Suatu Kajian Terhadap Keterbatasan Metode Bootstrap Pada Uji Rataan Dua Contoh
SUATU KAJIAN TERHADAP KETERBATASAN
METODE BOOTSTRAP
PADAUJIRATAANDUACONTOH
Oleh
JOKO RATONO
G 27.1049
JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
1994
Pada akhir tahun 1978 berkembanglah metode uji yang menggunakan
pendekatan lain dari metode uji sebelumnya. Metode uji rataan dua contoh Bootstrap
lebih menyandarkan pada kehandalan kinerja komputer daripada asumsi-asumsi
klasik. Metode ini juga tidak sepenuhnya mempercayakan pada kehandalan dalil limit
pusat.
Meskipun untuk populasi normal dan ragam homogen kuasa uji-t masih lebih
baik, namun bila ragam heterogen kuasa uji metode Bootstrap setaraf dengan uji-t
kira-kira Satterthwaite dan uji-t kira-kira Cochran-Cox.
Metode Uji Bootstrap memiliki keunggulan dalam mendeteksi beda yang kecil
pada ragam heterogen cukup besar, serta tidak memerlukan pemeriksaan asumsi
sebaran populasi.
Keterbatasan metode Bootstrap adalah masih diperlukan waktu yang relatif
sedikit lebih lama untuk pemetikan contoh ulang (B) serta nilai ASL Boot yang tidak
jarang berbeda.
Sebagaimana metode uji lainnya, metode Bootstrap memerlukan ukuran contoh
yang memadai (minimal n= 10) untuk suatu pengujian.
RENUNGAN
T'lah kulalui masa-masa yang kurasakan beginc berar
dun r '/ah kupenuhi panggilan kelahiran dun n a m h . . ..
Dalam titian yang kukenang sebagai lauran perjuangan,
muara dari berbagai peristiwa yang mengemas kejengkelen,
kebencian, kekesalan dun kelerihan yang reramar sangat. ..
Kubangun pondasi kehidupanku dun bem'up bersamanya angin barn
yang '!an membawa khabar renrang ujian
dun cobaan berikurnya.. ..
yang kurahu pasri.. .... akan lebih berar
Bersmna-Mu, ya Allah
kusancknn senlangarku dalam kebesaran nama-MU
guna menempa khidupanku dun mempersiapknn diri
menghadapi pemidangarr-Mu nanri.. ...... .
SUATU W A N TERHADAP KETERBATASAN
METODE BOOTSTRAP
PADA UJI RATAAN DUA CONTOH
Oleh
JOKO RATONO
G 27.1049
Karya Ilmiah
Sebagai Salah Satu Syarat untuk memperoleh Gelar
Sarjana Statistika
pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Judul Karya Ilmiah : Suatu Kajian Terhadap Keterbatasan Metode Bootstrap
pada Uji Rataan Dua Contoh
Nama Mahasiswa : Joko Ratono
Nomor Pokok
: G 27.1049
Menyetujui
1. Komisi Pembimbing
4
Prof.Dr.Ir. Artdi3Iakim Nasoetion
Ketua
2. Ketua Jurusan
Tanggal Kelulusan : 25 November 1994
Anggota
Penulis dilahirkan di kecamatan Plaosan, sebuah kota kecil yang terletak di
lereng Lawu sebelah timur, kabupaten Magetan Jawa Timur pada tanggal 28 Oktober
1971. Penulis merupakan putra tunggal buah perkawinan Ayahanda Sukimun dan
Ibunda Sani.
Pada tahun 1984 penulis menamatkan Sekolah Dasar di Plaosan I1 dan tahun
1987 menamatkan Sekolah Menengah Pertama di SMPN I Plaosan. Kemudian penulis
memasuki SMA dan lulus tahun 1990 dari SMAN I Magetan. Pada tahun yang sama,
penulis di terima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Setahun kemudian
penulis memasuki jurusan Statistika.
Selama di Jurusan Statistika penulis aktif menjadi staf pengajar di Lembaga
Bimbingan Belajar Bina Eksakta Pratama yang kemudian berganti nania LBB
NETRO. Penulis juga pernah menjadi Asisten untuk mata kutiah Biologi Umum,
Pengantar Matematika, Kalkulus dan Pengantar Ilmu Komputer.
KATA PENGANTAR
Puji Syukur penulis ucapkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberikan
segenap kekuatan, sehingga penulis dapat menyelesaikan karya tulis ini.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Prof.Dr.Ir. Andi Hakim
Nasoetion yang telah berkenan membimbing penulis serta mengarahkan sampai
terselesaikannya karya tulis ini. Terima kasih juga penulis sampaikan kepada Bapak
Ir. Agus Buono yang berkenan pula memberikan perbaikan dan saran terhadap
penulis.
Kepada Ketua Jurusan dan Staf Pengajar Statistika, yang telah membekali
penulis selama penulis menimba ilmu, penulis juga mengucapkan terimakasih.
Secara khusus, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada Bapak
Dr.Ir.A.A. Mattjik, Dr. Pallawarukka dan Ir. Abu Bakar Burniat yang telah banyak
membantu penulis dalam kelanjutan studi di IPB.
Tak lupa kepada Bogor International Club (BIC) penulis menyampaikan terima
kasih atas bantuan beasiswa selama di tingkat I1 dan juga kepada Yayasan Dana
Bhakti Kalbe Farma, yang telah memberikan bantuan beasiswa untuk tingkat
selanjutnya hingga penulis berhasil menyelesaikan studi.
Pendahuluan
Latar Belakang
Tujuan
Studi Pustaka
Fungsi Sebaran Empirik dan Prinsip Pencocokan
Metode Bootstrap
Beberapa Uji Parameter Pernusatan Dua Contoh
Metode Bootstrap
Uji-t
Uji-t bra-kira Satterthwaite
Uji-t kira-kira Cochran-Cox
Uji-Wilcoxon-MannWhitney
Uji-Median Mood
Kriteria Kebaikan Metode
Analisis Diskriminan Metode Tetangga Terdekat
Galat Jenis I
Galat Jenis I1
Bahan dan Metode
Bahan
Metode
Penentuan n dan B untuk uji ganda
Penentuan Parameter uji ganda
Algoritma uji ganda Bootstrap
Hasil clan Pernbahasan
Hasil Pendahuluan
Hasil Analisis Diskriminan Metode Tetangga Terdekat
Galat Jenis I dan I1
Kesimpulan
Saran
Daftar Pustaka
Lampiran
DAFTAR TABEL
teks
-
no
judul
1. Kondisi data
2. Rataan dan Simpangan Baku ASL Boot
3. Nilai Koefisien Keragaman
Lam~iran
1. Salah Klasifikasi
2. Galat Jenis I dan I1
3. Rataan dan Galat Baku ASL Boot
DAFTAR GRAFIK
teks
-
no
1.
