Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api di Sumatera Menggunakan First-order dan Higher-order Markov Chain
PEMODELAN JUMLAH PENUMPANG KERETA API DI SUMATERA
MENGGUNAKAN FIRST-ORDER DAN HIGHER-ORDER
MARKOV CHAIN
RUDY HARIONO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Jumlah
Penumpang Kereta Api di Sumatera Menggunakan First-order dan Higher-order
Markov Chain adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2014
Rudy Hariono
NIM G54090013
ABSTRAK
RUDY HARIONO. Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api di Sumatera
Menggunakan First-order dan Higher-order Markov Chain. Dibimbing oleh
BERLIAN SETIAWATY dan RUHIYAT.
First-order Markov chain model adalah rantai Markov yang hanya
bergantung pada satu waktu sebelumnya, sedangkan higher-order Markov chain
model adalah rantai Markov yang bergantung pada beberapa waktu sebelumnya.
Tujuan penelitian ini adalah mengkaji first-order dan higher-order Markov chain
models beserta pendugaan parameter kedua model dan mengaplikasikannya untuk
memodelkan jumlah penumpang kereta api di Sumatera. Data yang digunakan
dalam penelitian ini adalah data jumlah penumpang kereta api yang dikeluarkan
oleh Badan Pusat Statistik mulai dari Januari 2007 sampai Desember 2013.
Perhitungan numerik dilakukan menggunakan perangkat lunak Mathematica 9.0
dan Microsoft Excel 2010. Untuk model 4-state dan 5-state diperoleh nilai
keakuratan model sebesar 51.81%. Berdasarkan hasil tersebut, dapat disimpulkan
first-order dan higher-order Markov chain model bukan model yang cocok untuk
jumlah penumpang kereta api di Sumatera.
Kata kunci: first-order Markov chain model, higher-order Markov chain model,
pemodelan jumlah penumpang kereta api
ABSTRACT
RUDY HARIONO. Modeling the Number of Train Passengers in Sumatra Using
First-order and Higher-order Markov Chain. Supervised by BERLIAN
SETIAWATY and RUHIYAT.
First-order Markov chain model is a Markov chain model that depends only
on the last state, while higher-order Markov chain model is a Markov chain model
that relies on past some states. The purposes of this research are to study the firstorder and higher-order Markov chain models and their parameter estimation and
to apply these models for modeling the number of train passengers in Sumatera.
The data used in this research are data of the number of train passengers issued by
Statistics Indonesia starting from January 2007 until December 2013. Numerical
calculation is performed using the softwares Mathematica 9.0 and Microsoft Excel
2010. For 4-state and 5-state models, we obtain the accuracy of model of 51.81%.
Based on these results, we can conclude that first-order and higher-order Markov
chain models are not suitable models for the number of train passengers in
Sumatra.
Keywords: first-order Markov chain model, higher-order Markov chain model,
modeling the number of train passengers
PEMODELAN JUMLAH PENUMPANG KERETA API DI SUMATERA
MENGGUNAKAN FIRST-ORDER DAN HIGHER-ORDER
MARKOV CHAIN
RUDY HARIONO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api di Sumatera
Menggunakan First-order dan Higher-order Markov Chain
Nama
: Rudy Hariono
NIM
: G54090013
Disetujui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Pembimbing I
Ruhiyat, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam
penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2013 ini ialah rantai Markov,
dengan judul Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api di Sumatera
Menggunakan First-order dan Higher-order Markov Chain.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Berlian Setiawaty, MS dan
Ruhiyat, MSi selaku pembimbing yang telah memberikan ilmu, arahan dan
menyediakan waktu untuk membimbing penulis dalam menyelesaikan karya
ilmiah ini serta Dr Ir Endar H Nugrahani, MS yang telah banyak memberikan
saran. Ungkapan terima kasih sebesar-besarnya juga disampaikan kepada kedua
orang tuaku yang selalu memberikan doa, kasih sayang, dan semangat kepada
penulis, kakakku yang selalu memberikan dukungan baik materi maupun
semangat, dan adik-adikku yang selalu menjadi motivasi bagi penulis, serta
keluarga besarku khususnya keluarga Bude Ice yang telah banyak memberikan
bantuan kepada penulis dalam menempuh pendidikan sarjana. Di samping itu,
terima kasih kepada Faris, Reni, Putri, Andri, Steven, Rangga, Hendra, Rochmat,
Qowi, Syukrio, Bari, Syahrul, Syaepul, Anita, dan semua temanku di Departemen
Matematika IPB maupun di luar Departemen Matematika IPB yang telah
menemani penulis dari awal hingga selesainya karya ilmiah ini. Penulis juga
mengucapkan terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen
Matematika IPB, serta alumni Departemen Matematika IPB.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 2014
Rudy Hariono
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
2
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
2
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
2
Rantai Markov
3
Nilai Eigen, Vektor, Ortogonalitas, dan Matriks Taktereduksi
5
MODEL RANTAI MARKOV
7
Pengertian Model Rantai Markov dan Karakteristiknya
7
First-order Markov Chain Model
7
Higher-order Markov Chain Model
9
Keakuratan Model
APLIKASI MODEL RANTAI MARKOV PADA JUMLAH PENUMPANG
KERETA API
13
13
Deskripsi Data
13
Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api
14
Hasil Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api
16
SIMPULAN DAN SARAN
17
Simpulan
17
Saran
18
DAFTAR PUSTAKA
18
LAMPIRAN
19
RIWAYAT HIDUP
26
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
Rentang jumlah penumpang kereta api di Sumatera untuk
Rentang jumlah penumpang kereta api di Sumatera untuk
Barisan data jumlah penumpang kereta api
Matriks peluang transisi untuk orde
d n
Nilai dugaan vektor peluang stasioner ̂
Nilai
untuk orde
d n
Nilai keakuratan model rantai Markov yang digunakan
14
15
15
15
16
16
17
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
Contoh program komputasi menggunakan Mathematica 9.0
Nilai dugaan vektor peluang state model rantai Markov,
Nilai dugaan vektor peluang state model rantai Markov,
19
20
23
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Rantai Markov adalah suatu model stokastik yang diperkenalkan oleh
seorang matematikawan Rusia yang bernama A. A. Markov pada awal abad ke20. Kelebihan model rantai Markov adalah dapat menduga nilai yang akan datang
cukup dengan memperhatikan nilai saat ini. Dengan kata lain, nilai pada waktuwaktu sebelumnya tidak akan mempengaruhi nilai yang akan datang, sesuai
dengan sifat Markov (Markovian property).
Rantai Markov berguna dalam memodelkan sistem-sistem praktis seperti
sistem antrian (Ching 2001; Sharma 1995), sistem pembangunan (Buzacott dan
Shanthikumar 1993), dan sistem penyimpanan (Nahmias 1997). Selain itu, rantai
Markov juga efektif dalam memodelkan deret waktu.
Deret waktu dapat diartikan sebagai serangkaian data yang diambil dari
pengamatan suatu peristiwa yang dilakukan secara berkala dalam waktu yang
tidak berujung. Deret waktu sering terjadi di dunia nyata. Salah satu contoh adalah
data jumlah penumpang kereta api di Sumatera yang diamati setiap bulannya dari
Januari 2007 sampai Desember 2013 berdasarkan data yang dikeluarkan oleh
Badan Pusat Statistik.
Tercatat jumlah penumpang kereta api mengalami penurunan dan kenaikan
secara bergantian dari awal periode (Januari 2007) sampai akhir periode
(Desember 2013). Naik-turunnya jumlah penumpang kereta api tidak dapat
diketahui pasti kapan terjadinya menjadi alasan utama pentingnya memprediksi
jumlah penumpang kereta api di masa yang akan datang.
Dalam karya ilmiah ini, akan dibahas model rantai Markov untuk
menganalisis dan memprediksi deret waktu yang diambil dari artikel yang
berjudul Application of Markov Chains to Analyze and Predict the Time Series
yang ditulis oleh Tie Liu pada tahun 2010.
Terdapat dua model rantai Markov yang digunakan dalam karya ilmiah ini,
yang pertama adalah first-order Markov chain model, yaitu rantai Markov yang
hanya bergantung pada satu waktu sebelumnya dan yang kedua adalah higherorder Markov chain model, yaitu rantai Markov yang bergantung pada beberapa
(lebih dari satu) waktu sebelumnya. Menggunakan dua model di atas, diharapkan
dapat diprediksi jumlah penumpang kereta api yang akan datang.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah:
1. Mengkaji dua model rantai Markov, yaitu first-order Markov chain model dan
higher-order Markov chain model.
2. Memodelkan jumlah penumpang kereta api dengan dua model rantai Markov
di atas.
2
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Percobaan Acak
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi yang
sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, akan tetapi
hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan
semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi sama, disebut percobaan acak
(Hogg et al. 2005).
Ruang Contoh dan Kejadian
Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh, dinotasikan deng n Ω. Su tu kej di n adalah himpunan bagian dari Ω
(Grimmet dan Stirzaker 2001).
Medan-σ
Koleksi d ri himpun n b gi n Ω disebut medan-σ jika memenuhi syarat:
1.
;
;
2. Jika
maka ⋃
3. Jika
maka
(Grimmet dan Stirzaker 2001).
Ukuran Peluang
Misalkan adalah medan-σ d ri ru ng contoh Ω. Ukur n pelu ng d l h su tu
fungsi
yang memenuhi:
1.
.
2. Jika
adalah himpunan yang saling lepas yaitu
untuk
∑
.
setiap pasangan
maka ⋃
Pasangan
disebut ruang peluang (Grimmet dan Stirzaker 2001).
Peluang Bersyarat
Jika
maka peluang bersyarat dari kejadian
ialah
(Grimmet dan Stirzaker 2001).
setelah diketahui kejadian
|
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Peubah Acak
Misalkan adalah medanfungsi
di mana
dan Stirzaker 2001).
dari ruang contoh
. Peubah acak
untuk setiap
merupakan
(Grimmet
3
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, sedangkan nilai dari peubah
acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil.
Fungsi Sebaran
Fungsi sebaran dari peubah acak adalah suatu fungsi
(Grimmet dan Stirzaker 2001).
di mana
Peubah Acak Diskret
Peubah acak disebut sebagai peubah acak diskret jika nilainya hanya berada
pada himpunan bagian yang terhitung atau berhingga dari
(Grimmet dan
Stirzaker 2001).
Fungsi Kerapatan Peluang
Misalkan
adalah ruang peluang dan adalah himpunan berhingga.
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi
yang didefinisikan oleh
(Grimmet dan Stirzaker 2001).
Fungsi Kerapatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Diskret
Misalkan
adalah ruang peluang dan adalah himpunan berhingga.
Fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret dan adalah suatu
fungsi
yang didefinisikan oleh
(Grimmet dan Stirzaker 2001).
Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat
Jika dan merupakan peubah acak diskret, maka fungsi kerapatan peluang
bersyarat dari
jika diberikan
, terdefinisi untuk setiap sedemikian
sehingga
adalah
(Ross 1996).
|
|
Fungsi Kerapatan Marginal
adalah fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak
Misalkan
diskret dan . Misal adalah himpunan nilai yang mungkin dari dan
adalah himpunan nilai yang mungkin dari . Selanjutnya fungsi
∑
∑
masing-masing disebut fungsi
dan
kerapatan marginal dari dan (Ghahramani 2005).
Rantai Markov
Ruang State
Misalkan
merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka
disebut ruang state (Grimmet dan Stirzaker 2001).
4
Proses Stokastik
Proses stokastik
adalah suatu koleksi dari peubah acak
yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state . Jadi, untuk setiap
, adalah suatu peubah acak (Ross 1996).
Dalam hal ini anggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak
state (keadaan) dari proses pada waktu .
sebagai
Rantai Markov dengan Waktu Diskret
Misalkan suatu peubah acak. Proses stokastik
dengan ruang
state
adalah rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap
berlaku
|
|
untuk semua kemungkinan nilai dari
(Ross 1996).
Jadi untuk suatu Rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat
dengan syarat state yang lalu
dan state sebelumnya
adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya bergantung pada
state sebelumnya. Proses di atas dapat digambarkan sebagai
state rantai
Markov dengan peluang transisi
dengan
. Nilai dari peluang
transisi
menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada state
maka berikutnya akan beralih ke state . Karena nilai peluang adalah tak negatif
dan karena proses tersebut harus mengalami transisi ke suatu state, maka
1.
, untuk semua
.
2. ∑
untuk semua
.
Peluang transisi
dapat dituliskan dalam bentuk matriks
yang
disebut juga sebagai matriks peluang transisi, yaitu
ini
)
Matriks Transisi
Misalkan
. Matriks transisi
untuk
dan
adalah
rantai Markov dengan ruang state
adalah matriks dari peluang transisi
|
(Grimmet dan Stirzaker 2001).
Peluang Transisi langkah
dari rantai Markov
Peluang transisi langkah
peluang proses berpindah dari state ke state
dengan
didefinisikan sebagai berikut:
|
untuk
(Ross 1996).
adalah
langkah yang
5
Terakses
Suatu state disebut terakses dari state (notasi:
) jika minimal ada sebuah
bilangan bulat
sehingga
di mana
adalah peluang bahwa pada
waktu ke- , proses berada pada state dengan syarat state awal adalah (Ross
1996).
Berkomunikasi
Dua state dan dikatakan berkomunikasi (notasi:
state dan state terakses dari state (Ross 1996).
) jika state terakses dari
Kelas State
Suatu kelas state adalah suatu himpunan takkosong sehingga semua pasangan
state yang merupakan anggota dari berkomunikasi satu dengan yang lainnya,
serta tidak ada state yang merupakan anggota yang berkomunikasi dengan suatu
state yang bukan anggota dari (Ross 1996).
Taktereduksi
Rantai Markov disebut taktereduksi jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika
semua state berkomunikasi satu dengan yang lainnya (Ross 1996).
Nilai Eigen, Vektor, Ortogonalitas, dan Matriks Taktereduksi
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan adalah suatu matriks berukuran
. Skalar disebut sebagai suatu
nilai eigen dari jika terdapat suatu vektor taknol sehingga
. Vektor
disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan (Leon 2001).
Untuk mencari nilai eigen dari matriks
yang berukuran
persamaan
dapat dituliskan dalam bentuk
maka
(1)
dengan adalah matriks identitas. Persamaan (1) akan memiliki solusi taknol jika
dan hanya jika
singular atau secara ekivalen
(2)
Persamaan (2) disebut persamaan karakteristik dari matriks .
Vektor Peluang Stasioner
Misalkan
(
rantai Markov pada waktu ke- , maka
̂
adalah distribusi peluang state dari
̂ ̂
̂
disebut vektor peluang stasioner dari rantai Markov jika ̂ memenuhi syarat:
∑ ̂
1. ̂
̂
̂
∑
2.
, yaitu ̂
̂
(Grimmet dan Stirzaker 2001).
6
Hasil Kali Skalar di
Misalkan
dengan
maka hasil skalar dari
dan
adalah
)
)
(Leon 2001).
Norm dari Suatu Vektor di
Misalkan
dengan
maka norm dari vektor
(Leon 2001).
)
adalah
‖ ‖
√
√
Norm dari Suatu Matriks di
Norm dari suatu matriks yang berukuran
‖ ‖
‖ ‖
{
|
‖ ‖
(Leon 2001).
dapat didefinisikan sebagai
Norm Uniform atau Norm Takterbatas di
Misalkan
, maka norm uniform dari vektor
‖ ‖
|
|
}
didefinisikan dengan
menyatakan elemen vektor dengan indeks ke- (Leon 2001).
