Analisis Pengaruh Monotonik Pada Graf Asiklik Berarah

ANALISIS PENGARUH MONOTONIK PADA GRAF ASIKLIK BERARAH
TESIS Oleh ERIEK MANIUR LUMBAN TOBING 097021004/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara

ANALISIS PENGARUH MONOTONIK PADA GRAF ASIKLIK BERARAH
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara Oleh
ERIEK MANIUR LUMBAN TOBING 097021004/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: ANALISIS PENGARUH MONOTONIK PADA GRAF ASIKLIK BERARAH
: Eriek Maniur Lumban Tobing : 097021004 : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua

(Prof. Dr. Tulus, M.Si) Anggota

Ketua Program Studi

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus : 16 Juni 2011

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal 16 Juni 2011
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Tulus, M.Si
2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 3. Drs. Sawaluddin, MIT

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Ada beberapa hubungan yang terdapat diantara efek monotonik dan efek lemah monotonik dan kemonotonan pada kondisi harapan pasti. Ada beberapa contoh yang disediakan untuk menunjukkan bahwa hubungan-hubungan tersebut memiliki batasan yang tidak sedikit. Selanjutnya, efek monotonik dapat digunakan sebagai tanda-tanda edge pada graf asiklik berarah kausal bahkan digunakan pada modifikasi efek kualitatif. Teori tersebut diaplikasikan pada sebuah contoh. Konsep kemonotonan dapat digunakan sebagai asumsi uji ada tidaknya variabel meragukan pada masing-masing contoh. Kata kunci: Jaringan bayesian, Graf acyclic berarah, Efek modifikasi, Monotonik
i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT Various relationships are shown hold between monotonic effects and weak monotonic effects and the monotonicity of certain conditional expectations. Counterexamples are provided to show that the results do not hold under less restrictive conditions. Monotonic effects are furthermore used to relate signed edges on a causal directed acyclic graph to qualitative effect modification. The theory is applied to an example. Monotonicity assumptions are used to construct a test for whether there is a variable that counfounds in each counterexamples. Keyword: Bayesian network, Directed acyclic graphs, Effect modification,
Monotonicity
ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Dengan segala kerendahan hati dan penuh sukacita, penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugerah dan berkatNya yang telah diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul : ANALISIS PENGARUH MONOTONIK PADA GRAF ASIKLIK BERARAH. Tesis ini merupakan salah satu syarat universitas menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih sebesarbesarnya kepada: Prof.Dr.dr.Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr.Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Prof.Dr.Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini.
Dr.Saib Suwilo, M.Sc selaku Pembimbing Utama penulisan tesis ini dan Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Prof.Dr Tulus, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis. Penulis juga mengucapkan terima kasih sebesar-

iii
Universitas Sumatera Utara

besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada orang tua Rustam Effendi Lumban Tobing dan Siti Delima Sitanggang yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih pada adik-adik Siska Jane Lumban Tobing, Ryan Tommi Lumban Tobing dan Agatha Serena Lumban Tobing yang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terima Kasih.
Medan, Juni 2011 Penulis,
Eriek Maniur Lumban Tobing
iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP Eriek Maniur Lumban Tobing dilahirkan di Medan pada tanggal 19 April 1985 dari pasangan bapak Rustam Effendi Lumban Tobing dan Ibu Siti Delima Sitanggang dan merupakan anak pertama dari empat bersaudara. Penulis merupakan lulusan SD Swasta Methodist-6 Medan, SMP Methodist-6 Medan, SMA Negeri 12 Medan. Pada tahun 2003 penulis melanjutkan perkuliahan jenjang Strata Satu(S1) di Universitas Negeri Medan dan lulus tahun 2008. Pada tahun 2008 penulis menjadi guru honorer di SMP Swasta GKPI komplek Pamen Padang Bulan dan di SMP Kalam Kudus Medan sampai tahun 2011. Pada tahun 2010 penulis mengikuti tes CPNS di Kabupaten Serdang Bedagai dan dinyatakan lulus, kemudian pada 26 april 2011 diangkat menjadi CPNS. Pada tahun 2009 penulis melanjutkan perkuliahan jenjang Strata Dua (S2) di Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Kontribusi Penelitian 1.5 Metode Penelitian BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 3 LANDASAN TEORI 3.1 Definisi Efek Monotonik 3.2 Efek Monotonik dan Kondisi Ekspektasi 3.3 Efek Modifikasi dan Efek Monotonik
BAB 4 PEMBAHASAN
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan

Halaman
i ii iii v vi viii 1 1 1 2 2 2 3
6 6 8 16 20
26 26

vi
Universitas Sumatera Utara

5.2 Saran DAFTAR PUSTAKA

26 27

vii
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

4.1 Graf berarah dengan 4 verteks dan 5 arcs 4.2 Graf berarah dengan 4 verteks dan 5 arcs 4.3 Graf berarah dengan 5 verteks dan 8 arcs

Halaman
22 23 23

viii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Ada beberapa hubungan yang terdapat diantara efek monotonik dan efek lemah monotonik dan kemonotonan pada kondisi harapan pasti. Ada beberapa contoh yang disediakan untuk menunjukkan bahwa hubungan-hubungan tersebut memiliki batasan yang tidak sedikit. Selanjutnya, efek monotonik dapat digunakan sebagai tanda-tanda edge pada graf asiklik berarah kausal bahkan digunakan pada modifikasi efek kualitatif. Teori tersebut diaplikasikan pada sebuah contoh. Konsep kemonotonan dapat digunakan sebagai asumsi uji ada tidaknya variabel meragukan pada masing-masing contoh. Kata kunci: Jaringan bayesian, Graf acyclic berarah, Efek modifikasi, Monotonik
i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT Various relationships are shown hold between monotonic effects and weak monotonic effects and the monotonicity of certain conditional expectations. Counterexamples are provided to show that the results do not hold under less restrictive conditions. Monotonic effects are furthermore used to relate signed edges on a causal directed acyclic graph to qualitative effect modification. The theory is applied to an example. Monotonicity assumptions are used to construct a test for whether there is a variable that counfounds in each counterexamples. Keyword: Bayesian network, Directed acyclic graphs, Effect modification,
Monotonicity
ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang

Graf adalah himpunan pasang berurut himpunan verteks V dan himpunan edge E, dimana V = ∅. Graf berarah D adalah graf yang masing-masing edgenya memiliki arah, yang selanjutnya disebut arc. Graf asiklik berarah adalah graf berarah dimana tidak terdapat siklik berarah.
Graf asiklik berarah merupakan model yang sangat populer yang digunakan untuk mempelajari hubungan-hubungan antara verteks-verteks, juga dapat digunakan untuk mempelajari hubungan-hubungan antara variabel-variabel dalam suatu data.
Pada graf asiklik berarah, verteks merepresentasikan variabel-variabel data, sedangkan arc merepresentasikan informasi atau pengaruh yang terjadi antara variabel-variabel tersebut. Contohnya, arc A → B merepresentasikan nilai probabilitas A terhadap nilai probabilitas B.
Nilai-nilai probabilitas yang terjadi pada graf asiklik berarah tidak menutup kemungkinan menunjukkan suatu kecenderungan naik, tidak turun atau turun, tidak naik. Kecenderungan tersebut selanjutnya disebut monotonik.
Pada graf asiklik berarah, monontonik yang terjadi tentunya memiliki arti, khususnya dalam mempelajari hubungan-hubungan antara verteks-verteks. Oleh karena itu, tesis ini menganalisa apa pengaruh terjadinya monotonik dalam graf asiklik berarah terhadap suatu penarikan kesimpulan
1.2 Perumusan Masalah
Rumusan masalah yang akan dibahas dalam tesis ini adalah menganalisis sifat-sifat probabilistik mengenai efek monotonik dan efek lemah monotonik pada graf asiklik berarah.
1
Universitas Sumatera Utara

