Kajian pada Rancangan Fractional Factorial dan Fractional Factorial Split-Plot
KAJIAN PADA RANCANGAN FRACTIONAL FACTORIAL
DAN FRACTIONAL FACTORIAL SPLIT-PLOT
SRI WINARNI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2006
SURAT PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis yang berjudul : Kajian pada
Rancangan Fractional Factorial dan Fractional Factorial Split-Plot adalah benar
merupakan hasil karya sendiri dan belum dipublikasikan. Semua sumber data dan
informasi telah dinyatakan dengan jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.
Bogor, Agustus 2006
Sri Winarni
NRP : G151020191
ABSTRAK
SRI WINARNI. Kajian pada Rancangan Fractional Factorial dan Fractional
Factorial Split-Plot. Dibimbing oleh BUDI SUSETYO dan BAGUS SARTONO
Rancangan faktorial lengkap yang mencobakan banyak faktor dengan
ulangan tunggal membutuhkan satuan percobaan yang homogen sejumlah
kombinasi perlakuan lengkapnya. Biaya yang besar untuk menyediakan satuan
percobaan dan kesulitan dalam interpretasi hasil untuk pengaruh interaksi tingkat
tinggi membuat rancangan ini sangat mahal untuk dilakukan. Rancangan
Fractional factorial (FF) merupakan solusi bagi masalah tersebut. Jika teknik
pengacakan lengkap sulit untuk dilakukan pada rancangan FF maka rancangan
Fractional Factorial Split-Plot (FFSP) dapat digunakan.
Pembentukan struktur rancangan FF dan FFSP dapat dilakukan dengan
menentukan banyaknya faktor yang akan dicobakan dan fraksi percobaan, struktur
generator, defining relation, alias dan resolusi. Pemilihan struktur rancangan
ditentukan oleh kriteria resolusi maksimum dan minimum aberration atau dengan
menggunakan kriteria mampu menduga pengaruh faktor tertentu.
Proses
pembentukan struktur rancangan dan teknik analisis dapat dilakukan dengan
mudah menggunakan perangkat lunak yang tersedia.
Kata Kunci : generator, alias, resolusi maksimum, minimum aberration
© Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2006
Hak cipta dilindungi
Dilarang mengutip dan memperbanyak tanpa izin tertulis dari
Institut Pertanian Bogor, sebagian atau seluruhnya dalam
bentuk apa pun, baik cetak, fotokopi, mikrofilm, dan sebagainya
KAJIAN PADA RANCANGAN FRACTIONAL FACTORIAL
DAN FRACTIONAL FACTORIAL SPLIT-PLOT
SRI WINARNI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Statistika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2006
Judul Tesis
:
Nama
NRP
Program Studi
:
:
:
Kajian pada Rancangan Fractional Factorial dan
Fractional Factorial Split-Plot
Sri Winarni
G151020191
Statistika
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Budi Susetyo, MS
Ketua
Bagus Sartono , M.Si
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Statistika
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, MSc
Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS
Tanggal lulus : 2 September 2006
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan sebagai anak kedua dari pasangan Muryono dan Sri
Kamilah di Metro pada tanggal 4 Mei 1979.
sebelum menjalani pendidikan
pascasarjana di program magister pada tahun 2002, penulis menjalani pendidikan
sarjana di Program Studi Statistika, FMIPA-IPB, pada kurun waktu 1997-2001.
PRAKATA
Penghargaan yang setinggi-tingginya penulis sampaikan kepada Dr. Ir.
Budi Susetyo, MS. dan Bagus Sartono, Msi. selaku komisi pembimbing. Ucapan
terima kasih juga penulis sampaikan kepada rekan-rekan Statistika 2002 dan EPN
2004, keluarga Bagunde 12B, keluarga M20, dan sahabat-sahabat atas diskusi dan
semangat yang diberikan.
Karya ini penulis persembahkan kepada bapak dan mamak tercinta,
Luqman, Apri, Yayu’ Wati, Mas Nung dan Atha tersayang atas curahan kasih
sayang dan perhatiannya, baiti jannati.
Bogor, Agustus 2006
Sri Winarni
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ........................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... ix
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................... x
PENDAHULUAN............................................................................................ 1
TINJAUAN PUSTAKA ..................................................................................
Rancangan Fractional Factorial (FF) ...................................................
Rancangan Fractional Factorial Split-Plot (FFSP) ..............................
Plot Kwantil Half-Normal .....................................................................
Analisis Regresi dengan Metode Forward Selection ............................
Analisis Ragam pada Rancangan FF dan FFSP .....................................
4
4
9
13
16
17
BAHAN DAN METODE ............................................................................... 20
HASIL ..... .......................................................................................................
Penggunaan Rancangan FF dan FFSP ...................................................
Teknik Pembentukan dan Pemilihan Struktur Rancangan ....................
Teknik Analisis Data .............................................................................
Contoh Kasus untuk Percobaan dengan Rancangan FF ........................
Contoh Kasus untuk Percobaan dengan Rancangan FFSP ....................
21
21
25
40
42
47
SIMPULAN ..................................................................................................... 52
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 53
LAMPIRAN .................................................................................................... 54
DAFTAR TABEL
Halaman
1. Matriks rancangan 25V−1 dengan defining relation I = ABCDE ................ 5
2. Resolusi dan maknanya................................................................................ 7
3. Tiga alternatif rancangan 27IV− 2 dengan defining relation berbeda .............. 8
4. Karakteristik dua jenis proses pembauran pada rancangan FFSP ............... 10
5. Generator untuk rancangan 25−2 ................................................................. 29
6. Generator pilihan untuk rancangan 2 5 − 2 ..................................................... 30
7. Struktur rancangan 2 5 − 2 yang dapat dibentuk dengan resolusi maksimum. 31
8. Struktur rancangan 2 5 − 2 isomorphic ............................................................ 33
9. Struktur rancangan 25− 2 dengan generator D = AB dan E = AC .............. 32
10. Struktur rancangan 25− 2 dengan generator D = AC ; E = ABC .............. 33
11. Matriks rancangan 2 5 − 2 dengan generator D = AB dan E = AC .............. 34
12. Matriks rancangan 25− 2 dengan generator D = AC dan E = ABC ......... 34
13. Generator rancangan 2( 2+3)− (0+ 2) ................................................................. 36
14. Generator pilihan untuk rancangan 2 (2+ 3)− (0+ 2) ........................................... 36
15. Struktur rancangan MA 2 ( 2 +3 )− (0 + 2 ) ........................................................... 37
16. Struktur rancangan MA 2 ( 2 +3 )− (0 + 2 ) isomorphic ......................................... 37
17. Generator rancangan 2( 2+3)−(1+1) .................................................................. 38
18. Matriks rancangan 2( 2+3)− (0+ 2) dengan generator Q = AP ; R = BP ......... 38
19. Faktor dan taraf yang digunakan pada contoh kasus rancangan FF........... 42
20. Data percobaan pada contoh kasus rancangan FF...................................... 42
21. Struktur alias dan pendugaan pengaruh pada kasus rancangan FF ............ 43
22. Nilai kwantil half-normal pada contoh kasus rancangan FF...................... 44
23. Tabel analisis ragam untuk contoh kasus rancangan FF............................ 46
24. Faktor dan taraf yang digunakan pada contoh kasus rancangan FFSP ...... 47
25. Nilai kwantil half-normal petak utama pada contoh kasus FFSP .............. 48
26. Nilai kwantil half-normal anak petak pada contoh kasus FFSP................ 49
27. Analisis Ragam untuk contoh kasus rancangan FFSP ............................... 51
KAJIAN PADA RANCANGAN FRACTIONAL FACTORIAL
DAN FRACTIONAL FACTORIAL SPLIT-PLOT
SRI WINARNI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2006
SURAT PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis yang berjudul : Kajian pada
Rancangan Fractional Factorial dan Fractional Factorial Split-Plot adalah benar
merupakan hasil karya sendiri dan belum dipublikasikan. Semua sumber data dan
informasi telah dinyatakan dengan jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.
Bogor, Agustus 2006
Sri Winarni
NRP : G151020191
ABSTRAK
SRI WINARNI. Kajian pada Rancangan Fractional Factorial dan Fractional
Factorial Split-Plot. Dibimbing oleh BUDI SUSETYO dan BAGUS SARTONO
Rancangan faktorial lengkap yang mencobakan banyak faktor dengan
ulangan tunggal membutuhkan satuan percobaan yang homogen sejumlah
kombinasi perlakuan lengkapnya. Biaya yang besar untuk menyediakan satuan
percobaan dan kesulitan dalam interpretasi hasil untuk pengaruh interaksi tingkat
tinggi membuat rancangan ini sangat mahal untuk dilakukan. Rancangan
Fractional factorial (FF) merupakan solusi bagi masalah tersebut. Jika teknik
pengacakan lengkap sulit untuk dilakukan pada rancangan FF maka rancangan
Fractional Factorial Split-Plot (FFSP) dapat digunakan.
Pembentukan struktur rancangan FF dan FFSP dapat dilakukan dengan
menentukan banyaknya faktor yang akan dicobakan dan fraksi percobaan, struktur
generator, defining relation, alias dan resolusi. Pemilihan struktur rancangan
ditentukan oleh kriteria resolusi maksimum dan minimum aberration atau dengan
menggunakan kriteria mampu menduga pengaruh faktor tertentu.
Proses
pembentukan struktur rancangan dan teknik analisis dapat dilakukan dengan
mudah menggunakan perangkat lunak yang tersedia.
Kata Kunci : generator, alias, resolusi maksimum, minimum aberration
© Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2006
Hak cipta dilindungi
Dilarang mengutip dan memperbanyak tanpa izin tertulis dari
Institut Pertanian Bogor, sebagian atau seluruhnya dalam
bentuk apa pun, baik cetak, fotokopi, mikrofilm, dan sebagainya
KAJIAN PADA RANCANGAN FRACTIONAL FACTORIAL
DAN FRACTIONAL FACTORIAL SPLIT-PLOT
SRI WINARNI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Statistika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2006
Judul Tesis
:
Nama
NRP
Program Studi
:
:
:
Kajian pada Rancangan Fractional Factorial dan
Fractional Factorial Split-Plot
Sri Winarni
G151020191
Statistika
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Budi Susetyo, MS
Ketua
Bagus Sartono , M.Si
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Statistika
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, MSc
Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS
Tanggal lulus : 2 September 2006
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan sebagai anak kedua dari pasangan Muryono dan Sri
Kamilah di Metro pada tanggal 4 Mei 1979.
sebelum menjalani pendidikan
pascasarjana di program magister pada tahun 2002, penulis menjalani pendidikan
sarjana di Program Studi Statistika, FMIPA-IPB, pada kurun waktu 1997-2001.
PRAKATA
Penghargaan yang setinggi-tingginya penulis sampaikan kepada Dr. Ir.
Budi Susetyo, MS. dan Bagus Sartono, Msi. selaku komisi pembimbing. Ucapan
terima kasih juga penulis sampaikan kepada rekan-rekan Statistika 2002 dan EPN
2004, keluarga Bagunde 12B, keluarga M20, dan sahabat-sahabat atas diskusi dan
semangat yang diberikan.
Karya ini penulis persembahkan kepada bapak dan mamak tercinta,
Luqman, Apri, Yayu’ Wati, Mas Nung dan Atha tersayang atas curahan kasih
sayang dan perhatiannya, baiti jannati.
Bogor, Agustus 2006
Sri Winarni
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ........................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... ix
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................... x
PENDAHULUAN............................................................................................ 1
TINJAUAN PUSTAKA ..................................................................................
Rancangan Fractional Factorial (FF) ...................................................
Rancangan Fractional Factorial Split-Plot (FFSP) ..............................
Plot Kwantil Half-Normal .....................................................................
Analisis Regresi dengan Metode Forward Selection ............................
Analisis Ragam pada Rancangan FF dan FFSP .....................................
4
4
9
13
16
17
BAHAN DAN METODE ............................................................................... 20
HASIL ..... .......................................................................................................
Penggunaan Rancangan FF dan FFSP ...................................................
Teknik Pembentukan dan Pemilihan Struktur Rancangan ....................
Teknik Analisis Data .............................................................................
Contoh Kasus untuk Percobaan dengan Rancangan FF ........................
Contoh Kasus untuk Percobaan dengan Rancangan FFSP ....................
