Parhusip, H.A Pembelajaran Konvergensi Barisan Bilangan Dan Fungsi Real Dengan Matlab Dan Geogebra, prosiding Seminar Nasional Matematika VII UNNES 26 Oktober 2013, ISBN 978-602-14724-
7-7.l
Bidang Kajian : Pendidikan Matematika
PEMBELAJARAN KONVERGENSI BARISAN BILANGAN DAN FUNGSI REAL DENGAN MATLAB dan GEOGEBRA
H.A. Parhusip
Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
Abstrak
Paper ini memberikan petunjuk untuk memulai belajar analisa real dengan menggunakan visualisasi MATLAB dan GEOGEBRA. Studi konvergensi dapat dengan mudah dilakukan jika
barisan bilangan real dan barisan fungsi real divisualisasikan dalam suatu grafik. Ilustrasi dapat dilakukan secara langsung untuk beberapa nilai n sekalipun kita menghendaki untuk mempelajari
konvergnsi barisan untuk n menuju tak hingga.
Beberapa contoh barisan real ditunjukkan dengan bukti formal secara lengkap menggunakan definisi dan visualisasi dengan MATLAB. Sedangkan barisan fungsi ditunjukkan
dengan visualisasi grafik menggunakan GEOGEBRA. Makalah ini juga membantu pembaca untuk menuliskan pembuktian analisa real lebih mudah untuk disampaikan kepada siswamahasiswa
karena didukung dengan grafik.
Kata kunci
: konvergensi, divergensi, terbatas
A. Pendahuluan
Cara memahami dan menuliskan kembali bukti dalam matematika merupakan masalah yang umum bagi siswa, mahasiswa maupun pengajar. Selama ini seringkali
siswa diajar dengan teknik berhitung sedangkan cara menuangkan alasan secara matematis sangat minim diajarkan. Demikian pula mengkomunikasikan hasil hitungan
secara formal dan saintifik mengikuti kaidah matematika juga sangat mungkin belum dialami siswa sehingga ketika menjadi mahasiswa matematika hal itu menjadi kendala
yang sangat besar. Khususnya dalam memberikan pembuktian pada analisa real diperlukan tata bahasa analisis yang formal sesuai definisi. Kemampuan mengungkapkan
alasan dalam analisis sangat diperlukan.
Literatur analisa real Royden,1988;Trench,2003;Web1 umumnya sangat formal secara matematis sebagaimana penulis amati dimana visualisasi sangat jarang
dilakukan. Untuk itulah kemampuan ini perlu dikaji dan dikembangkan. Terlebih lagi adanya penggunaan komputer, maka analisis sangat terbantu untuk mengungkapkan
fenomena umum dari suatu kasus yang dipelajari.
Tulisan ini menginspirasi bagaimana menuliskan pembuktian secara formal dalam analisa real khususnya tentang konvergensi atau divergensi suatu barisan bilangan real.
Kasus yang dipelajari sangat sederhana yaitu barisan a.
2 1
3
n n
a
n
b.
1 2
4
2
n
n a
n
c.
n n
n
e a
2
. Dari ketiga kasus yang dipelajari sebagai contoh maka diharapkan mahasiswa dapat
mengolah soal jawab yang terkait dengan pembuktian tersebut.
Parhusip, H.A Pembelajaran Konvergensi Barisan Bilangan Dan Fungsi Real Dengan Matlab Dan Geogebra, prosiding Seminar Nasional Matematika VII UNNES 26 Oktober 2013, ISBN 978-602-14724-
7-7.l
B. Pembuktian Konvergensi dan Divergensi Barisan dan Visualisasinya
Kasus 1.
n n
n n
a
n
2 1
1 3
2 1
3
. Untuk
n
maka 1n dan 2n
.
Oleh karena itu
. 3
1 3
2 1
1 3
lim lim
n n
a
n n
n
Jelas barisan konvergen ke 3. Biasanya mahasiswa menulis hanya berhenti sampai disini. Secara formal matematis,
maka perlu ditulis lebih ’elegant’. Secara formal , suatu barisan bilangan real dikatakan konvergen punya limit dengan definisi berikut.
