SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATEM

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016

MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN

MATEMATIKA

BAB XV

LOGIKA MATEMATIKA

Dr. Djadir, M.Pd.

Dr. Ilham Minggi, M.Si

Ja’faruddin,S.Pd.,M.Pd.

Ahmad Zaki, S.Si.,M.Si

Sahlan Sidjara, S.Si.,M.Si

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

DIREKTORAT JENDERAL GURU DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

2016

1

BAB XV

LOGIKA MATEMATIKA

A. Kompetensi Inti

Menguasai materi, struktur, konsep dan pola pikir keilmuan yang mendukung mata pelajaran yang diampu.

B. Kompetensi Inti

Peserta dapat mengunakan logika matematika dalam menarik kesimpulan.

C. Indikator Pencapaian Kompetensi

1. Mengidentifikasi jenis-jenis pernyataan majemuk: konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi

2. Memahami jenis-jenis pernyataan majemuk: konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi 3. Mengidentifikasi ingkaran dan kesetaraan dari pernyataan majemuk berkuantor.

4. Memahami Ingkaran dan Kesetaraan dari pernyataan majemuk berkuantor 5. Mengidentifikasi prinsip-prinsip silogisme.

6. Memahami prinsip-prinsip silogisme.

7. Menerapkan prinsip-prinsip silogisme dalam menarik kesimpulan.

D. Uraian Materi

1. Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis.

Pernyataan adalah kalimat yang memiliki nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak kedua– duanya, ingkaran/negasi dilambangkan ~ dibaca tidak benar bahwa p. Jadi apabila penyataan bernilai benar maka ingkarannya bernilai salah begitupun sebaliknya. Berikut ini merupakan jenis-jenis dari pernyataan majemuk:

a. Konjungsi , : b. Disjungsi , : c. Implikasi ⇒ , :

d. Biimplikasi , : ℎ

a. Konjungsi

Konjungsi dari pernyataan dan ( : dibaca p dan q) bernilai benar ketika dan keduanya bernilai benar.

2

Berikut ini merupakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk konjungsi

B B B

B S S

S B S

S S S

Kata-kata yang membentuk konjungsi selain kata dan adalah meskipun, tetapi, sedangkan, padahal, yang, juga, walaupun, dan lain-lain

Contoh:

1. Te tuka kebe a a da i kali at + = walaupun Makassar bukan ibukota provisi

sula esi selata

Jawab:

: + = (B)

: Makassar bukan ibu kota provinsi sulawesi selatan (S)

Jadi, kali at +6=8 alaupu Makassa buka ibukota p o isi sula esi selata be dasa ka tabel kebenaran bernilai salah.

Catatan: Pada suatu pernyataan majemuk, kedua pernyataan tunggal boleh tidak memiliki hubungan.

2. Tentukan nilai ∈ ℝaga kali at + = dan adalah bila ga p i a be ilai a. Benar

b. Salah Jawab:

: + = ∶ adalah bilangan prima (B)

Karena pernyataan merupakan pernyataan yang benar maka agar kalimat

bernilaibenar haruslah pernyataan bernilai benar dan hal tersebut tercapai ketika = dan bernilai salah ketika ≠ Dengan demikian

3

= B B B

≠ S B S

b. Disjungsi

Jika pernyataan dan dihubu gk de ga kata hubu g atau aka pe yataa p atau disebut disjungsi ( : dibaca p atau q),

Berikut ini merupakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk disjungsi

B B B

B S B

S B B

S S S

Contoh:

Tentukan nilai ∈ ℝaga kali at “oeha to adalah p eside ke-4 RI atau + = be ilai salah!

Jawab:

∶Soeharto adalah presiden ke-4 RI (S)

∶ + =

Karena pernyataan merupakan pernyataan yang salah maka agar kalimat bernilai salah haruslah pernyataan bernilai salah dan hal tersebut tercapai ketika ≠ dan bernilai salah ketika ≠ Dengan demikian

= S B B

≠ S S S

Disjungsi dari pernyataan dan ( : dibaca p atauq) bernilai benar ketika salah satu dari dan bernilai benar.

4

c. Implikasi

Tabel kebenaran dari suatu pernyataan implikasi adalah sebagai berikut:

⇒

B B B

B S S

S B B

S S B

Pada suatu implikasi ⇒ tidak diharuskan adanya hubungan antara pernyataan dan Contoh:

1. Jika 7 merupakan bilangan genap maka hari akan hujan. 2. Jika pelangi terlihat maka Ani ke pasar.

d. Biimplikasi

Berikut ini merupakan tabel kebenaran dari Biimpilasi

B B B

B S S

S B S

S S B

Implikasi dari pernyataan dan ( ⇒ : dibaca p makaq) bernilai salah hanya ketika pernyataan bernilai benar dan bernilai salah.