21
21
25
40
42
47
SIMPULAN ..................................................................................................... 52
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 53
LAMPIRAN .................................................................................................... 54
DAFTAR TABEL
Halaman
1. Matriks rancangan 25V−1 dengan defining relation I = ABCDE ................ 5
2. Resolusi dan maknanya................................................................................ 7
3. Tiga alternatif rancangan 27IV− 2 dengan defining relation berbeda .............. 8
4. Karakteristik dua jenis proses pembauran pada rancangan FFSP ............... 10
5. Generator untuk rancangan 25−2 ................................................................. 29
6. Generator pilihan untuk rancangan 2 5 − 2 ..................................................... 30
7. Struktur rancangan 2 5 − 2 yang dapat dibentuk dengan resolusi maksimum. 31
8. Struktur rancangan 2 5 − 2 isomorphic ............................................................ 33
9. Struktur rancangan 25− 2 dengan generator D = AB dan E = AC .............. 32
10. Struktur rancangan 25− 2 dengan generator D = AC ; E = ABC .............. 33
11. Matriks rancangan 2 5 − 2 dengan generator D = AB dan E = AC .............. 34
12. Matriks rancangan 25− 2 dengan generator D = AC dan E = ABC ......... 34
13. Generator rancangan 2( 2+3)− (0+ 2) ................................................................. 36
14. Generator pilihan untuk rancangan 2 (2+ 3)− (0+ 2) ........................................... 36
15. Struktur rancangan MA 2 ( 2 +3 )− (0 + 2 ) ........................................................... 37
16. Struktur rancangan MA 2 ( 2 +3 )− (0 + 2 ) isomorphic ......................................... 37
17. Generator rancangan 2( 2+3)−(1+1) .................................................................. 38
18. Matriks rancangan 2( 2+3)− (0+ 2) dengan generator Q = AP ; R = BP ......... 38
19. Faktor dan taraf yang digunakan pada contoh kasus rancangan FF........... 42
20. Data percobaan pada contoh kasus rancangan FF...................................... 42
21. Struktur alias dan pendugaan pengaruh pada kasus rancangan FF ............ 43
22. Nilai kwantil half-normal pada contoh kasus rancangan FF...................... 44
23. Tabel analisis ragam untuk contoh kasus rancangan FF............................ 46
24. Faktor dan taraf yang digunakan pada contoh kasus rancangan FFSP ...... 47
25. Nilai kwantil half-normal petak utama pada contoh kasus FFSP .............. 48
26. Nilai kwantil half-normal anak petak pada contoh kasus FFSP................ 49
27. Analisis Ragam untuk contoh kasus rancangan FFSP ............................... 51
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1. Proses pembentukan struktur rancangan ..................................................... 28
2. Struktur pengacakan untuk rancangan 25−2 ................................................. 34
3. Struktur pengacakan rancangan 2( 2+3)− (0+ 2) dengan generator
Q = AP ; R = BP ........................................................................................ 39
4. Plot kwantil half-normal untuk contoh kasus rancangan FF........................ 45
5. Proses penghalusan lapisan emas pada contoh kasus rancangan FFSP ....... 47
6. Plot kwantil half-normal petak utama pada contoh kasus FFSP.................. 48
7. Plot kwantil half-normal anak petak untuk contoh kasus FFSP .................. 49
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1. Alias interaksi dua faktor untuk tiga rancangan 2 IV7-2 ............................... 54
2. Struktur pembentukan rancangan FF 25− 2 2 ................................................ 55
3. Penggunaan SAS 9.1 untuk pembentukan struktur rancangan FF............. 58
4. Penggunaan ADX SAS 9.1 untuk Pengacakan Rancangan FF.................. 62
5. Pembentukan struktur rancangan FFSP 2 ( 2 + 3) −(0 + 2 ) ..................................... 63
6. Penggunaan SAS 9.1 untuk pembentukan struktur rancangan FFSP........ 65
7. Penggunaan SAS 9.1 untuk pembentukan pengacakan struktur
rancangan FFSP .......................................................................................... 68
8. Hasil analisis regresi dengan metode forward selection untuk
percobaan pada contoh kasus rancangan FF............................................... 69
9. Data percobaan pada contoh kasus rancangan FFSP .................................. 70
10. Struktur aliases untuk rancangan pada contoh kasus FFSP....................... 71
11. Hasil analisis regresi dengan metode forward selection untuk
percobaan pada contoh kasus rancangan FFSP.......................................... 72
PENDAHULUAN
Pada perancangan percobaan dengan rancangan faktorial lengkap, jumlah
kombinasi perlakuan terus meningkat seiring dengan meningkatnya jumlah faktor
yang digunakan. Jika biaya yang dibutuhkan untuk menggunakan faktor-faktor
tersebut sangat besar, maka menambah jumlah faktor berarti juga menambah
biaya yang diperlukan dan hal ini tentu sangat tidak diharapkan. Selain itu,
kadangkala ditemui kesulitan dalam menginterpretasikan pengaruh interaksi
tingkat tinggi pada rancangan faktorial lengkap dengan banyak faktor. Rancangan
fractional factorial (FF) merupakan salah satu solusi untuk mengatasi masalahmasalah tersebut (Box & Hunter 1961).
Rancangan FF merupakan rancangan yang hanya melakukan sebagian dari
kombinasi perlakuan lengkap. Penerapan rancangan FF dapat menghilangkan
informasi tentang pengaruh interaksi tingkat tinggi, tetapi tidak menghilangkan
informasi tentang pengaruh faktor utama dan interaksi tingkat rendah yang
merupakan informasi penting dalam percobaan (Gomes & Gomes 1995).
Masalah yang dihadapi dalam rancangan FF adalah bagaimana memilih
sebagian dari kombinasi perlakuan lengkap yang akan dicobakan tetapi tetap
mendapatkan informasi penting yang diperlukan (Musa 1999). Pembentukan
struktur rancangan FF ditentukan oleh banyaknya faktor dan kombinasi perlakuan
yang dicobakan. Dengan jumlah faktor tertentu, dapat dibentuk beberapa struktur
rancangan FF yang berbeda. Perbedaan struktur rancangan tersebut ditentukan
oleh struktur generator, defining relation , alias, dan resolusi yang d igunakan.
Pemilihan struktur rancangan terbaik dilakukan dengan kriteria resolusi
maksimum dan minimum-aberration (Fries & Hunter 1980).
Pemilihan
rancangan juga dapat ditentukan oleh pengaruh faktor tertentu atau pengaruh
interaksi faktor tertentu yang ingin diduga.
Kombinasi perlakuan yang digunakan pada rancangan FF ditempatkan
secara acak lengkap pada unit percobaan yang digunakan. Pengacakan lengkap
pada rancangan FF tersebut kadangkala sulit dilakukan. Dua hal yang membuat
pengacakan lengkap tidak dilakukan adalah :
1. Ada kendala teknis di lapang. Kendala teknis tersebut muncul ketika ada
faktor yang sulit untuk diubah pengaturan tarafnya berulang kali pada setiap
unit percobaan yang digunakan.
Contoh : Faktor suhu pemanasan. Tidak mudah untuk memberikan taraf suhu
yang berbeda dari unit percobaan yang satu ke unit percobaan yang
lain. Lebih mudah jika unit-unit percobaan yang mendapat taraf
suhu yang sama di kumpulkan, kemudian diberikan taraf suhu
tertentu secara bersamaan (Kulahci et al. 2006).
2. Secara teknis tidak ada masalah untuk melakukan pengacakan lengkap , tetapi
mengubah taraf faktor tertentu dari unit percobaan satu ke unit percobaan yang
lain dikhawatirkan akan mengganggu pengaruh dari faktor yang dicobakan.
Contoh : Faktor pemberian air.
Jika dilakukan pengacakan lengkap ,
dikhawatirkan air yang diberikan pada beberapa unit percobaan
akan mengalir pada unit percobaan di sekitarnya yang seharusnya
tidak mendapat pemberian
air. Akan lebih aman jika unit-unit
percobaan yang diberi air di p isah dengan unit-unit percobaan yang
tidak diberi air.
Rancangan fractional factorial split-plot (FFSP) merupakan solusi yang tepat
digunakan untuk melakukan percobaan dengan kondisi tersebut di atas.
Pada rancangan FFSP terdapat petak utama dan anak petak. Faktor yang
sulit untuk diubah pengaturan tarafnya ditempatkan sebagai faktor petak utama
dan faktor lainnya ditempatkan sebagai faktor anak petak. Petak utama merupakan
kombinasi taraf dari faktor-faktor petak utama yang digunakan dan anak petak
merupakan kombinasi taraf dari faktor-faktor anak petak (Bingham & Sitter
2001).
Rancangan FF dan FFSP sangat berguna dalam proses penyeleksian faktor
(screening experiment), yaitu percobaan
yang melibatkan banyak faktor dan
bertujuan untuk mengidentifikasi faktor-faktor yang memiliki pengaruh besar.
Percobaan dilakukan dengan dua taraf, yaitu taraf tinggi (1) dan taraf rendah (-1).
Faktor-faktor yang teridentifikasi memiliki pengaruh besar akan diinvestigasi
lebih lanjut pada percobaan lanjutan (Montgomery 2001).
Analisis yang digunakan dalam rancangan FF dan FFSP berupa
pendekatan analisis secara visual menggunakan plot kuantil half-normal yang
kemudian dilanjutkan dengan analisis ragam (Box et al. 1978, Montgomery
2001).
Pendekatan analisis regresi dengan metode forward selection (seleksi
maju) juga dapat digunakan untuk penyeleksian pengaruh faktor.
Masalah umum yang dihadapi pada rancangan FF dan FFSP adalah teknik
pembentukan struktur rancangan yang relatif rumit dan ketersediaan perangkat
lunak yang langka untuk melakukan pembentukan struktur rancangan sekaligus
analisis data. Dengan pertimbangan sulitnya mendapatkan data sekunder dari
kasus riil dan tidak memungkinkan untuk melakukan percobaan, maka penelitian
ini lebih mengarah kepada kajian teori dan pustaka.
Tujuan penelitian ini adalah melakukan kajian teori terhadap dua jenis
rancangan percobaan, yaitu rancangan FF dan rancangan FFSP.
Kajian teori
dilakukan terhadap proses pembentukan struktur rancangan dan teknik analisis
pada kedua rancangan tersebut.
TINJAUAN PUSTAKA
Rancangan Fractional Factorial (FF)
Rancangan FF dengan dua taraf yang dinotasikan dengan 2 n− p merupakan
rancangan yang mencobakan hanya 2 n− p kombinasi perlakuan dari selu ruh 2 n
kombinasi perlakuan lengkap . Seberapa besar proporsi total kombinasi perlakuan
yang akan dicobakan dalam rancangan FF disebut dengan fraksi percobaan (Box
& Hunter 1961). Fraksi percobaan yang sering digunakan adalah :
Ø Fraksi setengah, mencobakan hanya setengah bagian dari kombinasi
perlakuan lengkap. Bentuk rancangan dari percobaan setengah fraksi ini
adalah 2 n −1 .
Contoh : percobaan 2 5 −1 melakukan 16 kombinasi perlakuan dari 32
kombinasi perlakuan lengkap.
Ø Fraksi seperempat, percobaan fraksi seperempat mencobakan hanya
seperempat bagian dari kombinasi perlakuan lengkap dan bentuk
rancangannya adalah 2 n− 2 .
Contoh : percobaan 25−2 melakukan 8 dari 32 kombinasi perlakuan
lengkap.
Secara umum percobaan FF dengan fraksi 1 2 p mencobakan 1 2 p bagian dari
jumlah kombinasi perlakuan lengkap . Bentuk umum dari rancangan ini adalah
2 n− p . Penentuan fraksi percobaan yang digunakan harus menyeimbangkan antara
informasi yang ingin diperoleh dengan biaya yang tersedia (Hines & Montgomery
1996).
Struktur rancangan FF ditentukan oleh banyaknya faktor yang dicobakan
dan fraksi percobaan yang digunakan. Dengan jumlah faktor dan fraksi tertentu,
dapat dibentuk beberapa struktur rancangan FF yang berbeda. Perbedaan struktur
rancangan tersebut ditentukan oleh struktur generator, defining relation, alias, dan
resolusi yang digunakan.
Sebuah ilustrasi rancangan FF yang mencobakan 5 faktor dengan fraksi
setengah diberikan untuk memberi gambaran tentang rancangan FF.
Ilustrasi : Sebuah percobaan fraksi setengah yang mencobakan 5 faktor (A, B, C,
D, dan E) masing-masing dengan dua taraf yaitu taraf tinggi (1) dan
taraf rendah (-1) dilakukan dengan 16 kombinasi perlakuan. Defining
relation yang digunakan adalah I = ABCDE .
Struktur rancangan
dengan I = ABCDE pada ilustrasi ini merupakan salah satu dari
beberapa struktur rancangan yang dapat dibentuk, matriks rancangan
pada ilustrasi ini seperti pada Tabel 1.
.
Tabel 1. Matriks rancangan 25V−1 dengan defining relation I = ABCDE
Run
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
B
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
C
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
D
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
E = ABCD
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
Kombinasi
perlakuan
a1b1 c1 d1e 1
a0b1 c1 d1e 0
a1b0 c1 d1e 0
a0b0 c1 d1e 1
a1b1 c0 d1e 0
a0b1 c0 d1e 1
a1b0 c0 d1e 1
a0b0 c0 d1e 0
a1b1 c1 d0e 0
a0b1 c1 d0e 1
a1b0 c1 d0e 1
a0b0 c1 d0e 0
a1b1 c0 d0e 1
a0b1 c0 d0e 0
a1b0 c0 d0e 0
a0b0 c0 d0e 1
Taraf faktor E ditentukan oleh kombinasi taraf dari faktor A, B, C, dan D
melalui persamaan E = ABCD . Jika kedua ruas dikalikan dengan E akan didapat
persamaan :
E 2 = ABCDE menjadi I = ABCDE
Hubungan I = ABCDE disebut dengan defining relation dan interaksi ABCDE
disebut sebagai generator. Cochran (1957) menyebut defining relation dengan
defining contrast. Jika terdapat lebih dari satu defining relation yang digunakan,
misalnya pada rancangan dengan fraksi seperempat yang menggunakan dua
generator, maka akan ada generalized defining relation yang merupakan perkalian
antar defining relation. Sebagai defining relation alternatif dapat diambil defining
relation yang bertanda negatif. Struktur generator dan defining relation
menentukan struktur alias yang berkaitan dengan pengaruh faktor yang dianalisis.
Alias merupakan hubungan pendugaan pengaruh yang saling terpaut
(confounded), hubungan tersebut didapatkan dari generalized interaction yang
merupakan perkalian antara pengaruh faktor dengan defining relation yang
digunakan.
Pada ilustrasi diatas, dari defining relation yang digunakan
I = ABCDE dapat ditentukan hubungan alias pengaruh faktor tertentu. Sebagai
contoh, generalized interaction pengaruh utama faktor A dengan defining relation
sebagai berikut :
I = ABCDE ; kedua ruas dikali dengan A
IA = A 2 BCDE ; menjadi A = BCDE
Dengan demikian, pengaruh utama faktor A terpaut dengan pengaruh interaksi
BCDE. Begitu juga dengan pengaruh interaksi AB yang terpaut dengan pengaruh
interaksi CDE. Hubungan alias pengaruh yang lain dapat diperoleh dengan cara
yang sama.