Matriks Taknegatif dan Positif
Suatu matriks berorde
dengan entri bilangan real disebut taknegatif jika
untuk setiap
, dan disebut positif jika
untuk setiap
(Leon 2001).
Matriks Taktereduksi
Matriks taknegatif berordo
dikatakan sebagai matriks yang tereduksi jika
terdapat suatu partisi dari himpunan indeks
ke dalam himpunanhimpunan takkosong yang saling lepas dan sehingga
apabila
dan
. Jika tidak demikian, disebut sebagai matriks yang taktereduksi
(Leon 2001).
7
Proposisi 1
Matriks peluang transisi dari rantai Markov
memiliki sebuah nilai eigen
yang bernilai satu dan semua nilai eigen dari memiliki modulus kurang dari atau
sama dengan satu (Horn dan Johnson 1985).
Proposisi 2 (Teorema Perron-Frobenius)
Misalkan adalah matriks segi taknegatif dan taktereduksi berorde , maka
1.
memiliki satu nilai eigen real yang bernilai positif
yang sama dengan
spectral radius-nya
|
|
di mana
menyatakan nilai eigen ke- dari ;
2. Untuk pada poin 1, terdapat sebuah vektor eigen
elemen-elemennya bernilai real dan positif sehingga
yang bersesuaian yang
3.
pada poin 1 adalah nilai eigen dari
(Liu 2010).
MODEL RANTAI MARKOV
Pengertian Model Rantai Markov dan Karakteristiknya
Secara umum, rantai Markov adalah proses stokastik
yang dicirikan oleh banyaknya state
dengan ruang state
,
matriks peluang transisi , dan vektor peluang awal .
Terdapat dua model rantai Markov yang digunakan dalam karya ilmiah ini,
yang pertama adalah first-order Markov chain model, yaitu rantai Markov yang
hanya bergantung pada satu waktu sebelumnya dan yang kedua adalah higherorder Markov chain model, yaitu rantai Markov yang bergantung pada beberapa
(lebih dari satu) waktu sebelumnya.
Notasikan
sebagai proses vektor peluang berukuran
yang
menentukan peluang terjadinya rantai Markov
, di mana
)
d n ∑
First-order Markov Chain Model
First-order Markov chain model adalah rantai Markov yang hanya
bergantung pada satu nilai sebelumnya, yaitu nilai suatu state
hanya
bergantung pada nilai state sebelumnya
dan dimodelkan oleh proses vektor
peluangnya sebagai berikut:
8
dengan
adalah vektor peluang state pada waktu
, dan adalah matriks
peluang transisi. Dalam hal ini definisikan
sebagai vektor peluang awal yang
nilainya mengikuti aturan
jik
⏟
unsur ke
Pendugaan Matriks Peluang Transisi
Dalam subbab ini akan dibahas langkah-langkah untuk menduga matriks
peluang transisi
menggunakan metode maksimum likelihood. Definisikan
fungsi likelihood untuk rantai Markov orde pertama sebagai berikut:
|
∏
∏
|
∏
sumsi
∏∏
di mana
adalah banyaknya transisi dari state ke state ,
transisi dari state ke state , dan adalah banyaknya state.
Definisikan fungsi log likelihood
∑∑
∏∏
dengan kendala:
adalah peluang
∑
Maksimumkan fungsi log likelihood dengan menggunakan metode pengali
Lagrange. Misalkan pengali Lagrange
maka fungsi objektif yang
baru adalah
di mana
∑
adalah pengali Lagrange. Karena
maka fungsi
adalah konkaf di
(∑
)
. Selanjutnya dengan menyelesaikan
9
diperoleh
̂
∑
∑
∑
̂
∑
Artinya, untuk mendapatkan nilai ̂ , terlebih dahulu harus mencari nilai
dan setelah itu matriks peluang transisi dapat diduga.
Higher-order Markov Chain Model
Higher-order Markov chain model adalah model rantai Markov yang
bergantung pada waktu sebelumnya (
) dan dimodelkan dengan proses
vektor peluang
sebagai berikut:
dengan
∑
merupakan vektor peluang state pada waktu
. Untuk setiap
,
adalah matriks peluang transisi dengan langkah,
(
dengan
Bobot
d n∑
)
dan memenuhi
∑
Dalam hal ini, definisikan
vektor peluang awal yang nilainya mengikuti aturan
(
⏟
unsur ke
)
sebagai himpunan
jik
Pendugaan parameter
Metode yang digunakan untuk menduga parameter
adalah metode maksimum likelihood. Metode pendugaan dalam model ini adalah
bentuk perluasan dari metode pendugaan pada first-order Markov chain model.
Misalkan diberikan barisan data
, langkah pertama hitung frekuensi
transisi
dari state ke state dengan langkah. Kemudian buat matriks
transisi langkah sebagai berikut:
10
Dari
(
didapatkan estimasi untuk ̂
̂
̂
̂
̂
sebagai berikut:
̂
̂
̂
(̂
di mana
Penduga ̂
̂
̂
)
̂
)
∑
diperoleh dengan memaksimumkan fungsi likelihood berikut:
|
∏
∏ ∏(
|
|
sumsi
∏
∏∏
∏∏
∏∏∏
di mana
adalah banyaknya transisi dari state ke state dengan
adalah peluang transisi dari state ke state dengan
dan adalah banyaknya state.
Definisikan fungsi log likelihood
∏∏∏
dengan kendala:
∑
langkah,
∑∑∑
langkah,
adalah orde,
11
Maksimumkan fungsi log likelihood dengan menggunakan metode pengali
Lagrange, maka fungsi objektif yang baru adalah
di mana
∑∑
adalah pengali Lagrange. Karena
)
(∑
d n
maka fungsi
persamaan
. Selanjutnya dengan menyelesaikan
adalah konkaf di
d n
diperoleh
t û
d n
d n
∑
d n
∑
∑
̂
∑
Pendugaan Parameter
Pada bagian ini akan dibahas cara untuk menduga parameter
menggunakan formulasi pemrograman linear. Sebagai akibat dari Proposisi 1 dan
2, rantai Markov orde (higher-order Markov chain) memiliki sebuah vektor
positif yang merupakan vektor peluang stasioner. Vektor tersebut dinotasikan
̂
̂ ̂ ̂
̂
, ̂ dapat diduga dengan menghitung proporsi kejadian
setiap state dari rantai Markov.
Akibat Proposisi 1 dan 2,
di mana
̂
̂
∑̂
(3)
∑
(4)
Persamaan (4) dapat ditulis kembali menjadi
∑̂ ̂ ̂
̂
(5)
Selanjutnya dengan menghampiri persamaan (5), dapat diduga nilai parameter
̂
̂
̂ . Diawali dengan menyelesaikan masalah peminimuman berikut:
12
Masalah 1:
‖∑ ̂ ̂ ̂
dengan kendala:
̂‖
d n ̂
∑̂
Kemudian dari berbagai macam norm vektor, diambil norm takhingga ‖ ‖ ,
sehingga masalah 1 menjadi sebagai berikut:
Masalah 2:
|[∑ ̂ ̂ ̂
dengan kendala:
∑̂
̂] |
d n ̂
Selanjutnya untuk menyelesaikan masalah 2, dimisalkan variabel
merepresentasikan nilai dari fungsi objektif sebagai berikut:
|[∑ ̂ ̂ ̂
̂] |
yang
(6)
dan dari persamaan (6) dapat dituliskan bahwa
|[∑ ̂ ̂ ̂
̂] |
(7)
Kemudian dengan menghilangkan nilai mutlak dalam pertidaksamaan (7)
diperoleh pertidaksamaan berikut:
[∑ ̂ ̂ ̂
[∑ ̂ ̂ ̂
̂]
(8)
̂]
Sehingga masalah 2 dapat diformulasikan sebagai masalah pemrograman linear
berikut:
Masalah 3:
dengan kendala:
̂
(̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂
)
13
(̂ ̂ ̂ ̂
̂
̂ ̂
)
d n
∑
Selanjutnya dengan menggunakan bantuan perangkat lunak Microsoft Excel
2010 masalah 3 dapat diselesaikan
Keakuratan Model
Dalam subbab ini, akan dibahas cara menentukan nilai keakuratan model
rantai Markov yang digunakan dalam memodelkan suatu permasalahan. Tingkat
keakuratan model merupakan tolak ukur yang digunakan untuk menentukan
seberapa baik model rantai Markov yang diaplikasikan pada suatu permasalahan.
Nilai keakuratan model, yaitu mengikuti aturan berikut (Liu 2010).
di mana
adalah banyaknya data,
∑
adalah orde, dan
jik ̂
{
l inn
APLIKASI MODEL RANTAI MARKOV PADA JUMLAH
PENUMPANG KERETA API
Pada bab ini dibahas aplikasi first-order Markov chain model dan higherorder Markov chain model dengan orde
d n pada data jumlah
penumpang kereta api di Sumatera. Berikut ini terlebih dahulu dijelaskan
mengenai data input yang digunakan sebagai data observasi pada model.
Kemudian dilanjutkan dengan pemodelan masalah dan terakhir dipaparkan nilai
keakuratan model-model rantai Markov yang digunakan.
Deskripsi Data
Dalam karya ilmiah ini, data input yang digunakan merupakan data jumlah
penumpang kereta api di Sumatera yang diterbitkan oleh Badan Pusat Statistik.
Data yang digunakan berkisar antara Januari 2007 hingga Desember 2013.
Periode observasi yang digunakan adalah bulan. Artinya, terdapat 84 data
observasi yang digunakan dalam pemodelan ini. Grafik data dapat dilihat pada
Gambar 1.
Pada Gambar 1 terlihat data mengalami penurunan dan kenaikan secara
bergantian dari awal periode (Januari 2007) hingga akhir periode (Desember
2013). Berdasarkan Gambar 1, jumlah penumpang kereta api paling sedikit terjadi
14
pada Februari 2007 sebanyak 210 ribu orang dan jumlah penumpang kereta api
paling banyak terjadi pada April 2010 sebanyak 676 ribu orang.
Jumlah Penumpang (Ribu orang)
800
700
600
500
400
300
200
100
0
JanDes
2007
JanDes
2008
JanDes
2009
JanDes
2010
JanDes
2011
JanDes
2012
JanDes
2013
Gambar 1 Grafik jumlah penumpang kereta api di Sumatera dari Januari 2007
sampai Desember 2013
Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api
Jumlah penumpang kereta api dapat dinyatakan sebagai kejadian yang dapat
berubah setiap waktu. Jumlah penumpang kereta api dapat mengalami kenaikan
maupun penurunan secara tiba-tiba. Banyak hal yang menyebabkan kenaikan dan
penurunan itu terjadi, seperti perubahan kebijakan harga tiket kereta api, tingkat
kemacetan lalu lintas, dan faktor-faktor lainnya seperti kecelakaan ataupun cuaca.
Perubahan jumlah penumpang kereta api tersebut dapat membentuk pola tertentu.
Misalnya, kondisi setelah terjadinya kecelakaan kereta api, masyarakat akan
berpikir dua kali untuk menggunakan jasa kereta api kembali, akibatnya jumlah
penumpang kereta api cenderung akan mengalami penurunan. Kejadian seperti ini
dapat terjadi kembali sewaktu-waktu tetapi tidak dapat diketahui kapan terjadinya.
Dalam memodelkan jumlah penumpang kereta api, perlu ditentukan
banyaknya state . Banyaknya state yang dipilih adalah
.
Setiap state di sini menyatakan kelompok jumlah penumpang yang memiliki
rentang yang berbeda. Rentang yang dihasilkan dari
dan
terbilang
masih besar, sehingga banyaknya state tersebut tidak digunakan dalam pemodelan
ini. Besarnya selisih rentang jumlah penumpang untuk masing-masing state dapat
dilihat pada Tabel 1 dan 2.
Tabel 1 Rentang jumlah penumpang kereta api di Sumatera untuk
State
1
2
3
4
Rentang jumlah penumpang kereta api
0 – 300000
300001 – 350000
350001 – 400000
400001 – 1000000
15
Tabel 2 Rentang jumlah penumpang kereta api di Sumatera untuk
State
1
2
3
4
5
Rentang jumlah penumpang kereta api
0 – 275000
275001 – 325000
325001 – 375000
375001 – 425000
425001 – 1000000
Dari 84 data observasi jumlah penumpang kereta api, kemudian
dikelompokkan menjadi state berdasarkan Tabel 1 dan 2. Barisan data dari state
pada setiap periodenya inilah yang membentuk suatu rantai Markov
dan dapat dilihat pada Tabel 3.
Tabel 3 Barisan data jumlah penumpang kereta api
Jumlah penumpang kereta api dalam karya ilmiah ini dimodelkan
menggunakan first-order Markov chain model dan higher-order Markov chain
model orde
d n dengan matriks peluang transisi seperti pada Tabel 4.
Kemudian dengan menghitung proporsi kejadian setiap state dari rantai Markov
diperoleh nilai dugaan vektor peluang stasioner ̂ seperti pada Tabel 5.
Pemodelan menggunakan higher-order Markov chain model orde
d n
membutuhkan parameter lainnya, yaitu . Nilai
untuk setiap orde diperoleh
dengan menyelesaikan masalah pemrograman linear pada masalah 3 dan nilainya
dapat dilihat pada Tabel 6.
d n
Tabel 4 Matriks peluang transisi untuk orde
0.087 0.100
0.174 0.200
0.435 0.25
0.304 0.450
0.333
0.444
0.000
0.111
0.111
0.095
0.476
0.381
0.000
0.048
0.120
0.040
0.360
0.360
0.120
0.077
0.154
0.231
0.154
0.385
0.000
0.200
0.333
0.133
0.333
0.500 0.191 0.130 0.050
0.222 0.381 0.217 0.200
0.222 0.23 0.348 0.300
0.056 0.191 0.304 0.450
0.222
0.556
0.111
0.111
0.000
0.190
0.286
0.429
0.095
0.000
0.042
0.208
0.292
0.292
0.167
0.077
0.231
0.231
0.000
0.462
0.000
0.067
0.333
0.267
0.333
0.333
0.500
0.056
0.111
0.364
0.182
0.318
0.136
16
0.389
0.389
0.111
0.111
0.250
0.300
0.350
0.100
0.130
0.217
0.261
0.391
0.050
0.150
0.400
0.400
0.222
0.667
0.111
0.000
0.000
0.143
0.190
0.381
0.238
0.048
0.043
0.391
0.217
0.217
0.130
0.000
0.000
0.538
0.000
0.462
0.067
0.067
0.267
0.267
0.333
0.294
0.294
0.353
0.059
0.200
0.500
0.100
0.200
0.130
0.174
0.304
0.391
0.150
0.100
0.400
0.350
0.222
0.333
0.444
0.000
0.000
0.100
0.350
0.300
0.200
0.050
0.043
0.304
0.261
0.043
0.348
0.077
0.154
0.308
0.308
0.154
0.000
0.067
0.333
0.333
0.267
Tabel 5 Nilai dugaan vektor peluang stasioner ̂
̂
Tabel 6 Nilai
0.21428
0.26191
0.27381
0.25000
untuk orde
0.10714
0.25000
0.29762
0.16667
0.17857
̂
d n
Orde
4
5
0.3875 0.6125 0.4418 0.3166 0.2416 0.6512
0.2577 0.7423 0.6475
0
0.3525 0.7553
0
0
0.2247 0.1241
0
0.2447
Hasil Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api
Dalam pemodelan jumlah penumpang kereta api ini, hasil yang diperoleh
berupa nilai dugaan vektor peluang state berikutnya, nilai dugaan state ̂ , dan
nilai keakuratan model. Perhitungan yang dilakukan untuk memperoleh hasil
tersebut menggunakan program komputasi yang dibuat dengan perangkat lunak
Mathematica 9.0 seperti pada Lampiran 1.
