43
KUNCI JAWABAN LATIHAN SOAL
BAB 1 Aturan Perkalian Multiplication Rule
1. Karakter dalam password tersebut boleh berupa huruf atau angka, jadi banyaknya karakter tersebut ada 36 karakter dimana ada 26 karakter berupa
huruf dan 10 karakter berupa angka. Kemungkinan password yang panjangnya 6 karakter ada :
36 x 36 x 36 x 36 x 36 x 36=36
6
= 2.176 .782.336
Kemungkinan password yang panjangnya 7 karakter ada : 36 x 36 x 36 x 36 x 36 x 36 x 36=36
7
= 78.364 .164 .09 6
Kemungkinan password yang panjangnya 8 karakter ada :
36 x 36 x 36 x 36 x 36 x 36 x 36 x 36=36
8
= 2.821.109 .907 .456
Jadi kemungkinan password yang dapat di buat sebanyak : 2.176 .782.336+78.364 .164 .096+2.821.109 .907 .456=2.901.650 .833 .888
2. Bit biner hanya 0 dan 1, berarti hanya ada 2 string biner untuk setiap bit. a. Jika panjang string 5 bit, maka banyak string biner yang mungkin dapat
dibentuk adalah sebanyak 2 x 2 x 2 x 2 x 2=2
5
= 32
b. Jika panjang string 8 bit, maka banyak string biner yang mungkin dibentuk adalah sebanyak
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2=2
8
= 256
Aturan Penambahan Addition Rule
1. Ada 10 cara untuk mengambil 1 buku matematika a. Ada 25 cara untuk mengambil 1 buku statistik
b. Ada 5 cara untuk mengambil 1 buku social c. Jadi banyaknya cara yang mungkin untuk mengambil 1 buah buku adalah
sebanyak 10+ 25 + 5 = 40 cara. 2. Ada 4 cara untuk memilih seorang pria
a. Ada 3 cara untuk memilih seorang wanita b. Jadi banyaknya cara untuk memilih 1 orang yang mewakili kelompok
tersebut adalah sebanyak 4 + 3 = 7 cara
Permutasi
1. Pasangan calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut adalah
43
6
P
2
= 6
6−2 =
6 4
= 6 × 5 ×4
4 = 30 cara
2. Banyak bilangan yang mungkin jika angka-angka dalam bilangan tersebut tidak ada yang sama adalah P 7 , 5 =
7 7−5
= 7
2 =
7 × 6 ×5 × 4 ×3 ×2 2
= 2520 cara
Permutasi Siklik Biasa
1. P=n−1
P= 7−1
P=6
P=6 × 5× 4 × 3 ×2 ×1
P=720 cara 2.
P= n−1
P=5−1
P=4
P=4 ×3 ×2 ×1
P=24
cara 3.
P= 4−1
P= 4−1
P=3
P=3 ×2 ×1
P=6 permutasi siklik 4.
P= n−1
P=8−1
P=7
P=7 × 6 ×5 × 4 ×3 ×2 ×1
P=5040
cara 5.
P=n−1
P= 6−1
P=5
P=5 × 4 ×3 × 2× 1
P=120 cara
43
Permutasi Siklik PS
1. Cara keempat siswa dapat duduk melingkar dengan urutan yang sama ? n
2 k n−k =
5 2 5 5−5
= 5× 4 × 3 ×2 ×1
10 =
12 cara 2. Arah
tempat duduk
tidak dibedakan
n 2 k n−k
= 8
2 4 8−4 =
8 ×7 ×6 × 5× 4 8 × 4
= 210 cara
3. Banyaknya gelang
yang terbentuk
adalah n
2 k n−k =
20 2 10 20−10
= 20
20 ×10 4. Berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur jika arah putaran tidak
dibedakan . n
2 k n−k =
10 2 5 10−5
= 10
10× 5 =
10× 9 ×8 ×7 × 6 ×5 10 ×5
= 3024
cara 5. Kemungkinan gelang yang dapat dibuat
n 2 k n−k
= 30
2 2530−25 =
30 50 ×5
Kombinasi Biasa
1. r = 5 , n = 8 maka kombinasi 5 dari 8 huruf ABCDEFGH adalah : C
5 8
= 8
5 8−5 =
8 5 3
= 8 .7 . 6 . 5
53 =
8. 7 . 6 3 .2 . 1
= 56
2. Banyaknya cara yang dapat diambil oleh pelatih untuk memilih pemain C
11 16
= 16
1116−11 =
16 115
= 16 .15 . 14 . 13. 12 .11
115 =
16 . 15 .14 .13 . 12 5 . 4 . 3 . 2. 1
= 4368
3. Banyaknya pilihan yang diambil murid adalah C
4 5
= 5
4 5−4 =
5 4 1
= 5 . 4
4 1 =
5 cara 4. Banyaknya jabat tangan yang terjadi.