Hubungan alias A = BCDE menunjukkan bahwa kombinasi pengaruh
perlakuan yang digunakan untuk menduga pengaruh utama faktor A sama dengan
kombinasi pengaruh perlakuan yang digunakan untuk menduga pengaruh interaksi
faktor BCDE. Menduga pengaruh utama A sebenarnya adalah menduga pengaruh
faktor A + BCDE . Pengaruh utama faktor A tidak dapat diduga kecuali jika
pengaruh interaksi faktor BCDE dianggap bernilai nol atau diabaikan.
Sama
halnya dengan pengaruh interaksi faktor AB yang tidak dapat diduga kecuali
pengaruh interaksi faktor CDE diabaikan.
Rancangan 2 n-p memiliki p generator bebas yang membentuk defining
relation. Struktur generator yang berbeda akan menghasilkan struktur alias yang
berbeda, hal ini akan berpengaruh pada struktur pengaruh faktor tertentu yang
dianalisis. Perlu dipilih struktur p generator yang tepat dan resolusi untuk dapat
memenuhi pengaruh faktor tertentu yang ingin dianalisis (Box & Hunter 1961).
Sebuah rancangan dikatakan memiliki resolusi R jika tidak ada pengaruh i
faktor yang ber-alias dengan pengaruh lain yang mengandung kurang dari R-i
faktor (Box et al. 1978). Beberapa resolusi yang biasa digunakan dapat dilihat
pada Tabel 2.
Tabel 2. Resolusi dan maknanya
Resolusi
Keterangan
Resolusi III
Pengaruh faktor utama tidak ber-alias dengan
pengaruh faktor utama tetapi ber-alias dengan
pengaruh interaksi dua faktor dan yang lebih tinggi.
Pengaruh interaksi dua faktor tidak ber-alias dengan
pengaruh faktor utama tetapi ber-alias dengan
pengaruh interaksi dua faktor dan yang lebih tinggi .
Pengaruh interaksi dua faktor tidak ber-alias dengan
pengaruh utama dan pengaruh interaksi dua faktor,
tetapi ber-alias dengan interaksi tiga faktor dan yang
lebih tinggi .
Resolusi IV
Resolusi V
Secara umum resolusi dari rancangan FF sama dengan jumlah huruf terkecil pada
defining relation yang digunakan.
Pada contoh sebelumnya, rancangan 25−1
dengan defining relation I = ABCDE memiliki resolusi V.
Pemilihan tingkat resolusi tergantung pada interaksi tingkat berapa yang
akan diabaikan dan tergantung dari banyaknya generator yang digunakan (p).
Menurut Fries & Hunter (1980), tingkat resolusi maksimum yang dapat dicapai
untuk p = 1 dan p = 2 adalah sebagai berikut:
•
Untuk p = 1 maka resolusi maksimum = n
•
Untuk p = 2 maka resolusi maksimum = [2n/3]
Dengan n adalah banyaknya faktor yang dicobakan dan [x] adalah nilai bilangan
bulat terbesar yang lebih besar dari x.
Kriteria resolusi tertinggi kadangkala tidak cukup karena beberapa
rancangan berbeda dapat memiliki resolusi yang sama. Sebagai contoh, pada
rancangan 27IV− 2 yang menggunakan 7 faktor, 2 generator dan memiliki resolusi IV
terdapat tiga alternatif rancangan dengan generator yang berbeda. Ketiga alternatif
rancangan tersebut dapat disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3. Tiga alternatif rancangan 27IV− 2 dengan defining relation berbeda.
Kode
Generator
Defining relation
(D1)
(D2)
(D3)
F = ABC dan G = BCD
F = ABC dan G = ADE
F = ABCD dan G = ABDE
I = ABCF = BCDG = ADFG
I = ABCF = ADEG = BCDEFG
I = ABCDF = ABDEG = CEFG
Panjang huruf terkecil dari ketiga defining relation adalah 4, dengan begitu
ketiga rancangan tersebut sama-sama memiliki resolusi IV. Pola panjang huruf
dari defining relation disebut dengan Word Length Pattern (WLP). WLP untuk
rancangan D1 = {4,4,4} , rancangan D2 = {4,4,6} , dan rancangan D3 = {4,5,5} .
Rancangan D1 memiliki panjang huruf 4 sebanyak 3, rancangan D2 sebanyak 2
dan rancangan D3 hanya 1.
Rancangan D3 memiliki panjang huruf terkecil
minimum, dan dikatakan rancangan D 3 merupakan rancangan yang memiliki
minimum-aberration. Rancangan minimum -aberration (MA) adalah rancangan
yang meminimalkan banyaknya kata dalam defin ing relation yang panjangnya
minimum (Fries & Hunter 1980).
Rancangan minimum aberration meminimalkan banyaknya interaksi
tingkat rendah (dua faktor) yang saling ber -confounded .
Pada ilustrasi tiga
rancangan di atas, rancangan D1 menyebabkan 15 pasang interaksi dua faktor
saling ber-confounded, rancangan D2 12 pasang, dan rancangan D3 hanya 6
pasang, hal ini dapat dilihat pada Lampiran 1.
Rancangan FF yang memenuhi kriteria resolusi maksimum dan minimum
aberration dipilih sebagai rancangan terbaik.
Pemilihan rancangan terbaik
kadangkala tidak hanya didasarkan pada kriteria di atas, jika diinginkan untuk
mengetahui pengaruh faktor tertentu yang spesifik, maka pemilihan rancangan
dilakukan berdasarkan kemampuan rancangan untuk menduga pengaruh spesifik
yang diinginkan.
Rancangan Fractional Factorial Split-Plot (FFSP)
Huang et al. (1998) menotasikan rancangan FFSP dua taraf dengan
2 ( n1 + n2 )− ( p1 + p 2 ) . Rancangan ini dibentuk dengan mengkombinasikan rancangan
petak utama (2 n1 − p1 ) yang memiliki n 1 faktor dan p 1 generator dengan rancangan
anak petak ( 2 n2 − p2 ) yang memiliki
n 2 faktor dan
p 2 generator. Ada 2 n1 − p1
kombinasi perlakuan yang dilakukan pada rancangan petak utama, sedangkan
pada rancangan anak petak ada sebanyak 2 ( n1 + n 2 ) −( p1 + p2 ) kombinasi perlakuan yang
dilakukan.
Pembentukan generator dalam rancangan FFSP dilakukan dengan
memperhatikan dua hal, yaitu : (Bingham & Sitter 1999).
1. Generator anak petak boleh mengandung beberapa faktor petak utama.
2. Generator petak utama harus bebas dari faktor anak petak dan generator
anak petak harus mengandung sedikitnya dua faktor anak petak .
Jika generator petak utama mengandung faktor anak petak maka sama halnya
dengan melibatkan taraf faktor anak petak ke dalam penentuan taraf faktor petak
utama. Sama dengan apa yang berlaku pada rancangan FF, generator yang
dibentuk akan menentukan defining relation yang digunakan. Defining relation
pada rancangan FFSP disebut dengan defining contrast subgroup (DCS).
Nembehard et al. (2006) menjelaskan bahwa ada dua kemungkinan proses
pembauran yang dapat terjadi pada rancangan FFSP, yaitu : pembauran dalam
anak petak (confounding within sub -plots) dan pembauran split-plot (confounding
split-plot). Penggunaan dari pembauran dalam anak petak dan pembauran splitplot tergantung tujuan dari percobaan yang dilakukan. Pembauran dalam anak
petak lebih mampu untuk menduga pengaruh interaksi antara faktor petak utama
dan faktor anak petak, sedangkan pembauran split-plot lebih mampu untuk
menduga pengaruh utama faktor petak utama dan pengaruh utama faktor anaka
petak. Ilustrasi rancangan yang digunakan adalah sebuah rancangan FFSP dengan A
dan B sebagai faktor petak utama dan P, Q, R, S, T, U sebagai faktor anak petak.
Karakteristik kedua pembauran dijelaskan oleh Tabel 4.
Tabel 4. Karakteristik dua jenis proses pembauran pada rancangan FFSP
Pembauran split-plot
(confounding split-plot)
Pembauran dalam anak petak
(confounding within sub-plots)
•
•
Generator anak petak tidak
mengandung faktor petak utama
Contoh :
S = PQ , T = QR dan U = PR
DCS :
•
•
I = PQS = QRT = PRU = PRST
= PQTU = QRSU
I = APQS = BQRT = APRU
= ABPRST = QRSU = ABPQTU
Resolusi III
* Pengaruh utama faktor petak
utama dan faktor anak petak berconfounded dengan interaksi dua
faktor.
* Interaksi antara petak utama dan
anak petak bebas dari pembauran
(dengan asumsi interaksi tiga
faktor atau lebih diabaikan)
•
Tepat digunakan pada percobaan
yang ingin mengetahui pengaruh
interaksi antara faktor petak
utama dan faktor anak petak
Generator anak petak mengandung
faktor petak utama
Contoh :
S = APQ , T = BQR , dan U = APR
DCS :
Resolusi IV
* Pengaruh utama faktor anak petak
bebas dari pembauran.
* Interaksi dua faktor saling berconfounded .
•
•
Tepat digunakan pada percobaan
yang ingin mengetahui pengaruh
utama dari faktor petak utama dan
faktor anak petak
Meningkatkan resolusi parsial dari
petak utama.
Generator dibangun dari beberapa huruf (letter) yang membentuk satu kata
(word). Banyaknya kata yang memiliki panjang i dapat dituliskan dalam suatu
pola yang disebut dengan word length pattern .
Misal Ai(D) merupakan banyaknya kata yang panjangnya i, yang
didefinisikan dalam defining contrast subgroup rancangan D, dan misal :
(
WLP = A3 ( D), A4 ( D ), A5 ( D),..., An1 +n2 ( D)
)
adalah word length pattern (panjang kata 1 dan 2 tidak digunakan). A3 (D)
merupakan banyaknya kata dalam defining contrast subgroup rancangan D yang
panjangnya 3 huruf, A 4(D) dengan panjang 4 huruf,
A5(D) dengan panjang 5
huruf, dan seterusnya sampai An1 + n2 ( D) dengan panjang n1 + n2 huruf.
Resolusi merupakan panjang kata terpendek yang didefinisikan dalam
defining contrast subgroup . Sebagai contoh rancangan 2 (5 +3 )− (1 +1 ) dengan huruf
kapital A, B, C, D dan E merupakan faktor-faktor petak utama dan huruf kecil p,
q, r adalah faktor-faktor anak petak. Defining contrast subgroup yang dibentuk:
I = pqr = ABCDE = ABCDEpqr
memiliki WLP = (1,0,1,0,0,1) dan memiliki resolusi tingkat III karena panjang kata
terpendek adalah 3 (Bingham & Sitter 2001).
Sebuah rancangan FFSP
2 ( n1 + n 2 ) −( p1 + p2 )
dikatakan memiliki resolusi
maksimum jika tidak ada rancangan FFSP lain 2 ( n1 + n 2 ) −( p1 + p2 ) yang memiliki
resolusi lebih besar. Rancangan dengan resolusi yang sama bisa memiliki WLP
yang berbeda. Dalam kondisi demikian, Fries & Hunter (1980) memperkenalkan
minimum-aberration sebagai kriteria untuk pemilihan rancangan terbaik.
Pertanyaan yang kemudian muncul adalah, yang mana dari banyak
kemungkinan rancangan FFSP yang sebaiknya digunakan? Penentuan ini
mempertimbangkan seberapa banyak unit percobaan yang digunakan, dan faktorfaktor mana saja yang masuk sebagai petak utama dan faktor-faktor mana yang
masuk sebagai anak petak. Kebutuhan untuk mendapatkan informasi yang luas
harus diimbangi keinginan untuk mereduksi biaya percobaan. Bingham & Sitter
(2001) memberikan beberapa petunjuk yang bisa digunakan untuk melakukan
rancangan FFSP :
1. Menempatkan hard-to-change factors sebagai faktor petak utama dan
menempatkan faktor-faktor sisanya sebagai faktor anak petak.
2. Memilih WLP terbaik, pada umumnya yaitu WLP yang menghasilkan resolusi
tertinggi. Misalkan ada dua rancangan FFSP, yaitu :
D1 : I = ABC = Apqr = BCpqr
D 2 : I = ABpq = ACpr = BCqr
WLP ( D1 ) = (1,1,1,0 ) dan WLP ( D 2 ) = ( 0,3,0 ,0 ) sehingga D1 memiliki resolusi
III dan D2 memiliki resolusi IV. Secara umum, D2 lebih baik daripada D1.
3. Memilih rancangan minimum aberration.
4. Pertimbangan biaya dan run-size
Hal lain yang perlu dipertimbangkan selain minimum-aberration adalah
pemilihan rancangan yang paling ekonomis. Perhitungan biaya dilakukan pada
unit percobaan yang digunakan.
Pertimbangan-pertimbangan tersebut di atas diselaraskan untuk mendapatkan
rancangan yang terbaik dengan tidak menentukan pengaruh faktor tertentu yang
ingin dianalisis.
Huang et al. (1998) menggunakan generating matrix yang merupakan
matriks dari generator-generator yang digunakan.