Nilai dugaan vektor peluang state berikutnya dapat diperoleh dengan
memasukkan parameter-parameter yang telah diduga pada setiap model rantai
Markov dan nilainya dapat dilihat pada Lampiran 2 dan 3. Berdasarkan nilai
dugaan vektor peluang berikutnya ini, dibangkitkan nilai dugaan state ̂
Kemudian dengan mencocokan nilai dugaan state ̂ dengan nilai state
sebenarnya
diperoleh nilai keakuratan dari setiap model rantai Markov yang
digunakan seperti pada Tabel 7.
17
Tabel 7 Nilai keakuratan model rantai Markov yang digunakan
Banyaknya
state ( )
Model rantai
Markov orde
Maksimum
matching
43
41
40
38
35
36
37
36
Pengulangan
ke39371
44847
69675
32013
85440
56863
21730
22003
Nilai
keakuratan
51.81%
50.00%
49.38%
47.50%
42.17%
43.90%
45.68%
45.00%
Dari Tabel 7, terlihat untuk banyaknya state
, nilai keakuratan model
yang paling tinggi dihasilkan oleh pemodelan menggunakan first-order Markov
chain model, yaitu sebesar 51.81% dan nilai keakuratan model yang paling rendah
dihasilkan oleh pemodelan menggunakan higher-order Markov chain model
, yaitu sebesar 47.50%. Berdasarkan hasil tersebut, first-order Markov chain
model adalah model yang paling baik digunakan dalam pemodelan jumlah
penumpang kereta api dengan
. Sementara untuk banyaknya state
,
nilai keakuratan model yang paling tinggi dihasilkan oleh pemodelan
menggunakan higher-order Markov chain model
, yaitu sebesar 45.68% dan
nilai keakuratan model yang paling rendah dihasilkan oleh pemodelan
menggunakan first-order Markov chain model, yaitu sebesar 42.17%. Berdasarkan
hasil tersebut, higher-order Markov chain model
adalah model yang paling
baik digunakan dalam pemodelan jumlah penumpang kereta api dengan
.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
First-order Markov chain model dan higher-order Markov chain model
dapat digunakan untuk menduga suatu nilai yang akan datang dengan syarat nilainilai sebelumnya diketahui. Dalam pengaplikasian kedua model tersebut pada
suatu data, terdapat syarat tambahan yang harus terpenuhi, yaitu matriks peluang
transisi yang dihasilkan dari data yang digunakan harus memiliki sifat taknegatif
dan taktereduksi. Matriks peluang transisi yang dihasilkan juga bergantung oleh
banyaknya state yang digunakan. Tidak semua data dapat digunakan untuk kedua
model rantai Markov ini. Karakteristik data yang cocok untuk digunakan dalam
kedua model rantai Markov ini adalah data yang memiliki trend rataan atau
menyebar merata ke setiap state yang ada. Jadi, pemilihan data dan penentuan
banyaknya state yang digunakan mempengaruhi hasil yang didapat.
Berdasarkan hasil perbandingan model rantai Markov yang digunakan untuk
, first-order Markov chain model adalah model yang paling baik digunakan
dalam pemodelan jumlah penumpang kereta api di Sumatera dengan nilai
keakuratan model sebesar 51.81%, sedangkan untuk
, higher-order Markov
18
chain model
adalah model yang paling baik digunakan dalam pemodelan
jumlah penumpang kereta api di Sumatera dengan nilai keakuratan model sebesar
45.68%.
Berdasarkan hasil nilai keakuratan model, dapat disimpulkan bahwa firstorder dan higher-order Markov chain model tidak cukup baik untuk memodelkan
jumlah penumpang kereta api di Sumatera.
Saran
Hasil yang diperoleh dalam karya ilmiah ini belum memuaskan, karena data
yang digunakan kurang memiliki kecenderungan yang merata, sehingga untuk
penelitian berikutnya mengenai first-order dan higher-order Markov chain model
disarankan menggunakan data yang lebih sesuai dan penggunaan yang lebih
tepat. Penggunaan data untuk pemodelan sebaiknya juga lebih banyak sehingga
tingkat keakuratan pemodelan akan lebih baik.
DAFTAR PUSTAKA
[BPS] Badan Pusat Statistik. 2014. Jumlah Penumpang Kereta Api, 2006-2014
(Ribu Orang). [Internet]. [diunduh 2014 Feb 14]. Tersedia pada:
http://www.bps.go.id/tab_sub/view.php?kat=2&tabel=1&daftar=1&id_subyek
=17¬ab=16.
Buzacott J, Shanthikumar J. 1993. Stochastic Models of Manufacturing Systems.
International ed. New Jersey (US): Prentice Hall.
Ching W. 2001. Iterative Methods for Queuing and Manufacturing Systems.
London (UK): Springer.
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. Ed ke-2. New Jersey (US):
Prentice Hall.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed ke-3.
Oxford (GB): Clarendon Press.
Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall.
Horn R, Johnson C. 1985. Matrix Analysis. Cambridge (UK): Cambridge
University Press.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Bondan A, penerjemah; Hardani
HW, editor. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with
Applications. Ed ke-5.
Liu T. 2010. Application of Markov chains to analyze and predict the time series.
Modern Applied Science 4(5):162-166.
Nahmias S. 1997. Production and Operation Analysis. Chicago (US): McGraw
Hill International.
Ross SM. 1996. Stochastic Process. Ed ke-2. New York (US): John Wiley & Sons.
Sharma O. 1995. Markovian Queues. New York (US): Ellis Horwood.
19
Lampiran 1 Contoh program komputasi menggunakan Mathematica 9.0
First-order Markov Chain Model,
(*Data Input Jumlah Penumpang Kereta Api di Sumatera*)
X = {2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 4, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 4, 2, 2, 3, 3, 2,
3, 4, 4, 4, 4, 2, 4, 3, 3, 4, 4, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2,
1, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 4};
(*Program Mencari Nilai *)
For[ j = , j ≤ 4, j++, For[ i = , i ≤ 4, i++, For[ F[i,j] = ; t = , t ≤ 83, t++, If[ X[[t]] == j, If[
X[[t+1]] == i, F[i,j]++, F[i,j] = F[i,j]], F[i,j] = F[i,j]]]]];
F1 = Array[F, {i-1,j-1}] (*Mendefinisikan F1 sebagai Matriks Frekuensi Transisi*)
(*Program Menghitung Jumlah Setiap Kolom*)
For[ j = , j ≤ 4, j++, jumlahkolom[j] = Sum[F[i,j], {i, 1, 4}]]
(*Program Mencari Nilai *)
For[ j = , j ≤ 4, j++, For[ i = , i ≤ 4, i++, P[i,j] = F[i,j] ⁄ jumlahkolom[j] //N]]
P1 = Array[P, {i-1,j-1}] (*Mendefinisikan P1 sebagai Matriks Peluang Transisi*)
Y[1]={0, 1, 0, 0}; (*Mendefinisikan Y[1] sebagai vektor peluang awal*)
S = 84; (*Banyaknya data observasi yang digunakan*)
n = 1; (*menyatakan orde pertama*)
(*Program untuk Menduga Nilai Vektor Peluang State *)
For[t = 1, t ≤ 83, t++, Y[t+1] = P1.Y[t]]; Print[Xtebal[t+1] == Y[t+1]]]
Z = Range[4]; (*Mendefinisikan Z sebagai ruang state*)
(*Program Membangkitkan Nilai Dugaan State ̂ *)
(*Nilai dugaan state dibangkitkan secara acak dan dicatat dengan SeedRandom*)
(*Batas SeedRandom = [1, 100000]*)
For[c = 1, c ≤ 100000, c++, For[SeedRandom[c]; t = 2, t ≤ 84, t++, xbar[t] = RandomChoice
[Y[t]→Z]]; H[c] = Array[xbar, 83, 2]] (*H[c] adalah nilai dugaan state ̂
pada SeedRandom ke-c *)
(*Program Matching Antara Nilai Dugaan State ̂ dengan Nilai Sebenarnya *)
For[c = 1, c ≤ 100000, c++, For[t = 1, t ≤ 83, t++, B[t] = If[(H[c])[[t]] == X[[t+1]], 1, 0]]; L[c] =
Array[B, 83, 1]] (*L[c] adalah hasil matching pada SeedRandom ke-c*)
(*Program Menghitung Total Matching Antara ̂ dengan *)
For[c = , c ≤
, c++, M14[c] = Sum[(L[c])[[t]], {t, 1, 83}]](*M14[c] adalah total
matching pada SeedRandom ke-c*)
(*Program Mencari Total Matching Maksimum Antara ̂ dengan
MaksimumMatching14 = Max[Array[M14, 100000, 1]]
*)
(*Program Menghitung Nilai Keakuratan Model*)
r14 = (MaksimumMatching14/(S-n))*//N
(*Program Mencari Pengulangan yang Paling Maksimum *)
For[c=1, c≤
, c++, If[M14[c] == MaksimumMatching14, max = c]]; Print[max]
20
Lampiran 2 Nilai dugaan vektor peluang state model rantai Markov,
Model rantai Markov
First-order Markov chain model
Higher-order Markov chain
model
Higher-order Markov chain
model
Nilai dugaan vektor peluang state
Xtebal[2] = {0.363636, 0.181818, 0.318182, 0.136364}
Xtebal[3] = {0.228632, 0.297485, 0.250484, 0.223399}
Xtebal[4] = {0.228508, 0.256646, 0.272112, 0.242734}
Xtebal[5] = {0.217431, 0.256788 ,0.273348, 0.252434}
Xtebal[6] = {0.214867, 0.25343, 0.27574, 0.255964}
Xtebal[7] = {0.213352, 0.252659, 0.276452, 0.257537}
Xtebal[8] = {0.212786, 0.2522, 0.276825, 0.258188}
Xtebal[9] = {0.212529, 0.252029, 0.276973, 0.25847}
Xtebal[10] = {0.212421, 0.251951, 0.277039, 0.258589}
Xtebal[11] = {0.212375, 0.251918, 0.277066, 0.258641}
Xtebal[12] = {0.212355, 0.251904, 0.277078, 0.258662}
Xtebal[13] = {0.212347, 0.251898, 0.277083, 0.258672}
Xtebal[14] = {0.212343, 0.251896, 0.277085, 0.258676}
Xtebal[15] = {0.212341, 0.251895, 0.277086, 0.258678}
Xtebal[16] = {0.212341, 0.251894, 0.277087, 0.258678}
Xtebal[17] = {0.21234, 0.251894, 0.277087, 0.258679}
Xtebal[84] = {0.21234, 0.251894, 0.277087, 0.258679}
Xtebal[3] = {0.245831, 0.427081, 0.167364, 0.159723}
Xtebal[4] = {0.410015, 0.237487, 0.237730, 0.114767}
Xtebal[5] = {0.242256, 0.296051, 0.250027, 0.211666}
Xtebal[6] = {0.265417, 0.257983, 0.266525, 0.210077}
Xtebal[7] = {0.222945, 0.265116, 0.271085, 0.240856}
Xtebal[8] = {0.223730, 0.256355, 0.275623, 0.244293}
Xtebal[9] = {0.212015, 0.256722, 0.277544, 0.253719}
Xtebal[10] = {0.210670, 0.254426, 0.279002, 0.255902}
Xtebal[11] = {0.207204, 0.254173, 0.279747, 0.258876}
Xtebal[12] = {0.206364, 0.253507, 0.280249, 0.259880}
Xtebal[13] = {0.205277, 0.253342, 0.280527, 0.260854}
Xtebal[14] = {0.204897, 0.253134, 0.280704, 0.261265}
Xtebal[15] = {0.204540, 0.253059, 0.280807, 0.261594}
Xtebal[16] = {0.204386, 0.252991, 0.280870, 0.261753}
Xtebal[17] = {0.204265, 0.252961, 0.280907, 0.261867}
Xtebal[18] = {0.204205, 0.252938, 0.280930, 0.261927}
Xtebal[19] = {0.204163, 0.252926, 0.280943, 0.261967}
Xtebal[20] = {0.204141, 0.252918, 0.280952, 0.261990}
Xtebal[21] = {0.204126, 0.252914, 0.280956, 0.262004}
Xtebal[22] = {0.204118, 0.252911, 0.280959, 0.262012}
Xtebal[23] = {0.204113, 0.252909, 0.280961, 0.262017}
Xtebal[24] = {0.204110, 0.252908, 0.280962, 0.262020}
Xtebal[25] = {0.204108, 0.252908, 0.280963, 0.262022}
Xtebal[26] = {0.204107, 0.252907, 0.280963, 0.262023}
Xtebal[27] = {0.204106, 0.252907, 0.280963, 0.262024}
Xtebal[28] = {0.204106, 0.252907, 0.280964, 0.262024}
Xtebal[84] = {0.204106, 0.252907, 0.280964, 0.262024}
Xtebal[4] = {0.365974, 0.363741, 0.179447, 0.090837}
Xtebal[5] = {0.375493, 0.296181, 0.201824, 0.126502}
Xtebal[6] = {0.298889, 0.315095, 0.211999, 0.174017}
Xtebal[7] = {0.261216, 0.280506, 0.255228, 0.203050}
Xtebal[8] = {0.241191, 0.274358, 0.262021, 0.222430}
Xtebal[9] = {0.227406, 0.266097, 0.271147, 0.235350}
Xtebal[10] = {0.218102, 0.261052, 0.275137, 0.245709}
Xtebal[11] = {0.212629, 0.258025, 0.277993, 0.251352}
21
Model rantai Markov
Higher-order Markov chain
model
Higher-order Markov chain
model
Nilai dugaan vektor peluang state
Xtebal[12] = {0.208897, 0.256013, 0.279749, 0.255341}
Xtebal[13] = {0.206498, 0.254663, 0.280966, 0.257873}
Xtebal[14] = {0.204971, 0.253831, 0.281711, 0.259487}
Xtebal[15] = {0.203973, 0.253280, 0.282208, 0.260540}
Xtebal[16] = {0.203330, 0.252924, 0.282525, 0.261221}
Xtebal[17] = {0.202915, 0.252696, 0.282730, 0.261658}
Xtebal[18] = {0.202647, 0.252548, 0.282863, 0.261942}
Xtebal[19] = {0.202474, 0.252452, 0.282949, 0.262125}