Definisi 1.
Goldberg,1976 Suatu barisan bilangan real
n
a
dikatakan mempunyai limit L, atau barisan tersebut konvergen ke L ditulis
L a
n n
lim
artinya untuk sembarang
, pertidaksamaan
L
a
n
harus dipenuhi untuk semua nilai n N
. Dengan kata lain
L
a
n
harus dipenuhi untuk semua nilai n, kecuali paling banyak pada bilangan berhingga n, sebutlah
pada n =1,2,…,N-1. Untuk memahami definisi tersebut kita akan membahas barisan
2 1
3
n n
a
n
dan akan membuktikan dengan menuliskan secara formal bahwa
. 3
1 3
2 1
1 3
lim lim
n n
a
n n
n
Cara ini yang biasa digunakan siswa. Akan tetapi pada tingkat universitas masih perlu dibuktikan bahwa
3 lim
n n
a
. Artinya untuk sembarang
, pertidaksamaan
3
n
a harus dipenuhi untuk semua nilai n, kecuali paling banyak pada bilangan
berhingga n, sebutlah pada n =1,2,…,N-1. Sedangkan pada n=N berlaku dan N pada
umumnya tergantung pada nilai
. Kita dapat mempelajari hal ini dengan mendaftar sebagai tahap observasi. Agar membuat daftar dengan mudah, kita dapat menggunakan
MATLAB sebagai alat bantu. Program tentang ini dan hasil keluaran ditunjukkan pada Tabel 1 dan Gambar 1.
Tabel 1a
. Daftar
Program untuk
menggambar
n n
n n
a
n
2 1
1 3
2 1
3
. __________________________
clear close
all n=[1:100];
a=inline 3n +1.n+2
, n
; an=an;
figure1 plotn,an,
o ;
epsku=3-an; Daftar=[n an epsku]
Tabel 1b . Daftar Program untuk mendaftar
n n
n n
a
n
2 1
1 3
2 1
3
untuk n merupakan kelipatan 10 buat sebagai kelanjutan Tabel 1a
__________________________ n=10;j=1;
while n=100
gn=gn; epsku=3-gn;
Daftar=[n gn epsku] Simpanj,:=Daftar
j=j+1 n=j10;
end
Parhusip, H.A Pembelajaran Konvergensi Barisan Bilangan Dan Fungsi Real Dengan Matlab Dan Geogebra, prosiding Seminar Nasional Matematika VII UNNES 26 Oktober 2013, ISBN 978-602-14724-
7-7.l
Gambar 1 membantu intuisi kita untuk mendapatkan pemahaman sifat konvergen barisan tersebut yaitu 3. Yang menjadi masalah berapakah n = N sehingga kita dapat menjamin
limit barisan tersebut 3?. Jikalau hasil Gambar 1 didaftar untuk beberapa n misalnya
kelipatan 10 maka kita dapat mendaftar setiap n dan nilai
2 1
3
n n
a
n
serta
yang diperoleh. Kita dapat menambahkan perintah pada program sebagaimana ditunjukkan
pada Tabel 1b.
Gambar 1. Visualisasi
n n
n n
a
n
2 1
1 3
2 1
3
untuk beberapa n
Tabel 2 . Daftar n, nilai barisan tiap n dan nilai
untuk tiap n. n
n
a
10 2.5833 0.4167 20 2.7727 0.2273
30 2.8438 0.1563 40 2.8810 0.1190
50 2.9038 0.0962 60 2.9194 0.0806
70 2.9306 0.0694 80 2.9390 0.0610
90 2.9457 0.0543 100 2.9510 0.0490
Secara analitik, umumnya kita tetapkan
, kemudian kita dapat mendapatkan nilai n=N
yang sesuai dengan
yang dipilih. Dengan kata lain kita perlu memformulasikan untuk suatu n=N yang umumnya tergantung pada
. Sedangkan Tabel 2 diperoleh dengan menetapkan nilai n terlebih dahulu sehingga nilai
diperoleh merupakan selisih nilai
n
a
dengan 3 yang sudah kita klaim sebagai limit barisan. Secara komputasi, maka nilai n lebih mudah ditetapkan terlebih dahulu. Sedangkan prosedur analitik menjelaskan
bahwa kita tetapkan terlebih dahulu
. Kita dapat menetapkan misalkan
sekitar 0.1 maka berdasarkan Tabel 2, kita dapat memperoleh n=N sekitar 40. Nampaknya cara
analitik lebih susah tetapi hal itu diperlukan untuk proses pembuktian umum bahwa barisan tersebut konvergen pada 3. Kita coba dengan proses ini.