Generating matrix untuk
rancangan FF 2 n− p dapat dituliskan secara umum dalam bentuk matriks :
G FF = (I C ) ……… ..…………………….. (1)
dengan I adalah matriks identitas p × p dan C adalah matriks p × (n − p) yang
elemennya sama dengan 0 atau 1 dan setiap baris harus mengandung paling
sedikit satu elemen tak nol. Sebagai contoh rancangan 2 7−3 dengan generating
relation I = ADEF = BDEG = CDFG bisa dijelaskan dengan:
G FF
A
1
= 0
0
BC D E F G
0 0 1 1 1 0
1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 1
Berdasarkan bentuk umum generating matrix untuk rancangan FF, dapat
dibentuk generating matrix untuk rancangan FFSP dengan rancangan petak utama
2 ( n1 − p1 ) dan rancangan anak petak 2 ( n2 − p 2 ) sebagai berikut:
G 1 = (I 1
C 1 ) adalah generating matrix petak utama, dan
G 2 = (I 2
C 2 ) adalah generating matrix anak petak.
dengan I1 merupakan matriks identitas berukuran p1 × p1 dan C1 merupakan
matriks
berukuran p1 × ( n1 − p1 ) , begitu juga dengan I 2 merupakan matriks
identitas berukuran
p2 × p2
dan C2 merupakan matriks
berukuran
p2 × ( n2 − p2 ) . Jika generator anak petak tidak mengandung faktor petak utama,
maka generating matri x untuk rancangan FFSP berbentuk sebagai berikut:
O
G
G FFSP = 1
O G2
n1 − p
C1
O4
p1
I
= 1
O3
p2
O1
I2
n2 − p2
O 2 p1 ….……………….. (2)
C 2 p 2
Generating matrix untuk rancangan FFSP dengan generator anak petak
yang mengandung faktor petak utama adalah :
G FFSP
n1 − p
p2
C1
O1
B2
I2
p1
= I1
B1
n2 − p 2
O 2 p1
C 2 p2
........……………….. (3)
dengan B1 dan B 2 adalah matriks dengan element 0 atau 1; (I 1 C1) dinotasikan
dengan
(B1
G1
B2
I2
menjelaskan
generating
matrix
dari
petak
utama,
dan
C 2 ) dinotasikan dengan G2 merupakan generating matrix dari
anak petak.
Jika pada awal percobaan telah ditentukan pengaruh faktor tertentu yang
ingin dianalisis, maka struktur rancangan FFSP dipilih berdasarkan kriteria
struktur rancangan yang dapat menduga pengaruh faktor yang diinginkan tersebut.
Plot kuantil Half-Normal
Plot kuantil half-normal merupakan plot antara nilai mutlak pengaruh
faktor yang telah diurutkan dengan nilai kuantil half-normal dari masing-masing
pengaruh faktor. Pengaruh faktor ke-i dapat diduga dengan persamaan :
λi =
2( kontras i ) kontras i
=
N
( N 2)
Kontrasi didapatkan dari penjumlahan respon menurut tanda plus dan minus pada
pengaruh faktor ke-i dan N = 2 k − p (Montgomery 2001). Angka 2 muncul karena
taraf yang digunakan pada masing -masing faktor adalah dua.
Menurut Aunuddin (1989), pengertian dari kuantil serupa dengan
pengertian persentil. Sebagai contoh adalah nilai kuantil 0.67 berarti bahwa ada
0.67 bagian data yang nilainya lebih kecil dari nilai kuantil dan 0.33 bagian
lainnya memiliki nilai yang lebih tinggi.
Penetapan nilai kuantil dilakukan dengan mengurutkan terlebih dahulu
data yang dimiliki dari data yang terkecil sampai dengan data yang terbesar.
Kumpulan data yang telah diurutkan tersebut membentuk suatu kumpulan data
baru y i dengan i adalah nomor urut besarnya data tersebut.
Kuantil empirik
didefinisikan sebagai berikut :
Q (∗pi ) = y i
untuk i = 1,2,...,n dan p i = (i − 0 .5) / n
Secara umum dapat dirumuskan bahwa :
F {Q( pi ) } = pi dan Q ( pi ) = F −1 ( p i )
Dengan F −1 adalah kebalikan fungsi F yang merupakan fungsi sebaran kumulatif
yang digunakan, dan pi = (i − 0.5) / n .
Prosedur pembuatan plot kuantil-kuantil ini dapat dilakukan dengan
langkah-langkah sebagai berikut :
•
Urutkan data menjadi y1,...,yi,...,yn
Dengan y1 adalah nilai y terkecil, yi adalah nilai y urutan ke-i, dan yn
adalah nilai y terbesar.
•
Untuk setiap yi, tetapkan p i = ( i − 0.5) / n
•
Untuk setiap p i, tetapkan F −1 ( pi ) = Q( pi ) . Nilai Q( pi ) adalah kuantil
berdasarkan sebaran hipotetik.
•
Plotkan antara y i dengan Q( p i ) .
Plot kuantil half-normal dapat digunakan untuk mendeteksi pengaruh
faktor yang memiliki pengaruh besar. Pengaruh faktor yang berada diluar pola
garis lurus yang terbentuk, dideteksi sebagai pengaruh faktor yang memiliki
pengaruh besar terhadap respon. Hal ini karena nilai mutlak dari pendugaan
pengaruh faktor tersebut relatif lebih besar dibandingkan dengan pengaruh faktor
lain.
Jika peubah x menyebar menurut sebaran normal dengan nilai tengah = 0
dan ragam σ 2 , maka |x| akan menyebar menurut sebaran half-normal dengan nilai
tengah = 2 π σ dan ragam σ 2 .
Fungsi sebaran half-normal dengan nilai
tengah = 2 π σ dan ragam σ 2 adalah sebagai berikut :
2
f ( x) =
2π σ
e −x
2σ 2
2
untuk x ≥ 0
,
=0
untuk x < 0
dengan demikian fungsi sebaran half-normal kumulatifnya adalah:
F ( x) =
x
∫
0
2
2π σ
e− x
2
2σ 2
x 1
2
= 2 ∫
e −x
−∞ 2π σ
dx
2σ 2
dx −
0
∫
−∞
1
2π σ
e −x
2
2σ 2
dx
x
= 2 Φ − 0.5
σ
Dengan Φ (x ) adalah sebaran normal baku yang dapat dengan mudah didapatkan
dengan bantuan tabel sebaran normal baku. Nilai kuantil half-normal merupakan
nilai fungsi kebalikan dari fungsi half-normal kumulatif di atas.
Pengujian terhadap penentuan pengaruh faktor yang memiliki pengaruh
besar digunakan statistik uji modulus-ratio (Daniel 1959, Birnbaum 1959). Uji
tersebut dapat diberikan sebagai berikut :
tn =
yn
ya
dengan yn : nilai mutlak pengaruh terbesar
y a : nilai mutlak pengaruh pada urutan yang mendekati (0.683 n + 0 .5)
jika nilai n = 15 maka ya merupakan nilai mulak pengaruh pada urutan 11.
dengan n = 31 , y a merupakan nilai mutlak pengaruh pada urutan 22. Nilai t n
kemudian dibandingkan dengan nilai kritik k ( n ,α ) yang didapat dengan
persamaan berikut :
1 (1 − α )1 / n
k ( n, α ) = Φ −1 +
2
2
Batas signifikan pengaruh faktor :
t n > k ( n ,α )
yn
> k ( n ,α )
ya
y n > k ( n ,α ) y a
Pengaruh faktor yang bernilai lebih besar dari k ( n, α ) y a
diputuskan sebagai
pengaruh faktor yang signifikan.
Analisis Regresi dengan Metode Forward Selection
Analisis regresi merupakan hubungan antara peubah bebas dan peubah tak
bebas.
Peubah bebas yang diamati tidak semuanya memiliki kontribusi yang
besar terhadap peubah tak bebas. Jika terdapat banyak peubah bebas yang diamati
maka perlu dilakukan penyeleksian untuk mendapatkan peubah bebas yang
memiliki kontribusi besar dalam menjelaskan keragaman yang terdapat pada
peubah tak bebas.
Penyeleksian peubah bebas dengan metode forward selection (seleksi
maju) dilakukan dengan tahap pertama adalah memasukkan satu peubah bebas
yang memiliki nilai R2 terbesar diantara peubah bebas yang lain, misal peubah
tersebut adalah x1.
Tahap kedua adalah memilih peubah bebas kedua yang
memberi kenaikan terbesar terhadap nilai R2 pada saat sudah ada x1 di dalam
model, misal peubah tersebut adalah x2. Proses pemilihan tersebut sama halnya
dengan memilih peubah bebas yang memiliki nilai F parsial terbesar. Pada tahap
kedua di atas, nilai F parsial dirumuskan dengan :
F =
R ( x 2 | x1 )
s 2 ( x1 , x 2 )
Dimana R ( x2 | x1 ) adalah jumlah kuadrat regresi parsial x2 pada saat x 1
sudah ada di dalam model dan s 2 ( x1 , x 2 ) adalah kuadrat tengah galat dari model
regresi yang peubah bebasnya terdiri dari x1 dan x2. Nilai R ( x2 | x1 ) dirumuskan
dengan persamaan berikut :
R ( x 2 | x1 ) = R ( x 2 , x1 ) − R ( x1 )
R( x2 , x1 ) adalah jumlah kuadrat regresi dengan peubah bebas x1 dan x2, dan
R ( x1 ) merupakan jumlah kuadrat regresi dengan peubah bebas x1 (Myers 1990).
Proses pemilihan peubah bebas di atas sama juga halnya dengan memilih
peubah bebas dengan P-value terkecil. Proses pemilihan terus berlanjut sampai
tidak ada peubah bebas x yang memiliki P-value lebih kecil dari nilai alpha yang
telah ditentukan. Jika tidak dibatasi pada sebuah nilai tertentu maka proses di atas
akan berlanjut sampai semua peubah bebas masuk ke dalam model.
Analisis Ragam pada Rancangan FF dan FFSP
Analisis ragam yang dilakukan pada rancangan FF dan FFSP sedikit
berbeda dengan analisis ragam yang dilakukan pada rancangan faktorial lengkap
dan rancangan split-plot lengkap. Pada percobaan FF dan FFSP, analisis ragam
dilakukan hanya terhadap pengaruh faktor dan interaksi tertentu yang dianalisis,
tidak untuk semua pengaruh faktor dan interaksi. (Montgomery 2001, Nembhard
et al. 2006).
Model matematis yang digunakan dalam rancangan FF ini adalah sebagai
berikut :
y = f (x ) + ε
Dengan y adalah respon, f(x) merupakan fungsi dari faktor pengaruh perlakuan
yang signifikan dan ε adalah komponen galat yang diasumsikan merupakan
variabel acak yang saling bebas dan ε ∼ N (0,σ 2 ) .
Berbeda dengan analisis ragam pada rancangan FF, analisis ragam pada
rancangan FFSP memiliki dua jenis galat yang dihasilkan dalam rancangan FFSP,
yaitu galat petak utama dan galat anak petak. Hal ini sama seperti pada rancangan
split-p lot lengkap. Perbedaannya adalah pada pengujian pengaruh faktor yang beralias.
Model yang digunakan pada rancangan FFSP adalah :
y = f ( x) + δ + g ( x ) + ε
dimana δ adalah galat petak utama dan ε adalah galat dari anak petak. f (x ) dan
g (x ) merupakan fungsi parameter dari rancangan petak utama dan fungsi
parameter dari rancangan anak petak. Diasumsikan bahwa δ dan ε merupakan
2
2
variabel acak yang saling bebas , δ ∼ N (0,σ PU
) dan ε ∼ N (0, σ AP
) . Keragaman
2
2
),
antar plot (σ PU
) diharapkan lebih besar daripada keragaman dalam plot (σ AP
2
atau σ PU
> σ 2AP (Bingham & Sitter 2001, Loeppky & Sitter 2002).
Nembhard et a.l (2006) melakukan pendekatan analisis ragam pada
rancangan FFSP dengan menggunakan pengaruh -pengaruh faktor tertentu sebagai
komponen ragam model dan pengaruh faktor yang diabaikan sebagai komponen
galat.
Ada beberapa aturan untuk pengujian pengaruh faktor pada rancangan
FFSP (Bingham & Sitter 2001):
1. Pengaruh petak utama dan interaksi antara faktor-faktor petak utama
dibandingkan dengan galat petak utama.
2. Pengaruh anak petak dan interaksi yang beralias dengan pengaruh petak
utama atau ber-alias dengan interaksi antara faktor-faktor petak utama
dibandingkan dengan galat petak utama.
3. Pengaruh anak petak dan interaksi yang melibatkan paling tidak satu
faktor anak petak yang tidak beralias dengan pengaruh petak utama atau
tidak beralias dengan interaksi antara faktor-faktor petak utama
dibandingkan dengan galat anak petak.
Dalam rancangan ini galat petak utama lebih besar daripada galat anak petak, oleh
karena itu titik berat pengujian pada rancangan ini lebih kepada anak petak.
BAHAN DAN METODE
Data yang akan digunakan dalam penelitian ini berupa contoh kasus
percobaan yang diambil dari artikel Quality Engeenering (1988) dalam
Montgomery (2001) untuk rancangan FF dan dari Nembhard et al. (2006) untuk
rancangan FFSP. Dua contoh kasus tersebut diambil untuk memberikan gambaran
tentang penerapan rancangan FF dan rancangan FFSP beserta analisis nya untuk
mendapatkan faktor yang memiliki pengaruh besar.
Kajian teori yang dilakukan dalam penelitian ini mengikuti tahapan
metode sebagai berikut :
1. Pengkajian teori dan literatur terhadap rancangan FF dan FFSP , meliputi
kegunaan dan konsep-konsep penting yang terdapat pada kedua rancangan.
2. Menjelaskan proses pembentukan struktur rancangan dan ilustrasinya yang
diperoleh secara manual dan dengan bantuan modul ADX (Analysis
Design of Experiments) yang terdapat pada paket software SAS 9.1.
3. Analisis data pada contoh kasus yang diambil dari Montgomery 2001
untuk rancangan FF dan dari Nembhard 2006 untuk rancangan FFSP.
