Kerangka Acuan Stokastik Bagi Pengukuran Fertilitas
A& tidak.nI.
&,j+l(xi,c ) A + @A): peluang seorang wanita
melakukan transisi dari Qi ke Q;+I.
(mempunyai kemajuan paritas).
Fungsi-fnngsi intensitas ini bersama dengan
state awal pada usia xio menentukan nilai dari
peluang-peluang transisi. Hal ini dapat dijelaskan
melalui Gambar 2.
Mengikuti bentuk u n u n di atas, pelnang
seorang wanita dalam selang usia (xio, xi) tidak
lamil (atau lia~nildengan dnrasi k m g dari 20
minggu) dan pada akhir periode berada dalam Q;
dinyatakan dengan pj,:'(xio, xi).
Dengan
mempergunakan
fnngsi-fungsi
intensitas di atas dan prosedur standar dalam teori
proses stokastik diperoleh:
Persamaan tersebut menyatakan bahwa peluang
wanita berparitas ke-i tidak hamil pada selang usia
(xiax,+A) m a dengan peluangnya untuk tidak
hamil pada selang usia (xiax;) dan pada selang A
dia tetap tidak hamil jum.
I
kandungan 220 minggu
kematian janin
tidak ada kandungan
dalam 220 minggn
l+P++.i.(~j,
q)A+o(A)
menopause
Gambar 2. Model fertilitas stokastik
selanjuhlya
difomula-formula
yang menyatakan hubungan antara beberapa laju
pusat (laju fertilitas total, laju kehamilan dan laju
k e l a l h langsung) dan pelnang-peluang dalam
paritas ke-i (peluang ke~najnanparitas, pelnang
kemajuan kehamilan dan pelnang kemajuan paritas
langsung).
Peluang Transisi Berganda
Untuk seorang wanita dengan paritas ke-i yang
berusia x j 0 selama selang usia (xjhx;) ia
mempunyai kemungkinan untuk mengandung
beberapa kali clan pada aklur periode berada pada
salah satu state. Untuk itu diperkenalkan pelnang
transisi berganda yang secara mum berbentuk
P$)(x;o,xj).
Peluang transisi berganda di atas merupakan
peluang seorang wanita dalain selang usia (xi&xi)
untuk tne~npunyaiat kali kel~milandengan durasi
20 ininggn atau lebili dan pada aklur periode
berada dalam Qp; Q 6 { Q;, Q;+,
Qi+l,9.).
Pengorganisasian ke~nbali persamaan di atas
lnemberikan
=
p ~ ~ ) ( x j o+A)
, x j p~~'(xjo,xj)
-
p~.~)(xi0,x;)
A,i(x;)A + @A)
Pembagian masing-masing mas dengan A
memberikan
P ~ ~ ' ( ~ , ~ , ~ ~ + A )-- P ~ ~ ) ( ~ ~ ~ , ~ ~ )
A
P:,' (xi0 ,x; 1 2+ix;
, ( 1+ o(A)
A '
dengan menghitung limit untuk A 4 , maka
diperoleli persamaan diferensial berikut
d
(0)
- pj.:)(xi0,xi) = Pi,! fxi0,x;) &,i ( ~ 0 . (3)
dxi
Pengintegralan masing-masing mas seteldl
pengorganisasian kembali Persalnaan (3),
meughasfikan
xi
~ n p $ ~ ~ )xi)
( x =; ~Jhi,;
, (wi)divi
210
sehingga solusi nilai p$'(x,, x i ) adalah
p ~ ~ ) ( ~ i=oesp
,~j)
Lso
div;
1
.
(4)
=i
40
xi0
b
I
1
Peluang seorang wanita dalain selang usia
antara xjodanxi untuk mempunyai n kali kelamilan
yang masing-masing berdurasi 20 minggu atau
lebih dan pada akhir periode berada dalam Q, (n>0)
dinyatakan sebagai p~,:'(x,, xi) .
Ada dua kejadian yang mungkin dialami
seorang wanita berparitas ke-i yang telal~
mempunyai n kali kehamilan pada selang usia
(xj&x;+A)dan tetap tidak lamil pada &lit
periodenya. Kejadian pertama ialali ia telal~
meinpunyai n kali kehamilan daliun selang usia
(x;,xi) dan pada selang A berikutnya ia tetap tidak
lamil juga. Kejadian yang ke dua ialall ia telal~
mempunyai n-1 kali kehamilan pa& selang usia
(xjhxi-ri)dan mempunyai satu kehamilan lagi pada
selang (xi-9,x;) yang kemndian gugur pada selang
(x;,xj+A). Transisi tersebut secara graf?s
diilustrasikan dengan diagram dalam Gambar 3.
Secara fonnal la1 ini dinyatakan sebagai berikut:
P $ ' ( x j o , ~+iA ) = P ~ ; ) ( x i o ,{l+
~ i ) ,$;(xi) A
Jaj,j(lvi)
dw,]
xi
,esp[- J2j,j(ivi) div,] = esp[-
p~:-"(xjo,
xi - r, 1 Ad, ( x ~ 4 )
o
pj:?;,(x; - rj,x;)4 a . i (xj.4) d4.
Dengan menyederltanakan persamaan di atas,
diperoleh
Pengintegralan masing-masing mas persamaan di
atas
terladap
xj
dan
pensubstitusian
=i
exp f
laj,j(ivi) div,]
dengan ':F
(x,, x,)
diperolell solusi:
P ~ ~ ' ( X ; ~ , X=
; )p::'(xj0,xj)
0
+ o (A)}dd.
Analog dengan proses solusi persamaan (4),
pj:li. (ti- ri,t;)h+.i(ti,d ) 6 % ]dG
p ( x j o x,
memenuhi persamaan diferensial dengan p$:lj+(ti ri,ti)
berikut
d
= exp Jaj*,;.( ~ V ~ , I-ti
V ~ + r j ) d1vi .
- ~j;'(x~o,x;)= P;,;)(x;0,xi)h,i(xi)
tj-r;
-
I
[
h i
b
P$-~'(X,,X~- r;) /Zi.u(xi-%)
+
maka
=;a
0
(0)
p;*,i+
(x;- 7;,xi)hi.;(xi,d ) dd.
(5)
5
Analog dengan proses solusi persamaan (4),
p").
m e ~ p a k a nsolusi dari persamaan
l i . 8 . (ti -r,,t,)
dierensial
d
t i ".'* (ti -'Ti,tj)=p::;;*(!i-T~,!~)&*,;*
(ti,q).
Pengalian dengan exp [- jAj,i(lvi)dwi] masingxi0
masing ruas persamaan (5) memberikan:.
d
{ - p ; x i 0 x i - p,l:)(xio,X i ) A,;(xi) 1
dx;
Frekuensi
n
0
n-1
1
A
.I,
A
kehamilan
Usia
X;o
xi A
xio
x,-4 2,-ri+drj
State
Qi
Qi
Qi
Qi Qia
Gambar 3. Transisi-transisi dalam n kali kelamilan yang gagal.
4,
1'
a
(6)
4,
?;
Q
0
xi+A
Q;
6
I
Usia
State
xjo
Qi
x,-l;
a
\
Peluang
x,r, +dr,
X;
L?;e
Q;+
-''-T'-
Y
P:;"-1)(xi0.x; - ~
I
i
)
,
w
4,;.(xi -?)
pi:!;. (xi - r ; , ~ ; )
Gambar 4. Transisi-transisi dalam kebamilan kc-n.
I
Usia
State
xio
Qi
1,
xi
Qie
Q;+I
,
V L
V
pi2 (x;O,t;)
&,;+I (t;,l;)
Gambar 5. Transisi kemajuan paritas dengan n+l kali kehamilan.
Peluang
Peluang seorang wanita pada selang usia antara
xj0 dan xi untuk mempunyai n (n>O) kandungan
yang masing-masing berdurasi 20 minggu atau
lebih dan pada akhir periode berada dalam Q;.
dinyatakan sebagai
( x j o , x j ) . Formula bagi
p$i
P$,:i
(x,, ,x i ) dapat dipenuhi melalui hubungannya
Peluang seorang wanita berada dalam state Qi
yang dinyatakan sebagai p;,;(xj0,x;) adalah
pi; (x;o,xi) =
m
C
pl:) (x;o,x,) .
(9)
-0
Peluang seorang wanita berada dalam state Q;,
yang dinyatakan sebagai p,;. ( x ; ~x;)
, adalal~
dengan p:Y1 (xio,xj),yaitu:
"=I
b
p;;: (xjo,x;)=J pi.Y-l)(xjo,xj- r;)
0
A,;. (x;-rJ P>tI;+
(xi - r ; , ~ ;dl;.
)
Peluang seorang wanita berada dalam Qirl yang
dinyatakan sebagai pi,;+l(x;~,
x;) adalah
m
p;.i+l(xio,x;) =C ~ j : : ~ ~ x ; ~ , x ; ) . (11)
(7)
"=I
Persamaan (7), seperti ditunjukkan dalam Gambar
Peluang
transisi
p;,; (x;o, x;) dan p;,;. (xi&x;)
4, didasarkan pada tiga transisi:
masing-masing berkorespondensi dengan (n-1)
seorang wanita pada usia x,-l; berada dalam
keguguran janin pada paritas kc-i dan tidak
kondisi tidak tidak hamil, setelah hamil yang
mengalami kelahiran hidup ke-(i+l). Perbedaan
ke-(n-I) kali,
antara keduanya adalah state di mana wanita
wanita tersebut rnenjadi hamil satu kali pada
tersebut berada pada waktu xl P ; , ~(x;&xi) bemda
selang usia (x,-?, x,-l; +dl;), dan
pada Q; dan p,;+ (x;&xi) berada pa& Q;,. Peluang
wanita tersebut tetap lmmil pada nsiax;.
transisi
(xi& berkorespondensi dengan (n-1)
Peluang seorang wanita hamil sebanyak n kali keguguran janin dan kclahiran hidup ke-(i+l).
yang masiug-masing kandungannya berdurasi 20 Total nilai dari ketiga peluang tersebut adalah satu,
minggu atau lebih dan pada akhir periode berada karena pada usia x; seorang wanita hams berada
dalam Q;+I(n>O)diiotasikan denganpj,~~,(xio,xj).dalam salah satu kondisi: pada paritas ke-i atau
telah berlanjut pada paritas ke-(i+l) selain
Formula bagi p$;l (xiO,xj)&pat dipenuhi melalni mengalami menopause.
Dari model tersebut, selanjutnya akan
hubungannya dengan
(xio,xi),yaitu:
diturunkan
formula yang menyatakan hubungan
=;
antara
peluang
kemajuan paritas dan laju fertilitas
pj:?I (xjO,x;)
=
~ $ i ( % o ~&*,;+I@"
ti)
&; (8)
total,
peluang
kemajuan ketmmilan dan laju
li0
Persamaan (8) &pat diilustmsikan secara grafis kehamilan, s e m peluang kemajuan paritas
langsung dan laju kelaluran langsung.
dalam Gambar 5.
p$i
Peluang Kemajuan Paritas dan Laju Fertilitas
Total
Peluang kemajuan paritas ke-i (parity i
progression probabilily) adaldt peluang seorang
wanita berparitas ke-i pada selang usia antara xio
dan x, untuk mencapai paritas berikutnya. Peluang
ini dinotasikan dengan
(xioj,), tetapi untuk
mempermudalt penulisan selanjutnya cukup
dituliskan dengan p;,;,,.
