PROGRAM SIMULASI TAPIS ADAPTIF MENGGUNAKAN ALGORITMA LEAST MEAN SQUARE DAN RECURSIVE LEAST SQUARES TUGAS AKHIR - Program simulasi tapis adaptif menggunakan algoritma least mean square dan recursive least squares - USD Repository

  

PROGRAM SIMULASI TAPIS ADAPTIF

MENGGUNAKAN ALGORITMA LEAST MEAN SQUARE DAN

RECURSIVE LEAST SQUARES

TUGAS AKHIR

  Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Teknik

  Program Studi Teknik Elektro Disusun oleh:

  

ARSENIUS ANOM PERMADI

NIM: 035114047

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

  

2007

  

ADAPTIVE FILTER SIMULATION PROGRAM

USING LEAST MEAN SQUARE AND

RECURSIVE LEAST SQUARES ALGORITHM

FINAL PROJECT

  Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Teknik Degree

  In Electrical Engineering Study Program By:

  

ARSENIUS ANOM PERMADI

Student Number: 035114047

ELECTRICAL ENGINEERING STUDY PROGRAM

ELECTRICAL ENGINEERING DEPARTMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

  

2007

  HALAMAN PENGESAHAN

HALAMAN PERSEMBAHAN

  

Kupersembahkan karya tulis ini kepada:

Yesus Kristus Penuntun jalanku

Ayahanda dan Ibundaku tercinta

yang selalu memberikan doa & dukungan

Kedua saudaraku yang tercinta Danu dan Danan

  

Almamaterku Teknik Elektro USD

HALAMAN MOTTO

  

Lebih baik bertempur dan kalah daripada tidak pernah

bertempur sama sekali.

  

Matahari yang telah terbenam, esok masih bisa terbit lagi,

burung yang terbang jauh, masih bisa terbang kembali,

waktu yang telah berlalu, tidak akan pernah bisa kembali.

  

Kehilangan emas, hanya suatu kerugian yang kecil.

Kehilangan sahabat, adalah suatu kehilangan yang besar.

  

Kehilangan kepercayaan, adalah kehilangan segala –

galanya.

  

Tidaklah sulit bagi seseorang untuk berbuat kebaikan,

yang sulit adalah melakukan kebaikan seumur hidupnya.

  

Kejujuran adalah papan nama yang tidak pernah dapat

diturunkan.

   INTISARI

  Tugas akhir ini mendeskripsikan program simulasi untuk tapis adaptif menggunakan algoritma least mean square (LMS) dan recursive least squares (RLS). Program simulasi akan mensimulasikan tahap-tahap pendekatan sinyal masukan, dari perancangan sinyal tercampur, perancangan sinyal pengganggu acuan awal, perancangan tapis adaptif, dan pemilihan algoritma yang digunakan.

  Program simulasi ini menggunakan sinyal masukan berekstensi *.wav. Sinyal masukan hanya diolah satu sisi saja (mono). Sinyal tercampur merupakan hasil dari sinyal masukan yang dicampur dengan sinyal pengganggu. Sinyal pengganggu acuan awal diolah untuk mendekati sinyal tercampur. Hasil pendekatan sinyal masukan tergantung pada algoritma yang digunakan.

  Program simulasi tapis adaptif telah diamati dan diuji. Kinerja tapis adaptif diamati dari kesalahan pada sinyal keluaran serta perbedaan suara sinyal masukan dan keluaran. Program ini telah berhasil melakukan simulasi untuk proses noise cancellation dengan algoritma LMS dan RLS dengan baik.

  Kata kunci : tapis adaptif, least mean square, recursive least squares, noise

   cancellation

  

ABSTRACT

  This final project describes the simulation program for adaptive filter using least mean square (LMS) and recursive least squares (RLS) algorithm. Simulation program will simulate steps of input signal estimation from design of mixed signal, design of interference signal that will be used as reference signal, design of adaptive filter, and determine the algorithm.

  This simulation program use input signal with *.wav extension. The input signal will be processed for one side only (mono). The mixed signal is a product of input signal and interference signal. The interference signal that will be used as reference signal will be processed to estimate the mixed signal. The result of input signal estimation depends on which algorithm that is used.

  Simulation program for adaptive filter have been observed and tested. The performance of adaptive filter is observed from the error of output signal and the difference of output and input signal voice. This program have been performed the noise cancellation process using LMS and RLS algorithm successfully.

  Keyword : adaptive filter, least mean square, recursive least squares, noise cancellation

KATA PENGANTAR

  Puji syukur dan terima kasih penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala kasih karunia-Nya sehingga tugas akhir ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Dalam proses penulisan tugas akhir ini penulis menyadari bahwa ada begitu banyak pihak yang telah memberikan perhatian dan bantuan sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan. Maka dari itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada : 1. Juru selamat dan sumber inspirasiku, Yesus Kristus.

