Matematika SMP 002

BAB I
BILANGAN BULAT DAN PECAHAN
I.

OPERASI BILANGAN BULAT
A. Penjumlahan dan Pengurangan
 Sifat Komutatif (Pertukaran)
a+b=b+a
Misalnya:
1. 87 + 76 = 76 + 87
2. 214 + 428 = 428 + 214
3. 5 + 78 = 78 + 5
 Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
(a + b) + c = a + (b + c)
Misalnya:
1. 7 + (8 + 5) = (7 + 8) + 5
2. (3 x 2) x 7 = 3 x (2 x 7)
 Sifat identitas
a+0=0+a=a
Misalnya:
4+0=0+4=4

B. Perkalian
 Sifat Komutatif (Pertukaran)
axb=bxa
Misalnya:
3x4=4x3
 Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
(a x b) x c = a x (b x c)
Misalnya:
(2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4)
 Sifat Identitas
ax1=1xa=a
Misalnya:
5x1=1x5=5
 Sifat Distributif (Penyebaran)
a x (b x c) = (a x b) x (a x c)
Misalnya:
3 x (2 x 4) = (3 x 2) x (3 x 4)
C. Pembagian
Pada pembagian bilangan bulat, berlaku :
(a + b) : c = (a : c) + (b : c), c ≠ 0

(a – b) : c = (a : c) – (b : c)
Misalnya:
6 : (6 – 2) = (6 : 6) – (6 : 2)
D. Perpangkatan
1

II.

Sifat-sifat :
am x an = am + n
am : an = am - n
(am)n = am x n
am : bm = (a : b)m
FAKTOR PRIMA, FAKTORISASI PRIMA, FPB DAN KPK
a. Faktor Prima
Faktor Prima adalah faktor-faktor suatu bilangan yang merupakan
bilangan prima. Bilangan Prima adalah bilangan yang hanya dapat
dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri, Misalnya:
Faktor prima dari 36 adalah 2 dan 3
36

2
2

18
9
3

3

b. Faktorisasi Prima
Faktorisasi Prima adalah perkalian beberapa faktor bilangan prima.
Misalnya:
50
Faktorisasi Prima = 2 x 5 x 5 = 2 x 52
Faktor Prima = 2 dan 5
2
5

III.

25
5

c. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Carilah faktor prima dan bilangan dengan pangkat terendah, misalnya:
18 = 2 x 32
24 = 23 x 3
Jadi FPB dari 18 dan 24 = 2 x 3 = 6
d. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Carilah faktor prima yang ada dan pangkat yang terbesar, misalnya:
18 = 2 x 32
24 = 23 x 3
Jadi KPK dari 18 dan 24 = 23 x 32 = 72
BILANGAN PECAHAN
A. Penjumlahan dan pengurangan
a
c
a+c
+

=
,b≠0
b
b
b
a
c
a−c
=
b
b
b
Semua sifat berlaku pada penjumlahan dalam pengurangan bilangan
bulat, berlaku pada penjumlahan dan pengurangan pecahan.
Misalnya:
5
2
7
+
=

9
9
9
2

7
5
2
=
11
11
11
B. Perkalian dan pembagian
a
c
axc
x
=
b
d

bx d
b, c dan d = 0

a
c
ax d
:
=
b
d
bxc
a
b
invers perkalian dari
a.b ≠ 0
b
a
Misalnya:
2
4 8

=
x
3
5 15
3 2
3 3 9
:
x =
=
2 3
5 2 10
C. Perpangkatan pecahan
a n an
= n
b
b
Misalnya:
2
1
1

+ 4 −2
1. 3
adalah …
5
3
2
Jawab :
2
1
1
12
10
15
7
+ 4 −2 =3 +4 −2 =5
3
5
3
2
30

30
30
30
3
4 2
2. Bentuk sederhana dari 4 × 2 :1
adalah …
4
5 5
Jawab :
3
4 2
4 × 2 :1
4
5 5
19 14 7
× :
=
4
5 5

19 14 7
× ×
=
4
5 5
1
= 9
2

()

D. Mengurutkan pecahan
Untuk pecahan yang penyebutnya berbeda dapat dibandingkan
dengan aturan seperti di bawah ini :
a c
<
b d

jika a x d

¿

bxc

Misalnya:

3

3 6
<
7 11

sebab 3 x 11

¿

7x6

BAB II
BENTUK ALJABAR DAN FAKTORISASI BENTUK ALJABAR
I. Bentuk Aljabar
Pada bentuk aljabar 3y + 2x + 3 :
 3y, 2x dan 3 disebut suku-suku
 x dan y disebut peubah/variabel
 koefisien dari 3y adalah 3
 koefisien dari 2x adalah 2
 suku yang tidak mengamdung peubah/variabel disebut konstanta.
Konstanta dari bentuk aljabar di atas adalah 3
Pada bentuk aljabar dengan 3x2 – xy2 – 5 dan 3xy2 + 2x2y + 3x2 – 1 adalah
…
 Suku 3x2y sejenis dengan 2x2y
 Suku –xy2 sejenis dengan 3xy2
 Suku 3x2 tidak sejenis dengan suku x
II. Operasi Bentuk Aljabar
a. Penjumlahan dan pengurangan
Hanya berlaku bagi variabel yang sama
Misalnya:
1) 6a + 7 + 2a – 4
= 6a + 2a + 7 – 4
= (6 + 2)a + (7 – 4)
= 8a + 3
2) 2x + 3y + 4 dikurangi 7x – 4y – 2
= (2x – 7x) + (3y – (-4y)) + (4 – (-2))
= (2 – 7)x + (3 + 4)y + (4 + 2)
= -5x + 7y + 6
b. Perkalian dan pembagian
Misalnya:
1) (-7x) (-3y) (-2a)
= (-7) (-3) (-2) xya
= -42 xya
2
15 xy +10 y
2)
5y

4

2

15 xy 10 y
+
5y
5y
= 3x + 2y
c. Perpangkatan
Misalnya :
2
42 a2
4a
=
=
b
b2
=

[ ]

16 a2
b2

III. Operasi Hitung pada Pecahan Aljabar Suku Tunggal
a. Penjumlahan dan pengurangan
Syarat penyebut harus sama
Misalnya:
k 2 k 3 k 8 k 11
+ = + = k
4 3 12 12 12
4 a a+ 3 4 a 3( a+b) 4 a 3 a−9 a−9
−
= −
= −
=
3b
b
3b
3b
3b
3b
3b
b. Perkalian dan pembagian
Misalnya:
9 m. n 6 k . n2 9 n3
×
=
2
4k
2m
3m
2
2
3
4 xy 16 y
4 xy 14 x z 4 x
:
=
×
=
2
7 z 14 x 2 z 7 z
3y
6y
IV. Perkalian istimewa bentuk aljabar
a. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + a.b
(x + a)(x – b) = x2 + (a – b) x – a.b
Misalnya:
(3p + 2)(3p + 3) = (3p)2 + (2 + 3) . 3p + 2.3
= 9p2 + 15p + 6
(p + 2q)(p – 3q) = p2 + (2q – 3q)p – 2q . 3q
= p2 – pq – 6q2
b. Pengkuadratan bentuk aljabar
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab – b2
Misalnya:
(3b + 5)2 = (3b)2 + 2.3b.5 + 52
= 9b2 + 30b + 25
2
(5p – 2q)
= (5p)2 – 2.5p.2q + (2q)2
= 25p2 – 20pq + 4q2
V. Menyederhanakan operasi pecahan aljabar
Misalnya:
x +5−3 ( 2 x +1 )
1
3
−
=
2 x−1 x+5
( 2 x+1 ) ( x+ 5 )

5

x +5−6 x−3
2
2 x +11 x+ 5
−5 x+2
¿ 2
2 x + 11 x +5
¿

1 1 b−a
−
a b
ab
=
=b−a
1
1
ab
ab

VI. Faktorisasi Bentuk Aljabar
a. ax + bx = x(a + b)
b. a2 – b2 = (a + b)(a – b)
c. x2 + bx + c = (x + m)(x + n), dengan aturan m . n = c dan m + n = b
d. ax2 + bx + c = a(x + p)(x + q), dimana p + q = b dan p . q = ac
Misalnya:
Faktorkan bentuk-bentuk berikut ini :
a. 4a2b + 6a
b. 25x2 + - 9y4
c. x2 – 5x - 6
d. 4x2 - 8x + 3
e. 32 – 50x2
Jawab:
a. 4a2b + 6a = 2a (ab + 3)
b. 25x2 – 9y4 = (5x)2 – (3y2)2
= (5x + 3y2)(5x + 3y2)
c. x2 – 5x – 6 = (x + 1)(x – 6) karena -6 . 1 = -6 dan -6 + 1 = -5
−6
−2
x+
d. 4x2 – 8x + 3 = 4 x +
4
4
= (2x – 3)(2x – 1)
karena -6 + (--2) = -8 dan -6 . (-2)
=4.3
e. 32 – 50x2 = 2(16 – 25x2)
= 2(42 – (5x)2)
= 2(4 + 5x)(4 – 5x)