Laju kemajuan paritas ke-i yang diinotasikan
dengan r;,;+ldidefinisikan secara verbal oleh
Golbeck (1989) sebagai berikut:
';.it1
rataan banyaknya wanita berparitns ke - i
yang mempunyai paritas ke - (i +I)
=
rataan populasi wanita berparitas kc - i
yang tidak melahirkan anak k e - ( i + l )
Dalam hal ini kelahhan seorang anak menyebar
Bernoulli @;.i+~). Sehingga rataan banyaknya
wanita berparitas ke-i yang mempunyai paritas keUntuk mendapatkan formula
(i+l) adalah pi,;+~.
yang menyatakan penyebut dari r,,l diperkenalkan
sedemikian
fungsi indikator I, ,Vx'xe(xiax;),
selingga
1 jika seorang wanita tidak mempunyai
kelaluran ke-(i+l) pada usia x
I, =
0 selainnya.
Perltatikan ballwa peluang seorang wanita untuk
tidak melnpunyai keldtiran hidup pada selang
(xi, xi +A) adalah l-A,;+; (x;,~)A + 00.
Dengan delnikian
P{I,+d=l}= P{I,=l}[l-~,;+l(xi, G) A + of@].
Analog dengan proses solusi p e r s m a n (4),
diperoleb
I
xi
P{I,=l}
= exp{
I
(xi0
0
Sebagai fungsi resiko,
dalam
dapat dinyatakan
+
Pengintegralan masing-masing ruas memberikan
-
7
(ti) dt, =ln{l-Fj,i+l(x;)}sehingga
xio
exp 1-
xi
I
Aj,i+I (ti) dti I = 1-6,;+1(x;),
xi0
karena F;,;+l(x;) = p,,~ (xj0,xm),maka laju fertilitas
di atas dapat dimyatakan sebagai
Pi.i+l
~ z ; + I= xm_
(12)
J ~ - P +I(x;o.
~ . ~ xi0 +GI ]dli
0
Sebagai catatan, jika A,+~(x;)=A+, yang beraxti
tidak bergantung pada usia, maka persamaan
tersebut tereduksi menjadi ri,i+l=A+l.
Proses penunman penduga dari
melibatkan
peubah acak T;,,, yang merupakan waktu tunggu
bagi seorang wanita
berparitas ke-i nntuk
mempunyai kelahiran hidup ke-(i+l). Peubah acak
memiliki fungsi kepekatan peluang yang
dinotasikan dengan fTi,;, (t) clan fonnulanya
diberikan oleh Golbeck (1988) sebagai berikut:
- I Aj,i+l (ti) dti }.
li0
Dengan demikian penyebut dari persamaan r;,;+l
dapat diformulasikan melalui
EflJ cLxi = P{I,=l} cLxi
dengan
-I
if^^,,, ( 0 dt =1
0
xi
= exp{
X,"..YjO
hi,i+l (ti) dti }dx;.
xi0
Persamaan di atas menyatakan rataan populasi
dalam (x;,x;+cLx;). Pengintegralan dari xjo ke x,
terhadap permaan di atas menghasilkan rataan
populasi dalan selang (xiax,),
Sellingga laju fertilitas di atas lnenjadi
Nilai larapan dari waktu tunggu
ini adalah
- xnr-*ro
1
E[T;,i+lI=
ti[ -pi.;. (xi0 ,xiof fi)
0
Pi,iil
I
cvj.
A,+.~+~
(xi' + t;, %)I
113)
Pengintegralan persamaan (13) secara parsial
dengan
u = t i dan
dv = p,i+ (XIO,
xio+ti) &+.;+I(xi0 +t;, ir) dti
menghasilkan
~i+.i(xio+ti, zi)
+ pj,;:
(XI,, Xi0 +fi )
J-i+,i+i (xi0 +ti, zi) }.
Nilai harapan dari waktu tunggu ini adalah
1- P i +
1
+ -.
= - (xm-xjo)
(14)
Pi,iil
"f.i+l
Dari penyelesaian persamaan (14) untuk pi,i+~,
didapatkan fonnula dasar yang menyatakan
peluang kemajuan pada paritas ke-i dalam
hubungannya dengan laju kemajuan paritas,
(18)
Pengintegralan persamaan (18) secara parsial
dengan u = 1, dan
dv = { pj,:?, (xiO,xi0 +ti) A*.?(xi0 +ti. G)
Peluang Kemajuan Kehamilan dm Laju
Kehamilan
Peluang kemajuan kehamilan pada paritas ke-i
adalah peluang seorang wanita berparitas ke-i pada memberikan
selang usia antara xiodan x, untuk mempunyai satu
kandungan yang berada dalam Qj atau Q;+I.
Peluang ini dinotasikan denganpi, (X~OJ,,,),
tetapi
untuk mempermudah penulisan selanjutnya cukup
dituliskan dengan p,,,
sedemikian sehingga
memenul~ipersamaan:
(1)
Pi.ir = P I : : ) ( X ~ O ,+
Xpij+l
~ ) ( X ; O ~ X. ~ , ) (16)
Laju kemajuan kehamilan pada paritas ke-i
yang diiotasikan dengan rj,j, didefinisikan secara
verbal oleh Golbeck (1989) sebagai:
rataanbanyaknya wanitaberparitas ke - i
yang hamilsecara langsung
r,,. =
rataanpopulasi wanita bepantas ke - r
yang tidak liamiisecara langsung
Dari definisi verbal tersebut, analog dengan
formulasi persamaan (12) diperoleh
r;,;. =
Dimisalkan T;,i, sebagai waktu tunggu dari
seorang wanita pada paritas ke-i untuk secara
langsung menuju ke state kehamilan (dengan
dnrasi 20 rninggu atau lebih). Ti,;. merupakan
peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang
fTj,,, (1) yang formulanya diberikan oleh Golbeck
(1988) sebagai berikut:
Dari penyelesaian persamaan (20) untuk pi,!+
didapatkan formula dasar yang menyatakan
peluang kemajuan kehamilan pada paritas ke-i
dalam kaitannya dengan laju kemajuan kehamilan
pada paritas ke-i,
Peluang Kemajuan Paritas Langsung dan Laju
Kelahiran Langsung
Peluang kemajuan paritas langsung ke-i (direct
purity i progression probability) adalali peluang
kemajuan paritas ke-i dengan kesuksesan langsung.
(xjo, x m ) ,
Peluang ini dinotasikan dengan
pk:),l
tetapi untuk menlpemudah penulisan selanjutnya
cukup dituliskan dengan p;,::),,
Laju kelahiran langsung pada paritas ke-i yang
dmotasikan dengan r(jii didefinisikan secara
verbal oleh Golbeck (1989) sebagai:
rataan banyaknya wanita berparitas ke - i yang
mempunyai paritas ke-(i+l) secara langsung
r"'
=
~J+I
rataan populasi wanita berparitas ke - i yang
tidak hamil secara langsung
Dari definisi verbal tersebut, analog dengan
formutasi persamaan (12) diperoleh
r."' =
,.,+I
Dengan mensubstitusikan Nlai r
dari
persanaan (22), lnaka persamaan (19) dapat
ditnliskan sebagai
Pi,!&
-(x,-xio)
Dari persamaan (23),
sebagai berjkut
Pi i+i
11-pi,,?+I+- "
421
p,l:!i
1.
(23)
dapat dinyatakan
=
P~,~.ET,+I
+ - P , ~ - X ~ O (24)
.
Dengan ~nensubstitusikanpi,,i+dari persamaan (21)
ke dalam persmaan (241, maka diperoleh peluang
kemajuan paritas langsung ke-i dalam kaitannya
dengan laju kemajuan kehamilan pada paritas ke-i,
Kategori ke dua melibatkan banyaknya wanita
yang memiliki kelahiran ludup ke-(iil), dibedakan
menjadi:
Bi banyaknya wanita yang mempnnyai (i+l)
kelahim llidup selama tahun yang sama,
tidak memandang apakah mereka mempunyai
keguguran janin atau tidak dalam paritas ke-i.
By' banyaknya wanita yang lnempunyai (iil)
k e l a h i i hidup selama tahun yang m a , dan
tidak mempunyai keguguran janin d a h u
paritas ke-i.
Fy' banyaknya wanita yang mengalami satu kali
keguguran janin selama tal~nnyang sama dan
tidak mempnnyai keguguran lain dalam
paritas tersebut.
Kategori ke tiga melibatkan usia rata-rata wanita
dalam state-state tertentu, yak^:
Xi usia rata-rata wanita dalam kondisi Bi
X$ usia rata-nta wanita dalam kondisi B
y'
X% usia rata-rata wanita dalam kondisi F?'
Xy' usia rata-rata wanita berparitas i pada
kehamilan (dengan durasi 20 minggu atau
lebih) yang selanjutnya @obot rataan dari
x.Y$ dan )
A,: usia rata-rata wanita mencapai rllenopause.
x::
+
0, =
Pi,i+~
(Xvz-xio) ri,i+1
1+{x,,,-xio - E[q,i. lfri,i+
(25)
Penduga laju fertilitas yang dinotasikan dengan
issecara konvensional dinyatakan sebagai:
&,a =Bi,pl wi,p;
dengan Bi,p menyatakan banyaknya w a ~ t a
berdasarkan kelahiran hidup ke-(iil) dan atau
kegagalan janinnya sedangkan Wj,,p menyatakan
rataan banyaknya wanita berparitas ke-i pada tal~nn
yang diamati berdasarkan ada atau tidaknya
keguguran janin (Golbeck, 1988). Penduga
Penduga
Untuk
peluang-peluang di atas
diperlukan tiga kategori data populasi wanita parameter ruas kanandari perSam- (14), (20) dan
be~aritas ke-i.
Kategori pertama lUelibatkan (24) selengkapnya
&lam Tabel 1,
ban~aknya wanita dalam p"pnlasi2 dibedakan Tabel 1. Penduga beberapa parameter dalam model
menjadi:
fertilitas
rata-rata banyaknya w a ~ t aberparitas ke-i
Wi
pada talmn yang diamati, tidak memandang
apakal~mereka men~punyaikeguguran atau
tidak dalam paritas tersebut.
Wy' rata-rata banyaknya wanita berparitas ke-i
pada tal~un yang diamati yang tidak
melnpunyai keguguran janin dalam paritas
tersebut.
Berdasarkan penduga parameter di atas
diperolell penduga dari peluang-peluang dalam
persamaan (15), (21)dan (25).
Selungga penduga dari pi,i+ladalall
( X , -xi)Bi /Wi
I + { X , -Xi+l}BiI W;
< (x,,-xix~j0)
+F/"))IW/O)
1 + {X,, -x,(O)}(B,(O)
+~ , ( o ) ) l l V / ~ )
'
penduga dari p,;,; adalah
dan penduga dari
adalall
Penduga-pendnga di atas mernpakan hasil dari
model yang dikembangkan untuk menentukan
ukuran chifertilitas.
Untuk dapat mempergunakan formula-formula
di atas, berikut dijelaskan data bagi parameterparameter yang bersesuaian. Data IV, dapat
diambil dari sensus, sedangkan data B , BY', X;
dan X $ berasal chi statistik vital kelaluran serta
data F?' , X$
janin.
x?'
berasal dari statistik vital kematian
sebagaimana
telah
disebntkan
sebelnmnya, mempa!an bobot rataan dari XyJ dan
x::.
Untuk B; dan Xi semua data dapat dipakai,
tanpa memperfimbangkan ada atau tidaknya
kematian janin dalam paritas ke-i. Sedangkan
untuk B , X$ , Fy' dan x$$dipakai data wanita
yang belum pernah mengalami kematian janin atau
wanita yang minimal mernpunyai seorang anak dan
setelall kelaluran anak terakllirnya tidak pernah
mengalalni kematian janin.