  2. Bapak Ir. Greg. Heliarko, SJ., B.ST., MA., M.Sc, selaku dekan fakultas teknologi dan sains.

  3. Bapak Damar Wijaya, S.T., M.T., selaku pembimbing I yang telah membimbing, mendukung, memberikan saran dan kesabaran bagi penulis dari awal hingga tugas akhir ini bisa selesai.

  4. Bapak Bayu Primawan, S.T., M.Eng. selaku pembimbing II yang telah bersedia meluangkan waktu serta memberikan bimbingan dan saran yang tentunya sangat berguna untuk tugas akhir ini.

  5. Bapak Martanto, S.T., M.T dan Ibu Ir. Th. Prima Ari Setiyani, MT, selaku penguji yang telah bersedia memberikan kritik dan saran.

  6. Seluruh dosen teknik elektro atas ilmu yang telah diberikan selama penulis menimba ilmu di Universitas Sanata Dharma.

  7. Ayahanda dan Ibundaku tercinta atas segala yang telah diberikan dan dikorbankan yang tak akan pernah dapat ternilai harganya.

  

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL........................................................................................... i

LEMBAR PENGESAHAN OLEH PEMBIMBING....................................... iii LEMBAR PENGESAHAN OLEH PENGUJI................................................. iv LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN KARYA.......................................... v HALAMAN PERSEMBAHAN......................................................................... vi HALAMAN MOTTO......................................................................................... vii

  INTISARI............................................................................................................ viii ABSTRACT......................................................................................................... ix KATA PENGANTAR......................................................................................... x

DAFTAR ISI........................................................................................................ xii

DAFTAR GAMBAR........................................................................................... xv

DAFTAR TABEL................................................................................................ xvii

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Judul ...................................................................................................

  1 1.2 Latar Belakang Masalah .....................................................................

  1

  1.3 Tujuan dan Manfaat ............................................................................ 2 1.4 Batasan Masalah .................................................................................

  3

  1.5 Metodologi Penelitian……………………………………………….. 3 1.6 Sistematika Penulisan .........................................................................

  4 BAB II DASAR TEORI 2.1 Tapis Adaptif ......................................................................................

  5

  2.1.1 Tapis Adaptif sebagai Sebuah Noise Canceller................. 5

  2.2 Tapis Wiener ...................................................................................... 9

  2.2.1 Batasan Tapis Wiener ……..........................…………….. 12

  2.3 Metode Steepest Descent..................................................................... 12

  2.4 Algoritma LMS Adaptif ..................................................................... 16

  2.4.1 Dasar – Dasar LMS ........................................................... 16

  2.4.2 Implementasi Algoritma LMS .......................................... 18

  2.4.3 Batasan Algoritma LMS .................................................... 20

  3.7 Perancangan Program Simulasi Tapis Adaptif Menggunakan Algoritma RLS .................................................................................. 35

  4.2.1 Perancangan Sinyal Masukan dengan Data ringout.wav..... 57

  4.2 Proses noise cancellation .................................................................... 57

  4.1.3 Halaman Perancangan Sinyal Pengganggu Acuan Awal dan Tapis Adaptif....................................................................... 51

  4.1.2 Halaman Perancangan Sinyal Masukan ............................. 45

  4.1.1 Halaman Pembuka Program................................................ 44

  4.1 Tampilan Program.............................................................................. 44

  BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

  3.8.3 Layout Program Langkah 2 ................................................. 40

  3.8.2 Layout Program Langkah 1 ................................................. 38

  3.8.1 Layout Program Tampilan Depan........................................ 37

  3.8 Perancangan Layout Program ........................................................... 37

  3.6 Perancangan Program Simulasi Tapis Adaptif Menggunakan Algoritma LMS .................................................................................. 34

  2.4.3.1 Efek Non-Stationarity........................................... 20

  3.5 Perancangan Program Simulasi Tapis FIR Transversal Structure..... 32

  3.4 Perancangan Sinyal Pengganggu Sebagai Acuan Awal .................... 31

  3.3 Perancangan Sinyal Masukan ............................................................ 29

  3.2 Perancangan Tampilan Depan ............................................................ 28

  3.1 Algoritma Perancangan Program ....................................................... 27

  BAB III PERANCANGAN PROGRAM

  2.5.2 Batasan Algoritma RLS ..................................................... 25

  2.5.1 Dasar – Dasar RLS ............................................................ 22

  2.5 Algoritma Recursive Least Squares .................................................... 22

  2.4.3.3 Pergeseran Koefisien ............................................ 21

  2.4.3.3 Kebutuhan Wordlength ........................................ 21

  2.4.3.2 Efek dari Komponen Sinyal Masukan Noise ....... 20

  4.2.2 Perancangan Sinyal Masukan dengan Data chimes.wav..... 59

  4.2.3 Perancangan Sinyal Pengganggu Acuan Awal...................

  59 4.3 Perbandingan Besar Error pada Algoritma LMS dan RLS...............

