GRUP MATHIEU M11, M12, M22, M23 DAN M24
GRUP MATHIEU M11, M12, M22, M23 DAN M24
Oleh
Angga Wijaya
1017031001
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
2014
ABSTRAK
GRUP MATHIEU M11, M12, M22, M23 DAN M24
Oleh
ANGGA WIJAYA
Grup sederhana merupakan grup yang tidak memiliki subgrup normal sejati selain
subgrup trivial. Grup Mathieu Mi (untuk i bilangan asli) merupakan subgrup dari
grup simetri Si dengan aturan sistem Steiner
. Penelitian ini bertujuan
untuk membuktikan bahwa grup Mathieu M11, M12, M22, M23 dan M24 adalah grup
sederhana. Dalam pembahasan dibuktikan bahwa setiap grup aksi faithfully dan transitif
yang stabilizer satu titiknya adalah grup sederhana, merupakan
grup sederhana atau memiliki subgrup normal reguler . Sementara itu dengan
teorema Sylow subgrup dibuktikan M11 adalah grup sederhana.
Dari hasil
penelitian diperoleh bahwa M22 yang memiliki stabilizer satu titik
, M23
yang memiliki stabilizer satu titik M22, M24 yang memiliki stabilizer satu titik M23,
M12 yang memiliki stabilizer satu titik M11 dan M11 adalah grup sederhana.
Kata kunci: grup sederhana, sistem Steiner, grup aksi, Stabilizer, teorema Sylow
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK .................................................................................................
i
HALAMAN JUDUL .................................................................................
ii
HALAMAN PERSETUJUAN .................................................................
iii
HALAMAN PENGESAHAN ...................................................................
iv
PERNYATAAN SKRIPSI MAHASISWA .............................................
v
RIWAYAT HIDUP ...................................................................................
vi
MOTTO .....................................................................................................
viii
PERSEMBAHAN ......................................................................................
ix
SANWACANA ..........................................................................................
x
DAFTAR ISI ..............................................................................................
xii
DAFTAR SIMBOL ...................................................................................
xiv
I.
PENDAHULUAN ..............................................................................
1.1 Latar Belakang ...............................................................................
1.2 Tujuan Penelitian ...........................................................................
1.3 Manfaat Penelitian .........................................................................
1.4 Batasan Masalah ............................................................................
1
1
3
3
3
II. TINJAUAN PUSTAKA .....................................................................
2.1 Teori Grup ......................................................................................
2.2 Grup Permutasi ..............................................................................
2.3 Teori Grup Aksi .............................................................................
2.4 Grup Sylow ....................................................................................
2.5 Homomorfisme dan Isomorfisme ..................................................
4
4
15
17
19
20
xiii
2.6 Sistem Steiner dan Grup Mathieu ..................................................
24
III. METODE PENELITIAN ..................................................................
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................
3.2 Metode Penelitian ..........................................................................
27
27
27
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ..........................................................
29
V. SIMPULAN DAN SARAN ................................................................
5.1 Simpulan ........................................................................................
5.2 Saran ..............................................................................................
51
51
51
DAFTAR PUSTAKA
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Grup merupakan salah satu struktur aljabar dengan satu himpunan yang
dilengkapi satu operasi biner yang memenuhi aksioma asosiatif, terdapat elemen
identitas dan setiap elemennya memiliki invers terhadap operasi biner tersebut.
Jika berlaku sifat komutatif pada suatu grup, maka grup tersebut dinamakan grup
Abel (grup komutatif). Berdasarkan banyaknya elemen di dalamnya, grup dibagi
menjadi grup tak berhingga dan grup berhingga.
Teori grup dan aplikasinya semakin berkembang setelah pertengahan abad ke-19.
Pada saat itu, ide grup masih dianggap baru. Berkaitan dengan grup berhingga,
metode sederhana yang pertama untuk mengkonstruksi grup berhingga adalah
dengan mengamati grup permutasi. Informasi dan klasifikasi tentang grup
berhingga secara khusus ditulis dalam buku Atlas of Finite Group salah satunya
adalah tulisan J. Conway ilmuwan Matematika dari Inggris. Banyak ilmuwan
Matematika yang tertarik pada penelitian tentang grup berhingga, khususnya grup
berhingga sederhana (finite simple group). Grup sederhana (simple grup) adalah
grup yang hanya memiliki subgrup normal trivial dan dirinya sendiri.
Grup berhingga sederhana diklasifikasikan ke dalam beberapa jenis, antara lain
grup siklik berorde prima, grup alternating minimal berderajat lima, Lie grup
2
sederhana dan 26 grup khusus yang disebut grup sporadik. Kelima grup Mathieu
yang terdiri dari
dan
adalah grup sporadik pertama yang
ditemukan. Mathieu menemukan grup ini saat ia sedang mengidentifikasi multi
transitivitas pada suatu grup dan sebelumnya ia tidak mengetahui bahwa grup ini
adalah grup sederhana. Penelitian dilanjutkan oleh Ernest Witt pada tahun 1930
dalam pembahasan mengenai sistem Steiner
diperoleh bahwa grup Mathieu terbesar
. Dari penelitian ini
merupakan automorfisme grup dari
sistem Steiner tersebut.
Berdasarkan survei mengenai grup sporadik yang ditulis oleh Luis J. Boya, bahwa
grup sporadik diklasifikasikan menjadi tiga level yaitu 5 grup Mathieu (level 1), 7
grup tipe Lie (level 2), dan 8 grup tipe Monster (level 3). Ketiga level grup
sporadik ini memiliki hubungan sebagai subkuosien dari Monster, sehingga
kumpulan grup ini disebut “The happy family” oleh Robert Griess, penemu grup
Monster. Selain grup “The happy family”, terdapat 6 grup sporadik yang tidak
memiliki hubungan subkuosien dengan Monster. Keenam grup ini disebut grup
Pariah.
Demi proses pembelajaran dan penelitian yang maksimal, penulis memilih topik
“Grup Mathieu
dan
” sebagai pengkajian awal tentang
grup sporadik dan klasifikasinya. Dalam penelitian ini akan diberikan bukti bahwa
kelompok grup Mathieu
dan
adalah grup sederhana.
3
1.2 Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah membuktikan bahwa
dan
adalah grup sederhana.
1.3 Manfaat
Manfaat dari penelitian ini adalah menambah pengetahuan mengenai grup
berhingga sederhana khususnya grup Mathieu.
1.4 Batasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah grup Mathieu
.
dan
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung
proses penelitian.
2.1 Teori Grup
Definisi 2.1.1 Operasi Biner
Suatu operasi biner pada suatu himpunan
ke . Untuk setiap
,
adalah fungsi yang memetakan dari
dinotasikan sebagai
di
(Fraleigh, 1999).
Contoh 2.1.2
Diberikan himpunan bilangan komposit
(himpunan bilangan bulat yang lebih
besar dari 1 dengan banyaknya faktor positif lebih dari 2), dilengkapi dengan
operasi pangkat
Himpunan
dengan untuk setiap
dan operasi
didefinisikan
.
merupakan contoh himpunan yang dilengkapi
dengan operasi biner.
Bukti.
Perhatikan bahwa setiap bilangan komposit
. Misal faktorisasi bilangan komposit
dan untuk setiap
dengan
, maka
5
adalah bilangan prima yang berbeda, sehingga
positif sebanyak
memiliki faktor
, maka dengan
,
memiliki faktor positif sebanyak
. Akibatnya
merupakan bilangan komposit. Jadi operasi
sehingga
tertutup dalam
,
merupakan operasi biner dalam .
Operasi biner yang diperlengkapi pada suatu himpunan akan menjamin
ketertutupan operasi elemen – elemen dalam himpunan tersebut. Lebih lanjut jika
memenuhi aksioma – aksioma berikut, maka akan membentuk suatu struktur
aljabar yang disebut grup.
Definisi 2.1.3 Grup
Suatu grup
adalah himpunan , tertutup atas operasi biner , sedemikian
sehingga memenuhi aksioma – aksioma :
1. Untuk semua
, berlaku
(sifat asosiatif operasi ).
2. Terdapat suatu elemen identitas
untuk semua
, berlaku
(identitas
3. Untuk setiap
sedemikian sehingga
atas operasi ).
, terdapat suatu elemen
.
di
sedemikian sehingga
6
Jika suatu himpunan
dan operasi binernya hanya memenuhi aksioma 1, maka
disebut semigrup. Suatu semigrup yang memenuhi aksioma 2 disebut monoid
(Fraleigh, 1999).
Contoh 2.1.4
Himpunan string
dengan panjang minimal 1 digit yang dibentuk dari {0,1},
dilengkapi dengan operasi biner
didefinisikan sebagai gabungan dua string
adalah contoh semigrup.
Bukti.
