ∈ R dan u2, v2 ∈ B, maka terdaUpantivaerrscitmaseSrauhmadtaerria uU1tara
9 ke v1 di D dan terdapat arc biru dari u2 ke v2 di D, dimana u1 dan u2 disebut sebagai vertex awal dan v1 dan v2 disebut sebagai vertex akhir. Arc merah (u1,v1) dapat juga dinotasikan dengan u1 →−r v1 dan arc biru (u2,v2) dapat juga dinotasikan dengan u2 −→b v2.
Vertex v dari 2-digraph direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil yang diberi tanda v, arc merah (u1,v1) dari 2-digraph direpresentasikan dalam bentuk garis atau kurva berarah tak putus dari titik u1 ke titik v1 dan arc biru (u2,v2) dari 2-digraph direpresentasikan dalam bentuk garis atau kurva berarah putus-putus dari titik u2 ke titik v2. Contoh 2.1.3 : Himpunan vertex V = v1, v2, v3, v4, v5, v6, himpunan arc R = {(v1, v2), (v2, v4), (v4, v5), (v5, v1)} dan himpunan arc B = {(v1, v6), (v2, v3), (v2, v5), (v3, v4), (v6, v5) } adalah suatu digraph dengan 6 vertex, 4 arc merah dan 5 arc biru dan direpresentasikan secara grafis sebagai berikut:
Gambar 2.3 : 2-Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc
Suatu (m, b)-walk w pada 2-digraph D adalah suatu walk yang terdiri dari m arc merah dan b arc biru. Banyaknya m arc berwarna merah dan b arc berwarna biru pada suatu walk w di D dinotasikan dengan r(w) dan b(w) serta panjangnya walk w dinotasikan dengan ℓ(w) dimana ℓ(w) = r(w) + b(w) yaitu banyaknya arc merah dan arc biru yang membentuk walk tersebut. Vektor dari (r(w), b(w)) atau
Universitas Sumatera Utara
10
r(w) b(w)
disebut sebagai komposisi dari w.
Sama seperti digraph, path merupakan suatu walk tanpa adanya perulangan
vertex, namun vertex awal dan vertex akhir boleh berulang yang kemudian disebut
path tertutup atau cycle. Loop merupakan suatu cycle dengan komposisi
1 0
atau
0 1
.Berikut ini akan diberikan representasi dari 2-digraph untuk menjelaskan
beberapa definisi di atas.
Contoh 2.1.4 : Diberikan 2-digraph sebagai berikut:
Gambar 2.4 : 2-Digraph dengan walk, path, cycle dan loop
Digraph pada gambar di atas memiliki walk, path, cycle dan loop sebagai berikut:
a. v1 −→r v2 →−b v3 →−b v4 −→r v2 −→b v5 →−r v1 adalah sebuah walk tertutup tetapi bukan path.
b. v1 −→r v2 →−b v5 −→b v5 −→r v1 −→r v2 −→b v3 −→r v3 adalah sebuah walk terbuka tetapi bukan path.
c. v1 −→r v2 −→b v5 adalah sebuah path terbuka.
d. v1 −→r v2 −→b v3 →−b v4 −→r v5 −→r v1 adalah sebuah cycle atau path tertutup.
e. v5 →−b v5 adalah sebuah loop dengan komposisi
0 1
.
f. v3 −→r v3 adalah sebuah loop dengan komposisi
1 0
.
Universitas Sumatera Utara
11
2.2 Matriks Adjacency Digraph dan 2-Digraph dapat juga direpresentasikan dalam bentuk matriks. Suatu digraph D dan 2-Digraph D dengan n vertex dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks berordo n × n dengan entri-entrinya berupa 1 dan 0. Matriks tersebut merupakan matriks adjacency.
2.2.1 Matriks Adjacency Digraph
Suatu matriks adjacency A = [aij] dari Digraph D dengan n vertex dapat kita
representasikan dengan entri sebagai berikut:
1, ai,j =
0,
jika terdapat arc dari vi ke vj jika sebaliknya.
untuk i, j = 1, 2, · · · , n.
Contoh 2.2.1 : Berikut ini adalah matriks adjacency yang diperoleh dari digraph
pada Gambar 2.2 :
01000
0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 1
10001
2.2.2 Matriks Adjacency 2-Digraph Suatu matriks adjacency dari 2-Digraph D dengan n vertex dapat kita representasikan dalam 2 matriks adjacency, yaitu matriks adjacency merah dan matriks adjacency biru.