2
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
jdul
Boxplot Nilai Tengah N=lOO
Boxplot Simpangan Baku N=lOO
Plot Dugaan Rataan Bootstrap N=5
Plot Dugaan Simpangan Baku Bootstrap N=5
Koefisien Keragaman pada berbagai n dan B
Koefisien Keragaman B takhingga
Salah Klasifikasi a2 = 1
Salah Klasifikasi u2= 114
Salah Klasifikasi a2=2
Galat Jenis I(0) dan II(1)
Galat Jenis I(0) dan II(1) pada a2= 114
Galat Jenis L(0) dan II(1) pada a2=2
Plot Waktu terhadap B
Lampiran
Plot dugaan nilai ten& dan simpangan baku
Boxplot ASL B50
Boxplot ASL BlOO
Boxplot ASL B200
Plot CV(seB) vs B pada n=5
Plot CV(seB) vs B pada n= 10
Plot CV(seB) vs B pada n=20
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Semakin pesatnya kemajuan
kinerja komputer akhir-akhir ini
menyehahkan terjadinya perkembangan
teori statistika yang mengarah pada
kehandalan komputer, terutama kecepatan
dan kemampuan menghitungnya. Dengan
demikian herkemhanglah metode-metode
iteratif, yang seringkali tidak memerlukan
syarat-syarat ketat mengenai parameter
seharan populasinya. Salah satunyaadalah
metode Bootstrap Non-parametrik yang
tidak memerlukan asumsi seharan, karena
didekati dengan seharan empirik, dan
dapat diterapkan pada herhagai kondisi
termasuk ragam heterogen.
Pada uji dua nilai tengah contoh,
uji-Z memerlukan asumsi seharan
populasi normal, ragam homogen dan n
hesar. Uji-t memerlukan asumsi seharan
populasi normal dan ragam homogen.
Uji-t
kira-kira Satterthwaite dan
Cochran-Cox memerlukan asumsi seharan
populasi normal dan uji Wilcoxon-Mann
Whimey memerlukan asumsi seharan
populasi simetrik. Uji yang tidak hanyak
memerlukan asumsi adalah uji median
Mood (Steel & Torrie, 1980), namun
kuasa ujinya secara umum kurang haik.
Tujuan
1
Penelitian ini' mempakan studi
empirik yang hertujuan :
- Mempelajari sifat-sifat Bootstrap pada
contoh tunggal guna mendapatkan
hatas ukuran contoh (n) dan hanyaknya
contoh ulang (B) untuk melakukan uji
dua nilai tengah dengan metode
Bootstrap.
-
Memhandingkan kekuatan uji Metode
Bootstrap dengan heherapa uji ganda
lainnya pada herhagai keadaan ragam
homogen maupun heterogen, serta
melihat pada kondisi bagaimana
metode uji tersehut mempunyai kuasa
yang haik.
STUD1 PUSTAKA
Fungsi Seharan Empirik dan prinsip
Pencocokan (Plug-In)
Fungsi Sebamn Empirik
Jika suatu contoh acak herukuran
n diamhil dari suatu seharan peluang F.
F -> (XI, ~ 2 ,..., 4
maka E disehut fungsi seharan empirik
yang didefinisikan sehagai seharan diskrit
yang memherikan peluang lln untuk
setiap nilai xi, i= 1 ,....n. Dengan
demikian suatu gugus A dalam mang
contoh x mempunyai peluang empirik
P{A) =#{x,eA}/n, #= jumlah
Prinsip Pencocokan
Prinsip pencocokan adalah suatu
metode sederhana dalam pendugaan
parameter dari contoh. Penduga
pencocokan p a r a m e t e r O=t(F)
didetinisikan menjadi $=t(i?).
Dengan kata lain 8=t(F) dari seharan F
diduga dengan
seharan empirik?,
Metode Bootstrap
Bootstrap mempakan metode
pemetikan contoh ulang secara acak
hemkuran sama dengan pengemhalian
dari suatu contoh acak yang diperkenalkan Efron.
Jika suatu populasi contoh
diketahui seharannya, Bootstrap dapat
dilakukan secara parametrik, karena
tidak diperlukan pendekatan seharan
empirik terhadap sebaran populasi F.
Bila dilakukan pendekatan seharan
empirik, maka metode Bootstrap yang
dilakukan adalah non-parametrik.
Langkah pemhangkitan contoh
acak Bootstrap non-parametrik.
1. Berikan peluang yang sama lln pada
setiap pengamatan contoh berukuran n
x=(x1.x2,....xJ.
2. Amhil secara acak contoh ulang
herukuran n dengan pengemhalian.
X*=(x,*, ...,x.*). (Sebuah pengamatan
hisa terpilih lebih dari satu kali)
3. Dari contoh ulang yang didapat
lakukan pendugaan statistik penting.
4. Ulangi Bootstrap hingga didapatkan B
huah penduga.
Efron (1993), menjelaskan hahwa
dari pengalaman yang didapat untuk
pendugaan simpangan baku atau
pengujian hipotesis cukup diperlukan B
antara 50-200 dan untuk pemhuatan
selang kepercayaan diperlukan B ;r 1000.
Berikut skema rnetode Bootstrap
Sebaran F t i d a k d i k e t a h u i
bentuknya
A
F sebaran empirik
Beberapa Uji Parameter Pernusatan
Dua contoh
populasi 1
populasi 2
Bila x, contoh acak herukuran n,
dan x, contoh acak berukuran n,, maka
untuk contoh dari populasi normal yang
herukuran relatif hesar uji-Z dapat
digunakan untuk menguji nilai tengah dua
contoh dengan hipotesis :
H,: P l = h
HI: p, c h a t a u p , < k
atau p i >
Namun bila ukuran contoh relatif kecil
atau ragam heterogen, uji-Z kurang tepat
digunakan.
Berikut adalah uji-uji dua nilai
pernusatan c o n t o h yang akan
dihandingkan :
Metode Bootstrap
Bootstrap Non-parametrik
mempunyai kriterium uji :
t(x5) dugaan Bootstrap pada
ulangan ke-h.