(

m

)(

)

CARA LAIN PEMFAKTORAN BENTUK ax2 + bx + c, dimana a ≠ 1
Langkah-langkah :
ax2 + bx + c
adalah hasil kali a dengan c
P
adalah dua bilangan jika dikalikan sama dengan p dan bila
dijumlahkan sama dengan b
Jadi, p = m . n dan m + n = p
n

6

Sehingga bentuk aljabar ax2 + bx + c dapat diubah menjadi bentuk ax 2 + mx
+ nx + c
Selanjutnya gunakan sifat distributif untuk menguraikan atas faktorfaktornya.
Misalnya:
Faktorkan 6x2 – 5x – 4
Jawab:
6x2 – 5x – 4
sehingga 6x2 – 5x – 4 = 6x2 + 3x – 8x = 4
= (6x2 + 3x) + (-8x – 4)
24
= 3x (2x + 1) – 4 (2x + 1)
= (3x -4)(2x + 1)
3

-8

BAB III
ARITMETIKA SOSIAL
I. Harga Pembelian, Harga Penjualan, Untung dan Rugi
a. Dalam Keadaan Untung

U=J–
B
J=

100+ P
×U
100

J=B
+U
B=

100
×J
100+ P

P=

U
× 100
B

J=

100+ P
×B
100

B=

100
×U
P

U=

P
×B
100

P
U=
×J
100+ P
U = untung
P = persentase untung
J = harga jual
B = harga beli
Misalnya:
Seorang pedagang sepeda membeli sebuah sepeda Rp 750.000,00.
Dijual laku Rp 862.500,00. Berapakah persentase keuntungannya?
Jawab:
U =J–B
= 862.500 – 750.000
= 112.500
U
P= × 100
B
112.500
¿
×100
750.000
= 15%
7

b. Dalam Keadaan Rugi

R=B
-J
100−q
J=

U=

q

×R

J=BR 100
B=

100−q

×R

q=

R
×100
B

J=

100−q
×B
100

B=

100
×R
q

R=

q
×B
100

q
×J
100−q

R = rugi
q = persentase rugi
B = harga beli
J = harga jual
Misalnya:
1. Harga jual TV 21” Rp 2.100.000. Dengan harga tersebut pedagang
1
rugi 12
%. Tentukan harga pembelian TV!
2
Jawab:
100
B=
×J
100−q
100
¿
×2.100 .000
1
100−12
2
¿ 2.400.000
Jadi harga pembeliian TV adalah Rp. 2.400.000,00
2. Seorang pedagang membeli 1 lusin pot dengan harga Rp.
168.000,00. Karena rusak dalam perjalanan, maka setiap pot dijual
dengan harga Rp. 10.500,00. Tentukan persentase kerugiannya!
Jawab:
Harga jual
= 12 x 10.500
= 126.000
Rugi
= 168.000 – 126.000
= 42.000
42.000
Persentase rugi=
×100
168.000
= 25%
II. Bunga Tunggal
B
P = × 100
M
P
B=
×M
100

100+ P
×M
100
100+ P
Ma=
×B
100
Ma=

P% = persentase bunga
1 thn
B = bungan
M = tabungan/modal
8

100
×B
P
100
M=
×M
100+ P
M=

n
×B
12

awal
Ma = modal akhir
Bn = bungan ke-n bulan

Misalnya:
1. Amira menabung di bank dengan bunga tunggal 18% setahun. Setelah
satu tahun ia menerima bunga Rp. 54.000,00. Berapa besar tabungan
Amira?
Jawab:
100
M=
×B
P
100
¿
×54.000
18
¿ 300.000
Jadi tabungan Amira Rp. 300.000,00
2. Setelah 1 tahun menabung dengan bunga tunggal 12% setahun, Adin
mengambil semua tabungan beserta bunganya sebesar Rp
1.680.000,00. Tentukan besar tabungan Adin semula!
Jawab:
100
M=
× Ma
100+ P
100
¿
×1.680 .000
100+12
¿ 1.500.000
Jadi tabungan Adin semula adalah Rp 1.500.000,00.
III. Rabat, Bruto, Netto, Tara
Netto (berat bersih) = Bruto – Tara
Tara
× 100
Persentase Tara =
Broto
Rabat
× 100
Persentase Rabat (diskon) =
Harga Awal
Misalnya:
Sebuah toko member diskon sebesar 15% terhadap semua barang. Jika
seseorang membeli barang seharga Rp 200.000,00. Berapakah yang
harus ia bayar?
Jawab:
Cara 1 :
15
×200.000=30.000
Diskon =
100
Pembayaran = 200.000 – 30.000 = 170.000
Cara 2 :
85
×200.000=170.000
Diskon 15% maka dibayar = 85% x harga =
100
9

BAB IV
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
A. PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
Bentuk Umum
ax + b = c, a ≠ 0,
x = variabel/peubah
Dalilnya adalah kedua ruas harus diberlakukan sama, misalnya :
a+b=c
⇔
a+b–c=c–b
⇔
a=c–b
ax = b
ax
b
⇔
=
a
a
b
⇔
x=
a
Untuk menyelesaikan persamaan linear satu variabel dilakukan dengan cara:
1. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
2. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
Misalnya :
1. Penyelesaian dari 3(2x – 5) = 5 (x – 4) adalah …
a. 35
b. 36
c. 37
d. 38
Jawaban : A
Pembahasan :
3(2x – 5) = 5(x + 4)
6x – 15 = 5x + 20
6x – 5x = 15 + 20
10

x = 35
2. Penyelesaian dari
2
5
=
adalah …
3 x−1 x+ 4
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban : A
Pembahasan :
2
5
=
3 x−1 x+ 4
2(x + 4) = 5(3x – 1)
2x + 8 = 15x – 5
2x – 15x = -8 – 5
-13x = -13
x=1
2
1
( 2 x −1 )= ( 3 x+5 ) adalah …
3. Penyelesaian
3
2
a. -19
b. -11
c. 11
d. 19
Jawaban : A
Pembahasan :
2
1
( 2 x −1 )= ( 3 x+5 )
3
2
2
1
6. ( 2 x−1 ) =6. ( 3 x +5 )
3
2
4.(2x – 1) = 3.(3x + 5)
8x – 4 = 9x + 15
8x – 9x = 15 + 4
-x = 19
x = -19
B. PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
Bentuk Umum
ax + b , ≤ , ≥ c
misalnya :
a+b 17
17
⇔
x
>
3

12

BAB V
PERBANDINGAN
A. GAMBAR BERSKALA
ukuran pada gambar
Skala =
ukuran sebenarnya
Perbandingan gambar
Pgambar
lgambar
tgambar
=
=
Psebenarnya lsebenarnya tsebenarnya
Misalnya :
1. Pada sebuah peta dengan skala 1 : 2.500.000 jarak dua kota pada peta
adalah 15 cm. Jarak sesungguhnya kedua kota tersebut adalah …
Jawab :
Jarak sesungguhnya = 15 x 2.500.000
= 375 km
2. Sebuah peta dibuat sehingga jarak yang sesungguhnya 80 km dilukis
pada peta dengan jarak 16 cm. Skala peta adalah …
Jawab :
ukuran pada gambar ( peta )
Skala =
ukuran sebenarnya
16
=
80.000.000
1
=
500.000
Jadi skala pada peta adalah 1 : 500.000
B. PERBANDINGAN SENILAI
Komponen I
Komponen II
13

a
b

c
d
a c
=
b d

ad = bc

Misalnya:
1. Sebuah mobil menempuh jarak 100 km dalam waktu 2 jam. Berapa
jarak yang ditempuh mobil jika berjalan selama 5 jam?
Jawab :
Lama
Jarak tempuh
perjalanan
2
100
5
x
2 100
=
=2 x=5.100
5
x
X = 250
Jadi jarak yang ditempuh adalah 250 km.
2. Harga 3 kg gula Rp. 20.250
Harga 16 kg gula yang sejenis adalah …
Jawab :
Banyak
gula Harga (Rp)
(kg)
3
20.250
16
X
Dengan perkalian silang :
Cara I :
3x = 16 . 20250
3x = 324000
X = 108000
Cara II :
20250
=6750
Harga I kg gula =
3
Harga 16 kg gula = 16 x 6750
= 108000
3. Pada sebuah percetakan kartu undangan diperoleh data sebagai
berikut :
Dengan satu mesin selama 6 jam menghasilkan 4000 lembar kertas.
Banyaknya kartu undangan yang dikerjakan dengan 3 mesin selama 4
jam adalah …
Jawab :
Mesin
Waktu
Hasil
1
6
4000
3
4
X
Maka,
Mesin
Waktu
Hasil
1
6
4000
14