Untuk sebarang
{
}
dengan
dan
dan
,
, berlaku
dengan panjang string
tertutup operasi terpenuhi. Misalkan
dengan
, sehingga
, sehingga sifat
,
{
.
Jadi, sifat asosiatif terpenuhi. Akibatnya, himpunan
membentuk semigrup.
dengan operasi biner
}
7
Contoh 2.1.5
Himpunan kuasa
himpunan
dari himpunan , dilengkapi dengan operasi biner irisan
merupakan monoid. Elemen identitas dalam monoid ini adalah .
Bukti.
Diberikan sebarang
. Oleh karena itu,
. Akibatnya,
. Sehingga,
(sifat tertutup terpenuhi). Selanjutnya,
akan ditunjukkan sifat asosiatif, yaitu
.
Diberikan sebarang
dan
dan
dan
. Dengan cara yang serupa, diperoleh
sehingga
.
Akibatnya,
Pilih
(sifat asosiatif terpenuhi).
, oleh karena untuk setiap
dan
, berlaku
maka
.
Akibatnya,
merupakan elemen identitas di
himpunan kuasa
membentuk monoid.
dari himpunan
terhadap operasi . Jadi,
dengan operasi irisan himpunan
8
Contoh 2.1.6
Himpunan matriks berorde
dengan entri bilangan riil yang memiliki invers,
, yang dilengkapi dengan operasi biner
“perkalian matriks” adalah
grup.
Bukti.
Diberikan sebarang
sehingga
Oleh karena
, maka
invertibel. Dengan kata lain
. Jelas bahwa matriks
merupakan elemen identitas dalam
, terdapat invers dari
. Oleh karena untuk setiap
yaitu
, maka setiap elemen di
sedemikian sehingga
memiliki invers di
.
membentuk grup dengan operasi biner perkalian matriks.
Operasi biner dalam grup
untuk setiap
. Akibatnya,
(sifat tertutup terpenuhi). Sifat
asosiatif jelas terpenuhi sebab
Jadi,
.
memiliki kemungkinan bersifat komutatif, yaitu
berlaku
. Hal ini yang mendasari didefinisikannya
grup Abel sebagai berikut.
Definisi 2.1.7 Grup Abel (komutatif)
Suatu grup
dikatakan grup Abel (komutatif) jika dan hanya jika operasi biner
bersifat komutatif (Fraleigh, 1999).
9
Contoh 2.1.8
Himpunan
didefinisikan sebagai himpunan matriks diagonal berorde
yang invertibel dengan entri bilangan riil, yang dilengkapi dengan operasi
biner
“perkalian matriks” merupakan contoh grup Abel.
Bukti.
dengan
Diberikan sebarang
entri matriks
dan . Sehingga, untuk
Sementara itu, untuk
entri matriks
Sehingga, untuk
, diperoleh
, diperoleh
dengan
:
∑
berturut – turut adalah
dan
dan
dan
.
. Misalkan
.
jika
maka
tetapi
, sehingga
,
jika
maka
tetapi
, sehingga
,
jika
dan
Jadi, untuk
Untuk
maka
dapat disimpulkan
:
jika
dan
maka
jika
dan
maka
Jadi, untuk
dapat disimpulkan
Akibatnya,
Selanjutnya, karena
adalah
, sehingga
∑
.
.
dan
, sehingga
, sehingga
∑
,
.
.
(sifat tertutup terpenuhi).
, maka sifat asosiatif terpenuhi.
10
Jelas bahwa matriks
.
merupakan elemen identitas dalam
memiliki
Berikutnya akan ditunjukkan bahwa setiap elemen di dalam
sedemikian sehingga
, terdapat
invers. Untuk setiap
, dengan entri matriks
adalah
adalah grup.
ditunjukkan bahwa
Selanjutnya akan ditunjukkan sifat komutatif dalam
dengan
untuk
. Jadi, telah
. Misal
∑
sifat komutatif pada
∑
entri matriks
dan
entri matriks
dan
. Sehingga,
. Jadi,
. Diberikan sebarang
entri matriks ,
dan
entri matriks
, dengan
. Akibatnya berlaku
dengan operasi biner perkalian
matriks merupakan grup Abel.
Definisi 2.1.9 Grup Abel Dasar
Grup Abel dasar adalah grup Abel berhingga dengan setiap elemen tak nol
memiliki orde prima
(Dummit, 2004).
Contoh 2.1.10
Diberikan
{
modulo 2, maka
} dengan operasi biner * penjumlahan
adalah grup Abel dasar.
Himpunan bagian dari suatu grup
belum tentu memenuhi keempat aksioma –
aksioma grup. Jika himpunan bagian tersebut memenuhinya maka disebut subgrup
dari grup .
11
Definisi 2.1.11 Subgrup
Jika suatu himpunan bagian
dari grup
tertutup atas operasi biner dari
adalah grup dengan operasi biner tersebut, maka
dinotasikan dengan
atau
adalah subgrup dari
dan
yang
(Fraleigh, 1999).
Contoh 2.1.12
Diketahui
{
} merupakan grup dengan operasi biner
penjumlahan modulo 6. Misalkan
operasi biner yang sama
,
{
}. Jelas bahwa
. Dengan
akan membentuk grup sehingga
.
Dalam teori himpunan telah dikenal istilah himpunan bagian sejati dan himpunan
bagian trivial. Oleh karena grup dibentuk dari suatu himpunan, maka dapat
didefinisikan subgrup sejati dan subgrup trivial sebagai berikut.
Definisi 2.1.13 Subgrup Sejati dan Trivial
Jika
adalah grup, maka
subgrup yang lainnya dari
subgrup sejati dari
sendiri adalah subgrup tak sejati dari . Semua
disebut subgrup sejati. Dengan kata lain,
jika dan hanya jika
Subgrup { } disebut subgrup trivial dari
tetapi
dengan
adalah
, dinotasikan
.
elemen identitas di . Semua
subgrup selain { } disebut subgrup nontrivial (Fraleigh, 1999).
12
Contoh 2.1.14
{
Misal
}. Dengan operasi
adalah subgrup dari
atau
{
adalah grup, dengan
Diberikan
,
. Karena
}.
akan membentuk grup. Sehingga
, maka
adalah subgrup sejati dari
.
Dalam suatu grup, terdapat subgrup khusus seperti subgrup normal, karena
memiliki kriteria tertentu seperti pada definisi berikut.
Definisi 2.1.15 Subgrup Normal
Diberikan
subgrup dari grup ,
untuk setiap
dikatakan subgrup normal jika dan hanya jika
, dinotasikan
(Dummit, 2004).
Contoh 2.1.16
Diberikan grup simetri
dari
. Sehingga,
. Jelas bahwa
{
, (1 3 2)} adalah subgrup
adalah subgrup normal dari
atau
.
Definisi 2.1.17 Normalizer
Diberikan
dari
suatu grup dan
dalam grup
himpunan bagian dari ,
disebut normalizer
{
jika dan hanya jika
(Dummit,2004).
}
Contoh 2.1.18
Diberikan grup simetri
himpunan bagian dari
. Jelas bahwa
. Sehingga,
{
} adalah
{
}.
13
Definisi 2.1.19 Centralizer
Diberikan
himpunan semua elemen
{
Jadi,
}.
himpunan semua elemen
, dinotasikan
dalam grup
yang komutatif dengan , dinotasikan
subgrup dari , centralizer dari subgrup
Diberikan
himpunan
, centralizer dari elemen
suatu grup dan
dalam grup
adalah
.
adalah
yang komutatif dengan semua elemen dalam
{
. Jadi,
(Dummit,2004).
}
Contoh 2.1.20
Diberikan
suatu grup yang terdiri dari himpunan fungsi bernilai riil yang
berbentuk
, dengan operasi biner komposisi fungsi. Misal
{
}, dengan adalah fungsi identitas dan
, maka
fungsi invers dari
.
Definisi 2.1.21 Center
Diberikan
suatu grup, center dari grup
adalah himpunan semua elemen
yang komutatif dengan semua elemen , dinotasikan
{
Jadi,
centralizer elemen grup
.
}. Ekuivalen dengan irisan dari semua
(Dummit,2004).
Contoh 2.1.22
Jika
setiap
suatu grup yang terdiri dari himpunan fungsi bijektif bernilai riil, maka
{ }, dengan adalah fungsi identitas sedemikian sehingga
.
untuk
14
Grup Mathieu merupakan grup berhingga. Dalam ruang lingkupnya, dibutuhkan
Teorema Lagrange sebagai berikut.
Teorema 2.1.23 Teorema Lagrange
Jika
suatu subgrup dari grup berhingga , maka orde dari
orde dari
habis membagi
(Fraleigh,1999).
Definisi 2.1.24 Subgrup Maksimal
Diberikan
suatu grup.
subgrup sejati dari
jika dan hanya jika tidak ada subgrup
dikatakan subgrup maksimal dari
yang memuat
.
