Analisis Sistem Kontro

  Analisis sistem keadaan transien : Menguji karakteristik atau performans sistem transien atau peralihan dengan cara memberikan sinyal uji tertentu

  Beberapa sinyal Uji yang sering digunakan :

  Analisis Sistem Kontrol

  1. Sinyal impuls r(t) = δ(t), maka R(s) = 1

  Dalam Keadaan Transien

  t

  2. Sinyal Langkah (step function)

  Ermanu A. Hakim

  r(t) = 1 satuan

  r(t) Teknik Elektro Fakultas Teknik

  R(s)= 1/ s t

  Universitas Muhammadiyah Malang

  3. Sinyal Tangga (ramp function)

  r(t) r(t) = t satuan

  2 R(s)= 1/ s

  t

  Sistem Orde Pertama

  Untuk masukan unit step r(t) = 1 atau R(s) = 1/ s

1 C(s)

  R(s) Ts

  1 =

• C ( s ) R ( s )
• Ts

  1

  1

  1

  1

  1 Fungsi alih sistem ini : T T

  = R ( s ) = == −

  1

  1

  1 s s ( s ) s s + + +

1 T T T

  C s ( )

  1 T = =

  1 R s ( ) Ts 1 s T + +

  Maka keluaran fungsi waktu :

  Untuk masukan unit impuls, yaitu R(s) = 1 − t

  T

1 T T

  1

1 c t ( )

1 e = −

  C s ( ) = R s ( ) = R s ( ) =

  1

  1 Maka keluaran fungsi waktu :

• 1 Ts 1 s T s T

  1 − t ₁ T c t ( ) e

  = _T T

  5T

  5T

  2 Untuk masukan tanjak r(t) = t atau R(s) = 1/ s Contoh 1 : Diberikan sistem orde pertama sbb :

  1

  1 C ( s ) = R ( s ) C(s)

  2 s Ts

• R(s)

  1 _{1 T T 1}

• 1 T T = +
₁ R ( s ) = = − _{2 1 2 1} s T s ( s T ) s s s

  Tentukan kelauaran sistem c(t) untuk masukan :

  a. I mpuls Maka keluaran dalam fungsi waktu

  b. Step function

  t −

  c. Ramp function

  c ( t ) = t − T Te

• T

  Penyelesaian :

  C(t) Contoh 2 : Diberikan rangkaian sistem orde pertama berikut

  Sistem Orde Kedua C

  1 ₂

  ω _n

  R C(s)

• R(s) s ( s 2 ςω ) _n

1 V (t)

  i

  V (t)

• Fungsi Alih sistem ini :
₂ C ( s ) ω n

  = = G ( s ) _{2 2}

  ζω ω + + R ( s ) s 2 n s n

  Jika R = 10 k (t) = 1 volt Ω , C = 0,1 μF dan v

  i ^{2 2}

  s 2 n s n disebut pers. karakteris tik

• ζω ω =

  Tentukan v (t)

  o

  Untuk masukan langkah (unit step) r(t) = 1 atau R(s)= 1/ s Penyelesaian : ₂

  ω n C s = R s

  ( ) ( )

  Fungsi alih sistem : ^{2 2}

  s s ζω ω + + 2 n n

  V ( s )

  1

  1 ₂ = − = _{3 − 6}

  ω _n V ( s ) R C s _{i 1 1} 10 . 10 . , 1 . 10 s = _{2 2} s s s

  ζω ω + + ( 2 n n )

  1 =

  ζω ζω + s 1 n n

  1000 s

  = − − _{2 2 2 2} s s s

  ζω ω ζω ω + + + + ( n ) d ( n ) d Spesifikasi Tanggapan Waw asan w aktu

  Dengan Alih ragam Laplace diperoleh keluaran :

  − ζω t _n

  2 1 −

  M p e ζ

  −

  1 0,02 c t ( ) = − 1 sin( ω t tan ) d

• 1

  2 0,9

  ζ 1 − _{1.8 0,1 2} ζ _{=0 1.6 0,2}

  0,1 _{1.4 0,3} t r t p _{t) 1.2 0,5 1} t s _{c( 0,8 0.8 1,0}

  Gbr Tanggapan Sistem Orde 2 Untuk masukan step function 1. _{0.6 2,0} Waktu naik (tr) _0.4 Waktu naik (tr) didefinisikan sebagai waktu yang diperlukan _0.2 oleh tanggapan untuk naik dari 10 hingga 90 persen dari _{2 4 6 8 10 12} harga akhir ₂

  1 − ζ

  − _Wnt

  π β t = β = arctan _{r dengan 2}

  ζ

  1 −

  ω ζ _n 4.

  Waktu penetapan (ts)

  2. Waktu puncak (tp) Waktu penetapan untuk 0 < z < 0,9 dan menggunakan kriteria 2% adalah waktu puncak didefinisikan berkaitan dengan lewatan puncak pertama

  4 = π t s t p = ₂

  ζω n

  ω _n 1 − ζ Contoh : 3.

