Current reversals and current suppressio

University of Portsmouth
PORTSMOUTH
Hants
UNITED KINGDOM
PO1 2UP
This Article
Mulhern, Colm, Hennig, Dirk, Burbanks, Andrew and
Osbaldestin, Andrew (2011) Current reversals and current
suppression in an open two-degree-of-freedom system.
Physical Review E, 83 (6). 066207. ISSN 1539-3755
10.1103/PhysRevE.83.066207

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❛t r❡st✳ ✭❚❤❡s❡ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐❧❧ ❤❡♥❝❡❢♦rt❤ ❜❡ ♥❛♠❡❞ ♣❛rt✐❝❧❡

A

❛♥❞ ♣❛rt✐❝❧❡

B

r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✮✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡s❡ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐❧❧ ❜❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦♥
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❛♥♦t❤❡r✳ ❋♦r ❧❛r❣❡ ❞✐st❛♥❝❡s✱ t❤❡ t✇♦ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐❧❧ ❡✛❡❝t✐✈❡❧② ❞❡❝♦✉♣❧❡ ❛♥❞
✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ r❡❣✉❧❛r ♠♦t✐♦♥ ✇✐❧❧ ❡♥s✉❡✳ ❚❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ♦❢ t❤✐s st✉❞② ✐s t♦ ❡①✲
♣❧♦r❡ t❤❡ ♥❛t✉r❡ ♦❢ ❝✉rr❡♥t s✉♣♣r❡ss✐♦♥ ❛♥❞ r❡✈❡rs❛❧s ♦❢ ✐ts ❞✐r❡❝t✐♦♥ r❡❧❛t✐✈❡
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❚❤❡ ♣❛♣❡r ✐s ♦r❣❛♥✐s❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ■♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ s❡t✲
✉♣ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ ✇❡ s❤❛❧❧ s❤♦✇ s❛♠♣❧❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s ✐❧❧✉str❛t✐♥❣
s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ♣r❡s❡♥t ✐♥ t❤✐s ♠♦❞❡❧✳ P❛rt✐❝❧❡ ❝✉rr❡♥t ✐s ❡①❛♠✐♥❡❞ ✐♥
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t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❣✐♦♥✱ ❛♥❞ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧❧② ❤♦✇ ❡♥❡r❣✐❡s ❛r❡ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❜❡t✇❡❡♥
t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s ❛t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ t✐♠❡✳ ■♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✼ t❤❡ ✐♠♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢
t❤❡ s②♠♠❡tr✐❡s ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❢♦r t❤❡ ❡♠❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❝✉rr❡♥t ❛r❡ ❝♦♥s✐❞✲
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✐♥✈❡st✐❣❛t❡ t❤❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t s❡ts ✐♥ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ ❝❤❛♦t✐❝ s❛❞✲
❞❧❡s✳ ❋✉rt❤❡r ✇❡ r❡❧❛t❡ t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r ♦❢ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ❞②♥❛♠✐❝s✱ ✐♥✈♦❧✈✐♥❣
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❢❡r❡♥t tr❛♥s♣♦rt s❝❡♥❛r✐♦s✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ s✉♠♠❛r✐s❡ ❛♥❞ ❞r❛✇ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥s ❢r♦♠

♦✉r ✐♥✈❡st✐❣❛t✐♦♥✳

✷

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❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ✉s❡❞ ✐s ❍❛♠✐❧t♦♥✐❛♥ ❛♥❞ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠

H=

2  2
X
p

n

n=1

2



+ U (qn ) + Hint (q1 , q2 ),

✭✶✮

✇❤❡r❡ qn ❛♥❞ pn (n = 1, 2) ❛r❡ t❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧❧② ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ♣♦s✐t✐♦♥s ❛♥❞
♠♦♠❡♥t❛ ♦❢ ❝♦✉♣❧❡❞ ♣❛rt✐❝❧❡s ♦❢ ✉♥✐t ♠❛ss ❡✈♦❧✈✐♥❣ ✐♥ ❛ s♣❛t✐❛❧❧② s②♠♠❡tr✐❝
❛♥❞ ♣❡r✐♦❞✐❝ ✇❛s❤❜♦❛r❞ ♣♦t❡♥t✐❛❧✳ ❚❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧✱ ♦❢ ✉♥✐t ♣❡r✐♦❞✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②

U (q) = U (q + 1) =

1 − cos(2πq)
.
2π

✭✷✮

❚❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s ❛r❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ✈✐❛ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ t❡r♠