Jika w?) dapat
diperolell maka pendugaan tidak menemui kendala,
Nmun j i b sebaliknya maka diperlukan
pendekatan terbadap nilainya.
Sebagai pendekatan, dalam konteks pemodelan di
atas, berlaku:
Pi.i+l 5Pi.i..
Dengan mengambil masing-masing peuduganya
diperoleh
;;,i+15 3,;.i*.
Dengan mensubstitusikan persamaan (26) dan (27)
ke dalam pettidaksamaan di atas diperoleh:
y'
Pengorganisasian kembali pertidaksamaan di atas
lnemberikan
w?' [ ~+{X,-X?' }(BY' + F?')/ lV?']
-< [ 1+{xm-Xi+i}(Bi/Wi)I( W i / B i )
(BY' + F Y I )
Penyederhanaan
pertidaksamaan
di
atas
memberikan
~ ? ' s ( B y '+ F ~ ' ) [ x ? '- X + l + ( K B i ) ]
= max{
Wy').
Nilai max{Wy'} ini mernpakan batas atas
banyaknya wanita berparitas ke-i dalam populasi
yang tidak mempunyai kematian janin dalam
paritas tersebut.
Untuk mendapatkan batas bawalmya, dipenuhi:
Pi.i+lSPi,i+~
.
Kemndian dengan mengambil masing-masing
penduganya diperolel~
(1'
5..
> (1)
,.r+1- P !,,+I .
^
Dengan mensubstitusikan persamaan (26) dan (28)
ke dalam pertidaksamaan di atas diperoleh:
( X , -xi)Bi I w;
l + { X ,-X;+,}B;IW;
(X,,,- X i ) ~ j O1wj0)
)
Z+{Xm- X ~ ~ ) ) ( +B, ?~ $) ( O i o ) / 'J @ O )
Penyederlmaan
pertidaksamaan
di
atas
rnemberikan
Z B ~ [' X y ' -X+l+(K/Bi)]-
2
w?'
F?' (X,,,-X$ )
= min{ W?) }.
Batas bawah bagi banyaknya wanita dalam
populasi yang mempunyai satu atau lebih k e ~ ~ t i a n
janin sejak kelahim anak ke-i diperoleh:
Wi- max{ Wy' }= ]in{ IVj") }.
Sedangkan untuk batas atasnya diperoleh:
rVj- min { lv!" }= mar: { w j")1.
Uustrasi
Sebagai ilustrasi dilutung peluang kemajuan
paritas, peluang kemajuan kelmmilan dan peluang
kemajuan paritas langsung. Ilustrasi ini
direpresentasikan dala~nTabel 2 dan Tabel 3.
Dalam Tabel 2, input dari penduga beberapa
parameter diberikan berupa data hipotetik dari
besaran-besaran Pi/;, ~v,,,, B;, B Y ) , F ? ) . X,,yjPj,
(27.1, dan (28), dapat dilutnng peluang ke~najuan
parifas yang disajikan dalarn Tabel 3.
Tabel 3 menunjukkan bahwa peluang dari
kesuksesan talc langsnng dan kegagalan tahilp akhir
sedangkan X:, ditentukan senilai 50 tal~nn dalam ilustrasi ini bemilai kecil nntuk semua
(Golbeck,1989). Berdasarkan data pada Tabel 2, paritas. Hal ini mennnjukkan bahwa kematian
dengan menggunakan persarnaan-persamaan (261, janin relatif jarang terjadi.
denganx3= 27,49
Sumber: Golbeck (1988,1989).
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Model fertilitas stokastik yang telah dibangun
dapat melukiskan secara analitis fertilitas manusia
dalam kaitannya dengan usia, paritas, dan kematian
janin. Melaluj model ini dapat dievaluasi pengar&
masing-masing faktor yang tercakup &lam model
pada performan fertilitas. Selain itu, model tersebut
dapat dipakai sebagai kerangka acuan bagi analisis
lebih lanjut, misalkan telaah mengenai
implikasinya atau menjadiian model tersebut lebih
realistis.
Saran
Model ini dapat dibuat menjadi lebih realistis
dengan menyertakan penggunaan kontrasepsi,
kemnngkinan berakhimya kelamilan melalui
aborsi yang disengaja clan kemungkinan sterilitas,
baik alamiah rnaupnn disengaja.
DAFTAR PUSTAKA
Bhattacharya, B.N. & D.C. Nath. 1984. "An
Extension of A Parity-Dependent Model For
Number of Bilths and Estimation of
Fecundability".
Mathematical Bioscience
71:201-216.
Chiang, C.L. 1971. "A Stochastic Model of
Human Feltility". Bior~retrics27:345-356.
Chiang* C'L' 1984. "She* Communication
Parity Progression Ratio and Feailit~ Rate".
Mathenlatical Bioscience 70:105-108.
Parlow, S.J. 1994. An Introduction to D@rential
Equations and their Applications. McGlawHill. USA.
Gallager, RG. 1996. Discrete Stochastic Process.
Klnwer Academic Publishers, Massacl~usetts.
Gillespie, D.T. 1992. Mark011Process. Academic
Press, San Diego.
Golbeck, A.L. 1988. "F'arityProgression In The
Present of Fetal Death: Transforming Central
Rate Into Probabilities.'' Mathematical
Bioscie~?ce88:85-105.
Golbeck, A.L. 1989. "An Alternative Stochastic
~~~~~~~~k for ~
~
tpure i M~~~~~~~
~
~of ~
Fertilitv". Mathernotical Bioscience 96:117127.
Osaki, S. 1992. Applied Stochastic S'stenz
h,f0delljng, Springer-Verlag,Heidelberg,
Rajulton, H. 1985. "Heterogeneous Marital
BeI1aviour In Belgium, 1970 and 1977: An
Application of The
Model To
Period Data".
Mathen~atical Bioscience
73: 197-225.
Said,
1996, Per7gantarIl171uKependudukan
LP3ES, Jakarta.
1973.
Sheps, M. C. 61 J.
Mather7ratical Models o f Conception and Birth.
The University of chicago ~ r e s i USA.
.
Golbeck, A.L. 1986. "A Multiple Decrement
Fertility Table Based on Parity." Mathe17zatical Taylor,
MI & S. Karlin, 1984, An
Bioscience 79:73-86.
I~rtroduction To Stochastic Modeling.
Academic Press, Florida.
i
~
KERANGKA ACUAN STOKASTIK
BAG1 PENGUKURAN FERTILITAS
ASROFI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN JLMU PENGETAEKJAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2000
PENDAHULUAN
PROSES SEMI MARKOV
Latar Belakang
Masalah fertilitas tnanusia telah menarik
perhatian banyak ahli dari berbagai bidang dalam
beberapa dekade iN. Fenomena tingkat mortalitas
yang menurun dan tingkat fertilitas yang masih
tinggi memnbawa implikasi bempa laju
pertumbuhan penduduk yang pesat, untuk itu
diperlukan npaya-upaya untuk menurunkan ukuran
populasi melalui penurunan ukuran fertilitas.
Kajian mengenai fertilitas memusatkan
perhatian pada fenomnena yang berhubungan
dengan reproduksi manusia. Terdapat tiga tahap
penting dalam proses reproduksi sebagaimana yang
dikenal dan digunakan dalam hidup bermasyarakat
yaitu: hubungan seksual, konsepsi Wmbuahan),
serta kehamilan dan kelahiran (Said, 1996).
Secara umum kajian mengenai fertilitas selama
iN bedokns pada kelahiran hidup, sedangkan
kajian yang mempertimbangkan perkembangan
jaNn selama kehamilan masih j m g dilakukan.
Untuk memodelkan proses yang terakhir, lebih
sesuai diiakukan dengan pendekatan stokastik
daripada pendekatan detenninistik.
Hal ini
diiarenakan faktor-faktor yang sifatnya acak dalam
model detenninistik terabaikan tetapi dapat
dimasukkan dalam komponen acak pada model
stokastik.
Model fertilitas stokastik dapat diiasifikasikan
ke dalam mnodel demogmfis dan model biologis.
Model demografis dirumuskan dari fungsi
intensitas kelahiran hidup yang pada nrnumnya
diperinci lebih lanjut ke dalam usia dan paritas.
Kelebihan dari model demografis ialah mudah
dipakai untuk jenis data yang diperoleh dari sensus
penduduk, statistik vital, dan hasil s w a i .
Sedangkan model biologis dicirikan oleh
dekomposisi selang keha~nilandan kelahiran ke
dalam beberapa state biologis. Oleh karena itu
n~odetbiologis lebih realistis. Namun demikian
mnodel ini juga memiliki kelemahan bempa
kesulitan yang lebih tinggi dalam memperoleh data
untuk menentukan parametemya.
Seperti telah dijelaskan sebelumnya, model
biologis untuk fertilitas ini memerlukan kerangka
acuan stokastik. Berikut ini akan diuraikan
konsep-konsep dalam proses stokastik yang akan
digunakan dalam penyusunan model.
Tujuan
Penulisan iN dimaksudkan untuk membuat
model dernografis yang melibatkan state
keliamilan 20 minggu atau lebih. Model ini akan
menjadi kerangka acuan yang menjembatani
antara mnodel fertilitas biologis dengan model
feltilitas demografis.
Proses Stokastik
Proses stokastik adalah suatu keluarga peubah
acak X(0. dengan tsT, yam dimotasikan dengan
{x(Q>ta.
Untuk suatu proses stokastlk, {X(tJ,teTJ, gugus
semua Nlai yang mungkin dari X(t) disebut sebagai
m g state (Taylor & Karlin, 1984).
Rantai Markov
Proses stokastik yang memenuhi sifat bahwa
peluang kejadian yang akan datang hanya
dipengamhi oleh kejadian saat iN dan tidak
dipengamhi oleh kejadian sebelumnya disebut
dengan proses Markov.
Proses Markov yang m g state-nya berupa
gugus tercacah dan gugos indeksnya adalah
T={0,1,2 ,...} disebut dengan rantai Markov.
Secara formal sifat Markov tersebut dapat
dinyatakan sebagai
P{X(I+l) =j I X(0) =io ....,X(t-I)=i,.,. X(0 =i )
= P{ x(t+ 1) =j I X(Z)=i)
- P"
(1)
untuk semua t dan semua state io, ..., i,.~,i, dan j.
Sesuai masalah yang dihadapi, indeks t dapat
b e ~ p awaktu, jarak, atau parameter yang lain.
Untnk selanjutnya pv disebut sebagai peluang
transisi (Taylor & K a r l i ~1984).
Proses semi-Markov
Proses semi-Markov adalah generalisasi dari
rantai-rantai Markov dengan selang waktu di antara
transisi-transisinya bersifat acak. Untnk lebih
detailnya, dimisalkan:
X(0 : sebagai state daxi proses pada waktu t.
S. : kurun-kurun waktu berturutan dimana
tejadi pembahan state.
X. : state dari sistem pada kunm waktu S.
(yaitu X.=X@J)
dan X@=X, untuk
Sn5t5Sn+,).
So=O danXo : state awal &=X(O)=X(Sd).
Barisan {Xn;n>O} yang memenuhi rantai Markov
disebut dengan proses semi-Markov.
.
