e- m
ai l:
s w
id od
o u
n y.
ac .id
27
di mana :
{ }
i
f
: vektor gaya dalam sistem koordinat lokal
[ ]
i
k
: matrix kekakuan elemen plane truss dalam sistem koordinat lokal
{ }
i
d
: vektor displacement dalam sistem koordinat lokal. Subscript i menunjukkan nomor elemen yang bersangkutan.
Selanjutnya matrix kekakuan elemen plane truss dalam sistem koordinat lokal dapat dituliskan sebagai berikut :
[ ]
− −
= 1
1 1
1 L
AE k
i
3.4
3.2. Transformasi Sumbu
Dalam analisis struktur yang dilakukan pada kebanyakan kasus, perlu dilakukan penyesuaian antara matrix kekakuan elemen struktur
lokal yang mengacu sumbu lokal secara individual ke dalam matrix kekakuan elemen struktur global mengacu pada sistem struktur global
yang dianut semua elemen struktur. Penyesuaian tersebut dapat dilakukan dengan memandang titik
nodal awal i dan nodal akhir j dalam bidang X-Y global dari elemen
mengalami perpindahan ke nodal i’ dan j’ dalam bidang x-y lokal, sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 3.3.
e- m
ai l:
s w
id od
o u
n y.
ac .id
28
Gambar 3.3. Transformasi Sumbu Kartesian Berdasarkan Gambar 3.3 ditunjukkan perputaran sumbu Kartesian
dari sumbu global X-Y menuju sumbu lokal x-y dengan kemiringan sudut
α
, sehingga dapat diperoleh Persamaan Transformasi Sumbu yang menunjukkan perubahan posisi suatu titik nodal dalam bentuk berikut :
α α
sin .
cos .
X Y
x +
= 3.5.a.
α α
cos .
sin .
Y X
y +
− =
3.5.b.
Persamaan di atas jika diubah dalam bentuk matrix, dapat dinyatakan sebagai berikut :
− =
Y X
y x
α α
α α
cos sin
sin cos
3.6.
Analog dengan cara di atas, transformasi koordinat untuk suatu elemen struktur yang dibatasi oleh dua buah titk nodal i dan j dapat
ditunjukkan dengan persamaan berikut : α
α
Sin Y
Cos X
x
i i
i
. .
+ =
α α
Cos Y
Sin X
y
i i
i
. .
+ −
=
α α
Sin Y
Cos X
xj
j j
. .
+ =
α α
Cos Y
Sin X
y
j j
j
. .
+ −
=
3.7.
y
O y
Y x
X
X x
Y
e- m
ai l:
s w
id od
o u
n y.
ac .id
29
Atau dalam bentuk matrix dapat ditulis sebagai berikut :
− −
=
j j
i i
j j
i i
Y X
Y X
y x
y x
α α
α α
α α
α α
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
3.8
analog di atas untuk vektor displacement diperoleh
− −
=
j j
i i
j j
i i
DY DX
DY DX
dy dx
dy dx
α α
α α
α α
α α
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
3.9.a
atau
{ }
[ ]
{ }
i i
i
D T
d =
3.9.b sedangkan untuk transformasi gaya diperoleh :
− −
=
j j
i i
j j
i i
G F
G F
g f
g f
α α
α α
α α
α α
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
3.10.a
atau
{ }
[ ]
{ }
i i
i
F T
f =
3.10.b
di mana;
{ }
i
f
: vektor gaya pada koordinat lokal
{ }
i
F
: vektor gaya pada koordinat global
{ }
i
d
: vektor displacement pada koordinat lokal
{ }
i
D
: vektor displacement pada koordinat global
[ ]
i
T
: matrix transformasi
e- m
ai l:
s w
id od
o u
n y.
ac .id
30
3.3. Matrix Kekakuan Elemen dalam Koordinat Global