2 1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah menganalisis sifat-sifat probabilistik mengenai efek monotonik dan efek lemah monotonik pada graf asiklik berarah.
1.4 Kontribusi Penelitian Salah satu kontribusi penelitian adalah memperkaya khasanah ilmu penge-
tahuan khususnya pada graf asiklik berarah.
1.5 Metode Penelitian Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan metode tinjauan pustaka.
Adapun langkah-langkah yang akan dilakukan adalah sebagai berikut: 1. Menjelaskan notasi yang digunakan dan mendefinisikan graf asiklik berarah. 2. Menganalisis hubungan-hubungan verteks pada graf asiklik berdasarkan contoh-contoh yang akan ditampilkan. 3. Mendefinisikan konsep efek monotonik dan efek lemah monotonik pada graf asiklik berarah. 4. Menampilkan sejumlah hasil yang berhubungan dengan efek lemah monotonik pada kondisi pasti. 5. Menampilkan sejumlah hasil yang berhubungan dengan efek lemah monotonik setelah dimodifikasi. 6. Menarik kesimpulan dari hasil penelitian
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
Ada beberapa peneliti yang telah mempertimbangkan variasi kemonotonan pada graf, graf asiklik berarah ataupun di Bayesian Network. Sifat monoton pada graf memiliki ruang lingkup yang besar untuk dipelajari. Sifat monoton bisa diuji dengan uji one-sided error. Sifat graf P dikatakan monoton jika graf tersebut tertutup terhadap pertukaran tempat edge dan verteks. Dengan kata lain, jika graf G tidak memenuhi P maka sebarang graf yang memuat G sebagai subgraf tidak memenuhi P , (Alon dan Shapira, 2005).

Himpunan pasang berurut (G, f ), dengan Graf G dan fungsi f, graf G memiliki path monoton jika dan hanya jika G memuat subgraf dan sikelnya memiliki panjang minimal 5, (Bialostochi dan roditty, 1986).
Pada konteks graf asiklik, ada 5 kemungkinan hubungan antara verteks yaitu: (XY ) tidak memiliki edge yang berarti tidak memiliki hubungan kausal, (X − Y ) memiliki edge yang tidak berarah berarti tidak memiliki intepretasi kausal, (Y → X) memiliki arc berarti memiliki variasi di Y dengan variabel lainnya konstan dan mengakibatkan variasi yang linear di X, (X → Y ) memiliki arc berarti memiliki variasi di X dengan variabel lainnya konstan dan mengakibatkan variasi yang linear di Y , (X → Y ) memiliki edge dua arah berarti intepretasi hubungan kausal 2 arah antara X dan Y , (Yang et al, 2005).
Wellman (1990) mengenalkan konsep pengaruh kualitatif dan memperoleh hasil yang bervariasi. Pengaruh kualitatif tersebut menunjukkan relasi secara kualitatif yang terjadi antara variabel-variabel yang dihubungkan oleh arc. Secara umum, pengaruh kualitatif Wellman dituliskan dengan G = (V, Q); V merupakan himpunan variabel; Q merupakan hubungan secara kualitatif. Van der Gaag et al (2004) menunjukkan cara mengidentifikasi apakah sebuah network itu memiliki sifat kemonotonan atau tidak.
3
Universitas Sumatera Utara

4
Pearl (1995) mengatakan, suatu graf asiklik berarah kausal merupakan himpunan verteks-verteks (x1, ..., xn) dan edge berarah diantara verteks-verteks sehingga graf tidak mempunyai siklik setiap verteks xi pada graf asiklik berarah memiliki persamaan struktural non-parametrik xi = fi(pai, εi) dimana pai orangtua xi pada graf, εi bebas satu sama lain. Selanjutnya, O digunakan untuk menotasikan ruang sampel εi dan ωi yang digunakan untuk menotasikan sebuah titik partikular dalam ruang sampel. Persamaan struktural non-parametrik ini dilihat sebagai bentuk umum dari path analisis dan model persamaan linier struktural (Pearl, 1995; 2000) yang dikembangkan oleh Wright (1921) dalam literatur genetik dan Haavelmo (1943) dalam literatur ekonometrik.
Graf asiklik berarah dapat ditafsirkan sebagai perwakilan hubungan kausal. Persamaan struktural non-parametrik disimbolkan sebagai counterfactual hubungan-hubungan antara variabel-variabel yang ada dalam graf. Persamaan-persamaan tersebut mereprensentasikan counterfactual yang lebih tepat dari counterfactual sebelumnya yang diperoleh dengan menggunakan substitusi rekursif. Kebutuhan εi bebas satu sama lain merupakan kebutuhan yang penting dimana tidak ada variabel yang tidak ada di graf, dimana jika termasuk dalam graf tersebut akan menjadi orangtua dari satu atau lebih variabel (Pearl,1995; 2000). Selanjutnya, Penafsiran kausal dari graf asiklik berarah dapat ditemukan dari penelitipeneliti lainnya (Pearl,1995; 2000; Spirtes et.al, 2000; David, 2002; Robins, 2003).
Suatu verteks C dikatakan sebagai commoncause dari A dan Y jika ada sebuah path berarah dari C ke Y tanpa melalui A dan sebuah path berarah dari C ke A tanpa melalui Y . v1, , vn : i < j dengan kata lain vi bukan datang dari vj. Suatu Collider merupakan verteks partikular pada suatu path dimana kedua verteks sebelum dan verteks berikutnya pada path memiliki edge ke dan edge dari, dimana edgenya memiliki tanda panah. Suatu path antara A dan B dikatakan blok yang diberikan oleh beberapa himpunan variabel Z jika salah satunya adalah variabel dalam Z pada path yang bukan Collider terhadap diri sendiri maupun datangnya dalam Z. Jika semua path antara A dan B terblok yang diberikan Z maka A dan B dikatakan d-separated Z, itu telah ditunjukkan bahwa jika A dan B d-separated jika diberikan Z maka A dan B bebas pada Z (Verma dan Pearl,1988; Geiger.et.all,1990; lauritzen.et.all,1990).
Universitas Sumatera Utara

5 Selanjutnya, notasi (A ∪ B|Z) menotasikan bahwa A bebas dari B yang diberikan Z; (A ∪ B|Z)G menotasikan bahwa A dan B merupakan d-separated Z pada graf G. Kerangka graf asiklik berarah kausal telah dijamin berguna untuk menentukan apakah himpunan variabel-variabel yang diberikan atau tak satupun merupakan syarat cukup untuk mengontrol keraguan. Hasil yang paling penting untuk melihat ini adalah kriteria backdoor path (Pearl,1995). Suatu backdoor path adalah path dimana dimulai dengan sebuah edge berarah ke dalam A. Pearl (1995) menunjukkan bahwa pengaruh variabel A dan outcome Y , Jika sebuah himpunan variabel-variabel Z dimana tidak ada variabel variabel Z yang datang dari A dan Z memblok semua path backdoor dari A ke Y kemudian, keadaan Z merupakan syarat cukup untuk mengontrol keraguan untuk estimasi efek kausal dari A atas Y . Nilai counterfactual Y mempengaruhi ke himpunan A = a dinotasikan YA = a.
Universitas Sumatera Utara

