Pendugaan Kecepatan Arus Sungai dengan Menggunakan Regresi Piecewise (Studi Kasus Sungai Soos Creek di Negara Bagian Washington)

PENDUGAAN KECEPATAN ARUS SUNGAI DENGAN
MENGGUNAKAN REGRESI PIECEWISE
(Studi Kasus Sungai Soos Creek di Negara Bagian Washington)

KHOIRUN IBNU FARID

DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011

RINGKASAN

KHOIRUN IBNU FARID. Pendugaan Kecepatan Arus Sungai dengan Menggunakan Regresi
Piecewise (Studi Kasus Sungai Soos Creek di Negara Bagian Washington). Di bimbing oleh I MADE
SUMERTAJAYA dan DIAN KUSUMANINGRUM.
Pada aliran sungai Soos Creek yang berada di Negara bagian Washington, kecepatan arus aliran
sungai meningkat pesat dengan meningkatnya debit, tetapi peningkatan kecepatan arus air mengalami
penurunan ketika mendekati nilai tertentu. Hal tersebut mengindikasikan bahwa kecepatan aliran air
dan debit air sungai Soos Creek memiliki hubungan yang non-linear. Regresi piecewise dapat

diterapkan untuk menduga kecepatan aliran sungai Soos Creek. Regresi piecewise adalah salah satu
model regresi yang dapat digunakan pada kondisi model linear berganda (multiple linear model) untuk
memperoleh model pada rentang x yang berbeda. Titik perubahan trend kecepatan arus aliran sungai
disebut titik patahan. Banyaknya titik patahan dapat ditentukan dari plot yang dibuat dengan
menggunakan pemulusan nonparametrik LOESS fit.
Model regresi piecewise dibangun dengan menggunakan prosedur PROC NLIN yang
memerlukan parameter awal. Parameter awal regresi piecewise ditentukan dengan melakukan regresi
linear sederhana secara terpisah terhadap masing-masing segmen dengan setiap garis regresi dibuat
sesuai dengan data yang memungkinkan untuk meminimumkan kuadrat tengah galat (KTG). Model
regresi piecewise terbaik adalah
̂ = 0.680 + 0.018xi ; xi ≤ 123.6
̂ = 2.607 + 0.002xi ; xi > 123.6
dengan nilai titik patahan yang dihasilkan terletak pada titik 123.6 cfs. Hasil analisis regresi piecewise
ini menunjukkan bahwa kecepatan arus aliran sungai meningkat pesat dengan meningkatnya debit air
sampai pada titik 123.6 cfs. Selanjutnya pada saat nilai debit air melebihi 123.6 cfs perubahan
kecepatan arus aliran sungai mengalami penurunan. Model regresi piecewise mampu menjelaskan
keragaman data yang lebih besar dari keragaman yang bisa dijelaskan oleh model regresi linear
sederhana karena memberikan nilai koefisien determinasi yang lebih besar.
Kata Kunci : Regresi Piecewise, Titik Patahan

PENDUGAAN KECEPATAN ARUS SUNGAI DENGAN
MENGGUNAKAN REGRESI PIECEWISE
(Studi Kasus Sungai Soos Creek di Negara Bagian Washington)

KHOIRUN IBNU FARID

Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh
gelar Sarjana Statistika pada
Departemen Statistika

DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011

Judul Skripsi

:

Nama
NIM

:
:

Pendugaan Kecepatan Arus Sungai dengan Menggunakan Regresi Piecewise
(Studi Kasus Sungai Soos Creek di Negara Bagian Washington)
Khoirun Ibnu Farid
G1406240

Menyetujui :

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si
19680702 199402 1 001

Dian Kusumaningrum, S.Si, M.Si

Mengetahui :
Ketua Departemen Statistika
Institut Pertanian Bogor

Dr. Ir. Hari Wijayanto, MS
NIP. 19650421 199002 1 001

Tanggal Lulus :

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat dan kemudahan
yang diberikan kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Sholawat serta
salam semoga tercurah kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW, kepada keluarganya,
sahabatnya, dan pengikutnya yang setia sampai akhir zaman.
Dengan telah selesainya penelitian hingga tersusunnya skripsi ini, penulis ingin menyampaikan
penghargaan dan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Bapak Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si

dan Ibu Dian Kusumaningrum, S.Si, M.Si. sebagai dosen pembimbing I dan pembimbing II yang telah
memberikan bimbingan dan arahan sehingga skripsi ini dapat selesai dengan baik. Selain itu penulis
juga menyampaikan penghargaan dan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada seluruh dosen
Departemen Statistika IPB atas ilmu dan nasihat yang bermanfaat bagi penulis. Seluruh staf
Departemen Statistika IPB yang telah membantu penulis selama belajar di Departemen Statistika IPB.
Kementerian Agama RI yang telah membiayai penulis selama studi. Kedua orang tua serta seluruh
keluarga atas doa dan kasih sayang yang selama ini diberikan kepada penulis. Serta semua pihak yang
telah membantu penulis selama proses penyusunan karya ilmiah ini, yang tidak dapat penulis tuliskan
satu persatu.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam karya ilmiah ini. Oleh karena itu,
penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun demi kesempurnaan karya ilmiah ini.
Akhirnya penulis berharap semoga tulisan ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2011

Khoirun Ibnu Farid

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kulon Progo pada tanggal 23 Agustus 1988 dari pasangan Fauzan dan

Waridah sebagai anak kedua dari tiga bersaudara. Penulis memulai pendidikan formalnya di SD
Muhammadiyah Kedunggong dan lulus pada tahun 2000. Penulis melanjutkan pendidikan di MTs
Islam Ngruki dan lulus pada tahun 2003. Pada tahun 2006 penulis menyelesaikan pendidikan
menengah atas di Madrasah Aliyah Al Mukmin Sukoharjo. Tahun yang sama pula penulis diterima
sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor melalui program PBSB (Program Beasiswa Santri
Berprestasi) yang diselenggarakan oleh Kementerian Agama Republik Indonesia. Penulis memilih
Departemen Statistika, Falkultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam pada pemilihan mayor
tahun 2007.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dibeberapa organisasi mahasiswa. Penulis aktif
di Serum-G (Lembaga Dakwah Fakultas MIPA) sebagai staf divisi Syiar and Sciene pada periode
2007/2008 dan Gamma Sigma Beta sebagai staf departemen Survey and Research pada tahun
2008/2009 . Selain itu penulis juga aktif di Ikatan Mahasiswa Muhammadiyah sebagai ketua Bidang
Organisasi Pimpinan Cabang IMM Bogor pada tahun 2009/2010 dan tercatat sebagai anggota CSS
MoRA (Community of Santri Scholars of Ministry of Religious Affair) IPB.

vi

DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................................

vii

DAFTAR TABEL .............................................................................................................

vii

DAFTAR LAMPIRAN .....................................................................................................

vii

PENDAHULUAN
Latar Belakang .......................................................................................................
Tujuan ...................................................................................................................

1
1

TINJAUAN PUSTAKA
Regresi Linear Sederhana ......................................................................................

Regresi Piecewise .................................................................................................
Regresi Piecewise dengan Dua Segmen ................................................................
Regresi Piecewise dengan Tiga Segmen ................................................................
Locally Weighted Scatterplot Smoothing .............................................................
Metode Kuadrat Terkecil ......................................................................................