Matriks adjacency merah, R = [rij] pada D adalah matriks n × n dengan
entri sebagai berikut:
1, ri,j =
0,
jika terdapat arc merah jika sebaliknya
untuk i, j = 1, 2, · · · , n
Universitas Sumatera Utara
12
Matriks adjacency biru, B = [bij] pada D adalah matriks n × n dengan entri
sebagai berikut:
1, bi,j =
0,
jika terdapat arc biru jika sebaliknya
untuk i, j = 1, 2, · · · , n
Contoh 2.2.2 : Berikut ini adalah matriks adjacency yang diperoleh dari 2-
digraph pada Gambar 2.4 :
01000
0 0 0 0 0 R = 0 0 1 0 0 adalah matriks adjacency merah ; 0 1 0 0 1
10000
00000
0 0 1 0 1 B = 0 0 0 1 0 adalah matriks adjacency biru. 0 0 0 0 0
00001
2.3 Primitifitas dari Digraph dan 2-Digraph Terhubung Kuat Pada sub-bab ini akan dibahas tentang digraph dan 2-digraph terhubung kuat dan primitif.
2.3.1 Digraph Primitif Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan terdapat walk dari v ke u.
Universitas Sumatera Utara
13
Contoh 2.3.1 : Berikut ini adalah representasi dari digraph terhubung kuat dan digraph tidak terhubung kuat.
Gambar 2.5 : (a) Digraph terhubung kuat (b) Digraph tidak terhubung kuat
Gambar 2.5 (a) merupakan suatu digraph terhubung kuat karena terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya, dan Gambar 2.5 (b) bukan merupakan suatu digraph terhubung kuat atau dengan kata lain tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v2 ke v3.
Suatu digraph D terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat positif l sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat suatu walk yang panjangnya l.
Lemma 2.1 Andaikan D adalah digraph terhubung kuat maka setiap vertex v di D terletak pada cycle.
Bukti: Ambil sebarang vertex v di D dan sebarang arc dari vertex u ke v di D.
Karena D terhubung kuat, maka terdapat path dari vertex u ke v yang berakibat
akan diperoleh suatu path tertutup di D yang dibentuk oleh arc dari vertex u ke v
dan path dari vertex v ke u di D. Oleh definisi bahwa path tertutup adalah suatu
cycle dan v sebarang vertex di D, maka setiap vertex v di D terletak pada suatu
cycle.
Universitas Sumatera Utara
14 Andaikan himpunan C = {c1, c2,...,ct} adalah himpunan semua cycle di D. Misalkan M adalah suatu matriks baris dengan kolom ke i untuk i = 1, 2,..., t dan entri-entri dari M adalah panjang cycle ci (ℓ(ci)). Misalkan M sebagai subgrup dari grup bilangan bulat Z yang dibangun oleh kolom-kolom dari M yakni
M = {z1ℓ(c1) + z2ℓ(c2) + ... + ztℓ(ct) : zi ∈ Z, i = 1, 2, 3, ..., t}
Andaikan D adalah digraph imprimitif dengan indeks imprimitifitas k, maka k = gcd(ℓ(c1), ℓ(c2), ... , ℓ(ct)). Kemudian suatu digraph dikatakan primitif jika k = 1 dan imprimitf jika k = 1. Contoh 2.3.2 : Representasi dari digraph terhubung kuat yang primitif
Gambar 2.6 : Digraph terhubung kuat dan primitif
Digraph pada Gambar 2.6 merupakan digraph terhubung kuat dengan 4 cycle yaitu : v1 → v1 dengan panjang 1, cycle v1 → v2 → v4 → v1 dengan panjang 3, cycle v2 → v4 → v3 → v2 dengan panjang 3 dan cycle v3 → v3 dengan panjang 1. Pembagi persekutuan terbesar dari panjang cycle-cycle pada digraph tersebut adalah 1. Dengan demikian, digraph tersebut primitif. 2.3.2 2-Digraph Primitif Suatu 2-digraph D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v daUnntievredrsaiptaast SwuamlkatdearariUvtara
15
ke u, dengan tidak memperhatikan komposisi warna arc dari walk tersebut. Contoh 2.3.3 : Berikut ini adalah representasi dari 2-digraph terhubung kuat dan 2-digraph tidak terhubung kuat.