1
Hint (q1 , q2 ) = D 1 −
,
cosh(q1 − q2 )

✭✸✮

✇❤✐❝❤ ✐s ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦♥ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ d = |q1 −q2 |✳ ❚❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ t❤✐s ❝♦✉♣❧✐♥❣
✐s r❡❣✉❧❛t❡❞ ❜② t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r D✳ ■t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ♥♦t❡ t❤❛t ❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧②
dHint (x)
t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t
❣♦❡s t♦ ③❡r♦✱ ✐✳❡✳ ❛s t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❞✐st❛♥❝❡ |q1 − q2 |
dx
✐♥❝r❡❛s❡s✱ t❤❡ r❡❧❛t❡❞ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❢♦r❝❡s✱ ∂Hint /∂q1 ❛♥❞ ∂Hint /∂q2 ✱ ✈❛♥✐s❤
❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧②✱ ❛❧❧♦✇✐♥❣ tr❛♥s✐❡♥t ❝❤❛♦s ❬✶✽❪✕❬✷✵❪✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❢♦r ❧❛r❣❡ ❞✐st❛♥❝❡
|q1 − q2 | ≫ 1✱ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✈❛♥✐s❤❡s ✇✐t❤ t❤❡ r❡s✉❧t t❤❛t t❤❡ t✇♦ ❞❡❣r❡❡s
♦❢ ❢r❡❡❞♦♠ ❞❡❝♦✉♣❧❡✱ r❡♥❞❡r✐♥❣ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s r❡❣✉❧❛r✳ ❚❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧
✇✐❧❧ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s

Ueff (q1 , q2 ) = U (q1 ) + U (q2 ) + Hint (q1 , q2 ).

✭✹✮

❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ t❤❡ ❧❛♥❞s❝❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✶ ✇✐t❤
−2.5 ≤ q1 ≤ 2.5 ❛♥❞ −2.5 ≤ q2 ≤ 2.5✳ ❲❡ s❡❡ ❡♥❡r❣✐❡s ✐♥ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ r❛♥❣✲
✐♥❣ ❢r♦♠ 1.21 ✭❞❛r❦ ♦r❛♥❣❡✮ t♦ 0 ✭❞❛r❦ ❜❧✉❡✮✳ ❈r✉❝✐❛❧❧②✱ ❛❧♦♥❣ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧
✭❜❧✉❡ ❛r❡❛✮ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❣✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐s ✇❤❡r❡ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ✐♥
t❤❡ s②st❡♠ ✐s ♠❛♥✐❢❡st❡❞✳
❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ❜②




tanh(q1 − q2 )
q¨1 = − sin(2πq1 ) − D
,
cosh(q1 − q2 )

✭✺✮


tanh(q1 − q2 )
.
q¨2 = − sin(2πq2 ) + D
cosh(q1 − q2 )

✭✻✮



✸

U eff
q2
q1
❋✐❣✉r❡ ✶✿ ✭❈♦❧♦✉r ♦♥❧✐♥❡✮ P❧♦t ♦❢ t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ✭D

❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱

✭✐s♦❧❛t❡❞✮ ♣❛rt✐❝❧❡

B

= 0.58169✮✳

q2 = p2 = 0✱ ❢♦r t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ s✉❝❤ t❤❛t

✐s s✐t✉❛t❡❞ ❛t t❤❡ ❜♦tt♦♠ ♦❢ ❛ ✇❡❧❧ ♦❢ t❤❡ ✇❛s❤❜♦❛r❞

♣♦t❡♥t✐❛❧ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡✱ ♣♦ss❡ss❡s ♥♦ ❡♥❡r❣②✳ P❛rt✐❝❧❡

A✱

♣♦ss❡ss✐♥❣ ❛ s✉✣❝✐❡♥t

❛♠♦✉♥t ♦❢ ❡♥❡r❣② t♦ ♦✈❡r❝♦♠❡ t❤❡ ✇❛s❤❜♦❛r❞ ❡♥❡r❣② ❜❛rr✐❡rs✱ ✇✐❧❧ ❜❡ s❡♥t
❢r♦♠ t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❢r❡❡ r❡❣✐♦♥ ✐♥t♦ t❤❡ r❡❣✐♦♥ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ♣❛rt✐❝❧❡

B

❛♥❞

❤❡r❡ ❛♥ ❡♥❡r❣② tr❛♥s❢❡r ✇✐❧❧ t❛❦❡ ♣❧❛❝❡✱ t❤❡ ❡①t❡♥t ♦❢ ✇❤✐❝❤ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡
❝♦✉♣❧✐♥❣ str❡♥❣t❤✳
❋♦r