BAB 3 LANDASAN TEORI
Ada beberapa definisi, proposisi, dan lemma dari efek monoton yang akan dikenalkan dalam bentuk persamaan struktural nonparametrik graf asiklik berarah. 3.1 Definisi Efek Monotonik
Definisi 3.1 Persamaan struktural non-parametrik untuk beberapa verteks Y di graf asiklik berarah kausal dengan keluarga A dapat dituliskan: Y = f pay, A, εy dimana (pa)Y merupakan keluarga-keluarga dari Y selain A; A dikatakan memiliki efek monotonik positif di Y jika untuk setiap (pa)Y dan εY , f (paY , A1, εY ) f (paY , A2, εY ); A1 ≥ A2. A dikatakan memiliki efek monotonik negatif di Y jika untuk setiap (pa)Y dan εY , f (paY , A1, εY ) f (paY , A2, εY ); A1 ≥ A2.
Proposisi 3.2 Variabel A memiliki efek monotonik positif di Y jika dan hanya jika untuk setiap ω dan nilai-nilai (pa)Y , Ya1,pay (ω) Ya0,pay (ω); a1 a0.
Bukti. Dengan menggunakan Definisi 3.1, karena A memiliki efek monotonik positif berarti untuk setiap pay dan εy berlaku

f (pay , a1, εy) ≥ f (pay, a0, εy) ; a1 ≥ a0 f (pay, a1, εy(w)) ≥ f (pay, a0, εy(w)) ; a1 ≥ a0
Yai,pay(w) ≥ Ya0,pay(w) ; a1 ≥ a0. Jika untuk setiap w dan pay, berlaku
Yai,pay(w) ≥ Ya0,pay(w) ; a1 ≥ a0, maka pertidaksamaan di atas dapat ditulis
f (pay, a1, εy(w)) ≥ f (pay, a0, εy(w)) ; a1 ≥ a0, dengan kata lain A memiliki efek monotonik positif.
6
Universitas Sumatera Utara

7
Definisi 3.3 Andai variabel A merupakan keluarga dari beberapa variabel Y dan paY menotasikan keluarga Y selain A. A dikatakan memiliki efek lemah monotonik positif di Y jika fungsi survivor S(y|a, paY ) = P (Y > y|A = a, paY ); a1 ≥ a0 maka S(y|a0, paY ) ≥ S(y|a0, paY ) untuk setiap y dan paY ; A dikatakan memiliki efek lemah monotonik negatif di Y jika fungsi survivor S(y|a, paY ) = P (Y > y|A = a, paY ); a1 ≥ a0 maka S(y|a0, paY ) ≤ S(y|a1, paY ) untuk setiap y dan paY .
Proposisi 3.4 Jika A memiliki efek monotonik positif di Y maka A juga memiliki efek lemah monotonik positif di Y .
Bukti. Karena A memiliki efek monotonik positif di Y , untuk a1 ≥ a0 diperolehlah S(y|a1, paY ) = P (Y > y|a1, paY = P {f (paY , a1, εY ) > y} ≥ P {f (paY , a0, εY ) > y} = P (Y > y|a0, paY = S(y|a1, paY ).
Definisi 3.5 Sebuah edge pada graf asiklik berarah kausal dari X ke Y bertanda positif jika X memiliki efek monotonik positif di Y . Sebuah edge dari X ke Y bertanda negatif jika X memiliki efek monotonik negatif di Y . Jika X tidak memiliki efek monotonik positif maupun efek monotonik negatif di Y , maka edge dari X ke Y dikatakan tanpa tanda.
Definisi 3.6 Tanda sebuah path pada graf asiklik berarah kausal merupakan product dari masing-masing edge yang membentuk path tersebut. Jika salah satu edge pada path tidak memiliki tanda maka tanda dari path dikatakan tak terdefinisikan.
Definisi 3.7 Dua variabel X dan Y dikatakan berasosiasi monotonik positif jika setiap path berarah dari X ke Y atau dari Y ke X bertanda positif dan setiap common cause Ci dari X dan Y sehingga setiap path berarah dari Ci ke X memiliki tanda yang sama dengan setiap path berarah dari Ci ke Y . Dua variabel X dan Y dikatakan berasosiasi monotonik negatif jika setiap path berarah dari X ke Y atau dari Y ke X bertanda negatif dan setiap common cause Ci dari X dan Y sehingga setiap path berarah dari Ci ke X memiliki tanda yang berlawanan dengan setiap path berarah dari Ci ke Y .
Universitas Sumatera Utara

8

3.2 Efek Monotonik dan Kondisi Ekspektasi

Lemma 3.8 Jika h(y, a, r) tak turun di y dan a dan S(y|a, r) = P (Y > y|A = a, R = r) tak turun di a untuk setiap y maka E(h(Y, A, R)|A = a, R = r) juga tak turun di a.

Bukti. Untuk a ≥ a′ diperoleh

E(h(Y, A, R)|A = a, R = r) − E(h(Y, A, R)|A = a′, R = r)

=

y=∞ y=−∞

h(y,

a,

r)dF

(y|a,

r)

−

y=∞ y=−∞

h(y,

a′,

r)dF

(y|a′,

r)

=

y=∞ y=−∞

h(y,

a,

r)d{F

(y|a,

r)

−

F

(y|a′,

r)}

+

y=∞ y=−∞

{h(y,

a,

r)

−

h(y,

a′,

r)}

dF (y|a′, r)

= [h(y, a, r){F (y|a, r)−F (y|a′, r)}]yy==∞−∞−

y=∞ y=−∞

{F

(y

|a,

r)−F

(y|a′,

r)}dh(y,

a,

r)+

y=∞ y=−∞

{h(y,

a,

r)

−

h(y,

a′,

r)}dF

(y|a′,

r)

=

y=∞ y=−∞

{S(y|a,

r)−S(y|a′,

r)}dh(y

,

a,

r)+

y=∞ y=−∞

{h(y

,

a,

r)−h(y

,

a′,

r)}dF

(y|a′,

r).

Hasil yang diperoleh bernilai non-negatif karena kedua integral tersebut bernilai

non-negatif untuk a =≥ a′.

Proposisi 3.9 Andai edge A − Y ada dan positif. Misal X menotasikan beberapa himpunan yang tidak berasal dari Y untuk setiap y termasuk paY , Keluarga Y selain A, maka E(Y |X = x, A = a) tak turun untuk setiap nilai x.

Bukti. Diberikan E(Y |X = x, A = a) = E(Y |paY , A = a) dan karena A memiliki efek monotonik positif(lemah), diperolehlah bahwa S(y|a, paY ) yang tak turun di a dan menurut Lemma 3.8 bahwa E(Y |X = x, A = a) = E(Y |paY , A = a) tak turun di a.

Lemma 3.10 Andai A tak berasal dari Y dan misal Q menotasikan himpunan ancestor A atau Y dimana tak berasal dari A. Misal R = (R1, ..., Rm) menotasikan daftar berurut dari beberapa himpunan verteks-verteks path berarah dari A ke Y sehingga untuk setiap I backdoor path dari Ri ke Y terblok oleh Ri, ..., R(i − 1), A dan Q. Misal V0 = A dan Vn = Y dan misal V1, ..., V(n − 1) daftar berurut setiap verteks dimana bukan anggota R tetapi ada dalam path berarah dari A ke Y sehingga sedikitnya ada satu verteks di path berarah ke Y yang tidak terblok R. Misal V k = V1, ..., Vk maka S(vk|a, v(k − 1), q, r) = S(vk|pavk).