SUATU KAJIAN TERHADAP KETERBATASAN
METODE BOOTSTRAP
PADAUJIRATAANDUACONTOH
Oleh
JOKO RATONO
G 27.1049
JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
1994
Pada akhir tahun 1978 berkembanglah metode uji yang menggunakan
pendekatan lain dari metode uji sebelumnya. Metode uji rataan dua contoh Bootstrap
lebih menyandarkan pada kehandalan kinerja komputer daripada asumsi-asumsi
klasik. Metode ini juga tidak sepenuhnya mempercayakan pada kehandalan dalil limit
pusat.
Meskipun untuk populasi normal dan ragam homogen kuasa uji-t masih lebih
baik, namun bila ragam heterogen kuasa uji metode Bootstrap setaraf dengan uji-t
kira-kira Satterthwaite dan uji-t kira-kira Cochran-Cox.
Metode Uji Bootstrap memiliki keunggulan dalam mendeteksi beda yang kecil
pada ragam heterogen cukup besar, serta tidak memerlukan pemeriksaan asumsi
sebaran populasi.
Keterbatasan metode Bootstrap adalah masih diperlukan waktu yang relatif
sedikit lebih lama untuk pemetikan contoh ulang (B) serta nilai ASL Boot yang tidak
jarang berbeda.
Sebagaimana metode uji lainnya, metode Bootstrap memerlukan ukuran contoh
yang memadai (minimal n= 10) untuk suatu pengujian.
RENUNGAN
T'lah kulalui masa-masa yang kurasakan beginc berar
dun r '/ah kupenuhi panggilan kelahiran dun n a m h . . ..
Dalam titian yang kukenang sebagai lauran perjuangan,
muara dari berbagai peristiwa yang mengemas kejengkelen,
kebencian, kekesalan dun kelerihan yang reramar sangat. ..
Kubangun pondasi kehidupanku dun bem'up bersamanya angin barn
yang '!an membawa khabar renrang ujian
dun cobaan berikurnya.. ..
yang kurahu pasri.. .... akan lebih berar
Bersmna-Mu, ya Allah
kusancknn senlangarku dalam kebesaran nama-MU
guna menempa khidupanku dun mempersiapknn diri
menghadapi pemidangarr-Mu nanri.. ...... .
SUATU W A N TERHADAP KETERBATASAN
METODE BOOTSTRAP
PADA UJI RATAAN DUA CONTOH
Oleh
JOKO RATONO
G 27.1049
Karya Ilmiah
Sebagai Salah Satu Syarat untuk memperoleh Gelar
Sarjana Statistika
pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Judul Karya Ilmiah : Suatu Kajian Terhadap Keterbatasan Metode Bootstrap
pada Uji Rataan Dua Contoh
Nama Mahasiswa : Joko Ratono
Nomor Pokok
: G 27.1049
Menyetujui
1. Komisi Pembimbing
4
Prof.Dr.Ir. Artdi3Iakim Nasoetion
Ketua
2. Ketua Jurusan
Tanggal Kelulusan : 25 November 1994
Anggota
Penulis dilahirkan di kecamatan Plaosan, sebuah kota kecil yang terletak di
lereng Lawu sebelah timur, kabupaten Magetan Jawa Timur pada tanggal 28 Oktober
1971. Penulis merupakan putra tunggal buah perkawinan Ayahanda Sukimun dan
Ibunda Sani.
Pada tahun 1984 penulis menamatkan Sekolah Dasar di Plaosan I1 dan tahun
1987 menamatkan Sekolah Menengah Pertama di SMPN I Plaosan. Kemudian penulis
memasuki SMA dan lulus tahun 1990 dari SMAN I Magetan. Pada tahun yang sama,
penulis di terima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Setahun kemudian
penulis memasuki jurusan Statistika.
Selama di Jurusan Statistika penulis aktif menjadi staf pengajar di Lembaga
Bimbingan Belajar Bina Eksakta Pratama yang kemudian berganti nania LBB
NETRO. Penulis juga pernah menjadi Asisten untuk mata kutiah Biologi Umum,
Pengantar Matematika, Kalkulus dan Pengantar Ilmu Komputer.
KATA PENGANTAR
Puji Syukur penulis ucapkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberikan
segenap kekuatan, sehingga penulis dapat menyelesaikan karya tulis ini.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Prof.Dr.Ir. Andi Hakim
Nasoetion yang telah berkenan membimbing penulis serta mengarahkan sampai
terselesaikannya karya tulis ini. Terima kasih juga penulis sampaikan kepada Bapak
Ir. Agus Buono yang berkenan pula memberikan perbaikan dan saran terhadap
penulis.
Kepada Ketua Jurusan dan Staf Pengajar Statistika, yang telah membekali
penulis selama penulis menimba ilmu, penulis juga mengucapkan terimakasih.
Secara khusus, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada Bapak
Dr.Ir.A.A. Mattjik, Dr. Pallawarukka dan Ir. Abu Bakar Burniat yang telah banyak
membantu penulis dalam kelanjutan studi di IPB.
Tak lupa kepada Bogor International Club (BIC) penulis menyampaikan terima
kasih atas bantuan beasiswa selama di tingkat I1 dan juga kepada Yayasan Dana
Bhakti Kalbe Farma, yang telah memberikan bantuan beasiswa untuk tingkat
selanjutnya hingga penulis berhasil menyelesaikan studi.
Pendahuluan
Latar Belakang
Tujuan
Studi Pustaka
Fungsi Sebaran Empirik dan Prinsip Pencocokan
Metode Bootstrap
Beberapa Uji Parameter Pernusatan Dua Contoh
Metode Bootstrap
Uji-t
Uji-t bra-kira Satterthwaite
Uji-t kira-kira Cochran-Cox
Uji-Wilcoxon-MannWhitney
Uji-Median Mood
Kriteria Kebaikan Metode
Analisis Diskriminan Metode Tetangga Terdekat
Galat Jenis I
Galat Jenis I1
Bahan dan Metode
Bahan
Metode
Penentuan n dan B untuk uji ganda
Penentuan Parameter uji ganda
Algoritma uji ganda Bootstrap
Hasil clan Pernbahasan
Hasil Pendahuluan
Hasil Analisis Diskriminan Metode Tetangga Terdekat
Galat Jenis I dan I1
Kesimpulan
Saran
Daftar Pustaka
Lampiran
DAFTAR TABEL
teks
-
no
judul
1. Kondisi data
2. Rataan dan Simpangan Baku ASL Boot
3. Nilai Koefisien Keragaman
Lam~iran
1. Salah Klasifikasi
2. Galat Jenis I dan I1
3. Rataan dan Galat Baku ASL Boot
DAFTAR GRAFIK
teks
-
no
1.