Dengan proses berikut ini ternyata salah. Kita akan mencari batas N dengan cara mencari batas paling atas yaitu
sehingga
Parhusip, H.A Pembelajaran Konvergensi Barisan Bilangan Dan Fungsi Real Dengan Matlab Dan Geogebra, prosiding Seminar Nasional Matematika VII UNNES 26 Oktober 2013, ISBN 978-602-14724-
7-7.l
3
n
a atau -
3 2
1 3
n
n
. Dengan menggunakan batas atas, sebutlah
3 2
1 3
n
n
=
atau 3n +1 -3n -6 =
n +2
. atau
-5-2
= n
atau n= N =
2 5
. Notasi
.
menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan argumen didalamnya. Jelas bernilai bulat negatif, padahal n harus positif bulat. Jika
dipilih batas bawah -n
-2
= -5 atau n=N=
2 5
Dari kedua batas ini kita belum mendapatkan secara eksplisit untuk nilai n terkecil yang diijinkan sehingga kita dapat mengatakan bahwa dimulai dari n=N maka limit barisan
tersebut adalah 3. Cara menentukan n=N dapat lebih praktis dengan cara sebagai berikut.
Coba -
3 2
1 3
n
n
ditulis sebagai
3
n
a yaitu
2 6
3 2
1 3
n
n n
n
atau
2 5
n
. Karena
bilangan positif kecil dan n bilangan asli maka kita dapat memilih
2 5
n
atau 5 n
+2
atau
n
2 5
. Jadi kita dapat memilih N
2 5
agar barisan konvergen pada 3. Perhatikan bahwa dengan kondisi ini kita dapat memilih N
dengan menetapkan
terlebih dahulu. Hal ini ditunjukkan pada Tabel 3. Jadi dengan cara ini kita dapat memperoleh bukti bahwa
3
n
a untuk
N n
dengan N
2 5
. Perhatikan bahwa N bilangan asli bulat, padahal
2 5
dapat tidak bulat. Untuk itu kita perlu menuliskan kondisi N
2 5
menjadi N
2 5
. Jadi dari tata cara menulis
3
n
a sangat menentukan dalam mendapatkan kondisi N
2 5
. Hal ini ditunjukkan pada program pada Tabel 3 serta ilustrasi untuk
, ,
n n
a a
dan
n
a
pada Gambar 2. Sedangkan untuk data tiap n untuk n=N
2
5 .
, ,
n n
a a
dan
n
a
dengan nilai
ditetapkan terlebih dahulu ditunjukkan pada Tabel 4.
Tabel 3.
Program untuk
2 1
3
n n
a
n
dengan menetapkan
terlebih dahulu. clear
close all
epsku=[0.2 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 ]; n=round5-2epsku.epsku;
a=inline 3n +1.n+2
, n
; an=an;
Parhusip, H.A Pembelajaran Konvergensi Barisan Bilangan Dan Fungsi Real Dengan Matlab Dan Geogebra, prosiding Seminar Nasional Matematika VII UNNES 26 Oktober 2013, ISBN 978-602-14724-
7-7.l anminuseps=an-epsku;
anpluseps=an+epsku; figure1
plotn,an, o
,n,anminuseps, ,n,anpluseps,
.- ;
Daftar=[epsku n anminuseps an anpluseps]
Tabel 4 . Daftar nilai berbagai
2 1
3
n n
a
n
untuk berbagai
yang ditetapkan
N
2 5
n
a pada n=N
2 1
3
n n
a
n
-
n
a
pada n=N 0.2000 23 2.6000 2.8000 3.0000
0.1000 48 2.8000 2.9000 3.0000 0.0500 98 2.9000 2.9500 3.0000
0.0250 198 2.9500 2.9750 3.0000 0.0100 498 2.9800 2.9900 3.0000
0.0050 998 2.9900 2.9950 3.0000
Gambar 2. Visualisasi
n n
n n
a
n
2 1
1 3
2 1
3
untuk beberapa n dengan menetapkan
terlebih dahulu.