D = 0

✇❡ ❤❛✈❡ ❛♥ ✉♥❝♦✉♣❧❡❞ s②st❡♠✳

❚❤✉s t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ♦❢ t❤❡

s②st❡♠ ✇✐❧❧ ❜❡ ❞❡❝✐❞❡❞ ❜② t✇♦ ✐♥t❡❣r❛❜❧❡ s✉❜s②st❡♠s✳ ■♥ ❡✛❡❝t t❤✐s ♠❡❛♥s
t❤❛t t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥✐t✐❛❧❧② ✇✐t❤ ❡♥❡r❣② ✇✐❧❧ ❤♦❧❞ ♦♥t♦ t❤✐s ❡♥❡r❣② ❢♦r ❛❧❧ t✐♠❡✳
❚❤❡s❡ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐❧❧ ♣❛ss t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❧❛♥❞s❝❛♣❡ ✉♥❤✐♥❞❡r❡❞ ❛♥❞
❝♦♥s❡q✉❡♥t❧② r❡♠❛✐♥ ✐♥ r❡❣✉❧❛r ♠♦t✐♦♥✳ ■♥ ❝♦♥tr❛st✱ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s t❤❛t ❛r❡
✐♥✐t✐❛❧❧② ❛t r❡st ✇✐❧❧ ❜❡ ✉♥❛❜❧❡ t♦ ❣❛✐♥ ❛♥② ❡♥❡r❣② ✈✐❛ ❛♥ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡
♦t❤❡r ♣❛rt✐❝❧❡s ❛♥❞ ✇✐❧❧ t❤✉s r❡♠❛✐♥ ❛t r❡st ❢♦r ❛❧❧ t✐♠❡✳
❋♦r

D 6= 0

t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s ❝❛♥ ✐♥t❡r❛❝t ✈✐❛ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❛♥❞

❡①❝❤❛♥❣❡ ❡♥❡r❣②✳ ❚❤✐s ❡①❝❤❛♥❣❡ ✇✐❧❧ ❡①❝✐t❡ t❤❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✭✐♥✐t✐❛❧❧② r❡st✐♥❣✮
♣❛rt✐❝❧❡ ❛♥❞✱ t♦ ✈❛r②✐♥❣ ❞❡❣r❡❡s✱ ✐♥✢✉❡♥❝❡ t❤❡ ♠♦t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡ t❤❛t
❤❛s ❡♥t❡r❡❞ t❤❡ ✏✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❣✐♦♥✑✳

❆❣❛✐♥✱ ✐t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ♥♦t❡ t❤❛t

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❋♦r ❧❛r❣❡

|q1 − q2 | ≫ 1

t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡

♣❛rt✐❝❧❡s ✈❛♥✐s❤❡s✱ ❛♥❞ ❛❣❛✐♥ ✇❡ s❡❡ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② r❡❣✉❧❛r r♦✲
t❛t✐♦♥❛❧ ♠♦t✐♦♥✱ ✇✐t❤ t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♦❢ ❜♦t❤ ♣❛rt✐❝❧❡s ❡s❝❛♣✐♥❣ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧②
❡①❝❧✉❞❡❞ ✭s❡❡ ❙❡❝t✐♦♥ ✻✮✳
❆s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❡❛r❧✐❡r✱ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ♣❛rt✐❝❧❡

p2 = 0 ✳

❚❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡

r❡❣✐♦♥✱ ✐✳❡✳

A

B

q2 =
❛s②♠♣t♦t✐❝

✇✐❧❧ ❜❡

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✹

❚❤❡

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0.8

1.05

0.7
0.6

1

0.5
p1

p1

0.95
0.4

0.9
0.3
0.85

0.2

0.8
0.75

0.1
-25.4

-25.2

-25

-24.8

0

-24.6

-25.4

-25.2

q1

-25

-24.8

-24.6

q1

❋✐❣✉r❡ ✷✿ ✭❈♦❧♦✉r ♦♥❧✐♥❡✮ ■♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s (q1 , p1 ) ❢♦r D = 0.3 ❛♥❞ D =

0.58169 r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

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t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s A ❛r❡ ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ✇❡❧❧ ✇❤♦s❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ✐s ❧♦❝❛t❡❞ ❛t
q ≃ −25 ❛♥❞ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✐♥✐t✐❛❧ ♠♦♠❡♥t❛ ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❛s t❤♦s❡
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1
E = p21 + U (q1 ) + Hint (q1 , 0),
2