2
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
jdul
Boxplot Nilai Tengah N=lOO
Boxplot Simpangan Baku N=lOO
Plot Dugaan Rataan Bootstrap N=5
Plot Dugaan Simpangan Baku Bootstrap N=5
Koefisien Keragaman pada berbagai n dan B
Koefisien Keragaman B takhingga
Salah Klasifikasi a2 = 1
Salah Klasifikasi u2= 114
Salah Klasifikasi a2=2
Galat Jenis I(0) dan II(1)
Galat Jenis I(0) dan II(1) pada a2= 114
Galat Jenis L(0) dan II(1) pada a2=2
Plot Waktu terhadap B
Lampiran
Plot dugaan nilai ten& dan simpangan baku
Boxplot ASL B50
Boxplot ASL BlOO
Boxplot ASL B200
Plot CV(seB) vs B pada n=5
Plot CV(seB) vs B pada n= 10
Plot CV(seB) vs B pada n=20
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Semakin pesatnya kemajuan
kinerja komputer akhir-akhir ini
menyehahkan terjadinya perkembangan
teori statistika yang mengarah pada
kehandalan komputer, terutama kecepatan
dan kemampuan menghitungnya. Dengan
demikian herkemhanglah metode-metode
iteratif, yang seringkali tidak memerlukan
syarat-syarat ketat mengenai parameter
seharan populasinya. Salah satunyaadalah
metode Bootstrap Non-parametrik yang
tidak memerlukan asumsi seharan, karena
didekati dengan seharan empirik, dan
dapat diterapkan pada herhagai kondisi
termasuk ragam heterogen.
Pada uji dua nilai tengah contoh,
uji-Z memerlukan asumsi seharan
populasi normal, ragam homogen dan n
hesar. Uji-t memerlukan asumsi seharan
populasi normal dan ragam homogen.
Uji-t
kira-kira Satterthwaite dan
Cochran-Cox memerlukan asumsi seharan
populasi normal dan uji Wilcoxon-Mann
Whimey memerlukan asumsi seharan
populasi simetrik. Uji yang tidak hanyak
memerlukan asumsi adalah uji median
Mood (Steel & Torrie, 1980), namun
kuasa ujinya secara umum kurang haik.
Tujuan
1
Penelitian ini' mempakan studi
empirik yang hertujuan :
- Mempelajari sifat-sifat Bootstrap pada
contoh tunggal guna mendapatkan
hatas ukuran contoh (n) dan hanyaknya
contoh ulang (B) untuk melakukan uji
dua nilai tengah dengan metode
Bootstrap.
-
Memhandingkan kekuatan uji Metode
Bootstrap dengan heherapa uji ganda
lainnya pada herhagai keadaan ragam
homogen maupun heterogen, serta
melihat pada kondisi bagaimana
metode uji tersehut mempunyai kuasa
yang haik.
STUD1 PUSTAKA
Fungsi Seharan Empirik dan prinsip
Pencocokan (Plug-In)
Fungsi Sebamn Empirik
Jika suatu contoh acak herukuran
n diamhil dari suatu seharan peluang F.
F -> (XI, ~ 2 ,..., 4
maka E disehut fungsi seharan empirik
yang didefinisikan sehagai seharan diskrit
yang memherikan peluang lln untuk
setiap nilai xi, i= 1 ,....n. Dengan
demikian suatu gugus A dalam mang
contoh x mempunyai peluang empirik
P{A) =#{x,eA}/n, #= jumlah
Prinsip Pencocokan
Prinsip pencocokan adalah suatu
metode sederhana dalam pendugaan
parameter dari contoh. Penduga
pencocokan p a r a m e t e r O=t(F)
didetinisikan menjadi $=t(i?).
Dengan kata lain 8=t(F) dari seharan F
diduga dengan
seharan empirik?,
Metode Bootstrap
Bootstrap mempakan metode
pemetikan contoh ulang secara acak
hemkuran sama dengan pengemhalian
dari suatu contoh acak yang diperkenalkan Efron.
Jika suatu populasi contoh
diketahui seharannya, Bootstrap dapat
dilakukan secara parametrik, karena
tidak diperlukan pendekatan seharan
empirik terhadap sebaran populasi F.
Bila dilakukan pendekatan seharan
empirik, maka metode Bootstrap yang
dilakukan adalah non-parametrik.
Langkah pemhangkitan contoh
acak Bootstrap non-parametrik.
1. Berikan peluang yang sama lln pada
setiap pengamatan contoh berukuran n
x=(x1.x2,....xJ.
2. Amhil secara acak contoh ulang
herukuran n dengan pengemhalian.
X*=(x,*, ...,x.*). (Sebuah pengamatan
hisa terpilih lebih dari satu kali)
3. Dari contoh ulang yang didapat
lakukan pendugaan statistik penting.
4. Ulangi Bootstrap hingga didapatkan B
huah penduga.
Efron (1993), menjelaskan hahwa
dari pengalaman yang didapat untuk
pendugaan simpangan baku atau
pengujian hipotesis cukup diperlukan B
antara 50-200 dan untuk pemhuatan
selang kepercayaan diperlukan B ;r 1000.
Berikut skema rnetode Bootstrap
Sebaran F t i d a k d i k e t a h u i
bentuknya
A
F sebaran empirik
Beberapa Uji Parameter Pernusatan
Dua contoh
populasi 1
populasi 2
Bila x, contoh acak herukuran n,
dan x, contoh acak berukuran n,, maka
untuk contoh dari populasi normal yang
herukuran relatif hesar uji-Z dapat
digunakan untuk menguji nilai tengah dua
contoh dengan hipotesis :
H,: P l = h
HI: p, c h a t a u p , < k
atau p i >
Namun bila ukuran contoh relatif kecil
atau ragam heterogen, uji-Z kurang tepat
digunakan.
Berikut adalah uji-uji dua nilai
pernusatan c o n t o h yang akan
dihandingkan :
Metode Bootstrap
Bootstrap Non-parametrik
mempunyai kriterium uji :
t(x5) dugaan Bootstrap pada
ulangan ke-h.