Kasus 2 . Pelajari
1 2
4
2
n
n a
n
. Bagaimana
n n
a
lim
? Jawab : Barisan tersebut berbentuk fungsi rasional dalam n dengan pembilang n + 4 dan
penyebut bentuk kuadrat. Untuk n yang membesar maka penyebut akan lebih cepat membesar daripada pada bagian pembilang. Oleh karena itu kita dapat menyimpulkan
intuisi tersebut bahwa
n n
a
lim
=0. Untuk memberikan penjelasan yang lebih kreatif kita dapat memvisualisasikan barisan tersebut untuk berbagai n. Kita dapat mengubah
program pada Tabel 1 dengan menggantikan definisi barisan. Akan tetapi perlu diperhatikan bahwa untuk n yang kecil sekitar mulai dari n=10, maka barisan sudah
mendekati 0 sehingga kita tidak perlu menggunakan n yang terlalu besar. Hasil keluaran pada Gambar 3 yang menunjukkan bahwa untuk n membesar maka nilai barisan menuju
ke 0.
Tabel 5 . Program untuk mengilustrasikan dan mendaftar
1 2
4
2
n
n a
n
Clear close
all n=[1:10];
a=inline n +4.2n.2+1
, n
; an=an;
figure1 plotn,an,
o ;
epsku=abs0-an; Daftar=[n an epsku]
Parhusip, H.A Pembelajaran Konvergensi Barisan Bilangan Dan Fungsi Real Dengan Matlab Dan Geogebra, prosiding Seminar Nasional Matematika VII UNNES 26 Oktober 2013, ISBN 978-602-14724-
7-7.l
Secara formal, kita perlu membuktikan bahwa untuk sembarang
0, pertidaksamaan
0
n
a harus dipenuhi untuk semua nilai n, kecuali paling banyak pada bilangan
berhingga n, sebutlah pada n =1,2,…,N-1. Sedangkan pada n=N berlaku dan N pada
umumnya tergantung pada nilai
. Dengan cara kasus 1 , kita dapat menulis
0
n
a yaitu
1
2 4
2
n n
sebagai
n
n n
1 2
4 1
.
Gambar 3. Visualisasi
1 2
4
2
n
n a
n
untuk berbagai nilai n.
Kita ambil batas atas sehingga berlaku 1 + 4n 2n
+
n atau 1 + 4 -
n 2n
. Dalam bentuk ini kita belum mampu menyederhanakan mendapatkan kondisi n=N yang
tergantung
. Kita ubah dengan cara lain berikut ini. Jelas bahwa
2 2
2
2 4
1 2
4 2
4 n
n n
n n
. a1
Perhatikan bahwa pertidaksamaan tersebut dicari sedemikian rupa sehingga kita mendapatkan suatu n=N yang hanya tergantung
. Untuk mendapatkan urutan pertidaksamaan yang benar kita dapat menggunakan program MATLAB untuk membantu
kita dalam menvisualisasikan.
Tabel 6
. Menggambar berbagai barisan pada pertidaksamaan a1.
clear close all
n=linspace1,10,20; an1=n +4.2n.2+1;
an2=n +4.2n.2; an3=4.2n.2;
plotn,an1,’’,n,an2,’o’,n,an3,’.’
Gambar 4 .
