8
2.2 Aljabar Boolean Dua-Nilai
Aljabar Boolean yang terkenal dan memiliki terapan yang luas adalah aljabar Boolean dua-nilai two-valued Boolean algebra. Aljabar Boolean dua-nilai
didefinisikan pada sebuah himpunan B dengan dua buah elemen 0 dan 1 sering dinamakan bit – singkatan dari binary digit, yaitu B = {0, 1}, operator biner, + dan .
operator uner, ‘. Kaidah untuk operator biner dan operator uner ditunjukkan pada Tabel 2.1, 2.2, dan 2.3 di bawah ini.
Tabel 2.1 Tabel kaidah operasi . a
b a . b
1 1
1 1
1 Tabel 2.2 Tabel kaidah operasi +
a b
a + b
1 1
1 1
1 1
1
Tabel 2.3 Tabel kaidah operasi ‘ a
a’
9
1 1
Kita harus memperhatikan bahwa keempat aksioma di dalam definisi 2.1 terpenuhi pada himpunan B = {0, 1} dengan dua operator biner dan satu operator uner
yang didefinisikan di atas. 1.
Identitas : jelas berlaku karena tabel dapat kita lihat bahwa : i
0 + 1 = 1 + 0 = 1 ii
1 . 0 = 0 . 1 = 0 yang memenuhi elemen identitas 0 dan 1 seperti yang didefinisikan pada
postulat Huntington. 2.
Komutatif : jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner. 3.
Distributif : i
a . b + c = a . b + a . c dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas, dengan membentuk tabel kebenaran untuk semua nilai
yang mungkin dari a, b, dan c Tabel 7.4. Oleh karena nilai – nilai pada kolom a . b + c sama dengan nilai – nilai pada kolom a . b + a . c,
maka kesamaan a . b + c = a . b + a . c adalah benar. ii
Hukum distributif a + b . c = a + b . a + c dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti i.
Tabel 2.4 Tabel kebenaran a . b + c = a . b + a . c
10
a b
c b + c
a . b + c a . b
a . c a . b + a . c
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
4. Komplemen : jelas berlaku karena Tabel 2.4 memperlihatkan bahwa :
i a + a’ = 1, karena 0 + 0’ = 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’ = 1 + 0 = 1
ii a . a = 0, karena 0 . 0’ = 0 . 1 dan 1 . 1’ = 1 . 0 = 0
Karena keempat aksioma terpenuhi, maka terbukti bahwa B = {0 , 1} bersama – sama dengan operator biner + dan ., operator komplemen ‘ merupakan aljabar
Boolean. Untuk selanjutnya, jika disebut aljabar Boolean, maka aljabar Boolean yang dimaksudkan di sini adalah aljabar Boolean dua-nilai.
2.3 Ekspresi Boolean
Kategori