C
2 10
= 10
2 10−2 =
10 2 8
= 10. 9 . 8
2 8 =
10 . 9 2 . 1
= 45 jabat tangan
5. Banyaknya cara menyeleksi karyawan C
5 9
×C
3 6
= 9
5 9−5 ×
6 3 6−3
= 9
5 4 ×
6 33
43
9 .8 . 7 . 6 4 . 3 . 2. 1
× 6 . 5 . 4
3 .2 . 1 =
126 × 20=2520 6. Bola-bola yang terambil tersebut terdapat :
a. Merah : C
2 5
= 5
2 3 =
10 Putih : C
4 10
= 10
4 6 =
210 Jadi, 10 x 210=2100 cara
b. Untuk memperoleh paling banyak 2 bola merah dari 6 bola yang diambil dari kotak terdapat tiga kemungkinan, yaitu :
2 bola merah dan 4 bola putih
1 bola merah dan 5 bola putih
Atau 6 bola putih
Untuk 2 bola merah dan 4 bola putih = C
2 5
×C
4 10
= 2100
Untuk 1 bola merah dan 5 bola putih =
C
1 5
×C
5 10
= 1260
Untuk 6 bola putih = C
6 10
= 210 Jadi, banyak cara adalah
2100+1260+210=3570
7. Berapa cara pengambilan, jika kelereng yang diambil adalah: a. 2 kelereng berwarna putih = C
2 6
= 6
2 4 =
¿ 15
1 kelereng berwarna merah = C
1 4
= 4
13 =
4 Jadi, banyak cara pengambilan adalah
15 ×4=60
cara b.
C
3 10
= 10
3 7 =
¿ 120 cara
8. Banyak salaman yang akan terjadi ? C
2 15
= 15
2 15−2 =
15 2 13
= 15 . 14
2. 1 =
105 9. Terdapat 5 mawar merah , 10 mawar putih ditoko bunga. Dipilih 4 mawar secara
acak dari toko. Berapa banyak kemungkinan dari : 5 mawar merah + 10 mawar putih = 15
C
4 15
= 15
4 11 =
1365
a. C
2 5
× C
2 10
C
4 15
= 5
2 3 ×
10 2 8
1365 =
10× 45 1365
= 450
1365 =
30 91
43
b. Ada dua kemungkinan yaitu :
C
1 5
×C
3 10
= 5
1 4 ×
10 3 7
1365 =
5 ×120 1365
= 600
1365
C
5
×C
4 10
=
Jadi ,banyak kemungkinandari paling sedikit 3 mawar putih adalah 600
1365 10. Cara penjahit dapat memilih benang-benang yang di inginkannya :
Banyak cara memilih benang hitam : C
3 6
= 6
3 3 =
20 Banyak cara memilih benang biru : C
2 4
= 4
22 =
6 Jadi, penjahit tersebut memiliki pilihan sebanyak
¿ 20 x 6=120
cara
Kisi-Kisi atau Lintasan
1.
RUMUS ; 2n
n n =
1− n
n+1
AF
2.2 2 2
= 1−
2 2+1
4 2 2
= 1−
2 3
6 . 1
3 =
6 3
= 2
FB
2.2 2 2
= 1−
2 2+1
4 2 2
= 1−
2 3
6 . 1
3 =
6 3
= 2
AF.BF = 2.2 = 4
2.
RUMUS ; 2n
n n =
1− n
n+1
AC
2.1 1 1
= 1−
1 1+1
2. 1
2 =
1
43
RUMUS ; 2n
n n =
1− n
n+1
CB
⟹ 2.3
3 3 =
1− 3
3+1
⟹ 6.5 .4 .3
33 .