PENDAHULUAN
PROSES SEMI MARKOV
Latar Belakang
Masalah fertilitas tnanusia telah menarik
perhatian banyak ahli dari berbagai bidang dalam
beberapa dekade iN. Fenomena tingkat mortalitas
yang menurun dan tingkat fertilitas yang masih
tinggi memnbawa implikasi bempa laju
pertumbuhan penduduk yang pesat, untuk itu
diperlukan npaya-upaya untuk menurunkan ukuran
populasi melalui penurunan ukuran fertilitas.
Kajian mengenai fertilitas memusatkan
perhatian pada fenomnena yang berhubungan
dengan reproduksi manusia. Terdapat tiga tahap
penting dalam proses reproduksi sebagaimana yang
dikenal dan digunakan dalam hidup bermasyarakat
yaitu: hubungan seksual, konsepsi Wmbuahan),
serta kehamilan dan kelahiran (Said, 1996).
Secara umum kajian mengenai fertilitas selama
iN bedokns pada kelahiran hidup, sedangkan
kajian yang mempertimbangkan perkembangan
jaNn selama kehamilan masih j m g dilakukan.
Untuk memodelkan proses yang terakhir, lebih
sesuai diiakukan dengan pendekatan stokastik
daripada pendekatan detenninistik.
Hal ini
diiarenakan faktor-faktor yang sifatnya acak dalam
model detenninistik terabaikan tetapi dapat
dimasukkan dalam komponen acak pada model
stokastik.
Model fertilitas stokastik dapat diiasifikasikan
ke dalam mnodel demogmfis dan model biologis.
Model demografis dirumuskan dari fungsi
intensitas kelahiran hidup yang pada nrnumnya
diperinci lebih lanjut ke dalam usia dan paritas.
Kelebihan dari model demografis ialah mudah
dipakai untuk jenis data yang diperoleh dari sensus
penduduk, statistik vital, dan hasil s w a i .
Sedangkan model biologis dicirikan oleh
dekomposisi selang keha~nilandan kelahiran ke
dalam beberapa state biologis. Oleh karena itu
n~odetbiologis lebih realistis. Namun demikian
mnodel ini juga memiliki kelemahan bempa
kesulitan yang lebih tinggi dalam memperoleh data
untuk menentukan parametemya.
Seperti telah dijelaskan sebelumnya, model
biologis untuk fertilitas ini memerlukan kerangka
acuan stokastik. Berikut ini akan diuraikan
konsep-konsep dalam proses stokastik yang akan
digunakan dalam penyusunan model.
Tujuan
Penulisan iN dimaksudkan untuk membuat
model dernografis yang melibatkan state
keliamilan 20 minggu atau lebih. Model ini akan
menjadi kerangka acuan yang menjembatani
antara mnodel fertilitas biologis dengan model
feltilitas demografis.
Proses Stokastik
Proses stokastik adalah suatu keluarga peubah
acak X(0. dengan tsT, yam dimotasikan dengan
{x(Q>ta.
Untuk suatu proses stokastlk, {X(tJ,teTJ, gugus
semua Nlai yang mungkin dari X(t) disebut sebagai
m g state (Taylor & Karlin, 1984).
Rantai Markov
Proses stokastik yang memenuhi sifat bahwa
peluang kejadian yang akan datang hanya
dipengamhi oleh kejadian saat iN dan tidak
dipengamhi oleh kejadian sebelumnya disebut
dengan proses Markov.
Proses Markov yang m g state-nya berupa
gugus tercacah dan gugos indeksnya adalah
T={0,1,2 ,...} disebut dengan rantai Markov.
Secara formal sifat Markov tersebut dapat
dinyatakan sebagai
P{X(I+l) =j I X(0) =io ....,X(t-I)=i,.,. X(0 =i )
= P{ x(t+ 1) =j I X(Z)=i)
- P"
(1)
untuk semua t dan semua state io, ..., i,.~,i, dan j.
Sesuai masalah yang dihadapi, indeks t dapat
b e ~ p awaktu, jarak, atau parameter yang lain.
Untnk selanjutnya pv disebut sebagai peluang
transisi (Taylor & K a r l i ~1984).
Proses semi-Markov
Proses semi-Markov adalah generalisasi dari
rantai-rantai Markov dengan selang waktu di antara
transisi-transisinya bersifat acak. Untnk lebih
detailnya, dimisalkan:
X(0 : sebagai state daxi proses pada waktu t.
S. : kurun-kurun waktu berturutan dimana
tejadi pembahan state.
X. : state dari sistem pada kunm waktu S.
(yaitu X.=X@J)
dan X@=X, untuk
Sn5t5Sn+,).
So=O danXo : state awal &=X(O)=X(Sd).
Barisan {Xn;n>O} yang memenuhi rantai Markov
disebut dengan proses semi-Markov.
.
Secara formal, untuk n z l berlaku:
Pp'n=jlXn.I=i] =P[x(S,J=jlX(Sn.3=i]=p"(Ni. (2)
Proses yang mengikuti persamaan (2) disebut
proses semi-Markov tak homogen. Sedangkan
proses semi-Markov yang tidak bergantung pada n
disebut dengan proses semi-Markov homogen.
(Gallager, 1996).
Model-model fertilitas dalam literatur klasik,
seperti halnya yang dibangun Sheps & Menken
(1973) mengasumsikan parameter-parameter
model homogen terhadap waktn dan tidak
bergantung pada faktor usia. Asumsi homogenitas
ini berimplikasi bahwa individu dengan usia yang
berbeda, misalnya antara individu yang bemsia 20
dan 45, ~nempunyai peluang yang sama untuk
melahirkan, sehingga asumsi ini tidak realistis.
Untuk membuat model yang lebih realistis
maka daliun kajian fertilitas ini digunakan model
semi-Markov tak homogen.
DEFINISI DAN ASUMSI
Model ini tnengaswnsikan bahwa fertilitas
lmya ditentukan pada tingkat kesnburan wanita.
Dalam rangka membangun model ini diadopsi
beberapa definisi dan asulnsi formal sebagai
berikut:
Definisi
Aborsi spontan: keguguran; kematian janin yang
tidak disengaja dan umumnya tejadi sebelnm
usia kandungan 20 minggu.
Fekunditas: kemampuan fisiologis wanita untuk
memberikan kelahiran atau berpartisipasi dalanl
reproduksi.
Fertilitas: performan reproduksi aktual dari
seorang wanita atau sekelompok individu.
Kematian prematur: kematian janin yang terjadi
antara 28 l ~ g g 36
a minggu dari usia janin.
Kematian prenatal: kematian janin yang tejadi
setelah 20 minggu dalam kandungan hingga 28
llari setelah kelaluran.
Konsepsi : fertilisasi ovum dan implantasi zigot
yang dillasilkan dalam dinding uterus.
Paritas: jumlah anak yang telal~diiiliki swrang
wanita.
Periode tidak rentan: dnrasi dari awal kehamilan
sampai akhir masa tidak subur setelah
melalurkan.
Durasi ini meliputi periode
kehamilan (gestation period) dan periode tidak
subur setelah melalurkan (post partu~?i
aalenorrhoeae).
Rasio: besaran Ilasil perbandingan antara dua
angka.
Rate; laju: rasio yang dihih~ng berdasarkan
interval waktn tertentu.
Statistik vital: pencatatan kejadian-kejadian vital
yang bertalian dengan pencatatan seperti
kelahiran, kematian, kematian janin, abortus,
perkawinan, dan perceraian.
Usia tepat: usia seseorang pada saat pengamatan
yang dihitung dari tanggal lahimya.
Asumsi
Asn~nsi yang mendasari model ini adalah
sebagai berikut:
Riwayat fertilitas dari masing-masing
individu dalam popnlasi saling bebas.
* Fekunditas me~pakanfungsi dari usia dan
paritas.
Kemnngkinan terjadinya aborsi spontan,
kematian prenatal, kematian prematnr,
kelahiran hidup, dan seterusnya selama proses
kehamilan dan kelahimn disederhanakan
dalain dua kategon keldiran hidup dan
kematian janin lfetal death).
Peluang kelahiran kembar (lebih dari satu)
diabaikan.
Periode kel-lan
bemilai konstan.
.
Kejadian kematian janin adalah fungsi dari
usia dan paritas.
Proses kehamilan bejalan secara alami (tidak
ada upaya pengatwan kelahiran).
Waktu tunggn untuk melakukan transisi antar
state yang bertuxutan bebas.
Seorang wanita memasuki state kehamilan
ketika kandungannya telah mencapai 20
minggu.
MODEL FERTILITAS STOKASTTK
Notasi yang dipakai dalam model ini adalah
sebagai berikut:
i : paritas; i=0,1,2, ...
X;O : usia tepat seorang wanita saat kelahiran hidup
anak ke-i
x, : usia tepat seorang wanita pada saat
menopause.
xi : usia tepat swrang wanita yang telah memiliki
paritas ke-i; xjo-; < x,, X;ER +.
ti . usia seorang wanita berparitas ke-i pada saat
keguguran; xio< t; SX;.
Secara formal, untuk n z l berlaku:
Pp'n=jlXn.I=i] =P[x(S,J=jlX(Sn.3=i]=p"(Ni. (2)
Proses yang mengikuti persamaan (2) disebut
proses semi-Markov tak homogen. Sedangkan
proses semi-Markov yang tidak bergantung pada n
disebut dengan proses semi-Markov homogen.
(Gallager, 1996).
Model-model fertilitas dalam literatur klasik,
seperti halnya yang dibangun Sheps & Menken
(1973) mengasumsikan parameter-parameter
model homogen terhadap waktn dan tidak
bergantung pada faktor usia. Asumsi homogenitas
ini berimplikasi bahwa individu dengan usia yang
berbeda, misalnya antara individu yang bemsia 20
dan 45, ~nempunyai peluang yang sama untuk
melahirkan, sehingga asumsi ini tidak realistis.
Untuk membuat model yang lebih realistis
maka daliun kajian fertilitas ini digunakan model
semi-Markov tak homogen.
DEFINISI DAN ASUMSI
Model ini tnengaswnsikan bahwa fertilitas
lmya ditentukan pada tingkat kesnburan wanita.
Dalam rangka membangun model ini diadopsi
beberapa definisi dan asulnsi formal sebagai
berikut:
Definisi
Aborsi spontan: keguguran; kematian janin yang
tidak disengaja dan umumnya tejadi sebelnm
usia kandungan 20 minggu.
Fekunditas: kemampuan fisiologis wanita untuk
memberikan kelahiran atau berpartisipasi dalanl
reproduksi.
Fertilitas: performan reproduksi aktual dari
seorang wanita atau sekelompok individu.
Kematian prematur: kematian janin yang terjadi
antara 28 l ~ g g 36
a minggu dari usia janin.
Kematian prenatal: kematian janin yang tejadi
setelah 20 minggu dalam kandungan hingga 28
llari setelah kelaluran.
Konsepsi : fertilisasi ovum dan implantasi zigot
yang dillasilkan dalam dinding uterus.
Paritas: jumlah anak yang telal~diiiliki swrang
wanita.
Periode tidak rentan: dnrasi dari awal kehamilan
sampai akhir masa tidak subur setelah
melalurkan.
Durasi ini meliputi periode
kehamilan (gestation period) dan periode tidak
subur setelah melalurkan (post partu~?i
aalenorrhoeae).
Rasio: besaran Ilasil perbandingan antara dua
angka.
Rate; laju: rasio yang dihih~ng berdasarkan
interval waktn tertentu.
Statistik vital: pencatatan kejadian-kejadian vital
yang bertalian dengan pencatatan seperti
kelahiran, kematian, kematian janin, abortus,
perkawinan, dan perceraian.