✭✼✮

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❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✇✐❧❧ ❜❡ t❤❡ s❛♠❡✳ ❚✇♦ ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ t❤❡s❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡
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t✐♠❡s t❤❡ ❜❛rr✐❡r ❤❡✐❣❤t ♦❢ t❤❡ ✇❛s❤❜♦❛r❞ ♣♦t❡♥t✐❛❧✱ Eb = 1/π ≈ 0.3183✳ ■t
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❛♠♦✉♥t ♦❢ ❡♥❡r❣② ❢r♦♠ ✐ts ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ♣❛rt✐❝❧❡ A✳ ❲✐t❤ ♥♦ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥
t❤✐s s②st❡♠ ✇✐❧❧ ❝♦♥t❛✐♥ ❛ str♦♥❣ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝✉rr❡♥t✱ ❛s ♣❛rt✐❝❧❡ A ❝❛♥ ❡s❝❛♣❡
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❚❤❡r❡ ❛r❡ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ q✉❡st✐♦♥s t❤❛t ✇❡ ✇✐❧❧ ❛❞❞r❡ss✿ ❋✐rst❧②✱ ❝❛♥ ♣❛rt✐❝❧❡
B ❣❛✐♥ ❡♥♦✉❣❤ ❡♥❡r❣② t♦ ❡s❝❛♣❡ ❢r♦♠ ✐ts st❛rt✐♥❣ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ✇❡❧❧✱ ♦r ✐s ♣❛rt✐❝❧❡
B ✬s ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❧✐tt❧❡ ♦r ♥♦ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ t♦ t❤❡ ♦✈❡r❛❧❧ ❞②♥❛♠✐❝s ♦❢ t❤❡ s②s✲
t❡♠❄ ❙❡❝♦♥❞❧②✱ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ t❤❛t ♣❛rt✐❝❧❡ B ❞♦❡s ❡s❝❛♣❡✱ ✇❤❛t s✉❜s❡q✉❡♥t❧②
❤❛♣♣❡♥s t♦ ❜♦t❤ ♣❛rt✐❝❧❡s❄ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❛ss✉♠✐♥❣ t❤❛t ♣❛rt✐❝❧❡ B ✬s ♣r❡s❡♥❝❡ ✐s
s✐❣♥✐✜❝❛♥t✱ ❝❛♥ ✐t ✐♥✢✉❡♥❝❡ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ✐♥ s✉❝❤ ❛ ✇❛② t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ r❡✲
✈❡rs❛❧ ♦❢ t❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝✉rr❡♥t✱ ♦r ❡✈❡♥ ❛ s✉♣♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝✉rr❡♥t❄
❚❤❡s❡ q✉❡st✐♦♥s ✇✐❧❧ ❜❡ ❛♥s✇❡r❡❞ ✐♥ t❤❡ s✉❜s❡q✉❡♥t s❡❝t✐♦♥s✳
✺

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❡✈❡r✱ ✇❡ ♣r❡s❡♥t ❛ t❛❜❧❡ ♦❢ D ✈❛❧✉❡s t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ❢r❡q✉❡♥t❧② ✉s❡❞ ✐♥ t❤✐s
♣❛♣❡r ❛❧♦♥❣ ✇✐t❤ t❤❡✐r r❡s♣❡❝t✐✈❡ ❝✉rr❡♥ts✳ P❛rt✐❝❧❡ ❝✉rr❡♥t ✐s ❛ss❡ss❡❞ q✉❛♥✲
t✐t❛t✐✈❡❧② ❜② t❤❡ ♠❡❛♥ ♠♦♠❡♥t✉♠✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❛❦✐♥❣ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡❞
♠♦♠❡♥t✉♠ ♦❢ ❛♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ♦❢ ♣❛rt✐❝❧❡s✱ ✐✳❡✳
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1
Ts

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Ts

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0

✭✽✮

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2
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✭✾✮

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✐♥ ❞❡t❛✐❧ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✸✳

❉

✵✳✸
✵✳✺✻✶✸
✵✳✺✻✶✼
✵✳✺✻✼✷
✵✳✺✽✶✻✾

❈✉rr❡♥t
✵✳✾✷✺
✲✵✳✷✸✾
✵✳✷✻✷
✵✳✵✵✾
✲✵✳✵✵✵✶

❋✐❣✳ ✸ ❝♦♥t❛✐♥s ♣❧♦ts s❤♦✇✐♥❣ t❤❡ t❡♠♣♦r❛❧ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s

q1 ✱ q2 ❢♦r ✜✈❡ ❞✐✛❡r❡♥t D ✈❛❧✉❡s✳ ❋♦r ❝♦♠♣❛r✐s♦♥✱ ❢♦r ❡❛❝❤ D ✈❛❧✉❡✱ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧
♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♣❛✐r ♦❢ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐❧❧ ❜❡ t❤❡ s❛♠❡✱ ✐✳❡✳ ✇✐t❤ q1 (0) = −25.5
❛♥❞ q2 (0) = 0✱ ❛♥❞ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ♠♦♠❡♥t✉♠ ♦❢ ♣❛rt✐❝❧❡ A ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡
r❡❧❛t✐♦♥ ✐♥ ✭✼✮ ✇❤✐❧❡ ♣❛rt✐❝❧❡ B ❤❛s ③❡r♦ ♠♦♠❡♥t✉♠✱ p2 (0) = 0✳ ❙❧✐❣❤t❧②