  61

  4.3.1 Variasi Parameter Algoritma Tapis Adaptif dengan Data ringout.wav........................................................................ 61

  4.3.2 Variasi Parameter Algoritma Tapis Adaptif dengan Data chimes.wav........................................................................ 63

  4.3.3 Variasi Parameter Orde Tapis Adaptif...............................

  64 4.4 Perbandingan Koefisien Tapis Algoritma LMS dan RLS.................

  66

  4.4.1 Koefisien Tapis dengan Data ringout.wav......................... 66

  4.4.2 Koefisien Tapis dengan Data chimes.wav......................... 72

  BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

  5.1 Kesimpulan......................................................................................... 73

  5.2 Saran.................................................................................................... 73

  DAFTAR PUSTAKA.......................................................................................... 74 LAMPIRAN........................................................................................................ 75

  

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Diagram blok dari sebuah tapis adaptif sebagai sebuah noise canceller ............................................................................................

  6 Gambar 2.2 Dasar tapis Wiener............................................................................ 9

Gambar 2.3 Permukaan error kuadrat.................................................................. 10Gambar 2.4 Ilustrasi dari koefisien tapis yang bervariasi..................................... 18Gambar 2.5 Algoritma tapis adaptif LMS............................................................ 19Gambar 2.6 Metode least square……………………………………………….. 23Gambar 3.1 Algoritma perancangan program simulasi tapis adaptif................... 27Gambar 3.2 Diagram alir layout ”judul”.............................................................. 28Gambar 3.3 Diagram alir perancangan sinyal masukan....................................... 30Gambar 3.4 Diagram alir perancangan sinyal pengganggu acuan awal............... 31Gambar 3.5 Diagram blok tapis FIR transversal structure.................................. 32Gambar 3.6 Diagram alir perancangan FIR.......................................................... 33Gambar 3.7 Diagram alir algoritma LMS tapis adaptif......................................... 34Gambar 3.8 Diagram alir RLS tapis adaptif.......................................................... 36Gambar 3.9 Layout program tampilan depan........................................................ 38Gambar 3.10 Layout program langkah 1............................................................... 40Gambar 3.11 Layout program langkah 2............................................................... 41Gambar 3.12 Tampilan hasil akhir proses tapis adaptif........................................ 42Gambar 3.13 Tampilan kurva koefisien tapis........................................................ 43Gambar 4.1 Tampilan halaman pembuka program................................................ 44Gambar 4.2 Tampilan halaman perancangan sinyal masukan............................... 45Gambar 4.3 Tampilan submenu Help.................................................................... 46Gambar 4.4 Tampilan pengambilan data berekstensi *.wav................................. 47Gambar 4.5 Tampilan perancangan sinyal masukan dengan data default............. 48Gambar 4.6 Pesan error untuk nilai amplitudo 0 mV pada bagian masukan

  interference signal............................................................................. 49

Gambar 4.7 Pesan error untuk nilai frekuensi 10 MHz pada bagian masukan

  interference signal........................................................................... 50

Gambar 4.8 Tampilan halaman perancangan sinyal pengganggu acuan awal dan

  tapis adaptif....................................................................................... 51

Gambar 4.9 Tampilan penyimpanan data............................................................... 52Gambar 4.10 Contoh pesan error untk filter order pada perancangan tapis

  adaptif............................................................................................. 53

Gambar 4.11 Message box keluar perancangan sinyal pengganggu acuan

  awal dan tapis adaptif...................................................................... 54

Gambar 4.12 Tampilan halaman perancangan sinyal pengganggu dan tapis

  adaptif dengan data default............................................................ 54

Gambar 4.13 Tampilan hasil dengan data default................................................. 55Gambar 4.14 Tampilan filter coefficient curve...................................................... 56Gambar 4.15 Kurva perancangan sinyal masukan ringout.wav............................ 57Gambar 4.16 Kurva perancangan sinyal pengganggu acuan awal......................... 60Gambar 4.17 Kurva perubahan koefisien tapis LMS.............................................. 67Gambar 4.18 Kurva perubahan koefisien tapis RLS.............................................. 69Gambar 4.19 Waktu yang diperlukan dalam mencapai konvergensi pada

  algoritma RLS.................................................................................. 70

Gambar 4.20 Kurva koefisien tapis dengan jumlah orde tapis 1 untuk sinyal

  masukan ringout.wav........................................................................ 71