3

6
M
Waktunya
sama
banyak
Didapatlah m = 12000
Mesin
Waktu
3
6
3
4
Banyaknya mesin
sama
4
x 12000=8000
Didapatlah x =
6
Dengan menggunakan cara lain :
Mesin
Waktu
Hasil
1 x
6
4000
3 x
4
X
12
x 4000=8000
Didapatlah x
6

Hasil
12000
X

C. PERBANDINGAN BERBALIK NILAI
Komponen I
Komponen II
a
c
b
d
a c
=
ac = bd
b d
Misalnya:
1. Dengan kecepatan 40 km/jam, jarak kota A dan B dapat ditempuh
selama 15 jam. Jika kecepatan perjalanan 50 km/jam berapa waktu
yang diperlukan untuk menempuh jarak kota A dan kota B?
Jawab :
Kecepatan
Waktu (jam)
(km/jam)
40
15
50
X
40 x
=
50 15
15.40
x=
50
= 12
Jadi waktu yang diperlukan 12 jam.
2. Suatu proyek yang direncanakan selesai dalam waktu 24 hari dengan 6
pekerja. Jika proyek ingin diselesaikan dalam 18 hari, berapakah
tambahan pekerja yang diperlukan?
Jawab :
Banyak pekerja
Lama proyek
15

6
X

24
18

6 18
=
x 24
X =8
Jadi banyaknya tambahan pekerja adalah 8 – 6 = 2 orang
D. GRAFIK PERBANDINGAN
komponen II

komponen I
grafik perbandingan senilai

komponen II
komponen I
grafik perbandingan berbalik nilai
BAB VI
HIMPUNAN
A. HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan benda-benda yang didefinisikan dengan
jelas atau kumpulan benda-benda atau obejk yang didefiniskan (diberi
batasan) dengan jelas.
Misalnya :
P
= himpunan bilangan bulat
M
= {x|x ≤ 4, bilangan cacah}
Untuk menyatakan suatu benda (objek) yang merupakan anggota
himpunan dilambangkan ∈ dan jika bukan anggota dilambangkan ∉ ,
misalnya jika B = {x|x faktor dari 15} maka 3 ∈ B, 4 ∉ B.
Himpunan terhingga adalah himpunan yang anggotanya tertentu
misalnya, P = {1, 2, 3, 4, 5}. Sedangkan himpunan tak terhingga adalah
himpunan yang anggotanya tak terbatas jumlahnya, misalnya Q = Himpunan
bilangan asli.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota,
misalnya P = {xІx < 2, x bilangan prima}. Notasi himpunan kosong adalah {
} atau ∅ . {0} bukan himpunan kosong karena mempunyai anggota yaitu
nol.
16

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, bila setiap anggota A
menjadi anggota B, ditulis dengan notasi A ∁ B, misalnya A = {1, 2, 3}, B
= {1, 2, 3, 4, 5} maka A ∁ B. Jika banyaknya anggota suatu himpunan A
adalah n(A), maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah 2 n(A). Misalnya
A = {1, 2, 3}; n(A) = 3 maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah 2 3 =
8.
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang
dibicarakan. Himpunan semesta biasanya menggunakan notasi “S”.
Diagram Venn digunakan untuk menyatakan suatu himpunan atau
hubungan antar himpunan. Misalnya:
S = {siswa di sekolahan}
A = {siswa di kelasmu}
B = {siswa perempuan di kelasmu}

S A

B

B. OPERASI ANTAR HIMPUNAN
1. Irisan Himpunan
A irisan B ditulis A ∩ B = {x | x ∩ A dan x ∩ B}
Misalnya:
Diketahui A = {x | x bilangan prima kurang dari 10}
B = {y | 5 ≤ y ≤ 15, y bilangan ganjil}
Tentukan A ∩ B!
Jawab:
A = {2, 3, 5, 7}
B = {5, 7, 9, 11, 13, 15}
A ∩ B = {5, 7}
2. Gabungan Himpunan
A gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∪ A atau x ∪ B}
Misalnya:
Jika A = {m, u, r, a, h} dan
B = {m, e, r, I, a, h}
Maka A ∪ B = {m, u, r, a, h, e, i}
3. Komplemen Himpunan
Komplemen A ditulis A1 atau Ac = {x | x ∈ S dan x ∉ A}
Misalnya:
Jika S = {x | x ≤ 10, x bilangan asli} dan
P = {2, 3, 5, 7}
Maka pc = {1, 4, 6, 8, 9, 10}
4. Pengurangan Himpunan
17

A – B = A ∩ Bc
Misalnya:
Jika S = {1, 2, 3, 4, …, 10}
A = {2, 3, 4, 5} dan
B = {4, 5, 6, 7}
Maka A – B = {2, 3}
C. DIAGRAM VENN pada OPERASI HIMPUNAN

BAB VII
SUDUT DAN GARIS
Sudut biasanya dinyatakan dalam derajat (0), menit (‘), dan detik (“)
Tingkatan untuk satuan sudut adalah :
10 = 60’
1’ = 60”
10 = 3600”
Besar sudut satu putaran penuh adalah 360 0, besar sudut lurus/setengah
putaran adalah 1800 dan besar sudut siku-siku/seperempat putaran
adalah 900.
A. Jenis-jenis sudut
Jenis Sudut
Besar Sudut
Gambar
0
0
α
Sudut lancip
0 <
< 90
α = 900
Sudut siku-siku
Sudut tumpul
900 < α < 1800
α = 1800
Sudut lurus
Sudut reflex
1800 < α < 3600
B. Hubungan antar sudut
18

Hubungan dua sudut
Sifat
α + β = 1800
Dua sudut berpelurus
(suplemen)
α + β = 900
Dua sudut berpenyiku
(komplemen)

Gambar

C. Sudut-sudut pada dua garis sejajar dipotong sebuah garis
Hubungan dua sudut
Sifat
Gambar
Dua sudut sehadap
Besarnya sama
α=β
Dua
sudut
dalam Kedua
sudut
sama
berseberangan
besar
α=β
Dua
sudut
luar Kedua
sudut
sama
berseberangan
besar
α=β
Dua
sudut
dalam α + β = 1800
sepihak
Dua sudut luar sepihak α + β = 1800
D. Penjumlahan dan pengurangan sudut
Misalnya:
30o 42’ 55” + 15o 27’ 11” = ….
Jawab :
30o 42’ 55”
15o 27’ 11” +
46o 10’ 6”
Atau
29o 32’45” – 12o49’50”
Jawab :
29o 32’45”
28o 91’105”
o
12 49’50”+ →
12o 49’ 50”+
16o 42’ 55”
E. GARIS
1. Hubungan antara dua garis
- Dua garis sejajar jika kedua garis terletak pada satu bidang datar
dan tidak berpotongan.
- Dua garis berpotongan jika dua garis itu mempunyai satu titik
persekutuan (titik potong).
- Dua garis berimpit jika semua titik pada garis pertama terletak pada
garis kedua atau sebaliknya.
- Dua garis bersilangan jika kedua garis tidak sejajar dan tidak
berpotongan (kedua garis terletak pada bidang yang berbeda).
2. Perbandingan segmen garis
19

AP : PB = m : n
m
x AB
AP =
gambar
m+n
n
xB
PB =
m+n
Misalnya:
Diketahui ruas garis AB panjangnya 15 cm, titik P terletak pada AB
dengan perbandingan AP:PB = 3:2 maka,
3
x 15 = 9 cm
AP =
5
2
x 15 = 6 cm
AP =
5
3. Sifat-sifat garis sejajar
- Aksioma 1 : “melalui dua titik yang berbeda dapat dibuat tepat satu
garis lurus.”
- Aksioma 2 : “melalui sebuah titik di luar suatu garis hanya dapat
dibuat tepat satu garis yang sejajar dengan garis tersebut.”
- Teorema 1 : “jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis
yang sejajar, maka garis itu juga akan memotong garis yang
kedua.”
- Teorema 2 : “jika sebuah garis sejajar dengan dua garis lainnya,
maka kedua garis itu sejajar.”