1
1
2
2
2
3

BAHAN DAN METODE
Bahan .....................................................................................................................
Metode ..................................................................................................................

4
4

HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data ......................................................................................................
Menduga Parameter pada Regresi Piecewise .........................................................
Pemeriksaan Asumsi Model ..................................................................................
Pengaruh Pencilan .................................................................................................
Perbandingan Model Hasil Regresi Piecewise dengan Regresi
Linear Sederhana ..................................................................................................

5
5
7
8
10

SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan ...............................................................................................................
Saran .....................................................................................................................

10
10

DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................................

10

LAMPIRAN ......................................................................................................................

12

vii

DAFTAR GAMBAR
Halaman
1

Fungsi pembobot tricube .......................................................................................

2

2

Plot ideal apabila tidak terdapat masalah kehomogenan ragam ............................

3

3

Plot apabila terdapat masalah ketidakhomogenan ragam......................................

3

4

Plot apabila sisaan tidak saling bebas ....................................................................

4

5

Plot antara kecepatan air dan debit air sungai Soos Creek ....................................

5

6

Plot garis dengan menggunakan pemulusan nonparametrik LOESS fit.................

6

7

Plot garis regresi linear sederhana .........................................................................

6

8

Plot garis regresi piecewise ...................................................................................

6

9

Plot peluang kenormalan sisaan model regresi sederhana ....................................

7

10

Plot sisaan dengan dugaan peubah respon model regresi sederhana .....................

7

11

Plot sisaan dengan dengan urutan sisaan model regresi sederhana .......................

7

12

Plot garis regresi linear sederhana ketiga titik amatan terjauh dihilangkan ...........

8

13

Plot garis regresi piecewise ketika ketiga titik amatan terjauh dihilangkan ...........

9

DAFTAR TABEL
Halaman
1

Nilai awal estimasi regresi piecewise .....................................................................

6

2

Nilai kuadrat tengah galat dan koefisien determinasi ............................................

10

3

Nilai kuadrat tengah galat dan koefisien determinasi ketika
tiga titik amatan terjauh dihilangkan ......................................................................

10

DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1

Diagram alur tahapan metode penelitian ................................................................

13

2

Hasil keluaran PROC NLIN ..................................................................................

14

3

Plot peluang kenormalan sisaan model regresi piecewise ......................................

15

4

Plot sisaan dengan dugaan peubah respon model regresi piecewise ....................

15

5

Plot sisaan dengan urutan sisaan model regresi piecewise .....................................

15

6

Deteksi pencilan dan amatan berpengaruh .............................................................

16

7

Plot pemeriksaan asumsi model regresi sederhana tanpa tiga amatan ...................

18

8

Plot peluang kenormalan sisaan model regresi piecewise tanpa tiga amatan .........

19

9

Plot sisaan dengan dugaan peubah respon model regresi piecewise
tanpa tiga amatan ...................................................................................................

19

Plot sisaan dengan urutan sisaan model regresi piecewise tanpa tiga amatan ........

19

10

1

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Kecepatan arus sungai merupakan salah
satu parameter hidrologi yang memegang
peranan penting dalam penelitian suatu
ekosistem badan perairan. Kecepatan arus
dapat digunakan untuk memperkirakan kapan
bahan pencemar akan mencapai lokasi
tertentu, apabila bagian hulu mengalami
pencemaran (Effendi 2003). Kecepatan arus
juga dapat digunakan untuk memperkirakan
kapan aliran air mencapai lokasi tertentu
ketika terjadi peningkatan debit air di hulu
sungai. Kecepatan aliran sungai dapat diduga
melalui debit air sungai.
Pada aliran sungai Soos Creek yang berada
di Negara bagian Washington, kecepatan arus
aliran sungai meningkat pesat dengan
meningkatnya debit, tetapi peningkatan
kecepatan arus air mengalami penurunan
ketika mendekati nilai tertentu. Hal tersebut
mengindikasikan bahwa kecepatan aliran air
dan debit air sungai Soos Creek memiliki
hubungan yang non-linear.
Ketika meneliti suatu hubungan antara
peubah respon (Y) dan peubah bebas (X),
mungkin saja terjadi hubungan nonlinear.
Model regresi sederhana tidak dapat
mengambarkan data yang memiliki hubungan
non-linear karena model regresi linear
sederhana mengabaikan perubahan trend.
Salah satu model regresi yang dapat
digunakan untuk mengatasi ketidaklinearan
hubungan antara peubah respon dan peubah
bebas adalah regresi
piecewise. Regresi
piecewise adalah salah satu bentuk regresi
yang dapat digunakan pada kondisi model
linear berganda (multiple linear model) untuk
memperoleh model yang sesuai dengan data
untuk rentang x yang berbeda (Jun Yang Xi
2009).
Regresi
piecewise
merupakan
gabungan dua atau lebih segmen garis (kurva)
regresi dimana segmen garis yang berdekatan
mempunyai koefisien regresi yang berbeda.
Sifat
tersegmen/terbagi
inilah
yang
memberikan fleksibelitas yang lebih baik
daripada model regresi linear sederhana. Sifat
ini memungkinkan model regresi piecewise
menyesuaikan diri secara efektif terhadap pola
dari data.
Titik pemisah yang menghubungkan antar
model
linear
disebut
titik
patahan
(breakpoint). Titik patahan ini mungkin saja
diketahui sebelum dilakukan analisis, tetapi
biasanya titik patahan ini tidak diketahui dan
harus diduga (Ryan & Port 2002). Dalam
kasus ini titik patahan merupakan titik dimana

terjadi penurunan pada
kecepatan arus aliran air.

nilai

perubahan

Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah
menerapkan analisis regresi piecewise dan
membandingkan hasil yang diperoleh dengan
hasil analisis regresi linear sederhana pada
data kecepatan aliran sungai dan debit air
sungai Soos Creek.

TINJAUAN PUSTAKA
Regresi Linear Sederhana
Analisis regresi merupakan alat statistika
yang dapat digunakan untuk menyelidiki
hubungan antara sebuah peubah respon (Y)
dengan satu atau lebih peubah bebas (X).
Dimana peubah bebas mempengaruhi peubah
respon. Struktur model regresi yang paling
sederhana adalah regresi linear sederhana.
Disini istilah sederhana menyiratkan sebuah
peubah respon dihubungkan dengan sebuah
peubah bebas saja. Model regresi linear
sederhana dapat dinyatakan sebagai berikut :

dengan
dan
adalah parameter regresi,
adalah galat/sisaan, Y adalah peubah respon,
dan x adalah peubah bebas (Myers 1989).
Koefisien determinasi (R2) merupakan
proporsi keragaman atau variasi total disekitar
nilai tengah ( ̅) yang dapat dijelaskan oleh
model regresi. Secara grafis mengukur jauhdekatnya titik pengamatan terhadap garis
regresi. Rentang nilai koefisien determinasi
adalah antara 0 (tidak ada keragaman y yang
dapat dijelaskan oleh x)
sampai 1
(100% keragaman y dapat dijelaskan oleh
keragaman x). Koefisien determinasi dapat
diperoleh melalui :
∑
∑