Analisis secara visual dilakukan dengan plot kuantil half-normal yang
diperoleh se
DAN FRACTIONAL FACTORIAL SPLIT-PLOT
SRI WINARNI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2006
SURAT PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis yang berjudul : Kajian pada
Rancangan Fractional Factorial dan Fractional Factorial Split-Plot adalah benar
merupakan hasil karya sendiri dan belum dipublikasikan. Semua sumber data dan
informasi telah dinyatakan dengan jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.
Bogor, Agustus 2006
Sri Winarni
NRP : G151020191
ABSTRAK
SRI WINARNI. Kajian pada Rancangan Fractional Factorial dan Fractional
Factorial Split-Plot. Dibimbing oleh BUDI SUSETYO dan BAGUS SARTONO
Rancangan faktorial lengkap yang mencobakan banyak faktor dengan
ulangan tunggal membutuhkan satuan percobaan yang homogen sejumlah
kombinasi perlakuan lengkapnya. Biaya yang besar untuk menyediakan satuan
percobaan dan kesulitan dalam interpretasi hasil untuk pengaruh interaksi tingkat
tinggi membuat rancangan ini sangat mahal untuk dilakukan. Rancangan
Fractional factorial (FF) merupakan solusi bagi masalah tersebut. Jika teknik
pengacakan lengkap sulit untuk dilakukan pada rancangan FF maka rancangan
Fractional Factorial Split-Plot (FFSP) dapat digunakan.
Pembentukan struktur rancangan FF dan FFSP dapat dilakukan dengan
menentukan banyaknya faktor yang akan dicobakan dan fraksi percobaan, struktur
generator, defining relation, alias dan resolusi. Pemilihan struktur rancangan
ditentukan oleh kriteria resolusi maksimum dan minimum aberration atau dengan
menggunakan kriteria mampu menduga pengaruh faktor tertentu.
Proses
pembentukan struktur rancangan dan teknik analisis dapat dilakukan dengan
mudah menggunakan perangkat lunak yang tersedia.
Kata Kunci : generator, alias, resolusi maksimum, minimum aberration
© Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2006
Hak cipta dilindungi
Dilarang mengutip dan memperbanyak tanpa izin tertulis dari
Institut Pertanian Bogor, sebagian atau seluruhnya dalam
bentuk apa pun, baik cetak, fotokopi, mikrofilm, dan sebagainya
KAJIAN PADA RANCANGAN FRACTIONAL FACTORIAL
DAN FRACTIONAL FACTORIAL SPLIT-PLOT
SRI WINARNI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Statistika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2006
Judul Tesis
:
Nama
NRP
Program Studi
:
:
:
Kajian pada Rancangan Fractional Factorial dan
Fractional Factorial Split-Plot
Sri Winarni
G151020191
Statistika
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Budi Susetyo, MS
Ketua
Bagus Sartono , M.Si
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Statistika
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, MSc
Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS
Tanggal lulus : 2 September 2006
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan sebagai anak kedua dari pasangan Muryono dan Sri
Kamilah di Metro pada tanggal 4 Mei 1979.
sebelum menjalani pendidikan
pascasarjana di program magister pada tahun 2002, penulis menjalani pendidikan
sarjana di Program Studi Statistika, FMIPA-IPB, pada kurun waktu 1997-2001.
PRAKATA
Penghargaan yang setinggi-tingginya penulis sampaikan kepada Dr. Ir.
Budi Susetyo, MS. dan Bagus Sartono, Msi. selaku komisi pembimbing. Ucapan
terima kasih juga penulis sampaikan kepada rekan-rekan Statistika 2002 dan EPN
2004, keluarga Bagunde 12B, keluarga M20, dan sahabat-sahabat atas diskusi dan
semangat yang diberikan.
Karya ini penulis persembahkan kepada bapak dan mamak tercinta,
Luqman, Apri, Yayu’ Wati, Mas Nung dan Atha tersayang atas curahan kasih
sayang dan perhatiannya, baiti jannati.
Bogor, Agustus 2006
Sri Winarni
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ........................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... ix
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................... x
PENDAHULUAN............................................................................................ 1
TINJAUAN PUSTAKA ..................................................................................
Rancangan Fractional Factorial (FF) ...................................................
Rancangan Fractional Factorial Split-Plot (FFSP) ..............................
Plot Kwantil Half-Normal .....................................................................
Analisis Regresi dengan Metode Forward Selection ............................
Analisis Ragam pada Rancangan FF dan FFSP .....................................
4
4
9
13
16
17
BAHAN DAN METODE ............................................................................... 20
HASIL ..... .......................................................................................................
Penggunaan Rancangan FF dan FFSP ...................................................
Teknik Pembentukan dan Pemilihan Struktur Rancangan ....................
Teknik Analisis Data .............................................................................
Contoh Kasus untuk Percobaan dengan Rancangan FF ........................
Contoh Kasus untuk Percobaan dengan Rancangan FFSP ....................
21
21
25
40
42
47
SIMPULAN ..................................................................................................... 52
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 53
LAMPIRAN .................................................................................................... 54
DAFTAR TABEL
Halaman
1. Matriks rancangan 25V−1 dengan defining relation I = ABCDE ................ 5
2. Resolusi dan maknanya................................................................................ 7
3. Tiga alternatif rancangan 27IV− 2 dengan defining relation berbeda .............. 8
4. Karakteristik dua jenis proses pembauran pada rancangan FFSP ............... 10
5. Generator untuk rancangan 25−2 ................................................................. 29
6. Generator pilihan untuk rancangan 2 5 − 2 ..................................................... 30
7. Struktur rancangan 2 5 − 2 yang dapat dibentuk dengan resolusi maksimum. 31
8. Struktur rancangan 2 5 − 2 isomorphic ............................................................ 33
9. Struktur rancangan 25− 2 dengan generator D = AB dan E = AC .............. 32
10. Struktur rancangan 25− 2 dengan generator D = AC ; E = ABC .............. 33
11. Matriks rancangan 2 5 − 2 dengan generator D = AB dan E = AC .............. 34
12. Matriks rancangan 25− 2 dengan generator D = AC dan E = ABC ......... 34
13. Generator rancangan 2( 2+3)− (0+ 2) ................................................................. 36
14. Generator pilihan untuk rancangan 2 (2+ 3)− (0+ 2) ........................................... 36
15. Struktur rancangan MA 2 ( 2 +3 )− (0 + 2 ) ........................................................... 37
16. Struktur rancangan MA 2 ( 2 +3 )− (0 + 2 ) isomorphic ......................................... 37
17. Generator rancangan 2( 2+3)−(1+1) .................................................................. 38
18. Matriks rancangan 2( 2+3)− (0+ 2) dengan generator Q = AP ; R = BP ......... 38
19. Faktor dan taraf yang digunakan pada contoh kasus rancangan FF........... 42
20. Data percobaan pada contoh kasus rancangan FF...................................... 42
21. Struktur alias dan pendugaan pengaruh pada kasus rancangan FF ............ 43
22. Nilai kwantil half-normal pada contoh kasus rancangan FF...................... 44
23. Tabel analisis ragam untuk contoh kasus rancangan FF............................ 46
24. Faktor dan taraf yang digunakan pada contoh kasus rancangan FFSP ...... 47
25. Nilai kwantil half-normal petak utama pada contoh kasus FFSP .............. 48
26. Nilai kwantil half-normal anak petak pada contoh kasus FFSP................ 49
27. Analisis Ragam untuk contoh kasus rancangan FFSP ............................... 51
KAJIAN PADA RANCANGAN FRACTIONAL FACTORIAL
DAN FRACTIONAL FACTORIAL SPLIT-PLOT
SRI WINARNI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2006
SURAT PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis yang berjudul : Kajian pada
Rancangan Fractional Factorial dan Fractional Factorial Split-Plot adalah benar
merupakan hasil karya sendiri dan belum dipublikasikan. Semua sumber data dan
informasi telah dinyatakan dengan jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.
Bogor, Agustus 2006
Sri Winarni
NRP : G151020191
ABSTRAK
SRI WINARNI. Kajian pada Rancangan Fractional Factorial dan Fractional
Factorial Split-Plot. Dibimbing oleh BUDI SUSETYO dan BAGUS SARTONO
Rancangan faktorial lengkap yang mencobakan banyak faktor dengan
ulangan tunggal membutuhkan satuan percobaan yang homogen sejumlah
kombinasi perlakuan lengkapnya. Biaya yang besar untuk menyediakan satuan
percobaan dan kesulitan dalam interpretasi hasil untuk pengaruh interaksi tingkat
tinggi membuat rancangan ini sangat mahal untuk dilakukan. Rancangan
Fractional factorial (FF) merupakan solusi bagi masalah tersebut. Jika teknik
pengacakan lengkap sulit untuk dilakukan pada rancangan FF maka rancangan
Fractional Factorial Split-Plot (FFSP) dapat digunakan.
Pembentukan struktur rancangan FF dan FFSP dapat dilakukan dengan
menentukan banyaknya faktor yang akan dicobakan dan fraksi percobaan, struktur
generator, defining relation, alias dan resolusi. Pemilihan struktur rancangan
ditentukan oleh kriteria resolusi maksimum dan minimum aberration atau dengan
menggunakan kriteria mampu menduga pengaruh faktor tertentu.
Proses
pembentukan struktur rancangan dan teknik analisis dapat dilakukan dengan
mudah menggunakan perangkat lunak yang tersedia.
Kata Kunci : generator, alias, resolusi maksimum, minimum aberration
© Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2006
Hak cipta dilindungi
Dilarang mengutip dan memperbanyak tanpa izin tertulis dari
Institut Pertanian Bogor, sebagian atau seluruhnya dalam
bentuk apa pun, baik cetak, fotokopi, mikrofilm, dan sebagainya
KAJIAN PADA RANCANGAN FRACTIONAL FACTORIAL
DAN FRACTIONAL FACTORIAL SPLIT-PLOT
SRI WINARNI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Statistika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2006
Judul Tesis
:
Nama
NRP
Program Studi
:
:
:
Kajian pada Rancangan Fractional Factorial dan
Fractional Factorial Split-Plot
Sri Winarni
G151020191
Statistika
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Budi Susetyo, MS
Ketua
Bagus Sartono , M.Si
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Statistika
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, MSc
Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS
Tanggal lulus : 2 September 2006
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan sebagai anak kedua dari pasangan Muryono dan Sri
Kamilah di Metro pada tanggal 4 Mei 1979.
sebelum menjalani pendidikan
pascasarjana di program magister pada tahun 2002, penulis menjalani pendidikan
sarjana di Program Studi Statistika, FMIPA-IPB, pada kurun waktu 1997-2001.
PRAKATA
Penghargaan yang setinggi-tingginya penulis sampaikan kepada Dr. Ir.
Budi Susetyo, MS. dan Bagus Sartono, Msi. selaku komisi pembimbing. Ucapan
terima kasih juga penulis sampaikan kepada rekan-rekan Statistika 2002 dan EPN
2004, keluarga Bagunde 12B, keluarga M20, dan sahabat-sahabat atas diskusi dan
semangat yang diberikan.
Karya ini penulis persembahkan kepada bapak dan mamak tercinta,
Luqman, Apri, Yayu’ Wati, Mas Nung dan Atha tersayang atas curahan kasih
sayang dan perhatiannya, baiti jannati.
Bogor, Agustus 2006
Sri Winarni
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ........................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... ix
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................... x
PENDAHULUAN............................................................................................ 1
TINJAUAN PUSTAKA ..................................................................................
Rancangan Fractional Factorial (FF) ...................................................
Rancangan Fractional Factorial Split-Plot (FFSP) ..............................
Plot Kwantil Half-Normal .....................................................................
Analisis Regresi dengan Metode Forward Selection ............................
Analisis Ragam pada Rancangan FF dan FFSP .....................................
4
4
9
13
16
17
BAHAN DAN METODE ............................................................................... 20
HASIL ..... .......................................................................................................
Penggunaan Rancangan FF dan FFSP ...................................................
Teknik Pembentukan dan Pemilihan Struktur Rancangan ....................
Teknik Analisis Data .............................................................................
Contoh Kasus untuk Percobaan dengan Rancangan FF ........................
Contoh Kasus untuk Percobaan dengan Rancangan FFSP ....................