BAB VIII
STATISTIKA
1. MEAN ( X́ )
Mean ( X́ ) adalah nilai rata-rata, jika terdapat data x 1, x2, x3, … xn,
maka nilai rata-ratanya adalah:
= x1, x2, x3, … xn
X́
n
keterangan :
xn
= data ke-n
n
= banyak data
Misalnya :
- Nilai rata-rata data nilai : 8, 6, 4, 4, 8, 7, 6, 8, 9, 7adalah ….
Jawab :
Nilai rata-rata X́
=8+6+4+4+8+7+6+8+9+7
10
20

-

= 6.7
Nilai rata-rata 8 anak adalah 6.8. Jika ditambah nilai 2 anak yang lain,
rata-ratanya menjadi 7,24. Jumlah nilai kedua anak yang lain tersebut
adalah..
Jawab :
Jumlah nilai 8 anak = 8 x 6.8 = 54.5
Jumlah nilai 10 anak = 10 x 7.24 = 72.4
Jumlah nilai 2 anak = 72.4 – 54.4
= 18

2. MEDIAN
Median adalah nilai tengah dari sekumpulan data yang sudah
diurutkan. Dalam mencari median, ada dua kemungkinan:
- Jika banyaknya data ganjil, maka median dari kumpulan data tersebut
adalah data yang terletak di tengah-tengah. Misalnya, data yang sudah
diurutkan tersebut adalah x1, x2, x3, x4, x5 maka mediannya adalah x3.
- Jika banyaknya data genap, maka median dari kumpulan data tersebut
adalah jumlah data yang di tengah dibagi dua. Misalkan data yang sudah
diurutkan itu ada 6 yaitu x1, x2, x3, x4, x5, x6 maka mediannya adalah x3 +
x4
2
Contoh :
- Tentukan median dari data 5, 8, 4, 6, 6, 7, 9, 8, 6.
Data diurutkan sebagai berikut:
4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9

-

Median
Jadi mediannya = 6
Tentukan median dari data : 8, 6, 8, 4, 5, 7, 4, 6, 8, 6
Jawab :
Data diurutkan sebagai berikut:
4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8
Median
Jadi mediannya = 6 + 6 = 6
2

3. MODUS
Modus adalah data yang sering muncul, misalnya dari data hasil ulangan
Matematika dari 40 anak, maka modusnya adalah 6.
4. QUARTIL
Quartil berarti pengelompokkan empat-empat, membagi data yang telah
diurutkan menjadi empat bagian yang sama. Untuk menyatakan quartil
digunakan huruf Q.
Q1 = quartil awal/quartil bawah
21

Q2 = quartil tengah/median
Q3 = quartil atas
Misalnya, tentukan Q1, Q2, Q3 dari data 12, 12, 13, 15, 16, 16, 18, 19, 21,
21, 21, 21, 28
Maka :
13+ 15
Q1 =
= 14
2
16+ 18
Q2 =
= 17
2
21+21
Q3 =
= 21
2
5. PENYAJIAN DATA
 Tabel Frekuensi
Nilai
4
5
6
7
Frekue
6
7
4
5
nsi
Hal diatas berarti :
Terdapat 6 anak mendapat nilai
Terdapat 7 anak mendapat nilai
Terdapat 4 anak mendapat nilai
 Diagram Batang

8
2
4
5
6 dst.

frekuensi

Column1
8
7
6
5
4
3
2
1
0

4

5

6

7

nilai



Diagram Lingkaran
Dengan mengambil data di atas sebelum dibuat diagram lingkaran
terlebih dahulu kita harus menghitung besar sudut pusat pada setiap
juring lingkaran sebagai penempatan setiap bagian data.
Nilai
Frekuensi
Besar sudut pusat
6
4
6
x 360o =
22
7
5
7
x 360o =
22

22

6

4

7

5

4
22
5
22

x 360o =
x 360o =

Total
22
Maka diagram lingkarannya adalah :
1st Qtr
2nd Qtr
3rd Qtr
4th Qtr

Contoh soal :
1. Diagram lingkaran di bawah adalah data tentang pekerjaan orang tua
murid..

1st Qtr
2nd Qtr
3rd Qtr
4th Qtr

jika banyaknya orang tua murid 48 orang, tentukan
banyaknya orang tua murid yang pekerjaannya swasta.
Jawab :
∠ swasta = 360o – (45o + 105o) = 210o
210
Banyaknya orang tua siswa yang bekerja di swasta adalah
x 48 = 28
360
orang
2. Nilai rata-rata ulangan 12 siswa putra 6,5 sedangkan nilai rata-rata 8
siswa putri 8,0. Tentukan nilai rata-rata gabungan siswa tersebut!
Jawab :
jumlah nilai putra+ jumlah nilai putri
Nilai rata-rata gabungan
=
banyak siswa putra+ putri
12 x 6,5+ 8 x 8,0
=
12+ 8
142
=
20
= 7,1
Jadi nilai rata-rata gabungan siswa adalah 7,1
23

BAB IX
RELASI DAN FUNGSI
A. RELASI
1. Definisi
Relasi adalah hubungan antara dua himpunan yang berbeda. Dua
himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota
himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. fungsi (pemetaan)
→ setiap anggota daerah asal (domain) semuanya terpasangkan tepat
ke anggota daerah kawan (kodomain).
2. Relasi biasa dinyatakan oleh :
a. Diagram panah
b. Grafik Cartesius
c. Himpunan pasangan berurutan
Misalnya:
Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {6, 8}, maka tunjukkan relasi dari A ke
B yang menyatakan “faktor dari” dengan ; diagram panah, grafik
cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.
Jawab:
a.
1
2
3
4
5

6
8
24

b.
c. Himpunan pasangan berurutan {(1,6), (1,8), (2,6), (2, 8), (3,6), (4,
8)}
B. FUNGSI
Fungsi f dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota A
dengan tepat satu anggota B
F:A → B
Misalkan
1
2
3

A
B
c

Fungsi linier adalah fungsi yang peuba bebasnya paling tinggi
berpangkat satu. Misalnya, Fungsi f : x 3 → x – 1 dengan x → R,
maka ini berarti fungsi f pada himpunan R ditentukan oleh f(x) = 3x –
1, dimana x disebut peubah/variabel bebas.
Cara yang mudah untuk menggambar grafik fungsi pada koordinat
cartesius yaitu dengan membuat tabel fungsi. Misalnya, bagaimana
menggambar fungsi f(x) = 2x – 3 untuk x ∈ R pada bidang cartesius
adalah :
X
0
1½
f(x)
-3
0
Dari tabel, ini didapatkan dua titik pada bidang cartesius yang
memenuhi fungsi tersebut, yaitu (0, -3) dan (1½, 0)
Y
f(x) = 2x - 3
1 ½

x

-3
Kemudian, nilai suatu fungsi dapat dihitung dengan menstubtitusikan
bilangan ke dalam rumus fungsi. Misalnya, diketahui fungsi f(x) = 4 –
3x, tentukan nilai fungsi f untuk x = 5
Dan jika f(m) = 10 tentukan m!
Jawab :
f(x) = 4 – 3m = 10
f(5) = 4 – 3.5
= 4 – 15
= - 11
25

f(m) = 4 – 3m = 10
⇔ -3m = 10 – 4
⇔ -3m = 6
⇔
m = -3
Selanjutnya banyak fungsi dari A ke B adalah ba misalnya jika A = {a,
b, c} dan B = {x | x < 10, x bilangan prima} maka tentukan
banyaknya pemetaan dari A ke B, maka N(A) = 3 dan n(B) = 4, maka
banyaknya pemetaan dari A ke B = 43 = 64.

BAB X
POLA BILANGAN, BARISAN DAN DERET
A. MACAM POLA BILANGAN
1. Pola bilangan ganjil
1

3
5
+2
+2
Pola ke n = 2n – 1
2. Pola bilangan persegi
1
4
9
2
2
1
2
32
2
Pola ke n = n
3. Pola bilangan segitiga

7
+2

16
42

26

1

1 x2
2

3

6

2 x3
3x4
2
2
n(n+1)
Pola ke n =
2
4. Pola bilangan persegi panjang

10

4 x5
2

2
6
12
20
1x2 2x3
3x4
4x5
Pola ke n = n(n+1)
5. Pola bilangan segitiga paskal
1
baris 1
1
1
baris 2
1
2
1
baris 3
1
3
3
1
baris 4
1
4
6
4
1
baris 5

Misalnya :
Gambar berikut menunjukkan pola suatu barisan bilangan. Banyaknya
garis batang pada pola ke 10 adalah …
Jawab :
Banyaknya garis batang pada pola ke 1 = 3
Banyaknya garis batang pada pola ke 2 = 7
Banyaknya garis batang pada pola ke 3 = 11
Banyaknya garis batang pada pola ke 4 = 15, dst
3,
7, 11, 15, 19, 23, …
+4
+4
+4
+4
+4
Jadi banyaknya garis batang pada pola ke 10 adalah 39 buah.
B. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA
 Barisan bilangan
Adalah urutan bilangan-bilangan menurut aturan tertentu. Misalnya:
a. 5 , 10 , 15 , 20 , …
+5
+5 +5
Suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan 5 pada suku
sebelumnya.
b. 2 , 6 , 18 , 54 , …
x3 x3 x3

27

Suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan 3 pada suku
sebelumnya.
 Barisan aritmetika
Adalah memiliki ciri selisih atau beda antara dua suku yang berurutan
selalu tetap, misalnya:
2 , 5 , 8 , 11 , 14 , …
+3 +3
+3
+3
Suku ke 1
(U1=a)

suku ke 5
(U5)

Selisih dua suku yang berdekatan = 3 atau beda (b) = 3
Dari contoh di atas dapat diketahui bahwa :
U1 = a = 2 beda →
b
= U 2 – U1
U2 = 5
= U 3 – U2
U3 = 8
dan seterusnya = Un – Un – 1
Untuk rumus suku ke n barisan aritmetika adalah …