̂
̅

Regresi Piecewise
Regresi piecewise adalah suatu metode
regresi dimana peubah bebas disekat kedalam
interval dan suatu ruas garis terpisah yang
cocok untuk masing-masing interval. Regresi
piecewise bermanfaat untuk digunakan ketika
peubah bebas dikelompokkan kedalam
kelompok-kelompok
yang
berbeda
berdasarkan hubungan antara peubah bebas
dan respon. Batasan antar segmen dinamakan
titik patahan (breakpoint). Hubungan didalam
interval dalam regresi piecewise diperoleh

2

melalui regresi linear. Menurut Laird dan
Davidian dalam (Li Xing 2005) persamaan
regresi piecewise dapat dinyatakan sebagai
berikut :

0
dimana

=

jika x ≤ ck
jika x ≥ ck

dengan k =1,2,…,K-1
β1
adalah
parameter
yang
merepresentasikan kemiringan garis pada
∑
segmen
pertama,
dan
merepresentasikan kemiringan garis untuk
segmen ke-K .
Metode kuadrat terkecil diterapkan
terpisah terhadap masing-masing segmen
dengan setiap garis regresi dibuat sesuai
dengan data yang memungkinkan untuk
meminimumkan kuadrat tengah galat (KTG).
Selain jumlah kuadrat nilai titik patahan yang
optimum juga dapat dilihat dari koefisien
determinasi yang maksimum di setiap
segmen.
Regresi Piecewise dengan Dua Segmen
Persamaan regresi piecewise untuk satu
titik patahan merupakan persamaan regresi
piecewise yang paling sederhana. Persamaan
ini hanya menduga dua persamaan untuk dua
selang yang berbeda. Persamaan regresi
piecewise dapat dinyatakan sebagai berikut:
̂ = b01+ b11xi
̂ = b02+ b12xi

; xi ≤ c
; xi > c

dimana xi adalah peubah bebas, ̂ adalah
peubah respon, b0K dan b1K (K=1,2) adalah
intercep dan koefisien kemiringan garis
regresi untuk segmen ke-K, dan c adalah nilai
titik patahan.
Untuk fungsi regresi yang kontinu pada
titik patahan, dua persamaan dari ̂ harus
sama pada titik patahan (ketika xi = c) :
b01+ b11xi = b02+ b12xi
Persamaan diatas dapat juga ditulis sebagai :
b02 = b01 + c(b11 - b12)
Kemudian dengan mengganti b02 dengan
persamaan diatas diperoleh persamaan regresi
piecewise yang kontinu pada xi = c (Ryan &
Port 2002) :
̂ = b01+ b11xi
; xi ≤ c
̂ ={ b01 + c(b11 - b12)} + b12xi ; xi > c

Regresi Piecewise dengan Tiga Segmen
Regresi piecewise dengan tiga segmen
adalah pengembangan dari regresi piecewise
dua segmen dengan penambahan titik patahan,

persamaan regresi, dan parameter. Persamaan
regresi piecewise dengan kombinasi dua titik
patahan dan tiga segmen linear dapat
dinyatakan sebagai berikut :
̂ = b01 + b11xi
̂ = b02 + b12xi
̂ = b02 + b13xi

; xi ≤ c 1
; c 1 < x i ≤ c2
; xi > c

Untuk fungsi regresi yang kontinu pada
titik patahan persamaannya dapat dinyatakan
sebagai berikut (Ryan & Port 2002):
̂ = b01+ b11xi
; x i ≤ c1
̂ = {b01 + c1(b11 - b12)}
+ b12xi
; c 1 < xi ≤ c2
̂ = {b01+ c1(b11 – b12)
+ c2(b12 – b13)} + b13 xi ; xi > c2
Locally Weighted Scatterplot Smoothing
Locally Weighted Scatterplot Smoothing
(LOESS) yang akan digunakan pada
identifikasi awal penentuan parameter
piecewise merupakan pendekatan untuk
menaksir kurva dengan prosedur pemulusan.
Fungsi pembobot pada LOESS adalah
fungsi pembobot W didefinisikan sebagai
berikut :
i.
W(x) > 0 untuk |x| < 1
ii.
W(-x) = W(x)
iii.
W(x) adalah fungsi tidak naik untuk
x>0
iv.
W(x) = 0 untuk |x| > 1
dengan W
adalah pembobot
tricube:
; |x| < 1
0
; |x |≥ 1
Fungsi pembobot W dapat diilustrasikan
dengan Gambar 1.

Gambar 1 Fungsi pembobot tricube
Nilai awal f dapat ditentukan diantara 0
hingga 1. Untuk setiap i, menghitung hi
sebagai jarak dari xi ke r terdekat disekitar
xi. Oleh karena itu, hi adalah bilangan r
diantara | xi xj | terkecil dimana i j 1,
2,...n. Untuk k 1, 2,..., n , pembobot
wk(xi) dapat ditentukan dengan persamaan :

wk(xi) =

3

Prosedur pemulusan telah dibuat untuk
memperhalus data dengan persamaan :
̂ = g(xi) +

i

dengan g adalah fungsi penghalus dan i
merupakan peubah acak dengan rata-rata nol
dan varian 2 (Cleveland dan Devlin 1988).
Sedangkan ̂ adalah taksiran dari g(xi). Pada
proses pemulusan kurva, titik disekitar (xi,yi)
dapat digunakan dalam pembentukan ̂ .
Untuk fungsi pembobot W(x) nilainya
menurun setiap bertambahnya nilai x (positif
naik) dan nilai pembobot wk(xi) menurun
seperti meningkatnya jarak xk dari xi . Titik
yang dekat dengan xi berpengaruh besar dalam
pembentukan ̂ dan sebaliknya.

Metode Kuadrat Terkecil
Salah satu metode penduga parameter
dalam model regresi adalah metode kuadrat
terkecil (MKT). Prinsip dasar dari MKT
adalah meminimalkan jumlah kuadrat galat.
Galat adalah selisih antara data sebenarnya
dengan data dugaan. Jumlah kuadrat sisaan
dapat dinyatakan sebagai berikut (Myers
1989):
∑

dengan

terlihat pada Gambar 3 maka ragam sisaan
tidak homogen.

̂

data aktual pada pengamatan ke-i
data hasil pendugaan pada
pengamatan ke-i
Metode ini memerlukan beberapa asumsi
klasik yang harus dipenuhi oleh komponen
(galat), yaitu memenuhi asumsi kenormalan,
kehomogenan ragam, dan kebebasan sisaan
(tidak memiliki autokorelasi).
̂

Kehomogenan ragam sisaan
Asumsi kehomogenan ragam memiliki
peran yang sangat penting dalam pendugaan
parameter dengan metode kuadrat terkecil.
Ketidakhomogenan ragam mengakibatkan
beberapa pengamatan mengandung informasi
yang lebih, pengamatan tersebut seharusnya
mendapatkan bobot yang lebih besar
dibandingkan pengamatan yang lain. Hal
tersebut akan mengakibatkan presisi atau
kecermatan dari metode kuadrat terkecil
menjadi lebih kecil (Rawlings et al. 1998).
Kehomogenan ragam sisaan dapat
dideteksi secara eksplorasi dan uji formal.
Secara eksplorasi dapat dilihat dari plot
antara nilai sisaan dengan nilai dugaan. Jika
plot antara sisaan tidak memiliki pola
sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2
maka ragam sisaan homogen. Tetapi jika plot
antara sisaan menunjukkan suatu pola seperti

