Pengenalan Aplikasi MATLAB dalam Teknik Kimia
22 Bentuk umum persamaan linier simultan adalah:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ a
13
x
3
+ …. + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ a
23
x
3
+ …. + a
2n
x
n
=
12
a
31
x
1
+ a
32
x
2
+ a
33
x
3
+ …. + a
3n
x
n
= b
3
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ a
n3
x
3
+ …. + a
nn
x
n
= b
n
Dalam hal ini akan dicari harga x
1
, x
2
,…, x
n
. Dalam MATLAB, jenis persamaan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan fasilitas yang sudah tersedia yaitu operasi
matrix.
Contoh 3.1 Mencari beberapa variable persaaan linier simultan. Diketahui sebuah sistem persamaan linier sbb. :
2 5
6 5
3 1
3 2
5 3
5
4 3
1 4
3 2
4 3
2 1
3 2
1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
Sistem persamaan linier ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks :
5
1 5
1 2
1 6
5 3
1 3
2 1
1 3
5
4 3
2 1
x x
x x
Penyelesaian pada Matlab :
» A = [5 -3 1 0; 1 2 -3 1; 0 3 -5 6; -1 0 2 -1] A =
5 -3
1 1
2 -3
1 3
-5 6
-1 2
-1 » b = [5 1 -5 0]
BAB 3 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan
Pengenalan Aplikasi MATLAB dalam Teknik Kimia
23
b = 5
1 -5
» x = A\b x =
1.3165 0.5823
0.1646 -0.9873
» Ax ans =
5.0000 1.0000
-5.0000
Contoh 3.2 : Neraca Massa Linier Rangkaian Proses. Suatu bahan A akan dikonversikan menjadi B dalam sebuah reaktor. Produk B keluar
bersama reaktan A yang tidak bereaksi menuju pemisah sehingga reaktan A dapat dikembalikan ke reaktor. Gambar skema proses tesebut ditunjukkan pada gambar di
bawah.
Produk berupa zat A murni dengan laju 100 kmoljam. Kendala proses adalah : 1. 80 dari A dan 40 dari B di dalam alur 2 di daur-ulang.
2. Perbandingan mol A terhadap B di dalam alur 1 adalah 5 : 1.
Neraca massa Pencampur : N
A1
– N
A3
= 100 N
B1
– N
B3
= 0 Neraca massa reaktor :
- N
A1
+ N
A2
+ r = 0 - N
B1
– N
B2
– r = 0 r = laju reaksi
Neraca massa pemisah :
Pengenalan Aplikasi MATLAB dalam Teknik Kimia
24 - N
A2
+ N
A3
+ N
A4
= 0 - N
B2
+ N
B3
+ N
B4
= 0 Kendala-kendala :
Porsi cabang : 0.8 N
A2
+ N
A3
= 0 -0.4 N
B2
+ N
B3
= 0 Hubungan komposisi alur :
N
A1
– 5 N
B1
= 0 Ada 9 persamaan linier dengan 9 variabel yang tak diketahui :
N
A1
, N
B1
, N
A2
, N
B2
, N
A3
, N
B3
, N
A4
, N
B4
, dan r. Persamaan-persamaan di atas dapat dituliskan kembali dalam bentuk matriks sbb. :
100
5 1
1 4
. 1
8 .
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
9 8
7 6
5 4
3 2
1
A A
A A
A A
A A
A
N N
N N
N N
N N
N
Script Matlab untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah sbb. :
Penyelesaian persamaan neraca massa : neraca.m A = [1
0 -1 0;
1 0 -1
0; -1
1 1;
-1 1
-1; -1
1 1
0; -1
1 1
0; -0.8
1 0;
-0.4 1
0; 1
-5 0]
b = [100 0 0 0 0 0 0 0 0] x = A\b
» neraca A =
Columns 1 through 7 1.0000
-1.0000
Pengenalan Aplikasi MATLAB dalam Teknik Kimia
25
1.0000 -1.0000
-1.0000 1.0000
-1.0000 1.0000
-1.0000 1.0000
1.0000 -1.0000
1.0000 -0.8000
1.0000 -0.4000
1.0000 1.0000
-5.0000 Columns 8 through 9
1.0000 -1.0000
1.0000
b = 100
x = 227.2727
45.4545 159.0909
113.6364 127.2727
45.4545 31.8182
68.1818 68.1818
Pengenalan Aplikasi MATLAB dalam Teknik Kimia
26
Latihan: Xylene 1, styrene 2, toluene 3 dan benzene 4 akan dipisahkan menggunakan 3 buah
menara distilasi sebagaimana ditunjukkan oleh gambar di bawah. Masing-masing yaitu : F, D, B, D1, B1, D2, dan B2 adalah laju alir molar dalam molmenit.