Usia tepat: usia seseorang pada saat pengamatan
yang dihitung dari tanggal lahimya.
&,j+l(xi,c ) A + @A): peluang seorang wanita
melakukan transisi dari Qi ke Q;+I.
(mempunyai kemajuan paritas).
Fungsi-fnngsi intensitas ini bersama dengan
state awal pada usia xio menentukan nilai dari
peluang-peluang transisi. Hal ini dapat dijelaskan
melalui Gambar 2.
Mengikuti bentuk u n u n di atas, pelnang
seorang wanita dalam selang usia (xio, xi) tidak
lamil (atau lia~nildengan dnrasi k m g dari 20
minggu) dan pada akhir periode berada dalam Q;
dinyatakan dengan pj,:'(xio, xi).
Dengan
mempergunakan
fnngsi-fungsi
intensitas di atas dan prosedur standar dalam teori
proses stokastik diperoleh:
Persamaan tersebut menyatakan bahwa peluang
wanita berparitas ke-i tidak hamil pada selang usia
(xiax,+A) m a dengan peluangnya untuk tidak
hamil pada selang usia (xiax;) dan pada selang A
dia tetap tidak hamil jum.
I
kandungan 220 minggu
kematian janin
tidak ada kandungan
dalam 220 minggn
l+P++.i.(~j,
q)A+o(A)
menopause
Gambar 2. Model fertilitas stokastik
selanjuhlya
difomula-formula
yang menyatakan hubungan antara beberapa laju
pusat (laju fertilitas total, laju kehamilan dan laju
k e l a l h langsung) dan pelnang-peluang dalam
paritas ke-i (peluang ke~najnanparitas, pelnang
kemajuan kehamilan dan pelnang kemajuan paritas
langsung).
Peluang Transisi Berganda
Untuk seorang wanita dengan paritas ke-i yang
berusia x j 0 selama selang usia (xjhx;) ia
mempunyai kemungkinan untuk mengandung
beberapa kali clan pada aklur periode berada pada
salah satu state. Untuk itu diperkenalkan pelnang
transisi berganda yang secara mum berbentuk
P$)(x;o,xj).
Peluang transisi berganda di atas merupakan
peluang seorang wanita dalain selang usia (xi&xi)
untuk tne~npunyaiat kali kel~milandengan durasi
20 ininggn atau lebili dan pada aklur periode
berada dalam Qp; Q 6 { Q;, Q;+,
Qi+l,9.).
Pengorganisasian ke~nbali persamaan di atas
lnemberikan
=
p ~ ~ ) ( x j o+A)
, x j p~~'(xjo,xj)
-
p~.~)(xi0,x;)
A,i(x;)A + @A)
Pembagian masing-masing mas dengan A
memberikan
P ~ ~ ' ( ~ , ~ , ~ ~ + A )-- P ~ ~ ) ( ~ ~ ~ , ~ ~ )
A
P:,' (xi0 ,x; 1 2+ix;
, ( 1+ o(A)
A '
dengan menghitung limit untuk A 4 , maka
diperoleli persamaan diferensial berikut
d
(0)
- pj.:)(xi0,xi) = Pi,! fxi0,x;) &,i ( ~ 0 . (3)
dxi
Pengintegralan masing-masing mas seteldl
pengorganisasian kembali Persalnaan (3),
meughasfikan
xi
~ n p $ ~ ~ )xi)
( x =; ~Jhi,;
, (wi)divi
210
sehingga solusi nilai p$'(x,, x i ) adalah
p ~ ~ ) ( ~ i=oesp
,~j)
Lso
div;
1
.
(4)
=i
40
xi0
b
I
1
Peluang seorang wanita dalain selang usia
antara xjodanxi untuk mempunyai n kali kelamilan
yang masing-masing berdurasi 20 minggu atau
lebih dan pada akhir periode berada dalam Q, (n>0)
dinyatakan sebagai p~,:'(x,, xi) .
Ada dua kejadian yang mungkin dialami
seorang wanita berparitas ke-i yang telal~
mempunyai n kali kehamilan pada selang usia
(xj&x;+A)dan tetap tidak lamil pada &lit
periodenya. Kejadian pertama ialali ia telal~
meinpunyai n kali kehamilan daliun selang usia
(x;,xi) dan pada selang A berikutnya ia tetap tidak
lamil juga. Kejadian yang ke dua ialall ia telal~
mempunyai n-1 kali kehamilan pa& selang usia
(xjhxi-ri)dan mempunyai satu kehamilan lagi pada
selang (xi-9,x;) yang kemndian gugur pada selang
(x;,xj+A). Transisi tersebut secara graf?s
diilustrasikan dengan diagram dalam Gambar 3.
Secara fonnal la1 ini dinyatakan sebagai berikut:
P $ ' ( x j o , ~+iA ) = P ~ ; ) ( x i o ,{l+
~ i ) ,$;(xi) A
Jaj,j(lvi)
dw,]
xi
,esp[- J2j,j(ivi) div,] = esp[-
p~:-"(xjo,
xi - r, 1 Ad, ( x ~ 4 )
o
pj:?;,(x; - rj,x;)4 a . i (xj.4) d4.
Dengan menyederltanakan persamaan di atas,
diperoleh
Pengintegralan masing-masing mas persamaan di
atas
terladap
xj
dan
pensubstitusian
=i
exp f
laj,j(ivi) div,]
dengan ':F
(x,, x,)
diperolell solusi:
P ~ ~ ' ( X ; ~ , X=
; )p::'(xj0,xj)
0
+ o (A)}dd.
Analog dengan proses solusi persamaan (4),
pj:li. (ti- ri,t;)h+.i(ti,d ) 6 % ]dG
p ( x j o x,
memenuhi persamaan diferensial dengan p$:lj+(ti ri,ti)
berikut
d
= exp Jaj*,;.( ~ V ~ , I-ti
V ~ + r j ) d1vi .
- ~j;'(x~o,x;)= P;,;)(x;0,xi)h,i(xi)
tj-r;
-
I
[
h i
b
P$-~'(X,,X~- r;) /Zi.u(xi-%)
+
maka
=;a
0
(0)
p;*,i+
(x;- 7;,xi)hi.;(xi,d ) dd.
(5)
5
Analog dengan proses solusi persamaan (4),
p").
m e ~ p a k a nsolusi dari persamaan
l i . 8 . (ti -r,,t,)
dierensial
d
t i ".'* (ti -'Ti,tj)=p::;;*(!i-T~,!~)&*,;*
(ti,q).
Pengalian dengan exp [- jAj,i(lvi)dwi] masingxi0
masing ruas persamaan (5) memberikan:.
d
{ - p ; x i 0 x i - p,l:)(xio,X i ) A,;(xi) 1
dx;
Frekuensi
n
0
n-1
1
A
.I,
A
kehamilan
Usia
X;o
xi A
xio
x,-4 2,-ri+drj
State
Qi
Qi
Qi
Qi Qia
Gambar 3. Transisi-transisi dalam n kali kelamilan yang gagal.
4,
1'
a
(6)
4,
?;
Q
0
xi+A
Q;
6
I
Usia
State
xjo
Qi
x,-l;
a
\
Peluang
x,r, +dr,
X;
L?;e
Q;+
-''-T'-
Y
P:;"-1)(xi0.x; - ~
I
i
)
,
w
4,;.(xi -?)
pi:!;. (xi - r ; , ~ ; )
Gambar 4. Transisi-transisi dalam kebamilan kc-n.
I
Usia
State
xio
Qi
1,
xi
Qie
Q;+I
,
V L
V
pi2 (x;O,t;)
&,;+I (t;,l;)
Gambar 5. Transisi kemajuan paritas dengan n+l kali kehamilan.
Peluang
Peluang seorang wanita pada selang usia antara
xj0 dan xi untuk mempunyai n (n>O) kandungan
yang masing-masing berdurasi 20 minggu atau
lebih dan pada akhir periode berada dalam Q;.
dinyatakan sebagai
( x j o , x j ) . Formula bagi
p$i
P$,:i
(x,, ,x i ) dapat dipenuhi melalui hubungannya
Peluang seorang wanita berada dalam state Qi
yang dinyatakan sebagai p;,;(xj0,x;) adalah
pi; (x;o,xi) =
m
C
pl:) (x;o,x,) .
(9)
-0
Peluang seorang wanita berada dalam state Q;,
yang dinyatakan sebagai p,;. ( x ; ~x;)
, adalal~
dengan p:Y1 (xio,xj),yaitu:
"=I
b
p;;: (xjo,x;)=J pi.Y-l)(xjo,xj- r;)
0
A,;. (x;-rJ P>tI;+
(xi - r ; , ~ ;dl;.
)
Peluang seorang wanita berada dalam Qirl yang
dinyatakan sebagai pi,;+l(x;~,
x;) adalah
m
p;.i+l(xio,x;) =C ~ j : : ~ ~ x ; ~ , x ; ) . (11)
(7)
"=I
Persamaan (7), seperti ditunjukkan dalam Gambar
Peluang
transisi
p;,; (x;o, x;) dan p;,;. (xi&x;)
4, didasarkan pada tiga transisi:
masing-masing berkorespondensi dengan (n-1)
seorang wanita pada usia x,-l; berada dalam
keguguran janin pada paritas kc-i dan tidak
kondisi tidak tidak hamil, setelah hamil yang
mengalami kelahiran hidup ke-(i+l). Perbedaan
ke-(n-I) kali,
antara keduanya adalah state di mana wanita
wanita tersebut rnenjadi hamil satu kali pada
tersebut berada pada waktu xl P ; , ~(x;&xi) bemda
selang usia (x,-?, x,-l; +dl;), dan
pada Q; dan p,;+ (x;&xi) berada pa& Q;,. Peluang
wanita tersebut tetap lmmil pada nsiax;.
transisi
(xi& berkorespondensi dengan (n-1)
Peluang seorang wanita hamil sebanyak n kali keguguran janin dan kclahiran hidup ke-(i+l).
yang masiug-masing kandungannya berdurasi 20 Total nilai dari ketiga peluang tersebut adalah satu,
minggu atau lebih dan pada akhir periode berada karena pada usia x; seorang wanita hams berada
dalam Q;+I(n>O)diiotasikan denganpj,~~,(xio,xj).dalam salah satu kondisi: pada paritas ke-i atau
telah berlanjut pada paritas ke-(i+l) selain
Formula bagi p$;l (xiO,xj)&pat dipenuhi melalni mengalami menopause.
Dari model tersebut, selanjutnya akan
hubungannya dengan
(xio,xi),yaitu:
diturunkan
formula yang menyatakan hubungan
=;
antara
peluang
kemajuan paritas dan laju fertilitas
pj:?I (xjO,x;)
=
~ $ i ( % o ~&*,;+I@"
ti)
&; (8)
total,
peluang
kemajuan ketmmilan dan laju
li0
Persamaan (8) &pat diilustmsikan secara grafis kehamilan, s e m peluang kemajuan paritas
langsung dan laju kelaluran langsung.
dalam Gambar 5.
p$i
Peluang Kemajuan Paritas dan Laju Fertilitas
Total
Peluang kemajuan paritas ke-i (parity i
progression probabilily) adaldt peluang seorang
wanita berparitas ke-i pada selang usia antara xio
dan x, untuk mencapai paritas berikutnya. Peluang
ini dinotasikan dengan
(xioj,), tetapi untuk
mempermudalt penulisan selanjutnya cukup
dituliskan dengan p;,;,,.