Definisi 2.1.25 Grup Siklik dan Subgrup Siklik
Jika
adalah suatu grup dan
{
}
disebut subgrup siklik dari
Suatu grup
, dapat dituliskan
yang dibangun oleh .
disebut siklik jika terdapat
dalam hal ini elemen
sedemikian sehingga
disebut elemen pembangun
,
(Rotman, 2002).
Contoh 2.1.26
merupakan grup siklik dengan elemen pembangunnya adalah 1 dan -1.
Tujuan penelitian ini untuk menunjukkan beberapa grup Mathieu adalah grup
sederhana, maka perlu adanya definisi tentang grup sederhana sebagai berikut.
15
Definisi 2.1.27 Grup Sederhana
Grup sederhana adalah grup yang subgrup normalnya hanya subgrup trivial dan
dirinya sendiri (Dummit,2004).
Contoh 2.1.28
Grup siklik
merupakan grup sederhana, sebab tidak memiliki subgrup normal
sejati selain subgrup trivial.
2.2 Grup Permutasi
Contoh lain grup yaitu grup permutasi. Grup ini erat kaitannya dengan grup
Mathieu, sebab grup Mathieu merupakan subgrup dari grup permutasi. Akan
didefinisikan dahulu permutasi dari suatu himpunan.
Definisi 2.2.1 Permutasi
Suatu permutasi dari himpunan
adalah suatu fungsi bijektif dari
ke dirinya
sendiri (Rotman, 2002).
Contoh 2.2.2
Diketahui
{
}, {
{
}, {
}. Semua permutasi dari
}, {
}, {
antara lain :
}, dan {
}
Misalkan terdapat himpunan semua permutasi dari suatu himpunan. Oleh karena
permutasi merupakan fungsi bijektif, maka dua permutasi dapat dikomposisikan
menjadi suatu fungsi bijektif. Sehingga, komposisi fungsi merupakan operasi
biner pada himpunan semua permutasi dari suatu himpunan. Karena operasi
komposisi fungsi bersifat asosiatif, himpunan permutasi ini akan membentuk
16
semigrup. Pada himpunan permutasi ini terdapat permutasi identitas yaitu fungsi
identitas yang memetakan suatu elemen
ke dirinya sendiri. Akibatnya,
terdapat elemen identitas pada semigrup sebelumnya. Dengan kata lain, himpunan
permutasi tersebut akan membentuk monoid. Oleh karena fungsi bijektif selalu
mempunyai invers, yang tentunya merupakan fungsi bijektif, maka terdapat
permutasi invers dalam himpunan permutasi tersebut. Dapat disimpulkan bahwa
himpunan semua permutasi dari suatu himpunan akan membentuk grup yang
didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.2.3 Grup Simetri
Himpunan dari semua permutasi dari himpunan , dinotasikan sebagai
disebut grup simetri pada . Jika
dan disebut grup simetri pada
{
} maka
,
dinotasikan dengan
objek (Rotman, 2002).
Setelah mengetahui definisi grup permutasi, selanjutnya akan didefinisikan
tentang stabilizer.
Definisi 2.2.4 Stabilizer
Diberikan
suatu grup permutasi pada himpunan
Stabilizer dari
dan
adalah himpunan semua permutasi dalam
titik tetap , dinotasikan
{
adalah elemen .
yang menghasilkan
} (Dummit,2004).
17
Contoh 2.2.5
Diberikan grup
{
dan titik tetap
}
{
.
}.
Diberikan suatu himpunan tak kosong . Sehingga, dapat dibentuk grup
simetri
. Misalkan
subgrup dari
dinotasikan sebagai
dengan
dan
. Sehingga, orbit pada grup
yang
, merupakan himpunan relasi ekuivalensi pada
, untuk setiap
jika dan hanya jika
. Stabilizer titik pada grup
untuk suatu
merupakan himpunan semua
yang menetapkan titik . Sehingga, dapat dirumuskan Teorema OrbitStabilizer sebagai berikut.
Teorema 2.2.6 Orbit-Stabilizer
Diberikan
subgrup dari grup simetri
, maka untuk setiap
berlaku
(Mulholland, 2011).
Dari suatu grup dan suatu himpunan tak kosong, dapat dibentuk suatu fungsi yang
menghubungkan keduanya. Dengan kata lain, grup tersebut beraksi pada
himpunan. Sehingga, dapat didefinisikan grup aksi sebagai berikut.
18
2.3 Teori Grup Aksi
Definisi 2.3.1 Grup Aksi
Diberikan
suatu himpunan dan
pemetaan
suatu grup. Suatu aksi dari
pada
adalah
sedemikian sehingga
1.
; dan
2.
, untuk setiap
Dengan kondisi ini,
dan
.
disebut -set (Fraleigh, 1999).
Contoh 2.3.2
Diberikan
adalah grup simetri orde
dan himpunan , maka
beraksi pada
dengan fungsi permutasi.
Dalam grup aksi dikenal istilah kernel sebagai berikut.
Definisi 2.3.3 Kernel Grup Aksi
Diberikan
suatu grup beraksi pada himpunan tak kosong . Kernel dari aksi ini
didefinisikan sebagai {
} (Dummit,2004).
Definisi 2.3.4 Aksi faithful
Suatu aksi dari suatu grup disebut faithful jika kernelnya adalah elemen identitas
(Dummit, 2004).
Contoh 2.3.5
Diberikan
adalah grup simetri orde
Jika kardinalitas
beraksi pada himpunan tak kosong .
adalah , maka aksi tersebut adalah aksi faithful.
19
Definisi 2.3.6 Aksi Transitif
Diberikan
grup beraksi pada himpunan tak kosong . Aksi grup
disebut transitif jika untuk setiap
sehingga
, maka terdapat
pada
sedemikian
(Dummit, 2004).
Definisi 2.3.7 -admisibel
Diberikan
adalah grup aksi transitif dan misalkan
ekuivalensi pada .
adalah relasi
adalah -admisibel jika dan hanya jika untuk setiap
berakibat
untuk setiap
(Biggs,1979).
Definisi 2.3.8 Relasi Δ
Relasi Δ adalah relasi ekuivalensi dengan
jika dan hanya jika
(Biggs, 1979).
Definisi 2.3.9 Grup Reguler
Suatu grup aksi disebut regular jika dan hanya jika stabilizer pada suatu titik
adalah subgrup trivial (Dummit, 2004).
Definisi 2.3.10 Grup Primitif
Suatu grup aksi transitif disebut grup primitif jika dan hanya jika stabilizer pada
suatu titik adalah subgrup maksimal (Dummit, 2004).
20
2.4 Grup Sylow
Definisi 2.4.1 -grup dan -subgrup
Suatu grup
adalah -grup jika setiap elemen di
pangkat dari . Suatu subgrup dari grup
mempunyai orde sebesar
adalah -subgrup dari
jika subgrup
tersebut merupakan -grup (Fraleigh,1999).
Contoh 2.4.2
,
Diberikan grup
tak nol dari
{
memiliki orde prima
}. Jelas bahwa
, maka
. Karena setiap elemen
adalah -subgrup dari
.
adalah -grup.
Dengan demikian,
Definisi 2.4.3 Sylow -subgrup
Suatu Sylow -subgrup
dari grup
adalah -subgrup maksimal dari , yaitu -
subgrup yang tidak termuat dalam -subgrup yang lebih besar (Fraleigh,1999).
Teorema 2.4.4
Diberikan
dan
adalah Sylow -subgrup dari grup berhingga , maka
adalah konjugat subgrup dari
dan
(Fraleigh, 1999).
2.5 Homomorfisme dan Isomorfisme
Dari dua grup dengan masing – masing operasi binernya, dapat dibentuk suatu
hubungan berbentuk fungsi yang sifatnya mempertahankan operasi dari grup yang
pertama pada grup yang kedua. Sehingga, dapat didefinisikan homomorfisme
sebagai berikut.
21
Definisi 2.5.1 Homomorfisme
Suatu homomorfisme dari grup
ke grup
sedemikian sehingga
adalah pemetaan
dari
untuk semua
ke ,
(Grillet,2000).
Contoh 2.5.2
Diberikan
grup bilangan riil dengan operasi penjumlahan biasa dan
grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa. Didefinisikan fungsi
dengan
, untuk setiap
berlaku
Oleh karena itu,
. Sehingga, untuk setiap
.
merupakan homomorfisme.
Definisi 2.5.3 Monomorfisme dan Epimorfisme
Monomorfisme adalah suatu homomorfisme yang bersifat injektif. Epimorfisme
adalah suatu homomorfisme yang bersifat surjektif (Grillet,2000).