Visualisasi
2
2 4
n
bertanda .,
1 2
4
2
n n
bertanda dan
2
2 4
n n
bertanda o untuk berbagai nilai n.
Parhusip, H.A Pembelajaran Konvergensi Barisan Bilangan Dan Fungsi Real Dengan Matlab Dan Geogebra, prosiding Seminar Nasional Matematika VII UNNES 26 Oktober 2013, ISBN 978-602-14724-
7-7.l
Jadi kita dapat menggunakan batas
2 2
2 2
4 n
n
untuk mencari N. Dengan menggunakan notasi n = N pada
2
2 n
diperoleh 2
2
N
atau
N
2
. Marilah kita daftar untuk berbagai nilai
yang kita tetapkan dengan mengambil nilai N yang memenuhi N
2 dan menyelidiki nilai barisan untuk setiap N yang dipilih. Kita dapat
mendaftarnya dengan MATLAB. Perhatikan bahwa
2 tidak bulat maka kita perlu
membulatkan dengan fungsi floor pada MATLAB. Program ditunjukkan pada Tabel 7 dan hasil keluaran program ditunjukkan dengan daftar Tabel 8 agar kita dapat melihat
seberapa besar nilai barisan untuk tiap
dan N yang dipilih.
Tabel 7. Program MATLAB untuk membuat daftar nilai
dan
2
serta nilai barisannya. epsku=[0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.02 0.01 0.005 0.0025 0.001]
batasn=roundsqrt2.epsku; Daftar=[epsku’ batasn’];
siN=batasn + 1; an=siN +4.2siN.2+1;
Daftark=[epsku’ batasn’ siN’ an’]
Tabel 8. Daftar
yang ditetapkan dan nilai N dan barisan yang diperoleh
2
n=N yang dipilih 1
2 4
2
n
n a
n
pada N yang dipilih 0.2000 3 4 0.2424
0.1500 3 4 0.2424 0.1000 4 5 0.1765
0.0500 6 7 0.1111 0.0250 8 9 0.0798
0.0200 10 11 0.0617 0.0100 14 15 0.0421
0.0050 20 21 0.0283 0.0025 28 29 0.0196
0.0010 44 45 0.0121
Bagaimana menuliskan bukti formal bahwa
? 1
2 4
lim lim
2
n n
a
n n
n
. Hal ini ditunjukkan berikut ini berdasarkan tahap observasi di atas.
1 2
4 lim
lim
2
n n
a
n n
n
artinya untuk setiap sembarang
0 maka perlu ditunjukkan
1 2
4
2
n n
untuk N
n . Dengan mengetahui bahwa
2 2
2
2 4
1 2
4 2
4 n
n n
n n
kita dapat memilih
2 2
2 2
4 n
n
untuk mencari N. Dengan menggunakan notasi n = N pada
2
2 n
diperoleh 2
2
N
atau
N
2
.
Parhusip, H.A Pembelajaran Konvergensi Barisan Bilangan Dan Fungsi Real Dengan Matlab Dan Geogebra, prosiding Seminar Nasional Matematika VII UNNES 26 Oktober 2013, ISBN 978-602-14724-
7-7.l
Kasus 3. Bagaimana dengan
? 2
lim lim
n n
n n
n
e a
Sebagaimana pada kasus 1 dan 2, untuk mendapatkan intuisi tentang sifat barisan untuk n membesar, maka kita dapat membuat gambar atau mendaftar
n
a
untuk berbagai nilai n. Karena pembilang dan penyebut membesar dengan cepat untuk nilai n yang
diberikan, kita menggunakan n yang tidak terlalu besar. Kita hanya mengedit program Tabel 1 yang ditunjukkan pada Tabel 9 dan hasil keluaran ditunjukkan pada Gambar 5.