Gambar 4.21 Kurva koefisien tapis dengan jumlah orde tapis 1 untuk sinyal

  masukan chimes.wav........................................................................ 72

  

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Perancangan sinyal masukan ringout.wav............................................ 57Tabel 4.2 Amplitudo untuk data ke – 1000 pada perancangan sinyal masukan

  dengan data default................................................................................ 58

Tabel 4.3 Perancangan sinyal masukan chimes.wav............................................. 59Tabel 4.4 Amplitudo untuk data ke – 4000 pada perancangan sinyal masukan

  chimes.wav dengan data default............................................................ 59

Tabel 4.5 Perancangan sinyal pengganggu acuan awal......................................... 60Tabel 4.6 Perbandingan variasi pada sinyal pengganggu acuan awal................... 61Tabel 4.7 Perbandingan data ke – 1000 dengan variasi step size pada algoritma LMS.....................................................................................

  62 Tabel 4.8 Perbandingan data ke – 1000 dengan variasi forgetting

   factor pada algoritma RLS.................................................................... 62

Tabel 4.9 Perbandingan data ke – 1000 dengan variasi faktor inisialisasi pada

  algoritma RLS...................................................................................... 62

Tabel 4.10 Variasi step size dengan sinyal masukan chimes.wav pada data ke –

  1000...................................................................................................... 63

Tabel 4.11 Variasi forgetting factor dengan sinyal masukan chimes.wav pada

  data ke – 1000....................................................................................... 64

Tabel 4.12 Variasi faktor inisialisasi dengan sinyal masukan chimes.wav pada

  data ke – 1000....................................................................................... 64

Tabel 4.13 Hubungan jumlah orde tapis dengan besar error pada data ke - 1000

  untuk algoritma LMS........................................................................... 65

Tabel 4.14 Hubungan jumlah orde tapis dengan besar error pada data ke - 1000

  untuk algoritma RLS........................................................................... 65

Tabel 4.15 Hubungan jumlah orde tapis dengan rata – rata besar error............... 66Tabel 4.16 Data selang waktu pada algoritma RLS berdasarkan Gambar 4.19.... 71

BAB I PENDAHULUAN

  1.1 Judul

  Program Simulasi Tapis Adaptif Menggunakan Algoritma Least Mean

  Square dan Recursive Least Squares

  1.2 Latar Belakang Masalah

  Kontaminasi sinyal yang diinginkan oleh sinyal lain yang tidak diinginkan merupakan permasalahan yang sering dihadapi dalam banyak aplikasi [1]. Dalam banyak kasus, sering diinginkan karakteristik tapis yang dapat berubah, atau mampu beradaptasi untuk mengubah karakteristik sinyal. Hal ini dapat dilihat dalam kasus spektrum yang overlap antara sinyal dan noise atau jika rentang frekuensi yang ditempati oleh noise tidak diketahui atau berubah terhadap waktu. Tapis adaptif diperlukan agar noise dapat dieliminasi.

  Permasalahan juga muncul pada kasus lain, yaitu pada (EEG). Dalam EEG, aktivitas kelistrikan asli dari otak yang

  Electroencephalography

  digunakan dalam diagnosa penyakit syaraf dapat terkontaminasi oleh sinyal ocular

  artefact (OA). OA merupakan sinyal pengganggu yang menyebar melalui kulit

  kepala dan merupakan hasil dari pergerakan mata atau kedipan mata. Sinyal

  

interferer ini memiliki rentang frekuensi yang sama dengan EEG, sehingga

diperlukan tapis adaptif untuk memisahkan frekuensi EEG dengan OA.

  Contoh lain adalah dalam komunikasi digital yang menggunakan spread

  

spectrum . Sinyal interferer bercampur dengan sinyal yang diinginkan, sehingga

  mengakibatkan komunikasi dapat terganggu. Sinyal interferer ini menempati suatu bagian sempit atau terbatas dan tidak diketahui spektrumnya. Hal ini hanya dapat diuraikan secara efektif menggunakan cara adaptif.

  Sejalan dengan berkembangnya pengolahan sinyal digital, permasalahan – permasalahan yang muncul dalam aplikasi tersebut dapat diatasi dengan menggunakan algoritma tapis adaptif [2]. Pada saat ini, tapis adaptif banyak digunakan dalam peralatan seperti mobile phone dan peralatan komunikasi lainnya,

  camcoder dan kamera digital, dan peralatan pengamatan medis.

  Tapis adaptif terbentuk dari suatu algoritma tertentu. Untuk membentuk suatu tapis adaptif, maka diperlukan suatu pemahaman terhadap algoritma – algoritma pembentuknya. Oleh karena pemahaman tapis adaptif biasanya hanya diperoleh dari buku – buku atau literatur digital signal processing, maka penulis ingin memberikan kontribusi berupa simulasi suatu tapis adaptif dengan beberapa algoritma tapis adaptif.