Un = a + (n – 1) b
Jadi rumus suku ke n dari barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14, …
Un
= 2 + (n – 1) 3
= 2 + 3n – 3
Un
= 3n – 1
 Deret aritmetika
Adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmetika. Jumlah n suku
pertama deret aritmetika adalah:
1
Sn = 2 n (a + Un)
1
Sn = 2 n (2a + (n – 1)b)
Misalnya:
Diketahui deret aritmetika 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35
+ 39. Tentukan jumlah suku dari deret tersebut!
Jawab:
Banyak suku n = 10 → U10
= 34
a =3
1
n ( a+Un )
Sn
=
2
1
10 (3+ 39 )
=
2
= 5(42)
= 210]
Contoh soal!
1. Tentukan jumlah dari 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99
Jawab:
28

1
n ( a+Un )
2
1
50 (1+ 99 )
=
2
1
50.100=2500
=
2
2. Diketahui deret aritmetika dimana suku pertamanya 4 dan bedanya
3
Tentukan :
a) Rumus suku ke n
b) Jumlah 20 suku pertama
Jawab :
a) Rumus suku ke n
Un
= a + (n – 1) b
= 4 + (n – 1) 3
= 3n – 1
b) Jumlah 20 suku pertama
1
n ( a+Un )
Sn
=
2
1
20 ( 4+61 )
=
2
= 650
Sn =

 Barisan geometri
Barisan geometri memili ciri yaitu perbandingan antara dua suku yang
berurutan selalu tetap, misalnya :
2, 4 , 8, 16 , 32 , …
Suku ke 1 = (a)
Suku ke 4 = U4
U 2 U3 U4
= = =2 , jadi rasio r barisan = 2
U 1 U2 U2
Untuk menentukan suku ke n digunakan rumus :

Un = arn-1
Rumus suku ke n barisan di atas : Un = 2 x 2n – 1
Un = 2n
 Deret geometri
Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku barisan geometri. Rumus
jumlah n suku pertama deret geometri :
a1−r n
Sn
=
,r 1
r −1
Misalnya :
Tentukan jumlah dari 2 + 4 + 6 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128
29

Jawab :
1. Jumlah n suku pertama pada deret geometri dicari dengan rumus :
a1−r n
Sn =
,r ≠ 1 rumus ini digunakan jika r < 1
1−r
n
a r −1
Sn =
,r ≠ 1 rumus ini digunakan jika r > 1
r −1
Dari penjelasan di atas didapat :
a = 2, r = 2 ( r > 1), n = 7
a r n−1
Sn
=
r −1
7
2(2 −1)
S7 =
2−1
2( 128−1)
=
2−1
= 2 . 127
= 254
NB : mencari rumus suku ke n dengan beda yang tidak tetap.
2. Tentukan rumus suku ke n dari barisan bilangan
3 7 13 21 31 …
a+b+c
4 6 8 10 … a + 3b
2 2 2 …
2a
Secara umum rumus suku ke n dari barisan bilangan tersebut dapat
ditulis:
Un = an2 + bn + c
Selanjutnya untuk menentukan nilai a, b, dan c dilakukan sebagai
berikut :
2a = 2
a =1
a + 3b = 4
1 + 3b = 4
3b
=3
b
=1
a+b+c
=3
1+1+c
=3
c =1
Jadi rumus suku ke n dari 3, 7, 13, 21, 31, … adalah Un = n2 + n + 1

30

BAB XI
PELUANG
A. Ruang Sampel dan Titik Sampel
Pada suatu percobaan himpunan semua hasil yang mungkin diperoleh
disebut ruang sampel. Sebagai contoh percobaan pelemparan sebuah
dadu, hasil yang mungkin diperoleh mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Jadi
dalam hal ini ruang sampelnya adalah S = ruang sampel = {1, 2, 3, 4, 5,
6). Tiap-tiap anggota pada ruang sampel disebut titik sampel.
Cara membuat ruang sampel adalah :
1. Dua uang logam yang sama dilepmar bersama-sama. Susunlah ruang
sampelnya!
Jawab:
G
A
G
(G,
(G,
G)
A)
31

A

(A,
(A,
G)
A)
G
= gambar
A
= angka
Ruang sampelnya adalah { GG, GA, AG, AA } yang terdiri dari 4 ruang
sampel.

2. Dua buah dadu merah dan biru dilempar bersama-sama. Susunlah ruang
sampelnya!
Jawab :
1
2
3
4
5
6
1
(1,
(1,
(1,
(1,
(1,
(1,
1)
2)
3)
4)
5)
6)
2
(2,
(2,
(2,
(2,
(2,
(2,
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3
(3,
(3,
(3,
(3,
(3,
(3,
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4
(4,
(4,
(4,
(4,
(4,
(4,
1)
2)
3)
4)
5)
6)
5
(5,
(5,
(5,
(5,
(5,
(5,
1)
2)
3)
4)
5)
6)
6
(6,
(6,
(6,
(6,
(6,
(6,
1)
2)
3)
4)
6)
6)

Banyaknya ruang sampel adalah 36.
3. Jika sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar sekali. Tentukan
banyaknya sampel yang ada!
Jawab :
1
2
3
4
5
6
A
(A,
(A,
(A,
(A,
(A,
(A,
1)
2)
3)
4)
5)
6)
G
(G,
(G,
(G,
(G,
(G,
(G,
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Angka
= Dadu
Huruf = Uang
Maka banyaknya ruang sampel yang ada adalah 12.
B. Menghitung Peluang
Rumus

=

P(A) =

n( A)
n(S)

n(S)
= banyaknya anggota sampel
n(A)
= banyaknya kejadian pada percobaan yang bersangkutan
p(A)
= nilai peluang munculnya kejadian A
misalnya :
32

1. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu
genap dan mata dadu bilangan prima!
Jawab :
Kejadian muncul mata dadu genap adalah {2, 4, 6}
Jadi n (A) = 3
3
1
P(A)
=
=
6
2
Kejadian banyak muncul mata dadu bilangan prima adalah {2, 3, 5}
Jadi banyaknya kejadian = 3
3
1
Peluang muncul mata dadu bilangan prima
=
6
2
2. Tiga uang logam yang sama dilempar sekali bersama-sama. Tentukan
peluang munculnya :
- Dua angka dan satu gambar!
- Ketiganya angka!
Jawab :
Ruang sampel
= {GGG, AGG, GAG, GGA, AAG, AGA, GAA, AAA}
3
- Peluang munculnya dua angka dan satu gambar =
8
1
- Peluang muncul ketiganya adalah =
8
3. Dua dadu yang sama dilempar sekali bersama-sama. Tentukan peluang
muncul :
- Mata dadu berjumlah 10
- Mata dadu berjumlah 12
Jawab :
Banyaknya ruang sampel adalah 36
3
1
=
- Peluang muncul mata dadu berjumlah 10 =
36 12
1
- Peluang muncul mata dadu berjumlah 12 =
36
C. Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan kejadian A ditulis
dirumuskan :

E(A) dari

n kali

percobaan

E(A) = P(A) x n
Misalnya :
Sebuah dadu dilempar 120 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya
mata dadu bilangan prima!
Jawab :
E(prima)
= P(Prima) x n
1
=
x 120
2
= 60
33

BAB XII
BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR
A. Pengertian
a pangkat n atau ditulis an diartikan sebagai :
an = a x a x … x a → sebanyak n factor
misalnya :
53 = 5 x 5 x 5 sebanyak 3 faktor
(2x3) = 2x . 2x . 2x
B. Pangkat Negatif dan Nol
1
a-n =
an
1
1
1
=
x
x…x
a
a
a
↓
Sebanyak n factor
Misalnya :
1
3-4 =
4
3
1 1 1 1
1
x x x
=
=
3 3 3 3
81
a0 = 1

dengan syarat a ≠ 0

untuk setiap a bilangan nyata

C. Bilangan Pecahan Berpangkat
a n
an
¿ =
 (
syarat b ≠
b
bn
1
1 n
¿ =
 (
b
bn
n
a -n
b
¿
 (
=
n
b
a
2 3
8
23
¿
Misalnya : (
=
=
3
3
27
3
2
1 -2
4
¿
(
=
= 16
4
12
3 2
9
32
¿ =
(
=
2
4
16
4

0

D. Bentuk Akar Bilangan Bulat Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan

√n am =
√a

m

an

=

1

a2
34

Misalnya :
3

a.

√4 23

b.
c.

√ 5 = 52
1
√3 8 = 8 3

d.