Tabel 9. Program MATLAB untuk
menggambar barisan
n n
e 2
clear close
all n=[1:10];
a=inline expn.2.n
, n
; an=an;
figure1 plotn,an,
o ;
Daftar=[n an]
Tabel 10 . Daftar nilai n dan
n n
e 2
n
n n
e 2
1 1.3591 2 1.8473
3 2.5107 4 3.4124
5 4.6379 6 6.3036
7 8.5674 8 11.6444
9 15.8263 10 21.5102
Gambar 5 . Ilustrasi
barisan
n n
e 2
Daftar nilai n dan barisan terkait ditunjukkan pada Tabel 10. Hasil grafik menunjukkan bahwa untuk n yang membesar maka kita peroleh
n n
e 2
yang membesar juga. Kita tidak dapat menyimpulkan : berapakah n=N sehingga untuk setiap nN maka ada bilangan
berhingga yang dekat dengan nilai barisan pada n=N. Barisan demikian kita sebut barisan divergen. Untuk itu kita perlu membuktikan bahwa barisan tersebut divergen tidak ada
suatu nilai berhingga yang dapat dipilih. Kita menuliskan
n
a
untuk
n
. Secara formal ditulis suatu barisan dikatakan divergen dalam definisi berikut.
Definisi 2
barisan divergen Goldberg,1976
Suatu barisan bilangan real
n
a
mendekati tak hingga divergen untuk n mendekati tak hingga jika untuk sembarang bilangan real M 0, terdapat suatu bilangan positif bulat N
sedemikian hingga berlaku
M a
n
,
N n
.
a2 Ekspresi a2 menjelaskan bahwa jika kita menetapkan bahwa limit barisan adalah M ,
maka nilai barisan akan selalu lebih besar dari M pada suatu n=N. Kita akan bahas pada kasus 3.
Parhusip, H.A Pembelajaran Konvergensi Barisan Bilangan Dan Fungsi Real Dengan Matlab Dan Geogebra, prosiding Seminar Nasional Matematika VII UNNES 26 Oktober 2013, ISBN 978-602-14724-
7-7.l
Diberikan suatu M 0,
n n
e 2
M atau
M e
n
2
atau
M e
n ln
2 ln
atau
2 ln
1 ln
2 ln
ln ln
2 ln
ln
M e
M e
M n
. Jadi dipilih
2 ln
1 ln
N n
M n
. b
Jadi jika dipilih
2 ln
1 ln
M N
maka b dipenuhi atau berarti barisan tersebut divergen. Ekspresi
2 ln
1 ln
M
bisa tidak bulat sedangkan N harus bulat positif karena sebagai indeks. Maka kita dapat menuliskan b dengan
, 2
ln 1
ln N
n M
n
© Kita dapat melakukan observasi menggunakan kondisi c dengan menetapkan M dan
memilih N, serta mendaftar nilai barisan pada tiap N. Perintah untuk melakukan hal ini ditunjukkan pada Tabel 11 dan keluarannya ditunjukkan pada Tabel 12.
Tabel 11. Program MATLAB dengan input M dan mencari batas c dan nilai barisan
Clear close all
M=[5 10 15 20 30 50 60 70 80]; batasN=logM.1 -log2
Npilih=floorbatasN+1; aNpilih=expNpilih.2.Npilih;
DaftarMNan=[M batasN Npilih aNpilih]
Tabel 12. Daftar M,
2 ln
1 ln
M
, dan N serta nilai barisan
n n
e 2
M
2 ln
1 ln
M
N yang dipilih
n n
e 2
100 15 16 136 200 17 18 250
300 19 19 340 400 20 20 463
500 20 21 629 600 21 21 629
700 21 22 855
Perhatikan bahwa pada kasus ini kita berharap bahwa ada suatu limit sebutlah M sehingga untuk N yang dipilih maka hasil nilai barisan akan cukup saling berdekatan atau berbeda
cukup kecil kurang dari 1 untuk N yang berturutan. Mungkin kita mencurigai hasil tersebut karena N masih kecil. Kita dapat menguji program dengan menggunakan
program Tabel 8 untuk M yang jauh lebih besar.
Berikut ini kita dapat pula menggunakan Geogebra untuk menjelaskan konvergensi barisan fungsi real.
C. Cara menggunakan GEOGEBRA untuk Barisan Fungsi Real