1.3 Tujuan dan Manfaat

  Tujuan yang akan dicapai, yaitu

  a. merancang dan membuat simulasi tapis adaptif, dan b. menampilkan perbandingan algoritma – algoritma pada tapis adaptif.

  Manfaat yang dapat dicapai, yaitu

  a. mempermudah mahasiswa dalam pemahaman mengenai tapis adaptif, dan

  b. sebagai bahan untuk pengembangan dan aplikasi tapis adaptif di perkuliahan digital signal processing .

1.4 Batasan Masalah

  Dalam perancangan dan simulasi ini memiliki batasan sebagai berikut : a. Simulasi tapis adaptif menggunakan algoritma least mean square (LMS).

b. Simulasi tapis adaptif menggunakan algoritma recursive least squares (RLS).

  ® c. Simulasi tapis adaptif menggunakan perangkat lunak MATLAB .

1.5 Metodologi Penelitian

  Metodologi yang digunakan penulis dalam penelitian adalah sebagai berikut :

  a. Mengumpulkan referensi dan literatur dari buku – buku perpustakaan dan internet.

  b. Menyusun referensi dan literatur yang ada.

  c. Perancangan dan pembuatan simulasi terkonsep menggunakan perangkat lunak yang telah ditentukan.

  d. Pengujian simulasi tapis adaptif.

  e. Penyusunan laporan.

1.6 Sistematika Penulisan

  Penulis menggunakan sistematika penulisan sebagai berikut :

  BAB I Berisi latar belakang masalah, tujuan dan manfaat dari penelitian, batasan masalah, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II Berisi dasar teori tentang tapis Wiener, metode steepest descent, algoritma LMS, dan algoritma RLS BAB III Berisi rancangan simulasi yang dibuat, meliputi diagram blok, bagan alir program (flow chart), dan penjelasan singkat tentang cara kerjanya.

BAB IV Berisi data pengamatan dan pembahasan. BAB V Berisi kesimpulan dan saran.

BAB II DASAR TEORI

2.1 Tapis Adaptif

  Tapis adaptif adalah sebuah tapis yang mengatur sendiri fungsi alihnya menurut algoritma tertentu [3]. Tapis adaptif diperlukan pada saat sifat dari sistem atau sinyal tidak diketahui atau berubah terhadap waktu, atau keluaran tapis yang diinginkan berubah terhadap waktu. Hal ini mengakibatkan koefisien tapis berubah terhadap waktu. Tapis adaptif merupakan tapis digital yang dapat menyesuaikan kemampuannya berdasarkan sinyal masukannya.

2.1.1 Tapis Adaptif sebagai Sebuah Noise Canceller

  Tapis adaptif terdiri dari 2 bagian, yaitu sebuah tapis digital dengan koefisien yang dapat diubah – ubah dan algoritma adaptif yang digunakan untuk mengubah koefisien tapis [1]. Hal ini dapat dilihat dalam Gambar 2.1. Dua sinyal masukan, yaitu y k dan x k dimasukkan secara bersamaan pada tapis adaptif. Sinyal y k merupakan sinyal campuran dari sinyal yang diinginkan, s , dan noise, n . Sinyal x merupakan

  k k k

  pengukur dari sinyal noise yang berkorelasi dengan n k . Sinyal x k diproses oleh tapis digital untuk menghasilkan pendekatan noise, nˆ . Pendekatan dari sinyal yang _k diinginkan diperoleh dari pengurangan sinyal y dengan nˆ .

  k _k

  _{k k k} + y = s n

• (sinyal+noise)

  _ Tapis

  ∑

  Digital

  nˆ

x k e s ˆ

_{k k k} =

  (noise) (pendekatan noise) (pendekatan sinyal) Algoritma

  Adaptif

Gambar 2.1 Diagram blok dari sebuah tapis adaptif sebagai sebuah noise canceller [1].

  Tujuan utama dari noise canceller adalah menghasilkan pendekatan optimal dari noise dalam sinyal tercampur, sehingga diperoleh pendekatan optimal dari sinyal yang diinginkan, sˆ . Hal ini dicapai dengan sˆ yang diumpanbalikkan untuk _{k k} mengatur koefisien tapis digital. Pengaturan koefisien tapis ini menggunakan algoritma adaptif agar noise dalam sˆ dapat diperkecil, yaitu dengan cara pencapaian _k pendekatan optimal sinyal nˆ . Selisih s k dengan sˆ digunakan sebagai sinyal error _{k k} untuk mengatur koefisien tapis.