Gambar 2.7 : (a) 2-digraph terhubung kuat (b) 2-digraph tidak terhubung kuat
Gambar 2.7 (a) merupakan suatu 2-digraph terhubung kuat karena terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya, dan Gambar 2.7 (b) bukan merupakan suatu 2-digraph terhubung kuat atau dengan kata lain tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v2 ke v3.
Suatu 2-digraph D terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat m dan b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat (m, b)walk dari u ke v dan sebaliknya. Andaikan D adalah digraph dwi-warna terhubung kuat dan andaikan C = {γ1, γ2, . . . , γt} adalah himpunan semua cycle yang berada di D. Suatu matriks cycle M dari D adalah suatu matriks berordo 2 × t dengan kolom-kolomnya adalah komposisi dari cycle-cycle γi, i = 1, 2, · · · , t yakni
M = r(γ1) r(γ2) ... r(γt) b(γ1) b(γ2) ... b(γt)
disebut sebagai cycle matriks D. Suatu 2-digraph D dikatakan primitif jika dan
hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 × 2 dari
M adalah 1 (Fornasini dan Valcher, 1997).
Universitas Sumatera Utara
16 Contoh 2.3.3 : Representasi dari 2-digraph terhubung kuat yang primitif
Gambar 2.8 : 2-Digraph terhubung kuat dan primitif
Pada gambar terdapat 4 buah cycle, sehingga diperoleh cycle matriks sebagai
berikut
M= 1 3 1 0 0021
13 11 10
dan submatriksnya adalah M1 =
0
0 , M2 =
0
2 , M3 =
0
,dst. Dikare1
nakan det(M3)=1, hal ini mengakibatkan pembagi persekutuan terbesar dari se-
mua determinan submatriksnya akan bernilai 1. Dengan demikian 2-digraph terse-
but 2-primitif.
2.4 Eksponen Digraph dan 2-Digraph Pada sub-bab ini akan dibahas tentang definisi eksponen digraph dan 2-digraph serta contoh bagaimana menentukan eksponen dari digraph dan 2-digraph tersebut.
2.4.1 Eksponen Digraph
Pada digraph, eksponen dari digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat positif
terkecil k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk
berarah dari u ke v dengan panjang k. Eksponen dari digraph tersebut dinotasikan
dengan exp(D).
Universitas Sumatera Utara
17
Zaini dan Suwilo (2005), menyatakan bahwa vertex vi ke vj di Ak memiliki walk dengan panjang k. Berikut ini diperlihatkan hubungan antara suatu digraph dengan matriks.
Proposisi 2.2 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri aikj dari Ak menyatakan banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k di D.
Bukti: Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap entri (i, j) dari A menyatakan arc dari vi ke vj di digraph D. Hal ini berakibat untuk k = 1, maka setiap entri ai1j dari A1 menyatakan banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya satu.
Asumsikan setiap entri ai(jk) dan Ak menyatakan banyaknya walk dari vi dan vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1. Berikut ini diperlihatkan ai(jk+1) adalah banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D, untuk k ≥ 1.
Perhatikan setiap walk dari vi ke vj di D dengan panjang k + 1 yang terdiri
dari walk dari vi ke vj dengan panjang k untuk l = 1, 2, . . . , n dan dilanjutkan dengan arc dari vi ke vj. Sehingga ai(lk)alj adalah menyatakan walk yang panjangnya
k + 1 dari vi ke vj di D, untuk k = 1, 2, . . . , n. Jika tidak terdapat walk yang panjang k dari vi ke vj di D, maka ai(lk) = 0 sehingga ai(lk)alj = 0. Hal ini berarti tidak terdapat walk dengan panjang k+1 dari vi ke vj yang melalui vl di D sehingga
diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1 dari vi ke vj di D adalah
n
ai(1k)a1j + ai(2k)a2j + · · · + ai(nk)anj =
ai(lk)alj
i=1
karena
Ak+1 = AkA
maka
n
ai(jk) =
ai(lk)alj
i=1
Universitas Sumatera Utara
18
Hal ini berakibat ai(jk+1) adalah benar menyatakan banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D. Jadi, elemen (i, j) dari Ak adalah banyaknya walk yang panjangnya k dari vi ke vj.
Contoh 2.4.1 : Matriks adjacency dari digraph pada Gambar 2.6 adalah A = 1 1 0 0
0
0
0
1, kemudian akan dicari eksponen dari digraph tersebut.