Biimplikasi dari pernyataan dan ( : dibaca p jika dan hanya jikaq) bernilai benar hanya ketika pernyataan dan memiliki nilai kebenaran yang sama.

5

2.Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan

berkuantor.

Jenis Kuantor:

Kuantor Penulisan Cara Baca

Universal ∀ , � Untuk semua x berlaku P(x) Eksistensial ∃ , � Ada beberapa x berlakulah P(x) Ingkaran Kuantor

Ingkaran Kuantor Cara Baca

~(∀ , � ) ≅ ∃ , ~� Ada beberapa x bukan P(x)

~(∃ , � ) ≅ ∀ , ~� Semua x bukan P(x) Contoh Soal

. I gka a da i pe yataa Semua anak-anak suka permen. Adalah … a. Tidak ada anak-anak yang suka permen.

b. Semua anak-anak tidak suka permen. c. Ada anak-anak yang tidak suka permen. d. Tidak ada anak-anak yang tidak suka permen. e. Ada anak-anak suka permen.

Jawab:

C. Ada anak-anak yang tidak suka permen

2. Negasi da i pe yataa Ha i i i tidak huja da saya tidak e ba a payu g adalah a. Hari ini hujan tetapi saya tidak membawa payung

b. Hari ini tidak hujan tetapi saya membawa payung c. Hari ini tidak hujan atau saya tidak membawa payung d. Hari ini hujan dan saya membawa payung

e. Hari ini hujan atau saya membawa payung Jawab:

6

3. Jenis-jenis Penarikan kesimpulan.

Berikut ini merupakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk konjungsi

∼ ∼ ~ ∼ ~

B B S S B S S

B S S B B B S

S B B S B B S

S S B B S B B

Tabel Kebenaran Pernyataan majemuk:

∼ ∼

∼

buka atau

B B S S B B B B B B

B S S B S B S S S S

S B B S S B B S S B

S S B B S S B B B B

ekivalen ekivalen

Tabel Kebenaran Ingkaran Pernyataan majemuk:

∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼

B B S S B S B S

B S S B S B B S

S B B S S B B S

S S B B S B S B

7

∼ ∼ ∼

da tidak ∼ ∼

B B S S B S B S

B S S B S B S B

S B B S B S S B

S S B B B S B S

negasi negasi

Tabel Kebenaran implikasi:

∼ ∼ ~ ~ ~ ~

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S S B B B B B B

Senilai/ekivalen Senilai/ekivalen

Pernyataan Senilai dengan implikasi:

≅ ~ buka atau

≅ ~ ~ ko t aposisi

Pernyataan senilai dengan ingkaran implikasi

8 Cara Penarikan Kesimpulan dari dua premis: 1. Modus Ponens

Premis 1 : Premis 2 :

∴ Kesimpulan ∶

2. Modus Tollens Premis 1 : Premis 2 : ~

∴ Kesimpulan ∶ ~

3. Silogisme

Premis 1 : Premis 2 :

∴ Kesimpulan ∶

Contoh:

1. Wawan rajin belajar maka naik kelas Wawan dapat hadiah atau tidak naik kelas Wawan rajin belajar

Kesi pula ya g sah adalah…

A. Wawan dapat Hadiah B. Wawan tidak dapat hadiah

C. Wawan naik kelas dan dapat hadiah D. Wawan dapat hadiah atau naik kelas. Jawaban:

9 Misalkan

: Wawan rajin belajar.

: Wawan naik kelas.

: Wawan dapat hadiah. Jadi diperoleh

P1:

P2: ~ ≅ ~ ~ ≅ P3:

Perhatikan bahwa dan dilain pihak, ~ ≅ ~ ~ ≅

Jadi diperoleh dan , dengan demikian berdasarkan silogisme haruslah jadi kesimpulan jawabannya adalah A. wawan dapat hadiah.

2. Diketahui premis-premis sebagai berikut :

P e is I : Jika A tolulus ujia aka saya diajak keba du g.

Premis II : “aya tidak diajak keba du g.

Kesimpulan yang sah dari premis-p e is te sebut adalah….. A. Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Anto lulus ujian. B. Jika Anto Lulus Ujian maka saya pergi ke Lembang. C. Anto lulus ujian dan saya pergi ke Lembang. D.Anto tidak lulus ujian.

Jawaban:

: Anto lulus ujian.

: Saya diajak kebandung. Jadi diperoleh

P1: P2: ~

Dengan demikian, berdasarkan Modus Tollens, kesimpulannya haruslah ~ yaitu Anto tidak lulus ujian, jawaban D.

10

Daftar Pustaka

Bittinger, L, Marvil (1982). Logic, Proof and Sets (Second Edition).Indiana: Indiana University.

M, Theresia dan H, Tirta Seputro (1989). Pengantar Dasar Matematika (Logika dan Teori Himpunan). Jakarta: P2LPTK.