Xtebal[20] = {0.202362, 0.252391, 0.283004, 0.262244}
Xtebal[21] = {0.202289, 0.252351, 0.283040, 0.262320}
Xtebal[22] = {0.202243, 0.252325, 0.283063, 0.262370}
Xtebal[23] = {0.202212, 0.252308, 0.283078, 0.262402}
Xtebal[24] = {0.202193, 0.252298, 0.283087, 0.262422}
Xtebal[25] = {0.202180, 0.252291, 0.283094, 0.262435}
Xtebal[26] = {0.202172, 0.252286, 0.283098, 0.262444}
Xtebal[27] = {0.202167, 0.252283, 0.283100, 0.262447}
Xtebal[28] = {0.202163, 0.252281, 0.283102, 0.262453}
Xtebal[29] = {0.202161, 0.252280, 0.283103, 0.262456}
Xtebal[30] = {0.202160, 0.252279, 0.283104, 0.262457}
Xtebal[31] = {0.202159, 0.252279, 0.283104, 0.262458}
Xtebal[32] = {0.202158, 0.252279, 0.283105, 0.262459}
Xtebal[33] = {0.202158, 0.252278, 0.283105, 0.262459}
Xtebal[34] = {0.202158, 0.252278, 0.283105, 0.262459}
Xtebal[35] = {0.202158, 0.252278, 0.283105, 0.262459}
Xtebal[36] = {0.202157, 0.252278, 0.283105, 0.262460}
Xtebal[84] = {0.202157, 0.252278, 0.283105, 0.262460}
Xtebal[5] = {0.329271, 0.475033, 0.073554, 0.122142}
Xtebal[6] = {0.319964, 0.311576, 0.219815, 0.148645}
Xtebal[7] = {0.289245, 0.309208, 0.231336, 0.170211}
Xtebal[8] = {0.255675, 0.284160, 0.272410, 0.187755}
Xtebal[9] = {0.231288, 0.281504, 0.263718, 0.223491}
Xtebal[10] = {0.223427, 0.268368, 0.271706, 0.236499}
Xtebal[11] = {0.216378, 0.264076, 0.274387, 0.245160}
Xtebal[12] = {0.211558, 0.259499, 0.277937, 0.251007}
Xtebal[13] = {0.208533, 0.257008, 0.279524, 0.254935}
Xtebal[14] = {0.206710, 0.255169, 0.280849, 0.257271}
Xtebal[15] = {0.205438, 0.254095, 0.281580, 0.258886}
Xtebal[16] = {0.204618, 0.253314, 0.282113, 0.259956}
Xtebal[17] = {0.204083, 0.252832, 0.282435, 0.260650}
Xtebal[18] = {0.203738, 0.252511, 0.282655, 0.261096}
Xtebal[19] = {0.203509, 0.252304, 0.282796, 0.261391}
Xtebal[20] = {0.203360, 0.252166, 0.282890, 0.261584}
Xtebal[21] = {0.203263, 0.252077, 0.282950, 0.261710}
Xtebal[22] = {0.203199, 0.252019, 0.282990, 0.261792}
Xtebal[23] = {0.203158, 0.251981, 0.283016, 0.261846}
Xtebal[24] = {0.203131, 0.251956, 0.283033, 0.261881}
Xtebal[25] = {0.203113, 0.251939, 0.283044, 0.261904}
Xtebal[26] = {0.203101, 0.251929, 0.283051, 0.261919}
Xtebal[27] = {0.203094, 0.251922, 0.283056, 0.261928}
Xtebal[28] = {0.203089, 0.251917, 0.283059, 0.261935}
Xtebal[29] = {0.203086, 0.251914, 0.283061, 0.261939}
Xtebal[30] = {0.203084, 0.251912, 0.283062, 0.261942}
Xtebal[31] = {0.203082, 0.251911, 0.283063, 0.261944}
Xtebal[32] = {0.203081, 0.251910, 0.283064, 0.261945}
Xtebal[33] = {0.203081, 0.251910, 0.283064, 0.261945}
22
Model rantai Markov
Higher-order Markov chain
model
Nilai dugaan vektor peluang state
Xtebal[34] = {0.203080, 0.251909, 0.283064, 0.261946}
Xtebal[35] = {0.203080, 0.251909, 0.283065, 0.261946}
Xtebal[36] = {0.203080, 0.251909, 0.283065, 0.261946}
Xtebal[37] = {0.203080, 0.251909, 0.283065, 0.261947}
Xtebal[84] = {0.203080, 0.251909, 0.283065, 0.261947}
23
Lampiran 3 Nilai dugaan vektor peluang state model rantai Markov,
Model rantai Markov
First-order Markov
chain model
Higher-order Markov
chain model
Nilai dugaan vektor peluang state
Xtebal[2] = {0.095238, 0.476190, 0.380952, 0.000000, 0.047619}
Xtebal[3] = {0.122812, 0.293847, 0.334422, 0.154074, 0.094845}
Xtebal[4] = {0.120905, 0.250560, 0.299504, 0.170387, 0.158643}
Xtebal[5] = {0.113212, 0.242972, 0.295474, 0.168621, 0.179721}
Xtebal[6] = {0.109305, 0.239722, 0.297751, 0.168854, 0.184367}
Xtebal[7] = {0.107985, 0.237495, 0.298935, 0.169895, 0.185690}
Xtebal[8] = {0.107555, 0.236319, 0.299194, 0.170511, 0.186421}
Xtebal[9] = {0.107378, 0.235819, 0.299225, 0.170749, 0.186829}
Xtebal[10] = {0.107293, 0.235622, 0.299237, 0.170832, 0.187016}
Xtebal[11] = {0.107254, 0.235541, 0.299248, 0.170864, 0.187093}
Xtebal[12] = {0.107237, 0.235506, 0.299254, 0.170879, 0.187124}
Xtebal[13] = {0.107230, 0.235491, 0.299256, 0.170886, 0.187138}
Xtebal[14] = {0.107227, 0.235484, 0.299257, 0.170888, 0.187143}
Xtebal[15] = {0.107225, 0.235481, 0.299258, 0.170890, 0.187146}
Xtebal[16] = {0.107225, 0.235480, 0.299258, 0.170890, 0.187147}
Xtebal[17] = {0.107225, 0.235479, 0.299258, 0.170890, 0.187148}
Xtebal[18] = {0.107225, 0.235479, 0.299258, 0.170891, 0.187148}
Xtebal[19] = {0.107224, 0.235479, 0.299258, 0.170891, 0.187148}
Xtebal[84] = {0.107224, 0.235479, 0.299258, 0.170891, 0.187148}
Xtebal[3] = {0.227294, 0.326623, 0.318117, 0.099329, 0.0286363}
Xtebal[4] = {0.204301, 0.487189, 0.152426, 0.123422, 0.0326621}
Xtebal[5] = {0.135853, 0.321967, 0.287743, 0.142384, 0.112053}
Xtebal[6] = {0.145638, 0.303362, 0.310459, 0.130839, 0.109702}
Xtebal[7] = {0.117113, 0.266691, 0.303833, 0.160373, 0.151990}
Xtebal[8] = {0.113170, 0.263714, 0.302254, 0.165510, 0.155352}
Xtebal[9] = {0.104402, 0.249845, 0.302479, 0.167561, 0.175713}
Xtebal[10] = {0.102529, 0.246816, 0.303107, 0.167900, 0.179648}
Xtebal[11] = {0.099037, 0.241289, 0.303529, 0.170428, 0.185716}
Xtebal[12] = {0.0979664, 0.239564, 0.303747, 0.171223, 0.187501}
Xtebal[13] = {0.0966545, 0.237541, 0.303778, 0.171919, 0.190108}
Xtebal[14] = {0.0961384, 0.236756, 0.303835, 0.172191, 0.191080}
Xtebal[15] = {0.0956204, 0.235945, 0.303882, 0.172498, 0.192055}
Xtebal[16] = {0.0953846, 0.235573, 0.303916, 0.172639, 0.192487}
Xtebal[17] = {0.0951780, 0.235251, 0.303932, 0.172760, 0.192880}
Xtebal[18] = {0.0950729, 0.235088, 0.303943, 0.172820, 0.193076}
Xtebal[19] = {0.0949891, 0.234958, 0.303950, 0.172869, 0.193234}
Xtebal[20] = {0.0949433, 0.234886, 0.303955, 0.172896, 0.193320}
Xtebal[21] = {0.0949091, 0.234833, 0.303958, 0.172916, 0.193384}
Xtebal[22] = {0.0948893, 0.234802, 0.303961, 0.172927, 0.193421}
Xtebal[23] = {0.0948752, 0.234780, 0.303962, 0.172935, 0.193448}
Xtebal[24] = {0.0948667, 0.234767, 0.303963, 0.172940, 0.193464}
Xtebal[25] = {0.0948609, 0.234758, 0.303963, 0.172944, 0.193475}
Xtebal[26] = {0.0948573, 0.234752, 0.303964, 0.172946, 0.193481}
Xtebal[27] = {0.0948549, 0.234748, 0.303964, 0.172947, 0.193486}
Xtebal[28] = {0.0948533, 0.234746, 0.303964, 0.172948, 0.193489}
Xtebal[29] = {0.0948523, 0.234744, 0.303964, 0.172949, 0.193491}
Xtebal[30] = {0.0948517, 0.234743, 0.303964, 0.172949, 0.193492}
Xtebal[31] = {0.0948513, 0.234743, 0.303964, 0.172949, 0.193493}
Xtebal[32] = {0.0948510, 0.234742, 0.303964, 0.172949, 0.193493}
Xtebal[33] = {0.0948508, 0.234742, 0.303964, 0.172950, 0.193494}
Xtebal[34] = {0.0948507, 0.234742, 0.303964, 0.172950, 0.193494}
Xtebal[35] = {0.0948506, 0.234742, 0.303964, 0.172950, 0.193494}
Xtebal[36] = {0.0948506, 0.234741, 0.303964, 0.172950, 0.193494}
24
Model rantai Markov
Higher-order Markov
chain model
Higher-order Markov
chain model
Higher-order Markov
chain model
Nilai dugaan vektor peluang state
Xtebal[37] = {0.0948505, 0.234741, 0.303964, 0.172950, 0.193494}
Xtebal[84] = {0.0948505, 0.234741, 0.303964, 0.172950, 0.193494}
Xtebal[4] = {0.266191, 0.354922, 0.134284, 0.1558720, 0.0887305}
Xtebal[5] = {0.175870, 0.451532, 0.200458, 0.0736408, 0.0984982}
Xtebal[6] = {0.163380, 0.450116, 0.229535, 0.0752197, 0.081750}
Xtebal[7] = {0.127469, 0.316820, 0.299721, 0.1282290, 0.127761}
Xtebal[8] = {0.118626, 0.273062, 0.300870, 0.1653560, 0.142087}
Xtebal[9] = {0.114959, 0.263195, 0.299257, 0.1704570, 0.152131}
Xtebal[10] = {0.106320, 0.254238, 0.299837, 0.169709, 0.169896}
Xtebal[11] = {0.101369, 0.246710, 0.303744, 0.168444, 0.179733}
Xtebal[12] = {0.0995038, 0.242703 ,0.305052, 0.169714, 0.183027}
Xtebal[13] = {0.0983176, 0.239383, 0.305301, 0.171259, 0.185740}
Xtebal[14] = {0.0974773, 0.237631, 0.305135, 0.172211, 0.187545}
Xtebal[15] = {0.0969720, 0.236724, 0.305236, 0.172437, 0.188631}
Xtebal[16] = {0.0966336, 0.236061, 0.305379, 0.172536, 0.189391}
Xtebal[17] = {0.0964215, 0.235575, 0.305497, 0.172630, 0.189876}
Xtebal[18] = {0.0963014, 0.235300, 0.305535, 0.172727, 0.190137}
Xtebal[19] = {0.0962265, 0.235138, 0.305545, 0.172786, 0.190304}
Xtebal[20] = {0.0961762, 0.235040, 0.305552, 0.172817, 0.190415}
Xtebal[21] = {0.0961448, 0.234977, 0.305562, 0.172832, 0.190484}
Xtebal[22] = {0.0961257, 0.234937, 0.305569, 0.172843, 0.190526}
Xtebal[23] = {0.0961140, 0.234910, 0.305573, 0.172850, 0.190553}
Xtebal[24] = {0.0961067, 0.234895, 0.305574, 0.172856, 0.190569}
Xtebal[25] = {0.0961021, 0.234885, 0.305575, 0.172858, 0.190579}
Xtebal[26] = {0.0960992, 0.234879, 0.305576, 0.172860, 0.190585}
Xtebal[27] = {0.0960974, 0.234875, 0.305577, 0.172861, 0.190589}
Xtebal[28] = {0.0960963, 0.234873, 0.305577, 0.172862, 0.190592}
Xtebal[29] = {0.0960956, 0.234871, 0.305577, 0.172862, 0.190593}
Xtebal[30] = {0.0960951, 0.234870, 0.305577, 0.172863, 0.190594}
Xtebal[31] = {0.0960949, 0.234870, 0.305578, 0.172863, 0.190595}
Xtebal[32] = {0.0960947, 0.234870, 0.305578, 0.172863, 0.190595}
Xtebal[33] = {0.0960946, 0.234869, 0.305578, 0.172863, 0.190596}
Xtebal[34] = {0.0960945, 0.234869, 0.305578, 0.172863, 0.190596}
Xtebal[35] = {0.0960945, 0.234869, 0.305578, 0.172863, 0.190596}
Xtebal[36] = {0.0960945, 0.234869, 0.305578, 0.172863, 0.190596}
Xtebal[37] = {0.0960944, 0.234869, 0.305578, 0.172863, 0.190596}
Xtebal[84] = {0.0960944, 0.234869, 0.305578, 0.172863, 0.190596}
Xtebal[5] = {0.276228, 0.421330, 0.0734214, 0.132866, 0.0961549}
Xtebal[6] = {0.168607, 0.358013, 0.297325, 0.0682645, 0.107791}
Xtebal[7] = {0.153498, 0.300131, 0.331655, 0.113777, 0.100939}
Xtebal[8] = {0.151287, 0.279533, 0.330543, 0.126441, 0.112196}
Xtebal[9] = {0.124114, 0.263607, 0.304101, 0.167812, 0.140366}
Xtebal[10] = {0.109899, 0.257253, 0.300656, 0.161354, 0.170838}
Xtebal[11] = {0.104159, 0.251913, 0.303604, 0.161943, 0.178380}
Xtebal[12] = {0.102234, 0.247995, 0.304919, 0.163943, 0.180909}
Xtebal[13] = {0.100333, 0.243061, 0.304735, 0.168979, 0.182893}
Xtebal[14] = {0.0986879, 0.239821, 0.304409, 0.171206, 0.185876}
Xtebal[15] = {0.0977403, 0.238242, 0.304359, 0.171968, 0.187690}
Xtebal[16] = {0.0972790, 0.237439, 0.304424, 0.172325, 0.188532}
Xtebal[17] = {0.0970005, 0.236797, 0.304446, 0.172728, 0.189029}
Xtebal[18] = {0.0967792, 0.236291, 0.304435, 0.173057, 0.189438}
Xtebal[19] = {0.0966289, 0.235977, 0.304430, 0.173242, 0.189722}
25
Model rantai Markov
Higher-order Markov
chain model
Nilai dugaan vektor peluang state
Xtebal[20] = {0.0965415, 0.235803, 0.304433, 0.173335, 0.189887}
Xtebal[21] = {0.0964896, 0.235694, 0.304436, 0.173396, 0.189984}
Xtebal[22] = {0.0964542, 0.235617, 0.304437, 0.173442, 0.190050}
Xtebal[23] = {0.0964300, 0.235564, 0.304437, 0.173473, 0.190095}
Xtebal[24] = {0.0964147, 0.235532, 0.304437, 0.173492, 0.190124}
Xtebal[25] = {0.0964053, 0.235512, 0.304438, 0.173503, 0.190142}
Xt
MENGGUNAKAN FIRST-ORDER DAN HIGHER-ORDER
MARKOV CHAIN
RUDY HARIONO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Jumlah
Penumpang Kereta Api di Sumatera Menggunakan First-order dan Higher-order
Markov Chain adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2014
Rudy Hariono
NIM G54090013
ABSTRAK
RUDY HARIONO. Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api di Sumatera
Menggunakan First-order dan Higher-order Markov Chain. Dibimbing oleh
BERLIAN SETIAWATY dan RUHIYAT.