Laju kemajuan paritas ke-i yang diinotasikan
dengan r;,;+ldidefinisikan secara verbal oleh
Golbeck (1989) sebagai berikut:
';.it1
rataan banyaknya wanita berparitns ke - i
yang mempunyai paritas ke - (i +I)
=
rataan populasi wanita berparitas kc - i
yang tidak melahirkan anak k e - ( i + l )
Dalam hal ini kelahhan seorang anak menyebar
Bernoulli @;.i+~). Sehingga rataan banyaknya
wanita berparitas ke-i yang mempunyai paritas keUntuk mendapatkan formula
(i+l) adalah pi,;+~.
yang menyatakan penyebut dari r,,l diperkenalkan
sedemikian
fungsi indikator I, ,Vx'xe(xiax;),
selingga
1 jika seorang wanita tidak mempunyai
kelaluran ke-(i+l) pada usia x
I, =
0 selainnya.
Perltatikan ballwa peluang seorang wanita untuk
tidak melnpunyai keldtiran hidup pada selang
(xi, xi +A) adalah l-A,;+; (x;,~)A + 00.
Dengan delnikian
P{I,+d=l}= P{I,=l}[l-~,;+l(xi, G) A + of@].
Analog dengan proses solusi p e r s m a n (4),
diperoleb
I
xi
P{I,=l}
= exp{
I
(xi0
0
Sebagai fungsi resiko,
dalam
dapat dinyatakan
+
Pengintegralan masing-masing ruas memberikan
-
7
(ti) dt, =ln{l-Fj,i+l(x;)}sehingga
xio
exp 1-
xi
I
Aj,i+I (ti) dti I = 1-6,;+1(x;),
xi0
karena F;,;+l(x;) = p,,~ (xj0,xm),maka laju fertilitas
di atas dapat dimyatakan sebagai
Pi.i+l
~ z ; + I= xm_
(12)
J ~ - P +I(x;o.
~ . ~ xi0 +GI ]dli
0
Sebagai catatan, jika A,+~(x;)=A+, yang beraxti
tidak bergantung pada usia, maka persamaan
tersebut tereduksi menjadi ri,i+l=A+l.
Proses penunman penduga dari
melibatkan
peubah acak T;,,, yang merupakan waktu tunggu
bagi seorang wanita
berparitas ke-i nntuk
mempunyai kelahiran hidup ke-(i+l). Peubah acak
memiliki fungsi kepekatan peluang yang
dinotasikan dengan fTi,;, (t) clan fonnulanya
diberikan oleh Golbeck (1988) sebagai berikut:
- I Aj,i+l (ti) dti }.
li0
Dengan demikian penyebut dari persamaan r;,;+l
dapat diformulasikan melalui
EflJ cLxi = P{I,=l} cLxi
dengan
-I
if^^,,, ( 0 dt =1
0
xi
= exp{
X,"..YjO
hi,i+l (ti) dti }dx;.
xi0
Persamaan di atas menyatakan rataan populasi
dalam (x;,x;+cLx;). Pengintegralan dari xjo ke x,
terhadap permaan di atas menghasilkan rataan
populasi dalan selang (xiax,),
Sellingga laju fertilitas di atas lnenjadi
Nilai larapan dari waktu tunggu
ini adalah
- xnr-*ro
1
E[T;,i+lI=
ti[ -pi.;. (xi0 ,xiof fi)
0
Pi,iil
I
cvj.
A,+.~+~
(xi' + t;, %)I
113)
Pengintegralan persamaan (13) secara parsial
dengan
u = t i dan
dv = p,i+ (XIO,
xio+ti) &+.;+I(xi0 +t;, ir) dti
menghasilkan
~i+.i(xio+ti, zi)
+ pj,;:
(XI,, Xi0 +fi )
J-i+,i+i (xi0 +ti, zi) }.
Nilai harapan dari waktu tunggu ini adalah
1- P i +
1
+ -.
= - (xm-xjo)
(14)
Pi,iil
"f.i+l
Dari penyelesaian persamaan (14) untuk pi,i+~,
didapatkan fonnula dasar yang menyatakan
peluang kemajuan pada paritas ke-i dalam
hubungannya dengan laju kemajuan paritas,
(18)
Pengintegralan persamaan (18) secara parsial
dengan u = 1, dan
dv = { pj,:?, (xiO,xi0 +ti) A*.?(xi0 +ti. G)
Peluang Kemajuan Kehamilan dm Laju
Kehamilan
Peluang kemajuan kehamilan pada paritas ke-i
adalah peluang seorang wanita berparitas ke-i pada memberikan
selang usia antara xiodan x, untuk mempunyai satu
kandungan yang berada dalam Qj atau Q;+I.
Peluang ini dinotasikan denganpi, (X~OJ,,,),
tetapi
untuk mempermudah penulisan selanjutnya cukup
dituliskan dengan p,,,
sedemikian sehingga
memenul~ipersamaan:
(1)
Pi.ir = P I : : ) ( X ~ O ,+
Xpij+l
~ ) ( X ; O ~ X. ~ , ) (16)
Laju kemajuan kehamilan pada paritas ke-i
yang diiotasikan dengan rj,j, didefinisikan secara
verbal oleh Golbeck (1989) sebagai:
rataanbanyaknya wanitaberparitas ke - i
yang hamilsecara langsung
r,,. =
rataanpopulasi wanita bepantas ke - r
yang tidak liamiisecara langsung
Dari definisi verbal tersebut, analog dengan
formulasi persamaan (12) diperoleh
r;,;. =
Dimisalkan T;,i, sebagai waktu tunggu dari
seorang wanita pada paritas ke-i untuk secara
langsung menuju ke state kehamilan (dengan
dnrasi 20 rninggu atau lebih). Ti,;. merupakan
peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang
fTj,,, (1) yang formulanya diberikan oleh Golbeck
(1988) sebagai berikut:
Dari penyelesaian persamaan (20) untuk pi,!+
didapatkan formula dasar yang menyatakan
peluang kemajuan kehamilan pada paritas ke-i
dalam kaitannya dengan laju kemajuan kehamilan
pada paritas ke-i,
Peluang Kemajuan Paritas Langsung dan Laju
Kelahiran Langsung
Peluang kemajuan paritas langsung ke-i (direct
purity i progression probability) adalali peluang
kemajuan paritas ke-i dengan kesuksesan langsung.
(xjo, x m ) ,
Peluang ini dinotasikan dengan
pk:),l
tetapi untuk menlpemudah penulisan selanjutnya
cukup dituliskan dengan p;,::),,
Laju kelahiran langsung pada paritas ke-i yang
dmotasikan dengan r(jii didefinisikan secara
verbal oleh Golbeck (1989) sebagai:
rataan banyaknya wanita berparitas ke - i yang
mempunyai paritas ke-(i+l) secara langsung
r"'
=
~J+I
rataan populasi wanita berparitas ke - i yang
tidak hamil secara langsung
Dari definisi verbal tersebut, analog dengan
formutasi persamaan (12) diperoleh
r."' =
,.,+I
Dengan mensubstitusikan Nlai r
dari
persanaan (22), lnaka persamaan (19) dapat
ditnliskan sebagai
Pi,!&
-(x,-xio)
Dari persamaan (23),
sebagai berjkut
Pi i+i
11-pi,,?+I+- "
421
p,l:!i
1.
(23)
dapat dinyatakan
=
P~,~.ET,+I
+ - P , ~ - X ~ O (24)
.
Dengan ~nensubstitusikanpi,,i+dari persamaan (21)
ke dalam persmaan (241, maka diperoleh peluang
kemajuan paritas langsung ke-i dalam kaitannya
dengan laju kemajuan kehamilan pada paritas ke-i,
Kategori ke dua melibatkan banyaknya wanita
yang memiliki kelahiran ludup ke-(iil), dibedakan
menjadi:
Bi banyaknya wanita yang mempnnyai (i+l)
kelahim llidup selama tahun yang sama,
tidak memandang apakah mereka mempunyai
keguguran janin atau tidak dalam paritas ke-i.
By' banyaknya wanita yang lnempunyai (iil)
k e l a h i i hidup selama tahun yang m a , dan
tidak mempunyai keguguran janin d a h u
paritas ke-i.
Fy' banyaknya wanita yang mengalami satu kali
keguguran janin selama tal~nnyang sama dan
tidak mempnnyai keguguran lain dalam
paritas tersebut.
Kategori ke tiga melibatkan usia rata-rata wanita
dalam state-state tertentu, yak^:
Xi usia rata-rata wanita dalam kondisi Bi
X$ usia rata-nta wanita dalam kondisi B
y'
X% usia rata-rata wanita dalam kondisi F?'
Xy' usia rata-rata wanita berparitas i pada
kehamilan (dengan durasi 20 minggu atau
lebih) yang selanjutnya @obot rataan dari
x.Y$ dan )
A,: usia rata-rata wanita mencapai rllenopause.
x::
+
0, =
Pi,i+~
(Xvz-xio) ri,i+1
1+{x,,,-xio - E[q,i. lfri,i+
(25)
Penduga laju fertilitas yang dinotasikan dengan
issecara konvensional dinyatakan sebagai:
&,a =Bi,pl wi,p;
dengan Bi,p menyatakan banyaknya w a ~ t a
berdasarkan kelahiran hidup ke-(iil) dan atau
kegagalan janinnya sedangkan Wj,,p menyatakan
rataan banyaknya wanita berparitas ke-i pada tal~nn
yang diamati berdasarkan ada atau tidaknya
keguguran janin (Golbeck, 1988). Penduga
Penduga
Untuk
peluang-peluang di atas
diperlukan tiga kategori data populasi wanita parameter ruas kanandari perSam- (14), (20) dan
be~aritas ke-i.
Kategori pertama lUelibatkan (24) selengkapnya
&lam Tabel 1,
ban~aknya wanita dalam p"pnlasi2 dibedakan Tabel 1. Penduga beberapa parameter dalam model
menjadi:
fertilitas
rata-rata banyaknya w a ~ t aberparitas ke-i
Wi
pada talmn yang diamati, tidak memandang
apakal~mereka men~punyaikeguguran atau
tidak dalam paritas tersebut.
Wy' rata-rata banyaknya wanita berparitas ke-i
pada tal~un yang diamati yang tidak
melnpunyai keguguran janin dalam paritas
tersebut.
Berdasarkan penduga parameter di atas
diperolell penduga dari peluang-peluang dalam
persamaan (15), (21)dan (25).
Selungga penduga dari pi,i+ladalall
( X , -xi)Bi /Wi
I + { X , -Xi+l}BiI W;
< (x,,-xix~j0)
+F/"))IW/O)
1 + {X,, -x,(O)}(B,(O)
+~ , ( o ) ) l l V / ~ )
'
penduga dari p,;,; adalah
dan penduga dari
adalall
Penduga-pendnga di atas mernpakan hasil dari
model yang dikembangkan untuk menentukan
ukuran chifertilitas.
Untuk dapat mempergunakan formula-formula
di atas, berikut dijelaskan data bagi parameterparameter yang bersesuaian. Data IV, dapat
diambil dari sensus, sedangkan data B , BY', X;
dan X $ berasal chi statistik vital kelaluran serta
data F?' , X$
janin.
x?'
berasal dari statistik vital kematian
sebagaimana
telah
disebntkan
sebelnmnya, mempa!an bobot rataan dari XyJ dan
x::.
Untuk B; dan Xi semua data dapat dipakai,
tanpa memperfimbangkan ada atau tidaknya
kematian janin dalam paritas ke-i. Sedangkan
untuk B , X$ , Fy' dan x$$dipakai data wanita
yang belum pernah mengalami kematian janin atau
wanita yang minimal mernpunyai seorang anak dan
setelall kelaluran anak terakllirnya tidak pernah
mengalalni kematian janin.