ŷ
Gambar 2 Plot ideal apabila tidak terdapat
masalah kehomogenan ragam

ŷ
Gambar 3 Plot apabila terdapat masalah
ketidakhomogenan ragam
Uji formal yang dapat digunakan untuk
mendeteksi kehomogenan ragam dapat
dilakukan dengan menggunakan uji White,
yaitu dengan meregresikan residual kuadrat
(ei2) dengan peubah bebas, peubah bebas
kuadrat dan perkalian peubah bebas. Misalnya
dalam model dengan dua peubah bebas bisa
dilakukan regresi berikut ini :
ei2 =

0+

+ 2x 2 +
x
x
+
vi
5 1 2
1x1

3x1

2

+

2
4 x2

+

Hipotesis yang di uji adalah
H0 : 0 = 1 = 2 … = k = 0 (ragam
sisaan homogen)
H1 : paling sedikit ada satu k dimana
k ≠ 0 (ragam sisaan tidak homogen)
Statistik uji yang digunakan :
nR2~ χ2 (k)
dengan :
n : jumlah data
R2 : koefisien determinasi dari model regresi
sisaan
k : banyaknya peubah penjelas
Sisaan homogen pada taraf nyata α jika nilai
nR2 < χ2 (k) pada tabel distribusi khi-kuadrat.
Kebebasan Sisaan
Sisaan saling bebas apabila antar sisaan
tidak saling berkorelasi atau korelasinya
hampir mendekati nol. Sisaan yang saling
berkorelasi mengakibatkan berkurangnya
presisi metode kuadrat terkecil (Rawlings et
al. 1998).

4

waktu

Gambar 4 Plot apabila sisaan tidak saling
bebas
Kebebasan sisaan dapat dideteksi secara
ekplorasi dan uji formal. Secara eksplorasi
dapat dilihat dari plot sisaan dengan urutan
sisaan tersebut. Apabila sisaan saling bebas,
maka plot tersebut tidak akan memiliki suatu
pola. Sebaliknya jika sisaan tidak saling bebas
maka plot tersebut akan memiliki suatu pola
seperti terlihat pada Gambar 4.
Uji formal untuk mendeteksi kebebasan
sisaan yaitu uji runtunan. Runtunan adalah
suatu barisan bagian yang terdiri atas satu atau
lebih lambang yang sama yang menyatakan
sifat tertentu data tersebut. Uji runtunan
membagi data menjadi dua penggolongan
yang tidak saling berpotongan. Misalkan
bahwa n1 adalah banyaknya lambang yang
lebih sedikit, dan n2 adalah banyaknya
lambang yang lebih banyak, maka ukuran
contoh n = n1 + n2. Hipotesis yang di uji
adalah
H0 : sisaan saling bebas
H1 : sisaan tidak saling bebas
Statistik ujinya adalah u yaitu jumlah
runtunan total.
Bila n1 dan n2 semakin besar, sebaran
penarikan
contoh
bagi
u
semakin
menghampiri sebaran normal dengan

µ dan 2 merupakan nilai tengah dan ragam
bagi sebaran u yang diskret. Dengan
demikian, bila n1 dan n2 keduanya lebih besar
dari 10 statistik uji yang digunakan adalah

Nilai z merupakan suatu simpangan normal,
n1 adalah jumlah amatan tipe satu, n2 jumlah
amatan tipe lainnya. Sisaan saling bebas pada
taraf nyata α jika nilai-p pada tabel uji
runtunan lebih besar dari taraf nyata α untuk
statistik uji u, n1, dan n2 (Draper & Smith
1981)

Kenormalan sisaan
Asumsi bahwa sisaan menyebar normal
tidak terlalu penting dalam pendugaan
parameter regresi dan pemisahan total
keragaman. Penduga dengan metode kuadrat
terkecil tetap merupakan penduga tak bias
terbaik apabila asumsi lain terpenuhi.
Kenormalan hanya diperlukan pada waktu
pengujian hipotesis dan penyusunan selang
kepercayaan bagi parameter (Rawlings,
Pantula dan Dickey 1998).
Kenormalan sisaan dapat dideteksi secara
eksplorasi dan uji formal. Secara eksplorasi
dapat dilihat dari plot peluang kenormalan
sisaan. Plot peluang kenormalan sisaan yang
tidak mengikuti garis lurus mengindikasikan
ketidaknormalan data sisaan.
Uji formal untuk mendeteksi kenormalan
sisaan yaitu uji Kolmogorov-Smirnov.
Hipotesis yang di uji :
H0 : F(x) = F0(x) untuk semua nilai x
(sisaan menyebar normal)
H1 : F(x) ≠ F0(x) untuk sekurangkurangnya sebuah nilai x (sisaan
tidak menyebar normal)
Statistik uji yang digunakan :
D = supx|S(x) – F0(x)|
dengan
S(x) : sebaran kumulatif contoh
F0(x) : sebaran kumulatif normal.
Sisaan menyebar normal pada taraf nyata
α jika nilai D < D(1-α,n) pada tabel kritis uji
Kolmogorov-Smirnov atau nilai-p lebih besar
daripada taraf nyata.
BAHAN DAN METODE
Bahan
Data yang digunakan dalam penelitian ini
merupakan data sekuder yang dikumpulkan
oleh United States Geological Survey untuk
sungai Soos Creek yang berada di Negara
bagian Washington. Data dapat
diakses
melalui http://www.seattlecentral.edu/qelp/set
s/041/041.html. Data yang diperoleh berupa
data kecepatan aliran sungai dan debit air
sungai Soos Creek. Peubah bebas dalam
penelitian ini adalah debit air dan kecepatan
aliran air sebagai peubah respon. Satuan yang
digunakan adalah cfs (cubic feet per second)
untuk debit dan ft/sec (feet per second) untuk
kecepatan.
Metode
Ada dua tahapan metode yang dilakukan
dalam penelitian ini, yaitu pendugaan
parameter dengan menggunakan model

5

2.

̂ =b0n+ b1nxi ; xi > cn-1.
d. Memperbarui nilai titik patahan
dengan memilih nilai breakpoint
disekitar nilai estimasi awal.
Kemudian memilih model dengan
nilai jumlah kuadrat galat (JKG)
terkecil.
e. Mengambil nilai dugaan parameter
b01, b11, b12,…., b1n, c1, c2,…, cn-1
dari persamaan regresi yang
dibentuk untuk dijadikan sebagai
estimasi awal nilai parameter
regresi piecewise.
Fitting Model
Nilai parameter model dari setiap
patahan dan nilai titik patahan yang
diperoleh dijadikan estimasi awal

parameter regresi piecewise dengan
menggunakan PROC NLIN.
3. Menentukan nilai kuadrat tengah galat
model regresi sederhana dan R2.
4. Uji asumsi model regresi piecewise.
5. Membandingkan model hasil regresi
piecewise dengan regesi linear dengan
menggunakan nilai kuadrat tengah galat
dan R2.
Diagram alur tahapan metode penelitian
ini dapat dilihat pada Lampiran 1.

HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data
Kecepatan arus aliran air meningkat pesat
dengan meningkatnya debit air tetapi
peningkatan kecepatan arus aliran air
mengalami penurunan ketika mendekati nilai
tertentu. Hubungan antara kecepatan aliran air
dan debit air sungai Soos Creek bisa dilihat
pada Gambar 5.
Selain itu dari Gambar 5 juga terlihat tiga
pengamatan yang nilai datanya jauh dari data
lainnya. Ketiga titik pengamatan tersebut
dapat memiliki pengaruh terhadap model
regresi linear yang dibentuk. Ketiga titik
pengamatan tersebut merupakan pengamatan
ketika debit air melimpah yang diduga sebagai
pencilan.
Kecepatan arus (ft/sec)

regresi linear sederhana dan pendugaan
parameter dengan menggunakan model
regresi piecewise. Model regresi linear
sederhana
digunakan
sebagai
model
pembanding bagi model regresi piecewise.
Tahapan pendugaan parameter dengan
menggunakan model regresi linear sederhana
adalah :
1. Menduga parameter pada regresi linear
sederhana.
2. Menentukan nilai kuadrat tengah galat
model regresi sederhana dan R2.
3. Uji asumsi model regresi linear
sederhana
Tahapan
pendugaan
parameter
menggunakan
model regresi piecewise
adalah:
1. Menentukan estimasi awal parameter
regresi piecewise (b01, b11, b12,…., b1n, c1,
c2,…, cn-1)
a. Membuat scatter plot untuk
identifikasi
awal
dengan
menggunakan
pemulusan
nonparametrik LOESS fit.
b. Menentukan estimasi awal jumlah
titik patahan dan nilai titik patahan
(c1, c2,…, cn).
Estimasi nilai dan jumlah titik
patahan dapat ditentukan dengan
melihat hasil scatter plot LOESS fit
dimana terjadi perubahan trend.
c. Menentukan persamaan regresi
disetiap patahan.
Parameter
model
regresi
disetiap patahan diduga dengan
menggunakan metode kuadrat
terkecil. Sehingga diperoleh :
̂ = b01+ b11xi ; xi ≤ c1
̂ = b02+ b12xi ; c1< xi ≤ c2

5
4
3
2
1
0
0

100 200 300 400 500 600 700
Debit air (cfs)

Gambar 5 Plot antara kecepatan air dan debit
air sungai Soos Creek
Menduga Parameter pada
Regresi Piecewise
Untuk dapat membentuk suatu model
regresi piecewise, diperlukan informasi
mengenai banyaknya titik patahan dan nilai
estimasi awal parameter yang akan digunakan.
Penentuan banyaknya titik patahan dan nilai
estimasi awal parameter dapat ditentukan
dengan membuat plot tebaran data seperti
pada Gambar 5. Agar lebih mudah untuk

6

melihat banyaknya titik patahan plot dibuat
dengan
menggunakan
pemulusan
nonparametrik LOESS fit yang dapat dilihat
pada Gambar 6. Gambar tersebut secara visual
menunjukkan hanya terjadi satu titik patahan.
Titik patahan ini berada diantara nilai 100 dan
150 cfs.

Gambar 6 Plot garis dengan menggunakan
pemulusan nonparametrik LOESS
fit
Pendugaan parameter regresi linear
sederhana juga dilakukan untuk data ini. Hal
ini dilakukan untuk menunjukkan bahwa
model regresi linear sederhana belum mampu
menggambarkan hubungan antara kecepatan
arus dan debit air sungai Soos Creek karena
nilai-nilai yang terletak pada debit yang
rendah tidak jatuh pada garis regresi linear
sederhana (Gambar 7). Model regresi linear
sederhana
digunakan
sebagai
model
pembanding bagi model regresi piecewise.
Model regresi yang dihasilkan adalah :
̂ = 1.528 + 0.005xi

Kecepatan arus (ft/sec)

dengan nilai R2 sebesar 64.06% dan nilai KTG
sebesar 0.329. Nilai R2 menunjukkan bahwa
keragaman kecepatan arus mampu dijelaskan
oleh keragaman debit air sebesar 64.06%. Hal
ini menunjukkan bahwa model regresi linear
sederhana tidak representatif untuk mewakili
data.
6
5
4
3
2
1
0

regresi piecewise diperlukan dalam prosedur
PROC NLIN untuk memberikan nilai atau
tempat memulai pengepasan model. Parameter
awal regresi piecewise ditentukan dengan
melakukan regresi linear sederhana di atas dan
di bawah titik patahan. Karena titik patahan
ini berada diantara nilai 100 dan 150 cfs akan
lebih baik jika penentuan parameter awal
dilakukan pada beberapa titik diantara 100
dan 150 cfs. Parameter regresi awal yang
digunakan adalah hasil regresi linear
sederhana yang memiliki jumlah kuadrat galat
terkecil.
Nilai
titik
patahan
yang
menghasilkan jumlah kuadrat galat terkecil
terjadi pada titik 117 cfs dengan nilai 0.192.
Nilai estimasi awal regresi piecewise dapat
dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1 Nilai awal estimasi regresi
piecewise
Nilai estimasi
Parameter
awal
b01
0.68
b11
0.018
c
117
b12
0.002
Nilai estimasi awal kemudian digunakan
untuk melakukan pengepasan model dengan
menggunakan PROC NLIN (Gambar 8).
Hasil keluaran PROC NLIN dapat dilihat pada
Lampiran 2. Dalam keluaran PROC NLIN
dibawah hasil iterasi terdapat catatan
“Convergence criterion met.” Hal ini
menunjukkan
model
yang
diperoleh
konvergen dan titik patahan terjadi pada nilai
123.6 cfs.

Gambar 8 Plot garis regresi piecewise

0

100 200 300 400 500 600 700
Debit air (cfs)

Gambar 7 Plot garis regresi linear sederhana
Nilai parameter model regresi piecewise
diperoleh dengan menggunakan PROC NLIN.
Penentuan parameter awal (b01, b11, b12 ,c)

Nilai dugaan parameter regresi piecewise
yang didapatkan adalah
b01
b11
c
b12

=
=
=
=

0.68
0.018
123.6
0.002

7

Sehingga persamaan regresi piecewise yang
terbentuk adalah :
; xi ≤ 123.6
; xi > 123.6

̂ = 0.680 + 0.018xi
̂ = 2.607 + 0.002xi

dengan nilai koefisien determinasi sebesar
90.23% dan nilai KTG sebesar 0.093. Nilai-p
hasil uji-F untuk model ini sebesar 0.000 lebih
kecil dari taraf nyata (α = 0.05) yang berarti
debit air berpengaruh secara nyata terhadap
kecepatan arus aliran sungai. Nilai R2
menunjukkan bahwa 90.23% keragaman
kecepatan arus mampu dijelaskan oleh
keragaman debit air. Hal ini menunjukkan
bahwa model cukup representatif untuk
mewakili data.