❛❧t❡r✐♥❣ t❤❡s❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❝❛♥ ❤❛✈❡ ❛ ❧❛r❣❡ ✐♠♣❛❝t ♦♥ t❤❡ ♣❛t❤ t❤❛t t❤❡
♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐❧❧ t❛❦❡✱ ❛s ❢♦r ❛ ❧❛r❣❡ r❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ str❡♥❣t❤ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s
✇✐❧❧ ❜❡ ❝❤❛♦t✐❝✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥✱ ❢♦r t❤❡ s❛♠❡ D ✈❛❧✉❡s✱ ❋✐❣✳ ✹ ✐❧❧✉str❛t❡s t❤❡
t✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ❡♥❡r❣✐❡s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s
1
1
E1 = p21 + U (q1 ) + Hint (q1 , q2 ),
2
2

✭✶✵✮

1
1
E2 = p22 + U (q2 ) + Hint (q1 , q2 ),
2
2

✭✶✶✮

✇✐t❤ E1 ❛♥❞ E2 ❜❡✐♥❣ t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ❡♥❡r❣✐❡s ♦❢ ♣❛rt✐❝❧❡s A ❛♥❞ B r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱
❛♥❞ ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❡♥❡r❣② ❜❡✐♥❣ ❞✐✈✐❞❡❞ ❡✈❡♥❧② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s✳
✻

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D = 0.3 ✭❋✐❣s✳ ✸❛✱ ✹❛✮ ✇❡ s❡❡ t❤❛t ♣❛rt✐❝❧❡ A ✐s ❛❜❧❡ t♦ ♣❛ss str❛✐❣❤t
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D ≈ 0.562✱