Larsen, Max D and Fejfar, L James (1974). Essentials of Elementary School Mathematics. London: Academic Press. Inc.

5

2.Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor.

Jenis Kuantor:

Kuantor Penulisan Cara Baca

Universal ∀ , � Untuk semua x berlaku P(x) Eksistensial ∃ , � Ada beberapa x berlakulah P(x) Ingkaran Kuantor

Ingkaran Kuantor Cara Baca

~(∀ , � ) ≅ ∃ , ~� Ada beberapa x bukan P(x)

~(∃ , � ) ≅ ∀ , ~� Semua x bukan P(x)

Contoh Soal

. I gka a da i pe yataa Semua anak-anak suka permen. Adalah …

a. Tidak ada anak-anak yang suka permen. b. Semua anak-anak tidak suka permen. c. Ada anak-anak yang tidak suka permen. d. Tidak ada anak-anak yang tidak suka permen. e. Ada anak-anak suka permen.

Jawab:

C. Ada anak-anak yang tidak suka permen

2. Negasi da i pe yataa Ha i i i tidak huja da saya tidak e ba a payu g adalah a. Hari ini hujan tetapi saya tidak membawa payung

b. Hari ini tidak hujan tetapi saya membawa payung c. Hari ini tidak hujan atau saya tidak membawa payung d. Hari ini hujan dan saya membawa payung

e. Hari ini hujan atau saya membawa payung Jawab:

6 3. Jenis-jenis Penarikan kesimpulan.

Berikut ini merupakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk konjungsi

∼ ∼ ~ ∼ ~

B B S S B S S

B S S B B B S

S B B S B B S

S S B B S B B

Tabel Kebenaran Pernyataan majemuk:

∼ ∼

∼ buka atau

B B S S B B B B B B

B S S B S B S S S S

S B B S S B B S S B

S S B B S S B B B B

ekivalen ekivalen

Tabel Kebenaran Ingkaran Pernyataan majemuk:

∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼

B B S S B S B S

B S S B S B B S

S B B S S B B S

S S B B S B S B

7

∼ ∼ ∼

da tidak ∼ ∼

B B S S B S B S

B S S B S B S B

S B B S B S S B

S S B B B S B S

negasi negasi

Tabel Kebenaran implikasi:

∼ ∼ ~ ~ ~ ~

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S S B B B B B B

Senilai/ekivalen Senilai/ekivalen

Pernyataan Senilai dengan implikasi:

≅ ~ buka atau

≅ ~ ~ ko t aposisi

Pernyataan senilai dengan ingkaran implikasi

8 Cara Penarikan Kesimpulan dari dua premis: 1. Modus Ponens

Premis 1 : Premis 2 : ∴ Kesimpulan ∶ 2. Modus Tollens

Premis 1 : Premis 2 : ~ ∴ Kesimpulan ∶ ~ 3. Silogisme

Premis 1 : Premis 2 : ∴ Kesimpulan ∶ Contoh:

1. Wawan rajin belajar maka naik kelas Wawan dapat hadiah atau tidak naik kelas Wawan rajin belajar

Kesi pula ya g sah adalah… A. Wawan dapat Hadiah B. Wawan tidak dapat hadiah

C. Wawan naik kelas dan dapat hadiah D. Wawan dapat hadiah atau naik kelas. Jawaban:

9 Misalkan

: Wawan rajin belajar. : Wawan naik kelas. : Wawan dapat hadiah. Jadi diperoleh

P1:

P2: ~ ≅ ~ ~ ≅

P3:

Perhatikan bahwa dan dilain pihak, ~ ≅ ~ ~ ≅

Jadi diperoleh dan , dengan demikian berdasarkan silogisme haruslah jadi kesimpulan jawabannya adalah A. wawan dapat hadiah.

2. Diketahui premis-premis sebagai berikut :

P e is I : Jika A tolulus ujia aka saya diajak keba du g. Premis II : “aya tidak diajak keba du g.

Kesimpulan yang sah dari premis-p e is te sebut adalah….. A. Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Anto lulus ujian. B. Jika Anto Lulus Ujian maka saya pergi ke Lembang. C. Anto lulus ujian dan saya pergi ke Lembang. D.Anto tidak lulus ujian.

Jawaban:

: Anto lulus ujian.

: Saya diajak kebandung. Jadi diperoleh

P1: P2: ~

Dengan demikian, berdasarkan Modus Tollens, kesimpulannya haruslah ~ yaitu Anto tidak lulus ujian, jawaban D.

10 Daftar Pustaka

Bittinger, L, Marvil (1982). Logic, Proof and Sets (Second Edition).Indiana: Indiana University.

M, Theresia dan H, Tirta Seputro (1989). Pengantar Dasar Matematika (Logika dan Teori Himpunan). Jakarta: P2LPTK.

Larsen, Max D and Fejfar, L James (1974). Essentials of Elementary School Mathematics. London: Academic Press. Inc.