Contoh 2.5.4
Diberikan
grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa dan
grup bilangan riil dengan operasi penjumlahan biasa. Didefinisikan
fungsi
dengan
Karena
untuk setiap
, untuk setiap
homomorfisme. Jelas bahwa jika
Oleh karena itu,
adalah suatu monomorfisme.
.
, maka
,
merupakan
bersifat injektif.
22
Contoh 2.5.5
Diberikan
grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa dan
grup bilangan bulat modulo
Diberikan fungsi
dengan operasi penjumlahan modulo .
dengan
Misal sebarang
, untuk setiap
dengan
dan
.
, sehingga
.
Sehingga
merupakan homomorfisme. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa
bersifat surjektif. Untuk setiap
sehingga
dengan
maka terdapat
. Oleh karena itu,
sedemikian
adalah suatu epimorfisme.
Definisi 2.5.6 Isomorfisme dan Isomorfik
Suatu isomorfisme grup adalah suatu homomorfisme grup yang bersifat bijektif.
Dua grup
dan
adalah isomorfik jika terdapat isomorfisme dari
hubungan ini dinotasikan
pada ,
(Grillet,2000).
Contoh 2.5.7
Diberikan
grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa dan
grup bilangan riil positif dengan operasi perkalian biasa. Didefinisikan
fungsi
dengan
, untuk setiap
.
23
Misal sebarang
diperoleh
sehingga
,
adalah suatu homomorfisme. Selanjutnya, akan ditunjukkan
bersifat injektif.
Diberikan sebarang
dengan
Sehingga, terbukti bahwa
bersifat injektif.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa
Untuk setiap
maka terdapat
. Akibatnya,
, maka
bersifat surjektif.
atau
sedemikian sehingga
bersifat surjektif. Oleh karena itu,
merupakan
isomorfisme.
Definisi 2.5.8 Endomorfisme dan Automorfisme
Suatu endomorfisme dari grup
automorfisme dari grup
adalah suatu homomorfisme dari
adalah suatu isomorfisme dari
ke
ke . Suatu
(Grillet,2000).
Contoh 2.5.9
Diberikan
dengan
suatu grup dengan elemen identitas . Didefinisikan fungsi
, untuk setiap
. Misal sebarang
. Oleh karena itu,
maka
adalah suatu endomorfisme.
24
Contoh 2.5.10
Diberikan
suatu grup dan
adalah fungsi konjugasi dalam , yaitu
untuk suatu elemen tetap
dengan
dan untuk setiap
fungsi
didefinisikan
.
Untuk setiap
, berlaku
.
Sehingga,
adalah homomorfisme.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa
dengan
bersifat injektif. Diberikan sebarang
, sehingga,
(dioperasikan
dari kanan, dan
dari kiri)
.
Oleh karena itu, terbukti bahwa
bersifat injektif.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa
bersifat surjektif. Untuk setiap
diperoleh
. Sehingga, terbukti bahwa
surjektif. Jadi, telah dibuktikan bahwa
merupakan automorfisme.
Dalam mengkonstruksi Mathieu
dan
bersifat
, yang merupakan
subgrup dari grup simetri dengan aturan yang disebut sistem Steiner sebagai
berikut.
25
2.6 Sistem Steiner dan Grup Mathieu
Definisi 2.6.1 Sistem Steiner
Suatu
sistem Steiner
terdiri dari himpunan berhingga
merupakan koleksi himpunan bagian dari
1.
dan
yang memenuhi :
,
2. setiap
memiliki elemen sebanyak .
3. sebarang
dalam
yang memiliki elemen sebanyak , termuat tepat satu
.
Elemen dari sistem Steiner disebut blok. Elemen dari himpunan berhingga
disebut titik (Nickerson,2002).
Contoh 2.6.2
Elemen – elemen dari sistem Steiner
adalah {1,2,3}, {1,4,5}, {1,6,7},
{2,4,6}, {2,5,7}, {3,4,7}, dan {3,5,6}.
Definisi 2.6.3
Grup Mathieu
{
dan
dan
didefinisikan sebagai berikut.
untuk setiap
{
untuk setiap
{
untuk setiap
{
{
untuk setiap
untuk setiap
Banyaknya elemen grup sebagai berikut :
}.
}.
}.
}.
}.
26
(Rubinstein, 2011).
Misalkan suatu himpunan matriks
dengan entri –
berukuran
entrinya elemen dari suatu lapangan berorde . Himpunan bagian dari
yang semua elemennya memiliki determinan 1 disimbolkan sebagai
.
Himpunan ini merupakan grup atas operasi perkalian matriks. Center dari grup ini
yang dinotasikan sebagai
merupakan grup atas operasi perkalian
matriks. Sehingga, dapat didefinisikan
Definisi 2.6.4
Diberikan
sebagai berikut.
atau
adalah ruang vektor berdimensi
atas lapangan
didefinisikan sebagai
berorde .
) (Biggs, 1979).
Definisi 2.6.5
Diberikan
adalah ruang vektor berdimensi
Misalkan relasi ekuivalensi
untuk suatu
pada
atas lapangan
{ }, dengan
{ }, untuk setiap
berorde .
jika dan hanya jika
{ }.
didefinisikan sebagai himpunan kelas – kelas ekuivalensi dari
(Biggs, 1979).
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2013/2014 yang
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi literatur
yakni dengan mempelajari buku dan jurnal tentang grup khususnya grup
Mathieu.
Dalam penelitian ini dibutuhkan beberapa teorema yang harus dibuktikan,
antara lain sebagai berikut.
Teorema 3.1
Diberikan
suatu grup yang beraksi faithfully dan -transitif (k ≥ 2) pada
suatu himpunan
dengan
. Misalkan
stabilizer dari suatu elemen
tunggal adalah suatu grup sederhana maka satu dari kemungkinan di bawah
ini akan terpenuhi :
1.
adalah grup sederhana
2.
dan
adalah suatu pangkat dari bilangan prima
3.
dan
adalah suatu pangkat dari 2
28
4.
,
bukan suatu pangkat dari 2 dan
isomorfik dengan
Teorema 3.2
Diberikan
suatu prima, dan diberikan
Diberikan
suatu subgrup transitif dari
adalah banyaknya Sylow p-subgrup dan
.
adalah indeks dari
Sylow -subgrup dalam normalizer-nya.
Sehingga :
1.
memiliki Sylow -subgrup siklik
2.
3.
adalah residu positif terkecil dari
4. Jika
maka
Setelah membuktikan Teorema 3.2 maka akan dibuktikan bahwa
dan
adalah grup sederhana.
Tahapan – tahapan pembuktian dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Membuktikan Teorema 3.1.
2. Menggunakan Teorema 3.1 untuk membuktikan grup M22, M23 dan M24
adalah grup sederhana karena masing – masing memiliki stabilizer satu
titik yang merupakan grup sederhana.
3. Membuktikan Teorema 3.2.
4. Menggunakan Teorema 3.2 untuk membuktikan grup M11 adalah grup
sederhana.
5. Menggunakan Teorema 3.1 untuk membuktikan M12 adalah grup
sederhana karena memiliki stabilizer satu titik yang merupakan grup
sederhana.
V. SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa grup Mathieu
dan
merupakan grup sederhana. Kelima grup ini
merupakan subgrup dari grup simetri berhingga. Sehingga, kelima grup ini adalah
grup berhingga. Lebih jauh lagi, bahwa grup berhingga yang sekaligus merupakan
grup sederhana disebut dengan grup sporadik. Kelima grup Mathieu ini adalah
grup sporadik terkecil dari 26 grup sporadik yang telah ditemukan.
5.2 Saran
Pada penelitian ini hanya membahas grup Mathieu
dan
yang telah terbukti merupakan grup sederhana. Pada penelitian selanjutnya,
disarankan untuk membahas grup Mathieu lain atau ekstensi grup Mathieu yang
juga merupakan anggota dari grup berhingga sederhana atau grup sporadik.
DAFTAR PUSTAKA
Biggs, N.L. 1979. Permutation Groups and Combinatorial Structures.Cambridge
University, London. 140 hlm.
Boya, Luis J. 2011. Introduction to Sporadic Groups.SIGMA.2011.009. 18 hlm.
Dummit, David S. 2004. Abstract Algebra.John Wiley and Sons Inc.United States.
932 hlm.
Fraleigh, J.B. 1999. Abstract Algebra. Addison Wesley Longman Inc. North
America. 533 hlm.
Grillet, Piere. 2000. Abstract Algebra. Springer. New Orleands. 669 hlm.
Mulholland, Jamie. 2011. Symetry and Counting I : The Orbit-Stabilizer
Theorem. Spring 2011.Math 302. 12 hlm.
Nickerson, Simon. 2002. Sporadic Simple Groups. 42 hlm.
Rotman, Joseph. 2002. The Theory of Groups. Prentice Hall. New Jersey.
342 hlm.