21
21
25
40
42
47
SIMPULAN ..................................................................................................... 52
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 53
LAMPIRAN .................................................................................................... 54
DAFTAR TABEL
Halaman
1. Matriks rancangan 25V−1 dengan defining relation I = ABCDE ................ 5
2. Resolusi dan maknanya................................................................................ 7
3. Tiga alternatif rancangan 27IV− 2 dengan defining relation berbeda .............. 8
4. Karakteristik dua jenis proses pembauran pada rancangan FFSP ............... 10
5. Generator untuk rancangan 25−2 ................................................................. 29
6. Generator pilihan untuk rancangan 2 5 − 2 ..................................................... 30
7. Struktur rancangan 2 5 − 2 yang dapat dibentuk dengan resolusi maksimum. 31
8. Struktur rancangan 2 5 − 2 isomorphic ............................................................ 33
9. Struktur rancangan 25− 2 dengan generator D = AB dan E = AC .............. 32
10. Struktur rancangan 25− 2 dengan generator D = AC ; E = ABC .............. 33
11. Matriks rancangan 2 5 − 2 dengan generator D = AB dan E = AC .............. 34
12. Matriks rancangan 25− 2 dengan generator D = AC dan E = ABC ......... 34
13. Generator rancangan 2( 2+3)− (0+ 2) ................................................................. 36
14. Generator pilihan untuk rancangan 2 (2+ 3)− (0+ 2) ........................................... 36
15. Struktur rancangan MA 2 ( 2 +3 )− (0 + 2 ) ........................................................... 37
16. Struktur rancangan MA 2 ( 2 +3 )− (0 + 2 ) isomorphic ......................................... 37
17. Generator rancangan 2( 2+3)−(1+1) .................................................................. 38
18. Matriks rancangan 2( 2+3)− (0+ 2) dengan generator Q = AP ; R = BP ......... 38
19. Faktor dan taraf yang digunakan pada contoh kasus rancangan FF........... 42
20. Data percobaan pada contoh kasus rancangan FF...................................... 42
21. Struktur alias dan pendugaan pengaruh pada kasus rancangan FF ............ 43
22. Nilai kwantil half-normal pada contoh kasus rancangan FF...................... 44
23. Tabel analisis ragam untuk contoh kasus rancangan FF............................ 46
24. Faktor dan taraf yang digunakan pada contoh kasus rancangan FFSP ...... 47
25. Nilai kwantil half-normal petak utama pada contoh kasus FFSP .............. 48
26. Nilai kwantil half-normal anak petak pada contoh kasus FFSP................ 49
27. Analisis Ragam untuk contoh kasus rancangan FFSP ............................... 51
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1. Proses pembentukan struktur rancangan ..................................................... 28
2. Struktur pengacakan untuk rancangan 25−2 ................................................. 34
3. Struktur pengacakan rancangan 2( 2+3)− (0+ 2) dengan generator
Q = AP ; R = BP ........................................................................................ 39
4. Plot kwantil half-normal untuk contoh kasus rancangan FF........................ 45
5. Proses penghalusan lapisan emas pada contoh kasus rancangan FFSP ....... 47
6. Plot kwantil half-normal petak utama pada contoh kasus FFSP.................. 48
7. Plot kwantil half-normal anak petak untuk contoh kasus FFSP .................. 49
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1. Alias interaksi dua faktor untuk tiga rancangan 2 IV7-2 ............................... 54
2. Struktur pembentukan rancangan FF 25− 2 2 ................................................ 55
3. Penggunaan SAS 9.1 untuk pembentukan struktur rancangan FF............. 58
4. Penggunaan ADX SAS 9.1 untuk Pengacakan Rancangan FF.................. 62
5. Pembentukan struktur rancangan FFSP 2 ( 2 + 3) −(0 + 2 ) ..................................... 63
6. Penggunaan SAS 9.1 untuk pembentukan struktur rancangan FFSP........ 65
7. Penggunaan SAS 9.1 untuk pembentukan pengacakan struktur
rancangan FFSP .......................................................................................... 68
8. Hasil analisis regresi dengan metode forward selection untuk
percobaan pada contoh kasus rancangan FF............................................... 69
9. Data percobaan pada contoh kasus rancangan FFSP .................................. 70
10. Struktur aliases untuk rancangan pada contoh kasus FFSP....................... 71
11. Hasil analisis regresi dengan metode forward selection untuk
percobaan pada contoh kasus rancangan FFSP.......................................... 72
PENDAHULUAN
Pada perancangan percobaan dengan rancangan faktorial lengkap, jumlah
kombinasi perlakuan terus meningkat seiring dengan meningkatnya jumlah faktor
yang digunakan. Jika biaya yang dibutuhkan untuk menggunakan faktor-faktor
tersebut sangat besar, maka menambah jumlah faktor berarti juga menambah
biaya yang diperlukan dan hal ini tentu sangat tidak diharapkan. Selain itu,
kadangkala ditemui kesulitan dalam menginterpretasikan pengaruh interaksi
tingkat tinggi pada rancangan faktorial lengkap dengan banyak faktor. Rancangan
fractional factorial (FF) merupakan salah satu solusi untuk mengatasi masalahmasalah tersebut (Box & Hunter 1961).
Rancangan FF merupakan rancangan yang hanya melakukan sebagian dari
kombinasi perlakuan lengkap. Penerapan rancangan FF dapat menghilangkan
informasi tentang pengaruh interaksi tingkat tinggi, tetapi tidak menghilangkan
informasi tentang pengaruh faktor utama dan interaksi tingkat rendah yang
merupakan informasi penting dalam percobaan (Gomes & Gomes 1995).
Masalah yang dihadapi dalam rancangan FF adalah bagaimana memilih
sebagian dari kombinasi perlakuan lengkap yang akan dicobakan tetapi tetap
mendapatkan informasi penting yang diperlukan (Musa 1999). Pembentukan
struktur rancangan FF ditentukan oleh banyaknya faktor dan kombinasi perlakuan
yang dicobakan. Dengan jumlah faktor tertentu, dapat dibentuk beberapa struktur
rancangan FF yang berbeda. Perbedaan struktur rancangan tersebut ditentukan
oleh struktur generator, defining relation , alias, dan resolusi yang d igunakan.
Pemilihan struktur rancangan terbaik dilakukan dengan kriteria resolusi
maksimum dan minimum-aberration (Fries & Hunter 1980).
Pemilihan
rancangan juga dapat ditentukan oleh pengaruh faktor tertentu atau pengaruh
interaksi faktor tertentu yang ingin diduga.
Kombinasi perlakuan yang digunakan pada rancangan FF ditempatkan
secara acak lengkap pada unit percobaan yang digunakan. Pengacakan lengkap
pada rancangan FF tersebut kadangkala sulit dilakukan. Dua hal yang membuat
pengacakan lengkap tidak dilakukan adalah :
1. Ada kendala teknis di lapang. Kendala teknis tersebut muncul ketika ada
faktor yang sulit untuk diubah pengaturan tarafnya berulang kali pada setiap
unit percobaan yang digunakan.
Contoh : Faktor suhu pemanasan. Tidak mudah untuk memberikan taraf suhu
yang berbeda dari unit percobaan yang satu ke unit percobaan yang
lain. Lebih mudah jika unit-unit percobaan yang mendapat taraf
suhu yang sama di kumpulkan, kemudian diberikan taraf suhu
tertentu secara bersamaan (Kulahci et al. 2006).
2. Secara teknis tidak ada masalah untuk melakukan pengacakan lengkap , tetapi
mengubah taraf faktor tertentu dari unit percobaan satu ke unit percobaan yang
lain dikhawatirkan akan mengganggu pengaruh dari faktor yang dicobakan.
Contoh : Faktor pemberian air.
Jika dilakukan pengacakan lengkap ,
dikhawatirkan air yang diberikan pada beberapa unit percobaan
akan mengalir pada unit percobaan di sekitarnya yang seharusnya
tidak mendapat pemberian
air. Akan lebih aman jika unit-unit
percobaan yang diberi air di p isah dengan unit-unit percobaan yang
tidak diberi air.
Rancangan fractional factorial split-plot (FFSP) merupakan solusi yang tepat
digunakan untuk melakukan percobaan dengan kondisi tersebut di atas.
Pada rancangan FFSP terdapat petak utama dan anak petak. Faktor yang
sulit untuk diubah pengaturan tarafnya ditempatkan sebagai faktor petak utama
dan faktor lainnya ditempatkan sebagai faktor anak petak. Petak utama merupakan
kombinasi taraf dari faktor-faktor petak utama yang digunakan dan anak petak
merupakan kombinasi taraf dari faktor-faktor anak petak (Bingham & Sitter
2001).
Rancangan FF dan FFSP sangat berguna dalam proses penyeleksian faktor
(screening experiment), yaitu percobaan
yang melibatkan banyak faktor dan
bertujuan untuk mengidentifikasi faktor-faktor yang memiliki pengaruh besar.
Percobaan dilakukan dengan dua taraf, yaitu taraf tinggi (1) dan taraf rendah (-1).
Faktor-faktor yang teridentifikasi memiliki pengaruh besar akan diinvestigasi
lebih lanjut pada percobaan lanjutan (Montgomery 2001).
Analisis yang digunakan dalam rancangan FF dan FFSP berupa
pendekatan analisis secara visual menggunakan plot kuantil half-normal yang
kemudian dilanjutkan dengan analisis ragam (Box et al. 1978, Montgomery
2001).
Pendekatan analisis regresi dengan metode forward selection (seleksi
maju) juga dapat digunakan untuk penyeleksian pengaruh faktor.
Masalah umum yang dihadapi pada rancangan FF dan FFSP adalah teknik
pembentukan struktur rancangan yang relatif rumit dan ketersediaan perangkat
lunak yang langka untuk melakukan pembentukan struktur rancangan sekaligus
analisis data. Dengan pertimbangan sulitnya mendapatkan data sekunder dari
kasus riil dan tidak memungkinkan untuk melakukan percobaan, maka penelitian
ini lebih mengarah kepada kajian teori dan pustaka.
Tujuan penelitian ini adalah melakukan kajian teori terhadap dua jenis
rancangan percobaan, yaitu rancangan FF dan rancangan FFSP.
Kajian teori
dilakukan terhadap proses pembentukan struktur rancangan dan teknik analisis
pada kedua rancangan tersebut.
TINJAUAN PUSTAKA
Rancangan Fractional Factorial (FF)
Rancangan FF dengan dua taraf yang dinotasikan dengan 2 n− p merupakan
rancangan yang mencobakan hanya 2 n− p kombinasi perlakuan dari selu ruh 2 n
kombinasi perlakuan lengkap . Seberapa besar proporsi total kombinasi perlakuan
yang akan dicobakan dalam rancangan FF disebut dengan fraksi percobaan (Box
& Hunter 1961). Fraksi percobaan yang sering digunakan adalah :
Ø Fraksi setengah, mencobakan hanya setengah bagian dari kombinasi
perlakuan lengkap. Bentuk rancangan dari percobaan setengah fraksi ini
adalah 2 n −1 .
Contoh : percobaan 2 5 −1 melakukan 16 kombinasi perlakuan dari 32
kombinasi perlakuan lengkap.
Ø Fraksi seperempat, percobaan fraksi seperempat mencobakan hanya
seperempat bagian dari kombinasi perlakuan lengkap dan bentuk
rancangannya adalah 2 n− 2 .
Contoh : percobaan 25−2 melakukan 8 dari 32 kombinasi perlakuan
lengkap.
Secara umum percobaan FF dengan fraksi 1 2 p mencobakan 1 2 p bagian dari
jumlah kombinasi perlakuan lengkap . Bentuk umum dari rancangan ini adalah
2 n− p . Penentuan fraksi percobaan yang digunakan harus menyeimbangkan antara
informasi yang ingin diperoleh dengan biaya yang tersedia (Hines & Montgomery
1996).
Struktur rancangan FF ditentukan oleh banyaknya faktor yang dicobakan
dan fraksi percobaan yang digunakan. Dengan jumlah faktor dan fraksi tertentu,
dapat dibentuk beberapa struktur rancangan FF yang berbeda. Perbedaan struktur
rancangan tersebut ditentukan oleh struktur generator, defining relation, alias, dan
resolusi yang digunakan.
Sebuah ilustrasi rancangan FF yang mencobakan 5 faktor dengan fraksi
setengah diberikan untuk memberi gambaran tentang rancangan FF.
Ilustrasi : Sebuah percobaan fraksi setengah yang mencobakan 5 faktor (A, B, C,
D, dan E) masing-masing dengan dua taraf yaitu taraf tinggi (1) dan
taraf rendah (-1) dilakukan dengan 16 kombinasi perlakuan. Defining
relation yang digunakan adalah I = ABCDE .
Struktur rancangan
dengan I = ABCDE pada ilustrasi ini merupakan salah satu dari
beberapa struktur rancangan yang dapat dibentuk, matriks rancangan
pada ilustrasi ini seperti pada Tabel 1.
.
Tabel 1. Matriks rancangan 25V−1 dengan defining relation I = ABCDE
Run
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
B
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
C
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
D
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
E = ABCD
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
Kombinasi
perlakuan
a1b1 c1 d1e 1
a0b1 c1 d1e 0
a1b0 c1 d1e 0
a0b0 c1 d1e 1
a1b1 c0 d1e 0
a0b1 c0 d1e 1
a1b0 c0 d1e 1
a0b0 c0 d1e 0
a1b1 c1 d0e 0
a0b1 c1 d0e 1
a1b0 c1 d0e 1
a0b0 c1 d0e 0
a1b1 c0 d0e 1
a0b1 c0 d0e 0
a1b0 c0 d0e 0
a0b0 c0 d0e 1
Taraf faktor E ditentukan oleh kombinasi taraf dari faktor A, B, C, dan D
melalui persamaan E = ABCD . Jika kedua ruas dikalikan dengan E akan didapat
persamaan :
E 2 = ABCDE menjadi I = ABCDE
Hubungan I = ABCDE disebut dengan defining relation dan interaksi ABCDE
disebut sebagai generator. Cochran (1957) menyebut defining relation dengan
defining contrast. Jika terdapat lebih dari satu defining relation yang digunakan,
misalnya pada rancangan dengan fraksi seperempat yang menggunakan dua
generator, maka akan ada generalized defining relation yang merupakan perkalian
antar defining relation. Sebagai defining relation alternatif dapat diambil defining
relation yang bertanda negatif. Struktur generator dan defining relation
menentukan struktur alias yang berkaitan dengan pengaruh faktor yang dianalisis.
Alias merupakan hubungan pendugaan pengaruh yang saling terpaut
(confounded), hubungan tersebut didapatkan dari generalized interaction yang
merupakan perkalian antara pengaruh faktor dengan defining relation yang
digunakan.
Pada ilustrasi diatas, dari defining relation yang digunakan
I = ABCDE dapat ditentukan hubungan alias pengaruh faktor tertentu. Sebagai
contoh, generalized interaction pengaruh utama faktor A dengan defining relation
sebagai berikut :
I = ABCDE ; kedua ruas dikali dengan A
IA = A 2 BCDE ; menjadi A = BCDE
Dengan demikian, pengaruh utama faktor A terpaut dengan pengaruh interaksi
BCDE. Begitu juga dengan pengaruh interaksi AB yang terpaut dengan pengaruh
interaksi CDE. Hubungan alias pengaruh yang lain dapat diperoleh dengan cara
yang sama.