First-order Markov chain model adalah rantai Markov yang hanya
bergantung pada satu waktu sebelumnya, sedangkan higher-order Markov chain
model adalah rantai Markov yang bergantung pada beberapa waktu sebelumnya.
Tujuan penelitian ini adalah mengkaji first-order dan higher-order Markov chain
models beserta pendugaan parameter kedua model dan mengaplikasikannya untuk
memodelkan jumlah penumpang kereta api di Sumatera. Data yang digunakan
dalam penelitian ini adalah data jumlah penumpang kereta api yang dikeluarkan
oleh Badan Pusat Statistik mulai dari Januari 2007 sampai Desember 2013.
Perhitungan numerik dilakukan menggunakan perangkat lunak Mathematica 9.0
dan Microsoft Excel 2010. Untuk model 4-state dan 5-state diperoleh nilai
keakuratan model sebesar 51.81%. Berdasarkan hasil tersebut, dapat disimpulkan
first-order dan higher-order Markov chain model bukan model yang cocok untuk
jumlah penumpang kereta api di Sumatera.
Kata kunci: first-order Markov chain model, higher-order Markov chain model,
pemodelan jumlah penumpang kereta api
ABSTRACT
RUDY HARIONO. Modeling the Number of Train Passengers in Sumatra Using
First-order and Higher-order Markov Chain. Supervised by BERLIAN
SETIAWATY and RUHIYAT.
First-order Markov chain model is a Markov chain model that depends only
on the last state, while higher-order Markov chain model is a Markov chain model
that relies on past some states. The purposes of this research are to study the firstorder and higher-order Markov chain models and their parameter estimation and
to apply these models for modeling the number of train passengers in Sumatera.
The data used in this research are data of the number of train passengers issued by
Statistics Indonesia starting from January 2007 until December 2013. Numerical
calculation is performed using the softwares Mathematica 9.0 and Microsoft Excel
2010. For 4-state and 5-state models, we obtain the accuracy of model of 51.81%.
Based on these results, we can conclude that first-order and higher-order Markov
chain models are not suitable models for the number of train passengers in
Sumatra.
Keywords: first-order Markov chain model, higher-order Markov chain model,
modeling the number of train passengers
PEMODELAN JUMLAH PENUMPANG KERETA API DI SUMATERA
MENGGUNAKAN FIRST-ORDER DAN HIGHER-ORDER
MARKOV CHAIN
RUDY HARIONO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api di Sumatera
Menggunakan First-order dan Higher-order Markov Chain
Nama
: Rudy Hariono
NIM
: G54090013
Disetujui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Pembimbing I
Ruhiyat, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam
penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Maret 2013 ini ialah rantai Markov,
dengan judul Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api di Sumatera
Menggunakan First-order dan Higher-order Markov Chain.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Berlian Setiawaty, MS dan
Ruhiyat, MSi selaku pembimbing yang telah memberikan ilmu, arahan dan
menyediakan waktu untuk membimbing penulis dalam menyelesaikan karya
ilmiah ini serta Dr Ir Endar H Nugrahani, MS yang telah banyak memberikan
saran. Ungkapan terima kasih sebesar-besarnya juga disampaikan kepada kedua
orang tuaku yang selalu memberikan doa, kasih sayang, dan semangat kepada
penulis, kakakku yang selalu memberikan dukungan baik materi maupun
semangat, dan adik-adikku yang selalu menjadi motivasi bagi penulis, serta
keluarga besarku khususnya keluarga Bude Ice yang telah banyak memberikan
bantuan kepada penulis dalam menempuh pendidikan sarjana. Di samping itu,
terima kasih kepada Faris, Reni, Putri, Andri, Steven, Rangga, Hendra, Rochmat,
Qowi, Syukrio, Bari, Syahrul, Syaepul, Anita, dan semua temanku di Departemen
Matematika IPB maupun di luar Departemen Matematika IPB yang telah
menemani penulis dari awal hingga selesainya karya ilmiah ini. Penulis juga
mengucapkan terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen
Matematika IPB, serta alumni Departemen Matematika IPB.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 2014
Rudy Hariono
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
2
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
2
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
2
Rantai Markov
3
Nilai Eigen, Vektor, Ortogonalitas, dan Matriks Taktereduksi
5
MODEL RANTAI MARKOV
7
Pengertian Model Rantai Markov dan Karakteristiknya
7
First-order Markov Chain Model
7
Higher-order Markov Chain Model
9
Keakuratan Model
APLIKASI MODEL RANTAI MARKOV PADA JUMLAH PENUMPANG
KERETA API
13
13
Deskripsi Data
13
Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api
14
Hasil Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api
16
SIMPULAN DAN SARAN
17
Simpulan
17
Saran
18
DAFTAR PUSTAKA
18
LAMPIRAN
19
RIWAYAT HIDUP
26
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
Rentang jumlah penumpang kereta api di Sumatera untuk
Rentang jumlah penumpang kereta api di Sumatera untuk
Barisan data jumlah penumpang kereta api
Matriks peluang transisi untuk orde
d n
Nilai dugaan vektor peluang stasioner ̂
Nilai
untuk orde
d n
Nilai keakuratan model rantai Markov yang digunakan
14
15
15
15
16
16
17
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
Contoh program komputasi menggunakan Mathematica 9.0
Nilai dugaan vektor peluang state model rantai Markov,
Nilai dugaan vektor peluang state model rantai Markov,
19
20
23
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Rantai Markov adalah suatu model stokastik yang diperkenalkan oleh
seorang matematikawan Rusia yang bernama A. A. Markov pada awal abad ke20. Kelebihan model rantai Markov adalah dapat menduga nilai yang akan datang
cukup dengan memperhatikan nilai saat ini. Dengan kata lain, nilai pada waktuwaktu sebelumnya tidak akan mempengaruhi nilai yang akan datang, sesuai
dengan sifat Markov (Markovian property).
Rantai Markov berguna dalam memodelkan sistem-sistem praktis seperti
sistem antrian (Ching 2001; Sharma 1995), sistem pembangunan (Buzacott dan
Shanthikumar 1993), dan sistem penyimpanan (Nahmias 1997). Selain itu, rantai
Markov juga efektif dalam memodelkan deret waktu.
Deret waktu dapat diartikan sebagai serangkaian data yang diambil dari
pengamatan suatu peristiwa yang dilakukan secara berkala dalam waktu yang
tidak berujung. Deret waktu sering terjadi di dunia nyata. Salah satu contoh adalah
data jumlah penumpang kereta api di Sumatera yang diamati setiap bulannya dari
Januari 2007 sampai Desember 2013 berdasarkan data yang dikeluarkan oleh
Badan Pusat Statistik.
Tercatat jumlah penumpang kereta api mengalami penurunan dan kenaikan
secara bergantian dari awal periode (Januari 2007) sampai akhir periode
(Desember 2013). Naik-turunnya jumlah penumpang kereta api tidak dapat
diketahui pasti kapan terjadinya menjadi alasan utama pentingnya memprediksi
jumlah penumpang kereta api di masa yang akan datang.
Dalam karya ilmiah ini, akan dibahas model rantai Markov untuk
menganalisis dan memprediksi deret waktu yang diambil dari artikel yang
berjudul Application of Markov Chains to Analyze and Predict the Time Series
yang ditulis oleh Tie Liu pada tahun 2010.
Terdapat dua model rantai Markov yang digunakan dalam karya ilmiah ini,
yang pertama adalah first-order Markov chain model, yaitu rantai Markov yang
hanya bergantung pada satu waktu sebelumnya dan yang kedua adalah higherorder Markov chain model, yaitu rantai Markov yang bergantung pada beberapa
(lebih dari satu) waktu sebelumnya. Menggunakan dua model di atas, diharapkan
dapat diprediksi jumlah penumpang kereta api yang akan datang.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah:
1. Mengkaji dua model rantai Markov, yaitu first-order Markov chain model dan
higher-order Markov chain model.
2. Memodelkan jumlah penumpang kereta api dengan dua model rantai Markov
di atas.
2
LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Percobaan Acak
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi yang
sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, akan tetapi
hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan
semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi sama, disebut percobaan acak
(Hogg et al. 2005).
Ruang Contoh dan Kejadian
Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh, dinotasikan deng n Ω. Su tu kej di n adalah himpunan bagian dari Ω
(Grimmet dan Stirzaker 2001).
Medan-σ
Koleksi d ri himpun n b gi n Ω disebut medan-σ jika memenuhi syarat:
1.
;
;
2. Jika
maka ⋃
3. Jika
maka
(Grimmet dan Stirzaker 2001).
Ukuran Peluang
Misalkan adalah medan-σ d ri ru ng contoh Ω. Ukur n pelu ng d l h su tu
fungsi
yang memenuhi:
1.
.
2. Jika
adalah himpunan yang saling lepas yaitu
untuk
∑
.
setiap pasangan
maka ⋃
Pasangan
disebut ruang peluang (Grimmet dan Stirzaker 2001).
Peluang Bersyarat
Jika
maka peluang bersyarat dari kejadian
ialah
(Grimmet dan Stirzaker 2001).
setelah diketahui kejadian
|
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Peubah Acak
Misalkan adalah medanfungsi
di mana
dan Stirzaker 2001).
dari ruang contoh
. Peubah acak
untuk setiap
merupakan
(Grimmet
3
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, sedangkan nilai dari peubah
acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil.
Fungsi Sebaran
Fungsi sebaran dari peubah acak adalah suatu fungsi
(Grimmet dan Stirzaker 2001).
di mana
Peubah Acak Diskret
Peubah acak disebut sebagai peubah acak diskret jika nilainya hanya berada
pada himpunan bagian yang terhitung atau berhingga dari
(Grimmet dan
Stirzaker 2001).
Fungsi Kerapatan Peluang
Misalkan
adalah ruang peluang dan adalah himpunan berhingga.
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi
yang didefinisikan oleh
(Grimmet dan Stirzaker 2001).
Fungsi Kerapatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Diskret
Misalkan
adalah ruang peluang dan adalah himpunan berhingga.
Fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret dan adalah suatu
fungsi
yang didefinisikan oleh
(Grimmet dan Stirzaker 2001).
Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat
Jika dan merupakan peubah acak diskret, maka fungsi kerapatan peluang
bersyarat dari
jika diberikan
, terdefinisi untuk setiap sedemikian
sehingga
adalah
(Ross 1996).
|
|
Fungsi Kerapatan Marginal
adalah fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak
Misalkan
diskret dan . Misal adalah himpunan nilai yang mungkin dari dan
adalah himpunan nilai yang mungkin dari . Selanjutnya fungsi
∑
∑
masing-masing disebut fungsi
dan
kerapatan marginal dari dan (Ghahramani 2005).
Rantai Markov
Ruang State
Misalkan
merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka
disebut ruang state (Grimmet dan Stirzaker 2001).
4
Proses Stokastik
Proses stokastik
adalah suatu koleksi dari peubah acak
yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state . Jadi, untuk setiap
, adalah suatu peubah acak (Ross 1996).
Dalam hal ini anggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak
state (keadaan) dari proses pada waktu .
sebagai
Rantai Markov dengan Waktu Diskret
Misalkan suatu peubah acak. Proses stokastik
dengan ruang
state
adalah rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap
berlaku
|
|
untuk semua kemungkinan nilai dari
(Ross 1996).
Jadi untuk suatu Rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat
dengan syarat state yang lalu
dan state sebelumnya
adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya bergantung pada
state sebelumnya. Proses di atas dapat digambarkan sebagai
state rantai
Markov dengan peluang transisi
dengan
. Nilai dari peluang
transisi
menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada state
maka berikutnya akan beralih ke state . Karena nilai peluang adalah tak negatif
dan karena proses tersebut harus mengalami transisi ke suatu state, maka
1.
, untuk semua
.
2. ∑
untuk semua
.
Peluang transisi
dapat dituliskan dalam bentuk matriks
yang
disebut juga sebagai matriks peluang transisi, yaitu
ini
)
Matriks Transisi
Misalkan
. Matriks transisi
untuk
dan
adalah
rantai Markov dengan ruang state
adalah matriks dari peluang transisi
|
(Grimmet dan Stirzaker 2001).
Peluang Transisi langkah
dari rantai Markov
Peluang transisi langkah
peluang proses berpindah dari state ke state
dengan
didefinisikan sebagai berikut:
|
untuk
(Ross 1996).
adalah
langkah yang
5
Terakses
Suatu state disebut terakses dari state (notasi:
) jika minimal ada sebuah
bilangan bulat
sehingga
di mana
adalah peluang bahwa pada
waktu ke- , proses berada pada state dengan syarat state awal adalah (Ross
1996).
Berkomunikasi
Dua state dan dikatakan berkomunikasi (notasi:
state dan state terakses dari state (Ross 1996).
) jika state terakses dari
Kelas State
Suatu kelas state adalah suatu himpunan takkosong sehingga semua pasangan
state yang merupakan anggota dari berkomunikasi satu dengan yang lainnya,
serta tidak ada state yang merupakan anggota yang berkomunikasi dengan suatu
state yang bukan anggota dari (Ross 1996).
Taktereduksi
Rantai Markov disebut taktereduksi jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika
semua state berkomunikasi satu dengan yang lainnya (Ross 1996).
Nilai Eigen, Vektor, Ortogonalitas, dan Matriks Taktereduksi
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan adalah suatu matriks berukuran
. Skalar disebut sebagai suatu
nilai eigen dari jika terdapat suatu vektor taknol sehingga
. Vektor
disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan (Leon 2001).
Untuk mencari nilai eigen dari matriks
yang berukuran
persamaan
dapat dituliskan dalam bentuk
maka
(1)
dengan adalah matriks identitas. Persamaan (1) akan memiliki solusi taknol jika
dan hanya jika
singular atau secara ekivalen
(2)
Persamaan (2) disebut persamaan karakteristik dari matriks .
Vektor Peluang Stasioner
Misalkan
(
rantai Markov pada waktu ke- , maka
̂
adalah distribusi peluang state dari
̂ ̂
̂
disebut vektor peluang stasioner dari rantai Markov jika ̂ memenuhi syarat:
∑ ̂
1. ̂
̂
̂
∑
2.
, yaitu ̂
̂
(Grimmet dan Stirzaker 2001).
6
Hasil Kali Skalar di
Misalkan
dengan
maka hasil skalar dari
dan
adalah
)
)
(Leon 2001).
Norm dari Suatu Vektor di
Misalkan
dengan
maka norm dari vektor
(Leon 2001).
)
adalah
‖ ‖
√
√
Norm dari Suatu Matriks di
Norm dari suatu matriks yang berukuran
‖ ‖
‖ ‖
{
|
‖ ‖
(Leon 2001).
dapat didefinisikan sebagai
Norm Uniform atau Norm Takterbatas di
Misalkan
, maka norm uniform dari vektor
‖ ‖
|
|
}
didefinisikan dengan
menyatakan elemen vektor dengan indeks ke- (Leon 2001).