Rubinstein, Simon. 2011. Mathieu Groups. Stanford CA 94305. 7 hlm.
Oleh
Angga Wijaya
1017031001
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
2014
ABSTRAK
GRUP MATHIEU M11, M12, M22, M23 DAN M24
Oleh
ANGGA WIJAYA
Grup sederhana merupakan grup yang tidak memiliki subgrup normal sejati selain
subgrup trivial. Grup Mathieu Mi (untuk i bilangan asli) merupakan subgrup dari
grup simetri Si dengan aturan sistem Steiner
. Penelitian ini bertujuan
untuk membuktikan bahwa grup Mathieu M11, M12, M22, M23 dan M24 adalah grup
sederhana. Dalam pembahasan dibuktikan bahwa setiap grup aksi faithfully dan transitif
yang stabilizer satu titiknya adalah grup sederhana, merupakan
grup sederhana atau memiliki subgrup normal reguler . Sementara itu dengan
teorema Sylow subgrup dibuktikan M11 adalah grup sederhana.
Dari hasil
penelitian diperoleh bahwa M22 yang memiliki stabilizer satu titik
, M23
yang memiliki stabilizer satu titik M22, M24 yang memiliki stabilizer satu titik M23,
M12 yang memiliki stabilizer satu titik M11 dan M11 adalah grup sederhana.
Kata kunci: grup sederhana, sistem Steiner, grup aksi, Stabilizer, teorema Sylow
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK .................................................................................................
i
HALAMAN JUDUL .................................................................................
ii
HALAMAN PERSETUJUAN .................................................................
iii
HALAMAN PENGESAHAN ...................................................................
iv
PERNYATAAN SKRIPSI MAHASISWA .............................................
v
RIWAYAT HIDUP ...................................................................................
vi
MOTTO .....................................................................................................
viii
PERSEMBAHAN ......................................................................................
ix
SANWACANA ..........................................................................................
x
DAFTAR ISI ..............................................................................................
xii
DAFTAR SIMBOL ...................................................................................
xiv
I.
PENDAHULUAN ..............................................................................
1.1 Latar Belakang ...............................................................................
1.2 Tujuan Penelitian ...........................................................................
1.3 Manfaat Penelitian .........................................................................
1.4 Batasan Masalah ............................................................................
1
1
3
3
3
II. TINJAUAN PUSTAKA .....................................................................
2.1 Teori Grup ......................................................................................
2.2 Grup Permutasi ..............................................................................
2.3 Teori Grup Aksi .............................................................................
2.4 Grup Sylow ....................................................................................
2.5 Homomorfisme dan Isomorfisme ..................................................
4
4
15
17
19
20
xiii
2.6 Sistem Steiner dan Grup Mathieu ..................................................
24
III. METODE PENELITIAN ..................................................................
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................
3.2 Metode Penelitian ..........................................................................
27
27
27
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ..........................................................
29
V. SIMPULAN DAN SARAN ................................................................
5.1 Simpulan ........................................................................................
5.2 Saran ..............................................................................................
51
51
51
DAFTAR PUSTAKA
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Grup merupakan salah satu struktur aljabar dengan satu himpunan yang
dilengkapi satu operasi biner yang memenuhi aksioma asosiatif, terdapat elemen
identitas dan setiap elemennya memiliki invers terhadap operasi biner tersebut.
Jika berlaku sifat komutatif pada suatu grup, maka grup tersebut dinamakan grup
Abel (grup komutatif). Berdasarkan banyaknya elemen di dalamnya, grup dibagi
menjadi grup tak berhingga dan grup berhingga.
Teori grup dan aplikasinya semakin berkembang setelah pertengahan abad ke-19.
Pada saat itu, ide grup masih dianggap baru. Berkaitan dengan grup berhingga,
metode sederhana yang pertama untuk mengkonstruksi grup berhingga adalah
dengan mengamati grup permutasi. Informasi dan klasifikasi tentang grup
berhingga secara khusus ditulis dalam buku Atlas of Finite Group salah satunya
adalah tulisan J. Conway ilmuwan Matematika dari Inggris. Banyak ilmuwan
Matematika yang tertarik pada penelitian tentang grup berhingga, khususnya grup
berhingga sederhana (finite simple group). Grup sederhana (simple grup) adalah
grup yang hanya memiliki subgrup normal trivial dan dirinya sendiri.
Grup berhingga sederhana diklasifikasikan ke dalam beberapa jenis, antara lain
grup siklik berorde prima, grup alternating minimal berderajat lima, Lie grup
2
sederhana dan 26 grup khusus yang disebut grup sporadik. Kelima grup Mathieu
yang terdiri dari
dan
adalah grup sporadik pertama yang
ditemukan. Mathieu menemukan grup ini saat ia sedang mengidentifikasi multi
transitivitas pada suatu grup dan sebelumnya ia tidak mengetahui bahwa grup ini
adalah grup sederhana. Penelitian dilanjutkan oleh Ernest Witt pada tahun 1930
dalam pembahasan mengenai sistem Steiner
diperoleh bahwa grup Mathieu terbesar
. Dari penelitian ini
merupakan automorfisme grup dari
sistem Steiner tersebut.
Berdasarkan survei mengenai grup sporadik yang ditulis oleh Luis J. Boya, bahwa
grup sporadik diklasifikasikan menjadi tiga level yaitu 5 grup Mathieu (level 1), 7
grup tipe Lie (level 2), dan 8 grup tipe Monster (level 3). Ketiga level grup
sporadik ini memiliki hubungan sebagai subkuosien dari Monster, sehingga
kumpulan grup ini disebut “The happy family” oleh Robert Griess, penemu grup
Monster. Selain grup “The happy family”, terdapat 6 grup sporadik yang tidak
memiliki hubungan subkuosien dengan Monster. Keenam grup ini disebut grup
Pariah.
Demi proses pembelajaran dan penelitian yang maksimal, penulis memilih topik
“Grup Mathieu
dan
” sebagai pengkajian awal tentang
grup sporadik dan klasifikasinya. Dalam penelitian ini akan diberikan bukti bahwa
kelompok grup Mathieu
dan
adalah grup sederhana.
3
1.2 Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah membuktikan bahwa
dan
adalah grup sederhana.
1.3 Manfaat
Manfaat dari penelitian ini adalah menambah pengetahuan mengenai grup
berhingga sederhana khususnya grup Mathieu.
1.4 Batasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah grup Mathieu
.
dan
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung
proses penelitian.
2.1 Teori Grup
Definisi 2.1.1 Operasi Biner
Suatu operasi biner pada suatu himpunan
ke . Untuk setiap
,
adalah fungsi yang memetakan dari
dinotasikan sebagai
di
(Fraleigh, 1999).
Contoh 2.1.2
Diberikan himpunan bilangan komposit
(himpunan bilangan bulat yang lebih
besar dari 1 dengan banyaknya faktor positif lebih dari 2), dilengkapi dengan
operasi pangkat
Himpunan
dengan untuk setiap
dan operasi
didefinisikan
.
merupakan contoh himpunan yang dilengkapi
dengan operasi biner.
Bukti.
Perhatikan bahwa setiap bilangan komposit
. Misal faktorisasi bilangan komposit
dan untuk setiap
dengan
, maka
5
adalah bilangan prima yang berbeda, sehingga
positif sebanyak
memiliki faktor
, maka dengan
,
memiliki faktor positif sebanyak
. Akibatnya
merupakan bilangan komposit. Jadi operasi
sehingga
tertutup dalam
,
merupakan operasi biner dalam .
Operasi biner yang diperlengkapi pada suatu himpunan akan menjamin
ketertutupan operasi elemen – elemen dalam himpunan tersebut. Lebih lanjut jika
memenuhi aksioma – aksioma berikut, maka akan membentuk suatu struktur
aljabar yang disebut grup.
Definisi 2.1.3 Grup
Suatu grup
adalah himpunan , tertutup atas operasi biner , sedemikian
sehingga memenuhi aksioma – aksioma :
1. Untuk semua
, berlaku
(sifat asosiatif operasi ).
2. Terdapat suatu elemen identitas
untuk semua
, berlaku
(identitas
3. Untuk setiap
sedemikian sehingga
atas operasi ).
, terdapat suatu elemen
.
di
sedemikian sehingga
6
Jika suatu himpunan
dan operasi binernya hanya memenuhi aksioma 1, maka
disebut semigrup. Suatu semigrup yang memenuhi aksioma 2 disebut monoid
(Fraleigh, 1999).
Contoh 2.1.4
Himpunan string
dengan panjang minimal 1 digit yang dibentuk dari {0,1},
dilengkapi dengan operasi biner
didefinisikan sebagai gabungan dua string
adalah contoh semigrup.
Bukti.
Untuk sebarang
{
}
dengan
dan
dan
,
, berlaku
dengan panjang string
tertutup operasi terpenuhi. Misalkan
dengan
, sehingga
, sehingga sifat
,
{
.