Universitas Sumatera Utara

9
Bukti. Untuk membuktikan lemma ini, selanjutnya path dari A ke B dikatakan frontdoor path dari A ke B jika path tersebut dimulai edge berarah yang tanda panahnya keluar dari A. Misal Qk dan Rk subhimpunan dari Q dan R secara berturut-turut dimana V k ancestornya. Akan ditunjukkan bahwa S(Vk|a, v1, ..., vk−1, q, r) = S(vk|a, v1, ..., vk−1, q, rk) = S(vk|a, v1, ..., vk−1, qk, rk) = S (vk |pavk ).
Jika Rk = R, maka persamaan pertama terpenuhi. Andai Rk = R sehingga Rm bukan ancestor Vk. Semua path frontdoor dari Rm ke Vk harus collider karena Rm bukan ancestor Vk. Collider ini tidak ada di dalam A, V1, ..., Vk−1, Q, R1, ..., Rm−1 karena semua variabel tak berasal dari Rm. Karena itu, semua path-path frontdoor dari Rm ke Vk akan terblok oleh A, V1, ..., Vk−1, Q, R1, ..., Rm−1. Semua path backdoor dari Rm ke Vk dengan satu edge pergi ke Vk akan terblok oleh A, V1, ..., Vk−1, Q, R1, ..., Rm−1 (pavk akan terdiri dari variabel A, V1, ..., Vk−1, Q, Rk karena ada satu path berarah dari Vk ke Y dan Q termasuk semua ancestor Y yang tidak berada di path berarah dari A ke Y ). Semua path backdoor dari Rm ke Vk dengan satu edge yang keluar dari Vk akan terblok oleh A, Q, R1, ..., Rm−1. Selain itu, ada satu path backdoor dari Rm ke Y melalui Vk tidak terblok oleh A, Q, R1, ..., Rm−1. Tetapi, semua path backdoor dari Rm ke Vk dengan satu edge keluar dari Vk dimana terblok oleh A, Q, R1, ..., Rm−1 juga akan terblok oleh A, V1, ..., Vk−1, Q, R1, ..., Rm−1. Ini dikarenakan satu path yang satu edgenya keluar dari Vk yang terblok oleh A, Q, R1, ..., Rm−1 tetapi tidak terblok oleh A, V1, ..., Vk−1, Q, R1, ..., Rm−1 dimana memerlukan salah satu dari V1, ..., Vk−1, katakan Vp collider di path atau asal collider. Jika salah satu V1, ..., Vk−1 adalah collider kemudian path tersebut akan terblok oleh keluarga collider karena semua keluarga dari V1, ..., Vk−1 ada di dalam A, V1, ..., Vk−1, Q, R1, ..., Rm−1. Jika salah satu dari V1, ..., Vk−1, katakan Vp yang merupakan asal dari collider kemudian tidak satupun path berarah dari collider ke Vp berisi verteks-verteks di R1, ..., Rm−1 selain itu, path tersebut tidak akan terblok oleh A, Q, R1, ..., Rm−1; untuk alasan yang sama, collider itu sendiri tidak berada di R1, ..., Rm−1. Demikian pula, collider itu sendiri satu-satunya di path V1, ..., Vp−1 karena merupakan ancestor dari Vp dimana path berarah sampai Vp tidak terblok oleh R. Meskipun begitu, jika collider adalah salah satu diantara V1, ..., Vp−1 maka path tersebut terblok oleh keluarga collider karena semua keluarga V1, ..., Vk−1 berada didalam A, V1, ..., Vk−1, Q, R1, ..., Rm−1.
Universitas Sumatera Utara

10
Hal ini mengatakan bahwa semua path backdoor dari Rm ke Vk dengan edge keluar dari Vk terblok oleh A, V1, ..., Vk−1, Q, R1, ..., Rm−1. Telah ditunjukkan bahwa Vk dan Rm d-separated di A, V1, ..., Vk−1Q, R1, ..., Rm−1 sehingga
S(vk|a, v1, ..., vk−1, q, r) = S(vk|a, v1, ..., vk−1, q, r1, ..., rm−1)

Sama halnya, jika Vk dan Rm−1 d-separated di A, V1, ..., Vk−1, Q, R1, ..., Rm−2 sehingga S(vk|a, v1, ..., vk−1, q, r1, ..., rm−1) = S(vk|a, v1, ..., vk−1, q, r1, ..., rm−2). Secara umum ditulis :
S(vk|a, v1, ..., vk−1, q, r) = S(vk|a, v1, ..., vk−1, q, rk)

Q Semua path backdoor dari Vk ke Qk akan terblok oleh pavk jika diberikan

A, V1, ..., Vk−1, Qk, Rk.

Karena Vk

tidak

berasal

dari

Q Qk

semua

frontdoor

dari

Q Vk ke Qk memiliki paling sedikit satu collider yang berasal dari Vk. Collider

tersebut tidak berada didalam A, V1, ..., Vk−1, Qk, Rk karena seluruh himpunan

yang tidak berasal dari Vk dan juga collider tersebut akan mem-blok path front-

door

dari Vk

ke

Q Qk

.

Oleh karena Vk

dan

Q Qk

adalah d-separated

jika diberikan

A, V1, ..., Vk−1, Qk, Rk diperolehlah

S(vk|a, v1, ..., vk−1, q, rk) = S(vk|a, v1, ..., vk−1, qk, rk)

Selanjutnya, A, V1, ..., Vk−1, Qk, Rk tidak berasal dari Vk dan termasuk semua keluarga dari Vk diperolehlah

S(vk|a, v1, ..., vk−1, qk, rk) = S(Vk|paVk )

Maka dapat ditulis menjadi S(vk|a, v1, ..., vk−1, q, r) = S(vk|a, v1, ..., vk−1, q, rk) = S(vk|a, v1, ..., qk, rk) = S (Vk|pavk )

Lemma 3.11 Jika setiap path berarah dari A ke Y memenuhi kondisi Lemma 3.10 bertanda positif kecuali kemungkinan melalui R maka S(y|a, q, r) tak turun di a.

Universitas Sumatera Utara

11
Bukti. Misal V0 = A; Vn = Y dan V1, ..., Vn−1 daftar semua verteks yang tidak ada didalam R tetapi ada di path-path berarah dari A ke Y sehingga paling sedikit satu path berarah dari masing-masing verteks ke Y yang tidak terblok oleh R. Misal V k = V1, ..., Vk. Ini dapat ditunjukkan secara induksi, dimulai dengan n = k dan untuk setiap iterasi k iterasi dengan menggantikan negasi keluarga dari Vk dengan edge-edge negatif ke Vk, itu cukup untuk memperoleh satu graf sehingga semua edge pada semua path berarah dari A ke Y tidak ter-blok oleh R yang memiliki tanda positif. Dapat dituliskan dengan :
E(E(...E(E(1(Vn > v)|A, V n−1V n−1, Q, R)|A, V n−2, Q, R)|...|A, V1, Q, R)|A, Q, R).
Jika dinyatakan dalam A, V n−1\Vi, Q diperoleh,
E(1(Vn > v)|A, V n−1, Q, R
tidak turun di Vi untuk i = 1, ..., n − 1 karena Vi memiliki efek lemah monotonik positif atau tidak ada efek pada Vn. Jika dinyatakan dalam A, V n−1\{Vi, Vn−1}, Q, R diperoleh :
E(1(Vn > v)|A, V n−1, Q, R) Bukan merupakan fungsi tak turun dari vi dan vn−1. Selanjutnya, menurut Lemma 3.10 diperoleh bahwa S(vn−1|a, v1, ..., vn−2, q, r) = S(vn−1|pavn−1) dan juga S(vn−1|a, v1, ..., vn−2, q, r) = S(vn−1|pavn−1 ) tidak turun di vi untuk setiap a, v1, vi−1, vi+1, ..., vn−2, q, r karena Vi memiliki efek lemah monotonik positif atau tidak memiliki efek atas Vn−1. Menurut Lemma 3.8, dapat dinyatakan dalam, A, V n−1\Vi, Q, R,
E(E(1(Vn > v)|A, V n−1V n−1, Q, R)|A, V n−2, Q, R)
Tidak turun di dalam vi untuk i = 1, ..., n − 2. Dapat juga dinyatakan dalam A, Q, R diperoleh,
E(...E(E(1(Vn > v)|A, V n−1V n−1, Q, R)|A, V n−2, Q, R)|...|A, V1, Q, R)
Bukan merupakan fungsi turun v1 dan v0 = a dan karena A memiliki efek lemah monotonik positif atau tidak memiliki efek atas V1, S(v1|a, q, r) = S(v1|pav1) tidak akan turun di a dan menurut Lemma 3.8, S(y|a, q, r) = E(1(Vn > y)|A, Q, R) =
Universitas Sumatera Utara