Hubungan alias A = BCDE menunjukkan bahwa kombinasi pengaruh
perlakuan yang digunakan untuk menduga pengaruh utama faktor A sama dengan
kombinasi pengaruh perlakuan yang digunakan untuk menduga pengaruh interaksi
faktor BCDE. Menduga pengaruh utama A sebenarnya adalah menduga pengaruh
faktor A + BCDE . Pengaruh utama faktor A tidak dapat diduga kecuali jika
pengaruh interaksi faktor BCDE dianggap bernilai nol atau diabaikan.
Sama
halnya dengan pengaruh interaksi faktor AB yang tidak dapat diduga kecuali
pengaruh interaksi faktor CDE diabaikan.
Rancangan 2 n-p memiliki p generator bebas yang membentuk defining
relation. Struktur generator yang berbeda akan menghasilkan struktur alias yang
berbeda, hal ini akan berpengaruh pada struktur pengaruh faktor tertentu yang
dianalisis. Perlu dipilih struktur p generator yang tepat dan resolusi untuk dapat
memenuhi pengaruh faktor tertentu yang ingin dianalisis (Box & Hunter 1961).
Sebuah rancangan dikatakan memiliki resolusi R jika tidak ada pengaruh i
faktor yang ber-alias dengan pengaruh lain yang mengandung kurang dari R-i
faktor (Box et al. 1978). Beberapa resolusi yang biasa digunakan dapat dilihat
pada Tabel 2.
Tabel 2. Resolusi dan maknanya
Resolusi
Keterangan
Resolusi III
Pengaruh faktor utama tidak ber-alias dengan
pengaruh faktor utama tetapi ber-alias dengan
pengaruh interaksi dua faktor dan yang lebih tinggi.
Pengaruh interaksi dua faktor tidak ber-alias dengan
pengaruh faktor utama tetapi ber-alias dengan
pengaruh interaksi dua faktor dan yang lebih tinggi .
Pengaruh interaksi dua faktor tidak ber-alias dengan
pengaruh utama dan pengaruh interaksi dua faktor,
tetapi ber-alias dengan interaksi tiga faktor dan yang
lebih tinggi .
Resolusi IV
Resolusi V
Secara umum resolusi dari rancangan FF sama dengan jumlah huruf terkecil pada
defining relation yang digunakan.
Pada contoh sebelumnya, rancangan 25−1
dengan defining relation I = ABCDE memiliki resolusi V.
Pemilihan tingkat resolusi tergantung pada interaksi tingkat berapa yang
akan diabaikan dan tergantung dari banyaknya generator yang digunakan (p).
Menurut Fries & Hunter (1980), tingkat resolusi maksimum yang dapat dicapai
untuk p = 1 dan p = 2 adalah sebagai berikut:
•
Untuk p = 1 maka resolusi maksimum = n
•
Untuk p = 2 maka resolusi maksimum = [2n/3]
Dengan n adalah banyaknya faktor yang dicobakan dan [x] adalah nilai bilangan
bulat terbesar yang lebih besar dari x.
Kriteria resolusi tertinggi kadangkala tidak cukup karena beberapa
rancangan berbeda dapat memiliki resolusi yang sama. Sebagai contoh, pada
rancangan 27IV− 2 yang menggunakan 7 faktor, 2 generator dan memiliki resolusi IV
terdapat tiga alternatif rancangan dengan generator yang berbeda. Ketiga alternatif
rancangan tersebut dapat disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3. Tiga alternatif rancangan 27IV− 2 dengan defining relation berbeda.
Kode
Generator
Defining relation
(D1)
(D2)
(D3)
F = ABC dan G = BCD
F = ABC dan G = ADE
F = ABCD dan G = ABDE
I = ABCF = BCDG = ADFG
I = ABCF = ADEG = BCDEFG
I = ABCDF = ABDEG = CEFG
Panjang huruf terkecil dari ketiga defining relation adalah 4, dengan begitu
ketiga rancangan tersebut sama-sama memiliki resolusi IV. Pola panjang huruf
dari defining relation disebut dengan Word Length Pattern (WLP). WLP untuk
rancangan D1 = {4,4,4} , rancangan D2 = {4,4,6} , dan rancangan D3 = {4,5,5} .
Rancangan D1 memiliki panjang huruf 4 sebanyak 3, rancangan D2 sebanyak 2
dan rancangan D3 hanya 1.
Rancangan D3 memiliki panjang huruf terkecil
minimum, dan dikatakan rancangan D 3 merupakan rancangan yang memiliki
minimum-aberration. Rancangan minimum -aberration (MA) adalah rancangan
yang meminimalkan banyaknya kata dalam defin ing relation yang panjangnya
minimum (Fries & Hunter 1980).
Rancangan minimum aberration meminimalkan banyaknya interaksi
tingkat rendah (dua faktor) yang saling ber -confounded .
Pada ilustrasi tiga
rancangan di atas, rancangan D1 menyebabkan 15 pasang interaksi dua faktor
saling ber-confounded, rancangan D2 12 pasang, dan rancangan D3 hanya 6
pasang, hal ini dapat dilihat pada Lampiran 1.
Rancangan FF yang memenuhi kriteria resolusi maksimum dan minimum
aberration dipilih sebagai rancangan terbaik.
Pemilihan rancangan terbaik
kadangkala tidak hanya didasarkan pada kriteria di atas, jika diinginkan untuk
mengetahui pengaruh faktor tertentu yang spesifik, maka pemilihan rancangan
dilakukan berdasarkan kemampuan rancangan untuk menduga pengaruh spesifik
yang diinginkan.
Rancangan Fractional Factorial Split-Plot (FFSP)
Huang et al. (1998) menotasikan rancangan FFSP dua taraf dengan
2 ( n1 + n2 )− ( p1 + p 2 ) . Rancangan ini dibentuk dengan mengkombinasikan rancangan
petak utama (2 n1 − p1 ) yang memiliki n 1 faktor dan p 1 generator dengan rancangan
anak petak ( 2 n2 − p2 ) yang memiliki
n 2 faktor dan
p 2 generator. Ada 2 n1 − p1
kombinasi perlakuan yang dilakukan pada rancangan petak utama, sedangkan
pada rancangan anak petak ada sebanyak 2 ( n1 + n 2 ) −( p1 + p2 ) kombinasi perlakuan yang
dilakukan.
Pembentukan generator dalam rancangan FFSP dilakukan dengan
memperhatikan dua hal, yaitu : (Bingham & Sitter 1999).
1. Generator anak petak boleh mengandung beberapa faktor petak utama.
2. Generator petak utama harus bebas dari faktor anak petak dan generator
anak petak harus mengandung sedikitnya dua faktor anak petak .
Jika generator petak utama mengandung faktor anak petak maka sama halnya
dengan melibatkan taraf faktor anak petak ke dalam penentuan taraf faktor petak
utama. Sama dengan apa yang berlaku pada rancangan FF, generator yang
dibentuk akan menentukan defining relation yang digunakan. Defining relation
pada rancangan FFSP disebut dengan defining contrast subgroup (DCS).
Nembehard et al. (2006) menjelaskan bahwa ada dua kemungkinan proses
pembauran yang dapat terjadi pada rancangan FFSP, yaitu : pembauran dalam
anak petak (confounding within sub -plots) dan pembauran split-plot (confounding
split-plot). Penggunaan dari pembauran dalam anak petak dan pembauran splitplot tergantung tujuan dari percobaan yang dilakukan. Pembauran dalam anak
petak lebih mampu untuk menduga pengaruh interaksi antara faktor petak utama
dan faktor anak petak, sedangkan pembauran split-plot lebih mampu untuk
menduga pengaruh utama faktor petak utama dan pengaruh utama faktor anaka
petak. Ilustrasi rancangan yang digunakan adalah sebuah rancangan FFSP dengan A
dan B sebagai faktor petak utama dan P, Q, R, S, T, U sebagai faktor anak petak.
Karakteristik kedua pembauran dijelaskan oleh Tabel 4.
Tabel 4. Karakteristik dua jenis proses pembauran pada rancangan FFSP
Pembauran split-plot
(confounding split-plot)
Pembauran dalam anak petak
(confounding within sub-plots)
•
•
Generator anak petak tidak
mengandung faktor petak utama
Contoh :
S = PQ , T = QR dan U = PR
DCS :
•
•
I = PQS = QRT = PRU = PRST
= PQTU = QRSU
I = APQS = BQRT = APRU
= ABPRST = QRSU = ABPQTU
Resolusi III
* Pengaruh utama faktor petak
utama dan faktor anak petak berconfounded dengan interaksi dua
faktor.
* Interaksi antara petak utama dan
anak petak bebas dari pembauran
(dengan asumsi interaksi tiga
faktor atau lebih diabaikan)
•
Tepat digunakan pada percobaan
yang ingin mengetahui pengaruh
interaksi antara faktor petak
utama dan faktor anak petak
Generator anak petak mengandung
faktor petak utama
Contoh :
S = APQ , T = BQR , dan U = APR
DCS :
Resolusi IV
* Pengaruh utama faktor anak petak
bebas dari pembauran.
* Interaksi dua faktor saling berconfounded .
•
•
Tepat digunakan pada percobaan
yang ingin mengetahui pengaruh
utama dari faktor petak utama dan
faktor anak petak
Meningkatkan resolusi parsial dari
petak utama.
Generator dibangun dari beberapa huruf (letter) yang membentuk satu kata
(word). Banyaknya kata yang memiliki panjang i dapat dituliskan dalam suatu
pola yang disebut dengan word length pattern .
Misal Ai(D) merupakan banyaknya kata yang panjangnya i, yang
didefinisikan dalam defining contrast subgroup rancangan D, dan misal :
(
WLP = A3 ( D), A4 ( D ), A5 ( D),..., An1 +n2 ( D)
)
adalah word length pattern (panjang kata 1 dan 2 tidak digunakan). A3 (D)
merupakan banyaknya kata dalam defining contrast subgroup rancangan D yang
panjangnya 3 huruf, A 4(D) dengan panjang 4 huruf,
A5(D) dengan panjang 5
huruf, dan seterusnya sampai An1 + n2 ( D) dengan panjang n1 + n2 huruf.
Resolusi merupakan panjang kata terpendek yang didefinisikan dalam
defining contrast subgroup . Sebagai contoh rancangan 2 (5 +3 )− (1 +1 ) dengan huruf
kapital A, B, C, D dan E merupakan faktor-faktor petak utama dan huruf kecil p,
q, r adalah faktor-faktor anak petak. Defining contrast subgroup yang dibentuk:
I = pqr = ABCDE = ABCDEpqr
memiliki WLP = (1,0,1,0,0,1) dan memiliki resolusi tingkat III karena panjang kata
terpendek adalah 3 (Bingham & Sitter 2001).
Sebuah rancangan FFSP
2 ( n1 + n 2 ) −( p1 + p2 )
dikatakan memiliki resolusi
maksimum jika tidak ada rancangan FFSP lain 2 ( n1 + n 2 ) −( p1 + p2 ) yang memiliki
resolusi lebih besar. Rancangan dengan resolusi yang sama bisa memiliki WLP
yang berbeda. Dalam kondisi demikian, Fries & Hunter (1980) memperkenalkan
minimum-aberration sebagai kriteria untuk pemilihan rancangan terbaik.
Pertanyaan yang kemudian muncul adalah, yang mana dari banyak
kemungkinan rancangan FFSP yang sebaiknya digunakan? Penentuan ini
mempertimbangkan seberapa banyak unit percobaan yang digunakan, dan faktorfaktor mana saja yang masuk sebagai petak utama dan faktor-faktor mana yang
masuk sebagai anak petak. Kebutuhan untuk mendapatkan informasi yang luas
harus diimbangi keinginan untuk mereduksi biaya percobaan. Bingham & Sitter
(2001) memberikan beberapa petunjuk yang bisa digunakan untuk melakukan
rancangan FFSP :
1. Menempatkan hard-to-change factors sebagai faktor petak utama dan
menempatkan faktor-faktor sisanya sebagai faktor anak petak.
2. Memilih WLP terbaik, pada umumnya yaitu WLP yang menghasilkan resolusi
tertinggi. Misalkan ada dua rancangan FFSP, yaitu :
D1 : I = ABC = Apqr = BCpqr
D 2 : I = ABpq = ACpr = BCqr
WLP ( D1 ) = (1,1,1,0 ) dan WLP ( D 2 ) = ( 0,3,0 ,0 ) sehingga D1 memiliki resolusi
III dan D2 memiliki resolusi IV. Secara umum, D2 lebih baik daripada D1.
3. Memilih rancangan minimum aberration.
4. Pertimbangan biaya dan run-size
Hal lain yang perlu dipertimbangkan selain minimum-aberration adalah
pemilihan rancangan yang paling ekonomis. Perhitungan biaya dilakukan pada
unit percobaan yang digunakan.
Pertimbangan-pertimbangan tersebut di atas diselaraskan untuk mendapatkan
rancangan yang terbaik dengan tidak menentukan pengaruh faktor tertentu yang
ingin dianalisis.
Huang et al. (1998) menggunakan generating matrix yang merupakan
matriks dari generator-generator yang digunakan.