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B

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A

D < 0.562✱

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B

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D

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0.5613

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D = 0.56169✱

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❍♦✇❡✈❡r✱

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✼

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✸ P❛rt✐❝❧❡ ❈✉rr❡♥t
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❝❤♦♦s❡ ❛♥ ❡✈❡♥ ✜♥❡r st❡♣✲s✐③❡ ❢♦r D ✇❡ ✜♥❞ t❤❛t ✐t ✐s ❡✈❡♥ ♠♦r❡ s❡♥s✐t✐✈❡✮✳
❋♦r s♠❛❧❧ D ✈❛❧✉❡s ✇❡ s❡❡ ❛ str♦♥❣ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝✉rr❡♥t✳ ❚❤✐s ✐s ❜❡❝❛✉s❡
♣❛rt✐❝❧❡s ❢❡❡❧ ❧✐tt❧❡✲t♦✲♥♦ ❡✛❡❝t ✇❤❡♥ ❡♥t❡r✐♥❣ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❣✐♦♥ ❛♥❞ ♣❛ss
str❛✐❣❤t t❤r♦✉❣❤ r❡❧❛t✐✈❡❧② ✉♥s❝❛t❤❡❞✳ ❆s D ✐♥❝r❡❛s❡s✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❣r❛❞✉❛❧
❞❡❝r❡❛s❡ ✐♥ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ✉♥t✐❧ D ≈ 0.561 ✇❤❡r❡ t❤❡r❡ ✐s ❛ s❤❛r♣ ❞❡❝❧✐♥❡ ✐♥
t❤❡ ❝✉rr❡♥t ✭s❡❡ ✐♥s❡t ♦❢ ❋✐❣✳ ✺✮✳ ❆❢t❡r t❤✐s D ✈❛❧✉❡ t❤❡ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ❛♥❞
❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ♦s❝✐❧❧❛t❡s ❡rr❛t✐❝❛❧❧② ✉♥t✐❧ D ≈ 0.5756✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❛s
t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡r D ✐s ✈❛r✐❡❞✱ t❤❡ ❝✉rr❡♥t✱ ♦r✐❣✐♥❛❧❧② ✐♥ ♦♥❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥✱
❝❛♥ ❞r♦♣ t♦ ③❡r♦ ❛♥❞ t❤❡♥ r❡✈❡rs❡s✳ ■♥ t❤❡ ❢♦rt❤❝♦♠✐♥❣ ✇❡ ❛ss♦❝✐❛t❡ t❤❡
❢r❡q✉❡♥t ❝✉rr❡♥t r❡✈❡rs❛❧s t♦ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ tr❛♥s✐❡♥t ❝❤❛♦t✐❝ ❞②♥❛♠✐❝s✳ ❋♦r
D & 0.5756 t❤❡ ❝✉rr❡♥t ♣❧❛t❡❛✉s ❛♥❞ ✜♥❛❧❧② ❛t D ≈ 0.58 t❤❡ ❝✉rr❡♥t ♠❛❦❡s ❛
s❤❛r♣ r✐s❡✱ ❜❡❝♦♠✐♥❣ ♣♦s✐t✐✈❡✱ ❜❡❢♦r❡ t❡♥❞✐♥❣ t♦ ③❡r♦✳ ❚❤✐s s❤❛r♣ r✐s❡ ❝❛♥ ❜❡
✉♥❞❡rst♦♦❞ ✐❢ ✇❡ ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♣♦t❡♥t✐❛❧✳ ❆s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✱
❢♦r t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❞②♥❛♠✐❝s✱ ❛s D ✐♥❝r❡❛s❡s s♦ ❞♦❡s t❤❡ ❡♥❡r❣② ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥
t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❛♥❞ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧② ♣❛rt✐❝❧❡ A ❤❛s ❧❡ss ❡♥❡r❣②✳ ▼♦r❡
❝♦♥❝r❡t❡❧②✱ ❛s D → (0.9 − 1/π ≈ 0.5817) t❤❡♥ EA → 1/π ≈ 0.3142 ✭❜❛rr✐❡r
❤❡✐❣❤t ♦❢ t❤❡ ✇❛s❤❜♦❛r❞ ♣♦t❡♥t✐❛❧✮✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ♣❛rt✐❝❧❡ A ✇✐❧❧ ❤❛✈❡ s✉✣❝✐❡♥t
❡♥❡r❣② t♦ ♠❛❦❡ ✐t ♦✈❡r t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❜❛rr✐❡rs ✐t ♣❛ss❡s ✇❤✐❧❡ tr❛✈❡❧❧✐♥❣ t♦ t❤❡
✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❣✐♦♥✱ ❜✉t ♦♥❝❡ t❤❡r❡ ✇✐❧❧ ♥♦t ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ♣❛ss t❤r♦✉❣❤ ❛♥❞ ♠✉st
✐♥t❡r❛❝t ✇✐t❤ ♣❛rt✐❝❧❡ B ✳
❆♥♦t❤❡r ✐♥t❡r❡st✐♥❣ ❢❡❛t✉r❡ ♦❢ t❤✐s ♣❧♦t ✐s t❤❡ ♥✉♠❡r♦✉s ♣❧❛t❡❛✉s t❤❛t
❛♣♣❡❛r ❢♦r ♥❡❣❛t✐✈❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❝✉rr❡♥t✳ ❚❤✐s ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❛t t❤❡r❡ ❛r❡
❝❡rt❛✐♥ r❛♥❣❡s ♦❢ D ✇❤❡r❡ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ❞♦❡s ♥♦t ♦s❝✐❧❧❛t❡ ❡rr❛t✐❝❛❧❧②✱ ❜✉t
r❛t❤❡r✱ ✐t st❛②s ❛❧♠♦st ❝♦♥st❛♥t✳

✽

30
10 D = 0.5613

D = 0.3

5

20

0
10

q

q

-5
0

-10
-15

-10
-20
-20

-25
0

10

20

30

40

50

20

40

60

✭❛✮

Time
30

-30 0

60

80

100

120

140

160

✭❜✮

Time
100

D = 0.5617

D = 0.5672

80

20

60

10

q

q

40
0

20
-10
0
-20
-20
0

50

100

150

200

250

0

500

1000

✭❝✮

Time

Time

1500

2000

✭❞✮

D = 0.58169

0
-50

q

-100
-150
-200
-250
-300
0

5000

10000

15000

Time

20000

25000

30000

✭❡✮

❋✐❣✉r❡ ✸✿ ✭❈♦❧♦✉r ♦♥❧✐♥❡✮ ❊①❛♠♣❧❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s ✉s✐♥❣ ❛ r❛♥❣❡ ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t D
✈❛❧✉❡s✳ ❚❤❡ r❡❞ ✭s♦❧✐❞✮ ❧✐♥❡ s❤♦✇s t❤❡ t❡♠♣♦r❛❧ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ P❛rt✐❝❧❡ A✱ ✇❤✐❧❡
t❤❡ ❣r❡❡♥ ✭❞❛s❤❡❞✮ ❧✐♥❡ s❤♦✇s t❤❡ t✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ♣❛rt✐❝❧❡ B ✳ ❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧
❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ❡❛❝❤ tr❛❥❡❝t♦r② ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ ❛s q1 (0) = −25.5✱ q2 (0) = 0✳
✾