√ 273

=

24
1

=

27

3
2

E. Akar Kuadrat
Untuk a, b bilangan nyata positif
√ a = b ↔ a = b2
Misalnya:
= 4 ↔ 16 = 42
√ 16
= 6 ↔ 36 = 62
√ 24
√ 100 = 10 ↔ 100 = 102
Sifat :

√a x b = √a x √b
a
a
= √
b
√b

√

Misalnya :
√ 121 x 36

√ 48
√ 72
√ 75

= √ 121 x √ 36
= 11 x 6 = 66
= √ 16 x √ 3 = 4 √ 3
= √ 36 x √ 2 = 6 √ 2
= √ 25 x √ 3 = 5 √ 3

F. Operasi pada Bilangan Berpangkat
- (a x b)n = an x bn
am
= am-n
n
a
- am x an = am+n
m
am
a
=
m
b
b
n
( a m ) = am x n

()

-

n m

√ √a
√ √2

=
=

1
i
n
m

(a )
(2 )

1
1
2
2

=
=

a
2

1
mn

1
4

35

-

√√√x

=

1 1
1
2 2
2

(( x ) )

=

x

1
8

Misalnya :
1. 34 x 32 = 34 + 2 = 36
2. (3 x 5)2 = 32 x 52 = 9 x 25 = 225
6

3.

4
4
4

4.

8
2

= 46 – 4 = 42 = 16
3

()

=

83
23

=

512
8

= 64

5. (33)2 = 33 x 2 = 36
6. 2-3 =

1
23

=

1
8

7. (-4)2 = -4 x (-4) = 16
8. (3a)-3 =

1
( 3 a )3

=

1
3 ax 3a x3a

=

1
27 a3

Contoh Soal!
1. Bentuk sederhana dari √ 75 + √ 12 - √ 48 adalah …
Pembahasan :
√ 75 + √ 12 - √ 48 = √ 25 √5 + √ 4 √ 3 - √ 16 √ 3
= 5 √3 + 2 √3 – 4 √3
= 3 √3
2. Nilai dari √3 √ 5 y + 4 = 2 adalah …
Pembahasan :
√3 √5 y + 4⅙ = 2
5(y + 4) = 2
5y + 4 = 26
5y + 4 = 64
5y = 60
y = 12
3. Diketahui √ 2 = a dan √ 3 = b
Nilai dari √ 12 + √ 32 adalah …
Pembahasan :
= √ 4 √ 3 + √ 16 √ 2
√ 12 + √ 32
= 2 √3 + 4 √2
= 2b + 4a = 2(b + 2a)

36

BAB XIII
SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
A. Bentuk Umum
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
misalnya :
2x – 3y = 4
X + y = -5
B. Penyelesaian
Pasangan nilai x dan y yang memenuhi semua persamaan dalam sistem
tersebut disebut penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel.
- Metode Eliminasi
Misalnya:
Tentukan HP dari 2x – y = 4 dan x + 3y = -5
 Menentukan nilai x, maka ya dieliminasi dengan cara sebagai
berikut :
2x – y = 4
|x 3 6x – 3y
= 12
x + 3y = -5
|x 1
x + 3y
= -5 +
7x
=7
x
=1
 Menentukan nilai y, maka x dieliminasi dengan cara sebagai
berikut :
2x – y = 4
|x 1 2x – y
= 4
x + 3y = -5
|x 2 2x + 6y
= -10 -7y
= 14
y
= -2
Jadi HP = {(1, -2)}
- Metode Substitusi
Dari contoh di atas, bentuk x + 3y = -5 dapat diubah menjadi : x = -5 –
3y
Nilai x = -5 – 3y disubstitusikan ke persamaan 2x – y = 4 sehingga
diperoleh :
2 (-5 – 3y) – y
=4
-10 – 6y – y
=4
37

-10 – 7y
-7y
-7y
y

-

=
=
=
=

4
4 + 10
14
-2

Untuk y = -2 disubstitusikan ke salah satu persamaan. Misalnya ke
persamaan 2x – y = 4
2x – (-2)
=4
2x + 2
=4
2x
=2
x
=1
Jadi HP
= {(1, 2)}
Metode Grafik
Untuk menyelesaikan sistem persamaan
2x – y
=4
x + 3y
= -5
Kedua persamaan dapat digambar pada grafik kartesius :
Garis 2x – y = 4
x
0
2
y
-4
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
Garis x + 3y = -5
2
(1,2)
x
0
2
y
0
1
½

C. Model Matematika
Adalah terjemahan soal cerita dalam bentuk sistem persamaan linier
matematika.
Misalnya :
Jumlah umur Wawan dan Asep 30 tahun. Selisih umur mereka 6 tahun.
Jika Wawan lebih tua dari Asep tentukan :
a. Model matematikanya
b. Umur masing-masing
Jawab :
a. Misal umur Wawan = x dan umur Asep = y
Jumlah umur = 30
→ x + y = 30
Selisih umur = 6 → x – y
=6
Jadi model matematikanya :
x + y = 30
x–y =6
b. x + y = 30
38

x – y = 6_ +
2x
= 36
x
= 18
x + y = 30
x – y = 6_ 2y
= 24
y
= 12
jadi umur Wawan adalah 18 tahun dan Asep adalah 12 tahun.

BAB XIV
TEOREMA PYTHAGORAS
A. Rumus Pythagoras
Jika segitiga ABC siku-siku di A, maka berlaku :
a2 = b2 + c2
b2 = a2 – c2
c2 = a2 – b2
B. Tripel Pythagoras
Tripel pythagoras merupakan rangkaian tiga bilangan bulat positif yang
ketiganya masing-masing merupakan panjang dari sisi-sisi suatu segitiga
siku-siku.
Rumus Tripel Pythagoras
Jika a dan b bilangan bulat positif dan a > b, maka 2ab, a 2 – b2, a2 + b2
merupakan tripel pythagoras.
Misalnya:
a
b
2ab a2 – a2 + Bentuk
tripel
b2
b2
pythagoras
2
1
2
3
5
3, 4, 5
3
2
12
5
13
5, 12, 13
4
3
24
7
24
7, 24, 25

39

BAB XV
PERSAMAAN GARIS LURUS
A. Gradien Garis
Persamaan garis lurus dengan satu variabel adalah ax + b = c
Persamaan garis lurus dengan dua variabel adalah y = mx + c

Garis g memotong sumbu x di A (-a, 0)
Garis g memotong sumbu y di B (0, b)
Gradien garis g
=

=

komponen y garis g
komponen x garis g

b
a

Garis g mirng (condong) ke kanan, maka gradien positif
Garis yang miring (condong) ke kiri, gradiennya negatif
Misalnya:
Gradien garis g adalah garis g condong ke kanan,
maka gradien
garis g adalah positif.

40

Gradien garis h adalah garis h condong ke kiri, maka
gradien
Garis h adalah negatif.

a. Gradien Garis yang melalui dua titik
Gradien garis yang melalui titik A (x 1, y1) dan B (x2, y2) dapat dicari
dengan rumus :
m=

y1 y2
x1 x 2

atau

y2 y1
x2 x 1

misalnya :
Tetapkan gradien garis yang melalui A(-5, 2) dan B(4, -1)!
Jawab :
y2 y1
m
=
x2 x 1
−1−2
=
4−(−5)
−3
=
9
1
=3
b. Gradien garis yang persamaannya diketahui
Garis yang diketahui persamaannya ay = bx + c mempunyai gradien
m=

b
a

misalnya :
Tentukan gradien garis dengan persamaan 2x – 3y + 5 = 0!
Jawab :
2x - 3y + 5 = 0
3y = 2x + 5
2
5
x +
y=
3
3
2
5
2
x +
Gradien garis y =
adalah
3
3
3
B. Garis yang Saling Sejajar dan Saling Tegak Lurus

41

Garis m sejajar n

garis m tegak lurus garis n

Jika gradien garis m adalah x1 dan gradien garis n adalah x2, maka :
- Agar garis m dan n sejajar harus dipenuhi syarat : x1 – x2
- Agar garis m dan n saling tegak lurus, maka harus dipenuhi syarat :
x1.x2 – 1
Misalnya pasangan garis yang sejajar
- Garis h dengan persamaan 3x + 2y – 5 = 0 dengan
- Garis I dengan persamaan 3x + 2y + 2 = 0
Misalnya pasangan garis yang saling tegak lurus
- Garis m dengan persamaan 5x – y + 8 = 0 dengan
- Garis n dengan persamaan x + 5y – 3 = 0
Generally :
a. Garis yang melalui (x1, y1) dan tegak lurus garis ax + by + c = 0,
persamaanya adalah
bx – ay = bx1 = ay1
b. Garis yang melalui (x1, y1) dan sejajar garis ax + by + c = 0,
persamaannya adalah
ax – by = ax1 – by1
Contoh!
1. Tentukan persamaan garis melalui (-5, 2) dan tegak lurus dengan garis
3x -5y + 2 = 0.
Jawab :
3y + 5x
= 3(2) + 5(-5)
3y + 5x
= -19
3y + 5x + 19 = 0
2. Tentukan persamaan garis melalui (2,1) dan sejajar dengan garis 2x +
3y -5 = 0.
Jawab :
2x + 3y
= 2(2) + 3(1)
2x + 3y
=7
2x + 3y + 7 = 0
C. Persamaan Garis Lurus
- Persamaan garis lurus yang bergradien m dan melalui titik A(x 1, y1)
dapat diketahui dengan rumus :

y – y1 = mx –x1

-

Persamaan garis yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) dapat
diketahui dengan rumus:
x 2−¿ x
y – y1 = y 2 − y 1 (x – x1)
¿
1