Matriks Taknegatif dan Positif
Suatu matriks berorde
dengan entri bilangan real disebut taknegatif jika
untuk setiap
, dan disebut positif jika
untuk setiap
(Leon 2001).
Matriks Taktereduksi
Matriks taknegatif berordo
dikatakan sebagai matriks yang tereduksi jika
terdapat suatu partisi dari himpunan indeks
ke dalam himpunanhimpunan takkosong yang saling lepas dan sehingga
apabila
dan
. Jika tidak demikian, disebut sebagai matriks yang taktereduksi
(Leon 2001).
7
Proposisi 1
Matriks peluang transisi dari rantai Markov
memiliki sebuah nilai eigen
yang bernilai satu dan semua nilai eigen dari memiliki modulus kurang dari atau
sama dengan satu (Horn dan Johnson 1985).
Proposisi 2 (Teorema Perron-Frobenius)
Misalkan adalah matriks segi taknegatif dan taktereduksi berorde , maka
1.
memiliki satu nilai eigen real yang bernilai positif
yang sama dengan
spectral radius-nya
|
|
di mana
menyatakan nilai eigen ke- dari ;
2. Untuk pada poin 1, terdapat sebuah vektor eigen
elemen-elemennya bernilai real dan positif sehingga
yang bersesuaian yang
3.
pada poin 1 adalah nilai eigen dari
(Liu 2010).
MODEL RANTAI MARKOV
Pengertian Model Rantai Markov dan Karakteristiknya
Secara umum, rantai Markov adalah proses stokastik
yang dicirikan oleh banyaknya state
dengan ruang state
,
matriks peluang transisi , dan vektor peluang awal .
Terdapat dua model rantai Markov yang digunakan dalam karya ilmiah ini,
yang pertama adalah first-order Markov chain model, yaitu rantai Markov yang
hanya bergantung pada satu waktu sebelumnya dan yang kedua adalah higherorder Markov chain model, yaitu rantai Markov yang bergantung pada beberapa
(lebih dari satu) waktu sebelumnya.
Notasikan
sebagai proses vektor peluang berukuran
yang
menentukan peluang terjadinya rantai Markov
, di mana
)
d n ∑
First-order Markov Chain Model
First-order Markov chain model adalah rantai Markov yang hanya
bergantung pada satu nilai sebelumnya, yaitu nilai suatu state
hanya
bergantung pada nilai state sebelumnya
dan dimodelkan oleh proses vektor
peluangnya sebagai berikut:
8
dengan
adalah vektor peluang state pada waktu
, dan adalah matriks
peluang transisi. Dalam hal ini definisikan
sebagai vektor peluang awal yang
nilainya mengikuti aturan
jik
⏟
unsur ke
Pendugaan Matriks Peluang Transisi
Dalam subbab ini akan dibahas langkah-langkah untuk menduga matriks
peluang transisi
menggunakan metode maksimum likelihood. Definisikan
fungsi likelihood untuk rantai Markov orde pertama sebagai berikut:
|
∏
∏
|
∏
sumsi
∏∏
di mana
adalah banyaknya transisi dari state ke state ,
transisi dari state ke state , dan adalah banyaknya state.
Definisikan fungsi log likelihood
∑∑
∏∏
dengan kendala:
adalah peluang
∑
Maksimumkan fungsi log likelihood dengan menggunakan metode pengali
Lagrange. Misalkan pengali Lagrange
maka fungsi objektif yang
baru adalah
di mana
∑
adalah pengali Lagrange. Karena
maka fungsi
adalah konkaf di
(∑
)
. Selanjutnya dengan menyelesaikan
9
diperoleh
̂
∑
∑
∑
̂
∑
Artinya, untuk mendapatkan nilai ̂ , terlebih dahulu harus mencari nilai
dan setelah itu matriks peluang transisi dapat diduga.
Higher-order Markov Chain Model
Higher-order Markov chain model adalah model rantai Markov yang
bergantung pada waktu sebelumnya (
) dan dimodelkan dengan proses
vektor peluang
sebagai berikut:
dengan
∑
merupakan vektor peluang state pada waktu
. Untuk setiap
,
adalah matriks peluang transisi dengan langkah,
(
dengan
Bobot
d n∑
)
dan memenuhi
∑
Dalam hal ini, definisikan
vektor peluang awal yang nilainya mengikuti aturan
(
⏟
unsur ke
)
sebagai himpunan
jik
Pendugaan parameter
Metode yang digunakan untuk menduga parameter
adalah metode maksimum likelihood. Metode pendugaan dalam model ini adalah
bentuk perluasan dari metode pendugaan pada first-order Markov chain model.
Misalkan diberikan barisan data
, langkah pertama hitung frekuensi
transisi
dari state ke state dengan langkah. Kemudian buat matriks
transisi langkah sebagai berikut:
10
Dari
(
didapatkan estimasi untuk ̂
̂
̂
̂
̂
sebagai berikut:
̂
̂
̂
(̂
di mana
Penduga ̂
̂
̂
)
̂
)
∑
diperoleh dengan memaksimumkan fungsi likelihood berikut:
|
∏
∏ ∏(
|
|
sumsi
∏
∏∏
∏∏
∏∏∏
di mana
adalah banyaknya transisi dari state ke state dengan
adalah peluang transisi dari state ke state dengan
dan adalah banyaknya state.
Definisikan fungsi log likelihood
∏∏∏
dengan kendala:
∑
langkah,
∑∑∑
langkah,
adalah orde,
11
Maksimumkan fungsi log likelihood dengan menggunakan metode pengali
Lagrange, maka fungsi objektif yang baru adalah
di mana
∑∑
adalah pengali Lagrange. Karena
)
(∑
d n
maka fungsi
persamaan
. Selanjutnya dengan menyelesaikan
adalah konkaf di
d n
diperoleh
t û
d n
d n
∑
d n
∑
∑
̂
∑
Pendugaan Parameter
Pada bagian ini akan dibahas cara untuk menduga parameter
menggunakan formulasi pemrograman linear. Sebagai akibat dari Proposisi 1 dan
2, rantai Markov orde (higher-order Markov chain) memiliki sebuah vektor
positif yang merupakan vektor peluang stasioner. Vektor tersebut dinotasikan
̂
̂ ̂ ̂
̂
, ̂ dapat diduga dengan menghitung proporsi kejadian
setiap state dari rantai Markov.
Akibat Proposisi 1 dan 2,
di mana
̂
̂
∑̂
(3)
∑
(4)
Persamaan (4) dapat ditulis kembali menjadi
∑̂ ̂ ̂
̂
(5)
Selanjutnya dengan menghampiri persamaan (5), dapat diduga nilai parameter
̂
̂
̂ . Diawali dengan menyelesaikan masalah peminimuman berikut:
12
Masalah 1:
‖∑ ̂ ̂ ̂
dengan kendala:
̂‖
d n ̂
∑̂
Kemudian dari berbagai macam norm vektor, diambil norm takhingga ‖ ‖ ,
sehingga masalah 1 menjadi sebagai berikut:
Masalah 2:
|[∑ ̂ ̂ ̂
dengan kendala:
∑̂
̂] |
d n ̂
Selanjutnya untuk menyelesaikan masalah 2, dimisalkan variabel
merepresentasikan nilai dari fungsi objektif sebagai berikut:
|[∑ ̂ ̂ ̂
̂] |
yang
(6)
dan dari persamaan (6) dapat dituliskan bahwa
|[∑ ̂ ̂ ̂
̂] |
(7)
Kemudian dengan menghilangkan nilai mutlak dalam pertidaksamaan (7)
diperoleh pertidaksamaan berikut:
[∑ ̂ ̂ ̂
[∑ ̂ ̂ ̂
̂]
(8)
̂]
Sehingga masalah 2 dapat diformulasikan sebagai masalah pemrograman linear
berikut:
Masalah 3:
dengan kendala:
̂
(̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂
)
13
(̂ ̂ ̂ ̂
̂
̂ ̂
)
d n
∑
Selanjutnya dengan menggunakan bantuan perangkat lunak Microsoft Excel
2010 masalah 3 dapat diselesaikan
Keakuratan Model
Dalam subbab ini, akan dibahas cara menentukan nilai keakuratan model
rantai Markov yang digunakan dalam memodelkan suatu permasalahan. Tingkat
keakuratan model merupakan tolak ukur yang digunakan untuk menentukan
seberapa baik model rantai Markov yang diaplikasikan pada suatu permasalahan.
Nilai keakuratan model, yaitu mengikuti aturan berikut (Liu 2010).
di mana
adalah banyaknya data,
∑
adalah orde, dan
jik ̂
{
l inn
APLIKASI MODEL RANTAI MARKOV PADA JUMLAH
PENUMPANG KERETA API
Pada bab ini dibahas aplikasi first-order Markov chain model dan higherorder Markov chain model dengan orde
d n pada data jumlah
penumpang kereta api di Sumatera. Berikut ini terlebih dahulu dijelaskan
mengenai data input yang digunakan sebagai data observasi pada model.
Kemudian dilanjutkan dengan pemodelan masalah dan terakhir dipaparkan nilai
keakuratan model-model rantai Markov yang digunakan.
Deskripsi Data
Dalam karya ilmiah ini, data input yang digunakan merupakan data jumlah
penumpang kereta api di Sumatera yang diterbitkan oleh Badan Pusat Statistik.
Data yang digunakan berkisar antara Januari 2007 hingga Desember 2013.
Periode observasi yang digunakan adalah bulan. Artinya, terdapat 84 data
observasi yang digunakan dalam pemodelan ini. Grafik data dapat dilihat pada
Gambar 1.
Pada Gambar 1 terlihat data mengalami penurunan dan kenaikan secara
bergantian dari awal periode (Januari 2007) hingga akhir periode (Desember
2013). Berdasarkan Gambar 1, jumlah penumpang kereta api paling sedikit terjadi
14
pada Februari 2007 sebanyak 210 ribu orang dan jumlah penumpang kereta api
paling banyak terjadi pada April 2010 sebanyak 676 ribu orang.
Jumlah Penumpang (Ribu orang)
800
700
600
500
400
300
200
100
0
JanDes
2007
JanDes
2008
JanDes
2009
JanDes
2010
JanDes
2011
JanDes
2012
JanDes
2013
Gambar 1 Grafik jumlah penumpang kereta api di Sumatera dari Januari 2007
sampai Desember 2013
Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api
Jumlah penumpang kereta api dapat dinyatakan sebagai kejadian yang dapat
berubah setiap waktu. Jumlah penumpang kereta api dapat mengalami kenaikan
maupun penurunan secara tiba-tiba. Banyak hal yang menyebabkan kenaikan dan
penurunan itu terjadi, seperti perubahan kebijakan harga tiket kereta api, tingkat
kemacetan lalu lintas, dan faktor-faktor lainnya seperti kecelakaan ataupun cuaca.
Perubahan jumlah penumpang kereta api tersebut dapat membentuk pola tertentu.
Misalnya, kondisi setelah terjadinya kecelakaan kereta api, masyarakat akan
berpikir dua kali untuk menggunakan jasa kereta api kembali, akibatnya jumlah
penumpang kereta api cenderung akan mengalami penurunan. Kejadian seperti ini
dapat terjadi kembali sewaktu-waktu tetapi tidak dapat diketahui kapan terjadinya.
Dalam memodelkan jumlah penumpang kereta api, perlu ditentukan
banyaknya state . Banyaknya state yang dipilih adalah
.
Setiap state di sini menyatakan kelompok jumlah penumpang yang memiliki
rentang yang berbeda. Rentang yang dihasilkan dari
dan
terbilang
masih besar, sehingga banyaknya state tersebut tidak digunakan dalam pemodelan
ini. Besarnya selisih rentang jumlah penumpang untuk masing-masing state dapat
dilihat pada Tabel 1 dan 2.
Tabel 1 Rentang jumlah penumpang kereta api di Sumatera untuk
State
1
2
3
4
Rentang jumlah penumpang kereta api
0 – 300000
300001 – 350000
350001 – 400000
400001 – 1000000
15
Tabel 2 Rentang jumlah penumpang kereta api di Sumatera untuk
State
1
2
3
4
5
Rentang jumlah penumpang kereta api
0 – 275000
275001 – 325000
325001 – 375000
375001 – 425000
425001 – 1000000
Dari 84 data observasi jumlah penumpang kereta api, kemudian
dikelompokkan menjadi state berdasarkan Tabel 1 dan 2. Barisan data dari state
pada setiap periodenya inilah yang membentuk suatu rantai Markov
dan dapat dilihat pada Tabel 3.
Tabel 3 Barisan data jumlah penumpang kereta api
Jumlah penumpang kereta api dalam karya ilmiah ini dimodelkan
menggunakan first-order Markov chain model dan higher-order Markov chain
model orde
d n dengan matriks peluang transisi seperti pada Tabel 4.
Kemudian dengan menghitung proporsi kejadian setiap state dari rantai Markov
diperoleh nilai dugaan vektor peluang stasioner ̂ seperti pada Tabel 5.
Pemodelan menggunakan higher-order Markov chain model orde
d n
membutuhkan parameter lainnya, yaitu . Nilai
untuk setiap orde diperoleh
dengan menyelesaikan masalah pemrograman linear pada masalah 3 dan nilainya
dapat dilihat pada Tabel 6.
d n
Tabel 4 Matriks peluang transisi untuk orde
0.087 0.100
0.174 0.200
0.435 0.25
0.304 0.450
0.333
0.444
0.000
0.111
0.111
0.095
0.476
0.381
0.000
0.048
0.120
0.040
0.360
0.360
0.120
0.077
0.154
0.231
0.154
0.385
0.000
0.200
0.333
0.133
0.333
0.500 0.191 0.130 0.050
0.222 0.381 0.217 0.200
0.222 0.23 0.348 0.300
0.056 0.191 0.304 0.450
0.222
0.556
0.111
0.111
0.000
0.190
0.286
0.429
0.095
0.000
0.042
0.208
0.292
0.292
0.167
0.077
0.231
0.231
0.000
0.462
0.000
0.067
0.333
0.267
0.333
0.333
0.500
0.056
0.111
0.364
0.182
0.318
0.136
16
0.389
0.389
0.111
0.111
0.250
0.300
0.350
0.100
0.130
0.217
0.261
0.391
0.050
0.150
0.400
0.400
0.222
0.667
0.111
0.000
0.000
0.143
0.190
0.381
0.238
0.048
0.043
0.391
0.217
0.217
0.130
0.000
0.000
0.538
0.000
0.462
0.067
0.067
0.267
0.267
0.333
0.294
0.294
0.353
0.059
0.200
0.500
0.100
0.200
0.130
0.174
0.304
0.391
0.150
0.100
0.400
0.350
0.222
0.333
0.444
0.000
0.000
0.100
0.350
0.300
0.200
0.050
0.043
0.304
0.261
0.043
0.348
0.077
0.154
0.308
0.308
0.154
0.000
0.067
0.333
0.333
0.267
Tabel 5 Nilai dugaan vektor peluang stasioner ̂
̂
Tabel 6 Nilai
0.21428
0.26191
0.27381
0.25000
untuk orde
0.10714
0.25000
0.29762
0.16667
0.17857
̂
d n
Orde
4
5
0.3875 0.6125 0.4418 0.3166 0.2416 0.6512
0.2577 0.7423 0.6475
0
0.3525 0.7553
0
0
0.2247 0.1241
0
0.2447
Hasil Pemodelan Jumlah Penumpang Kereta Api
Dalam pemodelan jumlah penumpang kereta api ini, hasil yang diperoleh
berupa nilai dugaan vektor peluang state berikutnya, nilai dugaan state ̂ , dan
nilai keakuratan model. Perhitungan yang dilakukan untuk memperoleh hasil
tersebut menggunakan program komputasi yang dibuat dengan perangkat lunak
Mathematica 9.0 seperti pada Lampiran 1.
