Transformasi Sumbu modul mekanika teknik iv bab 5email

e- m ai l: s w id od o un y. ac .id 54                                                     − − − − − − − − =                     j j j i i i j j j i i i v u v u L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L AE L AE L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L AE L AE m g f m g f θ θ 4 6 2 6 6 12 6 12 2 6 4 6 6 12 6 12 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 5.2 sehingga diperoleh matrix kekakuan elemen lokal sebagai berikut : [ ]                                 − − − − − − − − = L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L AE L AE L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L AE L AE k i 4 6 2 6 6 12 6 12 2 6 4 6 6 12 6 12 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 5.3

5.2. Transformasi Sumbu

Dalam analisis struktur yang dilakukan pada kebanyakan kasus, perlu dilakukan penyesuaian antara matrix kekakuan elemen struktur lokal yang mengacu sumbu lokal secara individual ke dalam matrix kekakuan elemen struktur global mengacu pada sistem struktur global yang dianut semua elemen struktur. Penyesuaian tersebut dapat dilakukan dengan memandang titik nodal awal i dan nodal akhir j dalam bidang X-Y global dari elemen mengalami perpindahan ke nodal i’ dan j’ dalam bidang x-y lokal, sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 5.3. e- m ai l: s w id od o un y. ac .id 55 Gambar 5.3. Transformasi Sumbu Kartesian Berdasarkan Gambar 5.3 ditunjukkan perputaran sumbu Kartesian dari sumbu global X-Y menuju sumbu lokal x-y dengan kemiringan sudut α , sehingga dapat diperoleh Persamaan Transformasi Sumbu yang menunjukkan perubahan posisi suatu titik nodal dalam bentuk berikut : α α sin . cos . X Y x + = 5.4.a. α α cos . sin . Y X y + − = 5.4.b. Z z θ θ = 5.4.c. Persamaan di atas jika diubah dalam bentuk matrix, dapat dinyatakan sebagai berikut :                     − =           Z z Y X y x θ α α α α θ 1 cos sin sin cos 5.5 Analog dengan cara di atas, transformasi koordinat untuk suatu elemen struktur yang dibatasi oleh dua buah titk nodal i dan j dapat ditunjukkan dengan persamaan berikut : α α Sin Y Cos X x i i i . . + = α α Cos Y Sin X y i i i . . + − = Zi zi θ θ = y O y Y x X X x Y e- m ai l: s w id od o un y. ac .id 56 α α Sin Y Cos X xj j j . . + = α α Cos Y Sin X y j j j . . + − = Zj zj θ θ = 5.6. Atau dalam bentuk matrix dapat ditulis sebagai berikut :                                         − − =                     Zj j j Zi i i Zj j j zi i i Y X Y X y x y x θ θ α α α α α α α α θ θ 1 cos sin sin cos 1 cos sin sin cos 5.7 sehingga diperoleh Matrix Transformasi [T i ], untuk elemen portal adalah : [ ]                     − − = 1 cos sin sin cos 1 cos sin sin cos α α α α α α α α i T 5.8 selanjutnya Matrix Kekakuan Elemen Global dapat disusun dengan persamaan berikut : [ ] i K = [ ] [ ][ ] i i T i T k T 5.9 di mana; [ ] i K : matrix kekakuan elemen dalam sistem koordinat global. [ ] i T : matrix transformasi elemen [ ] i k : matrix kekakuan elemen dalam sistem koordinat lokal. atau; e- m ai l: s w id od o un y. ac .id 57 [ ] X L E K i =                                 − +       − + −       + −       − − + −       − −       + − −       − + I C L I C L I AS S L I CS L I A S L I AC I C L I S L I I C L I C L I AS CS L I A C L I C L I AS S L I CS L I A S L I AC S L I CS L I A S L I AC 4 6 12 6 12 12 2 6 6 4 6 12 12 6 12 6 12 12 6 12 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5.10 di mana; s : sin α c : cos α

5.3. Contoh Penerapan