42

-

Persamaan garis yang bergradien m dan melalui (o, q) dapat diketahui
dengan rumus :

y = mx + c

Contoh!
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(-3, 5) dan bergradien 2!
Jawab :
Persamaan umum : y = mx + c
Karena m = 2, maka : y = 2x + c
Melalui A(-3,5) ⇔ y = 2x + c
⇔ 5 = 2(-3) + c
⇔ c = 11
Jadi, persamaan garis yang dicari y = 2x + 11
2. Tentukan persamaan garis melalui A(5,2) dan B(-3,4)
Jawab :
x 2−¿ x
y – y1 = y 2 − y 1 (x – x1)
¿
4−2
y–2=
(x – 5)
−3−5
2
y–2=
(x – 5)
−8
-8(y – 2) = 2(x – 5)
-8y + 16 = 2x – 10
2x + 8y – 26 = 0
x + 4y – 13 = 0
3. Tentukan persamaan garis melalui (3,5) dan bergradien 2.
Jawab :
y = mx + c
y = 2x + c
Karena garis melalui (3,5) maka harus dipenuhi :
5 = 2.3 + c
5=6+c
C = -1
Jadi persamaan garisnya y = 2x - 1
1

43

BAB XVI
LINGKARAN
A. Unsur – Unsur Lingkaran
O = pusat lingkaran
OA = jari – jari lingkaran
AC = diameter
Daerah arsiran I = juring atau sektor lingkaran
Daerah arsiran II = tembereng
Garis lengkung BEC = busur lingkaran
Garis lurus BC = tali busur
OD = aphotema
Sudut AOB = sudut pusat
Sudut ACB = sudut keliling
SUDUT PUSAT DAN KELILING
1
- Sudut pusat = 2 x sudut keliling ATAU sudut keliling =
x sudut
2
pusat.
Notice!!
Sudut pusat menempel di titik pusat
Sudut keliling menempel di tepi lingkaran
- Sudut keliling yang menghadap diameter sebesar 900.
44

-

Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama
besar.
Jumlah sudut pada bangun segi empat di dalam lingkaran yang
sehadap adalah sebesar 1800.

B. Keliling dan Luas lingkaran
Rumus Keliling Lingkaran adalah :
K = π d
=2 π r
Rumus Luas Lingkaran adalah :
L = π r2
1
π d2
=
4
Contoh Soal!
Tentukan luas dan keliling daerah arsiran berikut!

Jawab :
Luas

=
=

=
Keliling =
=
=

1
π r2
4
1
.3,14 . 10 . 10
4
78,5
OA + OB + BA
1
10 + 10 +
+ 3,14 . 20
4
35,7

C. Hubungan Sudut usat, Panjang Busur dan Luas Juring

Panjang busur AB =
a
x
keliling
360
lingkaran
a
Luas juring =
x
360
luas lingkaran

busur AB
sudut a
Sudut a adalah sudut
=
pusat
busur CD
sudut b
Sudut b adalah sudut
luas juring OAB
=
keliling
lua juring COD
Maka berlaku :
ao = 2bo
45

Contoh!
= 40

Dari gambar di samping, luas juring AOB = 96 cm 2 dan
∠ . Jika luas
juring DOC = 84 cm2, berapakah besar sudut COD!

Jawab:
luas juring AOB
∠ AOB
Jadi besar

∠

=

luas juring COD
∠ COD

x

96
40

=

84
x

∠ AOB

= 35

COD = 35o

Atau
Dari gambar di samping diketahui OA = 21 cm
∠ ABC = 600, maka ∠ AOC = 2 x 600 = 1200
120 0
Maka Luas daerah AOC =
x luas lingkaran
0
360
1
22
=
x
x 21 x 21
3
7
= 462
Jadi luas juring AOC = 462o
D. Segi n Beraturan
Besar sudut pusat segi n adalah

360
n

0

Besar tiap-tiap sudut segi n adalah 1800 -

360 0
n

atau

n−2 x 180
n

Jumlah sudut-sudut segi n = 180n - 3600
Misalnya :
Tentukan besar sudut segi n beraturan jika besar sudut pusat segi n
tersebut 720!
Jawab :
Besar sudut segi n = 1800 – 720
= 1080
E. Segi Empat Tali Busur
∠ A+
∠ B+
Misalnya :

∠ C = 1800
∠ D = 1800

Pada gambar di samping, jika ∠ ABC = (4x – 10)0 dan
∠ ADC = (x + 5). Tentukan nilai x!
46

Jawab :
∠ B + ∠ D = 1800
4x – 10 + x + 5 = 1800 5x – 5 = 1800
5x = 185
x = 37
F. Sudut Antara Dua Tali Busur

Besar

∠ AEB

∠ DOC+∠ AOB )

=

1
∠ ABC
( Besar
2
∠ AOC +∠ DOE )

=

1
(
2

Misalnya :
Diketahui busur PS = 1400 dan busur QR = 600
Hitunglah besar sudut QTR!
Jawab :
1
∠ QTR =
(busur PS + busur QR)
2
1
=
(1400 + 600)
2
= 1000
G. Garis Singgung

Panjang garis singgung persekutuan Panjang garis singgung persekutuan
luar =
dalam
R−r
R+r
¿
¿
¿
¿
PL =
PD =
AB 2 −¿
AB 2 −¿
√¿
√¿
Misalnya :
Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari 7 cm dan 5 cm. panjang
garis singgung persekutuan dalamnya 16 cm. tentukan jarak kedua pusat
lingkaran!
47

Jawab :
Jarak kedua pusat lingkaran = x, maka
R+r
¿
¿
x =
PD 2+¿
√¿
= √ 162+ 122
= √ 400
= 20
Jadi, jarak kedua pusat lingkaran adalah 20 cm.
H. Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga

Panjang jari-jari lingkaran dalam Panjang jari-jari luar segitiga
segitiga
luas segitiga ABC
AB . AC . BC
r=
r=
1
4 luas segitiga ABC
keliling segitiga ABC
2
Misalnya :
Dalam segitiga siku-siku PQR panjang sisi QR = 15 cm, PQ = 9 cm, dan PR
= 12 cm. Tentukan panjang jari-jari lingkaran luarnya!
Jawab :
PQ = 9, PR = 12, QR = 15
PQ X PR
Luas ∆ PQR
=
2
9 x 12
=
2
= 54
PQ . PR . QR
L =
4 luas segitiga PQR
9 .12 .15
=
4 . 54
= 7,5
BAB XVII
KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN

48

1. Kesebangunan
Dua bangun datar dikatakan sebangun yaitu bentuk kedua bangun sesuai
dengan bentuk aslinya dengan ukuran diperbesar atau diperkecil, jika :
- Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
- Sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama.

Gambar

Pada bangun KLMN dan PQRS :
∠ K
= ∠ P
∠ L
⇒
= ∠ Q
besar
∠ M = ∠ R
∠ N
= ∠ S

sudut-sudut yang bersesuaian sama

Bangun KLMN sebangun dengan PQRS jika memenuhi :
KL LM MN NK
=
=
=
QR SR
PS PQ
Misalnya :
1. Panjang PS adalah …
Jawab :
AB QR
=
Gambar
CD PS
8 20
=
10 PS
BPS = 200
PS = 25
Jadi panjang PS adalah 25 cm.
2. Sebuah foto ditempel pada karton sehingga pada sebelah kiri, kanan
dan atas foto masih tersisa karton dengan lebar 6 cm. Jika panjang dan
lebar foto berturut-turut 12 cm dan 10 cm, maka lebar karton di bawah
foto adalah …
Jawab :
panjang foto panjang karton
=
lebar foto
lebar karton
12 18+ x
=
10
22
49

10(18 + x) = 12 . 28
180 + 10x = 264
10x = 84
X = 8,4
Jadi lebar karton di sebelah bawah foto adalah 8,4 cm.
Dua segitiga dikatakan sebangun yaitu bentuk kedua bangun sesuai
dengan bentuk aslinya dengan ukuran diperbesar atau diperkecil, jika :
- Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
- Sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama.
Misalnya :
Segitiga PQR sebangun dengan segitiga KLM, karena
memenuhi syarat :
∠ P= ∠ K
∠ R= ∠ L
GAMBAR
∠ Q= ∠ M
PR PQ QR
=
=
Dan berlaku
KL KM ML
Untuk menghitung panjang sisi pada bangun segitiga yang sebangun
dapat digunakan rumus berikut :
a c
p
a
p
c
= =
= =
1.
b d q− p
a+b q c+ d
GAMBAR
2. Jika ∆ ABC siku-siku di B dan BD
BC2 = CD . CA
BA2 = AD . AC
BD2 = DA . DC

⊥

AC, maka berlaku rumus :