Diketahui : F
= 70 molmenit x
f,1
= 0.15 ; x
f,2
= 0.25 ; x
f,3
= 0.40 ; x
f,4
= 0.20 x
d1,1
= 0.07 ; x
d1,2
= 0.04 ; x
d1,3
= 0.54 ; x
d1,4
= 0.35 x
b1,1
= 0.18 ; x
b1,2
= 0.24 ; x
b1,3
= 0.42 ; x
b1,4
= 0.16 x
d2,1
= 0.15 ; x
d2,2
= 0.10 ; x
d2,3
= 0.54 ; x
d2,4
= 0.21 x
b2,1
= 0.24 ; x
b2,2
= 0.65 ; x
b2,3
= 0.10 ; x
b2,4
= 0.01
a Hitung laju alir molar untuk aliran D1, D2, B1 dan B2 ? b Hitung laju alir molar dan komposisi aliran D dan B ?
Pengenalan Aplikasi MATLAB dalam Teknik Kimia
27
Petunjuk Penyelesaian :
- Neraca massa komponen untuk keseluruhan rangkaian MD
F x
B x
D x
B x
D x
f b
d b
d 1
, 2
1 ,
2 2
1 ,
2 1
1 ,
1 1
1 ,
1
F x
B x
D x
B x
D x
f b
d b
d 2
, 2
2 ,
2 2
2 ,
2 1
2 ,
1 1
2 ,
1
F x
B x
D x
B x
D x
f b
d b
d 3
, 2
3 ,
2 2
3 ,
2 1
3 ,
1 1
3 ,
1
F x
B x
D x
B x
D x
f b
d b
d 4
, 2
4 ,
2 2
4 ,
2 1
4 ,
1 1
4 ,
1
- Neraca massa overall dan komponen untuk MD-02
1 1
B D
D
1 1
, 1
1 1
, 1
1 ,
B x
D x
D x
b d
d
1 2
, 1
1 2
, 1
2 ,
B x
D x
D x
b d
d
1 3
, 1
1 3
, 1
3 ,
B x
D x
D x
b d
d
1 4
, 1
1 4
, 1
4 ,
B x
D x
D x
b d
d
- Neraca massa overall dan komponen untuk MD-03
2 2
B D
B
2 1
, 2
2 1
, 2
1 ,
B x
D x
B x
b d
b
2 2
, 2
2 2
, 2
2 ,
B x
D x
B x
b d
b
2 3
, 2
2 3
, 2
3 ,
B x
D x
B x
b d
b
2 4
, 2
2 4
, 2
4 ,
B x
D x
B x
b d
b
Pengenalan Aplikasi MATLAB dalam Teknik Kimia
28 Dalam bidang teknik Kimia sering dijumpai persoalan mencari akar persamaan non linier
fx = 0 yang sulit diselesaikan dengan manipulasi matematika analitis. Contoh Persamaan-
Persamaan Tak Linier
Jenis Pers. Tak Linier Contoh
Persamaan Kuadrat
2
4 3
x x
Persamaan Polinomial
4 3
2
6 7
6 8
x x
x x
Persamaan Transenden
2
sin 2exp
x x
Persamaan Logaritmik
2 2
ln1 2exp
x x
Matlab menyediakan fasilitas untuk menyelesaikan jenis persamaan-persamaan di atas yang telah tersusun dalam fungsi yaitu ‘fzero’.
Syntax yang digunakan untuk menuliskan fzero adalah
z = ‘fzero’,initial guess
Contoh 4.1 Mencari akar persamaan
. Diketahui persamaan :
fx = x
3
– 2x – 5, akan dicari nilai x yang menyebabkan fungsi fx sama dengan nol.
Penyelesaian: tulis dalam M-file
function y = fx y = x.3-2x-5;
Untuk mendapatkan nol mendekati 2, tuliskan :
z = fzero‘f’,2 z =
2.0946
BAB 4 Penyelesaian Persamaan Non-Linier