Nilai dugaan vektor peluang state berikutnya dapat diperoleh dengan
memasukkan parameter-parameter yang telah diduga pada setiap model rantai
Markov dan nilainya dapat dilihat pada Lampiran 2 dan 3. Berdasarkan nilai
dugaan vektor peluang berikutnya ini, dibangkitkan nilai dugaan state ̂
Kemudian dengan mencocokan nilai dugaan state ̂ dengan nilai state
sebenarnya
diperoleh nilai keakuratan dari setiap model rantai Markov yang
digunakan seperti pada Tabel 7.
17
Tabel 7 Nilai keakuratan model rantai Markov yang digunakan
Banyaknya
state ( )
Model rantai
Markov orde
Maksimum
matching
43
41
40
38
35
36
37
36
Pengulangan
ke39371
44847
69675
32013
85440
56863
21730
22003
Nilai
keakuratan
51.81%
50.00%
49.38%
47.50%
42.17%
43.90%
45.68%
45.00%
Dari Tabel 7, terlihat untuk banyaknya state
, nilai keakuratan model
yang paling tinggi dihasilkan oleh pemodelan menggunakan first-order Markov
chain model, yaitu sebesar 51.81% dan nilai keakuratan model yang paling rendah
dihasilkan oleh pemodelan menggunakan higher-order Markov chain model
, yaitu sebesar 47.50%. Berdasarkan hasil tersebut, first-order Markov chain
model adalah model yang paling baik digunakan dalam pemodelan jumlah
penumpang kereta api dengan
. Sementara untuk banyaknya state
,
nilai keakuratan model yang paling tinggi dihasilkan oleh pemodelan
menggunakan higher-order Markov chain model
, yaitu sebesar 45.68% dan
nilai keakuratan model yang paling rendah dihasilkan oleh pemodelan
menggunakan first-order Markov chain model, yaitu sebesar 42.17%. Berdasarkan
hasil tersebut, higher-order Markov chain model
adalah model yang paling
baik digunakan dalam pemodelan jumlah penumpang kereta api dengan
.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
First-order Markov chain model dan higher-order Markov chain model
dapat digunakan untuk menduga suatu nilai yang akan datang dengan syarat nilainilai sebelumnya diketahui. Dalam pengaplikasian kedua model tersebut pada
suatu data, terdapat syarat tambahan yang harus terpenuhi, yaitu matriks peluang
transisi yang dihasilkan dari data yang digunakan harus memiliki sifat taknegatif
dan taktereduksi. Matriks peluang transisi yang dihasilkan juga bergantung oleh
banyaknya state yang digunakan. Tidak semua data dapat digunakan untuk kedua
model rantai Markov ini. Karakteristik data yang cocok untuk digunakan dalam
kedua model rantai Markov ini adalah data yang memiliki trend rataan atau
menyebar merata ke setiap state yang ada. Jadi, pemilihan data dan penentuan
banyaknya state yang digunakan mempengaruhi hasil yang didapat.
Berdasarkan hasil perbandingan model rantai Markov yang digunakan untuk
, first-order Markov chain model adalah model yang paling baik digunakan
dalam pemodelan jumlah penumpang kereta api di Sumatera dengan nilai
keakuratan model sebesar 51.81%, sedangkan untuk
, higher-order Markov
18
chain model
adalah model yang paling baik digunakan dalam pemodelan
jumlah penumpang kereta api di Sumatera dengan nilai keakuratan model sebesar
45.68%.
Berdasarkan hasil nilai keakuratan model, dapat disimpulkan bahwa firstorder dan higher-order Markov chain model tidak cukup baik untuk memodelkan
jumlah penumpang kereta api di Sumatera.
Saran
Hasil yang diperoleh dalam karya ilmiah ini belum memuaskan, karena data
yang digunakan kurang memiliki kecenderungan yang merata, sehingga untuk
penelitian berikutnya mengenai first-order dan higher-order Markov chain model
disarankan menggunakan data yang lebih sesuai dan penggunaan yang lebih
tepat. Penggunaan data untuk pemodelan sebaiknya juga lebih banyak sehingga
tingkat keakuratan pemodelan akan lebih baik.
DAFTAR PUSTAKA
[BPS] Badan Pusat Statistik. 2014. Jumlah Penumpang Kereta Api, 2006-2014
(Ribu Orang). [Internet]. [diunduh 2014 Feb 14]. Tersedia pada:
http://www.bps.go.id/tab_sub/view.php?kat=2&tabel=1&daftar=1&id_subyek
=17¬ab=16.
Buzacott J, Shanthikumar J. 1993. Stochastic Models of Manufacturing Systems.
International ed. New Jersey (US): Prentice Hall.
Ching W. 2001. Iterative Methods for Queuing and Manufacturing Systems.
London (UK): Springer.
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. Ed ke-2. New Jersey (US):
Prentice Hall.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed ke-3.
Oxford (GB): Clarendon Press.
Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall.
Horn R, Johnson C. 1985. Matrix Analysis. Cambridge (UK): Cambridge
University Press.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Bondan A, penerjemah; Hardani
HW, editor. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with
Applications. Ed ke-5.
Liu T. 2010. Application of Markov chains to analyze and predict the time series.
Modern Applied Science 4(5):162-166.
Nahmias S. 1997. Production and Operation Analysis. Chicago (US): McGraw
Hill International.
Ross SM. 1996. Stochastic Process. Ed ke-2. New York (US): John Wiley & Sons.
Sharma O. 1995. Markovian Queues. New York (US): Ellis Horwood.
19
Lampiran 1 Contoh program komputasi menggunakan Mathematica 9.0
First-order Markov Chain Model,
(*Data Input Jumlah Penumpang Kereta Api di Sumatera*)
X = {2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 4, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 4, 2, 2, 3, 3, 2,
3, 4, 4, 4, 4, 2, 4, 3, 3, 4, 4, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2,
1, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 4};
(*Program Mencari Nilai *)
For[ j = , j ≤ 4, j++, For[ i = , i ≤ 4, i++, For[ F[i,j] = ; t = , t ≤ 83, t++, If[ X[[t]] == j, If[
X[[t+1]] == i, F[i,j]++, F[i,j] = F[i,j]], F[i,j] = F[i,j]]]]];
F1 = Array[F, {i-1,j-1}] (*Mendefinisikan F1 sebagai Matriks Frekuensi Transisi*)
(*Program Menghitung Jumlah Setiap Kolom*)
For[ j = , j ≤ 4, j++, jumlahkolom[j] = Sum[F[i,j], {i, 1, 4}]]
(*Program Mencari Nilai *)
For[ j = , j ≤ 4, j++, For[ i = , i ≤ 4, i++, P[i,j] = F[i,j] ⁄ jumlahkolom[j] //N]]
P1 = Array[P, {i-1,j-1}] (*Mendefinisikan P1 sebagai Matriks Peluang Transisi*)
Y[1]={0, 1, 0, 0}; (*Mendefinisikan Y[1] sebagai vektor peluang awal*)
S = 84; (*Banyaknya data observasi yang digunakan*)
n = 1; (*menyatakan orde pertama*)
(*Program untuk Menduga Nilai Vektor Peluang State *)
For[t = 1, t ≤ 83, t++, Y[t+1] = P1.Y[t]]; Print[Xtebal[t+1] == Y[t+1]]]
Z = Range[4]; (*Mendefinisikan Z sebagai ruang state*)
(*Program Membangkitkan Nilai Dugaan State ̂ *)
(*Nilai dugaan state dibangkitkan secara acak dan dicatat dengan SeedRandom*)
(*Batas SeedRandom = [1, 100000]*)
For[c = 1, c ≤ 100000, c++, For[SeedRandom[c]; t = 2, t ≤ 84, t++, xbar[t] = RandomChoice
[Y[t]→Z]]; H[c] = Array[xbar, 83, 2]] (*H[c] adalah nilai dugaan state ̂
pada SeedRandom ke-c *)
(*Program Matching Antara Nilai Dugaan State ̂ dengan Nilai Sebenarnya *)
For[c = 1, c ≤ 100000, c++, For[t = 1, t ≤ 83, t++, B[t] = If[(H[c])[[t]] == X[[t+1]], 1, 0]]; L[c] =
Array[B, 83, 1]] (*L[c] adalah hasil matching pada SeedRandom ke-c*)
(*Program Menghitung Total Matching Antara ̂ dengan *)
For[c = , c ≤
, c++, M14[c] = Sum[(L[c])[[t]], {t, 1, 83}]](*M14[c] adalah total
matching pada SeedRandom ke-c*)
(*Program Mencari Total Matching Maksimum Antara ̂ dengan
MaksimumMatching14 = Max[Array[M14, 100000, 1]]
*)
(*Program Menghitung Nilai Keakuratan Model*)
r14 = (MaksimumMatching14/(S-n))*//N
(*Program Mencari Pengulangan yang Paling Maksimum *)
For[c=1, c≤
, c++, If[M14[c] == MaksimumMatching14, max = c]]; Print[max]
20
Lampiran 2 Nilai dugaan vektor peluang state model rantai Markov,
Model rantai Markov
First-order Markov chain model
Higher-order Markov chain
model
Higher-order Markov chain
model
Nilai dugaan vektor peluang state
Xtebal[2] = {0.363636, 0.181818, 0.318182, 0.136364}
Xtebal[3] = {0.228632, 0.297485, 0.250484, 0.223399}
Xtebal[4] = {0.228508, 0.256646, 0.272112, 0.242734}
Xtebal[5] = {0.217431, 0.256788 ,0.273348, 0.252434}
Xtebal[6] = {0.214867, 0.25343, 0.27574, 0.255964}
Xtebal[7] = {0.213352, 0.252659, 0.276452, 0.257537}
Xtebal[8] = {0.212786, 0.2522, 0.276825, 0.258188}
Xtebal[9] = {0.212529, 0.252029, 0.276973, 0.25847}
Xtebal[10] = {0.212421, 0.251951, 0.277039, 0.258589}
Xtebal[11] = {0.212375, 0.251918, 0.277066, 0.258641}
Xtebal[12] = {0.212355, 0.251904, 0.277078, 0.258662}
Xtebal[13] = {0.212347, 0.251898, 0.277083, 0.258672}
Xtebal[14] = {0.212343, 0.251896, 0.277085, 0.258676}
Xtebal[15] = {0.212341, 0.251895, 0.277086, 0.258678}
Xtebal[16] = {0.212341, 0.251894, 0.277087, 0.258678}
Xtebal[17] = {0.21234, 0.251894, 0.277087, 0.258679}
Xtebal[84] = {0.21234, 0.251894, 0.277087, 0.258679}
Xtebal[3] = {0.245831, 0.427081, 0.167364, 0.159723}
Xtebal[4] = {0.410015, 0.237487, 0.237730, 0.114767}
Xtebal[5] = {0.242256, 0.296051, 0.250027, 0.211666}
Xtebal[6] = {0.265417, 0.257983, 0.266525, 0.210077}
Xtebal[7] = {0.222945, 0.265116, 0.271085, 0.240856}
Xtebal[8] = {0.223730, 0.256355, 0.275623, 0.244293}
Xtebal[9] = {0.212015, 0.256722, 0.277544, 0.253719}
Xtebal[10] = {0.210670, 0.254426, 0.279002, 0.255902}
Xtebal[11] = {0.207204, 0.254173, 0.279747, 0.258876}
Xtebal[12] = {0.206364, 0.253507, 0.280249, 0.259880}
Xtebal[13] = {0.205277, 0.253342, 0.280527, 0.260854}
Xtebal[14] = {0.204897, 0.253134, 0.280704, 0.261265}
Xtebal[15] = {0.204540, 0.253059, 0.280807, 0.261594}
Xtebal[16] = {0.204386, 0.252991, 0.280870, 0.261753}
Xtebal[17] = {0.204265, 0.252961, 0.280907, 0.261867}
Xtebal[18] = {0.204205, 0.252938, 0.280930, 0.261927}
Xtebal[19] = {0.204163, 0.252926, 0.280943, 0.261967}
Xtebal[20] = {0.204141, 0.252918, 0.280952, 0.261990}
Xtebal[21] = {0.204126, 0.252914, 0.280956, 0.262004}
Xtebal[22] = {0.204118, 0.252911, 0.280959, 0.262012}
Xtebal[23] = {0.204113, 0.252909, 0.280961, 0.262017}
Xtebal[24] = {0.204110, 0.252908, 0.280962, 0.262020}
Xtebal[25] = {0.204108, 0.252908, 0.280963, 0.262022}
Xtebal[26] = {0.204107, 0.252907, 0.280963, 0.262023}
Xtebal[27] = {0.204106, 0.252907, 0.280963, 0.262024}
Xtebal[28] = {0.204106, 0.252907, 0.280964, 0.262024}
Xtebal[84] = {0.204106, 0.252907, 0.280964, 0.262024}
Xtebal[4] = {0.365974, 0.363741, 0.179447, 0.090837}
Xtebal[5] = {0.375493, 0.296181, 0.201824, 0.126502}
Xtebal[6] = {0.298889, 0.315095, 0.211999, 0.174017}
Xtebal[7] = {0.261216, 0.280506, 0.255228, 0.203050}
Xtebal[8] = {0.241191, 0.274358, 0.262021, 0.222430}
Xtebal[9] = {0.227406, 0.266097, 0.271147, 0.235350}
Xtebal[10] = {0.218102, 0.261052, 0.275137, 0.245709}
Xtebal[11] = {0.212629, 0.258025, 0.277993, 0.251352}
21
Model rantai Markov
Higher-order Markov chain
model
Higher-order Markov chain
model
Nilai dugaan vektor peluang state
Xtebal[12] = {0.208897, 0.256013, 0.279749, 0.255341}
Xtebal[13] = {0.206498, 0.254663, 0.280966, 0.257873}
Xtebal[14] = {0.204971, 0.253831, 0.281711, 0.259487}
Xtebal[15] = {0.203973, 0.253280, 0.282208, 0.260540}