METODE BOOTSTRAP
PADAUJIRATAANDUACONTOH
Oleh
JOKO RATONO
G 27.1049
JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
1994
Pada akhir tahun 1978 berkembanglah metode uji yang menggunakan
pendekatan lain dari metode uji sebelumnya. Metode uji rataan dua contoh Bootstrap
lebih menyandarkan pada kehandalan kinerja komputer daripada asumsi-asumsi
klasik. Metode ini juga tidak sepenuhnya mempercayakan pada kehandalan dalil limit
pusat.
Meskipun untuk populasi normal dan ragam homogen kuasa uji-t masih lebih
baik, namun bila ragam heterogen kuasa uji metode Bootstrap setaraf dengan uji-t
kira-kira Satterthwaite dan uji-t kira-kira Cochran-Cox.
Metode Uji Bootstrap memiliki keunggulan dalam mendeteksi beda yang kecil
pada ragam heterogen cukup besar, serta tidak memerlukan pemeriksaan asumsi
sebaran populasi.
Keterbatasan metode Bootstrap adalah masih diperlukan waktu yang relatif
sedikit lebih lama untuk pemetikan contoh ulang (B) serta nilai ASL Boot yang tidak
jarang berbeda.
Sebagaimana metode uji lainnya, metode Bootstrap memerlukan ukuran contoh
yang memadai (minimal n= 10) untuk suatu pengujian.
RENUNGAN
T'lah kulalui masa-masa yang kurasakan beginc berar
dun r '/ah kupenuhi panggilan kelahiran dun n a m h . . ..
Dalam titian yang kukenang sebagai lauran perjuangan,
muara dari berbagai peristiwa yang mengemas kejengkelen,
kebencian, kekesalan dun kelerihan yang reramar sangat. ..
Kubangun pondasi kehidupanku dun bem'up bersamanya angin barn
yang '!an membawa khabar renrang ujian
dun cobaan berikurnya.. ..
yang kurahu pasri.. .... akan lebih berar
Bersmna-Mu, ya Allah
kusancknn senlangarku dalam kebesaran nama-MU
guna menempa khidupanku dun mempersiapknn diri
menghadapi pemidangarr-Mu nanri.. ...... .
SUATU W A N TERHADAP KETERBATASAN
METODE BOOTSTRAP
PADA UJI RATAAN DUA CONTOH
Oleh
JOKO RATONO
G 27.1049
Karya Ilmiah
Sebagai Salah Satu Syarat untuk memperoleh Gelar
Sarjana Statistika
pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Judul Karya Ilmiah : Suatu Kajian Terhadap Keterbatasan Metode Bootstrap
pada Uji Rataan Dua Contoh
Nama Mahasiswa : Joko Ratono
Nomor Pokok
: G 27.1049
Menyetujui
1. Komisi Pembimbing
4
Prof.Dr.Ir. Artdi3Iakim Nasoetion
Ketua
2. Ketua Jurusan
Tanggal Kelulusan : 25 November 1994
Anggota
Penulis dilahirkan di kecamatan Plaosan, sebuah kota kecil yang terletak di
lereng Lawu sebelah timur, kabupaten Magetan Jawa Timur pada tanggal 28 Oktober
1971. Penulis merupakan putra tunggal buah perkawinan Ayahanda Sukimun dan
Ibunda Sani.
Pada tahun 1984 penulis menamatkan Sekolah Dasar di Plaosan I1 dan tahun
1987 menamatkan Sekolah Menengah Pertama di SMPN I Plaosan. Kemudian penulis
memasuki SMA dan lulus tahun 1990 dari SMAN I Magetan. Pada tahun yang sama,
penulis di terima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Setahun kemudian
penulis memasuki jurusan Statistika.
Selama di Jurusan Statistika penulis aktif menjadi staf pengajar di Lembaga
Bimbingan Belajar Bina Eksakta Pratama yang kemudian berganti nania LBB
NETRO. Penulis juga pernah menjadi Asisten untuk mata kutiah Biologi Umum,
Pengantar Matematika, Kalkulus dan Pengantar Ilmu Komputer.
KATA PENGANTAR
Puji Syukur penulis ucapkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberikan
segenap kekuatan, sehingga penulis dapat menyelesaikan karya tulis ini.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Prof.Dr.Ir. Andi Hakim
Nasoetion yang telah berkenan membimbing penulis serta mengarahkan sampai
terselesaikannya karya tulis ini. Terima kasih juga penulis sampaikan kepada Bapak
Ir. Agus Buono yang berkenan pula memberikan perbaikan dan saran terhadap
penulis.
Kepada Ketua Jurusan dan Staf Pengajar Statistika, yang telah membekali
penulis selama penulis menimba ilmu, penulis juga mengucapkan terimakasih.
Secara khusus, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada Bapak
Dr.Ir.A.A. Mattjik, Dr. Pallawarukka dan Ir. Abu Bakar Burniat yang telah banyak
membantu penulis dalam kelanjutan studi di IPB.
Tak lupa kepada Bogor International Club (BIC) penulis menyampaikan terima
kasih atas bantuan beasiswa selama di tingkat I1 dan juga kepada Yayasan Dana
Bhakti Kalbe Farma, yang telah memberikan bantuan beasiswa untuk tingkat
selanjutnya hingga penulis berhasil menyelesaikan studi.
Pendahuluan
Latar Belakang
Tujuan
Studi Pustaka
Fungsi Sebaran Empirik dan Prinsip Pencocokan
Metode Bootstrap
Beberapa Uji Parameter Pernusatan Dua Contoh
Metode Bootstrap
Uji-t
Uji-t bra-kira Satterthwaite
Uji-t kira-kira Cochran-Cox
Uji-Wilcoxon-MannWhitney
Uji-Median Mood
Kriteria Kebaikan Metode
Analisis Diskriminan Metode Tetangga Terdekat
Galat Jenis I
Galat Jenis I1
Bahan dan Metode
Bahan
Metode
Penentuan n dan B untuk uji ganda
Penentuan Parameter uji ganda
Algoritma uji ganda Bootstrap
Hasil clan Pernbahasan
Hasil Pendahuluan
Hasil Analisis Diskriminan Metode Tetangga Terdekat
Galat Jenis I dan I1
Kesimpulan
Saran
Daftar Pustaka
Lampiran
DAFTAR TABEL
teks
-
no
judul
1. Kondisi data
2. Rataan dan Simpangan Baku ASL Boot
3. Nilai Koefisien Keragaman
Lam~iran
1. Salah Klasifikasi
2. Galat Jenis I dan I1
3. Rataan dan Galat Baku ASL Boot
DAFTAR GRAFIK
teks
-
no
1.