0 1 1 0
1010
Berdasarkan Proposisi 2.2, banyaknya walk dari vertex vi ke vj dengan panjang k adalah entri dari matriks Akij dari Ak, dengan demikian nilai k merupakan eksponen dari digraph bila matriks Ak adalah matriks positif. Perhatikan matriks
Ak berikut:
1 1 0 0
a.
Untuk
k
=
1
;
diperoleh
A1
=
0
0
0
1, maka bukan merupakan ekspo-
0 1 1 0
1010
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 1 dari v1 ke v3, v1
ke v4, v2 ke v1, v2 ke v2, v2 ke v3, v3 ke v1, v3 ke v4, v4 ke v2 dan v4 ke v4.
1 1 0 1
b.
Untuk k
=
2
;
diperoleh
A2
=
1
0
1
0, maka bukan merupakan ekspo-
0 1 1 1
1210
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 2 dari v1 ke v3, v2
ke v2, v2 ke v4, v3 ke v1, dan v4 ke v4.
2 1 1 1
c.
Untuk k
=
3
;
diperoleh
A3
=
1
2
1
0, maka bukan merupakan ekspo-
1 1 2 1
1212
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 3 dari v2 ke v4.
3 3 2 1
d.
Untuk
k
=
4
;
diperoleh
A4
=
1
2
1
2, karena terdapat walk dengan
2 3 3 1
3232
Universitas Sumatera Utara
19
panjang 4 dari tiap pasangan verteks di D, maka eksponen dari digraph pada Gambar 2.6 adalah 4.
2.4.2 2-Eksponen 2-Digraph Pada 2-digraph, 2-eksponen dari 2-digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil m + b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk berarah dari u ke v dengan panjang m + b yang terdiri dari m arc merah dan b arc biru. Eksponen dari 2-digraph tersebut dinotasikan dengan exp2(D).
Suwilo (2008) juga melakukan riset tentang digraph dwi - warna primitif yang dikhususkan pada lollipop dwi - warna.
Lemma 2.3 Andaikan D adalah sebuah 2-digraph atas n verteks dan misalkan R dan B masing-masing adalah matriks adjacency merah dan biru dari digraph dwi-warna D. Maka elemen (i, j) dari (R, B)(m,b) adalah banyaknya (m, b)-walk dari verteks vi ke verteks vj.
Bukti. Akan dibuktikan dengan induksi pada (m + b) dan (m + b + 1), jika m = 0 maka b = 1 atau jika m = 1 maka b = 0. Jika m = 0 maka elemen (i, j) dari (R, B)(0,1) = B adalah walk dengan komposisi 0 di 2-digraph D. Dengan cara
1 yang sama, jika b = 0 maka (R, B)(1,0) = R adalah walk dengan elemen (i, j) menyatakan walk dengan komposisi 1 di 2-digraph D.
0 Andaikan Lemma 2.3 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif m′ dan b′ dengan m′ + b′ ≤ m + b akan diperlihatkan untuk m + b + 1 adalah benar dengan catatan sebagai berikut.
(R, B)(m+1,b) = R(R, B)(m,b) + B(R, B)(m+1,b−1)
Oleh hipotesis induksi, elemen (i, j) pada R(R, B)(m,b) adalah walk dari vi ke vj yang dimulai dengan arc merah dan diikuti oleh (m, b)-walk, dan elemen (i, j) pada B(R, B)(m+1,b−1) adalah walk dari vi ke vj yang dimulUaindiveenrgsiatnasaSrcumbiartuerdaaUntara
20
diikuti oleh (m + 1, b − 1)-walk sedemikian hingga elemen (i, j) dari (R, B)(m+1,b) adalah jumlah (m + 1, b)-walk dari vi ke vj. Jadi, elemen (i, j) dari (R, B)(m,b) adalah jumlah (m, b)-walk dari verteks vi ke verteks vj.
Contoh 2.4.1 : Matriks adjacency merah dari 2-digraph pada Gambar 2.8 adalah 1 0 0 1
R
=
0
0
0
0
dan
matriks
adjacency
biru
dari
2-digraph
pada
Gambar
2.8
1 0 0 0
0010
0 0 0 0
adalah
B
=
0
1
0
1, kemudian akan dicari eksponen dari 2-digraph tersebut.
0 1 0 0
0000
Berdasarkan Lemma 2.3, banyaknya walk dari vertex vi ke vj dengan panjang m + b adalah entri (i, j) dari (R, B)(m,b), dengan demikian nilai m + b merupakan eksponen dari digraph bila matriks (R, B)(m+b) adalah matriks positif. Perhatikan matriks (R, B)(m,b) berikut:
a. Untuk m + b = 1, maka diperoleh:
1 0 0 1
1.
