Beberapa Penerapan
9. Beberapa Penerapan
Berdasarkan sifat- sifat fungsi invers, dapat dicari fungsi f jika fungsi g dan g◦f atau f◦g diketahui
Contoh 1:
Fungsi f dan g terdefinisi pada R, dan diketahui pula g(x) = x + 3 Tentukan f(x) jika diketahui berikut ini!
a. (g◦f)(x) = 3x 5
Jawab:
a. Langkah pertama dicari g -1 Misalkan g(x) = x + 3 = y x = y 3, sehingga g -1 (x) = x 3
f(x) = (g -1 ◦(g◦f))(x) = g (3x 5) = (3x 5) 3 = 3x 8
2 b. 2 f(x) = ((f◦g)◦g )(x) = (f◦g)(x 3) = (x 3) + 6(x 3) = x 9
Contoh 2:
Tentukan fungsi f pada R sedemikian hingga:
x 2 x 3 Jawab: Misalkan:
1 1 y x
Dengan demikian f(y) =
x Jadi f(x) =
Latihan: Kerjakan soal-soal di bawah ini tanpa terlebih dahulu melihat kunci jawab yang penulis sertakan di bagian akhir dari modul ini!
1. Diketahui A = {a, b, c} dan B = {p, q, r}. Apakah relasi-relasi berikut ini merupakan fungsi dari A ke dalam B?
a. R 1 = {(a,q), (c,p)} b. R 2 = {(a,q), (b,r), (c,p)} c. R 3 = {(a,p), (b,r), (c,p)}
2. Gunakan sebuah rumus untuk mendefinisikan fungsi-fungsi
a. Untuk tiap-tiap bilangan real f 1 menetapkan dengan pangkat tiganya! b. Untuk tiap-tiap bilangan real f 2 menetapkan dengan bilangan 3
c. Untuk tiap-tiap bilangan real positif, f 3 menetapkan kuadratnya, sedangkan bilangan real yang lain f 3 menetapkannya dengan bilangan 5.
3. Misalkan f(x) = x 2 dengan domain { x | 2 x 8, x R} tentukanlah :
a. f(4) b. f(3) c. f(t 3), dan tentukan nilai t agar masih tetap pada domainnya.
4. Diketahui fungsi f : R R yang didefinisikan dengan rumus : 1 jika x rasional
f(x) = 0 jika x irasional
a. Tulis kalimat terbuka yang menentukan f
b. Tentukan f( 1 2 ) 1 , f(3,141414…}, f(3), f()
5. Diketahui fungsi f : R R yang ditentukan oleh rumus :
3 x 1 untuk x 3
f(x) =
2 x 2 untuk - 2 x 3
2x 3 untuk x - 2
maka tentukanlah : a. f(2)
b. f(4)
c. f(1)
d. f(3)
6. Misalkan A = {a, b, c} dan B = {x,y} Berapa banyak fungsi berlaianan yang dapat didefinisikan dari A ke dalam B? 7. Misalkan A = { a, b, c, d} dan suatu fungsi f dari A ke dalam A, didefinisikan oleh f(a)=a, f(b) = c, f(c) = a dan f(d) = a
Tentukanlah daerah hasil dari fungsi tersebut.
8. Jika B = { 2, 1, 0, 1, 2} dan suatu fungsi f : B 2 R didefinisikan oleh rumus g ( x ) x 1
Carilah daerah hasil dari g ! 9. Tiap-tiap rumus di bawah ini mendefinisikan sebuah fungsi dari R ke dalam R. Tentukan range dari masing-masing fungsi di bawah ini !
a. f(x) = 2x + 3 2 d. f(x) = x +1
b. f(x) = x 3
2 e. f(x) = sin x
c. f(x) = x 10. Misalkan A = { a, b, c, d, e } dan B himpunan huruf-huruf dalam alfabet. Misalkan f, g, h dari A ke dalam B didefinisikan oleh : a. f(a) = r; f(b) = c; f(c) = s; f(d) = t; f(e) = e b. g(a) = a; g(b) = c; g(c) = e; g(d) = r; g(e) = e c. h(a) = z; h(b) = y; h(c) = x; h(d) = y; h(e) = z
Nyatakanlah apakah tiap-tiap fungsi di atas injektif atau bukan? 11. Nyatakanlah apakah tiap-tiap fungsi berikut ini satu –satu atau bukan !
a. Untuk tiap-tiap penduduk bumi, di tetapkan dengan bilangan yang berkaitan dengan usianya. b. untuk tiap-tiap negara di dunia ini, ditetapkan dengan bilangan yang menyatakan jumlah penduduknya.
c. Untuk tiap-tiap buku yang ditulis oleh seorang pengarang tunggal, ditatapkan dengan nama pengarangnya. d. Untuk tiap –tiap negara di bumi ini yang mempunyai perdana menteri, ditetapkan dengan nama perdana menterinya.