2
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
jdul
Boxplot Nilai Tengah N=lOO
Boxplot Simpangan Baku N=lOO
Plot Dugaan Rataan Bootstrap N=5
Plot Dugaan Simpangan Baku Bootstrap N=5
Koefisien Keragaman pada berbagai n dan B
Koefisien Keragaman B takhingga
Salah Klasifikasi a2 = 1
Salah Klasifikasi u2= 114
Salah Klasifikasi a2=2
Galat Jenis I(0) dan II(1)
Galat Jenis I(0) dan II(1) pada a2= 114
Galat Jenis L(0) dan II(1) pada a2=2
Plot Waktu terhadap B
Lampiran
Plot dugaan nilai ten& dan simpangan baku
Boxplot ASL B50
Boxplot ASL BlOO
Boxplot ASL B200
Plot CV(seB) vs B pada n=5
Plot CV(seB) vs B pada n= 10
Plot CV(seB) vs B pada n=20
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Semakin pesatnya kemajuan
kinerja komputer akhir-akhir ini
menyehahkan terjadinya perkembangan
teori statistika yang mengarah pada
kehandalan komputer, terutama kecepatan
dan kemampuan menghitungnya. Dengan
demikian herkemhanglah metode-metode
iteratif, yang seringkali tidak memerlukan
syarat-syarat ketat mengenai parameter
seharan populasinya. Salah satunyaadalah
metode Bootstrap Non-parametrik yang
tidak memerlukan asumsi seharan, karena
didekati dengan seharan empirik, dan
dapat diterapkan pada herhagai kondisi
termasuk ragam heterogen.
Pada uji dua nilai tengah contoh,
uji-Z memerlukan asumsi seharan
populasi normal, ragam homogen dan n
hesar. Uji-t memerlukan asumsi seharan
populasi normal dan ragam homogen.
Uji-t
kira-kira Satterthwaite dan
Cochran-Cox memerlukan asumsi seharan
populasi normal dan uji Wilcoxon-Mann
Whimey memerlukan asumsi seharan
populasi simetrik. Uji yang tidak hanyak
memerlukan asumsi adalah uji median
Mood (Steel & Torrie, 1980), namun
kuasa ujinya secara umum kurang haik.
Tujuan
1
Penelitian ini' mempakan studi
empirik yang hertujuan :
- Mempelajari sifat-sifat Bootstrap pada
contoh tunggal guna mendapatkan
hatas ukuran contoh (n) dan hanyaknya
contoh ulang (B) untuk melakukan uji
dua nilai tengah dengan metode
Bootstrap.
-
Memhandingkan kekuatan uji Metode
Bootstrap dengan heherapa uji ganda
lainnya pada herhagai keadaan ragam
homogen maupun heterogen, serta
melihat pada kondisi bagaimana
metode uji tersehut mempunyai kuasa
yang haik.
STUD1 PUSTAKA
Fungsi Seharan Empirik dan prinsip
Pencocokan (Plug-In)
Fungsi Sebamn Empirik
Jika suatu contoh acak herukuran
n diamhil dari suatu seharan peluang F.
F -> (XI, ~ 2 ,..., 4
maka E disehut fungsi seharan empirik
yang didefinisikan sehagai seharan diskrit
yang memherikan peluang lln untuk
setiap nilai xi, i= 1 ,....n. Dengan
demikian suatu gugus A dalam mang
contoh x mempunyai peluang empirik
P{A) =#{x,eA}/n, #= jumlah
Prinsip Pencocokan
Prinsip pencocokan adalah suatu
metode sederhana dalam pendugaan
parameter dari contoh. Penduga
pencocokan p a r a m e t e r O=t(F)
didetinisikan menjadi $=t(i?).
Dengan kata lain 8=t(F) dari seharan F
diduga dengan
seharan empirik?,
Metode Bootstrap
Bootstrap mempakan metode
pemetikan contoh ulang secara acak
hemkuran sama dengan pengemhalian
dari suatu contoh acak yang diperkenalkan Efron.
Jika suatu populasi contoh
diketahui seharannya, Bootstrap dapat
dilakukan secara parametrik, karena
tidak diperlukan pendekatan seharan
empirik terhadap sebaran populasi F.
Bila dilakukan pendekatan seharan
empirik, maka metode Bootstrap yang
dilakukan adalah non-parametrik.
Langkah pemhangkitan contoh
acak Bootstrap non-parametrik.
1. Berikan peluang yang sama lln pada
setiap pengamatan contoh berukuran n
x=(x1.x2,....xJ.
2. Amhil secara acak contoh ulang
herukuran n dengan pengemhalian.
X*=(x,*, ...,x.*). (Sebuah pengamatan
hisa terpilih lebih dari satu kali)
3. Dari contoh ulang yang didapat
lakukan pendugaan statistik penting.
4. Ulangi Bootstrap hingga didapatkan B
huah penduga.
Efron (1993), menjelaskan hahwa
dari pengalaman yang didapat untuk
pendugaan simpangan baku atau
pengujian hipotesis cukup diperlukan B
antara 50-200 dan untuk pemhuatan
selang kepercayaan diperlukan B ;r 1000.
Berikut skema rnetode Bootstrap
Sebaran F t i d a k d i k e t a h u i
bentuknya
A
F sebaran empirik
Beberapa Uji Parameter Pernusatan
Dua contoh
populasi 1
populasi 2
Bila x, contoh acak herukuran n,
dan x, contoh acak berukuran n,, maka
untuk contoh dari populasi normal yang
herukuran relatif hesar uji-Z dapat
digunakan untuk menguji nilai tengah dua
contoh dengan hipotesis :
H,: P l = h
HI: p, c h a t a u p , < k
atau p i >
Namun bila ukuran contoh relatif kecil
atau ragam heterogen, uji-Z kurang tepat
digunakan.
Berikut adalah uji-uji dua nilai
pernusatan c o n t o h yang akan
dihandingkan :
Metode Bootstrap
Bootstrap Non-parametrik
mempunyai kriterium uji :
t(x5) dugaan Bootstrap pada
ulangan ke-h.