Xtebal[16] = {0.203330, 0.252924, 0.282525, 0.261221}
Xtebal[17] = {0.202915, 0.252696, 0.282730, 0.261658}
Xtebal[18] = {0.202647, 0.252548, 0.282863, 0.261942}
Xtebal[19] = {0.202474, 0.252452, 0.282949, 0.262125}
Xtebal[20] = {0.202362, 0.252391, 0.283004, 0.262244}
Xtebal[21] = {0.202289, 0.252351, 0.283040, 0.262320}
Xtebal[22] = {0.202243, 0.252325, 0.283063, 0.262370}
Xtebal[23] = {0.202212, 0.252308, 0.283078, 0.262402}
Xtebal[24] = {0.202193, 0.252298, 0.283087, 0.262422}
Xtebal[25] = {0.202180, 0.252291, 0.283094, 0.262435}
Xtebal[26] = {0.202172, 0.252286, 0.283098, 0.262444}
Xtebal[27] = {0.202167, 0.252283, 0.283100, 0.262447}
Xtebal[28] = {0.202163, 0.252281, 0.283102, 0.262453}
Xtebal[29] = {0.202161, 0.252280, 0.283103, 0.262456}
Xtebal[30] = {0.202160, 0.252279, 0.283104, 0.262457}
Xtebal[31] = {0.202159, 0.252279, 0.283104, 0.262458}
Xtebal[32] = {0.202158, 0.252279, 0.283105, 0.262459}
Xtebal[33] = {0.202158, 0.252278, 0.283105, 0.262459}
Xtebal[34] = {0.202158, 0.252278, 0.283105, 0.262459}
Xtebal[35] = {0.202158, 0.252278, 0.283105, 0.262459}
Xtebal[36] = {0.202157, 0.252278, 0.283105, 0.262460}
Xtebal[84] = {0.202157, 0.252278, 0.283105, 0.262460}
Xtebal[5] = {0.329271, 0.475033, 0.073554, 0.122142}
Xtebal[6] = {0.319964, 0.311576, 0.219815, 0.148645}
Xtebal[7] = {0.289245, 0.309208, 0.231336, 0.170211}
Xtebal[8] = {0.255675, 0.284160, 0.272410, 0.187755}
Xtebal[9] = {0.231288, 0.281504, 0.263718, 0.223491}
Xtebal[10] = {0.223427, 0.268368, 0.271706, 0.236499}
Xtebal[11] = {0.216378, 0.264076, 0.274387, 0.245160}
Xtebal[12] = {0.211558, 0.259499, 0.277937, 0.251007}
Xtebal[13] = {0.208533, 0.257008, 0.279524, 0.254935}
Xtebal[14] = {0.206710, 0.255169, 0.280849, 0.257271}
Xtebal[15] = {0.205438, 0.254095, 0.281580, 0.258886}
Xtebal[16] = {0.204618, 0.253314, 0.282113, 0.259956}
Xtebal[17] = {0.204083, 0.252832, 0.282435, 0.260650}
Xtebal[18] = {0.203738, 0.252511, 0.282655, 0.261096}
Xtebal[19] = {0.203509, 0.252304, 0.282796, 0.261391}
Xtebal[20] = {0.203360, 0.252166, 0.282890, 0.261584}
Xtebal[21] = {0.203263, 0.252077, 0.282950, 0.261710}
Xtebal[22] = {0.203199, 0.252019, 0.282990, 0.261792}
Xtebal[23] = {0.203158, 0.251981, 0.283016, 0.261846}
Xtebal[24] = {0.203131, 0.251956, 0.283033, 0.261881}
Xtebal[25] = {0.203113, 0.251939, 0.283044, 0.261904}
Xtebal[26] = {0.203101, 0.251929, 0.283051, 0.261919}
Xtebal[27] = {0.203094, 0.251922, 0.283056, 0.261928}
Xtebal[28] = {0.203089, 0.251917, 0.283059, 0.261935}
Xtebal[29] = {0.203086, 0.251914, 0.283061, 0.261939}
Xtebal[30] = {0.203084, 0.251912, 0.283062, 0.261942}
Xtebal[31] = {0.203082, 0.251911, 0.283063, 0.261944}
Xtebal[32] = {0.203081, 0.251910, 0.283064, 0.261945}
Xtebal[33] = {0.203081, 0.251910, 0.283064, 0.261945}
22
Model rantai Markov
Higher-order Markov chain
model
Nilai dugaan vektor peluang state
Xtebal[34] = {0.203080, 0.251909, 0.283064, 0.261946}
Xtebal[35] = {0.203080, 0.251909, 0.283065, 0.261946}
Xtebal[36] = {0.203080, 0.251909, 0.283065, 0.261946}
Xtebal[37] = {0.203080, 0.251909, 0.283065, 0.261947}
Xtebal[84] = {0.203080, 0.251909, 0.283065, 0.261947}
23
Lampiran 3 Nilai dugaan vektor peluang state model rantai Markov,
Model rantai Markov
First-order Markov
chain model
Higher-order Markov
chain model
Nilai dugaan vektor peluang state
Xtebal[2] = {0.095238, 0.476190, 0.380952, 0.000000, 0.047619}
Xtebal[3] = {0.122812, 0.293847, 0.334422, 0.154074, 0.094845}
Xtebal[4] = {0.120905, 0.250560, 0.299504, 0.170387, 0.158643}
Xtebal[5] = {0.113212, 0.242972, 0.295474, 0.168621, 0.179721}
Xtebal[6] = {0.109305, 0.239722, 0.297751, 0.168854, 0.184367}
Xtebal[7] = {0.107985, 0.237495, 0.298935, 0.169895, 0.185690}
Xtebal[8] = {0.107555, 0.236319, 0.299194, 0.170511, 0.186421}
Xtebal[9] = {0.107378, 0.235819, 0.299225, 0.170749, 0.186829}
Xtebal[10] = {0.107293, 0.235622, 0.299237, 0.170832, 0.187016}
Xtebal[11] = {0.107254, 0.235541, 0.299248, 0.170864, 0.187093}
Xtebal[12] = {0.107237, 0.235506, 0.299254, 0.170879, 0.187124}
Xtebal[13] = {0.107230, 0.235491, 0.299256, 0.170886, 0.187138}
Xtebal[14] = {0.107227, 0.235484, 0.299257, 0.170888, 0.187143}
Xtebal[15] = {0.107225, 0.235481, 0.299258, 0.170890, 0.187146}
Xtebal[16] = {0.107225, 0.235480, 0.299258, 0.170890, 0.187147}
Xtebal[17] = {0.107225, 0.235479, 0.299258, 0.170890, 0.187148}
Xtebal[18] = {0.107225, 0.235479, 0.299258, 0.170891, 0.187148}
Xtebal[19] = {0.107224, 0.235479, 0.299258, 0.170891, 0.187148}
Xtebal[84] = {0.107224, 0.235479, 0.299258, 0.170891, 0.187148}
Xtebal[3] = {0.227294, 0.326623, 0.318117, 0.099329, 0.0286363}
Xtebal[4] = {0.204301, 0.487189, 0.152426, 0.123422, 0.0326621}
Xtebal[5] = {0.135853, 0.321967, 0.287743, 0.142384, 0.112053}
Xtebal[6] = {0.145638, 0.303362, 0.310459, 0.130839, 0.109702}
Xtebal[7] = {0.117113, 0.266691, 0.303833, 0.160373, 0.151990}
Xtebal[8] = {0.113170, 0.263714, 0.302254, 0.165510, 0.155352}
Xtebal[9] = {0.104402, 0.249845, 0.302479, 0.167561, 0.175713}
Xtebal[10] = {0.102529, 0.246816, 0.303107, 0.167900, 0.179648}
Xtebal[11] = {0.099037, 0.241289, 0.303529, 0.170428, 0.185716}
Xtebal[12] = {0.0979664, 0.239564, 0.303747, 0.171223, 0.187501}
Xtebal[13] = {0.0966545, 0.237541, 0.303778, 0.171919, 0.190108}
Xtebal[14] = {0.0961384, 0.236756, 0.303835, 0.172191, 0.191080}
Xtebal[15] = {0.0956204, 0.235945, 0.303882, 0.172498, 0.192055}
Xtebal[16] = {0.0953846, 0.235573, 0.303916, 0.172639, 0.192487}
Xtebal[17] = {0.0951780, 0.235251, 0.303932, 0.172760, 0.192880}
Xtebal[18] = {0.0950729, 0.235088, 0.303943, 0.172820, 0.193076}
Xtebal[19] = {0.0949891, 0.234958, 0.303950, 0.172869, 0.193234}
Xtebal[20] = {0.0949433, 0.234886, 0.303955, 0.172896, 0.193320}
Xtebal[21] = {0.0949091, 0.234833, 0.303958, 0.172916, 0.193384}
Xtebal[22] = {0.0948893, 0.234802, 0.303961, 0.172927, 0.193421}
Xtebal[23] = {0.0948752, 0.234780, 0.303962, 0.172935, 0.193448}
Xtebal[24] = {0.0948667, 0.234767, 0.303963, 0.172940, 0.193464}
Xtebal[25] = {0.0948609, 0.234758, 0.303963, 0.172944, 0.193475}
Xtebal[26] = {0.0948573, 0.234752, 0.303964, 0.172946, 0.193481}
Xtebal[27] = {0.0948549, 0.234748, 0.303964, 0.172947, 0.193486}
Xtebal[28] = {0.0948533, 0.234746, 0.303964, 0.172948, 0.193489}
Xtebal[29] = {0.0948523, 0.234744, 0.303964, 0.172949, 0.193491}
Xtebal[30] = {0.0948517, 0.234743, 0.303964, 0.172949, 0.193492}
Xtebal[31] = {0.0948513, 0.234743, 0.303964, 0.172949, 0.193493}
Xtebal[32] = {0.0948510, 0.234742, 0.303964, 0.172949, 0.193493}
Xtebal[33] = {0.0948508, 0.234742, 0.303964, 0.172950, 0.193494}
Xtebal[34] = {0.0948507, 0.234742, 0.303964, 0.172950, 0.193494}
Xtebal[35] = {0.0948506, 0.234742, 0.303964, 0.172950, 0.193494}
Xtebal[36] = {0.0948506, 0.234741, 0.303964, 0.172950, 0.193494}
24
Model rantai Markov
Higher-order Markov
chain model
Higher-order Markov
chain model
Higher-order Markov
chain model
Nilai dugaan vektor peluang state
Xtebal[37] = {0.0948505, 0.234741, 0.303964, 0.172950, 0.193494}
Xtebal[84] = {0.0948505, 0.234741, 0.303964, 0.172950, 0.193494}
Xtebal[4] = {0.266191, 0.354922, 0.134284, 0.1558720, 0.0887305}
Xtebal[5] = {0.175870, 0.451532, 0.200458, 0.0736408, 0.0984982}
Xtebal[6] = {0.163380, 0.450116, 0.229535, 0.0752197, 0.081750}
Xtebal[7] = {0.127469, 0.316820, 0.299721, 0.1282290, 0.127761}
Xtebal[8] = {0.118626, 0.273062, 0.300870, 0.1653560, 0.142087}
Xtebal[9] = {0.114959, 0.263195, 0.299257, 0.1704570, 0.152131}
Xtebal[10] = {0.106320, 0.254238, 0.299837, 0.169709, 0.169896}
Xtebal[11] = {0.101369, 0.246710, 0.303744, 0.168444, 0.179733}
Xtebal[12] = {0.0995038, 0.242703 ,0.305052, 0.169714, 0.183027}
Xtebal[13] = {0.0983176, 0.239383, 0.305301, 0.171259, 0.185740}
Xtebal[14] = {0.0974773, 0.237631, 0.305135, 0.172211, 0.187545}
Xtebal[15] = {0.0969720, 0.236724, 0.305236, 0.172437, 0.188631}
Xtebal[16] = {0.0966336, 0.236061, 0.305379, 0.172536, 0.189391}
Xtebal[17] = {0.0964215, 0.235575, 0.305497, 0.172630, 0.189876}
Xtebal[18] = {0.0963014, 0.235300, 0.305535, 0.172727, 0.190137}
Xtebal[19] = {0.0962265, 0.235138, 0.305545, 0.172786, 0.190304}
Xtebal[20] = {0.0961762, 0.235040, 0.305552, 0.172817, 0.190415}
Xtebal[21] = {0.0961448, 0.234977, 0.305562, 0.172832, 0.190484}
Xtebal[22] = {0.0961257, 0.234937, 0.305569, 0.172843, 0.190526}
Xtebal[23] = {0.0961140, 0.234910, 0.305573, 0.172850, 0.190553}
Xtebal[24] = {0.0961067, 0.234895, 0.305574, 0.172856, 0.190569}
Xtebal[25] = {0.0961021, 0.234885, 0.305575, 0.172858, 0.190579}
Xtebal[26] = {0.0960992, 0.234879, 0.305576, 0.172860, 0.190585}
Xtebal[27] = {0.0960974, 0.234875, 0.305577, 0.172861, 0.190589}
Xtebal[28] = {0.0960963, 0.234873, 0.305577, 0.172862, 0.190592}
Xtebal[29] = {0.0960956, 0.234871, 0.305577, 0.172862, 0.190593}
Xtebal[30] = {0.0960951, 0.234870, 0.305577, 0.172863, 0.190594}
Xtebal[31] = {0.0960949, 0.234870, 0.305578, 0.172863, 0.190595}
Xtebal[32] = {0.0960947, 0.234870, 0.305578, 0.172863, 0.190595}
Xtebal[33] = {0.0960946, 0.234869, 0.305578, 0.172863, 0.190596}
Xtebal[34] = {0.0960945, 0.234869, 0.305578, 0.172863, 0.190596}
Xtebal[35] = {0.0960945, 0.234869, 0.305578, 0.172863, 0.190596}
Xtebal[36] = {0.0960945, 0.234869, 0.305578, 0.172863, 0.190596}
Xtebal[37] = {0.0960944, 0.234869, 0.305578, 0.172863, 0.190596}
Xtebal[84] = {0.0960944, 0.234869, 0.305578, 0.172863, 0.190596}
Xtebal[5] = {0.276228, 0.421330, 0.0734214, 0.132866, 0.0961549}
Xtebal[6] = {0.168607, 0.358013, 0.297325, 0.0682645, 0.107791}
Xtebal[7] = {0.153498, 0.300131, 0.331655, 0.113777, 0.100939}
Xtebal[8] = {0.151287, 0.279533, 0.330543, 0.126441, 0.112196}
Xtebal[9] = {0.124114, 0.263607, 0.304101, 0.167812, 0.140366}
Xtebal[10] = {0.109899, 0.257253, 0.300656, 0.161354, 0.170838}
Xtebal[11] = {0.104159, 0.251913, 0.303604, 0.161943, 0.178380}
Xtebal[12] = {0.102234, 0.247995, 0.304919, 0.163943, 0.180909}
Xtebal[13] = {0.100333, 0.243061, 0.304735, 0.168979, 0.182893}
Xtebal[14] = {0.0986879, 0.239821, 0.304409, 0.171206, 0.185876}
Xtebal[15] = {0.0977403, 0.238242, 0.304359, 0.171968, 0.187690}
Xtebal[16] = {0.0972790, 0.237439, 0.304424, 0.172325, 0.188532}
Xtebal[17] = {0.0970005, 0.236797, 0.304446, 0.172728, 0.189029}
Xtebal[18] = {0.0967792, 0.236291, 0.304435, 0.173057, 0.189438}
Xtebal[19] = {0.0966289, 0.235977, 0.304430, 0.173242, 0.189722}
25
Model rantai Markov
Higher-order Markov
chain model
Nilai dugaan vektor peluang state
Xtebal[20] = {0.0965415, 0.235803, 0.304433, 0.173335, 0.189887}
Xtebal[21] = {0.0964896, 0.235694, 0.304436, 0.173396, 0.189984}
Xtebal[22] = {0.0964542, 0.235617, 0.304437, 0.173442, 0.190050}
Xtebal[23] = {0.0964300, 0.235564, 0.304437, 0.173473, 0.190095}
Xtebal[24] = {0.0964147, 0.235532, 0.304437, 0.173492, 0.190124}
Xtebal[25] = {0.0964053, 0.235512, 0.304438, 0.173503, 0.190142}
Xt