12. Jika K = [ 1, 1] = { x | 1 x 1, x R }; L = [ 1, 3] dan M = [ 3, 1], dan misalkan fungsi f 1 :KR,
f 2 : L R, dan f 3 = M R sedemikian hingga masing – masing fungsi didefinisikan oleh aturan untuk tiap – tiap bilangan menetapkan kuadratnya. Yang mana dari dari fungsi – fungsi in satu – satu ? 13. Dapatkah suatu fungsi konstan itu injektif ?
14. Yang manakah fungsi-fungsi dari himpunan A = { a, b, c } ke himpunan B = { x, y } ini satu – satu ?
15. Misalkan fungsi f : A B. Carilah f(A) yaitu daerah hasil dari f, jika f suatu fungsi yang surjektif ? 16. Andaikan A = [1, 1] dan misalkan fungsi 2 3 – fungsi f, g dan h dari A ke dalam A di definisikan oleh : (a) f(x) = x
(b) g(x) = x (c) h(x) = sin x
Manakah dari fungsi – fungsi ini yang surjektif ?
17. Mungkinkah suatu fungsi konstanta itu menjadi fungsi yang surjektif ? 18. Manakah fungsi dari himpunan A = { a, b, c } ke dalam himpunan B = { x, y} yang surjektif. 19. Jika A = [ 1, 1] maka tentukan yang manakah fungsi – fungsi f : A R di bawah ini yang bijektif, jika f didefinisikan dengan :
a. f(x) = x 3 3 d. f(x) = x
b. f(x) = 2x + 1 4
2 e. f(x) = x
c. f(x) = x 20. Jelaskan fungsi – fungsi di bawah ini apakah injektif, surjektif dan bahkan bijektif a. Masing – masing orang di bumi dikaitkan dengan bilangan yang menyatakan umurnya. b. Masing – masing negara di bumi dikaitkan dengan populasi warganya. c. Buku – buku dengan pengarang tunggal dikaitkan dengan pengarangnya. d. Masing – masing negara di dunia dikaitkan dengan kepala negaranya. e. Masing - masing negara di dunia dikaitkan dengan kepala pemerintahannya.
22. Diketahui himpunan A = { a, b, c }; B = { x, y, z } dan C = { r, s, t } fungsi f : A B dan
g : B C yang didefinisikan dengan f = {(a,y),(b,x),(c,y)} dan g = {(x,s),(y,t),(z,r)} tentukanlah :
a. fungsi komposisi (gof) : A C b. range dari (gof)
23. Suatu fungsi f dan g di dalam himpunan A = { 1, 2, 3, 4, 5 } yang masing-masing di definisikan sebagai berikut
f(1) = 3, f(2) = 5, f(3) = 3, f(4) = 1 dan f(5) = 2 g(1) = 4, g(2) = 1, g(3) = 1, g(4) = 2 dan g(5) = 3
Tentukanlah fungsi komposisi fog dan gof
24. Fungsi – fungsi f dan g di dalam himpunan bilangan real yang didefinisikan sebagai berikut : f(x) = 2x + 1, g(x) = x 2 2. Tentukan rumus-rumus fungsi (fog) dan (gof)
25. Fungsi 2 – fungsi f dan g di dalam himpunan bilangan real yang didefinisikan sebagai f(x) = x + 2x 3dan g(x) = 3x 4 maka tentukanlah :
a. (gof)(2) dan (fog)(2) b. (gof)(x) dan (fog)(x)
26. Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan f sebuah fungsi dalam A yang didefinisikan sebagai berikut: f = {(1,4),(2,1),(3,4),(4,2)(5,4)}.
a. f 1 (2) b. f (3) c. f (4) d. f ({1,2}) e. f ({2,3,4})
27. Diketahui A = { 1,2, 3, 4, 5} dan fungsi f, g dan h di dalam A yang masing-masing didefinisikan sebagai berikut :
a. f = {(1,2),(2,3),(3,2),(4,5),(5,1)} b. g = {(1,3),(2,2),(3,1),(4,4),(5,4)} c. h = {(1,2),(2,4),(3,3),(4,5),(5,1)}
Jika mungkin tentukan fungsi fungsi inversnya.
28. Diketahui fungsi – fungsi di dalam A = [ 1, 1] masing – masing didefinisikan
sebagaimana di bawah ini. Manakah fungsi-fungsi berikut yang memiliki fungsi invers ? 2
5 e. f = sin( )
3 c. f (x) = x
x 2 29. Ambillah A = R – {2} dan B = R {1}, dan misalkan f : A B didefinisikan oleh f ( x )
Maka apakah f adalah fungsi bijektif ?. Tentukan rumus yang mendefinisikan f 1 ?
30. Fungsi f dan g pada bilangan real didefinisikan dengan f ( x )
dan g ( x ) 1
Tentukan: -1 a. f dan g
b. (g◦f) dan (f◦g)
c. Tentukan dae rah asal dan hasil dari f, g, f◦g dan g◦f