Jadi, sifat asosiatif terpenuhi. Akibatnya, himpunan
membentuk semigrup.
dengan operasi biner
}
7
Contoh 2.1.5
Himpunan kuasa
himpunan
dari himpunan , dilengkapi dengan operasi biner irisan
merupakan monoid. Elemen identitas dalam monoid ini adalah .
Bukti.
Diberikan sebarang
. Oleh karena itu,
. Akibatnya,
. Sehingga,
(sifat tertutup terpenuhi). Selanjutnya,
akan ditunjukkan sifat asosiatif, yaitu
.
Diberikan sebarang
dan
dan
dan
. Dengan cara yang serupa, diperoleh
sehingga
.
Akibatnya,
Pilih
(sifat asosiatif terpenuhi).
, oleh karena untuk setiap
dan
, berlaku
maka
.
Akibatnya,
merupakan elemen identitas di
himpunan kuasa
membentuk monoid.
dari himpunan
terhadap operasi . Jadi,
dengan operasi irisan himpunan
8
Contoh 2.1.6
Himpunan matriks berorde
dengan entri bilangan riil yang memiliki invers,
, yang dilengkapi dengan operasi biner
“perkalian matriks” adalah
grup.
Bukti.
Diberikan sebarang
sehingga
Oleh karena
, maka
invertibel. Dengan kata lain
. Jelas bahwa matriks
merupakan elemen identitas dalam
, terdapat invers dari
. Oleh karena untuk setiap
yaitu
, maka setiap elemen di
sedemikian sehingga
memiliki invers di
.
membentuk grup dengan operasi biner perkalian matriks.
Operasi biner dalam grup
untuk setiap
. Akibatnya,
(sifat tertutup terpenuhi). Sifat
asosiatif jelas terpenuhi sebab
Jadi,
.
memiliki kemungkinan bersifat komutatif, yaitu
berlaku
. Hal ini yang mendasari didefinisikannya
grup Abel sebagai berikut.
Definisi 2.1.7 Grup Abel (komutatif)
Suatu grup
dikatakan grup Abel (komutatif) jika dan hanya jika operasi biner
bersifat komutatif (Fraleigh, 1999).
9
Contoh 2.1.8
Himpunan
didefinisikan sebagai himpunan matriks diagonal berorde
yang invertibel dengan entri bilangan riil, yang dilengkapi dengan operasi
biner
“perkalian matriks” merupakan contoh grup Abel.
Bukti.
dengan
Diberikan sebarang
entri matriks
dan . Sehingga, untuk
Sementara itu, untuk
entri matriks
Sehingga, untuk
, diperoleh
, diperoleh
dengan
:
∑
berturut – turut adalah
dan
dan
dan
.
. Misalkan
.
jika
maka
tetapi
, sehingga
,
jika
maka
tetapi
, sehingga
,
jika
dan
Jadi, untuk
Untuk
maka
dapat disimpulkan
:
jika
dan
maka
jika
dan
maka
Jadi, untuk
dapat disimpulkan
Akibatnya,
Selanjutnya, karena
adalah
, sehingga
∑
.
.
dan
, sehingga
, sehingga
∑
,
.
.
(sifat tertutup terpenuhi).
, maka sifat asosiatif terpenuhi.
10
Jelas bahwa matriks
.
merupakan elemen identitas dalam
memiliki
Berikutnya akan ditunjukkan bahwa setiap elemen di dalam
sedemikian sehingga
, terdapat
invers. Untuk setiap
, dengan entri matriks
adalah
adalah grup.
ditunjukkan bahwa
Selanjutnya akan ditunjukkan sifat komutatif dalam
dengan
untuk
. Jadi, telah
. Misal
∑
sifat komutatif pada
∑
entri matriks
dan
entri matriks
dan
. Sehingga,
. Jadi,
. Diberikan sebarang
entri matriks ,
dan
entri matriks
, dengan
. Akibatnya berlaku
dengan operasi biner perkalian
matriks merupakan grup Abel.
Definisi 2.1.9 Grup Abel Dasar
Grup Abel dasar adalah grup Abel berhingga dengan setiap elemen tak nol
memiliki orde prima
(Dummit, 2004).
Contoh 2.1.10
Diberikan
{
modulo 2, maka
} dengan operasi biner * penjumlahan
adalah grup Abel dasar.
Himpunan bagian dari suatu grup
belum tentu memenuhi keempat aksioma –
aksioma grup. Jika himpunan bagian tersebut memenuhinya maka disebut subgrup
dari grup .
11
Definisi 2.1.11 Subgrup
Jika suatu himpunan bagian
dari grup
tertutup atas operasi biner dari
adalah grup dengan operasi biner tersebut, maka
dinotasikan dengan
atau
adalah subgrup dari
dan
yang
(Fraleigh, 1999).
Contoh 2.1.12
Diketahui
{
} merupakan grup dengan operasi biner
penjumlahan modulo 6. Misalkan
operasi biner yang sama
,
{
}. Jelas bahwa
. Dengan
akan membentuk grup sehingga
.
Dalam teori himpunan telah dikenal istilah himpunan bagian sejati dan himpunan
bagian trivial. Oleh karena grup dibentuk dari suatu himpunan, maka dapat
didefinisikan subgrup sejati dan subgrup trivial sebagai berikut.
Definisi 2.1.13 Subgrup Sejati dan Trivial
Jika
adalah grup, maka
subgrup yang lainnya dari
subgrup sejati dari
sendiri adalah subgrup tak sejati dari . Semua
disebut subgrup sejati. Dengan kata lain,
jika dan hanya jika
Subgrup { } disebut subgrup trivial dari
tetapi
dengan
adalah
, dinotasikan
.
elemen identitas di . Semua
subgrup selain { } disebut subgrup nontrivial (Fraleigh, 1999).
12
Contoh 2.1.14
{
Misal
}. Dengan operasi
adalah subgrup dari
atau
{
adalah grup, dengan
Diberikan
,
. Karena
}.
akan membentuk grup. Sehingga
, maka
adalah subgrup sejati dari
.
Dalam suatu grup, terdapat subgrup khusus seperti subgrup normal, karena
memiliki kriteria tertentu seperti pada definisi berikut.
Definisi 2.1.15 Subgrup Normal
Diberikan
subgrup dari grup ,
untuk setiap
dikatakan subgrup normal jika dan hanya jika
, dinotasikan
(Dummit, 2004).
Contoh 2.1.16
Diberikan grup simetri
dari
. Sehingga,
. Jelas bahwa
{
, (1 3 2)} adalah subgrup
adalah subgrup normal dari
atau
.
Definisi 2.1.17 Normalizer
Diberikan
dari
suatu grup dan
dalam grup
himpunan bagian dari ,
disebut normalizer
{
jika dan hanya jika
(Dummit,2004).
}
Contoh 2.1.18
Diberikan grup simetri
himpunan bagian dari
. Jelas bahwa
. Sehingga,
{
} adalah
{
}.
13
Definisi 2.1.19 Centralizer
Diberikan
himpunan semua elemen
{
Jadi,
}.
himpunan semua elemen
, dinotasikan
dalam grup
yang komutatif dengan , dinotasikan
subgrup dari , centralizer dari subgrup
Diberikan
himpunan
, centralizer dari elemen
suatu grup dan
dalam grup
adalah
.
adalah
yang komutatif dengan semua elemen dalam
{
. Jadi,
(Dummit,2004).
}
Contoh 2.1.20
Diberikan
suatu grup yang terdiri dari himpunan fungsi bernilai riil yang
berbentuk
, dengan operasi biner komposisi fungsi. Misal
{
}, dengan adalah fungsi identitas dan
, maka
fungsi invers dari
.
Definisi 2.1.21 Center
Diberikan
suatu grup, center dari grup
adalah himpunan semua elemen
yang komutatif dengan semua elemen , dinotasikan
{
Jadi,
centralizer elemen grup
.
}. Ekuivalen dengan irisan dari semua
(Dummit,2004).
Contoh 2.1.22
Jika
setiap
suatu grup yang terdiri dari himpunan fungsi bijektif bernilai riil, maka
{ }, dengan adalah fungsi identitas sedemikian sehingga
.
untuk
14
Grup Mathieu merupakan grup berhingga. Dalam ruang lingkupnya, dibutuhkan
Teorema Lagrange sebagai berikut.
Teorema 2.1.23 Teorema Lagrange
Jika
suatu subgrup dari grup berhingga , maka orde dari
orde dari
habis membagi
(Fraleigh,1999).
Definisi 2.1.24 Subgrup Maksimal
Diberikan
suatu grup.
subgrup sejati dari
jika dan hanya jika tidak ada subgrup
dikatakan subgrup maksimal dari
yang memuat
.