12
E(E(...E(E(1(Vn > v)|A, V n−1V n−1, Q, R)|A, V n−2, Q, R)|...|A, V1, Q, R)|A, Q, R). tidak akan turun di a.
Proposisi 3.12 Andai A tak berasal dari Y dan misal X menotasikan beberapa himpunan yang yang tak berasal dari A yang mem-blok setiap backdoor path dari A ke Y . Misal R = (R1, ..., Rm) menotasikan daftar berurut beberapa himpunan verteks-verteks pada path berarah dari A ke Y sehingga untuk setiap I backdoor path dari Ri ke Y ter-blok oleh Ri, ..., Ri−1, A dan X. Jika setiap path berarah dari A ke Y bertanda positif kecuali kemungkinan melalui R maka S(y|a, x, r) dan hE(y|a, x, r) tak turun di a.
Bukti. Misal Q himpunan ancestor dari A atau Y yang tidak berasal dari A. Perlu diingat, jika untuk setiap i path backdoor dari Ri ke Y tidak terblok oleh R1, ..., Ri−1, A dan X kemudian path-path backdoor juga akan ter-blok oleh R1, ..., Ri−1, A dan Q karena untuk setiap path backdoor dari Ri ke X, ada beberapa anggota dari {A} ∪ Q yang melalui path tersebut. Menurut Lemma 3.8, karena Q memblok semua path backdoor dari A ke Y diperoleh, S(y|a, x, r) = E(E(Y > y)|a, Q, x, r|a, x, r) = E(E(1(Y > y)|a, Q, r)|a, x, r) = E(E(1(Y > y)|a, W, r)|a, x, r).
Dimana W subset Q yang salah satu keluarga Y atau keluarga verteks path berarah dari A ke Y . Misal W ′ subset W dimana ada satu path ke Y tidak terblok oleh A, X, R maka E(E(1(Y > y)|a, W, r)|a, x, r) = E(E(1(Y > y)|a, W ′, r)|a, x, r).
Semua path backdoor dari A ke W ′ terblok jika diberikan R dan X oleh X karena X memblok semua path backdoor dari A ke Y . Sebarang path frontdoor dari A ke W ′ termasuk ke dalam satu collider karena verteks-verteks di W ′ tidak berasal dari A. Collider tersebut tidak berada di X karena X tidak berasal dari A. Andai collider memuat beberapa verteks Ri; menurut hipotesis semua path backdoor dari Ri ke Y ter-blok oleh R1, ..., Ri−1, A dan X. Oleh karena path frontdoor dari A ke W ′ akan ter-blok oleh R1, ..., Ri−1, A dan X yang lainnya, ada path backdoor dari Ri ke Y melalui W ′ tidak ter-blok oleh R1, ..., Ri−1, A dan X. Dengan kata lain, setiap path frontdoor dari A ke W ′ harus ter-blok jika diberikan
Universitas Sumatera Utara

13
R dan X salah satunya oleh collider atau oleh satu verteks di R atau X. Telah ditunjukkan bahwa semua path dari A ke W ′ ter-blok jika diberikan R dan X dan juga W ′ saling bebas dengan A jika diberikan R dan X diperoleh, E(E(1(Y > y)|a, W ′, r)|a, x, r) = E(E(1(Y > y)|a, W ′, r)|x, r) = E(E(1(Y > y)|a, Q, r)|x, r). Telah ditunjukkan bahwa S(y|a, x, r) = E(E(1(Y > y)|a, Q, r)|x, r). Karena E(1(Y > y)|a, Q, r) tidak turun di a untuk setiap q diperoleh. Dengan kata lain, karena S(y|a, x, r) tidak turun di a, menurut Lemma 3.8, E(y|a, x, r) juga tidak turun di a.
Akibat 3.13 Misal X menotasikan beberapa himpunan tak berasal dari A dimana memblok setiap backdoor path dari A ke Y . Jika setiap path berarah antara A dan Y bertanda positif maka S(y|a, x) dan E(y|a, x) tak turun di a.
Proposisi 3.14 Andai A tidak berasal dari Y , dimana A biner, A dan Y positif monotonik berasosiasi maka E(Y |A) tak turun di A.
Proposisi 3.14 merupakan keadaan khusus dari Proposisi 3.15 dengan R = ∅ dan Q = ∅.
Proposisi 3.15 Andai A tidak berasal dari Y , dimana Y biner, A dan Y positif monotonik berasosiasi maka E(A|Y ) tak turun di Y .
Akibat 3.16 Andai A biner dan A dan Y positif monotonik berasosiasi maka E(Y |A) tak turun di A.
Proposisi 3.17 Andai A tak berasal dari Y dan A biner. Misal Q himpunan variabel-variabel yang tak berasal dari Y maupun A dan misal C commoncause dari A dan Y yang tak ada di Q. Jika setiap path berarah dari A ke Y bertanda positif dan setiap path berarah dari C ke A tak melalui Q bertanda sama seperti setiap path berarah dari C ke Y yang tidak melalui {Q, A} maka E(Y |A, Q) tak turun di A.
Universitas Sumatera Utara

14

Bukti. Dengan menggunakan iterasi, diperoleh

E(Y |A = a, Q = q) = E(Y |A = a, C = c, Q = q)P (C = c|A = a, Q = q)
c
Pada Proposisi 3.12, telah ditunjukkan bahwa E(Y |A, Q, C) tidak turun di A.
Misal (C1, ..., Cn) menotasikan daftar berurut dari variabel-variabel di C. Misal Qc variabel-variabel di Q yang merupakan commoncause dari C dan misal Qn = Q\Qc. Misal Qid merupakan variabel-variabel Qc yang berasal dari Ci. Misal Cid menotasikan variabel-variabel di C yang berasal dari Ci dan Misal Cin = C{Ci, Cid}. Menurut Proposisi 3.12, E(Y |A, Q, C) tidak turun di masing-masing Ci dari C untuk setiap i, A, di Proposisi 3.12 menjadi himpunan {Qn, Qc\Qid, Cin} dan R di Proposisi 3.12 menjadi himpunan {Qid, Cid, a}. Selanjutnya,

P (C

=

c|A

=

a, Q

=

q)

=

P (A

=

a|C = c, Q = q)P (C = P (A = a|Q = q)

c|Q

=

q)