Gambar 2.1 menunjukkan adanya pengurangan sisa daya noise pada keluaran canceller yang akan memperbesar keluaran signal – to – noise ratio.

  Contoh 2.1 Pendekatan dari sinyal yang diharapkan pada keluaran adaptive noise

  canceller diberikan oleh

  s = y − n = s n − n _{k k k k k k}

• ˆ ˆ ˆ

akan memperbesar keluaran signal – to – noise ratio [1] ! Penyelesaian Sinyal terkontaminasi diberikan oleh

   y k = s k + n k (2.1)

  dan pendekatan sinyal yang diinginkan diberikan oleh _{k k k k k k} + s ˆ = y − n ˆ = s n − n ˆ (2.2) Dengan menguadratkan persamaan (2.2) didapatkan _{2 2 2}

  s ˆ s ( n n ˆ )

  2 s ( n n ˆ ) (2.3) _{k k k k k k k} = − − + + Estimasi dari kedua sisi persamaan (2.3) adalah _{2 2 2}

  ˆ ˆ ˆ

  E [ s ] = E [ s ] E [( n − n ) ] _{k k k k k k k} + +

  2 E [ s ( n − n )] (2.4) dengan E[.] merupakan simbol untuk estimasi. Jika sinyal yang diinginkan,

  s , tidak berkolerasi dengan n atau dengan nˆ , maka suku terakhir dari k k _k

  persamaan (2.4) sama dengan nol, sehingga diperoleh ^{2 2 2}

• ˆ ˆ
₂ E [ s ] = E [ s ] E [( n − n ) ] (2.5) _{k k k k 2} dengan merupakan daya total sinyal, E [ s ] E [ s ˆ ] merupakan pendekatan _{k k 2} dari daya sinyal (juga mewakili daya total keluaran), dan E [( n n ˆ ) ] _{k k} − merupakan sisa daya noise yang terdapat dalam s k . Apabila pendekatan nˆ _k merupakan replika dari n k , maka daya keluaran akan hanya mengandung daya sinyal. Hal ini terlihat jelas dalam persamaan (2.5). Sisa daya noise dan total daya keluaran diperkecil dengan mengatur tapis adaptif agar mencapai pendekatan noise yang optimal. Daya sinyal yang diinginkan tidak berpengaruh dengan pengaturan ini jika s tidak berkorelasi dengan

  k

  n k

  . Jadi, ] )

  ˆ [( min ] [ ]

  ˆ [ min ^{2 2 2} _{k k k k}

  E n n s E s E − + = (2.6)

  Persamaan (2.6) menjelaskan pengaruh dari memperkecil sisa daya noise akan memperbesar keluaran signal – to – noise ratio. Kondisi ini secara tidak langsung juga akan memperkecil daya total keluaran dari canceller. Pada saat tapis mencapai kondisi n _{k k}

  n

  = ˆ dan _{k k}

  s s

  = ˆ , keluaran dari

  adaptive noise canceller menjadi bebas dari noise. Ketika sinyal y k tidak

  terdapat noise, n k = 0, pengolahan koefisien tapis adaptif berhenti secara otomatis dengan mengatur kembali semua koefisien tapis dalam keadaan nol.

  Dua algoritma yang sering digunakan dalam tapis adaptif adalah algoritma LMS (least mean square) dan RLS (recursive least squares). Hal ini akan dijelaskan dalam sub bab 2.4 dan sub bab 2.5. Algoritma LMS merupakan algoritma yang paling efisien dalam kondisi penghitungan dan kebutuhan penyimpanan [4]. Algoritma ini terhindar dari masalah ketidakstabilan yang menjadi sifat dari algoritma yang lain. Oleh sebab itu, algoritma LMS menjadi algoritma yang sering dipilih dalam banyak aplikasi. Hal ini berbeda dengan algoritma RLS. Algoritma RLS memiliki keunggulan dalam hal sifat konvergensinya. Sebagai dasar pemahaman kedua algoritma ini, bagian selanjutnya akan menjelaskan mengenai tapis Wiener dalam dan metode stepeest descent.

2.2 Tapis Wiener Algoritma adaptif dapat dilihat sebagai pendekatan tapis Wiener diskret [1].

  y k (sinyal informasi + noise) ∑

  noise. Noise dalam y k

  berkorelasi dengan x

  

k

.
Gambar 2.2 menunjukkan x k (noise) dan y k (sinyal utama) dilewatkan dalam tapis secara bersamaan. Sinyal utama terdiri dari 2 komponen, yaitu sinyal informasi dan
• _

  Tapis Wiener

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  (2.9)