Definisi 2.1.25 Grup Siklik dan Subgrup Siklik
Jika
adalah suatu grup dan
{
}
disebut subgrup siklik dari
Suatu grup
, dapat dituliskan
yang dibangun oleh .
disebut siklik jika terdapat
dalam hal ini elemen
sedemikian sehingga
disebut elemen pembangun
,
(Rotman, 2002).
Contoh 2.1.26
merupakan grup siklik dengan elemen pembangunnya adalah 1 dan -1.
Tujuan penelitian ini untuk menunjukkan beberapa grup Mathieu adalah grup
sederhana, maka perlu adanya definisi tentang grup sederhana sebagai berikut.
15
Definisi 2.1.27 Grup Sederhana
Grup sederhana adalah grup yang subgrup normalnya hanya subgrup trivial dan
dirinya sendiri (Dummit,2004).
Contoh 2.1.28
Grup siklik
merupakan grup sederhana, sebab tidak memiliki subgrup normal
sejati selain subgrup trivial.
2.2 Grup Permutasi
Contoh lain grup yaitu grup permutasi. Grup ini erat kaitannya dengan grup
Mathieu, sebab grup Mathieu merupakan subgrup dari grup permutasi. Akan
didefinisikan dahulu permutasi dari suatu himpunan.
Definisi 2.2.1 Permutasi
Suatu permutasi dari himpunan
adalah suatu fungsi bijektif dari
ke dirinya
sendiri (Rotman, 2002).
Contoh 2.2.2
Diketahui
{
}, {
{
}, {
}. Semua permutasi dari
}, {
}, {
antara lain :
}, dan {
}
Misalkan terdapat himpunan semua permutasi dari suatu himpunan. Oleh karena
permutasi merupakan fungsi bijektif, maka dua permutasi dapat dikomposisikan
menjadi suatu fungsi bijektif. Sehingga, komposisi fungsi merupakan operasi
biner pada himpunan semua permutasi dari suatu himpunan. Karena operasi
komposisi fungsi bersifat asosiatif, himpunan permutasi ini akan membentuk
16
semigrup. Pada himpunan permutasi ini terdapat permutasi identitas yaitu fungsi
identitas yang memetakan suatu elemen
ke dirinya sendiri. Akibatnya,
terdapat elemen identitas pada semigrup sebelumnya. Dengan kata lain, himpunan
permutasi tersebut akan membentuk monoid. Oleh karena fungsi bijektif selalu
mempunyai invers, yang tentunya merupakan fungsi bijektif, maka terdapat
permutasi invers dalam himpunan permutasi tersebut. Dapat disimpulkan bahwa
himpunan semua permutasi dari suatu himpunan akan membentuk grup yang
didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.2.3 Grup Simetri
Himpunan dari semua permutasi dari himpunan , dinotasikan sebagai
disebut grup simetri pada . Jika
dan disebut grup simetri pada
{
} maka
,
dinotasikan dengan
objek (Rotman, 2002).
Setelah mengetahui definisi grup permutasi, selanjutnya akan didefinisikan
tentang stabilizer.
Definisi 2.2.4 Stabilizer
Diberikan
suatu grup permutasi pada himpunan
Stabilizer dari
dan
adalah himpunan semua permutasi dalam
titik tetap , dinotasikan
{
adalah elemen .
yang menghasilkan
} (Dummit,2004).
17
Contoh 2.2.5
Diberikan grup
{
dan titik tetap
}
{
.
}.
Diberikan suatu himpunan tak kosong . Sehingga, dapat dibentuk grup
simetri
. Misalkan
subgrup dari
dinotasikan sebagai
dengan
dan
. Sehingga, orbit pada grup
yang
, merupakan himpunan relasi ekuivalensi pada
, untuk setiap
jika dan hanya jika
. Stabilizer titik pada grup
untuk suatu
merupakan himpunan semua
yang menetapkan titik . Sehingga, dapat dirumuskan Teorema OrbitStabilizer sebagai berikut.
Teorema 2.2.6 Orbit-Stabilizer
Diberikan
subgrup dari grup simetri
, maka untuk setiap
berlaku
(Mulholland, 2011).
Dari suatu grup dan suatu himpunan tak kosong, dapat dibentuk suatu fungsi yang
menghubungkan keduanya. Dengan kata lain, grup tersebut beraksi pada
himpunan. Sehingga, dapat didefinisikan grup aksi sebagai berikut.
18
2.3 Teori Grup Aksi
Definisi 2.3.1 Grup Aksi
Diberikan
suatu himpunan dan
pemetaan
suatu grup. Suatu aksi dari
pada
adalah
sedemikian sehingga
1.
; dan
2.
, untuk setiap
Dengan kondisi ini,
dan
.
disebut -set (Fraleigh, 1999).
Contoh 2.3.2
Diberikan
adalah grup simetri orde
dan himpunan , maka
beraksi pada
dengan fungsi permutasi.
Dalam grup aksi dikenal istilah kernel sebagai berikut.
Definisi 2.3.3 Kernel Grup Aksi
Diberikan
suatu grup beraksi pada himpunan tak kosong . Kernel dari aksi ini
didefinisikan sebagai {
} (Dummit,2004).
Definisi 2.3.4 Aksi faithful
Suatu aksi dari suatu grup disebut faithful jika kernelnya adalah elemen identitas
(Dummit, 2004).
Contoh 2.3.5
Diberikan
adalah grup simetri orde
Jika kardinalitas
beraksi pada himpunan tak kosong .
adalah , maka aksi tersebut adalah aksi faithful.
19
Definisi 2.3.6 Aksi Transitif
Diberikan
grup beraksi pada himpunan tak kosong . Aksi grup
disebut transitif jika untuk setiap
sehingga
, maka terdapat
pada
sedemikian
(Dummit, 2004).
Definisi 2.3.7 -admisibel
Diberikan
adalah grup aksi transitif dan misalkan
ekuivalensi pada .
adalah relasi
adalah -admisibel jika dan hanya jika untuk setiap
berakibat
untuk setiap
(Biggs,1979).
Definisi 2.3.8 Relasi Δ
Relasi Δ adalah relasi ekuivalensi dengan
jika dan hanya jika
(Biggs, 1979).
Definisi 2.3.9 Grup Reguler
Suatu grup aksi disebut regular jika dan hanya jika stabilizer pada suatu titik
adalah subgrup trivial (Dummit, 2004).
Definisi 2.3.10 Grup Primitif
Suatu grup aksi transitif disebut grup primitif jika dan hanya jika stabilizer pada
suatu titik adalah subgrup maksimal (Dummit, 2004).
20
2.4 Grup Sylow
Definisi 2.4.1 -grup dan -subgrup
Suatu grup
adalah -grup jika setiap elemen di
pangkat dari . Suatu subgrup dari grup
mempunyai orde sebesar
adalah -subgrup dari
jika subgrup
tersebut merupakan -grup (Fraleigh,1999).
Contoh 2.4.2
,
Diberikan grup
tak nol dari
{
memiliki orde prima
}. Jelas bahwa
, maka
. Karena setiap elemen
adalah -subgrup dari
.
adalah -grup.
Dengan demikian,
Definisi 2.4.3 Sylow -subgrup
Suatu Sylow -subgrup
dari grup
adalah -subgrup maksimal dari , yaitu -
subgrup yang tidak termuat dalam -subgrup yang lebih besar (Fraleigh,1999).
Teorema 2.4.4
Diberikan
dan
adalah Sylow -subgrup dari grup berhingga , maka
adalah konjugat subgrup dari
dan
(Fraleigh, 1999).
2.5 Homomorfisme dan Isomorfisme
Dari dua grup dengan masing – masing operasi binernya, dapat dibentuk suatu
hubungan berbentuk fungsi yang sifatnya mempertahankan operasi dari grup yang
pertama pada grup yang kedua. Sehingga, dapat didefinisikan homomorfisme
sebagai berikut.
21
Definisi 2.5.1 Homomorfisme
Suatu homomorfisme dari grup
ke grup
sedemikian sehingga
adalah pemetaan
dari
untuk semua
ke ,
(Grillet,2000).
Contoh 2.5.2
Diberikan
grup bilangan riil dengan operasi penjumlahan biasa dan
grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa. Didefinisikan fungsi
dengan
, untuk setiap
berlaku
Oleh karena itu,
. Sehingga, untuk setiap
.
merupakan homomorfisme.
Definisi 2.5.3 Monomorfisme dan Epimorfisme
Monomorfisme adalah suatu homomorfisme yang bersifat injektif. Epimorfisme
adalah suatu homomorfisme yang bersifat surjektif (Grillet,2000).
Contoh 2.5.4
Diberikan
grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa dan
grup bilangan riil dengan operasi penjumlahan biasa. Didefinisikan
fungsi
dengan
Karena
untuk setiap
, untuk setiap
homomorfisme. Jelas bahwa jika
Oleh karena itu,
adalah suatu monomorfisme.