  Lewatan maksimum (Mp) Suatu sistem dengan diagram balok sebagaimana diperlihatkan

  Lewatan maksimum didefinisikan sebagai dalam gambar berikut.

  Lewatan maks

  = c – c

  max ss

  = nilai puncak – nilai keadaan mantap

  50

  R(s) s ( s

• C(s)

  10 ) M = c ( t ) −

  1

• p p

  = − e (cos π sin π )

• − ( / ) ζ ζω n π ω d

  Tentukan a. Rasio redaman sistem ζ dan frekuensi alamiah ω

  2 n

  1 − ζ ₂

  b. Lewatan maksimum, waktu naik dan waktu penetapan

  − ( ζ / 1 − ζ ) π = e b. Lewatan maksimum , waktu naik dan waktu penetapan Penyelesaian : ditentukan sebagai berikut

  Lewatan maksimum

  Fungsi alih lup tertutup sistem ₂

  − ( ζ / 1 − ζ ) π M = e p

  C ( s )

  50 =

  2 = = 0,0432 4,32%

  R ( s ) s 10 s

50 Waktu naik :

  Sehingga persamaan karakteristik sistem orde dua ₂ π β − 1 − ζ

  2

  2

  2 t _{r = β = arctan}

  dengan

  s + 2 ζω s ω + + = + s 10 s 50 = ² n n

  ζ ω n 1 − ζ ₂ 1 − , 7071 a. Rasio redaman dan frekuensi alamiah ditentukan sebagai berikut arctan 0,7854

  = = , 7071

  ω = 5 = 7,0711 2 ζω =

  10 n dan n

  π β π , 7854 − − sehingga t = = = 0,4712 det

  Maka diperoleh rasio redaman = ^r

  ζ 0,7071 sedangkan ^{2 2}

  ω _n 1 − ζ 7 , 0711 1 − , 7071 frekuensi alamiah

  ω n = 7,0711 Waktu penetapan :

  4

  4

  t = = = 0,8 det _s

  , 7011 x 7 , 0711

  ζω n Contoh 2 :

  Suatu sistem dengan diagram balok sebagaimana diperlihatkan

  Analisis Stabilitas dalam gambar berikut.

  Analisis Stabilitas

  Analisa Stabilitas berhubungan dengan penentuan apakah

  16

  sebuah sistem stabil atau tidak dan seberapa jauh atau dekat

  C(s)

• R(s) s ( s a )

  dengan keadaan stabil kritis yang menentukan stabilitas relatif

• suatu sistem

  Tentukan a agar sistem memiliki spesifikasi waktu penetapan Penentuan stabilitas relatif menjadi penting karena akan sebesar 4 detik menentukan performans suatu sistem baik dalam keadaan transien maupun mantap

  Sistem Stabil Sistem Stabil kritis Sistem Tak Stabil Metode Penentuan Stabilitas

  Kriteria Kriteria Hurwitz Hurwitz Kriteria Routh-Hurwitz

  adalah prosedur analitik untuk menentukan semua akar akar polinomial yang memiliki bagian nyata negatif dan

  Akar-akar persamaan seluruhnya berada dalam separoh kiri bidang s digunakan dalam analisa stabilitas sistem tak berubah waktu linear. ( memilik bagian nyata negatif jika semua elemen pada kolom pertama Kriteria ini dapat menetukan jumlah akar dengan bagian nyata positif. dari tabel Routh adalah bertanda sama.

  Kriteria stabilitas menerapkan polinomial bentuk

  Jumlah perubahan tanda elemen dari kolom pertama sama dengan n n −

  1 jumlah akar-akar dengan bagian nyata positif atau berada dalam

  Q s a s a s a s a + = + + + ( )

  1 " n − 1 n separoh kanan bidang s.

  #

  CONTOH : Diketahui persamaan karaketristik sistem :

  Tabel Routh :

  2

  s − 4 s 2 s + =

• 3

  6 a n a a

  s

  2

  4 a ^{1 a 4 − a a 5} a ^{1 a 2 − a a 3} b = b ^{1 = 2} n-1

  s a a a yang memiliki satu koefisien negatif.

  1

  3 5 a a ^{1 1} Tentukan jumlah akar yang terletak di separoh kanan bidang s n-2

  s b b b

  1

  2

  3 dan tentukan stabilitas sistem ini. n-3 b a − a b _{1 3 1 2}

  s c c

  1 2 c 3 = c ¹ b ¹

  # # # #

  Tabel Routh :

  3 s

  1

  1

  2 s −

  4

  6

( − 4 1 )( ) − ( )( ) 6 1

  1 =

s 2 5 ,

  

−

  

4

( , )( ) 2 5 6 − − ( 4 0 )( )

s =

  6

2 5 ,