1

1
D = 0.3

D = 0.5613

0.8
Partial Energy

Partial Energy

0.8

0.6

0.4

0.2

00

0.6

0.4

0.2

50

100

150

200

250

00

300

150

200

250

300

✭❜✮

1
D = 0.5617

D = 0.5672

0.8
Partial Energy

0.8
Partial Energy

100

Time

1

0.6

0.4

0.2

00

50

✭❛✮

Time

0.6

0.4

0.2

50

100

150

200

250

00

300

500

1000

1500

✭❝✮

Time

Time

2000

2500

3000

✭❞✮

1
D = 0.58169

Partial Energy

0.8

0.6

0.4

0.2

00

5000

10000

15000

20000

Time

✭❡✮

❋✐❣✉r❡ ✹✿ ✭❈♦❧♦✉r ♦♥❧✐♥❡✮ P❛rt✐❛❧ ❊♥❡r❣✐❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s
✐♥ ❋✐❣✳ ✸✳ ❆❣❛✐♥✱ t❤❡ t❡♠♣♦r❛❧ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ♣❛rt✐❝❧❡
✭s♦❧✐❞✮ ❧✐♥❡✱ ❛♥❞ ♣❛rt✐❝❧❡

B

A

❜② t❤❡ ❣r❡❡♥ ✭❞❛s❤❡❞✮ ❧✐♥❡✳

✶✵

✐s s❤♦✇♥ ❜② t❤❡ r❡❞

0.4
1.2

0.3
0
-0.2
0

Current

0.2

0.3

0.58

0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
0.56

0.565

0.57

0.575

0.58

D

❋✐❣✉r❡ ✺✿ ✭❈♦❧♦✉r ♦♥❧✐♥❡✮ ❚❤❡ ❝✉rr❡♥t ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ D✳ ❚❤❡ ✐♥s❡t ❞✐s♣❧❛②s
t❤❡ ❝✉rr❡♥t ❢♦r t❤❡ ❢✉❧❧ r❛♥❣❡ ♦❢ D ✈❛❧✉❡s✱ ♥❛♠❡❧② 0 ≤ D . 0.5817✳ ❚❤❡
♠❛✐♥ ✜❣✉r❡ ❞✐s♣❧❛②s✱ ✐♥ ❞❡t❛✐❧✱ t❤❡ s❡♥s✐t✐✈✐t② ♦❢ t❤❡ ❝✉rr❡♥t t♦ ❝❤❛♥❣❡s ✐♥ D✳
❚❤✐s ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ❜♦tt♦♠ r✐❣❤t ❝♦r♥❡r ♦❢ t❤❡ ✐♥s❡t✳

✹ P❛rt✐❝❧❡s ❙♦❥♦✉r♥ ✐♥ ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❘❡❣✐♦♥
❆ ♠♦r❡ ❞✐r❡❝t ✇❛② ♦❢ ❡①❛♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ❡✛❡❝t t❤❛t t❤❡ ❝♦✉♣❧✐♥❣ str❡♥❣t❤ ❤❛s ♦♥
t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐s t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ t✐♠❡ t❤❛t ♣❛rt✐❝❧❡s A ❛♥❞ B s♣❡♥❞
✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❣✐♦♥✳ ▼♦r❡ ❢♦r♠❛❧❧②✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ t❤❡ t✐♠❡ t❤❛t
t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s s❛t✐s❢② t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥
|q1 (t) − q2 (t)| ≤ 10 ,