Generating matrix untuk
rancangan FF 2 n− p dapat dituliskan secara umum dalam bentuk matriks :
G FF = (I C ) ……… ..…………………….. (1)
dengan I adalah matriks identitas p × p dan C adalah matriks p × (n − p) yang
elemennya sama dengan 0 atau 1 dan setiap baris harus mengandung paling
sedikit satu elemen tak nol. Sebagai contoh rancangan 2 7−3 dengan generating
relation I = ADEF = BDEG = CDFG bisa dijelaskan dengan:
G FF
A
1
= 0
0
BC D E F G
0 0 1 1 1 0
1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 1
Berdasarkan bentuk umum generating matrix untuk rancangan FF, dapat
dibentuk generating matrix untuk rancangan FFSP dengan rancangan petak utama
2 ( n1 − p1 ) dan rancangan anak petak 2 ( n2 − p 2 ) sebagai berikut:
G 1 = (I 1
C 1 ) adalah generating matrix petak utama, dan
G 2 = (I 2
C 2 ) adalah generating matrix anak petak.
dengan I1 merupakan matriks identitas berukuran p1 × p1 dan C1 merupakan
matriks
berukuran p1 × ( n1 − p1 ) , begitu juga dengan I 2 merupakan matriks
identitas berukuran
p2 × p2
dan C2 merupakan matriks
berukuran
p2 × ( n2 − p2 ) . Jika generator anak petak tidak mengandung faktor petak utama,
maka generating matri x untuk rancangan FFSP berbentuk sebagai berikut:
O
G
G FFSP = 1
O G2
n1 − p
C1
O4
p1
I
= 1
O3
p2
O1
I2
n2 − p2
O 2 p1 ….……………….. (2)
C 2 p 2
Generating matrix untuk rancangan FFSP dengan generator anak petak
yang mengandung faktor petak utama adalah :
G FFSP
n1 − p
p2
C1
O1
B2
I2
p1
= I1
B1
n2 − p 2
O 2 p1
C 2 p2
........……………….. (3)
dengan B1 dan B 2 adalah matriks dengan element 0 atau 1; (I 1 C1) dinotasikan
dengan
(B1
G1
B2
I2
menjelaskan
generating
matrix
dari
petak
utama,
dan
C 2 ) dinotasikan dengan G2 merupakan generating matrix dari
anak petak.
Jika pada awal percobaan telah ditentukan pengaruh faktor tertentu yang
ingin dianalisis, maka struktur rancangan FFSP dipilih berdasarkan kriteria
struktur rancangan yang dapat menduga pengaruh faktor yang diinginkan tersebut.
Plot kuantil Half-Normal
Plot kuantil half-normal merupakan plot antara nilai mutlak pengaruh
faktor yang telah diurutkan dengan nilai kuantil half-normal dari masing-masing
pengaruh faktor. Pengaruh faktor ke-i dapat diduga dengan persamaan :
λi =
2( kontras i ) kontras i
=
N
( N 2)
Kontrasi didapatkan dari penjumlahan respon menurut tanda plus dan minus pada
pengaruh faktor ke-i dan N = 2 k − p (Montgomery 2001). Angka 2 muncul karena
taraf yang digunakan pada masing -masing faktor adalah dua.
Menurut Aunuddin (1989), pengertian dari kuantil serupa dengan
pengertian persentil. Sebagai contoh adalah nilai kuantil 0.67 berarti bahwa ada
0.67 bagian data yang nilainya lebih kecil dari nilai kuantil dan 0.33 bagian
lainnya memiliki nilai yang lebih tinggi.
Penetapan nilai kuantil dilakukan dengan mengurutkan terlebih dahulu
data yang dimiliki dari data yang terkecil sampai dengan data yang terbesar.
Kumpulan data yang telah diurutkan tersebut membentuk suatu kumpulan data
baru y i dengan i adalah nomor urut besarnya data tersebut.
Kuantil empirik
didefinisikan sebagai berikut :
Q (∗pi ) = y i
untuk i = 1,2,...,n dan p i = (i − 0 .5) / n
Secara umum dapat dirumuskan bahwa :
F {Q( pi ) } = pi dan Q ( pi ) = F −1 ( p i )
Dengan F −1 adalah kebalikan fungsi F yang merupakan fungsi sebaran kumulatif
yang digunakan, dan pi = (i − 0.5) / n .
Prosedur pembuatan plot kuantil-kuantil ini dapat dilakukan dengan
langkah-langkah sebagai berikut :
•
Urutkan data menjadi y1,...,yi,...,yn
Dengan y1 adalah nilai y terkecil, yi adalah nilai y urutan ke-i, dan yn
adalah nilai y terbesar.
•
Untuk setiap yi, tetapkan p i = ( i − 0.5) / n
•
Untuk setiap p i, tetapkan F −1 ( pi ) = Q( pi ) . Nilai Q( pi ) adalah kuantil
berdasarkan sebaran hipotetik.
•
Plotkan antara y i dengan Q( p i ) .
Plot kuantil half-normal dapat digunakan untuk mendeteksi pengaruh
faktor yang memiliki pengaruh besar. Pengaruh faktor yang berada diluar pola
garis lurus yang terbentuk, dideteksi sebagai pengaruh faktor yang memiliki
pengaruh besar terhadap respon. Hal ini karena nilai mutlak dari pendugaan
pengaruh faktor tersebut relatif lebih besar dibandingkan dengan pengaruh faktor
lain.
Jika peubah x menyebar menurut sebaran normal dengan nilai tengah = 0
dan ragam σ 2 , maka |x| akan menyebar menurut sebaran half-normal dengan nilai
tengah = 2 π σ dan ragam σ 2 .
Fungsi sebaran half-normal dengan nilai
tengah = 2 π σ dan ragam σ 2 adalah sebagai berikut :
2
f ( x) =
2π σ
e −x
2σ 2
2
untuk x ≥ 0
,
=0
untuk x < 0
dengan demikian fungsi sebaran half-normal kumulatifnya adalah:
F ( x) =
x
∫
0
2
2π σ
e− x
2
2σ 2
x 1
2
= 2 ∫
e −x
−∞ 2π σ
dx
2σ 2
dx −
0
∫
−∞
1
2π σ
e −x
2
2σ 2
dx
x
= 2 Φ − 0.5
σ
Dengan Φ (x ) adalah sebaran normal baku yang dapat dengan mudah didapatkan
dengan bantuan tabel sebaran normal baku. Nilai kuantil half-normal merupakan
nilai fungsi kebalikan dari fungsi half-normal kumulatif di atas.
Pengujian terhadap penentuan pengaruh faktor yang memiliki pengaruh
besar digunakan statistik uji modulus-ratio (Daniel 1959, Birnbaum 1959). Uji
tersebut dapat diberikan sebagai berikut :
tn =
yn
ya
dengan yn : nilai mutlak pengaruh terbesar
y a : nilai mutlak pengaruh pada urutan yang mendekati (0.683 n + 0 .5)
jika nilai n = 15 maka ya merupakan nilai mulak pengaruh pada urutan 11.
dengan n = 31 , y a merupakan nilai mutlak pengaruh pada urutan 22. Nilai t n
kemudian dibandingkan dengan nilai kritik k ( n ,α ) yang didapat dengan
persamaan berikut :
1 (1 − α )1 / n
k ( n, α ) = Φ −1 +
2
2
Batas signifikan pengaruh faktor :
t n > k ( n ,α )
yn
> k ( n ,α )
ya
y n > k ( n ,α ) y a
Pengaruh faktor yang bernilai lebih besar dari k ( n, α ) y a
diputuskan sebagai
pengaruh faktor yang signifikan.
Analisis Regresi dengan Metode Forward Selection
Analisis regresi merupakan hubungan antara peubah bebas dan peubah tak
bebas.
Peubah bebas yang diamati tidak semuanya memiliki kontribusi yang
besar terhadap peubah tak bebas. Jika terdapat banyak peubah bebas yang diamati
maka perlu dilakukan penyeleksian untuk mendapatkan peubah bebas yang
memiliki kontribusi besar dalam menjelaskan keragaman yang terdapat pada
peubah tak bebas.
Penyeleksian peubah bebas dengan metode forward selection (seleksi
maju) dilakukan dengan tahap pertama adalah memasukkan satu peubah bebas
yang memiliki nilai R2 terbesar diantara peubah bebas yang lain, misal peubah
tersebut adalah x1.
Tahap kedua adalah memilih peubah bebas kedua yang
memberi kenaikan terbesar terhadap nilai R2 pada saat sudah ada x1 di dalam
model, misal peubah tersebut adalah x2. Proses pemilihan tersebut sama halnya
dengan memilih peubah bebas yang memiliki nilai F parsial terbesar. Pada tahap
kedua di atas, nilai F parsial dirumuskan dengan :
F =
R ( x 2 | x1 )
s 2 ( x1 , x 2 )
Dimana R ( x2 | x1 ) adalah jumlah kuadrat regresi parsial x2 pada saat x 1
sudah ada di dalam model dan s 2 ( x1 , x 2 ) adalah kuadrat tengah galat dari model
regresi yang peubah bebasnya terdiri dari x1 dan x2. Nilai R ( x2 | x1 ) dirumuskan
dengan persamaan berikut :
R ( x 2 | x1 ) = R ( x 2 , x1 ) − R ( x1 )
R( x2 , x1 ) adalah jumlah kuadrat regresi dengan peubah bebas x1 dan x2, dan
R ( x1 ) merupakan jumlah kuadrat regresi dengan peubah bebas x1 (Myers 1990).
Proses pemilihan peubah bebas di atas sama juga halnya dengan memilih
peubah bebas dengan P-value terkecil. Proses pemilihan terus berlanjut sampai
tidak ada peubah bebas x yang memiliki P-value lebih kecil dari nilai alpha yang
telah ditentukan. Jika tidak dibatasi pada sebuah nilai tertentu maka proses di atas
akan berlanjut sampai semua peubah bebas masuk ke dalam model.
Analisis Ragam pada Rancangan FF dan FFSP
Analisis ragam yang dilakukan pada rancangan FF dan FFSP sedikit
berbeda dengan analisis ragam yang dilakukan pada rancangan faktorial lengkap
dan rancangan split-plot lengkap. Pada percobaan FF dan FFSP, analisis ragam
dilakukan hanya terhadap pengaruh faktor dan interaksi tertentu yang dianalisis,
tidak untuk semua pengaruh faktor dan interaksi. (Montgomery 2001, Nembhard
et al. 2006).
Model matematis yang digunakan dalam rancangan FF ini adalah sebagai
berikut :
y = f (x ) + ε
Dengan y adalah respon, f(x) merupakan fungsi dari faktor pengaruh perlakuan
yang signifikan dan ε adalah komponen galat yang diasumsikan merupakan
variabel acak yang saling bebas dan ε ∼ N (0,σ 2 ) .
Berbeda dengan analisis ragam pada rancangan FF, analisis ragam pada
rancangan FFSP memiliki dua jenis galat yang dihasilkan dalam rancangan FFSP,
yaitu galat petak utama dan galat anak petak. Hal ini sama seperti pada rancangan
split-p lot lengkap. Perbedaannya adalah pada pengujian pengaruh faktor yang beralias.
Model yang digunakan pada rancangan FFSP adalah :
y = f ( x) + δ + g ( x ) + ε
dimana δ adalah galat petak utama dan ε adalah galat dari anak petak. f (x ) dan
g (x ) merupakan fungsi parameter dari rancangan petak utama dan fungsi
parameter dari rancangan anak petak. Diasumsikan bahwa δ dan ε merupakan
2
2
variabel acak yang saling bebas , δ ∼ N (0,σ PU
) dan ε ∼ N (0, σ AP
) . Keragaman
2
2
),
antar plot (σ PU
) diharapkan lebih besar daripada keragaman dalam plot (σ AP
2
atau σ PU
> σ 2AP (Bingham & Sitter 2001, Loeppky & Sitter 2002).
Nembhard et a.l (2006) melakukan pendekatan analisis ragam pada
rancangan FFSP dengan menggunakan pengaruh -pengaruh faktor tertentu sebagai
komponen ragam model dan pengaruh faktor yang diabaikan sebagai komponen
galat.
Ada beberapa aturan untuk pengujian pengaruh faktor pada rancangan
FFSP (Bingham & Sitter 2001):
1. Pengaruh petak utama dan interaksi antara faktor-faktor petak utama
dibandingkan dengan galat petak utama.
2. Pengaruh anak petak dan interaksi yang beralias dengan pengaruh petak
utama atau ber-alias dengan interaksi antara faktor-faktor petak utama
dibandingkan dengan galat petak utama.
3. Pengaruh anak petak dan interaksi yang melibatkan paling tidak satu
faktor anak petak yang tidak beralias dengan pengaruh petak utama atau
tidak beralias dengan interaksi antara faktor-faktor petak utama
dibandingkan dengan galat anak petak.
Dalam rancangan ini galat petak utama lebih besar daripada galat anak petak, oleh
karena itu titik berat pengujian pada rancangan ini lebih kepada anak petak.
BAHAN DAN METODE
Data yang akan digunakan dalam penelitian ini berupa contoh kasus
percobaan yang diambil dari artikel Quality Engeenering (1988) dalam
Montgomery (2001) untuk rancangan FF dan dari Nembhard et al. (2006) untuk
rancangan FFSP. Dua contoh kasus tersebut diambil untuk memberikan gambaran
tentang penerapan rancangan FF dan rancangan FFSP beserta analisis nya untuk
mendapatkan faktor yang memiliki pengaruh besar.
Kajian teori yang dilakukan dalam penelitian ini mengikuti tahapan
metode sebagai berikut :
1. Pengkajian teori dan literatur terhadap rancangan FF dan FFSP , meliputi
kegunaan dan konsep-konsep penting yang terdapat pada kedua rancangan.
2. Menjelaskan proses pembentukan struktur rancangan dan ilustrasinya yang
diperoleh secara manual dan dengan bantuan modul ADX (Analysis
Design of Experiments) yang terdapat pada paket software SAS 9.1.
3. Analisis data pada contoh kasus yang diambil dari Montgomery 2001
untuk rancangan FF dan dari Nembhard 2006 untuk rancangan FFSP.
Analisis secara visual dilakukan dengan plot kuantil half-normal yang
diperoleh se