.
, maka
,
merupakan
bersifat injektif.
22
Contoh 2.5.5
Diberikan
grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa dan
grup bilangan bulat modulo
Diberikan fungsi
dengan operasi penjumlahan modulo .
dengan
Misal sebarang
, untuk setiap
dengan
dan
.
, sehingga
.
Sehingga
merupakan homomorfisme. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa
bersifat surjektif. Untuk setiap
sehingga
dengan
maka terdapat
. Oleh karena itu,
sedemikian
adalah suatu epimorfisme.
Definisi 2.5.6 Isomorfisme dan Isomorfik
Suatu isomorfisme grup adalah suatu homomorfisme grup yang bersifat bijektif.
Dua grup
dan
adalah isomorfik jika terdapat isomorfisme dari
hubungan ini dinotasikan
pada ,
(Grillet,2000).
Contoh 2.5.7
Diberikan
grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa dan
grup bilangan riil positif dengan operasi perkalian biasa. Didefinisikan
fungsi
dengan
, untuk setiap
.
23
Misal sebarang
diperoleh
sehingga
,
adalah suatu homomorfisme. Selanjutnya, akan ditunjukkan
bersifat injektif.
Diberikan sebarang
dengan
Sehingga, terbukti bahwa
bersifat injektif.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa
Untuk setiap
maka terdapat
. Akibatnya,
, maka
bersifat surjektif.
atau
sedemikian sehingga
bersifat surjektif. Oleh karena itu,
merupakan
isomorfisme.
Definisi 2.5.8 Endomorfisme dan Automorfisme
Suatu endomorfisme dari grup
automorfisme dari grup
adalah suatu homomorfisme dari
adalah suatu isomorfisme dari
ke
ke . Suatu
(Grillet,2000).
Contoh 2.5.9
Diberikan
dengan
suatu grup dengan elemen identitas . Didefinisikan fungsi
, untuk setiap
. Misal sebarang
. Oleh karena itu,
maka
adalah suatu endomorfisme.
24
Contoh 2.5.10
Diberikan
suatu grup dan
adalah fungsi konjugasi dalam , yaitu
untuk suatu elemen tetap
dengan
dan untuk setiap
fungsi
didefinisikan
.
Untuk setiap
, berlaku
.
Sehingga,
adalah homomorfisme.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa
dengan
bersifat injektif. Diberikan sebarang
, sehingga,
(dioperasikan
dari kanan, dan
dari kiri)
.
Oleh karena itu, terbukti bahwa
bersifat injektif.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa
bersifat surjektif. Untuk setiap
diperoleh
. Sehingga, terbukti bahwa
surjektif. Jadi, telah dibuktikan bahwa
merupakan automorfisme.
Dalam mengkonstruksi Mathieu
dan
bersifat
, yang merupakan
subgrup dari grup simetri dengan aturan yang disebut sistem Steiner sebagai
berikut.
25
2.6 Sistem Steiner dan Grup Mathieu
Definisi 2.6.1 Sistem Steiner
Suatu
sistem Steiner
terdiri dari himpunan berhingga
merupakan koleksi himpunan bagian dari
1.
dan
yang memenuhi :
,
2. setiap
memiliki elemen sebanyak .
3. sebarang
dalam
yang memiliki elemen sebanyak , termuat tepat satu
.
Elemen dari sistem Steiner disebut blok. Elemen dari himpunan berhingga
disebut titik (Nickerson,2002).
Contoh 2.6.2
Elemen – elemen dari sistem Steiner
adalah {1,2,3}, {1,4,5}, {1,6,7},
{2,4,6}, {2,5,7}, {3,4,7}, dan {3,5,6}.
Definisi 2.6.3
Grup Mathieu
{
dan
dan
didefinisikan sebagai berikut.
untuk setiap
{
untuk setiap
{
untuk setiap
{
{
untuk setiap
untuk setiap
Banyaknya elemen grup sebagai berikut :
}.
}.
}.
}.
}.
26
(Rubinstein, 2011).
Misalkan suatu himpunan matriks
dengan entri –
berukuran
entrinya elemen dari suatu lapangan berorde . Himpunan bagian dari
yang semua elemennya memiliki determinan 1 disimbolkan sebagai
.
Himpunan ini merupakan grup atas operasi perkalian matriks. Center dari grup ini
yang dinotasikan sebagai
merupakan grup atas operasi perkalian
matriks. Sehingga, dapat didefinisikan
Definisi 2.6.4
Diberikan
sebagai berikut.
atau
adalah ruang vektor berdimensi
atas lapangan
didefinisikan sebagai
berorde .
) (Biggs, 1979).
Definisi 2.6.5
Diberikan
adalah ruang vektor berdimensi
Misalkan relasi ekuivalensi
untuk suatu
pada
atas lapangan
{ }, dengan
{ }, untuk setiap
berorde .
jika dan hanya jika
{ }.
didefinisikan sebagai himpunan kelas – kelas ekuivalensi dari
(Biggs, 1979).
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2013/2014 yang
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi literatur
yakni dengan mempelajari buku dan jurnal tentang grup khususnya grup
Mathieu.
Dalam penelitian ini dibutuhkan beberapa teorema yang harus dibuktikan,
antara lain sebagai berikut.
Teorema 3.1
Diberikan
suatu grup yang beraksi faithfully dan -transitif (k ≥ 2) pada
suatu himpunan
dengan
. Misalkan
stabilizer dari suatu elemen
tunggal adalah suatu grup sederhana maka satu dari kemungkinan di bawah
ini akan terpenuhi :
1.
adalah grup sederhana
2.
dan
adalah suatu pangkat dari bilangan prima
3.
dan
adalah suatu pangkat dari 2
28
4.
,
bukan suatu pangkat dari 2 dan
isomorfik dengan
Teorema 3.2
Diberikan
suatu prima, dan diberikan
Diberikan
suatu subgrup transitif dari
adalah banyaknya Sylow p-subgrup dan
.
adalah indeks dari
Sylow -subgrup dalam normalizer-nya.
Sehingga :
1.
memiliki Sylow -subgrup siklik
2.
3.
adalah residu positif terkecil dari
4. Jika
maka
Setelah membuktikan Teorema 3.2 maka akan dibuktikan bahwa
dan
adalah grup sederhana.
Tahapan – tahapan pembuktian dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Membuktikan Teorema 3.1.
2. Menggunakan Teorema 3.1 untuk membuktikan grup M22, M23 dan M24
adalah grup sederhana karena masing – masing memiliki stabilizer satu
titik yang merupakan grup sederhana.
3. Membuktikan Teorema 3.2.
4. Menggunakan Teorema 3.2 untuk membuktikan grup M11 adalah grup
sederhana.
5. Menggunakan Teorema 3.1 untuk membuktikan M12 adalah grup
sederhana karena memiliki stabilizer satu titik yang merupakan grup
sederhana.
V. SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa grup Mathieu
dan
merupakan grup sederhana. Kelima grup ini
merupakan subgrup dari grup simetri berhingga. Sehingga, kelima grup ini adalah
grup berhingga. Lebih jauh lagi, bahwa grup berhingga yang sekaligus merupakan
grup sederhana disebut dengan grup sporadik. Kelima grup Mathieu ini adalah
grup sporadik terkecil dari 26 grup sporadik yang telah ditemukan.
5.2 Saran
Pada penelitian ini hanya membahas grup Mathieu
dan
yang telah terbukti merupakan grup sederhana. Pada penelitian selanjutnya,
disarankan untuk membahas grup Mathieu lain atau ekstensi grup Mathieu yang
juga merupakan anggota dari grup berhingga sederhana atau grup sporadik.
DAFTAR PUSTAKA
Biggs, N.L. 1979. Permutation Groups and Combinatorial Structures.Cambridge
University, London. 140 hlm.
Boya, Luis J. 2011. Introduction to Sporadic Groups.SIGMA.2011.009. 18 hlm.
Dummit, David S. 2004. Abstract Algebra.John Wiley and Sons Inc.United States.
932 hlm.
Fraleigh, J.B. 1999. Abstract Algebra. Addison Wesley Longman Inc. North
America. 533 hlm.
Grillet, Piere. 2000. Abstract Algebra. Springer. New Orleands. 669 hlm.
Mulholland, Jamie. 2011. Symetry and Counting I : The Orbit-Stabilizer
Theorem. Spring 2011.Math 302. 12 hlm.
Nickerson, Simon. 2002. Sporadic Simple Groups. 42 hlm.
Rotman, Joseph. 2002. The Theory of Groups. Prentice Hall. New Jersey.
342 hlm.
Rubinstein, Simon. 2011. Mathieu Groups. Stanford CA 94305. 7 hlm.