Least Squares Predictions and Mean Varia

Least Squares Predictions and
Mean-Variance Analysis
By
Enrique Sentana
DISCUSSION PAPER 312
January 1999

_______________________________________________

FINANCIAL MARKETS GROUP
AN ESRC RESEARCH CENTRE
_______________________________________________

LONDON SCHOOL OF ECONOMICS

Any opinions expressed are those of the author and not necessarily those of the Financial Markets Group.
ISSN 0956-8549-312

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k u n d e r l y i n g f u n d s , s (r
), a n d t h e i r c o r r e l a t i o n m a t r i x , ¦
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¾ 2r )= (1 ¡ ½ 12)

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¡ ¾ 1r

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¡ (¾ 1r ¡

¾ 2r )= (1 ¡ ½ 12)

¡ 1 ¡ 1

¡ ¾ 1r

¡ ¾ 2r

¡ 1

(¾ 1r + ¾ 2r )= (1 + ½ 12)

¡ (¾ 1r + ¾ 2r )= (1 + ½ 12)

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v e ch (A
) =

+
+
+
0
0
D
v ec(A
),
a
n d
D
D
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r
e
D
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D
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,
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h
a
v
e
v e ch f
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0
0 ¡1 0
¡1
0
0
¡1
x
x
~
]g
= ¢
D
v ech (§ ¡1
~
x
~
§ x x ¾x r )~
4D
x x ¾x r ¾x r § x x )
x x x

0
0
w
h
e
r
e
¢
x
x
~
)v ech 0(~
x
x
~
)]. B
u
t
s
i
n c
e
4 = E [v ech (~

¢
4 = v ech (§

x x

)v ech 0(§

x x

+
+0
) + 2D
(§ x x § x x )D
+¨
4

(
s
e
e
e
.g
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r
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l
l
a
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(
1 9
8 9
)),
a
n d

=

£
¤
¡1
0
+
+0
0
D
v ech (§ x x )v ech 0(§ x x ) + 2D
(§ x x § x x )D
D
D
v ech (§ ¡1
x x ¾x r ¾x r § x x )
£
¤
+
+0 0
0
¡1
v ec(§ x x )v ec 0(§ x x ) + 2D
D
(§ x x § x x )D
D
v e c(§ ¡1
x x ¾x r ¾x r § x x )
1 9

=

[v ec(§

=

v ec(§

=

(¾0x

x x
x x

)v e c 0(§
)tr (§

x x

x x

§

) + 2(§
¡1
x x ¾x r

x x

¾0x r §

0
§ x x )] v e c(§ ¡1
x x ¾x r ¾x r §
¡1
x x )

+ 2v ec(§

x x

§

¡1
x x ¾x r

¡1
x x )

¾0x r §

¡1
x x §

x x

)

Cor ollar y 2
I
f x
i
s
m
u
l
t
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x x

+ ¾x r ¾0x r

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¯¯0
¤ ¡1 =
2
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e
…
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s
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p
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m
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1 ,
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.g
. A
r
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l
l
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n o
(
1 9
8 9
)).
H
o
w
e
v
e
r
,
n o

a
n d

1
0
2
· 1¾ 11 0 0
C
B
C
B
0
+
+0
¨
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= B
C
0
0 0
4 = ¢
4 ¡ v e ch (§ x x )v ech (§ x x ) ¡ 2D
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@
2
0
0 · 2¾ 22

t
h
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n ,
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h
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s
u
l
t
fo
l
l
o
w
s
o
n t

Figure 1a: Conditional MV frontier for agent a (x1=x2)
0,6
0,5
0,4
0,3

Mean

0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Standard deviation
Frontier

r|x1=x2=1

r|x1=x2=-1

Figure 1b: Conditional MV frontier for agent a (x1=-x2)
0,6
0,5
0,4
0,3

Mean

0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
0

0,1

0,2

0,3

0,4

Standard deviation

Frontier

r|x1=1;x2=-1

r|x1=-1;x2=1

0,5

0,6

Figure 1c: Conditional MV frontier for agent 1

0,6
0,5
0,4
0,3

Mean

0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,5

0,6

Standard deviation
Frontier

r|x1=1

r|x1=-1

Figure 1d: Conditional MV frontier for agent 2

0,6
0,5
0,4
0,3

Mean

0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
0

0,1

0,2

0,3

0,4

Standard deviation
Frontier

r|x2=1

r|x2=-1

Figure 2: Unconditional MV frontier for agent p

0,6

0,5

0,4

Mean

0,3

0,2

0,1

0

-0,1
0

0,2

0,4

0,6

0,8

Standard deviation

Combination line

Frontier

r1

r2

ra

rp