✭✶✷✮

♦✉ts✐❞❡ ♦❢ ✇❤✐❝❤✱ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t ♦❢ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ✇✐❧❧ ❛❧♠♦st ❜❡ ❡q✉❛❧ t♦ ③❡r♦✳
❋✐❣✉r❡✳ ✻ ✭❧❡❢t ♣❛♥❡❧✮ s❤♦✇s t❤❡ s♦❥♦✉r♥ t✐♠❡s ❢♦r ❛♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ♦❢ ✐♥✐t✐❛❧
❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ D = 0.5617 ❛♥❞ D = 0.5672 ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥
♦❢ t❤❡ ❛♥❣❧❡ α = tan−1 (p1 (0)/q1 (0))✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ✈✐❡✇❡❞ ❛s t❤❡ ✐♥❝✐❞❡♥t
❛♥❣❧❡ ✐♥ t❤❡ (q1 , p1 ) ♣❤❛s❡ ♣❧❛♥❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧❧② ❢r❡❡ ♣❛rt✐❝❧❡ A✳ ❲❡ s❡❡
✇✐t❤ t❤❡ ❧♦✇❡r D ✈❛❧✉❡ t❤❛t t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s ❛❧❧ s♣❡♥❞ ❛ r❡❧❛t✐✈❡❧② s❤♦rt t✐♠❡
✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❣✐♦♥ ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ t✐♠❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❡❛❝❤ ✐♥✐t✐❛❧
❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s ❛❧♠♦st t❤❡ s❛♠❡✳ ❆ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤✐s ✐s ❛ ❢❛✐r❧② ❧❛r❣❡ ❝✉rr❡♥t✱
p̄ = 0.262✱ ✐♥❞✐❝❛t✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s ❧❡❛✈❡ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❣✐♦♥ ✐♥ ❛
♣r❡❢❡rr❡❞ ❞✐r❡❝t✐♦♥✳ ■♥ ❝♦♥tr❛st✱ ❢♦r t❤❡ s❡❝♦♥❞ D ✈❛❧✉❡ t❤❡ t✐♠❡ ❢♦r ❡❛❝❤
✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s ♥♦t✐❝❡❛❜❧② ❧♦♥❣❡r t❤❛♥ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❝❛s❡✳ ❋✉rt❤❡r✱
t❤❡s❡ t✐♠❡s ❛r❡ ♠✉❝❤ ♠♦r❡ ✈❛r✐❡❞ ❛♥❞ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❧❛r❣❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥
t❤❡ s♠❛❧❧❡st ❛♥❞ ❣r❡❛t❡st t✐♠❡ ❢♦r t❤✐s ❡♥s❡♠❜❧❡ ✭❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❧② ✷✼✵✵ t✐♠❡
✉♥✐ts✮✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❛s ❛ ❤❛❧❧♠❛r❦ ♦❢ ❝❤❛♦t✐❝ s❝❛tt❡r✐♥❣ ❬✷✶❪✲❬✷✺❪❀ t❤❡ s♦❥♦✉r♥
t✐♠❡ ❞❡♣❡♥❞s s❡♥s✐t✐✈❡❧② ♦♥ ❝❤❛♥❣❡s ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✈❛❧✉❡s ❜❡❝❛✉s❡ ❝❤❛♦t✐❝
s❛❞❞❧❡s✱ ❢♦r♠❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♥❣ st❛❜❧❡ ❛♥❞ ✉♥st❛❜❧❡ ♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ ✉♥st❛❜❧❡
✶✶

3000

50000

2500
40000
2000
Time

Time

30000
1500

20000
1000
10000

500

0 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 -1.5

-1

-0.5

Angle

0

0.5

1

1.5

Angle

❋✐❣✉r❡ ✻✿ ✭❈♦❧♦✉r ♦♥❧✐♥❡✮ ❙♦❥♦✉r♥ t✐♠❡ ♦❢ ❛♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ♦❢ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥ t❤❡
✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❣✐♦♥✳ ▲❡❢t✿ ❚❤❡ ❣r❡❡♥ ✭s❝❛tt❡r❡❞✮ ♣♦✐♥ts s❤♦✇ t❤❡ t✐♠❡ ❢♦r t❤❡

D = 0.5617✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ r❡❞ ✭❧♦✇❡r ❧✐♥❡✮ ✐s
D = 0.5672✳ ❘✐❣❤t✿ ❙❛♠❡ ❛s ❧❡❢t ✇✐t❤ D = 0.58169

❡♥s❡♠❜❧❡ ✇❤❡♥
✇❤❡♥

❢♦r t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s

♣❡r✐♦❞✐❝ ♦r❜✐ts✱ ❣♦✈❡r♥ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s✳ ■♥ ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧✱ ❡s❝❛♣✐♥❣ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s
❢♦❧❧♦✇ t❤❡ ✉♥st❛❜❧❡ ♠❛♥✐❢♦❧❞s ♦❢ s❛❞❞❧❡ ♣♦✐♥ts ✇❤❡r❡❛s t❤❡r❡ ❛r❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s
t❤❛t r❡♠❛✐♥ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❣✐♦♥ ♦r s♣❡♥❞ ❛t ❧❡❛st s♦♠❡ t✐♠❡ t❤❡r❡
❜❡❢♦r❡ ❡s❝❛♣❡ ❛s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❝❤❛♦t✐❝ s❛❞❞❧❡s✳ ❋r♦♠ t❤❡
❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ s♠❛❧❧ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❝✉rr❡♥t✱

p̄ = 0.009✱

✇❡ ✐♥❢❡r t❤❛t t❤❡ ❡①✐t

♦❢ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ r❡❣✐♦♥ ♣r♦❝❡❡❞s s✉❝❤ t❤❛t t❤❡② ✈✐rt✉❛❧❧②
❜❛❧❛♥❝❡ ❡❛❝❤ ♦t❤❡rs ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ♥❡t ❝✉rr❡♥t✳ ❚❤❡ ✇✐♥❞♦✇ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣
♥♦ ♣♦✐♥ts ✐s ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ✇✐t❤ ❛ ❧♦✇❡r
t❛❦❡♥ ✐♥✐t✐❛❧❧② ❜② ❛♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ♦❢ ♣❛rt✐❝❧❡s
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