  2 ^{2 2}

  X X W W X y y e ^T _{k k}

^{T T}

_{k k k k} + − =

  W

  M Apabila persamaan (2.7) dikuadratkan, maka diperoleh kuadrat error

  N w w w W

  ) (

  ) 1 ( ) 1 (

  − =

  ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

  (2.8) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

  X M

  = − − − _{) 1 (} ¹ _{N k} ^{k k} _k x x x

  ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

  − = −

  (2.7) Vektor sinyal masukan, X k , dan vektor koefisien, W, dinyatakan dengan

  X W y n y e

  x i w y

  ∑

  −

  ∑ − =

  , sebagai

  k

  , yang menghasilkan error, e

  x k

  Apabila struktur tapis FIR mempunyai jumlah koefisien N, maka tapis Wiener menghasilkan pendekatan optimal dari komponen y k yang berkolerasi dengan

  e k (keluaran)

  x i w n

Gambar 2.2 Dasar tapis Wiener [1].

x k (noise)

  = ¹ ) ( ˆ ^N _{i i k k}

  − = − = − = ¹ ) ( ˆ ^N _{i i k k k} ^T _{k k k k} MSE (mean square error), J, didapatkan dari estimasi kedua sisi persamaan (2.9). Dengan asumsi masukan vektor X k dan sinyal y k merupakan stationary, maka J dinyatakan sebagai

  J = E [ e ] = E [ y ] − _{k k k k k k} ² _{2 T T} ^{2 T T T} +

  2 E [ y

  X W ] E [ W

  X X W ]

  σ

  = + 2 P W W RW (2.10) ₂ dengan σ = E [ y ] merupakan varian y k , P=E[y k _{k T} X k ] merupakan panjang N vektor cross-correlation, dan R E [

• ₂

  X X ] merupakan matriks autocorrelation N x N.

  = _{k k} Apabila P dan R tidak diketahui, maka perlu dilakukan pendekatan sebagai berikut [4], _{N − 1}

  1

  ∗

  ˆ

  R ( i ) x x ( k i ) (2.11)

  = − _k

  ∑ N k _N =

₁

−

  1

  ∗

  ˆ

  P ( i ) = y x ( k − i ) (2.12) _k ∑

  N _k = dengan R ˆ i ( ) adalah pendekatan terhadap R dan P ˆ i ( ) adalah pendekatan terhadap P.

  J J min

  W

  1 W W opt

Gambar 2.3 Permukaan error kuadrat [1].

Gambar 2.3 menunjukkan gradien yang dibentuk dari plotting antara MSE, J, dengan koefisien tapis, W, adalah

  ∂ J ∇ = = − +

  2 P

  2 RW (2.13)

  W

  ∂ Gradien mencapai nilai nol pada titik terendah dari plotting, sedangkan vektor koefisien tapis mencapai nilai optimal W opt [1]. Persamaan W opt dapat dinyatakan sebagai

• -1

  W opt = R P (2.14)

  Persamaan (2.14) dikenal sebagai persamaan atau solusi Wiener-Hopf. Persamaan ini akan lebih mudah dipahami dengan melihat Contoh 2.2.

  Contoh 2.2 Dengan persamaan MSE, turunkan persamaan Wiener-Hopf [1] ! Penyelesaian Dari persamaan (2.10), gradien ∇ dari MSE diperoleh dengan mendeferensialkan MSE dan vektor koefisien W, dan menghasilkan nilai nol _{2 T T}

  d ( W RW )

  σ

  dJ d d ( P W ) ∇ = = + + dW dW dW dW

  kemudian ₂

  d

  σ =

  dW _T d (

2 P W )

  2 P = −

  dW _T d ( W RW )

  

=

  2 RW dW

  Jika diatur ∇ = , maka

  dJ

  ∇ = = − +

  2 P

  2 RW =

  dW

  kemudian didapatkan vektor koefisien optimal

• -1

  W opt = R P

2.2.1 Batasan Tapis Wiener

  Tapis Wiener memiliki batasan – batasan sebagai berikut [1] : 1. Membutuhkan matriks autocorrelation, R, dan vektor cross-correlation, P.

  2. Membutuhkan invers matriks.

  3. Mengubah R dan P seiring dengan waktu pada kondisi sinyal nonstationar sehingga W opt segera tercapai.

2.3 Metode Steepest Descent

  Komponen W k adalah sebuah pendekatan dari vektor yang memperkecil MSE pada pencuplikan ke – k [4]. Pada waktu k + 1, sebuah pendekatan baru dibentuk dengan menambahkan koreksi W k , sehingga menyebabkan W k lebih dekat dengan hasil yang diharapkan. Koreksi yang dilakukan meliputi step size,

  μ, dalam arah

  penurunan maximum pada permukaan error kuadrat yang dapat dilihat dalam

Gambar 2.3. Jadi persamaan update untuk W k adalah

  W = W − μ ∇ J (2.15) ^k

^{1 k}

Algoritma steepest descent dapat diurutkan sebagai berikut : 1. Inisialisasi algoritma steepest descent dengan sebuah pendekatan W opt .