Jika w?) dapat
diperolell maka pendugaan tidak menemui kendala,
Nmun j i b sebaliknya maka diperlukan
pendekatan terbadap nilainya.
Sebagai pendekatan, dalam konteks pemodelan di
atas, berlaku:
Pi.i+l 5Pi.i..
Dengan mengambil masing-masing peuduganya
diperoleh
;;,i+15 3,;.i*.
Dengan mensubstitusikan persamaan (26) dan (27)
ke dalam pettidaksamaan di atas diperoleh:
y'
Pengorganisasian kembali pertidaksamaan di atas
lnemberikan
w?' [ ~+{X,-X?' }(BY' + F?')/ lV?']
-< [ 1+{xm-Xi+i}(Bi/Wi)I( W i / B i )
(BY' + F Y I )
Penyederhanaan
pertidaksamaan
di
atas
memberikan
~ ? ' s ( B y '+ F ~ ' ) [ x ? '- X + l + ( K B i ) ]
= max{
Wy').
Nilai max{Wy'} ini mernpakan batas atas
banyaknya wanita berparitas ke-i dalam populasi
yang tidak mempunyai kematian janin dalam
paritas tersebut.
Untuk mendapatkan batas bawalmya, dipenuhi:
Pi.i+lSPi,i+~
.
Kemndian dengan mengambil masing-masing
penduganya diperolel~
(1'
5..
> (1)
,.r+1- P !,,+I .
^
Dengan mensubstitusikan persamaan (26) dan (28)
ke dalam pertidaksamaan di atas diperoleh:
( X , -xi)Bi I w;
l + { X ,-X;+,}B;IW;
(X,,,- X i ) ~ j O1wj0)
)
Z+{Xm- X ~ ~ ) ) ( +B, ?~ $) ( O i o ) / 'J @ O )
Penyederlmaan
pertidaksamaan
di
atas
rnemberikan
Z B ~ [' X y ' -X+l+(K/Bi)]-
2
w?'
F?' (X,,,-X$ )
= min{ W?) }.
Batas bawah bagi banyaknya wanita dalam
populasi yang mempunyai satu atau lebih k e ~ ~ t i a n
janin sejak kelahim anak ke-i diperoleh:
Wi- max{ Wy' }= ]in{ IVj") }.
Sedangkan untuk batas atasnya diperoleh:
rVj- min { lv!" }= mar: { w j")1.
Uustrasi
Sebagai ilustrasi dilutung peluang kemajuan
paritas, peluang kemajuan kelmmilan dan peluang
kemajuan paritas langsung. Ilustrasi ini
direpresentasikan dala~nTabel 2 dan Tabel 3.
Dalam Tabel 2, input dari penduga beberapa
parameter diberikan berupa data hipotetik dari
besaran-besaran Pi/;, ~v,,,, B;, B Y ) , F ? ) . X,,yjPj,
(27.1, dan (28), dapat dilutnng peluang ke~najuan
parifas yang disajikan dalarn Tabel 3.
Tabel 3 menunjukkan bahwa peluang dari
kesuksesan talc langsnng dan kegagalan tahilp akhir
sedangkan X:, ditentukan senilai 50 tal~nn dalam ilustrasi ini bemilai kecil nntuk semua
(Golbeck,1989). Berdasarkan data pada Tabel 2, paritas. Hal ini mennnjukkan bahwa kematian
dengan menggunakan persarnaan-persamaan (261, janin relatif jarang terjadi.
denganx3= 27,49
Sumber: Golbeck (1988,1989).
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Model fertilitas stokastik yang telah dibangun
dapat melukiskan secara analitis fertilitas manusia
dalam kaitannya dengan usia, paritas, dan kematian
janin. Melaluj model ini dapat dievaluasi pengar&
masing-masing faktor yang tercakup &lam model
pada performan fertilitas. Selain itu, model tersebut
dapat dipakai sebagai kerangka acuan bagi analisis
lebih lanjut, misalkan telaah mengenai
implikasinya atau menjadiian model tersebut lebih
realistis.
Saran
Model ini dapat dibuat menjadi lebih realistis
dengan menyertakan penggunaan kontrasepsi,
kemnngkinan berakhimya kelamilan melalui
aborsi yang disengaja clan kemungkinan sterilitas,
baik alamiah rnaupnn disengaja.
DAFTAR PUSTAKA
Bhattacharya, B.N. & D.C. Nath. 1984. "An
Extension of A Parity-Dependent Model For
Number of Bilths and Estimation of
Fecundability".
Mathematical Bioscience
71:201-216.
Chiang, C.L. 1971. "A Stochastic Model of
Human Feltility". Bior~retrics27:345-356.
Chiang* C'L' 1984. "She* Communication
Parity Progression Ratio and Feailit~ Rate".
Mathenlatical Bioscience 70:105-108.
Parlow, S.J. 1994. An Introduction to D@rential
Equations and their Applications. McGlawHill. USA.
Gallager, RG. 1996. Discrete Stochastic Process.
Klnwer Academic Publishers, Massacl~usetts.
Gillespie, D.T. 1992. Mark011Process. Academic
Press, San Diego.
Golbeck, A.L. 1988. "F'arityProgression In The
Present of Fetal Death: Transforming Central
Rate Into Probabilities.'' Mathematical
Bioscie~?ce88:85-105.
Golbeck, A.L. 1989. "An Alternative Stochastic
~~~~~~~~k for ~
~
tpure i M~~~~~~~
~
~of ~
Fertilitv". Mathernotical Bioscience 96:117127.
Osaki, S. 1992. Applied Stochastic S'stenz
h,f0delljng, Springer-Verlag,Heidelberg,
Rajulton, H. 1985. "Heterogeneous Marital
BeI1aviour In Belgium, 1970 and 1977: An
Application of The
Model To
Period Data".
Mathen~atical Bioscience
73: 197-225.
Said,
1996, Per7gantarIl171uKependudukan
LP3ES, Jakarta.
1973.
Sheps, M. C. 61 J.
Mather7ratical Models o f Conception and Birth.
The University of chicago ~ r e s i USA.
.
Golbeck, A.L. 1986. "A Multiple Decrement
Fertility Table Based on Parity." Mathe17zatical Taylor,
MI & S. Karlin, 1984, An
Bioscience 79:73-86.
I~rtroduction To Stochastic Modeling.
Academic Press, Florida.
i
~
KERANGKA ACUAN STOKASTIK
BAG1 PENGUKURAN FERTILITAS
ASROFI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN JLMU PENGETAEKJAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2000
PENDAHULUAN
PROSES SEMI MARKOV
Latar Belakang
Masalah fertilitas tnanusia telah menarik
perhatian banyak ahli dari berbagai bidang dalam
beberapa dekade iN. Fenomena tingkat mortalitas
yang menurun dan tingkat fertilitas yang masih
tinggi memnbawa implikasi bempa laju
pertumbuhan penduduk yang pesat, untuk itu
diperlukan npaya-upaya untuk menurunkan ukuran
populasi melalui penurunan ukuran fertilitas.
Kajian mengenai fertilitas memusatkan
perhatian pada fenomnena yang berhubungan
dengan reproduksi manusia. Terdapat tiga tahap
penting dalam proses reproduksi sebagaimana yang
dikenal dan digunakan dalam hidup bermasyarakat
yaitu: hubungan seksual, konsepsi Wmbuahan),
serta kehamilan dan kelahiran (Said, 1996).
Secara umum kajian mengenai fertilitas selama
iN bedokns pada kelahiran hidup, sedangkan
kajian yang mempertimbangkan perkembangan
jaNn selama kehamilan masih j m g dilakukan.
Untuk memodelkan proses yang terakhir, lebih
sesuai diiakukan dengan pendekatan stokastik
daripada pendekatan detenninistik.
Hal ini
diiarenakan faktor-faktor yang sifatnya acak dalam
model detenninistik terabaikan tetapi dapat
dimasukkan dalam komponen acak pada model
stokastik.
Model fertilitas stokastik dapat diiasifikasikan
ke dalam mnodel demogmfis dan model biologis.
Model demografis dirumuskan dari fungsi
intensitas kelahiran hidup yang pada nrnumnya
diperinci lebih lanjut ke dalam usia dan paritas.
Kelebihan dari model demografis ialah mudah
dipakai untuk jenis data yang diperoleh dari sensus
penduduk, statistik vital, dan hasil s w a i .
Sedangkan model biologis dicirikan oleh
dekomposisi selang keha~nilandan kelahiran ke
dalam beberapa state biologis. Oleh karena itu
n~odetbiologis lebih realistis. Namun demikian
mnodel ini juga memiliki kelemahan bempa
kesulitan yang lebih tinggi dalam memperoleh data
untuk menentukan parametemya.
Seperti telah dijelaskan sebelumnya, model
biologis untuk fertilitas ini memerlukan kerangka
acuan stokastik. Berikut ini akan diuraikan
konsep-konsep dalam proses stokastik yang akan
digunakan dalam penyusunan model.
Tujuan
Penulisan iN dimaksudkan untuk membuat
model dernografis yang melibatkan state
keliamilan 20 minggu atau lebih. Model ini akan
menjadi kerangka acuan yang menjembatani
antara mnodel fertilitas biologis dengan model
feltilitas demografis.
Proses Stokastik
Proses stokastik adalah suatu keluarga peubah
acak X(0. dengan tsT, yam dimotasikan dengan
{x(Q>ta.
Untuk suatu proses stokastlk, {X(tJ,teTJ, gugus
semua Nlai yang mungkin dari X(t) disebut sebagai
m g state (Taylor & Karlin, 1984).
Rantai Markov
Proses stokastik yang memenuhi sifat bahwa
peluang kejadian yang akan datang hanya
dipengamhi oleh kejadian saat iN dan tidak
dipengamhi oleh kejadian sebelumnya disebut
dengan proses Markov.
Proses Markov yang m g state-nya berupa
gugus tercacah dan gugos indeksnya adalah
T={0,1,2 ,...} disebut dengan rantai Markov.
Secara formal sifat Markov tersebut dapat
dinyatakan sebagai
P{X(I+l) =j I X(0) =io ....,X(t-I)=i,.,. X(0 =i )
= P{ x(t+ 1) =j I X(Z)=i)
- P"
(1)
untuk semua t dan semua state io, ..., i,.~,i, dan j.
Sesuai masalah yang dihadapi, indeks t dapat
b e ~ p awaktu, jarak, atau parameter yang lain.
Untnk selanjutnya pv disebut sebagai peluang
transisi (Taylor & K a r l i ~1984).
Proses semi-Markov
Proses semi-Markov adalah generalisasi dari
rantai-rantai Markov dengan selang waktu di antara
transisi-transisinya bersifat acak. Untnk lebih
detailnya, dimisalkan:
X(0 : sebagai state daxi proses pada waktu t.
S. : kurun-kurun waktu berturutan dimana
tejadi pembahan state.
X. : state dari sistem pada kunm waktu S.
(yaitu X.=X@J)
dan X@=X, untuk
Sn5t5Sn+,).
So=O danXo : state awal &=X(O)=X(Sd).
Barisan {Xn;n>O} yang memenuhi rantai Markov
disebut dengan proses semi-Markov.
.