Plot sisaan yang dapat digunakan untuk
pemeriksaan asumsi kehomogenan ragam
adalah plot antara sisaan dengan dugaan
respon. Plot antara sisaan dengan dugaan
peubah
respon model
regresi linear
sederhana dapat dilihat pada Gambar 10. Plot
sisaan tersebut menunjukkan suatu pola,
sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan yang
dihasilkan tidak homogen. Hasil tersebut
didukung oleh hasil uji White. Uji White
menghasilkan nilai statistik sebesar 17.35.
Nilai tersebut lebih besar dibandingkan
dengan nilai χ20.05(2) sebesar 5.991.
1,0

0,5

0,0
Sisaan

Pemeriksaan Asumsi Model
Pemeriksaan asumsi dilakukan untuk
model regresi linear sederhana dan model
regresi piecewise. Pemeriksaan asumsi
dilakukan secara eksplorasi dan melakukan
uji formal terhadap sisaan dari model yang
telah dihasilkan. Pertama pemeriksaan asumsi
dilakukan terhadap model regresi linear
sederhana.
Pemeriksaan asumsi kenormalan secara
eksplorasi dapat dilihat dari plot peluang
kenormalan sisaan. Plot peluang kenormalan
sisaan yang tidak mengikuti garis lurus
mengindikasikan ketidaknormalan data sisaan
Plot peluang kenormalan sisaan model regresi
linear sederhana dapat dilihat pada Gambar 9.
Plot peluang kenormalan sisaan mengikuti
garis lurus sehingga dapat dikatakan bahwa
sisaan menyebar normal. Hasil tersebut
didukung oleh hasil uji Kolmogorov-Smirnov.
Uji Kolmogorov-Smirnov menghasilkan nilaip lebih besar dari taraf nyata (α = 0.05) yaitu
sebesar 0.062. Hal ini menunjukkan bahwa
sisaan menyebar normal.

-0,5

-1,0

-1,5
1,5

2,0

2,5

3,0
3,5
4,0
Dugaan Respon

4,5

5,0

5,5

Gambar 10 Plot sisaan dengan dugaan peubah
respon model regresi sederhana
Pemeriksaan asumsi kebebasan sisaan
secara eksplorasi dapat dilihat dari plot antara
sisaan dengan urutan sisaan model. Plot antara
sisaan dengan urutan sisaan model regresi
linear sederhana dapat dilihat pada Gambar
11. Plot sisaan model menunjukkan suatu
pola sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan
dari persamaan yang dihasilkan tidak saling
bebas. Hasil tersebut didukung oleh hasil uji
Runtunan. Uji Runtunan menghasilkan nilai-p
lebih kecil dari taraf nyata (α = 0.05). Kedua
uji tersebut menunjukkan bahwa sisaan tidak
homogen dan tidak saling bebas.

Normal Probability Plot

1,0

99

95

0,5

90
80

0,0
Sisaan

Percent

70
60
50
40

-0,5

30
20
10

-1,0

5

1

-1,5

-1,0

-0,5

0,0
Sisaan

0,5

1,0

Gambar 9 Plot peluang kenormalan sisaan
model regresi sederhana

-1,5
1

5

10

15

20
25
30
Urutan Sisaan

35

40

45

50

Gambar 11 Plot sisaan dengan dengan urutan
sisaan model regresi sederhana

8

Berdasarkan Gambar 5 terlihat tiga
pengamatan yang nilai datanya jauh dari data
lainnya yang diduga sebagai pencilan.
Pengamatan tersebut merupakan pengamatan
ke-11, 12, dan 26.
Pendeteksian pencilan dilakukan dengan
menggunakan nilai internal studenization (ri).
Pada Lampiran 6 terlihat bahwa terlihat dua
dari tiga pengamatan terjauh merupakan data
pencilan yaitu pada data ke-11 dan 12. Hal ini
dikarenakan nilai |ri| pada kedua data tersebut
lebih
dari
dua.
Sedangkan
dengan
menggunakan nilai leverage diketahui bahwa
tiga amatan terjauh merupakan amatan
berpengaruh. Hal ini terjadi karena nilai
laverage > 2p/n = 0.08.
Dalam kasus ini tiga amatan terjauh
mempengaruhi pengepasan model. Jika ketiga
titik amatan tersebut dihapus dan dilakukan
pengepasan model kembali maka akan
dihasilkan dugaan parameter yang berbeda.
Persamaan regresi linear sederhana jika ketiga
titik terjauh dihilangkan adalah :
̂ = 1.039 + 0.011xi

dengan nilai R2 sebesar 83.9% dan nilai KTG
sebesar 0.123. Nilai R2 menunjukkan bahwa
keragaman kecepatan arus mampu dijelaskan
oleh keragaman debit air sebesar 83.9%.
Terjadi perubahan koefisien kemiringan
ketika ketiga titik amatan terjauh dihilangkan.
Selain itu jika dilihat dari nilai koefisien
determinasi model regresi linear sederhana
mampu menerangkan keragaman dengan baik.
Tetapi regresi linear sederhana tetap belum
mampu menggambarkan hubungan antara
kecepatan arus dan debit air sungai Soos
Creek karena nilai-nilai yang pada kedua
ujung debit banyak terletak dibawah garis
regresi dan nilai-nilai yang berada ditengah
debit terletak diatas garis regresi (Gambar
12).
Kecepatan arus (ft/sec)

Untuk mengatasi pelanggaran asumsi
maka dilakukan transformasi. Model regresi
yang dihasilkan setelah transformasi adalah :
̂ = 4.40 - 18.2 xi-1/2
dengan nilai R2 sebesar 89,1% dan nilai KTG
sebesar 0.1. Nilai R2 menunjukkan bahwa
keragaman kecepatan arus mampu dijelaskan
oleh keragaman debit air sebesar 89.1%.
Selanjutnya
pemeriksaan
asumsi
dilakukan terhadap model regresi piecewise.
Pemeriksaan asumsi kenormalan secara
eksplorasi dapat dilihat dari plot peluang
kenormalan sisaan. Plot peluang kenormalan
sisaan model regresi piecewise dapat dilihat
pada Lampiran 3. Plot peluang kenormalan
sisaan model sebelum dan sesudah nilai titik
patahan mengikuti garis lurus sehingga dapat
dikatakan bahwa sisaannya normal. Hasil
tersebut didukung oleh hasil uji KolmogorovSmirnov. Nilai-p untuk model sebelum dan
sesudah nilai titik patahan memperoleh lebih
dari 0.05.
Plot sisaan yang dapat dipergunakan untuk
pemeriksaan asumsi kehomogenan ragam
adalah plot antara sisaan dengan dugaan
respon. Plot antara sisaan dengan dugaan
peubah respon model regresi piecewise dapat
dilihat pada Lampiran 4. Plot sisaan sebelum
dan sesudah nilai titik patahan tidak
menunjukkan suatu pola, sehingga dapat
dikatakan bahwa sisaan yang dihasilkan
homogen. Hasil tersebut didukung oleh hasil
uji White. Untuk model sebelum dan sesudah
titik patahan memperoleh nilai statistik uji
White 1.2 dan 3.72. Kedua nilai tersebut
lebih kecil dibandingkan dengan nilai χ20.05(2)
sebesar 5.991.
Pemeriksaan asumsi kebebasan sisaan
secara eksplorasi dapat dilihat dari plot antara
sisaan dengan urutan sisaan model. Plot antara
sisaan dengan urutan sisaan model regresi
piecewise dapat dilihat pada Lampiran 5. Plot
sisaan model sebelum dan sesudah nilai titik
patahan tidak menunjukkan suatu pola
sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan dari
persamaan yang dihasilkan saling bebas. Hasil
tersebut didukung oleh hasil uji Runtunan.
Nilai-p untuk model sebelum dan sesudah
nilai titik patahan lebih besar dari taraf nyata
(α = 0.05).

4
3
2
1
0
0

50

100

150

200

250

300

Debit air (cfs)

Pengaruh Pencilan
Penilaian adanya pencilan dan amatan
berpengaruh penting dalam suatu analisis.
Dan penting untuk mengetahui bagaimana
pencilan dan amatan berpengaruh ini
mempengaruhi
pengepasan
model.