GAMBAR

3. Jika sudut EBC dan sudut EDC saling berpelurus, maka berlaku rumus :
AB EB AE
=
=
AD CD AC
GAMBAR
4. Untuk bangun trapesium maka berlaku rumus berikut :
50

a c
=
b d

x=

p . b+q . a
a+ b

GAMBAR

Contoh Soal!
1. Pada gambar di samping besarnya x adalah …
Jawab :
12 12+ x
=
8
18
8(12 + x) = 12 . 18
96 + 8x = 116
8x = 120
x = 15
Jadi, x = 15
2. Diketahui PS = 64 cm dan SR = 36 cm. Tentukan QS, QR dan QP!
Jawab :
a. QR2 = RS . RP
QR = √ 36 .100
QR = 60 cm
b. QS2 = SP . SR
QS = √ 64 . 36
QS = 48 cm
c. QP2 = PS . PR
QP = √ 64 . 100
QP = 80 cm
3. Pada gambar di bawah ini diketahui sisi AB = 8 cm, AE = 4 cm, ED = 6
cm dan CD = 2 cm. Tentukan panjang sisi EF!
Jawab :
a. Cara 1
Buatlah garis DG // CB memotong di EF di H
AG = 8 – 2 = 6 cm
DE EH
6 EH
=
⟺ =
DA AG
10
6
EH = 3,6
EF = 2 + 3,6
EF = 5,6 cm

b. Cara 2
51

dc . ae+ ab . de
de +ae
2 . 4+ 8 .6
EF=
6+ 4
EF = 5,6 cm
EF =

4. Diketahui sisi CE = 5 cm, BE = 10 cm dan BD = 6 cm. Tentukan
panjang sisi AD!
Jawab :
BD BE
=
BC AB
6
10
=
15 AB
6 AB = 10 + 15
AB = 25 – 6
AB = 19 cm
2. Kekongruenan
Syarat dua segitiga dikatakan kongruen yaitu bangun-bangun mempunyai
bentuk dan ukuran yang sama adalah :
1. Satu sisi dan dua sudut pada sisi itu sama.
∠ A = ∠ P (sudut)
AB = PQ
∠ B= ∠ Q

2. Tiga sisi bersesuain sama besar.
KL = DE
KM = DF
LM = EF

3. Dua sisi dan dua sudut yang diapit sama.
TI = RH
∠ I= ∠ H
IK = HS

BAB XVIII
52

BANGUN RUANG SISI LENGKUNG, BANGUN RUANG SISI DATAR DAN BANGUN
DATAR
BANGUN RUANG SISI LENGKUNG
A. TABUNG
Rumus mengitung Tabung
- Luas Tabung
L ¿π r2
- Luas Selimut Tabung
L=2 π r t
- Luas Alas Tabung
L = π r2
Rumus Luas Tabung
L = 2 π r2 + 2 π r t
L = 2 π r (r + t)
Rumus Volume Tabung

V=

πr

2

t

Contoh Soal!
1. Sebuah drum berbentuk tabung dengan jari-jari 24 cm dan tinggi 70
cm berisi penuh air. Kemudian air dalam drum tersebut seluruhnya
akan ditaruh dalam kaleng-kaleng kecil masing-masing memiliki jarijari 6 cm dan tinggi 10 cm, sehingga kaleng penuh dengan air.
Tentukan banyaknya kaleng kecil yang diperlukan!
Pembahasan:
volume drum V 1
=
volume kaleng V 2
2
π r t1
=
2
π r t2
2
24 .70
=
62 . 10
= 112 buah
2. 10 kaleng susu terbuat dari alumunium. Jari-jari kaleng 10 cm dan
tingginya 15 cm (π = 3,14). Jika harga 1 m 2 alumunium Rp. 210.000,
tentukan biaya pembelian kaleng!
Pembahasan :
Luas 10 kaleng susu adalah :
10 L = 10 . 2 π r (r + t)
= 20 . 3,14 . 10 (10 + 15)
= 628 . 25
= 15700 cm2
53

Biaya pembelian kaleng :
15700
x 210000=329700
10000
Jadi biaya pembelian bahan kaleng adalah Rp. 329.000
B. KERUCUT
- Selimut kerucut
L = πrs
- Alas kerucut
L = πr2
Rumus Luas Kerucut

L

= p π2 + π r s
= p π (r + s)

Rumus Volum Kerucut
1
V
= 3 π r2 t
Contoh Soal!
1. Sebuah benda berbentuk kerucut dengan tinggi 3 m dan alasnya
berjari-jari 4 m. Untuk membuat tenda digunakan kain dengan harga
Rp 5.000 tiap meter persegi. Tentukan besarnya dana yang diperlukan
untuk pembelian bahan tenda!
Pembahasan :
Luas tenda = luas selimut kerucut
L=πrs
Dana yang diperlukan = 5000 . L
= 5000 . π r s
= 5000 . 3,14 . 4 . 5
= 314.000
Jadi dana yang diperlukan untuk membeli bahan tenda adalah Rp.
314.000
2. Sebuah tempat air berbentuk kerucut berdiameter 70 cm dan
tingginya 60 cm penuh berisi air. Tentukan Volum tempat tersebut!
Pembahasan :
1
Rumus volum kerucut =
π r2 t
3
1
22
70
70
=
.
.
.
. 60
3
7
2
2
= 77.000
Jadi volum air ditempat tersebut adalah 77000 ml = 77 L

54

C. BOLA
Unsur-unsur bola
- Pusat bola
- Jari-jari bola
- Diameter bola

GAMBAR

Rumus Luas Bola

L = 4 π r2
Rumus Volum Bola

V=

4
3

π r3

Contoh Soal!
1. Sebuah benda berbentuk belahan bola padat dengan jari-jari 14 cm.
Tentukan luas dan volum benda tersebut!
Pembahasan :
a. Luas benda
= 3 x luas lingkaran
= 3 π r2
= 3 . 3,14 . 14 . 14
= 1848
Jadi luas benda adalah 1848 cm2
1
b. Volum benda =
volum bola
2
1
3
22
=
.
.
. 14 . 14 . 14
2
4
7
1
= 5749
cm3
3
2. Sebuah bola berada di dalam tabung sehingga bola menyinggung
setiap sisi tabung. Jika volum tabung 200 cm 3, tentukan volum bola
tersebut!
Pembahasan :
Volume tabung 3
=
volume bola
2
2
Sehingga Vbola
= Vtab x
3
2
= 369 x
= 264 cm3
3
BANGUN RUANG SISI DATAR
55

A. KUBUS
Ciri-ciri kubus adalah :
- Mempunyai 6 sisi berbentuk persegi.
- Mempunyai 8 buah titik sudut.
- Setiap sisi kubus mempunyai 2 buah diagonal sisi, misalnya diagonal
sisi CF, EB, BD dsb.
- Mempunyai 4 buah diagonal ruang yaitu HB, DF, EC, dan AG.
- Mempunyai 6 bidang diagonal, misalnya ACGE.

Contoh jarring-jaring kubus adalah :

GAMBAR

Untuk sebuah kubus yang panjang rusuknya a cm, maka :

Jumlah panjang rusuknya = 12 a
Panjang diagonal sisi = a √ 2
Panjang diagonal ruang = a √ 3
Luas permukaan kubus = 6a2
Volume kubus = a3 (a x a x a)
Contoh Soal!
1. Luas permukaan kubus adalah 150 cm2. Tentukan volum kubus!
Pembahasan :
L
= 6a2
150 = 6a2
25
= a2
a
= √ 25
a
=5
V
= a3
= 53
= 125
Jadi volum kubus adalah 125 cm3
B. BALOK

56

Jumlah panjang rusuk balok = 4 (p x l x t)
Panjang diagonal ruang balok = √ p 2 x l 2 x t 2
Volum balok = p x l x t
Luas permukaan = 2 (pl + pt + lt)
Contoh Soal!
1. Perbandingan panjang, lebar dan tingg sebuah balok 5 : 2 : 1. Jika
volum balok 270 m3. Tentukan ukuran balok!
Pembahasan :
V
=pxlxt
270 = 5x . 2x . x
270 = 10x3
27
= x3
X
= √ 27
X
=3
2. Sebuah ruangan berbentuk balok berukuran p = 4 m, l = 3 m, dan t =
12 m. Tentukan pipa terpanjang yang dapat masuk ke dalam ruangan
tersebut!
Pembahasan :
Misalnya panjang pipa yang dapat masuk ke ruangan adalah r, maka :
r
= √ p 2 +l 2+ t 2
= √ 4 2 +32 +122
= √ 169
= 13
C. PRISMA
Di bawah ini adalah prisma segitiga ABCDEF

Volume prisma
Luas permukaan

= luas alas x tinggi
= 2 x luas alas + keliling alas x tinggi

Contoh Soal!
Sebuah prisma alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi
siku-siku masing-masing 6 cm dan 8 cm. jika tinggi prisma 5 cm, tentu