1
NILAI DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL ATAS ALJABAR MAX-PLUS
Dwi Suci Maharani
1
dan Suryoto
2 1, 2
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Jln. Prof. H. Soedarto, S.H., Tembalang, Semarang
Abstract. An interval matrix A
A A,
= with given and is the set of all matrices such that .
Eigenvalue and eigenvector of ∈
A A
is called possible eigenvalue and eigenvector of an interval
matrix A. With the definitions eigenvalue and interval matrix over max-plus algebra, can be developed a algorithm “possible eigenvector” to test whether a given vector x is a possible
eigenvector of that interval matrix. Whereas universal eigenvalue and eigenvector of an matrix is the eigenvalue and eigenvector of each
∈ A
A . Universal eigenvector with can be found by solving two-
sided systems of linear equations over max-plus algebra.
Keywords : Interval matrices, max-plus algebra, possible eigenvector, universal eigenvector.
1. PENDAHULUAN
Aljabar max-plus yang dinotasikan dengan
, ,
max
⊗ ⊕
=
ε
R R
merupakan salah satu struktur dalam aljabar yaitu semifield
komutatif idempoten [1].
ε
R merupakan himpunan bilangan riil R dengan
−∞ =
ε
, sedangkan operasi
⊗ ⊕ dan berturut-turut
menyatakan maksimal dan penjumlahan normal bilangan riil, yang didefinisikan
sebagai berikut [5]:
ε
R b
a ∈
∀ , }
, max{ b
a b
a =
⊕ b
a b
a +
= ⊗
Suatu sistem persamaan
{ }
, ,
, max
1
2 2
1 1
k x
a k
x a
k x
a k
x
n in
i i
i
+ +
+ =
+ L
L L
, 2
, 1
, ;
, ,
2 ,
1 =
= k
n i
;
ε
R a
k x
ij i
∈ ,
dalam aljabar max-plus dapat dinotasikan dengan
1
2 2
1 1
k x
a k
x a
k x
a k
x
n in
i i
i
⊗ ⊕
⊕ ⊗
⊕ ⊗
= +
L L
, 2
, 1
, ;
1
= ⊗
=
⊕
=
k k
x a
j ij
n j
yang akhirnya dapat digabungkan secara kompak dengan penulisan
1 k
x A
k x
⊗ =
+ di mana
n n
nn n
n n
n n
n
R a
a a
a a
a a
a a
A R
k x
k x
k x
k x
×
∈ ⎟⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ =
∈ ⎟⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ =
max 2
1 2
22 21
1 12
11 max
2 1
, L
M O
M M
L L
M
Suatu skalar
ε
λ
R ∈
dan vektor
n
R x
max
∈ ≠
ε berturut-turut dinamakan
nilai eigen dan vektor eigen matriks
n n
R A
×
∈
max
jika x
x A
⊗ =
⊗
λ
. Jika A adalah matriks dari digraph
A G
yang terhubung kuat, maka A mempunyai nilai
eigen yang tunggal A
λ yaitu
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
= ;
max A
G dari
cycle adalah
w w
A ρ
ρ ρ
λ
Di mana untuk cycle
{ }
k
i i
i ,
, ,
2 1
L =
ρ bobotnya
1 3
2 2
1
i i
i i
i i
k
a a
a w
⊗ ⊗
⊗ =
L ρ
dan panjang lintasannya k
l =
ρ [1].
Selanjutnya, jika setiap entri matriks digandakan dengan
A λ
− , maka
diperoleh suatu matriks B dengan . Sehingga, terdapat matriks
n
B B
B B
⊕ ⊕
⊕ =
Γ ...
2
yang mempunyai beberapa entri diagonal utamanya sama
dengan 0. Kolom-kolom yang memuat entri tersebut disebut vektor eigen-vektor
eigen fundamental dari matriks B dan A
[2]. Selanjutnya, semua vektor eigen matriks B dan dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier atas aljabar max-plus dari himpunan m vektor eigen fundamental
n m
yang diperoleh. Bila matriks A diatas adalah
matriks interval A
A A,
= dengan
n n
R A
A
×
∈
max
, dan
A A
≤ yang berarti setiap entri-entri yang bersesuaian berlaku
ij ij
a a
≤ . Dengan mengasumsikan bahwa
digraph dari semua matriks ∈
A A
adalah terhubung kuat dengan entri-entrinya
berhingga, dan oleh kerenanya masing- masing
∈ A
A mempunyai nilai eigen yang
tunggal A
λ , berikut akan dibahas
mengenai nilai dan vektor eigen yang mungkin maupun nilai dan vektor eigen
universal dari matriks interval A atas aljabar max-plus.
2. MATRIKS INTERVAL ATAS