Gambar 12 Plot garis regresi linear sederhana
ketiga titik amatan terjauh
dihilangkan
Pada regresi linear sederhana tanpa tiga
amatan juga dilakukan pemeriksaan asumsi.
Pemeriksaan asumsi dilakukan secara

9

eksplorasi dan melakukan uji formal terhadap
sisaan dari model yang telah dihasilkan.
Pemeriksaan asumsi kenormalan secara
eksplorasi dapat dilihat dari plot peluang
kenormalan sisaan. Plot peluang kenormalan
sisaan model regresi linear sederhana tanpa
tiga amatan dapat dilihat pada Lampiran 7.
Plot peluang kenormalan sisaan mengikuti
garis lurus sehingga dapat dikatakan bahwa
sisaannya normal. Hasil tersebut didukung
oleh hasil uji Kolmogorov-Smirnov. Uji
Kolmogorov-Smirnov menghasilkan nilai-p
lebih besar dari taraf nyata (α = 0.05) dengan
nilai lebih besar dari 0.15. Hal ini
menunjukkan bahwa sisaan menyebar normal.
Plot sisaan yang dapat dipergunakan untuk
pemeriksaan asumsi kehomogenan ragam
adalah plot antara sisaan dengan dugaan
respon. Plot antara sisaan dengan dugaan
peubah respon model regresi linear sederhana
tanpa tiga amatan dapat dilihat pada Lampiran
7. Plot sisaan tidak menunjukkan suatu pola,
sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan yang
dihasilkan homogen. Hasil tersebut didukung
oleh hasil uji White. Uji White menghasilkan
nilai statistik sebesar 4.23. Nilai tersebut
lebih kecil dibandingkan dengan nilai χ20.05(2)
sebesar 5.991.
Pemeriksaan asumsi kebebasan sisaan
secara eksplorasi dapat dilihat dari plot antara
sisaan dengan urutan sisaan model. Plot antara
sisaan dengan urutan sisaan model regresi
linear sederhana tanpa tiga amatan dapat
dilihat pada Lampiran 7. Plot sisaan model
menunjukkan suatu pola sehingga dapat
dikatakan bahwa sisaan dari persamaan yang
dihasilkan tidak saling bebas. Hasil tersebut
didukung oleh hasil uji Runtunan. Uji
Runtunan menghasilkan nilai-p lebih kecil
dari taraf nyata (α = 0.05).
Untuk mengatasi pelanggaran asumsi
maka dilakukan transformasi. Model regresi
yang dihasilkan setelah transformasi adalah :
̂ = 0.589 + 0.01xi

dengan nilai R2 sebesar 69.6% dan nilai KTG
sebesar 0.096. Nilai R2 menunjukkan bahwa
keragaman kecepatan arus mampu dijelaskan
oleh keragaman debit air sebesar 69.6%.
Persamaan regresi piecewise jika ketiga
titik terjauh tersebut dihilangkan adalah :
̂ = 0.562 + 0.021xi
̂ = 1.919 + 0.006xi

; xi ≤ 91.02
; xi > 91.02

Nilai titik patahan yang dihasilkan bergeser
dari titik 123.6 ke 91.02 (Gambar 13).

Gambar 13 Plot garis regresi piecewise ketika
ketiga titik amatan terjauh
dihilangkan
Perbedaan nilai koefisien kemiringan pada
model sebelum dan sesudah titik patahan
mengindikasikan bahwa tetap ada dua segmen
ketika ketiga titik amatan dihilangkan.
Hasil pemeriksaan asumsi menunjukkan
bahwa semua asumsi terpenuhi. Pemeriksaan
asumsi kenormalan secara eksplorasi dapat
dilihat dari plot peluang kenormalan sisaan.
Plot peluang kenormalan sisaan model regresi
piecewise tanpa tiga amatan dapat dilihat pada
Lampiran 8. Plot peluang kenormalan sisaan
model sebelum dan sesudah nilai titik patahan
mengikuti garis lurus sehingga dapat
dikatakan bahwa sisaannya normal. Hasil
tersebut didukung oleh hasil uji KolmogorovSmirnov. Nilai-p untuk model sebelum dan
sesudah nilai titik patahan memperoleh lebih
dari 0.05.
Plot sisaan yang dapat dipergunakan untuk
pemeriksaan asumsi kehomogenan ragam
adalah plot antara sisaan dengan dugaan
respon. Plot antara sisaan dengan dugaan
peubah respon model regresi piecewise tanpa
tiga amatan dapat dilihat pada Lampiran 9.
Plot sisaan sebelum dan sesudah nilai titik
patahan tidak menunjukkan suatu pola,
sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan yang
dihasilkan homogen. Hasil tersebut didukung
oleh hasil uji White. Untuk model sebelum
dan sesudah titik patahan memperoleh nilai
statistik uji White 1.17 dan 1.68. Kedua nilai
tersebut lebih kecil dibandingkan dengan nilai
χ20.05(2) sebesar 5.991.
Pemeriksaan asumsi kebebasan sisaan
secara eksplorasi dapat dilihat dari plot antara
sisaan dengan urutan sisaan model. Plot antara
sisaan dengan urutan sisaan model regresi
piecewise tanpa tiga amatan dapat dilihat pada
Lampiran 10. Plot sisaan model sebelum dan
sesudah nilai titik patahan tidak menunjukkan
suatu pola sehingga dapat dikatakan bahwa
sisaan dari persamaan yang dihasilkan saling
bebas. Hasil tersebut didukung oleh hasil uji
Runtunan. Nilai-p untuk model sebelum dan
sesudah nilai titik patahan lebih besar dari
taraf nyata (α = 0.05).

10

Perbandingan Model Regresi Piecewise
dengan Regesi Linear Sederhana
Perbandingan antara model regresi linear
dan regresi piecewise dapat dilihat pada Tabel
2. Nilai KTG model regresi piecewise lebih
kecil dibandingkan dengan nilai KTG regresi
linear. Dan nilai koefisien determinasi regresi
piecewise lebih besar dibandingkan nilai
koefisien determinasi regresi linear sederhana.
Koefisien determinasi yang lebih besar
menunjukkan bahwa regresi piecewise lebih
representatif terhadap data dan mampu
menjelaskan keragaman data lebih besar dari
keragaman yang dijelaskan oleh regresi linear
sederhana.
Hal ini menunjukkan model
regresi piecewise lebih baik dibandingkan
dengan model regresi linear sederhana.
Tabel 2 Nilai kuadrat tengah galat dan
koefisien determinasi
Model
KTG
R2
Regresi linear
0.1
89.1%
Regresi piecewise
0.093
90.23%
Model untuk kecepatan aliran air sungai
sebelum nilai debit air sebesar 123.6 cfs
adalah ̂ = 0.680+ 0.018xi. Sedangkan untuk
setelah 123.6 cfs adalah ̂ = 2.607 + 0.002xi.
Hasil analisis regresi
piecewise ini
menunjukkan bahwa kecepatan arus aliran
sungai meningkat pesat dengan meningkatnya
debit air sampai pada titik 123.6 cfs.
Selanjutnya pada saat nilai debit air melebihi
123.6 cfs perubahan kecepatan arus aliran
sungai mengalami penurunan.
Ketika tiga amatan berpengaruh tidak
diikutsertakan nilai KTG yang dihasilkan
regresi piecewise lebih kecil dibandingkan
nilai KTG regresi linear sederhana. Dan nilai
koefisien determinasi regresi piecewise lebih
besar dibandingkan nilai koefisien determinasi
regresi linear sederhana (Tabel 3). Hal ini
menunjukkan bahwa model regresi piecewise
tetap merupakan model yang lebih sesuai
untuk digunakan ketika ketiga titik amatan
dihilangkan.
Tabel 3 Nilai kuadrat tengah galat dan
koefisien determinasi ketika tiga
amatan terjauh dihilangkan
Model
KTG
R2
Regresi linear
0.096
69.6%
Regresi piecewise
0.079
90.13%
.
Ketiga
titik
pengamatan
terjauh
merupakan pengamatan ketika debit air
melimpah. Debit air yang melimpah