Dan juga

P (C = c|A = 1, Q = q) = vq(c)P (C = c|A = 0, Q = q)

Dimana

vq(c)

=

P (A P (A

= =

0|Q 1|Q

= =

q)P (A q)P (A

= =

1|C 0|C

= =

c, Q c, Q

= =

q) q)

Tidak turun di masing-masing dimensi c karena pembilang dan penyebutnya tidak

turun di masing-masing dimensi c (Proposisi 3.12) untuk setiap pemilihan i, A di

dalam Proposisi 3.12 menjadi Ci, X di dalam Proposisi 3.12 menjadi himpunan {Qn, Qc\Qid, Cin} dan R di dalam Proposisi 3.12 menjadi himpunan {Qci , Cid}. Oleh karena itu,

E(Y |A = 1, Q = q)
= E(Y |A = 1, C = c, Q = q)P (C = c|A = 1, Q = q) c E(Y |A = 0, C = c, Q = q)P (C = c|A = 1, Q = q) c
= E(Y |A = 0, C = c, Q = q)vq)(c)P (C = c|A = 0, Q = q) c E(Y |A = 0, C = c, Q = q)P (C = c|A = 0, Q = q) c
= E(Y |A = 0, Q = q).

Universitas Sumatera Utara

15

Pertidaksamaan kedua terpenuhi karena pernyataan tersebut sama dengan pernyataan sebelumnya = E(Y |A = 0, Q = q, C = c) yang tidak turun di masingmasing dimensi dari c dan P (C = c|A = 1, Q = q) = vq(c)P (C = c|A = 0, Q = q) bernilai lebih besar daripada P (C = c|A = 0, Q = q) karena vq(c) tidak turun di masing-masing c. Oleh karena itu, E(Y |A = a, Q = q) tidak turun di a.

Proposisi 3.18 Andai A tak berasal dari Y dan Y biner. Misal Q himpunan variabel-variabel yang tak berasal dari Y maupun A dan misal C commoncause dari A dan Y yang tak ada di Q. Jika setiap path berarah dari A ke Y bertanda positif dan setiap path berarah dari C ke A tak melalui Q bertanda sama seperti setiap path berarah dari C ke Y tak melalui {Q, A} maka E(A|Y, Q) tak turun di Y.

Bukti. Dengan menggunakan iterasi diperoleh :

E(A|Y = y, Q = q) = E(A|Y = y, C = c, Q = q)P (C = c|Y = y, Q = q)
c

= aP (A = a|Y = y, C = c, Q = q)P (C = c|Y = y, Q = q)
c,a

= a P (Y = y|A = a, C = c|Q = q) P (C = c|Y = y, Q = q) c,a P (Y = y, C = c|Q = q)

= a P (Y = y|A = a, C = c|Q = q) P (A = a, C = c|Y = y, Q = q) c,a P (Y = y|Q = q)

= Ec,a

A P (Y = y|A, C, Q = q) Q = q P (Y = y|Q = q)

Seperti pembuktian Proposisi 3.17, menurut Proposisi 3.12 dimana Q = q,

P (Y =1|A,c,Q=q) P (Y =1|Q=q

bukan

merupakan

fungsi

turun

di

A

dan

masing-masing

dimensi

C.

Sama

halnya

dengan,

P (Y =0|A,c,Q=q) P (Y =0|Q=q

bukan

merupakan

fungsi

turun

di

A

dan

masing-masing

dimensi C.

Jika C

=

c, A

=

a

dan

Q

=

q,

P (Y =y|A,C=c,Q=q) P (Y =y|Q=q

memili-

ki jumlah nilai fungsi sama dengan 1 EC,A

P (Y =y|A=a,C=c,Q=q) P (Y =y|Q=q)

=

P (Y =y|Q=q) P (Y =y|Q=q)

=

1.

Selanjutnya, menurut Proposisi 3.12, S(a|c, q) tidak turun di c dan karena itu

diperoleh :

E(A|Y = 1, Q = q) = EC,A EC,A

AP

(Y P

= (Y

1|A, C, Q = = 1|Q = q)

q)

Q=q

AP

(Y P

= (Y

0|A, C, Q = 0|Q =

= q)

q)

Q=q

= E(A|Y = 0, Q = q)

Dan juga E(A|Y, Q) tidak turun di Y .

Universitas Sumatera Utara

16
Akibat 3.19 Andai A biner. Misal Q himpunan-himpunan variabel yang tak berasal dari Y maupun A dan misal C commoncause dari A dan Y yang tak berada di Q. Jika setiap path berarah dari A ke Y bertanda positif dan setiap path berarah dari C ke A tak melalui {Q, Y } bertanda sama dengan setiap path berarah dari C ke Y tak melalui {Q, A} maka E(Y |A, Q) tak turun di Y .
3.3 Efek Modifikasi dan Efek Monotonik Jika keadaan pada variabel yang bersangkutan, tanda efek dari satu variabel yang lainnya berbeda-beda diantara keadaan variabel, maka kondisi variabel tersebut dikatakan efek modifikasi kualitatif. Definisi berikut menjelaskan kondisi efek modifikasi kualitatif secara utuh.
Definisi 3.20 Suatu variabel Q dikatakan efek modifikasi pada efek kausal A Atas Y jika Q tidak berasal dari A dan jika ada dua level di A, katakan a0 dan a1, sehingga E(YA=a1 |Q = q) − E(YA=a0 |Q = q) tidak konstan di q. Selanjutnya, Q dikatakan efek modifikasi kualitatif jika ada dua level di A, katakan a0 dan a1, dan dua level di Q, katakan q0 dan q1 sehingga tanda (E(YA=a1 |Q = q)− E(YA=a0 |Q = q1)) = tanda (E(YA=a1 |Q = q0) − E(YA=a0 |Q = q1)) .
Efek-efek monotonik dan efek lemah monotonik sangat erat hubungannya dengan konsep efek modifikasi kualitatif. Tepatnya dapat dilihat dalam Proposisi 3.9 dan 3.23.
Proposisi 3.21 Andai bahwa beberapa keluarga A1 di Y sehingga edge A1 − Y bertanda positif kemudian tidak ada keluarga A2 di Y dimana efek modifikasi kualitatif untuk efek kausal A1 pada Y , salah satunya tidak terpenuhi atau tak lebih dari beberapa stratum C = c dari Y selain A1 dan A2.
Bukti. Menurut Proposisi 3.21 di atas, jika A1 memiliki efek lemah monotonik positif atas Y maka E(Y |A1 = a1, A2 = a2, C = c) tidak turun di a1 dan jika A1 memiliki efek lemah monotonik negatif atas Y maka E(Y |A1 = a1, A2 = a2, C = c) tidak turun di a1. Karena (Y ∪A1|{A2, C})GE1 , dimana GE1 graf asiklik berarah original G dengan semua edge dari A1 yang dibuang, diperolehlah YA1=a ∪
Universitas Sumatera Utara