  2.

  . Evaluasi gradien dari J pada pendekatan W opt

  3. Pembaruan pendekatan saat waktu ke k dengan menambahkan sebuah koreksi step size pada arah gradien negatif.

  4. Pengulangan proses dimulai dari langkah 2.

  Vektor gradien, ∇ J , memerlukan asumsi bahwa W kompleks, sehingga

• gradien merupakan turunan dari MSE dengan W . Persamaan vektor gradien dapat diperoleh sebagai
_{2 2}

  ∗ _k

  ∇ J = ∇ E {| e | } = E { ∇ | e | } = E { e ∇ e } (2.16) _{k k k} dan

  ∗ ∗ _{k k} e X (2.17)

  ∇ = − Dari persamaan (2.16) dan (2.17) didapatkan persamaan

  ∗ _k

  ∇ J = − E { e _k X } (2.18) Jadi, algoritma steepeset descent menjadi

  ∗ _k W = + W E {{ e X } (2.19)

  μ

• k ^{1 k k}

  Dalam kasus pengolahan stationary, algoritma steepest descent menjadi

  2

• + W k+1 = W k k ), < μ < (2.20) μ(P – RW

  λ _max dengan merupakan eigenvalue maksimal dari matriks korelasi, R.

  λ max

  Persamaan (2.14) disesuaikan pada persamaan (2.20), sehingga algoritma

  steepest descent menjadi W k+1 = (I – k (2.21) μR)W μP

dengan I adalah sebuah matriks identitas.

  Kemudian kedua sisi dari persamaan (2.21) dikurangi dengan W

  W – W = (I – – W) (2.22)

• k+1 μR)W μRW – W = [I – μR](W

  k k

  Jika c k merupakan vektor error koefisien,

  c = W – W (2.23) k k

  maka persamaan (2.22) menjadi

  c = (I – (2.24) k+1 μR)c k

  Dengan menggunakan teorema spektral, matriks autocorrelation, R, dapat difaktorkan sebagai

  H R = V (2.25)

  ΛV Λ merupakan matriks diagonal yang mengandung eigenvalue dari R, sedangkan V merupakan matriks dengan kolom yang merupakan eigenvector dari R.

  Persamaan (2.24) disubstitusi dengan persamaan (2.25) menghasilkan

  H c k+1 = (I – )c k (2.26)

μVΛV

  Apabila menggunakan sifat kesatuan V dan mengalikan kedua sisi persamaan dengan

  H

  V , maka diperoleh

  H H

  V c k+1 = (I – c k (2.27)

  μΛ) V

  Jika didefinisikan

  

H

u k = V c k (2.28)

  maka persamaan (2.28) menjadi u k+1 = (I – k (2.29)

  μΛ)u dengan (I –

  k bertujuan untuk mencapai μΛ) merupakan sebuah matriks diagonal. W

W, sehingga c mengarah pada nilai nol. Hal ini mengakibatkan persamaan (2.28)

k mengarah pada nilai nol.

  Pengukuran lain yang juga penting dalam mengukur kemampuan tapis adaptif adalah MSE. MSE minimal pada tapis Wiener dapat dinyatakan sebagai _H

  J = P ( ) − P W (2.30) _{min y}

  Jika vektor koefisien, W k , berubah – ubah, maka MSE adalah _{2 T 2} J = E {| e | } = E {| y − W _{k k k k} X | } ^{H H H} + = P ( ) − P W − W P W RW (2.31) _{y k K k k}

  Komponen W k disubtistusi dengan persamaan (2.23) membentuk _{H H H}

  

J P ( ) P ( W c ) ( W c ) P ( W c ) R ( W c ) (2.32)

= − − _{y k k k k} + + + + +

  Apabila menggunakan persamaan (2.14) dan mengembangkan hasil persamaan (2.32), maka didapatkan ^{H H} +

  J P ( ) P W c Rc (2.33) = − _{y k k}

  Persamaan (2.33) disubstitusi dengan persamaan (2.30), sehingga error saat k adalah ^H

• J = J c Rc (2.34) _{min k k}

  Apabila persamaan (2.34) diterapkan untuk u k , maka persamaan (2.28) digabung dengan persamaan (2.25), kemudian didapatkan ^H

• J = J u Λ u (2.35) _{min k k}

2.4 Algoritma LMS Adaptif

2.4.1 Dasar – Dasar LMS

  Koefisien LMS diatur dari sample to sample seperti pada proses memperkecil MSE [1]. LMS didasarkan pada algoritma steepest descent, yaitu adanya pembaruan vektor koefisien dari sample to sample yang dinyatakan dengan