PENDAHULUAN
PROSES SEMI MARKOV
Latar Belakang
Masalah fertilitas tnanusia telah menarik
perhatian banyak ahli dari berbagai bidang dalam
beberapa dekade iN. Fenomena tingkat mortalitas
yang menurun dan tingkat fertilitas yang masih
tinggi memnbawa implikasi bempa laju
pertumbuhan penduduk yang pesat, untuk itu
diperlukan npaya-upaya untuk menurunkan ukuran
populasi melalui penurunan ukuran fertilitas.
Kajian mengenai fertilitas memusatkan
perhatian pada fenomnena yang berhubungan
dengan reproduksi manusia. Terdapat tiga tahap
penting dalam proses reproduksi sebagaimana yang
dikenal dan digunakan dalam hidup bermasyarakat
yaitu: hubungan seksual, konsepsi Wmbuahan),
serta kehamilan dan kelahiran (Said, 1996).
Secara umum kajian mengenai fertilitas selama
iN bedokns pada kelahiran hidup, sedangkan
kajian yang mempertimbangkan perkembangan
jaNn selama kehamilan masih j m g dilakukan.
Untuk memodelkan proses yang terakhir, lebih
sesuai diiakukan dengan pendekatan stokastik
daripada pendekatan detenninistik.
Hal ini
diiarenakan faktor-faktor yang sifatnya acak dalam
model detenninistik terabaikan tetapi dapat
dimasukkan dalam komponen acak pada model
stokastik.
Model fertilitas stokastik dapat diiasifikasikan
ke dalam mnodel demogmfis dan model biologis.
Model demografis dirumuskan dari fungsi
intensitas kelahiran hidup yang pada nrnumnya
diperinci lebih lanjut ke dalam usia dan paritas.
Kelebihan dari model demografis ialah mudah
dipakai untuk jenis data yang diperoleh dari sensus
penduduk, statistik vital, dan hasil s w a i .
Sedangkan model biologis dicirikan oleh
dekomposisi selang keha~nilandan kelahiran ke
dalam beberapa state biologis. Oleh karena itu
n~odetbiologis lebih realistis. Namun demikian
mnodel ini juga memiliki kelemahan bempa
kesulitan yang lebih tinggi dalam memperoleh data
untuk menentukan parametemya.
Seperti telah dijelaskan sebelumnya, model
biologis untuk fertilitas ini memerlukan kerangka
acuan stokastik. Berikut ini akan diuraikan
konsep-konsep dalam proses stokastik yang akan
digunakan dalam penyusunan model.
Tujuan
Penulisan iN dimaksudkan untuk membuat
model dernografis yang melibatkan state
keliamilan 20 minggu atau lebih. Model ini akan
menjadi kerangka acuan yang menjembatani
antara mnodel fertilitas biologis dengan model
feltilitas demografis.
Proses Stokastik
Proses stokastik adalah suatu keluarga peubah
acak X(0. dengan tsT, yam dimotasikan dengan
{x(Q>ta.
Untuk suatu proses stokastlk, {X(tJ,teTJ, gugus
semua Nlai yang mungkin dari X(t) disebut sebagai
m g state (Taylor & Karlin, 1984).
Rantai Markov
Proses stokastik yang memenuhi sifat bahwa
peluang kejadian yang akan datang hanya
dipengamhi oleh kejadian saat iN dan tidak
dipengamhi oleh kejadian sebelumnya disebut
dengan proses Markov.
Proses Markov yang m g state-nya berupa
gugus tercacah dan gugos indeksnya adalah
T={0,1,2 ,...} disebut dengan rantai Markov.
Secara formal sifat Markov tersebut dapat
dinyatakan sebagai
P{X(I+l) =j I X(0) =io ....,X(t-I)=i,.,. X(0 =i )
= P{ x(t+ 1) =j I X(Z)=i)
- P"
(1)
untuk semua t dan semua state io, ..., i,.~,i, dan j.
Sesuai masalah yang dihadapi, indeks t dapat
b e ~ p awaktu, jarak, atau parameter yang lain.
Untnk selanjutnya pv disebut sebagai peluang
transisi (Taylor & K a r l i ~1984).
Proses semi-Markov
Proses semi-Markov adalah generalisasi dari
rantai-rantai Markov dengan selang waktu di antara
transisi-transisinya bersifat acak. Untnk lebih
detailnya, dimisalkan:
X(0 : sebagai state daxi proses pada waktu t.
S. : kurun-kurun waktu berturutan dimana
tejadi pembahan state.
X. : state dari sistem pada kunm waktu S.
(yaitu X.=X@J)
dan X@=X, untuk
Sn5t5Sn+,).
So=O danXo : state awal &=X(O)=X(Sd).
Barisan {Xn;n>O} yang memenuhi rantai Markov
disebut dengan proses semi-Markov.
.
Secara formal, untuk n z l berlaku:
Pp'n=jlXn.I=i] =P[x(S,J=jlX(Sn.3=i]=p"(Ni. (2)
Proses yang mengikuti persamaan (2) disebut
proses semi-Markov tak homogen. Sedangkan
proses semi-Markov yang tidak bergantung pada n
disebut dengan proses semi-Markov homogen.
(Gallager, 1996).
Model-model fertilitas dalam literatur klasik,
seperti halnya yang dibangun Sheps & Menken
(1973) mengasumsikan parameter-parameter
model homogen terhadap waktn dan tidak
bergantung pada faktor usia. Asumsi homogenitas
ini berimplikasi bahwa individu dengan usia yang
berbeda, misalnya antara individu yang bemsia 20
dan 45, ~nempunyai peluang yang sama untuk
melahirkan, sehingga asumsi ini tidak realistis.
Untuk membuat model yang lebih realistis
maka daliun kajian fertilitas ini digunakan model
semi-Markov tak homogen.
DEFINISI DAN ASUMSI
Model ini tnengaswnsikan bahwa fertilitas
lmya ditentukan pada tingkat kesnburan wanita.
Dalam rangka membangun model ini diadopsi
beberapa definisi dan asulnsi formal sebagai
berikut:
Definisi
Aborsi spontan: keguguran; kematian janin yang
tidak disengaja dan umumnya tejadi sebelnm
usia kandungan 20 minggu.
Fekunditas: kemampuan fisiologis wanita untuk
memberikan kelahiran atau berpartisipasi dalanl
reproduksi.
Fertilitas: performan reproduksi aktual dari
seorang wanita atau sekelompok individu.
Kematian prematur: kematian janin yang terjadi
antara 28 l ~ g g 36
a minggu dari usia janin.
Kematian prenatal: kematian janin yang tejadi
setelah 20 minggu dalam kandungan hingga 28
llari setelah kelaluran.
Konsepsi : fertilisasi ovum dan implantasi zigot
yang dillasilkan dalam dinding uterus.
Paritas: jumlah anak yang telal~diiiliki swrang
wanita.
Periode tidak rentan: dnrasi dari awal kehamilan
sampai akhir masa tidak subur setelah
melalurkan.
Durasi ini meliputi periode
kehamilan (gestation period) dan periode tidak
subur setelah melalurkan (post partu~?i
aalenorrhoeae).
Rasio: besaran Ilasil perbandingan antara dua
angka.
Rate; laju: rasio yang dihih~ng berdasarkan
interval waktn tertentu.
Statistik vital: pencatatan kejadian-kejadian vital
yang bertalian dengan pencatatan seperti
kelahiran, kematian, kematian janin, abortus,
perkawinan, dan perceraian.
Usia tepat: usia seseorang pada saat pengamatan
yang dihitung dari tanggal lahimya.
Asumsi
Asn~nsi yang mendasari model ini adalah
sebagai berikut:
Riwayat fertilitas dari masing-masing
individu dalam popnlasi saling bebas.
* Fekunditas me~pakanfungsi dari usia dan
paritas.
Kemnngkinan terjadinya aborsi spontan,
kematian prenatal, kematian prematnr,
kelahiran hidup, dan seterusnya selama proses
kehamilan dan kelahimn disederhanakan
dalain dua kategon keldiran hidup dan
kematian janin lfetal death).
Peluang kelahiran kembar (lebih dari satu)
diabaikan.
Periode kel-lan
bemilai konstan.
.
Kejadian kematian janin adalah fungsi dari
usia dan paritas.
Proses kehamilan bejalan secara alami (tidak
ada upaya pengatwan kelahiran).
Waktu tunggn untuk melakukan transisi antar
state yang bertuxutan bebas.
Seorang wanita memasuki state kehamilan
ketika kandungannya telah mencapai 20
minggu.
MODEL FERTILITAS STOKASTTK
Notasi yang dipakai dalam model ini adalah
sebagai berikut:
i : paritas; i=0,1,2, ...
X;O : usia tepat seorang wanita saat kelahiran hidup
anak ke-i
x, : usia tepat seorang wanita pada saat
menopause.
xi : usia tepat swrang wanita yang telah memiliki
paritas ke-i; xjo-; < x,, X;ER +.
ti . usia seorang wanita berparitas ke-i pada saat
keguguran; xio< t; SX;.
Secara formal, untuk n z l berlaku:
Pp'n=jlXn.I=i] =P[x(S,J=jlX(Sn.3=i]=p"(Ni. (2)
Proses yang mengikuti persamaan (2) disebut
proses semi-Markov tak homogen. Sedangkan
proses semi-Markov yang tidak bergantung pada n
disebut dengan proses semi-Markov homogen.
(Gallager, 1996).
Model-model fertilitas dalam literatur klasik,
seperti halnya yang dibangun Sheps & Menken
(1973) mengasumsikan parameter-parameter
model homogen terhadap waktn dan tidak
bergantung pada faktor usia. Asumsi homogenitas
ini berimplikasi bahwa individu dengan usia yang
berbeda, misalnya antara individu yang bemsia 20
dan 45, ~nempunyai peluang yang sama untuk
melahirkan, sehingga asumsi ini tidak realistis.
Untuk membuat model yang lebih realistis
maka daliun kajian fertilitas ini digunakan model
semi-Markov tak homogen.
DEFINISI DAN ASUMSI
Model ini tnengaswnsikan bahwa fertilitas
lmya ditentukan pada tingkat kesnburan wanita.
Dalam rangka membangun model ini diadopsi
beberapa definisi dan asulnsi formal sebagai
berikut:
Definisi
Aborsi spontan: keguguran; kematian janin yang
tidak disengaja dan umumnya tejadi sebelnm
usia kandungan 20 minggu.
Fekunditas: kemampuan fisiologis wanita untuk
memberikan kelahiran atau berpartisipasi dalanl
reproduksi.
Fertilitas: performan reproduksi aktual dari
seorang wanita atau sekelompok individu.
Kematian prematur: kematian janin yang terjadi
antara 28 l ~ g g 36
a minggu dari usia janin.
Kematian prenatal: kematian janin yang tejadi
setelah 20 minggu dalam kandungan hingga 28
llari setelah kelaluran.
Konsepsi : fertilisasi ovum dan implantasi zigot
yang dillasilkan dalam dinding uterus.
Paritas: jumlah anak yang telal~diiiliki swrang
wanita.
Periode tidak rentan: dnrasi dari awal kehamilan
sampai akhir masa tidak subur setelah
melalurkan.
Durasi ini meliputi periode
kehamilan (gestation period) dan periode tidak
subur setelah melalurkan (post partu~?i
aalenorrhoeae).
Rasio: besaran Ilasil perbandingan antara dua
angka.
Rate; laju: rasio yang dihih~ng berdasarkan
interval waktn tertentu.
Statistik vital: pencatatan kejadian-kejadian vital
yang bertalian dengan pencatatan seperti
kelahiran, kematian, kematian janin, abortus,
perkawinan, dan perceraian.
Usia tepat: usia seseorang pada saat pengamatan
yang dihitung dari tanggal lahimya.