17

(A1|{A2, C}) (Pearl, 1995). Oleh karena E(YA1 |A2 = a2, C = c) = E(Y |A1 =
a1, A2 = a2, C = c) dan jika A2 merupakan efek modifikasi kualitatif untuk efek kausal A1 di Y untuk stratum C = c maka ada dua nilai A1, katakan A∗1 dan a1∗∗ dan dua level A2 katakan a′2 dan a2′′ sehingga E(Y |A1 = a∗1∗, A2 = a2′′, C = c) − E(Y |A1 = a1∗, A2 = a′2′, C = c) < 0 dan E(Y |A1 = a1∗∗, A2 = a2′ , C = c) − E(Y |A1 = a∗1, A2 = a′2, C = c) > 0. Jika salah satu terpenuhi a∗1∗ > a1∗ atau a∗1∗ < a1∗. Keadaan kasus pertama dan kedua itu analogi maka E(Y |A1 = a1∗∗, A2 = a2′′, C = c) − E(Y |A1 = a1∗, A2 = a′2′, C = c) < 0, A1 tidak memiliki efek lemah monotonik positif atas Y dan karena E(Y |A1 = a1∗∗, A2 = a′2, C = c) − E(Y |A1 = a1∗, A2 = a′2, C = c) > 0, A1 tidak memiliki efek lemah monotonik negatif atas Y . Jika A2 merupakan efek modifikasi kualitatif dari efek kausal A1 maka ada dua nilai A1, katakan a1∗ dan a∗1∗ dan dua level A2 katakan a1′ dan a′1′ sehingga E(YA1=a∗1∗|A2 = a′2′) − E(YA1=a∗1 |A2 = a2′′) < 0 dan E(YA1=a1∗∗|A2 = a2′ ) − E(YA1=a1∗|A2 = a2′ ) > 0. Jika salah satu terpenuhi a1∗∗ > a∗1 atau a1∗∗ < a∗1. Keadaan kasus pertama dan kedua itu analogi. Oleh karena itu,

E(Y

|A1

=

a∗1∗,

A2

=

a′′ 2

,

C

=

c)P (C

=

c|A2

=

a′′ 2

)

c

=

E(YA1=a1∗∗ |A2

=

a′′ 2

,

C

=

c)P (C

=

c|A2

=

a′′ 2

)

c

=

E(YA1=a1∗∗ |A2

=

a′′ 2

)

<

E(YA1=a∗1 |A2

=

a′′ 2

)

=

E(YA1=a∗1 |A2

=

a′′ 2

,

C

=

c)P (C

=

c|A2

=

a′′ 2

)

c

=

E(Y

|A1

=

a1∗, A2

=

a′′ 2

,

C

=

c)P (C

=

c|A2

=

a′′ 2

)

c

dan A1 tidak memiliki efek lemah monotonik positif atas Y dan sama halnya,

Universitas Sumatera Utara

18
E(Y |A1 = a1∗∗, A2 = a2′ , C = c)P (C = c|A2 = a′2)
c
= E(YA1=a∗1∗|A2 = a2′ , C = c)P (C = c|A2 = a′2)
c
= E(YA1=a∗1∗ |A2 = a′2) > E(YA1=a∗1 |A2 = a′2) = E(YA1=a∗1 |A2 = a′2, C = c)P (C = c|A2 = a2′ )
c
= E(Y |A1 = a1∗, A2 = a2′ , C = c)P (C = c|A2 = a′2)
c
dan A1 juga tidak memiliki efek lemah monotonik negatif.
Hasil yang sama juga diperoleh jika edge A1 − Y bertanda negatif. Akan ditunjukkan kontrapositif dari Proposisi 3.9 sebagai Akibat.
Akibat 3.22 Andai bahwa beberapa keluarga A2 di Y merupakan efek modifikasi kualitatif untuk efek kausal dari keluarga A1 di Y , salah satunya tidak terpenuhi atau tak lebih dari beberapa stratum C = c di keluarga Y selain A1 dan A2 maka A1 memiliki efek lemah monotonik positif maupum efek lemah monotonik negatif di Y .
Jika ada variabel meragukan antara A dan Y maka Proposisi 3.9 dapat dituliskan secara umum seperti Proposisi 3.23.
Proposisi 3.23 Andai bahwa semua path berarah dari A ke Y bertanda positif(atau negatif ) maka tidak ada efek modifikasi kualitatif Q pada graf asiklik berarah untuk efek kausal A di Y .
Bukti. Misal C menotasikan semua verteks yang tidak berasal dari A dimana salah satu keluarga Y atau keluarga verteks di path berarah antara A dan Y . Dengan menggunakan iterasi diperoleh, E(YA=a1 |Q = q) − E(YA=a0 |Q = q) =
E(YA=a1 |C = c, Q = q)P (C = c|Q = q) − E(YA=a0 |C = c, Q = q)P (C = c|
cc
Q = q). Sama halnya, jika dituliskan dengan
E(YA=a1 |C = c)P (C = c|Q = q) − E(YA=a0 |C = c)P (C = c|Q = q).
cc
Universitas Sumatera Utara

19 Menurut Pearl (1995), hal itu diperlukan untuk menunjukkan bahwa (Y ∪Q|C, A)GA˜ , dimana GA˜ menotasikan graf yang diperoleh dengan menghapus semua tanda panah yang mengarah ke A pada graf asiklik berarah. Sebarang path frontdoor dari Y ke Q di GA˜ akan ter-blok oleh sebuah collider. Sebarang path backdoor dari Y ke Q di GA˜ akan ter-blok oleh C . Oleh karena itu, diperoleh bahwa E(YA=a1 |Q = q) − E(YA=a0 |Q = q) = E(YA=a1 |C = c)P (C = c|Q = q) −
c
E(YA=a0 |C = c)P (C = c|Q = q). Karena C akan memblok semua path back-
c
door dari A ke Y maka diperoleh E(Y |C = c, A = a1)P (C = c|Q = q) − E(Y |C = c, A = a0)P (C = c|Q = q)
cc
= E(Y |C = c, A = a1) − E(Y |C = c, A = a0)P (C = c|Q = q).
c
Jika ada Q efek modifikasi kualitatif untuk efek kausal A atas Y kemudian ada sebuah nilai q0 sehingga E(YA=a1 |Q = q0) − E(YA=a0 |Q = q0) < 0. Tetapi, karena semua path anatara A dan Y bertanda positif dan karena C memblok dari A ke Y , dengan menggunakan Proposisi 3.12 yang tidak turun di a dan juga E(YA=a1 |Q = q0) − E(YA=a0|Q = q0) = {E(Y |C = c, A = a1) − E(Y |C = c, A =
c
a0)}P (C = c|Q = q0) ≥ 0.
Universitas Sumatera Utara

BAB 4
PEMBAHASAN
Menurut definisi efek monotonik, graf asiklik berarah kausal berkorespondensi dengan sebuah himpunan persamaaan struktural non-parametrik. Efek monotonik sangat berhubungan dengan kemonotonan variabel-variabel kendala yang ditunjukkan dalam proposisi-proposisi.
Beberapa persamaan struktural non-parametrik dapat diperoleh dari identical distribusi X = (X1, ..., Xn) dan {XV =v}V ⊂X,v∈supp(V ) (Pearl, 2000). Pada konteks ini, karakteristik graf asiklik berarah kausal merupakan petunjuk bagi counterfactual-counterfactualnya bukan persamaan struktural non-parametrik (Robins, 2003), efek monotonik positif juga dapat diketahui jika untuk setiap paY , nilai probabilitas P (Ya1,paY ≥ Ya0,paY ) = 1; a1 = a0.
Jika kondisi seperti ini terpenuhi pada sebuah himpunan persamaan struktural non-parametrik, maka kondisi seperti ini juga akan terpenuhi untuk sembarang persamaan struktural non-parametrik yang diperoleh dari distribusi yang sama untuk X dan {XV =v}V ⊂X,v∈supp(V ). Jika untuk a1 = a0 himpunan {ω : Ya1,paY (ω) < Ya0,paY (ω)} sama dengan nol maka Ya1,paY dan Ya0,paY dapat didefinisikan kembali pada himpunan ini sehingga Ya1,paY (ω) ≥ Ya0,paY (ω) untuk setiap ω dan distribusi X dan {XV =v}V ⊂X,v∈supp(V ) yang lainnya tidak diganti.
Karena untuk sembarang nilai ω yang diamati, hasil yang diperoleh bernilai kurang dari satu, keberadaan efek monotonik tidak teridentifikasi. Hasil yang teridentifikasi sebenarnya memiliki kondisi yang lemah ketika data semua variabel graf asiklik berarah diamati. Karenanya, diperkenalkan konsep efek lemah monotonik yang didefinisikan seperti pada Definisi 3.3.
Misal orangtua A dan anak Y , definisi efek lemah monotonik memiliki kesamaan dengan definisi pengaruh kualitatif positif(Wellman, 1990). Efek monotonik merupakan suatu hubungan yang terjadi antara dua verteks pada graf asiklik berarah dan ditandai dengan adanya sebuah edge. Definisi tanda suatu edge dapat diberikan untuk istilah efek monotonik atau efek lemah monotonik. Pendefinisian
20
Universitas Sumatera Utara