1 4
= 5
AC. BC = 1.5 = 5
Koefisien Multinomial
1. 4
2 12 =
4 21 2
= 6
2.
x
1 2
x
2
x
3 3
x
4
adalah 6
2 13 1 2
2
− 3
3
=− 6480
3. 6
2 3 21 11 =
6 23 2 1 11
= 30
4. Terdapat C14:6 cara memilih snack dari 14 macam snack untuk ditempatkan dalam kantong pertama, dan terdapat C14-6:8 cara memilih 8 snack dari 14-6 = 8
snack yang tersisa. Jadi banyaknya cara yang dimaksud adalah C14:6
×
C14-6:8 = 14
6 8 ×
8 8 0
= 14
6 8 =
3003 cara 5. Banyak bilangan yang dimaksud adalah
6 2 22
= 6
2 22 =
90
Prinsip Sarang Merpati
1. Jika setiap warna dianggap sebagai sarang merpati, maka n = 3. Karena itu, jika orang mengambil paling sedikit n + 1 = 4 bola merpati, maka dapat dipastikan
sepasang bola yang berwarna sama ikut terambil. Jika hanya diambil 3 buah, maka ada kemungkinan ketiga bola itu berbeda warna satu sama lain. Jadi 4 buah bola
adalah jumlah minimum yang harus diambil dari dalam kotak untuk menjamin terambil sepasang bola yang berwarna sama.
2. Jumlah kemenangan setiap tim paling sedikit 1 kali dan paling banyak n-1 kali. Angka n-1 berkorespondensi dengan n-1 buah sarang merpati untuk menampung n
ekor merpati tim basket. Jadi, paling sedikit ada 2 tim basket yang mempunyai jumlah kemenangan sama.
43
3. a Kemungkinan terburuk yaitu saat mengambil 6 kaos kaki yang semuanya berbeda warna hitam, putih, biru, merah, hijau, dan kuning. Oleh karena itu,
kaos kaki minimal yang harus diambil agar setidaknya terdapat 2 kaos kaki dengan warna sama adalah 7 buah.
b Kemungkinan terburuk yaitu saat mengambil 20 kaos kaki yang semuanya berwarna biru. Oleh karena itu, kaos kaki minimal yang harus diambil agar
setidaknya terdapat 2 kaos kaki dengan warna berbeda adalah 21 buah. 4. Perhatikan bahwa setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai 2
m
× n dengan m ≥ 0 dan n ganjil missal, 7 = 2
× 7 ; 8 = 2
3
× 1 ; 12 = 2
2
× 3. Karena bilangan bulat yang diberikan dari 1 sampai dengan 100, maka n adalah salah satu
dari 50 bilanganganjil 1,3,5,….,99. Sehingga diantara 51 bilangan yang diambil, terdapat dua bilangan dengan n yang sama. Misalkan kedua bilangan tersebut, 2
k
× n dan 2
h
× n. Jika k ≤ h, maka 2
k
× n pembagi 2
h
× n. Jika k h, maka 2
h
× n pembagi 2
k
× n. 5. Jawabannya adalah iya. Kita partisi himpunan A menjadi 4 himpunan yang saling
lepas, yaitu {1, 8}, {2, 7}, {3, 6}, dan {4, 5}. Perhatikan bahwa setiap bilangan bulat di A muncul tepat satu kali di empat himpunan bagian tersebut dan jumlah
bilangan bulat pada masing-masing himpunan bagian tersebut adalah 9. Sehingga, jika 5 bilangan bulat diambil dari himpunan A maka, dengan menggunakan prinsip
sangkar burung, dua diantaranya berasal dari himpunan bagian yang sama. Hal tersebut akan menyebabkan jumlah dua bilangan bulat tersebut adalah 9.
6. Kita asumsikan mahasiswa tersebut sebagai anggota dari himpunan daerah asal X dan kelompoknya sebagai anggota daerah kawan Y .Karena |X| = 62, |Y | = 6 dan
⌈ 62
6 ⌉=⌈ 10,33 ⌉ = 11 pembulatan ke atas. Maka dengan menggunakan Prinsip
Generalized Pigeonhole, terdapat paling sedikit 11 anggota X yang dipasangkan dengan suatu anggota Y yang sama. Dengan demikian terdapat paling sedikit ada
11 mahasiswa yang menjadi anggota suatu kelompok yang sama. 7. N = 41, k = 20. ⌈
N k
⌉=⌈ 41
20 ⌉=⌈2,05⌉=3 pembulatan ke atas
Jadi terdapat paling sedikit 3 merpati yang menempati 1 sarang merpati.
43
8. N = 50, k = 12 bulan. ⌈ N
k ⌉=⌈
50 12
⌉=⌈ 4,167 ⌉=5 pembulatan ke atas
Jadi terdapat paling sedikit 5 orang mahasiswa yang lahir pada bulan yang sama.
BAB 2 SOAL LATIHAN 2.1
Kategori