SUATU KAJIAN TERHADAP KETERBATASAN
METODE BOOTSTRAP
PADAUJIRATAANDUACONTOH
Oleh
JOKO RATONO
G 27.1049
JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
1994
Pada akhir tahun 1978 berkembanglah metode uji yang menggunakan
pendekatan lain dari metode uji sebelumnya. Metode uji rataan dua contoh Bootstrap
lebih menyandarkan pada kehandalan kinerja komputer daripada asumsi-asumsi
klasik. Metode ini juga tidak sepenuhnya mempercayakan pada kehandalan dalil limit
pusat.
Meskipun untuk populasi normal dan ragam homogen kuasa uji-t masih lebih
baik, namun bila ragam heterogen kuasa uji metode Bootstrap setaraf dengan uji-t
kira-kira Satterthwaite dan uji-t kira-kira Cochran-Cox.
Metode Uji Bootstrap memiliki keunggulan dalam mendeteksi beda yang kecil
pada ragam heterogen cukup besar, serta tidak memerlukan pemeriksaan asumsi
sebaran populasi.
Keterbatasan metode Bootstrap adalah masih diperlukan waktu yang relatif
sedikit lebih lama untuk pemetikan contoh ulang (B) serta nilai ASL Boot yang tidak
jarang berbeda.
Sebagaimana metode uji lainnya, metode Bootstrap memerlukan ukuran contoh
yang memadai (minimal n= 10) untuk suatu pengujian.
RENUNGAN
T'lah kulalui masa-masa yang kurasakan beginc berar
dun r '/ah kupenuhi panggilan kelahiran dun n a m h . . ..
Dalam titian yang kukenang sebagai lauran perjuangan,
muara dari berbagai peristiwa yang mengemas kejengkelen,
kebencian, kekesalan dun kelerihan yang reramar sangat. ..
Kubangun pondasi kehidupanku dun bem'up bersamanya angin barn
yang '!an membawa khabar renrang ujian
dun cobaan berikurnya.. ..
yang kurahu pasri.. .... akan lebih berar
Bersmna-Mu, ya Allah
kusancknn senlangarku dalam kebesaran nama-MU
guna menempa khidupanku dun mempersiapknn diri
menghadapi pemidangarr-Mu nanri.. ...... .
SUATU W A N TERHADAP KETERBATASAN
METODE BOOTSTRAP
PADA UJI RATAAN DUA CONTOH
Oleh
JOKO RATONO
G 27.1049
Karya Ilmiah
Sebagai Salah Satu Syarat untuk memperoleh Gelar
Sarjana Statistika
pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Judul Karya Ilmiah : Suatu Kajian Terhadap Keterbatasan Metode Bootstrap
pada Uji Rataan Dua Contoh
Nama Mahasiswa : Joko Ratono
Nomor Pokok
: G 27.1049
Menyetujui
1. Komisi Pembimbing
4
Prof.Dr.Ir. Artdi3Iakim Nasoetion
Ketua
2. Ketua Jurusan
Tanggal Kelulusan : 25 November 1994
Anggota
Penulis dilahirkan di kecamatan Plaosan, sebuah kota kecil yang terletak di
lereng Lawu sebelah timur, kabupaten Magetan Jawa Timur pada tanggal 28 Oktober
1971. Penulis merupakan putra tunggal buah perkawinan Ayahanda Sukimun dan
Ibunda Sani.
Pada tahun 1984 penulis menamatkan Sekolah Dasar di Plaosan I1 dan tahun
1987 menamatkan Sekolah Menengah Pertama di SMPN I Plaosan. Kemudian penulis
memasuki SMA dan lulus tahun 1990 dari SMAN I Magetan. Pada tahun yang sama,
penulis di terima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Setahun kemudian
penulis memasuki jurusan Statistika.
Selama di Jurusan Statistika penulis aktif menjadi staf pengajar di Lembaga
Bimbingan Belajar Bina Eksakta Pratama yang kemudian berganti nania LBB
NETRO. Penulis juga pernah menjadi Asisten untuk mata kutiah Biologi Umum,
Pengantar Matematika, Kalkulus dan Pengantar Ilmu Komputer.
KATA PENGANTAR
Puji Syukur penulis ucapkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberikan
segenap kekuatan, sehingga penulis dapat menyelesaikan karya tulis ini.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Prof.Dr.Ir. Andi Hakim
Nasoetion yang telah berkenan membimbing penulis serta mengarahkan sampai
terselesaikannya karya tulis ini. Terima kasih juga penulis sampaikan kepada Bapak
Ir. Agus Buono yang berkenan pula memberikan perbaikan dan saran terhadap
penulis.
Kepada Ketua Jurusan dan Staf Pengajar Statistika, yang telah membekali
penulis selama penulis menimba ilmu, penulis juga mengucapkan terimakasih.
Secara khusus, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada Bapak
Dr.Ir.A.A. Mattjik, Dr. Pallawarukka dan Ir. Abu Bakar Burniat yang telah banyak
membantu penulis dalam kelanjutan studi di IPB.
Tak lupa kepada Bogor International Club (BIC) penulis menyampaikan terima
kasih atas bantuan beasiswa selama di tingkat I1 dan juga kepada Yayasan Dana
Bhakti Kalbe Farma, yang telah memberikan bantuan beasiswa untuk tingkat
selanjutnya hingga penulis berhasil menyelesaikan studi.
Pendahuluan
Latar Belakang
Tujuan
Studi Pustaka
Fungsi Sebaran Empirik dan Prinsip Pencocokan
Metode Bootstrap
Beberapa Uji Parameter Pernusatan Dua Contoh
Metode Bootstrap
Uji-t
Uji-t bra-kira Satterthwaite
Uji-t kira-kira Cochran-Cox
Uji-Wilcoxon-MannWhitney
Uji-Median Mood
Kriteria Kebaikan Metode
Analisis Diskriminan Metode Tetangga Terdekat
Galat Jenis I
Galat Jenis I1
Bahan dan Metode
Bahan
Metode
Penentuan n dan B untuk uji ganda
Penentuan Parameter uji ganda
Algoritma uji ganda Bootstrap
Hasil clan Pernbahasan
Hasil Pendahuluan
Hasil Analisis Diskriminan Metode Tetangga Terdekat
Galat Jenis I dan I1
Kesimpulan
Saran
Daftar Pustaka
Lampiran
DAFTAR TABEL
teks
-
no
judul
1. Kondisi data
2. Rataan dan Simpangan Baku ASL Boot
3. Nilai Koefisien Keragaman
Lam~iran
1. Salah Klasifikasi
2. Galat Jenis I dan I1
3. Rataan dan Galat Baku ASL Boot
DAFTAR GRAFIK
teks
-
no
1.