(R,
B )(1,0)
=
R
=
0
0
0
0
1 0 0 0
0010
0 0 0 0
2.
(R, B)(0,1) = B
=
0
1
0
1
0 1 0 0
0000
b. Untuk m + b = 2, maka diperoleh:
1 0 1 1
1.
(R,
B )(2,0)
=
R2
=
0
0
0
0
1 0 0 1
1000
Universitas Sumatera Utara
21
0 0 0 0
2.
(R,
B )(1,1)
=
RB
+
BR
=
0
0
1
0
0 0 0 0
0100
0 0 0 0
3.
(R,
B )(0,2)
=
B2
=
0
1
0
1
0 1 0 1
0000
c. Untuk m + b = 3, maka diperoleh:
2 0 1 1
1.
(R,
B )(3,0)
=
R3
=
0
0
0
0
1 0 1 1
1001
0 1 0 0
2.
(R, B)(2,1) = R(R, B)(1,1) + BR2
=
1
0
0
0
0 0 0 0
0000
0 0 0 0
3.
(R,
B )(1,2)
=
RB2
+
B(R,
B )(1,1)
=
0
1
1
0
0 0 1 0
0101
0 0 0 0
4.
(R,
B )(0,3)
=
B3
=
0
1
0
1
0 1 0 1
0000
d. Untuk m + b = 4, maka diperoleh:
3 0 1 2
1.
(R,
B )(4,0)
=
R4
=
0
0
0
0
2 0 1 1
1011
0 1 0 0
2.
(R, B)(3,1) = R(R, B)(2,1) + BR3
=
1
0
0
1
0 1 0 0
0 0 0 0 Universitas Sumatera Utara
22
0 1 0 1
3.
(R,
B )(2,2)
=
R(R,
B )(1,2)
+
B(R,
B )(2,1)
=
1
0
0
0
1 0 0 0
0010
0 0 0 0
4.
(R,
B )(1,3)
=
RB3
+
B(R,
B )(1,2)
=
0
2
1
1
0 1 1 0
0101
0 0 0 0
5.
(R,
B )(0,4)
=
B4
=
0
1
0
1
0 1 0 1
0000
e. Untuk m + b = 5, maka diperoleh:
4 0 2 3
1.
(R,
B )(5,0)
=
R5
=
0
0
0
0
3 0 1 2
2011
0 1 0 0
2.
(R, B)(4,1) = R(R, B)(3,1) + BR4
=
1
0
1
1
0 1 0 0
0100
0 1 1 1
3.
(R,
B )(3,2)
=
R(R,
B )(2,2)
+
B(R,
B )(3,1)
=
1
0
0
1
1 1 0 2
1000
0 1 0 1
4.
(R,
B )(2,3)
=
R(R,
B )(1,3)
+
B(R,
B )(2,2)
=
1
0
1
0
1 0 0 0
0110
0 0 0 0
5.
(R,
B )(1,4)
=
RB4
+
B(R,
B )(1,3)
=
0
3
1
2
0 2 1 1
0101
Universitas Sumatera Utara
23
0 0 0 0
6.
(R,
B )(0,5)
=
B5
=
0
1
0
1
0 1 0 1
0000
f. Untuk m + b = 6, maka diperoleh:
6 0 3 4
1.
(R,
B )(6,0)
=
R6
=
0
0
0
0
4 0 2 3
3012
0 2 0 0
2.
(R, B)(5,1) = R(R, B)(4,1) + BR5
=
2
0
1
1
0 1 0 0
0100
1 1 1 1
3.
(R,
B )(4,2)
=
R(R,
B )(3,2)
+
B(R,
B )(4,1)
=
1
1
1
1
1 1 2 2
1102
0 2 1 1
4.
(R,
B )(3,3)
=
R(R,
B )(2,3)
+
B(R,
B )(3,2)
=
2
0
0
1
1 1 0 2
1000
0 1 0 1
5.
(R,
B )(2,4)
=
R(R,
B )(1,4)
+
B(R,
B )(2,3)
=
1
1
2
0
1 0 1 0
0211
0 0 0 0
6.
(R,
B )(1,5)
=
RB5
+
B(R,
B )(1,4)
=
0
4
1
3
0 3 1 2
0101
0 0 0 0
7.
(R,
B )(0,6)
=
B6
=
0
1
0
1
0 1 0 1
0000