21
tanda pada sebuah edge dapat diberikan sebagai tanda efek monotonik dan efek lemah monotonik, seperti definisi tanda path pada umumnya.
Selanjutnya graf asiklik berarah kausal yang memiliki tanda pada edgeedgenya disebut dengan graf asiklik berarah kausal bertanda. Teorema yang akan diberikan dalam path yang sudah bertanda sehingga mudah diaplikasikan pada efek monotonik dan efek lemah monotonik.
Pada Definisi 3.7, Telah ditunjukkan Vander Weele dan Robins (2009) bahwa jika X dan Y berasosiasi monotonik positif maka Cov(X, Y ) ≥ 0 dan jika X dan Y berasosiasi monotonik negatif maka Cov(X, Y ) ≤ 0. Selanjutnya, akan dikembangkan beberapa hasil berkaitan dengan kemonotonan pada kondisi ekspektasi pasti seperti pada lemma.
Seperti Lemma 3.8 yang dibuktikan dengan diintegralkan berpartisi dan akan digunakan untuk membuktian serangkaian proposisi-proposisi. Diasumsikan bahwa variabel random yang dipertimbangkan telah memenuhi kondisi regular. Jika kondisi fungsi distibutif kumulatif terdifrensiabel secara kontinu maka kondisi regular juga akan terpenuhi. Lemma 3.8 digunakan pada salah satu fungsi h(y, a, r) = y atau untuk fungsi survivor dimana relevan memenuhi kondisi regular. Oleh karena itu kondisi regular pada distribusi variabel random merupakan keperluan agar integral secara partisi dapat dilakukan.
Proposisi 3.12, 3.14 dan 3.15 merupakan dasar hasil untuk kemonotonan dari kondisional ekspektasi. Untuk kondisional ekspektasi beberapa variabel Y agar menjadikan A monotonik, diperlukan himpunan semua variabel-variabel yang memblok semua backdoor path dari A ke Y . Untuk membuktikan Proposisi tersebut, digunakanlah Lemma 3.10 dan Lemma 3.11 berikutnya.
Lemma 3.11 dan Proposisi 3.12 merupakan hasil yang diperoleh Wellman (1990) dan Druzdel (1993). Khususnya, Lemma 3.11 jika R = ∅, maka hasilnya merupakan pengulangan hasil dari Wellman (1990). Lemma 3.11 merupakan bentuk umum dari hasil Wellman (1990) dan Druzdzel (1993) dengan mengkondisikan verteks R = (R1, ..., Rm) berada di path berarah dari A ke Y . Proposisi 3.12 selanjutnya merupakan generalisasi Lemma 3.11 dengan menempatkan himpunan Q yang terdiri dari himpunan ancestor A atau Y dimana tak berasal dari A dengan
Universitas Sumatera Utara

22
beberapa himpunan X yang tak berasal dari A dimana memblok setiap backdoor path dari A ke Y . Proposisi 3.15 merupakan keadaan khusus dari Proposisi 3.18 dengan R = ∅ dan Q = ∅.
Proposisi 3.14 dan 3.15 memerlukan kondisi variabel yang biner. Beberapa contoh yang akan dikonstruksikan menunjukkan bahwa jika variabelnya tidak biner maka kondisional ekspektasi tak turun walaupun A dan Y positif monotonik berasosiasi.
Contoh 1 : Gambar graf asiklik berarah berikut bertanda positif seperti dibawah ini. Menurut Proposisi 3.12, diperoleh bahwa E(Y |A = a, C = c, R = r) dan E(Y |A = a, C = c) tak turun di a. Jika A biner maka menurut Proposisi 3.14, E(Y |A = a) tak turun juga di a. Jika Y biner maka menurut Proposisi 3.15 E(Y |Y = y) tak turun di y.

Gambar 4.1

C
t

+ ✲At

 

 

+ +   +

 

 

  t❄✠ ✛

❄ t

Y +R

Graf berarah dengan 4 verteks dan 5 arcs

Contoh 2 : Gambar graf asiklik berarah berikut bertanda seperti dibawah ini. Jika A biner, maka menurut Proposisi 3.17, E(Y |A = a, C = c, Q = q), E(Y |A = a, Q = q), E(Y |A = a, C = c) dan E(Y |A = a) tak turun di a. Jika Y biner maka menurut Proposisi 3.18 E(A|Y = y, C = c, Q = q), E(A|Y = y, Q = q), E(A|Y = y, C = c), dan E(A|Y = y) tak turun di y.

Contoh 3 : Andai diberikan sebuah graf asiklik seperti pada Gambar 4.3 berikut. Misal A menotasikan kegiatan merokok, R menotasikan kolesterol tinggi, dan Y menotasikan penyakit kardiovaskuler. Kolesterol tinggi dapat mengakibatkan penyakit kardiovaskuler karena ada penyumbatan pada pembuluh darah arteri;
Universitas Sumatera Utara

23

Gambar 4.2

C
t

+ ✲At

 ✻

 

+ +   +

 

 

  ❄t✠ ✛

t

Y +Q

Graf berarah dengan 4 verteks dan 5 arcs

Merokok dapat mengakibatkan penggumpalan darah sampai penyakit kardiovaskuler. Misal Q menotasikan beberapa variabel yang meragukan yang menghubungkan antara merokok dan Penyakit variabel tak terukur yang kemungkinan mengaburkan hubungan antara kolesterol tinggi dan penyakit kardiovaskuler. Pada gambar ini terdapat keraguan apakah variabel U merupakan penyebab dari R dan oleh karena itu edge dari U ke R disimbolkan edge tak berarah. Menurut Pearl (2001) ada kemungkinan memperkirakan efek langsung dengan cara YA=a1,R=r − YA=a0,R=r yaitu efek langsung merokok pada penyakit kardiovaskuler dengan mempertimbangkan kolesterol tinggi, pada gambar graf dibawah ini jika U bukan penyebab R. Anggap meskipun U diragukan, keberadaan edge U ke R, telah diketahui bahwa hubungan antara A dan Y dikatakan monotonik dimana P (Y > y|A = a, R = r, Q = q, U = u) tak turun di a untuk setiap y, r, q, u. Selanjutnya, akan di uji secara statistik dengan membuat variabel U sebagai hipotesis nol yang meragukan hubungan antara R dan Y .

At✛

Q
t

❅ 

❅ 

❅ 

U

❅€t ❅€❅€❘❅€❄t€