merupakan kejadian yang ekstrem. Ketiga
titik amatan terjauh memiliki pengaruh
terhadap model yang dibentuk. Ketika ketiga
titik amatan terjauh tidak diikutsertakan dalam
analisis regresi piecewise masih terdapat
perbedaan nilai koefisien kemiringan pada
model sebelum dan sesudah titik patahan. Hal
ini menunjukkan bahwa untuk kondisi normal
tetap ada dua segmen. Dan belum ada alasan
bahwa ketiga titik terjauh tersebut tidak valid.
Oleh karena itu model dengan semua data
yang tercantum adalah model yang lebih baik.

SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Model persamaan regresi yang diperoleh
dengan mengunakan regresi piecewise adalah
sebagai berikut :
̂ = 0.680 + 0.018xi
; xi ≤ 123.6
̂ = 2.607 + 0.002xi
; xi > 123.6
dengan nilai titik patahan yang terjadi pada
titik 123.6 cfs. Model regresi piecewise
mampu menjelaskan keragaman data yang
lebih besar dari keragaman yang bisa
dijelaskan oleh model regresi linear sederhana
karena
memberikan
nilai
koefisien
determinasi yang lebih besar.
Saran
Pada penelitian selanjutnya dapat dicoba
menggunakan model-model hasil transformasi
yang lain atau menggunakan model regresi
nonlinear seperti model logarithma.

DAFTAR PUSTAKA
Brusilovskiy E. The Piecewise Regression
Model as a Response Modeling Tool.
www.nesug.org/proceedings/nesug04/an/a
n09.pdf. [30 Maret 2010]
Cleveland WS, Devlin SJ. 1988. Locally
Weighted Regression : An Approach to
Regression Analysis by Local Fitting.
Journal of The American Statistical
Association 83 : 596-610.
Drapper N, Smith H. 1981. Analisis regresi
Terapan Edisi Kedua. Sumantri B,
penerjemah.
Jakarta:
Gramedia.
Terjemahan dari : Applied Regression
Analysis.
Effendi, H. 2003. Telaah Kualitas Air Bagi
Pengelolaan
Sumber
Daya
dan
Lingkungan
Perairan.
Yogyakarta:
Kanisius Press.

11

Mahir RA, Wan-Rozita WD, Khairiah J,
Ismail BJ.2009. Fitting a nonlinear
regression model to gauge heavy metal
uptake in spinach (Amaranthus hybridus
L.). Jurnal American-Eurasian J. Agric. &
Environ. Sci. 5 (2): 236-243.
Myers RH.1989. Classical and Modern
Regression with Application Second
Edition. Boston : PWS-KENT Publishing
Company.
Rawlings JO, Pantula SG, Dickey DA. 1998.
Applied Regression Analysis New York :
Springer-Verlag.
Ryan SE, Porth LS. 2002. Defining phases of
bedload
transport using
piecewise

regression. Earth Surface Processesand
Landforms 27: 971-990.
Xi JY. 2009. Piecewise Regression: A Tool
for Understanding The Relationship
between the Attribute-Level Performance
and
Customer
Satisfaction.
www.im.cyu.edu.tw/2009_IM_Cenference
/2010-01-26/A/a34.pdf. [30 Maret 2010]
Xing L. 2005. Hierachical Segmented
Regression Models with Application to A
Wood Density Study. [tesis]. Spring:
Department of Statisticsand Actuarial
Science, Simon Fraser University.

12

LAMPIRAN

13

Lampiran 1 Diagram alur tahapan metode penelitian

Menduga parameter
regresi sederhana

Membuat Scatter Plot dengan
menggunakan pemulusan
nonparametrik seperti LOESS fit.

Menentukan nilai
kuadrat tengah galat
dan R2

Menentukan estimasi awal nilai
titik patahan (c1, c2,…, cn) dan
jumlah titik patahan.

Uji asumsi model
regresi sederhana

Menentukan model persamaan
regresi disetiap patahan.
Menentukan nilai
kuadrat tengah galat

Nilai KTG
terkecil

Ya
Menentukan nilai dugaan
parameter (α, b1, b2,…., bn, c1,
c2,…, cn-1 ) sebagai estimasi awal
nilai parameter regresi piecewise

Menentukan nilai
kuadrat tengah galat
dan R2
Uji asumsi regresi
piecewise

Membandingkan nilai
kuadrat tengah galat dan R2

Tidak

14

Lampiran 2 Hasil keluaran PROC NLIN
Iterasi

a1

b1

c

0
1
2

0.6801
0.6801
0.6801

0.0179
0.0179
0.0179

117.0
123.6
123.6

b2
0.00231
0.00231
0.00231

Sum of
Squares
4.5115
4.2980
4.2980

NOTE: Convergence criterion met.

Source
Model
Error
Corrected Total

Parameter
a1
b1
c
b2

DF
3
46
49

Estimate
0.6801
0.0179
123.6
0.00231

Sum of
Squares
39.7194
4.2980
44.0174

Approx
Std Error
0.1182
0.00204
11.5517
0.000441

Mean
Square
13.2398
0.0934

F Value
147.70

Approx
Pr > F
< 0.0001

Approximate 95% Confidence Limits
0.4422
0.0138
100.3
0.00142

0.9179
0.0220
146.8
0.00320

15

Lampiran 3 Plot peluang kenormalan sisaan model regresi piecewise
Data Arus Sungai Soos Creek

Data Arus Sungai Soos Creek
Setelah Titik Patahan

99

99

95

95

90

90

80

80

70

70

Percent

Percent

Sebelum Titik Patahan

60
50
40
30

60
50
40
30

20

20

10

10

5

5

1

1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0
Sisaan

0,2

0,4

0,6

0,8

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0
Sisaan

0,2

0,4

0,6

0,8

Lampiran 4 Plot sisaan dengan dugaan peubah respon model regresi piecewise
Data Arus Sungai Soos Creek

Data Arus Sungai Soos Creek

Sebelum Titik Patahan

Setelah Titik Patahan
0,75

0,10

0,50

0,05

Sisaan

Sisaan

0,25
0,00

0,00

-0,05
-0,25
-0,10

-0,50
-7,2

-7,0

-6,8

-6,6
-6,4
Dugaan Respon

-6,2

-6,0

3,0

3,2

3,4
3,6
Dugaan Respon

3,8

4,0

4,2

Lampiran 5 Plot sisaan dengan urutan sisaan model regresi piecewise
Data Arus Sungai Soos Creek

Data Arus Sungai Soos Creek

Sebelum T