2
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
jdul
Boxplot Nilai Tengah N=lOO
Boxplot Simpangan Baku N=lOO
Plot Dugaan Rataan Bootstrap N=5
Plot Dugaan Simpangan Baku Bootstrap N=5
Koefisien Keragaman pada berbagai n dan B
Koefisien Keragaman B takhingga
Salah Klasifikasi a2 = 1
Salah Klasifikasi u2= 114
Salah Klasifikasi a2=2
Galat Jenis I(0) dan II(1)
Galat Jenis I(0) dan II(1) pada a2= 114
Galat Jenis L(0) dan II(1) pada a2=2
Plot Waktu terhadap B
Lampiran
Plot dugaan nilai ten& dan simpangan baku
Boxplot ASL B50
Boxplot ASL BlOO
Boxplot ASL B200
Plot CV(seB) vs B pada n=5
Plot CV(seB) vs B pada n= 10
Plot CV(seB) vs B pada n=20
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Semakin pesatnya kemajuan
kinerja komputer akhir-akhir ini
menyehahkan terjadinya perkembangan
teori statistika yang mengarah pada
kehandalan komputer, terutama kecepatan
dan kemampuan menghitungnya. Dengan
demikian herkemhanglah metode-metode
iteratif, yang seringkali tidak memerlukan
syarat-syarat ketat mengenai parameter
seharan populasinya. Salah satunyaadalah
metode Bootstrap Non-parametrik yang
tidak memerlukan asumsi seharan, karena
didekati dengan seharan empirik, dan
dapat diterapkan pada herhagai kondisi
termasuk ragam heterogen.
Pada uji dua nilai tengah contoh,
uji-Z memerlukan asumsi seharan
populasi normal, ragam homogen dan n
hesar. Uji-t memerlukan asumsi seharan
populasi normal dan ragam homogen.
Uji-t
kira-kira Satterthwaite dan
Cochran-Cox memerlukan asumsi seharan
populasi normal dan uji Wilcoxon-Mann
Whimey memerlukan asumsi seharan
populasi simetrik. Uji yang tidak hanyak
memerlukan asumsi adalah uji median
Mood (Steel & Torrie, 1980), namun
kuasa ujinya secara umum kurang haik.
Tujuan
1
Penelitian ini' mempakan studi
empirik yang hertujuan :
- Mempelajari sifat-sifat Bootstrap pada
contoh tunggal guna mendapatkan
hatas ukuran contoh (n) dan hanyaknya
contoh ulang (B) untuk melakukan uji
dua nilai tengah dengan metode
Bootstrap.
-
Memhandingkan kekuatan uji Metode
Bootstrap dengan heherapa uji ganda
lainnya pada herhagai keadaan ragam
homogen maupun heterogen, serta
melihat pada kondisi bagaimana
metode uji tersehut mempunyai kuasa
yang haik.
STUD1 PUSTAKA
Fungsi Seharan Empirik dan prinsip
Pencocokan (Plug-In)
Fungsi Sebamn Empirik
Jika suatu contoh acak herukuran
n diamhil dari suatu seharan peluang F.
F -> (XI, ~ 2 ,..., 4
maka E disehut fungsi seharan empirik
yang didefinisikan sehagai seharan diskrit
yang memherikan peluang lln untuk
setiap nilai xi, i= 1 ,....n. Dengan
demikian suatu gugus A dalam mang
contoh x mempunyai peluang empirik
P{A) =#{x,eA}/n, #= jumlah
Prinsip Pencocokan
Prinsip pencocokan adalah suatu
metode sederhana dalam pendugaan
parameter dari contoh. Penduga
pencocokan p a r a m e t e r O=t(F)
didetinisikan menjadi $=t(i?).
Dengan kata lain 8=t(F) dari seharan F
diduga dengan
seharan empirik?,
Metode Bootstrap
Bootstrap mempakan metode
pemetikan contoh ulang secara acak
hemkuran sama dengan pengemhalian
dari suatu contoh acak yang diperkenalkan Efron.
Jika suatu populasi contoh
diketahui seharannya, Bootstrap dapat
dilakukan secara parametrik, karena
tidak diperlukan pendekatan seharan
empirik terhadap sebaran populasi F.
Bila dilakukan pendekatan seharan
empirik, maka metode Bootstrap yang
dilakukan adalah non-parametrik.
Langkah pemhangkitan contoh
acak Bootstrap non-parametrik.
1. Berikan peluang yang sama lln pada
setiap pengamatan contoh berukuran n
x=(x1.x2,....xJ.
2. Amhil secara acak contoh ulang
herukuran n dengan pengemhalian.
X*=(x,*, ...,x.*). (Sebuah pengamatan
hisa terpilih lebih dari satu kali)
3. Dari contoh ulang yang didapat
lakukan pendugaan statistik penting.
4. Ulangi Bootstrap hingga didapatkan B
huah penduga.
Efron (1993), menjelaskan hahwa
dari pengalaman yang didapat untuk
pendugaan simpangan baku atau
pengujian hipotesis cukup diperlukan B
antara 50-200 dan untuk pemhuatan
selang kepercayaan diperlukan B ;r 1000.
Berikut skema rnetode Bootstrap
Sebaran F t i d a k d i k e t a h u i
bentuknya
A
F sebaran empirik
Beberapa Uji Parameter Pernusatan
Dua contoh
populasi 1
populasi 2
Bila x, contoh acak herukuran n,
dan x, contoh acak berukuran n,, maka
untuk contoh dari populasi normal yang
herukuran relatif hesar uji-Z dapat
digunakan untuk menguji nilai tengah dua
contoh dengan hipotesis :
H,: P l = h
HI: p, c h a t a u p , < k
atau p i >
Namun bila ukuran contoh relatif kecil
atau ragam heterogen, uji-Z kurang tepat
digunakan.
Berikut adalah uji-uji dua nilai
pernusatan c o n t o h yang akan
dihandingkan :
Metode Bootstrap
Bootstrap Non-parametrik
mempunyai kriterium uji :
t(x5) dugaan Bootstrap pada
ulangan ke-h.